Ôn thi ĐHTX chất rắn đai cương

CHẤT RẮN DẠI CƯƠNG
Câu 1: Đ/n trục đối xứng, góc quay cơ sở, bậc đối xứng, liệt kê tất cả trục đ/x trong tinh thể lập phương?
a/Định nghĩa:
* Trục đ/x: khi quay 1 t
2
quanh 1 trục Δ với 1 góc quay α nào đó, nếu t
2
trùng lại
với chính nó thì trục Δ đó gọi là trục đ/x.
Vd: T
2
lập phương:
* Góc quay cơ sở: là góc quay bé nhất để t
2
trùng lại với chính nó khi chúng ta
Quay tinh thể xung quanh trục đ/x.
Vd: T
2
lập phương: α = 90
0
, α = 180
0
, α = 360
0
; α = 90
0
: là góc quay
cơ sở của trục đ/x Δ.
* Bậc đ/x: là số lần thực hiện phép quay để t
2
trùng lại với chính nó khi ta

quay t
2
quanh trục đ/x đúng 1 vòng (360
0
).
Vd: TTLP có 4 lần TT trùng lại với chính nó => Trục đ/x Δ là trục đ/x bậc 4. Kí hiệu: L
4
.
Tổng quát: n bậc đ/x: n = 360
0
/ α
0
.
b/Liệt kê tất cả trục đ/x trong TTLP:
Trong TTLP có 3L
4
; 4L
3
, 6L
2
trục đ/x:
Câu 2: CMR trong thế giới TT chỉ tồn tại các trục đ/x bậc 1, 2, 3, 4&6.
a/Nguyên nhân: do tính tuần hoàn trong cách sắp xếp các nguyên tử trong TT.
AB = Ka ; Trong đó: A, B: các nút mạng; K: hệ số tỉ lệ - số nguyên; a: thông số mạng theo phương AB.
b/Chứng minh: Xét 1 mạng TT, gọi A, B là 2 nút mạng tương đương nhau của mạng TT, AB = a; a: thông số
mạng theo phương AB, giả sử trong mạng tồn tại 1 trục đ/x bậc L
n
(α).
Qua A có trục đối xứng L
n

(α) vuông góc mp hình vẽ.
Quay TT quanh trục L
n
đi qua A; B → B’: B’ là nút mạng tương
đương B.
Tương tự: Quay TT quanh trục L
n
đi qua B; A → A’: A’ là nút mạng
tương đương A.
* Chứng minh: A’B’ // AB → A’B’ có cùng thông số mạng với AB.
Theo t/c tuần hoàn mạng: A’B’ = Ka (1); K: số nguyên.
Từ hình vẽ: A’B’ = B’I + IJ + JA’. Xét 2 tam giác: (B’IA) & (A’JB),
Chứng minh: Δ(B’IA) = Δ(A’JB) => B’I = JA’; A’B’ = 2B’I + a
Xét 2 tam giác vuông: B’IA có góc B’AI = α – π/2
Sin(α – π/2) = B’I/AB’ => B’I = a sin(α – π/2) = -a sin(π/2 – α)
Trang 1
=> A’B’ = a – 2a sin(π/2 – α) = a(1 – 2cosα); A’B’ = a(1 – 2cosα). (2)
Từ 1 & 2: Ka = a(1 – 2cosα) => 2cosα = 1- K = N (N: số nguyên)
=> cos=N/2
Đk hàm cos: -1 ≤ cosα ≤ 1 <=> -1 ≤ N/2 ≤ 1 => -2 ≤ N ≤ 2
Vậy: N = -2, -1, 0, 1, 2
Câu 3: Thế nào là mặt đ/x?Cho vd?Trong TTLP có bao nhiêu mặt đ/x?
a/Đ/n: Mặt đ/x là mặt phẳng chia 1 TT ra làm 2 phần bằng nhau, 2 phần đó phải đối xứng với nhau như vật và ảnh
qua gương phẳng.
b/Ví dụ:
P
1
; P
2
: mặt đ/x.

P
3
: chia HCN ra làm 2 phần bằng nhau Δ(ADC) = Δ(BAC); B & D không
phải là vật & ảnh của nhau qua gương phẳng P
3
; B’ là ảnh của B qua P
3
;
D’ là ảnh của D qua P
3
; → P
3
không phải là mặt đ/x.
c/Trong TTLP có 9 mặt đ/x:
Câu 4: C/m tỉ số c/a của cấu trúc lục giác xếp chặt lí tưởng =
8
3
B: trọng tâm của lăng trụ tam giác đều.
Đặc điểm của cấu trúc:
+ Các ng.tử sẽ xếp sát nhau theo các phương
của trục Ox, Oy, Ot & OB.
OB = 2r = a → OB = a → a = 2r
(Từ B hạ vuông góc mặt đáy tại H, từ O
nối với H cắt MN tại K) → H: trọng tâm
tam giác đều OMN.
Trang 2
N cosα α n
-2 -1 180
0
2

-1 -1/2 120
0
3
0 0 90
0
4
1 1/2 60
0
6
2 1
0
0
;
360
0
1
OK: đường cao của tam giác OMN.
* Xét tam giác vuông BHO:
Áp dụng đ. l Pythagore:
BO
2
= OH
2
+ HB
2
↔ a
2
= (2/3OK)
2
+ C

2
/4 ↔
2
2
2
2 3
.
3 2 4
a C
a
 
= +
 ÷
 ÷
 
= 3a
2
/9 + C
2
/4 → c/a =
8
3
Câu 5: C/m hệ số dày đặc M của cấu trúc lục giác xếp chặt & lập phương tâm mặt = 0. 74, của cấu trúc lập
phương tâm khối = 0. 68.
a/Lục giác xếp chặt:
+ Đặc điểm cấu trúc:
Các ng.tử sẽ xếp sát nhau (xếp chặt nhau) theo các phương của trục Ox, Oy, Ot & OB. ( OB = 2r = a → OB = a
→ a = 2r;
8
3

c
a
⇒ =
)
Theo đ/n:
'
V
M
V
=
; trong đó: V’: phần thể tích mà ng.tử chiếm chỗ trong ô cơ sở; V: thể tích ô cơ sở.
' 3
4
3
V n r
π
=
; n = 12. 1/6 + 2. 1/2 + 3 = 6
V = dt tam giác đều x6 xC =
( )
2
1 3 3 8
. .6. 3 2 2
2 2 2 3
a
a c r r=
→ M = V’/V =0, 74
b/Lập phương tâm mặt:
+ Đặc điểm cấu trúc: Các ng.tử xếp chặt nhau theo bề mặt (111) (AHE) và theo phương [110] (OG)
OG = 4r = a

2
2
4
r a⇒ =
.
Theo đ/n: M = V’/V
V’: Thể tích mà ng.tử chiếm chỗ trong ô cơ sở; V: TT ô cơ sở
3
' 3 3
4 1 1 4 '
. ; 8. 6. 4; 0.68
3 8 2
2
r V
V n r n V a M
V
π
 
= = + = = = ⇒ = =
 ÷
 
c/Lập phương tâm khối:
Trang 3
* Đặc điểm cấu trúc: Các ng.tử xếp chặt nhau theo phương của đường chéo khối (AG).

AG = 4r = a
3
4
3
r

a⇒ =
. Theo đ/n:
'
V
M
V
=
(V’; V: …)
3
' 3 ' 3 3 3 3
4 1 4 8 4
; 8 1 2 2. & 0.68
3 8 3 3
3
V n r n V r r V a r M
π π π
 
= = + = ⇒ = = = = ⇒ =
 ÷
 
.
Câu 6: Xác định các phương có kí hiệu: [100], [110], [111] và các mặt có kí hiệu (100), (110), (111) trong
TTLP.
1/Kí hiệu phương:
a. Nguyên tắc xác định kí hiệu phương TT.
- Từ gốc tọa độ vẽ đt // phương cần xác định kí hiệu(nếu phương cần x. đ kí hiệu ko đi qua gốc tọa độ.
- Tìm tọa độ của chất điểm nằm gần gốc nhất ở trên phương này.
Gọi (u, v, w) là tọa độ của chất điểm này → [uvw].
- Nếu tọa độ chất điểm là (-) thì trên đầu kí hiệu tương ứng có dấu (-).
Vd: (-u, -v, w) → [

, ,u v w
].
b/ Xác định các phương có kí hiệu: [100], [110], [111].
H(1, 0, 0): Phương Ox là phương có kí hiệu : [100]
G(1, 1, 0): Phương OG là phương có kí hiệu : [110]
C(1, 1, 1): Phương OC là phương có kí hiệu : [111]
2/Kí hiệu mặt:
a/Nguyên tắc xác định kí hiệu mặt:
+ X. đ tọa độ giao điểm giữa mặt cần xác định KH với các trục tọa độ x y z(nếu mặt cần x. đ KH qua gốc tọa độ
thì ta chọn mặt khác song song với mặt đó).
+ Gọi p, q, r là tọa độ giao điểm giữa mặt với 3 trục tọa độ x y z
1 1 1
, ,
p q r
→ ⇒
quy đồng mẫu số chung; tử số sẽ
là các số h, k, l cần xác định và KH mặt TT (hkl).
b/Xác định các mặt có kí hiệu:: (100), (110), (111):
+ (100) ↔ (DCGH): p = 1, q = ∞, r = ∞
⇒
1/1; 1/∞; 1/∞ ↔ 1; 0; 0 ↔ h, k, l.
Vậy: (100) là mặt (DCGH).
+ (110) ↔ (DBEH): p = 1, q = 1, r = ∞
⇒
1/1; 1/1; 1/∞ ↔ 1; 1; 0 ↔ h, k, l.
Vậy: (110) là mặt (DBEH).
+ (111) ↔ (AHE): p = 1, q = 1, r = 1
⇒
1/1; 1/1; 1/1 ↔ 1; 1; 1 ↔ h, k, l.
Vậy: (111) là mặt (AHE).

Câu 7: Trình bày các kết quả phép gần đúng liên kết yếu:
a/Đối tượng nghiên cứu của phép gần đúng liên kết yếu:
+ Các điện tử lk yếu với hạt nhân ng.tử.
+ Các điện tử nằm ở tầng ngoài cùng của ng.tử.
Trang 4
Tỏc ng 1 mc nng lng vo (e) . t (e) ri ng.t tr thnh . t t do.
Vd: ng.t KL.
b/Gi thit: th tun hon mng
( )
U r
r
l rt nh so vi ng nng ca in t, nh hng ca nú lờn chuyn ng
ca .t cú th xem nh 1 s nhiu lon. S dng phng phỏp gn ỳng nhiu lon gii pt Schrodinger mụ t
c. ca .t trong TT.
à
H E
y y
=
;
à
H
: toỏn t Hamilton;
à
( )
2
2
2
H U r
m
=- +ẹ

r
h
;
( )
r
y
r
: hm súng ca in t; E: nng lng ca .t
trong ng.t.
t:
à
ả
à
( )
ả
2
2
0 0
;
2
H H U r H
m
= + = - ẹ
h
: toỏn t Hamilton ko nhiu lon.
à
( ) ( )
U r U r
r r
: toỏn t Hamilton nhiu lon.

Vi phộp gn ỳng bc 0, b qua
à
( )
U r
r
bờn cnh
ả
0
H
;
à
( )
ả
( )
0
U r H
r
=
.
=> Pt Schrodinger ca .t t do:
ả
( ) ( )
0 0 0 0
k k
H r E r
y y
=
r r
.
Trong ú:

( )
0
k
r

r
: hm súng ca .t t do.
E
0
: nng lng ca .t t do
Gii Pt
( )
1
2
1
k i k r
o
r e
V


=
ữ

rr
r
: súng chy; V: th tớch TT.
2 2
0
2

k
E
m
=
h

Nng lng ca .t bin thiờn liờn tc theo K.
* Xột trng hp .t c. trong th tun hon nhiu lon.
T kt qu gii pt Schrodinger: nng lng ca .t trong trng th tun hon nhiu lon:
( )
( )
( )
( )
2
' '
0 0 0 0
4
2
G
E K E K E K E K U
E

+ +

=
;
'
; :K K G G= +
uur
uur ur ur

vect mng o. ; U
G
: h s Fourier.
* Xột KK
( )
( )
( )
( )
' '
;
o o o o
E K E K E K or E K
ộ ự
ị ạ
ờ ỳ
ở ỷ
? =
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1
2
2
2 2 2 '2
' ' '

0 0 0 0 0 0
2
'
0 0
4
1 1
1 ;
2 2 2 2
G
U
K K
E E K E K E K E K E E K E E K
m m
E K E K
+



= + + = = = =







h h
+ Nng lng ca .t t do NL bin thiờn liờn tc theo K.
+ Hm súng ca in t cú dng súng chy:
ik r

K
e
y
r r
:
* Xột K=K:
( )
( )
( ) ( ) ( )
'
0 0 0 0 0
; ; ;
G G G
E K E K E E K U E E K U E E K U
+
= = = + =

Ti K & K: nng lng ch giỏn on trong ph nng lng ca in t ó xut hin vựng NL cm; rng
ca vựng nng lng cm:
2
g G
E E E U
+
= =
Trang 5
* Áp dụng vào mạng lập phương đơn giản 1 chiều: x thông số mạng là a.
Từ đk tồn tại vùng cấm K=K’; suy ra đk tồn tại vùng cấm ứng với mạng lập phương đơn giản 1 chiều
n
K
a

π
=
; n:
số nguyên.
Tại các giá trị K này năng lượng bị cấm.
* KL:
- Khác với trường hợp điện tử c. đ tự do, khi đ.tử c. đ trong tuần thế tuần hoàn nhiễu loạn phổ năng lượng của
đ.tử sẽ bị phân thành các vùng năng lượng:
- Vùng NL được phép: vùng trong đó NL biến thiên liên tục theo K.
- Vùng NL cấm: vùng trong đó không tồn tại giá trị của NL. Tại các giá trị K =
2
n
π
±
, sóng đ.tử sẽ bị phản xạ và
do sự chồng chập giữa sóng tới và sóng phản xạ nên tại đây tồn tại sóng dừng:
( )
cos
( ) sin
x x
a
x x
a
p
y
p
y
ì
ï
ï

ï
ï
ï
í
æ ö
ï
÷
ï
ç
÷
ï
ç
÷
ç
ï
è ø
ï
î
:
:
các giá trị
n
K
a
p
= ±
được gọi là biên của vùng Brilliorein.
Câu 8: Từ kết quả của phép gần đúng lk yếu, chứng tỏ rằng sóng đ.tử bị phản xạ tại vùng Brilliorien.
Biên vùng Brilliorien: K = K’→ E
0

(K) = E
0
(K’)
( ) ( )
2 2 2 '2 2 2
2
2 2 2
2 . 2 . 0
2 2 2 2
K K
K G K G K G G K G
m m m m
= = + = + + ⇒ + =
uur ur uur ur uurur
h h h h
Đk tồn tại vùng cấm:
* *
2 ; :G r r
π
=
uur uur
ur
vectơ mạng đảo.
( ) ( )
2 *2 * *2 * *2 * * * *
4 2 .2 0; 0; cos , 0; cos , 0r K r r r K r r K r K r K r K
π π π π π
+ = + = + = + =
uur uur uur uur
uur uur uur uur

Trang 6