Đề thi học sinh giỏi lớp 10 tỉnh Vĩnh Phúc môn Toán ppt

- 1 -
THI HSG KHI 10 TNH VNH PHC KHễNG CHUYấN
Nm 1998-1999
Cõu 1. Gpt
2
2 4 6 11.x x x x + = +
Cõu 2. Cmr
1 1 2, *
n n
n n
n n
n
n n
+ + Ơ
Cõu 3. Gpt
7 6 5 4 3 2
2 3 3 2 1 0x x x x x x x + + + =
Cõu 4. Tỡm a h sau cú nghim duy nht:
2 2
2 2
2 2
4
x xy y a
x xy y a

+ +

Cõu 5. Giả sử O là điểm nằm trong tam giác ABC. Các đờng thẳng OA, OB, OC cắt các cạnh đối diện
tại A',B',C'. Tìm tập hợp điểm O sao cho
2 2 2 2 2 2
' ' ' ' ' 'OAC OBA OCB OBC OCA OAB
S S S S S S

+ + = + +
Nm 1999-2000
Cõu 1. Gii hpt:
2 2
2 2
( 8)( 2)
(8 4 ) 16 16 5 0.
y x x
y x y x x

= + +


+ =


Cõu 2. Cho h/s
2
2
12 12
(
36
x ax
y a

x

=
+
là tham số). Tìm tất cả các giá trị của a để hàm số có GTLN,
GTNN; đồng thời các giá trị đó là các số nguyên?
Cõu 3. Cho
ABC
cú
2 2 2
2 2 2
a b c
a b c
m m m
h h h

+ =


+ =


a) Tớnh cosC. b) Cmr:
2 2
cos cos 1A B+ =
Cõu 4. Cho tam giỏc ABC cố định. Một điểm M thay đổi nhng không thuộc các đờng thẳng AB, BC,
CA. Gọi x, y, z tơng ứng là khoảng cách từ M đến AB, BC, CA. Tìm tập hợp điểm M sao cho

1
1999 2000 1999 2000 1999 2000 1333

x y z
y z z x x y
+ + =
+ + +
Cõu 5. Kí hiệu $S_n$ là tập $n$ stn đầu tiên, nghĩa là $S_n=\{1,\ 2,\ ,\ n\}.$\\
a. Tìm các giá trị của $n$ sao cho có thể chia $S_n$ thành 2 tập hợp khác rỗng có tổng các phần tử bằng
nhau ( và bằng $\dfrac{n(n+1)}{4}\cdot)$\\
b. Tìm các giá trị của $n$ sao cho có thể chia $S_n$ thành 3 tập hợp khác rỗng có tổng các phần tử
bằng nhau ( và bằng $\dfrac{n(n+1)}{6}\cdot) $
Nm 2000-2001
Cõu 1. Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca tham s m sao cho pt:
2 2
1 2
(| | ) 0.
m m
x m m
x m x m m x

+ =
ữ
+

cú nghim duy nht khụng õm.
Cõu 2. Lp phng trỡnh trựng phng cú tng bỡnh phng cỏc nghim bng 50 v tớch cỏc
nghim bng 144.
Cõu 3. Cho
2 2
, & 1.x y x xy y + + =Ă
Tỡm GTLN ca
3 3

.F x y y x= +
Cõu 4. Cho tứ giác ABCD, gọi M là giao điểm hai đng chéo AC và BD. Đặt AB=c, BC=p, CD=q,
DA=b, DB=a; biết rằng DB=3DM, AM=MC.
a. Hãy tính p, q theo a, b, c.
b. Chứng minh rằng nếu:
ã ã
0
180 2ABD ADB+ =
thỡ
ã ã
2DBC BDC=

- 2 -
Cõu 5. Trên mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho p điểm
( ; ); 0,1,2, , 1;
k k
A k r k p=
vi p là số nguyên tố
lớn hơn 3 và
k
r
là số d trong phép chia
2
k
cho p. Chứng minh rằng trong các điểm
k
A
không có ba
điểm nào thẳng hàng; không có 4 điểm nào là 4 đỉnh của một hình bình hành.
Nm 2001-2002

Cõu 1. Gpt:
2 1 ( 1) ( 1) 0.x x x x x x + =
Cõu 2. Tỡm tt c cỏc s thc a, b h sau cú nghim:
2
2
1 0
1 0
ax bx
bx ax

+ + =


+ + =


Cõu 3. Cho a, b, c l ba cnh ca mt tam giỏc. Cmr:
.a b c b c a c a b a b c+ + + + + + +
Cõu 4. Cho tam giỏc ABC cú
0 0 0
50 , 60 , 70 .A B C= = =
M l mt im thuc mt phng cha
tam giỏc. Gi
1 1 1
, ,A B C
tng ng l hỡnh chiu vuụng gúc ca M lờn cỏc ng thng BC, CA,
AB.
a) Khi M trựng vi tõm I ca ng trũn ni tip tam giỏc ABC thỡ
1 1 1
, ,A B C

cú l ba nh ca
mt tam giỏc u khụng?
b) Tỡm tt c cỏc im M
1 1 1
, ,A B C
l ba nh ca mt tam giỏc u.
Cõu 5. Trong các ô vuông của một bảng hình vuông kích thc 2002X2002, ngi ta ghi các số thực
sao cho: Tổng các số trong một hình chữ thập tùy ý ( hình gồm một dòng và một cột ) không nhỏ hơn
2002. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất có thể có của tổng các số trong bảng.
Nm 2002-2003
Cõu 1.
a) Gpt
4 3 3 1 1x x + =
.
b) Tỡm iu kin ca tham s m, n hai h phng trỡnh sau tng ng

2 2
2 2
(1) (2)
x y m x xy n
y x m y xy n

+ = =


+ = =


Cõu 2. Tỡm tt c cỏc cp s nguyờn (x;y) tha món

2 3 2 2
(5 3 ) 3& 2 5 11( 143).x y x y xy+ + = M
Cõu 3. Cho x, y l cỏc s thc dng. Cmr hai mnh sau tng ng:

( ) 1 ( ) , 1.
1
x
i a b ii ax b x
x
+ > + > >

Cõu 4. Cho tam giỏc ABC nhn (AB>AC) vi cỏc ng cao AD, BE, CF. ng thng qua D
song song vi EF ct AC, AB ln lt ti Q, R. Gi P l giao im ca EF vi BC.
Chng minh rng:
a) Cỏc im E, F, D v trung im ca on thng BC nm trờn mt ng trũn.
b) ng trũn ngoi tip tam giỏc PQR i qua trung im ca on thng BC.
Nm 2003-2004
Cõu 1. Gii hpt
3
3
3
3 4
2 6 6
3 9 8
x y x
y z y
z x z

+ = +

+ = +


+ = +

Cõu 2. a. Cmr:
2 2
1 ( 1),( , ).p q p q p q+ + > + Ă
- 3 -
b. Tìm số thực b lớn nhất sao cho
2 2
1 ( 1),( , ).p q bp q p q+ + ≥ + ∀ ∈¡
Câu 3. Giải pt sau trên
¢
:
3 3 2
2 1.x y y= + +
Câu 4. Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (C) (AC không là đường kính của đường tròn).
Tiếp tuyến với (C) tại A, C cắt nhau tại P. Giá sử
2
.PA PB PD=
và P nằm trên đường thẳng BD.
Cmr:
a)
APD BPC∆ ∆:
b) BD đi qua trung điểm của đoạn thẳng AC.
Năm 2004-2005
Câu 1. Giả sử pt bậc hai
2
2 4 0x ax+ + =

có nghiệm là
1 2
,x x
.
a) Xác định a để
1 2
,x x
>0 b) Tính
4 4
1 2 1 2
;M x x N x x= + = +
theo a.
c) Tìm a để
2 2
1 2
2 1
4.
x x
x x
   
+ ≥
 ÷  ÷
   
Câu 2. Cho hệ hai ẩn x, y:
2
2
2 3 1=0
2 0
x ax a
y by x


− − −


− + =


a) Giải hpt khi a=-3, b=2. b) Tìm các số nguyên a,b để hệ có đúng ba nghiệm.
Câu 3.
a) Cho các h/s
2
( ) ; ( ) ,( 0
p p
f x x g x x p
x x
= + = + >
cho trước). Với x > 0, tìm GTNN của
( ), ( ).f x g x
b) Cho
3
4
, , 0 & 1. : .
3
x y z x y z Cmr x xy xyz> + + = + + ≤
Câu 4. Cho tam giác ABC nhọn. Gọi (
1
O
), (
2
O

) lần lượt là đường tròn bàng tiếp trong các góc
C,B của tam giác ABC. (
1
O
) tiếp xúc với AB, AC, BC lần lượt tại
1
, ,C G E
; (
2
O
) tiếp xúc với
AC, BC, AB lần lượt tại
1
, ,B F H
. Gọi
; .P EG FH I PA BC Cmr= × = ×
a) Ba điểm
1 2
, ,O A O
thẳng hàng b)
1
2
IE O A
IF O A
= ×
Năm 2005-2006 (28/03/2006)
Câu 1. Cho phương trình bậc hai
2 2
4 5 2 3 0,x mx m m m− + + − =
là tham số. Gọi

1 2
,x x
là hai
nghiệm của phương trình. Hãy tính GTLN và GTNN của biểu thức
2 2
1 1 2 2
3 3 .A x x x x= − + −
Câu 2.
a) Giải hpt:
2 2
2 2
( )( ) 3
( )( ) 15.
x y x y
x y x y

− − =


+ + =


b) Gpt:
1 2 1 2
1 2 1 2 .
1 2 1 2
x x
x x
x x
− +

− + + = +
+ −

Câu 3.
a) Với giá trị nào của m thì các nghiệm
1 2
,x x
của pt:
2 2
2 1 0x x m− + − =
và các nghiệm
3 4
,x x

của pt:
2
2( 1) ( 1) 0x m x m m− + + − =
thỏa mãn
3 1 2 4
.x x x x≤ ≤ ≤
b) Tìm m để bpt
2
2( 1) 3( 2) 0mx m x m− − + − ≥
nghiệm đúng với mọi
2.x ≥
Câu 4. Cho tam giác
ABC
thỏa mãn
4 4 4
.c a b= +

Cmr:
a)
ABC∆
nhọn b)
2
2sin tan .tanC A B=
Câu 5. Cmr nếu
0y x≥ ≥
thì ta luôn có BĐT:
2 2 2 2 2
16 13 9 0.y x y x x y x− − − + ≥
- 4 -
Năm 2006-2007
Câu 1. Cho pt:
2 2
( 4) 3 3 0,x m x m m m+ − + − + =
là tham số. Tìm m để pt có 2 nghiệm
1 2
,x x
đều
khác 1. Khi đó chứng minh rằng:
1
2
2
2
1 2
49
7
1 1 9
mx

mx
x x
− < + ≤ ×
− −
Câu 2. Gpt:
2 2
3 2
4.
3 2 2 2
x x
x x x x
+ =
− + − +
Câu 3. Giải hệ
3 2 1 1
3 2 1 1.
x y
y x

+ − + =


+ − + =


Câu 4. Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O). D là trung điểm AB. E là trọng tâm
tam giác ADC. Cmr
.OE CD⊥
Câu 5. Cho
, , 0 & 32.x y z xyz> =

Tìm GTNN của
2 2 2
4 2 4 .P x y z xy= + + +
Năm 2007-2008
Câu 1. Tìm tất cả các giá trị của p để hệ bất phương trình sau vô nghiệm:
2
2
( )( 2) 0
1
p x p x
x

− + − ≤


≤


Câu 2. Cho các số thực dương
, , & . . 1a b c a b c =
. Cmr:
1 1 1
1 1 1 1.a b c
b c a
   
− + − + − + ≤
 ÷ ÷ ÷
   
Câu 3. Cho h/s
:f

+
→¡ ¡
thỏa mãn
2
1
( ) ( ) ( )( )
2
f x a f x f x x+ = + − ∀ ∈¡
Câu 4. Cho tam giác ABC có
·
0
45BAC =
. E,F tương ứng là chân các đương cao kẻ từ B, C và H
là trực tâm tam giác ABC. M,K tương ứng là trung điểm của BC, AH
a. Chứng minh rằng từ giác MEKF là hình vuông.
b. Cmr các đường chéo của tứ giác MEKF giao nhau tại trung điểm của OH, Với O là tâm đường
tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
c. Tính độ dài đoạn EF nếu đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có bán kính bằng 1
- 5 -

Năm 2009-2010
Câu 1.(2,5 đ) Giải hpt:
2
2 2
( 2) 3
2 0
y xy x
y x y x

− =



+ + =


Câu 2.(2,5 đ) Giải bpt:
2 2
( 3 ) 2 3 2 0.x x x x− − − ≥
Câu 3. (1,5 đ) Cho a là một số thực. Xét hai tập hợp:

3 3
{( ; ) | , , } & {( ; )| , , }A x y x y x y a B x y x y x y a= ∈ + = = ∈ + <¡ ¡
.
Tìm tất cả các giá trị của a để A & B không có phần tử chung.
Câu 4. (2,5 đ) Cho tam giác ABC không đều với ba cạnh:
, ,AB c BC a CA b= = =
. Gọi O, G theo
thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp và trọng tâm tam giác ABC. S, R theo thứ tự là diện tích và
bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
a) Cmr:
2 2 2 2 2
9( ).a b c R OG+ + = −
b) Giả sử
2
4 .cot . : .a S A Cmr AG OG= ⊥
Câu 5. (1 đ)
- 6 -
Cho
1 1 1
, , 0 & 1. : .

1 1 1
a b c Cmr a b c ab bc ca
a b b c c a
> + + ≥ + + ≥ + +
+ + + + + +