vật lí chất rắn đại cương chương 5 - khí điện tử tự do fermi

Slide 1
Chơng V
Khíđiệntửtựdo Fermi
ách khỏi nguyên tử
v tạo ra trong tinh thể một khí điện tử,
đờng tự do lớn
Khôngcóvachạm
không bị tác động của các ion,
ít va chạm
nguyên lý Pauli.
Khíđiệntửkhôngtơng tác, tuân theo nguy ên lý Pauli đợc gọi l
khíđiệntửtựdo Fermi.
ắ
Trong kim loại các điện tử hoá trị đợc coi nh t
còn tại các nút mạng chỉ có
các gốc ion.
ắ
Các khí điện tử nyđợc coi l tự do:
-Quãng ,~10
8
-10
9
khoảng cách giữacác
nguyên tử.
- giữacácđiệntử.
ắ
Mẫuđiệntửtựdo tồntại đợc l nhờ các lý do sau:
-Các điện tử dẫn có thể coi thế
Coulomb của các ion U(x)=0.
-Các điện tử dẫn rất với nhau do chúng phải tuân
theo

ắ


Slide 2
V.1. Mức năng lợng v mật độ trạng thái trong trờng hợp
một chiều
di
L, ro thế cao vô cùng

n
(x)
ắGỉasửđiệntửcókhốilợng m chuyển động giới hạn trong đoạn
ở 2 đầu của đoạn nycóhng . Hng rony
thay cho các tơng tác gĩ điện tử ở trong tinh thể.
ắHm sóng của điện tử đợc xác định bởi phơng t
rỡ
nh
dingeroSchr
&&
H =
dx
d
iP

h=

nn
2
n
22

n
dx
)x(d
m
2
H =

=
h
Trong đó:
Toán tử Hamiltơn (bỏ qua thế nang)
trong đó l toán tử động lợng
m
P
H
2


2
=
P


n
-n

ng lợngđiệntửởtrạng tháin
c
mô t

bởi hm
sóng
n


Slide 3
-Điều kiện biên cố định:
n
(0)=0 v
n
(L)=0
hm
sin n l số nửa bớc sóng đặt trên đoạn L
, vì có các rothếở2
đầu.
-Điềukiệnbiêntrênđợc đáp ứng tự nhiên nếu hmsóngcódạng
, còn .
Thực vậy:
n
L2
Ln
2
1
;x
2
sin~
nn
n
n
==

hay







= x
L
n
sinA
n
Hm
n
phải đáp ứng phơng trình :
dingeroSchr
&&

=








=

x
L
n
sin
L
n
A

dx
d
x
L
n
cos
L
n
A
dx
d
2
2
n
2
n
;
A l hằng số
Hay=
nnn
2








L

n
m2
2
h
Năng lợng l hmbậc2 củasố . lợng tử n

2
2
n
L
n
m2







=
h


Slide 4


Slide 5
-Mỗimức năng l một trạng thái hay hmsóng
suy biến
nhiều hơn 1

Nguyên lý Pauli
n; m
S
=1/2
n 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5
m
S

Năng lợng Fermi
F
ựơng ứng với .
-Mứcnăng lợng : Nếu số hm sóng ứng với một giá trị cho
trớc của năng lợng .
- : không thể có 2 điện tử trong một trạng thái có
cùng các số lợng tử giống nhau, nghĩa l mỗi một hmsóngmôtả
một trạng thái có thể bị chiếm bởi không quá một điện tử.
-Trong vật rắn một chiều: số lợng tử của điện tử l ứng
với định hớngcủaspin. Trongmộtcặptrạng tháicósốlợng tử n
chung thì có 1 điện tử ứng với spin quay lên v 1 điện tử ứng với spin
quay xuống.
Nếu hệ có 8 điện tử thì trong trạng thái cơ bản của hệ, việc chiếm
các trạng thái riêng của điện tử sẽ tuân theo bảng dới đây:
Điện tử chiếm 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0
ắ
l năng lợng của điện tử ở mức cao nhất bị
chiếm, nghĩa l khi n=n
F
.
2n
F

=N ;
trong úN lsint tng cng


Slide 6
T=0K
k

F

k
Trạng thái cơ bản của khí điện tử tự do

2
2
2
F
2
F
L2
N
m2L
n
m2

=







=
hh
Trong trờng hợp một chiều:
L
n
k

=


Slide 7
V.2. Sự phụ thuộc vo nhiệt độ của hmphânbốFermi-Dirac
Trạng thái cơ bản không tuyệt đối
nhiệt độ tăng lên động năng của khí điện tử tăng
Fermi-Dirac
:
- của các hệ l trạng thái ở độ . Các
trạng thái dới mức Fermi bị chiếm, trên mức Fermi trống
-Khi , .
Điện tử có năng lợng cao hơn mức Fermi chiếm các trạng thái trên mức
Fermi Để lại trạng thái trống dới mức Fermi.

-
int
tuân theo hmphânbố
1
Tk/)(
e
1
)(f
B
+

=
Đại lợng , ởđộkhôngtuyệtđốithếhoá
học bằng năng lợng Fermi. ở nhiệt độ thấp giá trị
.
Hm Fermi-Dirac cho thấy xác suất điện tử chiếm trạng thái
ứng với mức năng lợng ở nhiệt độ T
gọi l thế hoá học
gần với
giá trị
F


Slide 8
Nhiệt độ Fermi


Slide 9
-Nh vậy năng lợng Fermi l năng lợng của trạng thái cao
nhất có điện tử chiếm ở không độ tuyệt đối

f(

)

exp[(

-

)/k
B
T]
V.3. Khíđiệntửtựdo trongtrờng hợp 3 chiều
.
-
Khi

-

>> k
B
T:
Hmnygầnvớihm phân bố Boltzmann.
Nếuđiệntửbịgiớihạn trongmộtthểtíchhữuhạn códạng
hộp cạnh L thì nghiệm của phơng trình nycódạng :
)()(
z y x2
2
2
2
2

2
22
rr
m
kkk
rr
h








=








++
Phơng trình đối với hạt tự do trong trờng hợp 3 chiều :
V.3.1. Bi toán ba chiều biên cố định


Slide 10

= z
L
n
siny
L
n
sinx

L
n
sinA)r(
z
y
x
n
r
Trong đó n
x
, n
Y
, n
z
l các số nguyên dơng
(x+L, y, z) = (x, y, z)
.
- Sóng bị dập tắt tại bề mặt của khối hộp.
-Hm sóng phải tuần hon theo x, y, z với chu kỳ L:
đối với biến y v z có điều kiện tơng tự.
V.3.2. Bi toán với điều kiện biên tuần hon
;
L
4
;
L
2
;0k
x

=
Các thnh phần của véctơ sóng đều có giá trị dạng trongđón
l số nguyên .
- Điềukiệnbiêntuầnhonthoảmãnkhi:
r k
r
r
r
i
k
e)r( =
k
r
-Hm sóng đáp ứng phơng trỡnh Schrodinger đối với hạt tự do v
điều kiện biên tuần hon l sóng phẳng chạy:
Các thnh phần véctơ sóng nhận các giá trị :
2n/L
âm hoặc dơng


Slide 11
exp[ik
x
(x+L)]
= exp(ik
x
x)
= exp[i2n(x+L)/L] = exp(i2nx/L).exp(i2n) = exp(i2nx/L)

Thay hmsóng vophơng trình Schrodinger
)r(
k
r

)(
22
222
2
2
2
zyxk
kkk
m
k
m
++==
hh

-Độdi của véctơ sóng liên hệ với bớc sóng theo hệ thức:
k=2/.
ứng với động lợngp trongcơhọclợngtửcótoántử . Nếutác
động toán tử nylênhm sóng ta có:
)r(k)r(i)r(p

kkk
k
r

k

l giá trị năng lợng riêng của trạng thái với véctơ sóng .
=


hip

- Toán tử động lợng:
r
r
r
hh
r
==
Nh vậy sóng phẳng
k
l hmriêngcủatoántửđộnglợng .
-Các giá trị riêng của toán tử động lợng l
p

k
r
h


Slide 12
rki
e)r(
r
r
r

=
U(x)=0, sóng phẳng chạy
Hệ N điện tử tự do ở trạng thái cơ
bản,
các trạng thái riêng biệt của
điện tử bị chiếm (các điểm trong
không gian k).
Bán kính k
F
đợc xác định từ:
m2/k
2
F
2
F
h=
k
y
k
z
k
x
F
k
r

F

L
2

F
l năng lợng của điện tử với
véctơ sóng có độ di k
F
(mũi nhọn ở
mặt Fermi).


Slide 13
- ở trạng thái cơ bản ,
bề mặt của cầu Fermi
mặt Fermi
các trạng thái bị chiếm đợc biểu diễn bằng các
điểm bên trong hình cầu trong không gian k.
-Năng lợng ứng với l năng lợng , các véctơ
sóng có độ dibằngk
F
có đầu nhọn chạm mặt cầu, mặt cầu nyđợc
gọi l :
2
2
2
FF
k
m
h
=

trạng thái (2/L)
3
-Mỗi ứng với 1 thể tích trong không gian .
k
r
Nk
3
V
)L/2(
3/4
2
3
F
23
3
=

=


F
k
chỉ rằng có đối với mỗi giá trị cho phép k.
-Tổngsốtrạng tháichobằngsốđiệntử
Số 2 2 giá trị spin m
S
3/1
2
F
V

N3
k









=
k
r
m/kv
r
h=

trong trạng thái với véctơ sóng :
-Số các trạng thái cho phép bằng:
Vận tốc hạt


Slide 14
BánkínhcầuFermi k
F
N/Vchỉ phụ thuộc vomậtđộhạt m không
phụ thuộc vokhốilợng m
3/2
22

3
2








=
V
N
m
F


h
Cu có

F
=7eV
Vận tốc điện tử trên mặt Fermi
3/1
2
F
F
V
N3
mm

k
v









==
hh
D(
) số trạng thái có trong một khoảng đơn vị
năng lợng
.
V.3. 3. Mật độ trạng thái
Mật độ trạng thái l
2/3
22
3/2
22
2
3

3
2

=








=
h
h
F
F
mV
Nhay
V
N
m




Mật độ trạng thái tại mức năng lợng Fermi
2/1
2/3

22
2
2
)(
F
F
F
mV
d
dN
D










==
h


Slide 15
Ta có thể thu đợc kết quả đơn giản hơn:
F
F
F

d
N
dN
constN



2
3
Hay ln
2
3
ln =+=
FF
F
N
d
dN
D


2
3
)( ==
V.4. Nhiệt dung của khí điện tử
N điện tử 3Nk
B
/2
gấp 100 lần
-

Nguyên lí Pauli khí điện tử Fermi không phải tất
cảcácđiệntửcónăng lợng l k
B
T.
trongkhoảngk
B
T gần mức Fermi mới bị kích thích
Nh vậy mật độ trạng thái hay số trạng thái trên một khoảng đơn vị
năng lợnggầnmứcFermi tỷlệvớitỷsốcủasốđiệntửdẫnvới
năng lợng Fermi.
-Theo thuyết cổ điển nếu có thì nhiệt dung điện tử l .
-Kết quả ny giá trị thực nghiệm ở nhiệt độ phòng.
v lý thuyết cho thấy
-
Khi nâng từ 0K lên nhiệt độ T, chỉ có các điện tử ở các trạng thái ứng
với năng lợng


Slide 16


Slide 17
Nếu N l tổng số điện tử, khi nhiệt độ tăng từ 0 lên T độ , số điện tử
đợc kích thích nhiệt
NT/T
F
k
B
T
E kích thích nhiệt

, có năng lợng trong vùng k
B
T ở phần trên của
phân bố năng lợng, l

.
Mỗi một điện tử c
ú
năng lợng nhiệt d cỡ v tổng năng lợng
của các điện tử l:
Tk
T
NT
E
B
F

Nhiệt dung của điện tử
F
Bele
T
T
NkC


=
T
E
C
ele

~T
C
ele
ởnhiệtđộthấpk
B
T<<

F
đúng nh thực nghiệm v nhỏ hơn giá trị cổ điển
khỏang
100
lần nếu T
F
~5.10
4
K
ắTa t
ỡ
m biểu thức chính xác hơn đối với
Sự thay đổi tổng cộng n

ng lợng E của điện tử
)dD( )dD()(
F
00


=

fE


Slide 18
f() l hmphânbốFermi-Dirac, tại 0K f()=1; D() l hmmậtđộ
trạng thái.
-Sốhạt tronghệ:


=
0
)()(

dDfN


=
0
)()(

dDfN
FF
-Lấy đạo hm E v
F
N


=

=
0
T
f
)D(
T
E





dC
ele

==





dD
FF
T
f
)(
T
N
0

=

=
0
)(
T
f
)(
T
E





dDC
Fele
-ở
nhiệt độ thấp ( ) đạo hm vì
vậy với hm có thể :
k
B
T/
F
<0,01 f/T chỉ lớn khi gần
F
D() lấy =
F

0
T
f
)()(



dDC
FFele


Slide 19
22
}1]/){exp[(
]/)exp[(
T
f
+


=
Tk
Tk
Tk
BF
BF
B
F

ặt x (-
F
)/k
B
T

+
=

Tk
x
x
BFele
BF
dx
e
e
xTkDC
/
2
2
2

)1(
)(


V
ỡ
e
x
rất nhỏ khi v ở nhiệt độ thấp giới hạn dới của tích
phân thay bằng
x=-
F
/k
B
T
-
3
dx
)1e(
e
x
2
2x
x
2

=
+

TkDC
BFele
2
2
)(
3
1


=
FFB
FBFF
F
Tk
Tk
NN
d
dN
D



==== ;
2
3
2
3
)(
Ta lại có

F
B
2
2
B
FB
2
ele
T
T
Nk
2
1
Tk
Tk2
N3
3
1
C ==
Vậy


Slide 20
ắ
Nhiệt dung của kim loại
C = T+T
3
-Nhiệt dung tổng cộng của kim loại ở nhiệt độ T <<T
F
v T<<

D
:
, l các hằng số
T l phần nhiệt dung của điện tử ( đóng góp của điện tử ).
T
3
l phần nhiệt dung của mạng ( đóng góp của Phonon ).
-Phần nhiệt dung của điện tử tuyến tính với T nên chiếm u thế ở nhiệt
độ thấp
2
T
T
C
+=
-giá trị đo đợc bằng thực nghiệm không trùng với giá trị lý thuyết:
exp
F
B
2
free
T
T
Nk
2
1
C =
;
2
)(
3

1
2
0
2
2
2
F
B
BFfree
zkN
kD



==
Trongđólấy ; N
0
l số Avogadro, z- hoá trị của nguyên tố.
N
F
F
D


2
3
)( =
-Thông thờng ngời ta thay m
th
khối lợngđiệntửnhiệt

cho khí điện tử dẫn trong kim loại:
hiệu dụng
;
exp
*
free
th
m
m


=


Slide 21


Slide 22
ắTỷ số m
th
*/m khác 1
Tơng tác thế tuần hon
khối lợng hiệu dụng vùng .
Tơng tác phonon
lmbiếndạng
mạng tinh thể
cực phổ
Polaron
Tơng tác với nhau
vì cácnguyênnhânsau:

- của điện tử dẫn đối với của
mạng tinh thể bất động. Khối lợng hiệu dụng trong
trờng thế nh vậy gọi l
- của các điện tử dẫn đối với các . Điện
tử hớng tới việc phân cực hoá hay
quanh nó. Trong các tinh thể ion hiện
tợng nyđợc gọi l hiệu ứng , khi lợng tử
hoá ta đợc .
- của các điện tử dẫn . Điện tử dẫn
chuyển động v tác động lên các điện tử của khí điện
tử quanh nó lm cho khối lợnghiệudụngcủanó
tăng lên.


Slide 23
-Động lợng của điện tử tự do liên hệ với véctơ sóng :
hay
kvm
r
h
r
=
m/kv
r
h
r
=
)BvE(eF
r
r

r
r
ì+=
-Điện trờng
V.5. Độ dẫn điện, định luật Ohm
E Bv từ trờng tác
dụng lên điện tử một lực:
-Phơng trình chuyển động của điện tử
)BvE(e
dt
kd
dt
vd
mF
r
r
r
r
r
h
r
ì+===
khi B = 0
r
h
rr
tEe
)0(k)t(k =
Sau khi đặt điện trờng , cácđiệntửđiềnđầycầuFermi nhng
tâm của cầu Fermi dịch khỏi gốc toạ độ một đoạn :

E
r
k
r

r
r
h
t
Eek



=
độ dịch chuyển tĩch của cầu Fermi trong thời gian trung bình giữa
2 va đập .
r
r

= Eek
h


Slide 24
k



Slide 25
Số gia của vận tốc :

v
r

m/Eev
m
k
v
=

=
r
r
r
h
r

Mậtđộdònggâybởiđiệntrờng l:
E
r
m/Enevnqj
2
r
r
v
==
trong đó l số hạt qua đơn vị thiết diện trong đơn vị thời gian
vn
r

Độdẫnđiện theo định nghĩa l hệ số tỉ lệ

giữa mật độ dòng v điện trờng
j
r
E
r
m
ne
2

=
Điện trở suất l đại lợng tỷ lệ nghịch của độ dẫn điện:

=

=
2
ne
m1
t
m
Ee
t
m
F
v
d
t
vd
mamF hay

====
r
r
r
r
r
r
EJ
r
r
=


Slide 26
Có thể hiểu công thức trên nh sau:
-Điệntíchdịchchuyểntỷ
lệ với ne
e/m

gọi l thời gian hồi phục
khoảng thời gian m điện trờng tác dụng
l=v
F

nằm gần mặt Fermi
mật độ điện tích .
-Số nhân xuất hiện l do giatốccủađiệntíchnetrong
điện trờng đã cho tỷ lệ thuận với giá trị của điện tích v tỷ
lệ nghịch với khối lợng.
-Thông số , đặc trng cho

lên hạt tải điện
tích tự do.
Khái niệm quãng đờng tự do trung bình l của điện tử
dẫn:
v
F
l vận tốc điện tử trên bề mặt cầu Fermi.
-Tất cả các va đập chỉ xảy ra đối với phần các điện tử trong
không gian k


Slide 27
-Trong đa số kim loại có điện trở ở300K l do va đập của điện tử dẫn
với phonon mạng, (4K) do va đập với các
nguyên tử tạp chất v các sai hỏng của mạng
chứa tạp
=
L
+
I

L
l điện trở suất do dao động mạng
Matthiessen

I
không phụ thuộc
vo nhiệt độ.
Kết quả thực nghiệm

L
~Tở

L
~T
5
T<<
còn ở nhiệt độ Heli lỏng
nh nút khuyết, lệch
mạng
-Điện trở suất của kim loại chất có thể viết dới dạng:
Trong đó , l điện trở suất do
tán xạ của điện tử trên .
-Nguyên lý : nếu
tạp ít thì
ắ
về điện trở của kim loại
:
Khi ngoại suy đồ thị tới T=0K ta đợc
điện trở suất d, giá trị ny tơng đơng
với
I
vì
L
0 khi T 0K.
nhiệt độ cao
ở nhiệt độ thấp

I
tạp chất

T
0


Slide 28
-Hệsốdẫn nhiệt
trong đó v l vận tốc hạt, C l nhiệt dung riêng của
đơn vị thể tích khí, l l quãng đờng tự do trung
bình
lCv
3
1
K =
V.6. Độ dẫn nhiệt của kim loại
Ta xác định độ dẫn nhiệt cuả khí điện tử tự
do Fermi :
FFB
F
B
2
F
B
B
2
el
Tk
T
T
Nk

2
1Tk
Nk
2
1
C
=
=

=
2
FF
mv
2
1
=
Mặt khác


Slide 29
Hệ số dẫn nhiệt do điện tử :
m3
Tnk
lv
mv
Tnk
3
KlCv
3
1

2
B
2
F
2
F
2
B
2
ele

=

==
trong đó l = v
F

n
hạt dẫn chủ yếu
điện tử
pha tạp 2 phần ny có thể
cùng cỡ với nhau.
, còn l thời gian trung bình giữa
các va đập, l nồng độ điện tử.
- Kim loại dẫn nhiệt tốt hơn điện môi 10-10
2
lần do
đó:
Phần trong kim loại tinh
khiết sẽ l chứ không phải phonon.

Trong kim loại thì


Slide 30
-ở nhiệt độ rất thấp tỷ số giữa hệ số dẫn nhiệt v dẫn điện riêng
tỷ lệ thuận với nhiệt độ
không phụ thuộc vo tính chất hoá học
của
kim loại . Hệ số tỷ lệ của biểu thức ny l
hằng số chung, riêng của
kim loại.
T
e
k
3m/ne
m3/TnkK
2
B
2
2
2
B
2

=


=

Hệ số tỷ lệ gọi l hằng số Lorentz
T
K
L

=
2
B
2
e
k
3
L







=
=
2,45.10
-8
W

/độ
2
ở nhiệt độ thấp ( ) giá trị có xu hớng vì ởnhiệt
độ thấp quá trình va
.
Thực nghiệm : L
Ag
(0
0
C)=2,31.10
-8
W

/độ
2
L
Ag
(100
0
C)=2,37.10
-8
W

/độ
2
L
Au
(0
0

C)=2,35.10
-8
W

/độ
2
L
Au
(100
0
C)=2,40.10
-8
W

/độ
2
.
L không phụ thuộc vo n, m, .
T<<
D
L giảm
đập đặc trng cho dẫn điện v nhiệt khác
nhau do đó thời gian hồi phục
th
v
el
khác nhau
V.7. Định luật Wiedemann-Franz

Slide 31
V.8. Phản ứng điện môi của khí điện tử .
- Nếu không có va đập thì phơng trình chuyển động của điện tử tự
do trong điện trờng có dạng:
= e
dt
xd
m
2
2
t t
==
ii
e.E;e.Xx
2
2
m
eE
XeEmX

== hay
Mô men lỡng cực p của điện tử
2
2
m
Ee
eXp

==
Mô men phân cực của đơn vị thể tích

2
2
m
Ene
neXP
==
Hằng số điện môi:
l hằng số điện môi.
)PE(D

r
r
r
+=
0

2
0
2
00
m
ne
1
)(E
)(P
1
)(E
)(D
)(

=


+=


=
Trong đó l điện trờng xoay chiều.
-x v phụ thuộc vo thời gian :
Sự liên hệ giữa điện trờng v cảm ứng điện khi có phân cực:


Slide 32
Sự phụ thuộc của hằng số
điện môi votầnsốđiện
trờng của một hệ khí
điện tử :
m
ne
0
2
2
p

=
2
2
p
1)(

=
Tần số plasma:


Slide 33
ắTruyền sóng điện từ trong plasma
bị phản xạ honton.
lọc tần
trongsuốtđốivớisóngcótầnsố>
P

2
=
P
2
+c
2
k
2
tần số plasma
P
v bớc sóng
P
2c/
P
-
ở tần số nhỏ hơn

P

thì

(

)<0.
-
Từ phơng trình sóng ta có định luật tán sắc có dạng:

2

(

)=c
2
k
2
- Sóng có dạng exp(-|k|x), với tần số trong khoảng 0<
P
tới
môi trờng Khí điện tử hoạt động nh một
mng .
-Khí điện tử trở thnh , vì
trongvùngnyhmđiệnmôidơng:
-Một số giá trị của ứng
vớinồngđộđiệntửn:
n (số điện tử/cm
3
) 10
22
10

18
10
14
10
10

P
(độ/sec) 5,7.10
15
5,7.10
13
5,7.10
11
5,7.10
9

P
(cm) 3,3.10
-5
3,3.10
-3
0,33 33


Slide 34


Slide 35
Bức xạ điện từ sẽ lan truyền
nhỏ

hơn

P
trong môi trờng chỉ trong
trờng hợp nếu trong không gian tự do bớc sóng của nó
. Trong trờng hợp ngợc lại sẽ xảy ra phản xạ.
Từ kết quả trên suy ra:
-ánh sáng thờng v sóng radio bị kim loại phản xạ.
-ánh sáng tử ngoại, bức xạ rơn-gen . đi qua đợc kim loại.
-Tầng điện li của khí quyển phản xạ sóng điện từ vô tuyến
tầnsốcaotrởxuống.
Giá trị

P
của các kim loại kiềm, các sóng có

<

P
truyền
qua đợc các mng kim loại ny.
Kim loại Li Na K Rb Cs

P
(tính) A
0
1550 2090 2870 3220 2620

P
(thực nghiệm) A

0
1550 2100 3150 3400 2620


Slide 36
0
0
2
=




2
]n)r(n[
e
0
0


=
r
trong đó (r) l thế tĩnh điện, n(r)-n
0
: sự chênh lệch nồng độ điện tử
V.9. Hiệu ứng mn chắn
điện tử gần điện
tích q bị kích thích,
-Điện trờng gây bởi điện tích q giảm mạnh
q bị chắn

chiều di chắn.
khoảng cách lớn hơn hiệu ứng cng thấy rõ cho tới lúc chắn hon ton.
-Nếu ta đa một điện tích điểm q vo trong kim loại thì
kết quả l điện trờng của điện tích bị rơi vo một
trờng khử.
-Trờng khử ny sinh ra do sự vi phạm độ đồng nhất của mật độ điện tử.
theo khoảng cách. Trong
trờng hợp ny ta nói điện tích bởi khí điện tử.
-Đểmôtảhiện tợng ny ta đa ra một thông số gọi l
ở khoảng cách nhỏ hơn chiều di ny hiệu ứng chắn không thấy rõ, còn
ở
-Phơng trình Poisson :


Slide 37
chỉ số 0 l tĩnh điện khi cha có q.
-ở vùng điện tích mẫu có
3/2
0
2
2
0
)3(
2
n
m
F


h

==
thế tĩnh điện bằng (r) :
)()](3[
2
)()(
3/22
rern
m
rer
F
rr
h
r

=
Đây l biểu thức
-Gần đúng cho rằng
Nó có thể áp dụng cho
thếtĩnhđiện, nếunóítbiếnđổitrongkhoảngcáchcỡbớc sóng điện
tử.
-Nếu khi thế tĩnh điện thay đổi thì ta
có:
2
gần đúng Thomas-Fermi.
Thomas-Fermi thế hoá định xứ có thể đợc xác
định nh hm của nồng độ điện tử tại điểm đó.
thế điện hoá giữ nguyên giá trị


===

F
n
m
rern
m
3/2
0
2
2
3/22
2
]3[
2
)()](3[
2
h
rr
h
-Tại 0K ta có thế điện hoá :


Slide 38
Coi [n(r)-n
0
] l số gia của n v phân tích biểu thức trên thnh chuỗi
Taylor :

3/2
0
2

2
F
0
0
F
)n3(
m
2
)r(e]n)r(n[
dn
d
=



h
rr
Lấy đạo hm hai vế
0
F
0
F
n3
2
dn
d


=

)r(e
n
2
3
n)r(n
F
00

r

r
Phơng trỡnh Poisson


2
=

=

2
F0
2
0
2
en3
-Phơng tr
ỡ
nh trên có nghiệm dạng:
)(De4
a

n4
2
e3
F
2
0
3/1
0
F0
2
=

=
0
2
n
a
0
-bánkínhBohr
r
qe
)r(
r
=
r


Slide 39

Slide 40
ắCác điện tử dẫn cách nhau từ 1ữ3
0
A
không va đập vonhau nhiệt độ phòng
10
4 0
A
1K 10cm
nguyên lý Pauli
tơng tác Coulomb
V.10. Va đập điện tử -điện tử
, nhng
chúng chuyển động trong kim loại trên quãng di
m . Ví dụ ở
quãng đờng trung bìnhcủađiệntửl , còn
ở thì lớn hơn . Nguyên nhân của nó l:
1. Nguyên nhân thứ nhất l , đây l
nguyên nhân chính.
2. Hiệu ứng mnchắn của giữa
2 điện tử.


Slide 41
-Xét va đập điện tử : 1+ 2

3 + 4
1 ở ngoicầu 2 trong cầu Fermi

1

>0 v

2
<0.
. Điện tử trạng thái kích
thích v , lấy mức Fermi
bằng 0 (

=0), vậy
Va đập
, vì phải tuân theo
định luật bảo ton năng lợng
cho nên
-Do nguyên lý Pauli nên sau va đập trạng thái
Fermi (vì trong cầu đều bị chiếm) do đó
.
chỉ có thể xảy ra khi
|

2
|<

1

1
+

2
=

3
+

4
> 0
điện tử 2 chỉ nằm trong lớp
vỏ có bề dầy

1
.
3 v 4 ở
ngoi cầu

3
v

4
đều lớn hơn 0
4
k
r
3
k
r
2
k
r
1
k
r

Slide 42
-Đối với những điện tử nằm trong lớp vỏ đó cũng chỉ có một
phần nhỏ đáp ứng đợc định luật bảo ton năng lợng bảo
ton động lợng lý Pauli
giảm lợng va đập cho phép đi số
lần l

1
/

F
3,4 trên hai đầu
của đờng kính đáp ứng định
luật bảo ton
3,4 ở
ngoi cầu Fermi mới có thể
xảy ra
(

1
/

F
)
2
v
đồng thời đáp ứng nguyên .
Nh vậy yếu tố ny đã lm

.
-Trên mặt cầu nhỏ tất cả các
cặp trạng thái
,
Chỉ có các va đập m
. Kết quả l hệ số lm
giảm va đập bằng .


Slide 43
Nếu
1
ứng với 1K
F
ứng với 5.10
4
K thì (
1
/
F
)
2

4.10
-10
nguyên lý Pauli
,
. Giá trị ny đặc trng cho độ giảm va đập do
.
0

2
F
B
elel
Tk












. Sự
tơng tác của 1 điện tử với bất cứ điện tử no khác
trong hệ đều có độ di mn chắn 1/.
-Khi ở . Nếu
1
cỡ năng lợng
nhiệt, nghĩa l cỡ k
B
T thì việc giảm tần số va đập
điện tử-điện tử so với lý thuyết cổ điển
v thiết diện va đập hiệu dụng l:

0

l thiết diện mn chắn tơng tác Coulomb
nhiệt độ thấp k
B
T<<
F
giảm đi (k
B
T/

F
)
2


Slide 44
-Tính toán: thiết diện va đập hiệu dụng 10
-
15
cm
2
đối với kim loại
Pauli giảm đi (k
B
T/
F
)
2
k
B
T/

F
~10
-2
~10
-4

0
~ 10
-19
cm
2
(có tính đến mn chắn) cỡ
. Thiết diện va đập hiệu dụng có khi tính đến
nguyên lý m ở nhiệt độ phòng:
vì
0
~ 10
-15
cm
2
l
n
cm
el el


1
10
4

~










kT
B
F
2
0
-Từ đây thấy rằng lại
chuyển động trong kim loại những quãng di m
-K
tqu
nghiờn cu
cho thấy ở nhiệt độ
điện trởtỷlệvới ,điều ny
-Giá trị ny của giá trị quãng đờng tự do trung bình đối
với tơng tác ở nhiệt độ phòng l . Điều đó cho
thấy .
-Quãng đờng tự do trung bình của điện tử ở
nhiệt độ phòng trong kim loại :
nguyên lý Pauli giải thích đợc tại sao điện tử
không va đập vo

nhau.
Heli
lỏng T
2
phù hợp với
biểu thức tính thiết diện va đập hiệu dụng
l
el-el
lớn hơn
điện tử-phonon 10 lần
địên tử va đập chủ yếu với phonon
cỡ 10
-4
cm


Slide 45
Tán xạ nhảy ngợc U
điện trở trong kim loại ở nhiệt độ
thấp
nhiều hơn trong quá trình
N điện tử-phonon
V.11. Tán xạ nhảy ngợc (va đập điện tử-phonon)
q
0
(qt ) điện tử - phonon đợc coi l
nguyên nhân chính của
.
Có Véctơ mạng đảo trong phơng trình véctơ sóng
-> Động lợng điện tử thay đổi

tán xạ thông thờng ở nhiệt độ thấp.
'kGqk
r
r
r
r
=++
góc tán xạ có thể đạt tới

Khi mặt Fermi không cắt biên vùng Brillouin, có một số véctơ
sóng cực tiểu của phonon đối với quá trình tán xạ nhảy
ngợc


Slide 46
'k
r
k
r
k
r
'k
r
q
r
q
r
0
q
r

G
r
'kGqk
r
r
r
r
=++
'kqk
r
r
r
=+
A A
Mặt cắt cầu Fermi
vuông góc với [100] qua
2 vùng Brillouin trong
Kali
của cầu cho thấy va đập của
điện tử - phonon bình thờng: nh
của phonon, Không gây nhiệt trở
va đập phonon kết thúc tại điểm A bên ngoi vùng
Brillouin thứ nhất. Điểm ny chính xác tơng đơng với điểm A
bên trong vùng Brillouin đầu tiên, trong đó AAl véctơ mạng
nghịch .
Quá trình nhảy ngợc nh của phonon.
cực tiểu của phonon
Phần nửa dới
Quá trình
N

Nửa trên:
quá trình U
q
0


Slide 47
Véctơ sóng q
0
cực tiểu của phonon
số phonon có khả năng tán xạ nhảy ngợc
tuân theo hmexp(-
V
/T),
q
0
=0,267k
F
Kali cho
V
=23K nhiệt độ Debye
= 91K. 2K
quá trình nhảy ngợc có thể bỏ qua chỉ
do bởi tán xạ góc nhỏ bình thờng
Tán xạ bình thờng :
L
~T
5
/
6

tạp chất,

I
đối với quá trình tán xạ nhảy
ngợc,
Tại nhiệt độ đủ thấp
trong đó
V
l nhiệt độ đặc trng có thể
tính đợc từ hình dạng mặt Fermi bên trong vùng Brillouin.
Trong trờng hợp mặt Fermi với 1 quỹ đạo điện tử bên trong vùng
Brillouin mạng LPTK , ngời ta tính đợc .
Kết quả thực nghiệm với so với
ở nhiệt độ rất thấp (dới đối với Kali) số hạng của
đợc, v điện trở mạng
, đó l tán xạ .
- tại nhiệt độ thấp.
-Các hiệu ứng áp đảo của tán xạ tán xạ điện tử-điện tử v
tán xạ nhảy ngợc: = +
L


Slide 48
V.12. Chuyển động của điện tử trong từ trờng
Phơng trình chuyển động có dạng:
Fk
1
dt
d
r

r
h =







+
k
dt
d
r
h
liên quan đến hiệu ứng va đập
l thời gian gia2 vađập
/k
r
h
Xét chuyển động , mỗi điện tử
bị lực Lorentz tác dụng:
(
)
BvEeF
trong từ trờng đều B
r
r
r
r

ì+=
kvm
r
h
r
=
Vì
Biểu diễn gia tốc của hạt tự do


Slide 49
(
)
BvEev
1
dt
d
m
r
r
r
r
ì+=

+
Đại lợng vận tốc l giá trị trung bình lấy trên mặt Fermi.
v
r

V.12.1.Tần số Cyclotron
Xét phơng trình chuyển động đối với trờng hợp từ trờng B dọc
theo trục z, để đơn giản ta coi
Phơng trình đợc viết dới dạng thnh phần:
= v E=0.
xy
yx
veBv
dt
d
m
veBv
dt
d
m
=
=
xy
yx
v
m
eB
v
dt
d

v
m
eB
v
dt
d
=
=
tsinvv
tcosvv
C0y
C0x
=

=



Nghiệm của chúng có dạng
m
eB
C


C
gọi l tần số CyclotronTần số
đối với điện tử tự do.


Slide 50

-Đối với điện tử tự do ở t trờng 1Tesla

C
=1,76.10
11
Rad/sec
2.10
-4
s ở
300K v 2.10
-9
s ở 4K

C

=3,5.10
-3
3,5.10
2
không thể hình thnh đợc quỹ đạo
Cyclotron ở nhiệt độ phòng,
có:
.
-Nếu thời gian hồi phục trong Cu tinh khiết bằng
thì v
chứng tỏ rằng
còn ở nhiệt độ Heli trớc khi
va đập điện tử thực hiện nhiều vòng theo quỹ đạo.

C
K
C
K
300
3
4
2
3510
3510
=
=

,.
,.
-điều kiện điện tử chuyển động theo vòng xoắn.

C

> (2

) hay f
C

>1


Slide 51
Trờng hợp từ trờng 1 chiều
B hớng dọc theo trục z, lúc

đó phơng trình chuyển
động đối với các điện tử có
dạng:
()
()
zz
xyy
yxx
eEv
1
dt
d
m
vBEev
1
dt
d
m
vBEev
1
dt
d
m
=

+
=







+
+=







+
Trong điều kiện tĩnh đạo
hmtheothờigianbằng0
zz
xCyy
yCxx
E
m
e
v
vE

m
e
v
vE
m
e
v

=
+

=


=
Giải phơng trình
theo

v
x
v

v
Y
)E(
)(1
m/e
v
)E(
)(1

m/e
v
Cy
2
C
y
Cx
2
C
x
x
y
E
E
+
+

=

+

=
V.12.2.Từ điện trở tĩnh:


Slide 52
-Mật độ dòng đối với điện tử
v)e(nj
r
r

=
z0zzzz
Cy
2
C
0
yyyxyxy
Cx
2
C
0
yxyxxxx
EEj
)E(
)(1
EEj
)E(
)(1
EEj
==
+
+

=+=

+

=+=
x
y

E
E
Trong đó

0
=ne
2

/m
mật độ dòng theo trục z l không đáng kể
.
Thnh phần nếu từ
trờng dọc theo trục z.
-Mật độ dòng có thể viết dới dạng ma trận:

+

=










z
y
x
C
2
C
0
z
y
x

E
E
E
1
)(1
j
j
j
2
C
C
)(+1 0 0
0 1
0 -
m
eB
C
=
Trong đó


Slide 53
-Các phần tử đờng chéo của tenxơ dẫn l

xx
v

yy
đặc
trng cho hiệu ứng từ điện trở

không phải l đờng chéo nh

xy
v

y x
, khi
tăng từ trờng B đầu tiên chúng tăng sau đó lại giảm.
, khi giảm giá trị từ trờng B
(hay

C
) chúng giảm đơn điệu.
-Các phần tử
Vậy khi đo từ điện trở bằng thực nghiệm phải để ý đến hình
học phép đo.
V.12.3. Hiệu ứng Hall
xCy
E
m
eB
E


==
x
E
Bj
E
R

x
y
H
=
điện trờng E
x
từ trờng B tác dụng vuông góc
j
Y
=0
Trờng E
Y
đợc gọi l trờng Hall
-Xét mẫu dạng tấm, có tác dụng dọc theo mẫu
v
Thnh phần .
điện trờng ngang
Hệ số (hay hằng số) Hall:


Slide 54


Slide 55
)E(
)(1
j
Cx
2
C

0
x y
E
+

=
yxxy
E
eB
m
EE
m
eB
E


== raSuy
B)E(
)(1
E
Bj
E
R
Cx
2
C
0
y
x
y

H
y
E
+

==

1
R
2
0
H
ne
B
m
ne
m
eB
B
C
===




với

C
=eB/m

0
=ne
2

/m
e l điện tích dơng
;
-R
H
âm nếu coi
-Nồngđộhạt dẫncng nhỏ thì hằng số Hall cng cao.
Vì vậy đo R
H
có thể xác định đợc nồng độ hạt dẫn.

ne
1
R
H
=


Slide 56
-Nếu thời gian hồi phục

thuộc vo vận tốc thêm một hệ số
gần 1
R
H
dơng

t ồ n t ạ i l ỗ t r ố n g .
đối với tất cả các điện tử phụ
thì biểu thức tính R
H
có
trong trờng hợp có 2 loại hạt dẫn lỗ v hạt.
-Có thể xảy ra trờng hợp thu đợc các ởmột số
kim loại chuyển tiếp, chính giá trị dơng của R
H
l bằng
chứng của sự
-Vật dẫn R
H
(10
-24
đv CGS) Vật dẫn R
H
(10
-24
đv CGS)
Li -1,89 Ag -1,0
Cu -0,6 In +1,714
Au -0,8 As +50