Toán ôn tập thi lên lớp 10

1
Phần thứ nhất
Biến đổi biểu thức đại số
I. Các phép biến đổi về căn thức
1. Hằng đẳng thức đáng nhớ
( )
2
2 2
a b a 2ab b+ = + +
( )
2
2 2
a b a 2ab b = +
( ) ( )
2 2
a b a b a b+ =
( )
3
3 2 2 3
a b a 3a b 3ab b+ = + + +
( )
3
3 2 2 3
a b a 3a b 3ab b = +
( )
( )
3 3 2 2
a b a b a ab b+ = + +
( )
( )
3 3 2 2

a b a b a ab b = + +
( )
2
2 2 2
a b c a b c 2ab 2bc 2ca+ + = + + + + +
2. Một số phép biến đổi căn thức bậc hai
- Đều kiện để căn thức có nghĩa
A
có nghĩa khi A 0
- Các công thức biến đổi căn thức.
=
2
A A
= AB A. B (A 0;B 0)
= >
A A
(A 0;B 0)
B
B
=
2
A B A B (B 0)
=
2
A B A B (A 0;B 0)

= <
2
A B A B (A 0;B 0)

=
A 1
AB (AB 0;B 0)
B B
= >
A A B
(B 0)
B
B
=


m
2
2
C C( A B)
(A 0;A B )
A B
A B
C C( A B)
(A 0;B 0;A B )
A B
A B
=


m
3. Các dạng bài tập cơ bản
Dạng 1: Tính giá trị biểu thức
Phơng pháp: Bớc 1: Trục căn thức ở mẫu (nếu có)

Bớc 2: Qui đồng mẫu thức (nếu có)
Bớc 3: Đa một biểu thức ra ngoài dấu căn
Bớc 4: Rút gọn biểu thức
Bớc 5: Tính số trị (nếu còn tham số)
Dạng 2: Rút gọn biểu thức
Phơng pháp: Bớc 1: Tìm điều kiện xác định của biểu thức
Bớc 2: Trục căn thức ở mẫu nếu có (nếu có)
Bớc 3: Qui đồng mẫu thức (nếu có)
Bớc 4: Đa một biểu thức ra ngoài dấu căn
Bớc 5: Rút gọn biểu thức
Dạng 3: Chứng minh đẳng thức
Phơng pháp: Bớc 1: Tìm điều kiện xác định của biểu thức
Bớc 2: Biến đổi vế trái về vế phải hoặc vế phải về vế trái. Cũng có khi chúng ta phải
biến đổi cả hai vế cùng về biểu thức trung gian
Dạng 4: Tìm điều kiện để biểu thức nguyên:
Phơng pháp: Bớc 1: Đặt điều kiện
Bớc 2: Rút gọn về dạng
f(x) a
hay
a f(x)
. Nếu
f(x)
a
thì f(x) là bội của a.
1
2
Nếu
a
f(x)
thì f(x) là ớc của a

Bớc 3: Căn cứ vào điều kiện loại những giá trị ngoại lai
Bài tập tham khảo
Bài 1: Cho biểu thức :
a 2 5
P
a 3 a a 6
+
= +
+ +
1
2 a
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của a để P < 1
Bài 2: Cho biểu thức P =
a 1 2 a
1 :
a 1
a 1 a a a a 1

+
ữ ữ
ữ ữ
+
+


a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của P nếu
a 19 8 3=
Bài 3: Cho biểu thức: P =

2 x x 3x 3 2 x 2
: 1
x 9
x 3 x 3 x 3

+
+
ữ ữ
ữ ữ

+

a) Rút gọn P
b) Tìm x để P <
1
2
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Bài 4 : Cho biểu thức : Q =
x 2 x 2 x 1
.
x 1
x 2 x 1 x

+ +

ữ
ữ

+ +

a) Tìm x để
Q Q>
b) Tìm số nguyên x để Q có giá trị nguyên
Bài 5 : Cho biểu thức : A =
x x 1 x 1
x 1
x 1
+


+
a) Rút gọn biểu thức
b) Tính giá trị của biểu thức A khi x =
1
4
c) Tìm x để A < 0.
d) Tìm x để
A A=
chiến lợc giải bài toán
Trong quá trình giải bài tập rất cần khả năng suy nghĩ lập luận có tính chất chiến lợc để giải bài toán,
nh vậy cần tự mình đặt ra câu hỏi và cố gắng tự tìm câu trả lời trong khả năng có thể. Để rèn luyện đợc thói
quen này, ta nên làm theo những hớng dẫn suy luận sau:
1. Tìm hiểu bài toán:
- Gọi chung Giả thiết là: điều cho biết, dữ kiện bài toán, các điều kiện ràng buộc vv Kết luận là:
điều phải tìm, là ẩn vv
- Trớc hết h y cố gắng viết tóm tắt đề bài bằng ngôn ngữ toán học và sử dựng các kí hiệu toán học.ã
- Cần xác định ngay dạng của bài toán để xác định rõ phơng hớng giải.
2
3

- Bài toán có điều kiện gì ? Cần phân biệt các phần khác nhau của điều kiện. Có thể diễn tả điều kiện
đó thành công thức không ?
- Nhớ lại các kiến thức liên quan đến bài toán, tìm mối liên hệ giữa điều đ cho với điều phải tìm.ã
- Phân tích điều phải tìm để đi tìm phơng hớng đi đến đích của bài.
2. Tìm tòi lời giải.
* Liên hệ với các bài toán đã giải:
+ Ta đ gặp bài toán này lần nào chã a ? Hay đ gặp ở một dạng khác ?ã
+ Ta có biết một bài toán nào có liên quan không ?
+ Đây là bài toán có liên quan mà ta đ có lần giải rồi ? - Vậy thì : Có thể sử dụng nó không ? Có thểã
sử dụng kết quả của nó không ? Có thể sử dụng kết quả ở bài trớc (đ giải) vào bài này không ? Có cần phảiã
đa thêm một số yếu tố phụ thì mới sử dụng đợc nó không ?
+ Có thể phát biểu bài toán một cách khác không ?
* Với bài toán mới và cha giải lần nào:
+ Nếu cha giải đợc bài toán đ đề ra thì h y thử giải một bài toán có liên quan. ã ã
+ Ta có thể nghĩ ra một bài toán có liên quan và dễ hơn không ? Một bài toán tổng quát hơn ? Một tr-
ờng hợp riêng ? Một bài toán tơng tự ?
+ Ta có thể giải một phần bài toán không ? H y giữ lại một phần điều kiện, bỏ qua phần kia. Khi đó ẩnã
đợc xác định đến một chừng mực nào đó, nó sẽ thay đổi nh thế nào ?
+ Ta có thể nghĩ ra một điều kiện khác giúp ta xác định đợc ẩn không ? Có thể thay đổi ẩn hay các dữ
kiện hay cả hai nếu cần thiết, sao cho ẩn mới và các dữ kiện mới đợc gần nhau hơn không ?
- Có thể bài toán này có những phần cần chú ý. Liệu ta có bỏ qua phần chú ý đó không ?
3. Trình bày lời giải
- Khi giải h y kiểm tra lại từng bã ớc
- Ta đ thấy rõ mỗi bã ớc làm của ta đều đúng cha ?
- Những lập luận, biến đổi, trình bày của ta đ hợp Lôgíc chã a ? Ta có thể chỉ ra những căn cứ cho
những lập luận, biến đổi đó không ?
- Ta có thể lập luận Logíc, chặt chẽ, chính xác lời giải hơn nữa không ? (Bổ sung thiếu sót, lợc bỏ
những chỗ dài dòng và rờm rà).
- Có còn sót trờng hợp nào của bài toán không.
4. Nghiên cứu thêm về lời giải:

- Kiểm tra kết quả. Xem xét các lập luận.
- Nhìn lại toàn bộ các bớc giải. Rút ra phơng pháp giải một loại toán hay một dạng toán nào đó. Rút ra
kinh nghiệm giải toán nh về:
+ Cách giải, phơng pháp giải loại toán đó
+ Những bài toán dạng này cần sử dụng kiến thức gì để giải
+ Những điểm cần chú ý, những sai lầm thờng mắc phải và cách khắc phục vv.
- Cố gắng tìm thêm cách giải khác (nếu có thể).
- Khai thác thêm các kết quả có thể có của bài toán, đề xuất các bài toán tơng tự, bài toán đặc biệt. Đặc
biệt nên cố gắng đa bài toán đ cho về dạng tổng quát của nóã
3
4
Phần thứ hai
Phơng trình bậc nhất và hệ phơng trình
A- Ph ơng trình bậc nhất:
* Định nghĩa: Là phơng trình dạng ax+ b= 0 (với a, b cho trớc, a

0)
* Biện luận : Phơng trình ax+ b= 0
+ Vô nghiệm khi a=0 và b

0
+ Có nghiệm duy nhất khi a

0
+ Vô số nghiệm khi a= 0 và b= 0
B- Hệ ph ơng trình bậc nhất hai ẩn:
* Định nghĩa:
* Nghiệm hệ phơng trình:
* Số nghiệm của hệ:
C- Hệ ph ơng trình bậc nhất hai ẩn

* Số nghiệm của hệ:
- Vô nghiệm.
- Vô số nghiệm.
- Một nghiệm duy nhất.
* Giải hệ:
- Phơng pháp thế.
- Phơng pháp cộng.
- Phơng pháp đồ thị.
* Biện luận số nghiệm của hệ phơng trình:
- Phơng pháp 1: Hệ vô số nghiệm khi:
' ' '
a b c
a b c
= =
Hệ có nghiệm duy nhất khi:
' '
a b
a b

Hệ vô nghiệm khi:
' ' '
a b c
a b c
=
Chú ý: -Nếu một trong các hệ số bằng 0 ta nên sử dụng phơng pháp khác.
-Nếu mẫu chứa tham số thì ta nên xét hai trờng hợp (Bằng 0 và khác 0 của
mẫu).
- Phơng pháp 2: Dùng phơng pháp thế hay cộng đại số đem hệ về dạng Ax+
B= 0 và biện luận số nghiệm của phơng trình này.
D- Các dạng bài tập :

* Dạng 1: Nhận biết phơng trình bậc nhất hai ẩn, viết đợc nghiệm tổng quát và
biểu diển tập nghiệm trên mặt phẳng toạ độ.
Ví dụ: Phơng trình nào là phơng trình bậc nhất hai ẩn:
A) 0x+ y= 1 C) 2x+ 0y= 2
B) 0x+ 0y= 5 D) 2x= 2
* Dạng 2: Giải hệ phơng trình.
* Dạng 3: Giải và biện luận.
Ví dụ: Cho hệ: mx+ 2y= -3
m
2
x- 4y= 6
4
5
a) Giải hệ với m= 2.
b) Tìm m để hệ có vô số nghiệm.
Giáo viên có thể hớng dẫn học sinh sử dụng một trong hai phơng pháp trên.
Phần thứ ba
Ph ơng trình bậc hai Hệ thức vi-ét
A- Ph ơng trình bậc hai:
* Định nghĩa: Là phơng trình có dạng ax
2
+ bx + c= 0
(a, b, c cho trớc và a 0)
* Cách giải:
- Khuyết b: ax
2
+ c= 0

x
2

=
c
a

Nếu
c
a



0

x
1,2
=
c
a


Nếu
c
a

< 0

Phơng trình vô nghiệm.
- Khuyết c: ax
2
+ bx= 0

x(ax+ b)= 0

x= 0
x=
b
a

- Phơng trình: ax
2
+ bx + c= 0 (a 0)
Dùng công thức nghiệm
B- Các dạng toán:
* Dạng 1: Điều kiện có nghiệm của phơng trình dạng ax
2
+ bx + c= 0
- Phơng trình vô nghiệm:
+ Xét a= 0 thay vào xem phơng trình vô nghiệm không.
+ Xét a 0 và < 0
- Phơng trình nhận mọi x làm nghiệm: a= b= c= 0
- Phơng trình có nghiệm:
+ Xét a= 0 thay vào xem phơng trình có nghiệm không.
+ Xét a 0 và

0
- Phơng trình có nghiệm duy nhất:
+ Xét a= 0 và b 0
+ Xét a 0 và = 0
Ví dụ 1: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm duy nhất:
mx
2

+ 2(m- 1)x- 2= 0
Giải:
- Với m= 0

-2x- 2= 0

x= -1
- Với m 0 phơng trình có nghiệm duy nhất khi = 0
Mà = m
2
+ 1> 0 nên khong có giá trị m để = 0
Vậy với m= 0 phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất
5
6
Ví dụ 2: Cho (m
2
- 1)x
2
+ 2(m+ 1)x-1= 0
a) Giải phơng trình khi m=- 2
b) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt.
c) Tìm m để phơng trình có 1 nghiệm.
Giải:
a) Khi m= -2 phơng trình trở thành: 3x
2
- 2x- 1= 0
Có a+ b+ c= 0 nên x
1
= 1 và x
2

= -
1
2

b) Phơng trình có hai nghiệm phân biệt khi > 0 và m

1
= m
2
+ 2m +1+m
2
-1= m (m +2) >0 khi m > 0 và m 1
m < -2
c) Phơng trình có 1 nghiệm có hai khả năng:
- Với m
2
= 1

m= 1 thì phơng trình có dạng: 4x -1 =0

x=
1
4
m=-1 thì phơng trình có dạng: 0x +1= 0 (phơng trình
vô nghiệm)
- Với m

1 thì phơng trình có một nghiệm khi = 0

m = 0

m = -2
* Dạng 2: Chứng minh phơng trình bậc hai luôn có nghiệm :
- Phơng pháp :
+Xét trờng hợp a = 0 xem phơng trình có nghiệm không
+ với a 0 phơng trình có nghiệm khi

0 hay

0
Ví dụ 1: Cho phơng trình: m x
2
- 2(m+1)x + m + 2 =0. Chứng minh rằng phơng
trình có nghiệm.
H ớng dẩn:
- Với m= 0 thì phơng trình có dạng: -2 x +2 =0

x=1
- Với m 0 ta có = 1 nên phơng trình luôn có hai nghiệm.
Ví dụ : Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phơng trình có nghiệm:
x
2
+2m x +3 =0 và x
2
+3 x +2m =0
H ớng dẩn:
Ta đi chứng minh
1
+
2

0 thì ít nhất một trong hai phơng trình có nghiệm.
Chú ý: Ta có nhận xét sau:
- Nếu
1
+
2
< 0 thì ít nhất một trong hai phơng trình vô nghiệm.
- Nếu
1
.
2
< 0 thì một phơng trình vô nghiệm, một phơng trình có nghiệm.
* Dạng 3: Nghiệm nguyên, nghiệm hữu tỷ
Với a, b, c là các số nguyên : ax
2
+ bx+ c= 0
Định lý 1: Điều kiên cần để phơng trình có nghiệm hữu tỷ là = k
2
(với k

Z)
Định lý 2: Nếu x
0
=
p
q
là nghiệm hữu tỷ của phơng trình và (p, q)= 1 thì p là ớc
của c và q là ớc của q.
Chú ý: Nếu a = 1 thì phơng trình có nghiệm hữu tỷ khi = k
2

C- Hệ thức vi- ét và ứng dụng:
* Định lý Vi-ét:
6
7
- Nếu x
1
và x
2
là hai nghiệm của phơng trình ax
2
+bx +c =0 thì :
x
1
+ x
2 =

b
a

x
1
. x
2
=
c
a
Chú ý: Trớc khi vận dụng hệ thức Vi- ét cần tìm điều kiện để phơng trình có hai
nghiệm .
* Hệ quả: - Nếu có a+ b+ c=0 thì x

1
= 1 và x
2
=
c
a
- Nếu có a- b+ c= 0 thì x
1
= -1 và x
2
= -
c
a
d. Ph ơng trình qui về ph ơng trình bậc hai
Học sinh nắm chắc cách giải phơng trình trùng phơng, phơng trình chứa ẩn ở mẫu,
phơng trình tích
E- Các dạng bài tập:
* Dạng 1: Nhẩm nghiệm phơng trình và cho biết một nghiệm tìm nghiệm kia
Ví dụ 1: Nhẩm nghiệm phơng trình sau:
a) 3 x
2
+ 4x- 7= 0
b) 5 x
2
- 3x -8 = 0
c) (m- 1)x
2
+ 3mx+ 2m+ 1= 0
Chú ý: Nếu vội kết luận phơng trình này có a- b + c= 0 thì x
1

= -1
và x
2
= -
c
a
= -
2 1
1
m
m
+

là sai lầm. Ta giải nh sau:
- Nếu m= 1 thì phơng trình có nghiệm là: x= -1
- Nếu m 1 thì phơng trình này là phơng trình bậc hai có a- b+ c= 0 nên
x
1
=- 1
x
2
= -
c
a
= -
2 1
1
m
m
+

Ví dụ 2: Cho phơng trình: x
2
- 2mx+ 5= 0. Tìm m để phơng trình có một nghiệm
bằng 2. Tìm nghiệm kia?
Giải:
Phơng trình có một nghiệm bằng 2 khi: 2
2
- 2.2m+ 5= 0

m=
9
4

Vì x
1
. x
2
=
c
a
= 5 mà x
1
= 2 nên x
2
=
5
2
* Dạng 2: Tìm hai số biết tổng và tích :

Nếu u+ v= S và u. v= P thì u, v là nghiệm phơng trình: x
2
- Sx+ P= 0 (1)
Chú ý: Nếu phơng trình (1) có hai nghiệm x
1
và x
2
(điều kiện S
2
- 4P

0) thì
ta có:
u= x
1
và v= x
2

v= x
1
và u= x
2

Ví dụ: a) Tìm u, v biết: u+ v= 4 và u. v= 3
7
8
b) Tìm hai cạnh của một hình chữ nhật biết chu vi là 6m và diện tích
bằng 2m
2
.

* Dạng 3: 1- Lập phơng trình bậc hai biết 2 nghiệm của nó.
- Biết hai nghiệm x
1
và x
2
thì ta tính đợc:
S= x
1
+ x
2
P= x
1
. x
2
Ví dụ 1: Lập phơng trình bậc hai nhận
1 2
và
1 2+
Giải:
S=
1 2
1 2+ +
= 2
P= (
1 2
).(
1 2+
)= -1
Vậy ta có phơng trình nhận
1 2

và
1 2+
làm nghiệm là: X
2
- 2X- 1= 0
Ví dụ 2: Cho x
2
+ 2(m+ 1)x+ 2m+ 3= 0
Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x
1
và x
2
. Sau đó hãy lập các phơng trình
bậc hai có các nghiệm là:
a) 2x
1
và 2x
2
b) x
1
+ x
2
và x
1
. x
2
c) x
1
- 1 và x
2

- 1
2- Lập phơng trình với các hệ số hữu tỷ có 1 nghiệm cho trớc
Ví dụ: Lập 1 phơng trình với các hệ số hữu tỷ có 1 nghiệm là 1-
3
Giải:
Gọi phơng trình cần lập có dạng: x
2
+ ax+ b= 0. Vì x = 1-
3
là nghiệm nên:
(1-
3
)
2
+ a (1-
3
)+b = 0 <=> (4+ a+ b) -
3
( 2+a)= 0
Vì phơng trình cần lập có các hệ số hữu tỷ nên (4+ a+ b) =0 và (2+ a)= 0


a= -2 và b= -2. Vậy phơng trình cần lập là: x
2
- 2x- 2= 0
* Dạng 4: Tính giá trị của biểu thức giữa các nghiệm:
Ph ơng pháp : - Điều kiện phơng trình có hai nghiệm: a 0 và

0
- Biến đổi biểu thức về dạng tổng và tích các nghiệm

2- Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm :
Ví dụ: Không giải phơng trình: x
2
- x- 1= 0 hãy tính:

2 2
1 2
x x+
;
1 2
x x
3- Tính biểu thức không đối xứng giữa các nghiệm :
Ví dụ: Không giải phơng trình: x
2
- x- 1= 0 hãy tính:

5 6
1 2 1
3x x x+ +
Giải:
Vì phơng trình trên có a. c< 0 nên phơng trình luôn có hai nghiệm
x
1
+ x
2
= 1 và x
1
. x
2
= -1. Ta có

2
1 1 2 1
( )x x x x= +
x
1
. x
2
= x
1
+ 1

1
3 2
1 1 1 1
. ( 1)x x x x x= = +
=
2
1
x
+x
1
= 2x
1
+ 1

5 2 3
1 1 1
.x x x=
= ( x

1
+1 )(2x
1
+1 )= 5x
1
+ 3
Do x
1
và x
2
bình đẳng nên tơng tự ta có :
8

Ta đợc phơng trình X
2
- SX+ P= 0
9

2 3
2 2 2 2
6 3 2 2
2 2 2 2
1; 2 1
( ) (2 x 1) 8 5
x x x x
x x x
= + = +
= = + = +
Vậy A= 5x
1

+ 3+ 8x
2
+ 5+ 3x
1
= 8(x
1
+ x
2
)+ 8= 16
Chú ý: Để nhấn mạnh điều kiện để vận dụng hệ thức vi-ét giáo viên có thể đem
ví dụ sau:
Ví dụ: Một học sinh làm nh sau: Phơng trình x
2
- x+ 1= 0 có x
1
+ x
2
=1
và x
1
. x
2
= 1. Em có nhận xét gì về cách làm của bạn .
(Học sinh trên làm sai vì phơng trình x
2
- x+ 1 =0 có < 0 nên phơng trình vô
nghiệm)
* Dạng 5: Tìm hệ thức độc lập giữa các nghiệm không phụ thuộc vào
tham số:
Ph ơng pháp : - Điều kiện để phơng trình có hai nghiệm a 0 và

0
- áp dụng hệ thức Vi ét: x
1
+ x
2
= S = f
(m)
và x
1
. x
2
= P = g
(m)
- Khử m từ hệ phơng trình trên.
Ví dụ: Cho phơng trình: x
2
- (2m+1)x+ m
2
+ m- 1= 0. Chứng minh có một hệ thức
liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc và m.
Giải:
Vì = (2m+1)
2
- 4(m
2
+m - 1)= 5> 0 với mọi m nên phơng trình luôn có hai nghiệm
Theo v-ét ta có: x
1
+ x

2
= S = 2m+ 1 (1)
và x
1
. x
2
=P =m
2
+ m- 1 (2)
Từ (1) ta có: m=
1
2
s
thay vào (2) ta đợc (
1
2
s
)
2
+
1
2
s
-1 = P


S
2
- 4P= 5 hay (x
1

+ x
2
)
2
- 4x
1
. x
2
= 5
* Dạng 6: Xét dấu các nghiệm
Ph ơng pháp : Phơng trình ax
2
+ bx+c= 0
- Có hai nghiệm trái dấu khi: P< 0
- Có hai nghiệm cùng dấu khi: a 0 và

0 P> 0
- Có hai nghiệm dơng khi: a 0 và

0 , S > 0 và P> 0
- Có hai nghiệm âm khi: a 0 và

0, S< 0 và P> 0
Chú ý: Nếu yêu cầu của bài toán là hai nghiệm phân biệt thì điều kiện của là > 0
Ví dụ 1: Tìm mđể các phơng trình sau:
a) x
2
- 2x- m =0 có hai nghiệm trái dấu.
b) x
2

- 2mx- (m- 1)
2
= 0 có hai nghiệm dơng.
c) 2x
2
- 2( m+ 1)x+ m= 0 có hai nghiệm âm phân biệt.
Với mức độ khó hơn ta có bài tập sau:
Ví dụ 2: Cho phơng trình: mx
2
- 2(3- m)x+ m- 4= 0. Tìm m để:
a) Phơng trình có đúng một nghiệm âm.
b) Phơng trình có hai nghiệm đối nhau.
H ớng dẩn:
a) Xét hai trờng hợp :
9
10
- Với m= 0 thì phơng trình có nghiệm là x =
2
3

là nghiệm âm duy nhất của
phơng trình
- Với 0 phơng trình có đúng một nghiệm âm khi :
x
1
< 0 < x
2
P< 0
x
1

<0 = x
2

P= 0 và S< 0
x
1
= x
2
<0 = 0 và S< 0
Thay các giá trị vào ta đợc 0
m
4và m=
9
2

b) phơng trình có hai nghiệm đối nhau khi P <0 Và S =0
* Dạng 7: Tìm điều kiện để các nghiệm phơng trình thoã mãn yêu cầu nào đó
Ph ơng pháp - Điều kiện để phơng trình có hai nghiệm
- Lập hệ ba phơng trình (trong đó hai phơng trình l các hệ thức
vi-ét và 1phơng trình theo yêu cầu bài toán).
- Giải hệ trên, đối chiếu với điều kiện và trả lời.
Ví dụ 1: Tìm mđể phơng trình sau 3x
2
- 4x+ m= 0 có hai nghiệm thoã mãn: x
1
= 3x
2
Giải:
Đk để phơng trình có hai nghiệm

0

m

4
3
Ta có hệ : x
1
+ x
2
=
4
3

x
1
. x
2
=
3
m
Giải hệ ta đợc m=1 thoã mãn điều kiện
x
1
= 3 x
2
Đối với hs khá ta có thể đem bài tập sau:
Ví dụ 2: Tìm mđể phơng trình: x
2
- (m+1)x+ 2m= 0 có hai nghiệm phân biệt x

1
, x
2
là độ dài hai cạnh góc vuông củ1 tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5.
* Dạng 8: Biện luận số nghiệm của phơng trình trùng phơng:
Cho phơng trình: ax
4
+ bx
2
+ c= 0 (1) Đặt x
2
=y (điều kiện y

0)
Ta đợc phơng trình ay
2
+ by+ c= 0 (2) Mỗi nghiệm dơng của phơng trình (2) cho ta
hai nghiệm trái dấu của phơng trình (1)
Số nghiệm
phơng trình
(1)
Dấu các nghiệm
phơng trình (2)
Điều kiện của phơng trình
4 0< y
1
< y
2
a 0, > 0, S > 0 và P > 0
3 y

1
= 0< y
2
a 0, S > 0 và P= 0
2 y
1
< 0 < y
2
P< 0
0 <y
1
= y
2
a 0 và = 0 , S >0
1 y
1
< 0= y
2
a 0 P=0 và S

o
10
11
0 y
1

y
2
< 0
a 0 và

0, S <0 và P >0
Vô nghiệm
< 0
Ví dụ: Cho phơng trình mx
4
- 2(m- 1) x
2
+ m- 1= 0
a) Tìm m để phơng trình có nghiệm duy nhất.
b) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt.
c) Tìm m để phơng trình có 3 nghiệm phân biệt.
Phần thứ t
Hàm số-giải bài toán bằng cách lập phơng trình,
hệ phơng trình
a - hàm số
Dạng 1: Xác định hàm số .
I.Hàm số bậc nhất (Phơng trình đờng thẳng )
Cho đờng thẳng (d):y=ax+b và đờng thẳng (
/
d
):y=
, ,
a x b+
+) (d) cắt (
/
d
)

a

,
a
+) (d)// (
/
d
)

, ,
;a a b b=
+) (d)

(
/
d
)

, ,
;a a b b= =
+) (d)

(
/
d
)

,
. 1a a =
Ví dụ 1: Cho hàm số :y=ax+b .Hãy xác định a và b trong các trờng hợp sau :
a) Đồ thị hàm số song song với đờng thẳng y=-2x và cắt trục tung tại điểm có tung
độ bằng 2 .

b) Đồ thị hàm số song song với đờng thẳng y=3x +2 và cắt trục hoành tại điểm
cóhoành độ bằng -1 .
c) Đồ thị hàm số vuông góc với đờng thẳng y=-4x+3 và đi qua M(4;3)
d) Đồ thị hàm số đi qua A(1;2) và B(-2;-7).
Ví dụ 2: Cho hàm số :y=(m+1)x- n+3.Tìm điều kiện của m và n để :
a)Hàm số đồng biến .
b)Hàm số nghịch biến .
c)Đồ thị hàm số song song với đờng thẳng y= x+2
II. Xác định hàm số y=
2
ax
Ví dụ 3:Tìm a biết đồ thị hàm số y=
2
ax
đi qua A(-2;1).
Ví dụ 4: Cho hàm số :y=
2
ax
.Tìm a biết đồ thị của hàm số cắt đờng thẳng y=-2x+3 tại
điểm có hoành độ bằng 1.
Dạng 2: Vẽ đồ thị của hàm số .
I.Đồ thị hàm số bậc nhất
Ph ơng pháp giải:
- Đồ thị hàm số y=ax là đờng thẳng đi qua gốc toạ độ và A(1;a)
11
12
- Đồ thị hàm số y=ax +b là đờng thẳng đi qua A(0;b) và B(
;0
b
a

)
Lu ý : Có thể thay A,B bằng các điểm khác có toạ độ nguyên thoã mãn phơng trình đ-
ờng thẳng .
Ví dụ 1 :Vẽ đồ thị của các hàm số sau trên cùng một hệ trục toạ độ và xác định hệ số
góc của mỗi đờng thẳng :
a)y=-2x b)y=3x- 2 c)x-2y =4
II. Đồ thị hàm số :y=
2
ax
(a
0
)
Ph ơng pháp giải:
-Lập bảng giá trị (Thờng lấy 5 giá trị )
-Vẽ đồ thị
Ví dụ 2 :Vẽ đồ thị của các hàm số sau :
a)y=
2
3x
b)
2
1
2
y x=
Dạng 3: Tìm giao điểm của hai đồ thị
Ph ơng pháp giải:
- Lập phơng trình hoành độ giao điểm
- Giải phơng trình từ đó tìm đợc các toạ độ giao điểm .
Ví dụ 1: Cho hai đồ thị (P) :y=

2
2x
và (d) :y=-3x+1
Tìm toạ độ các giao điểm của (d) và (P)
Ví dụ 2: Cho pa ra bol (P):
2
1
2
y x=
và đờng thẳng (d) :y=
1
3
2
x +
a) Vẽ (P) và (d)
b) Xác định toạ độ các giao điểm A,B của (d) và (P)
c) Xác định toạ độ điểm C thuộc cung AB của pa ra bol sao cho tam giác
ABC có diện tích lớn nhất .
(HD:c)Tam giác ABC có đáy AB không đổi ,diện tích lớn nhất khi đờng cao hạ
từ C xuống AB lớn nhất

Viết phơng trình đờng thẳng song song với AB và tiếp xúc
với (P) tại C

C là điểm cần tìm)
Ví dụ 3: Cho pa ra bol (P) :
2
y x=
và đờng thẳng (d) :y=
2

2 2x m m +
.Với những giá trị
nào của m thì đờng thẳng (d) cắt pa ra bol (P) tại hai điểm phân biệt .
Ví dụ 4: Cho hai đồ thị (P)
2
y mx=
và (d) y=2x-5 .Tìm m để (d) tiếp xúc với (P)
Dạng 4: Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi tham số m .
Ph ơng pháp giải: Cho hàm số
( )x
y f=
.Giả sử
0 0
( ; )M x y
là điểm cố định mà đồ thị hàm
số luôn đi qua với mọi giá trị của tham số m

0
0 ( )x
y f=
với mọi m

Đa thức với ẩn m
có tất cả các hệ số bằng 0 .
Ví dụ 1: Cho đờng thẳng có phơng trình:
2(m-1)x+(m-2)y=2
a) Chứng minh rằng đờng thẳng đã cho luôn đi qua một điểm cố định khi m
thay đổi.Tìm điểm cố định đó .
b) Tìm m để đờng thẳng đã cho cách gốc toạ độ một khoảng lớn nhất.
12

13
(HD: Giả sử đờng thẳng (d) luôn đi qua điểm cố định M, (d) cách O một khoảng
lớn nhất
( )OM d
)
Ví dụ 2: a) Cho đờng thẳng (d) có phơng trình: y=mx-2m-1. Chứng tỏ rằng đờng
thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m.Tìm điểm cố định đó .
b) Cho hàm số y=(m-1)x+2m-3. Chứng tỏ rằng họ đờng thẳng luôn đi qua
một điểm cố định với mọi giá trị của m. Tìm điểm cố định đó .
Ví dụ 3: Cho pa ra bol (P):
2
1
4
y x=
và đờng thẳng (d): y= mx-2m-1
a)Tìm m sao cho (d) tiếp xúc với (P)
b)Chứng tỏ rằng (d) luôn đi qua môt điêm A cố định thuộc (P) với mọi giá trị
của m
Ví dụ 4: Cho pa ra bol (P) :
2
4
x
y =
a) Chứng tỏ rằng A(-2;1) thuộc (P).
b) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua A và tiếp xúc với (P) .
Dạng 5: Một số bài toán nâng cao khác :
Ví dụ 1: Cho hai đờng thẳng y= m(x+2)và y=(2m-3)x+2
a) Chứng minh rằng khi m=1 thì hai đờng thẳng đó vuông góc với nhau .
b) Tìm tất cả các giá trị của m để hai đờng thẳng đó vuông góc với nhau .
Ví dụ 2:

a) Trên đờng thẳng 8x-13y+6=0 tìm các điểm có toạ nguyên (điểm nguyên )
nằm giữa hai đờng thẳng x=-10;x=50
b) Vẽ đồ thị(d) hàm số
3 7
2 4
y x= +
.Có bao nhiêu điểm có toạ độ nguyên nằm
trên cạnh hoặc trong tam giác tạo bởi 3 đờng thẳng (d);x=6;y=0
HD: a)Trớc hết giải pt nghiệm nguyên ta đợc
13 9
8 6( )
x t
y t t Z
= +


= +

Do -10<x<50

-10 <13t+9 < 50

-1
3t

{ }
1;0;1;2;3t
.Thay t vào tìm đợc x;y .
b)Vẽ đờng thẳng
3 7

2 4
y x= +
.Tìm giao điểm của đờng thẳng với trục hoành
(y=0)

7
6
x

=
và giao điểm của đờng thẳng với đờng thẳng x=6 .Lần lợt thay các giá
trị của x =-1;0;1;2;3;4;5;6 tìm số các điêm nguyên .(Đáp số :48)
Ví dụ 3: Cho pa ra bol (P) có đỉnh ở gốc toạ độ O và đi qua A(1;
1
4

)
a) Viết phơng trình của pa ra bol (P)
b) Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song với đờng thẳng x+2y=1 và đi
qua điểm B(0;m)
c) Với giá trị nào của m thì đờng thẳng (d) cắt pa ra bol (P) tại hai điểm phân
biệt có hoành độ thoã mãn:
1 2
3 5 5x x+ =
Ví dụ 4: Cho các đờng thẳng (
1
)d
y=x-2;
2
( )d

y=2x-4và
3
( )d
y=mx+m+2
a) Tìm điểm cố định mà đờng thẳng
3
( )d
luôn đi qua voOoơí mọi giá trị của m .
b) Tìm m để ba đờng thẳng đồng qui .
13
14
Bài tập vận dụng:
1.Cho hàm số :
2
3 6 5y x x= + +
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số .
b) Chứng minh rằng hàm số đồng biến khi x>-1, nghịch biến khi x<-1
2.Xác định hàm số f(x) biết :
a) f(x-5)=2x-1
b) f(x+1)=
2
2 3x x +
3.Vẽ đồ thị các hàm số sau :
a)
3y x=
b)
2 3 1y x= +
4.Trên mặt phẳng toạ độ chứng minh ba điểm M(1;1) ;N(2:-2):P(-1;7) thẳng hàng.
5.Cho hàm số: y=(2m-3)x-1.Tìm m để đồ thị hàm số :
a) Song song với đờng thẳng y=5x+3

b) Đi qua A(-1;0)
c) Đồng qui với các đờng thẳng y=1; y=2x-5 .
6. Viết phơng trình đờng thẳng :
a) Đi qua A(3;-2)và song song với đờng thẳng
3
2
4
y x= +

b) Đi qua B(0;4) và có hệ số góc bằng 1.
7. Cho hàm số
2
y x=
và y=x+m (m là tham số )
a) Tìm m sao cho đồ thị (P)của hàm số
2
y x=
và đồ thị (d) của hàm số y=x+m có hai
giao điểm phân biệt A, B .
b) Viết phơng trình đờng thẳng vuông góc với (d) và tiếp xúc
b- giải bài toán bằng cách lập phơng trình-hệ phơng trình
I. Lý thuyết :
1.Các b ớc giải bài toán bằng cách lập ph ơng trình (hệ ph ơng trình )
B ớc 1 : Lập phơng trình (hệ phơng trình )
- Chọn ẩn (hai ẩn) và đặt đièu kiện thích hợp cho ẩn .
- Biểu diễn các đại lợng cha biết qua ẩn và các đại lợng đã biết .
- Lâp phơng trình (hệ phơng trình) biểu thị mối quan hệ giữa các đại lợng.
B ớc 2 : - Giải phơng trình (hệ phơng trình)
B ớc 3 : - Kiểm tra xem trong các nghiệm của phơng trình (hệ phơng trình )nghiệm nào
thích hợp bài toán và kết luận .

2. Các dạng toán th ờng gặp :
a)Toán chuyển động :
-S ử dụng thành thạo các công thức:
. , ,
S S
S v t v t
t v
= = =
(trong đó S là quãng đ-
ờng, v là vận tốc, t là thời gian )
- Lu ý thống nhất đơn vị
- Đối với chuyển động dới dòng nớc chảy
xd cn dn
v v v= +
,
nd cn dn
v v v=
b) Toán làm chung, làm riêng, vòi nớc chảy
- Coi cả công việc (cả bể nớc) là 1
- Tính năng suất của mỗi đối tợng
14
15
c) Toán về số và quan hệ các số
- Chú ý cấu tạo số
d) Toán liên quan đến tỉ số %
e) Toán liên quan đến hình học
g) Toán liên quan vật lý, hoá học
II.Một số bài tập
1. Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc và thời gian nhất định, nếu ô tô tăng vận tốc
thêm 8km/h thì đến B sớm hơn dự định 1giờ, nếu ô tô giảm vận tốc 4km/h thì đến B

chậm hơn dự định 40 phút .Tính vận tốc và thời gian dự định .
2. Một ca nô xuôi dòng 52km và ngợc dòng 72km hết 2giờ 30phút, cũng ca nô đó
xuôi dòng 39 km và ngợc dòng 36km hết 1giờ 30 phút.Tính vận tốc thực của ca nô và
vận tốc dòng nớc.
3. Một ngời đi xe máy đi hết quãng đờng AB dài 50 km với vận tốc không đổi Khi
từ B trở về do tăng thêm vận tốc 10 km/h nên thời gian về ít hơn thời gian đi là 15
phút .Tính vận tốc của xe máy lúc về .
4. Một ngời dự định đi xe đạp từ làng ra tỉnh với vận tốc 12 km/h .Sau khi đi đợc
1/3 quãng đờng với vận tốc đó, vì xe hỏng nên ngời đó chờ ô tô mất 20phút và đi ô tô
với vận tốc 36km/h do vậy ngời đó đến tỉnh sớm hơn dự định 1giờ 20phút.Tính quãng
đờng từ làng ra tỉnh.
5. Một ca nô xuôi một khúc sông dài 90 km rồi ngợc về 36 km .Biết thời gian xuôi
dòng nhiều hơn thời gian ngợc dòng là 2 giờ và vận tốc xuôi dòng hơn vận tốc ngợc
dòng là 6 km/h .Tìm vận tốc ca nô lúc xuôi dòng .
6. Hai vòi nớc cùng chảy vào một cái bể không chứa nớc thì sau 1giờ 30 phút bể sẽ
đầy, nếu mở vòi thứ nhất chảy trong 15 phút và vòi thứ hai chảy trong 20 phút thì đợc
1/5 bể .Hỏi mỗi vòi chảy một mình thì sau bao lâu đầy bể .
7. Hai đội thuỷ lợi cùng đào một con kênh trong 18 ngày thì xong .Nếu đội thứ nhất
làm trong 4 ngày, đội thứ hai làm trong 7 ngày thì đào đợc 1/3 con kênh .Hỏi mỗi đội
làm một mình thì trong mấy ngày đào xong con kênh đã định .
8. Hai đội học sinh tham gia lao động, nếu làm chung thì sẽ hoàn thành công việc
sau 4 giờ, nếu mỗi đội làm một mình thì đội I làm xong việc nhanh hơn đội II 6 giờ
.Tính xem mỗi đội làm một mình thì sau bao lâu sẽ hoàn thành công việc .
9.Tổng các chữ số của một số có hai chữ số bằng 10, tích của chúng nhỏ hơn số đã
cho là 16 .Tìm số có hai chữ số đó .
10. Theo kế hoạch dự định cả hai xởng cơ khí mỗi ngày sản xuất 385 nông cụ nhng
do cải tiến kĩ thuật nên xởng thứ nhất mỗi ngày sản xuất vợt 20% kế hoạch dự định,
xởng thứ hai mỗi ngày sản xuất vợt 12% kế hoạch dự định, thành thử mỗi ngày cả hai
xởng sản xuất đợc 442 nông cụ .Hỏi theo kế hoạch dự định, mỗi ngày mỗi xởng sản
xuất đợc bao nhiêu nông cụ .

11. Một hợp kim đồng và kẽm trong đó có 5kg kẽm .Nếu thêm 15 kg kẽm vào hợp
kim này ta đợc một hợp kim mới .Kết quả là trong hợp kim mới lợng đồng đã giảm so
với lúc đầu là 30%.Tính khối lợng ban đầu của hợp kim.
15
16
12. Ngời ta trộn lẫn 8 gam chất lỏng này với 6gam chất lỏng khác có khối lợng
riêng nhỏ hơn nó 200
kg
/
3
m
để đợc một hỗn hợp có khối lợng riêng là 700
kg
/
3
m
.Tìm
khối lợng riêng của mỗi chất lỏng .
13. Ngời ta cho thêm 1kg nớc vào dung dịch A thì đợc dung dịch B có nồng độ a xít
là 20% .Sau đó lại cho thêm 1kg a xít vào dung dịch Bthì đợc dung dịch C có nồng độ
a xít là
1
33
3
%.Tính nồng độ a xít trong dung dịch A.
14. Mỗi phòng họp có 100 chỗ ngồi nhng số ngời đến họp là 144 ngời do đó ngời ta
phải kê thêm 2dãy ghế và mỗi dãy ghế phải thêm 2 ngời ngồi. Hỏi phòng họp lúc đầu
có mấy dãy ghế
15. Một mảnh vờn hình chữ nhật có diện tích
2

320m
. Nếu tăng chiều rộng thêm 10m
và giảm chiều dài 16m thì diện tích mảnh đất không thay đổi. Tính kích thớc của đám
đất lúc đầu .
16
17
Phần hình học
I/. Kiến thức cơ bản trọng tâm .
1) Tam giác
- Định nghĩa
- Tính chất
- Tam giác đồng dạng
2) Tứ giác
- Định nghĩa
- Tính chất
- Dấu hiệu nhận biết các tứ giác đặc biệt
3) Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông
1) b
2
= a.b ; c
2
= a.c
2) h
2
= b.c
3) a.h = b.c
4)
222
111
cbh

+=
5)

ABC vuông tại A

a
2
= b
2
+ c
2

4) Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông
b = a.sinB = a.cosC; c = a.sinC = a.cosB
b = c.tgB = a.cotgC; c = b.tgC = a.cotgB
5) Vị trí tơng đối.
- Vị trí tơng đối của đờng thẳng a với đờng tròn (O; R)
+ Đờng thẳng a và đờng tròn (O; R) cắt nhau d < R
+ Đờng thẳng a và đờng tròn (O; R) tiếp xúc nhau d = R
+ Đờng thẳng a và đờng tròn (O; R) không giao nhau d > R
- Vị trí tơng đối của đờng tròn (O; R) và (O; r) (với R > r)
+ Hai đờng tròn cắt nhau R - r < d < R + r
+ Hai đờng tròn tiếp xúc trong d = R - r
Hai đờng tròn tiếp xúc ngoài d = R + r
+ Hai đờng tròn ngoài nhau d > R + r
Hai đờng tròn đựng nhau d < R - r
6) Tiếp tuyến của đờng tròn.
- Định nghĩa: Đờng thẳng a và đờng tròn (O; R) có một điểm chung A thì đờng
thẳng đó gọi là tiếp tuyến của đờng tròn, A gọi là tiếp điểm.
- Tính chất

+ Nếu một đờng thẳng là tiếp tuyến của đờng tròn thì nó vuông góc với bán
kính đi qua tiếp điểm.
+ Dấu hiệu nhận biết:
* Đờng thẳng và đờng tròn có một điểm chung
* Khoảng cách từ tâm đến đờng thẳng đó bằng bán kính.
17
A
B
C

18
* Đờng thẳng đó đi qua một điểm nằm trên đờng tròn và vuông góc với
bán kính đi qua điểm đó.
- Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau: Nếu hai tiếp tuyến của đờng tròn cắt nhau
tại một điểm thì:
+ Điểm đó cách đều hai tiếp điểm
+ Tia kẻ từ điểm đó qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.
+ Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi
qua các tiếp điểm.
7) Góc với đờng tròn
a) Định nghĩa và các tính chất.
Định nghĩa Tính chất Hình vẽ
1. Góc ở tâm là góc có đỉnh là tâm đờng tròn
- Số đo của cung nhỏ bằng số đo của góc ở tâm chắn cung đó
- Số đo của cung lớn bằng hiệu giữa 360
0

và số đo của cung nhỏ.
Số đo của nữa đờng tròn bằng 180
0

ẳ
ã
sd AmB AOB=
;
ẳ
ẳ
0
360sd AnB sd AmB=
n
m
B
A
O
2. Góc nội tiếp là góc có đỉnh
nằm trên đờng tròn và hai
cạnh chứa hai dây của đờng
tròn đó
Số đo của góc nội tiếp bằng nữa
số đo của cung bị chắn
ã
ẳ
1
2
ACB sd AmB=
C
m
B
A

O
3. Góc tạo bởi tia tiếp tuyến
với dây là góc có đỉnh nằm
trên đờng tròn, một cạnh là tia
tiếp tuyến và một cạnh chứa
một dây của đờng tròn đó.
Số đo của góc tạo bởi tia tiếp
tuyến với dây bằng nữa số đo
của cung bị chắn
ã
ẳ
1
2
xAB sd AmB=
x
m
B
A
O
4. Góc có đỉnh nằm ở bên
trong đờng tròn
Số đo của góc có đỉnh nằm ở
bên trong đờng tròn bằng nữa
tổng số đo của hai cung bị chắn
ã
ẳ
ẳ
1
( )
2

AEC sd AmC sd BnD= +
j
E
B
D
n
m
C
A
O
5. Góc có đỉnh nằm ở bên
ngoài đờng tròn
Số đo của góc có đỉnh nằm ở
bên ngoài đờng tròn bằng nữa
hiệu số đo của hai cung bị chắn
ã
ẳ
ẳ
1
( )
2
AEC sd AmC sd BnD=
E
B
D
n
m
C
A
O

b) Hệ quả
Trong một đờng tròn
- Các góc nội tiếp bằng nhau chắc các cung bằng nhau
- Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hay hai cung bằng nhau thì bằng nhau.
18
19
- Các góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 90
0
) có số đo bằng nữa số đo của góc ở
tâm cùng chắn một cung.
- Góc nội tiếp chắn nữa đờng trònn là góc vuông.
- Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì
bằng nhau.
8) Tứ giác nội tiếp
* Định nghĩa
Tứ giác nội tiếp là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên cùng một đờng tròn.
* Tính chất
- Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện nhau bằng 180
0
.
- Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối nhau bằng 180
0
thì tứ giác đó nội
tiếp đợc đờng tròn.
* Dấu hiệu nhận biết tứ giác ABCD nội tiếp
- Chứng minh bốn đỉnh của tứ giác cùng nằm trên một đờng tròn (Tìm điểm O
sao cho OA = OB = OC = OD).
- Chứng minh tứ giác đó có tổng số đo hai góc đối nhau bằng 180
0
- Chứng minh tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong đối diện

- Chứng minh tứ giác đó có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh đối diện dới một
góc không đổi.
9) Độ dài đờng tròn, cung tròn
Độ dài đờng tròn: C = 2

R =

d
Độ dài cung tròn:.
360180

CnR
l ==
10) Diện tích hình tròn, hình quạt tròn
Diện tích hình tròn S =

R
2
Diện tích hình quạt tròn S
quat
=
2
360 2
R n lR

=
11) Diện tích hình tròn, hình quạt tròn
Các công thức tính diện tích, thể tích của hình trụ, hình nón và hình cầu
II/. Một số kĩ năng
- Kĩ năng vẽ hình

- Kĩ năng vận dụng kiến thức cơ bản vào làm bài tập hình học
- Kĩ năng suy luận logic
- Kĩ năng trình bày lời giải

III/. Một số bài tập vận dụng:
Bài 1: Từ điểm A nằm ngoài đờng tròn tâm O kẻ 2 tiếp tuyến AB,AC (B,C là các
tiếp điểm ). Gọi M là điểm bất kỳ trên cung nhỏ BC của đờng tròn (O) (M khác B,C)
Tiếp tuyến qua M cắt AB,AC tại E và F. Đờng thẳng BC cắt OE và OF ở P và Q
a) Chứng minh tứ giác PQFE nội tiếp đợc một trong đờng tròn
b) Chứng minh tỷ số
FE
PQ
không đổi khi M thay đổi trên đờng tròn (A cố định )
19
20
Bi 2: Cho hai ng trũn (O
1
) v (O
2
) ct nhau ti A v B, tip tuyn chung vi hai
ng trũn (O
1
) v (O
2
) v phớa na mt phng b O
1
O
2
cha im B, cú tip im
th t l E v F. Qua A k cỏt tuyn song song vi EF ct ng trũn (O

1
), (O
2
) th
t ti C, D. ng thng CE v ng thng DF ct nhau ti I.
a) Chng minh IA vuụng gúc vi CD.
b) Chng minh t giỏc IEBF l t giỏc ni tip.
c) Chng minh ng thng AB i qua trung im ca EF.
Bài 3: Cho hai đờng tròn (0
1
) và (0
2
) cắt nhau tại P và Q. Tiếp tuyến chung gần P hơn
của hai đờng tròn tiếp xúc với (0
1
) tại A, tiếp xúc với (0
2
) tại B. Tiếp tuyến của (0
1
)
tại P cắt (0
2
) tại điểm thứ hai D khác P, đờng thẳng AP cắt đờng thẳng BD tại R. Hãy
chứng minh rằng:
a) Bốn điểm A, B, Q,R cùng thuộc một đờng tròn
b) Tam giác BPR cân
c) Đờng tròn ngoại tiếp tam giác PQR tiếp xúc với PB và RB.
Bi 4: Cho ng trũn (O;R), ng kớnh AB c nh. Trờn tia BA kộo di v phớa A
ly im S c nh ( nm ngoi ng trũn (O) ). T S k cỏt tuyn ct ng trũn
(O) theo th t ti hai im C v D (khỏc A,B). K dõy DM vuụng gúc vi AB, gi K

l giao im cu CM vi AB.
a) Chng minh:
ã
ã
CKA DKB=
b) BC v AC ct nhau ti H. Chng minh t giỏc CHKA ni tip c trong
ng trũn.
c) ng thng AC ct BD ti P. Chng minh ba im P; H ; K thng hng.
d) Chng minh tam giỏc OKC ng dng vi tam giỏc OCS v CM i qua mt
im c nh khi cỏt tuyn SCD di ng nhng luụn ct ng trũn (O) ti
hai im C, D.
Bi 5: Cho tam giỏc cõn ABC ( nh A, vi gúc A nhn ), cú ng cao AH. Ly
im M bt k trờn on BH ( khỏc B v H ). T im M k MP

AB; MQ

AC
(PAB, QAC). Gi K l giao im ca MQ v AH
a) Chng minh 5 im A, P, M; H v Q cựng nm trờn mt ng trũn v xỏc
nh tõm O ca ng trũn ny.
b) Chng minh rng OH

PQ
c) Gi I l trung im ca on KC , tớnh s o ca gúc
ã
OQI
Bi 6: Trờn ng trũn (O; R) ly hai im A v B, trong ú A l im c nh, B l
im di ng. Gi H l hỡnh chiu ca B xung tip tuyn Ax ca ng trũn (O) ti
im A. ng phõn giỏc ca gúc AOB ct BH ti M v Ax ti Q.
a) Chng minh 4 im A, B, Q v O cựng nm trờn 1 ng trũn.

b) Chng minh t giỏc OBMA l mt hỡnh thoi.
c) Khi B di ng trờn ng trũn (O) thỡ M di ng trờn ng no?
Bi 7: Cho na ng trũn (O), ng kớnh AB. V cỏc tip tuyn Ax, By vi na
ng trũn. M l mt im ca cung AB (M khỏc A v B ); C l im ca on OA
(C khỏc O v A ). ng thng i qua im M vuụng gúc vi MC ct Ax ti im P;
20
21
đường thẳng qua điểm C vuông góc với CP cắt By tại điểm Q. Gọi D là giao điểm
của CP và AM; E là giao điểm của CQ và BM.
a) Chứng minh tứ giác ACMP; CEMD nội tiếp trong một đường tròn
b)Chứng minh DE
⊥
Ax.
c) Chứng minh 3 điểm P, M và Q thẳng hàng.
Bài 8:Cho hai đường tròn bằng nhau (O
1
; R) và (O
2
; R) cắt nhau tại hai điểm A và B
sao cho AB = R. Kẻ các đường kính AO
1
C và AO
2
D. Trên cung nhỏ BC lấy điểm M
(M khác B và C). Giao điểm thứ hai của tia MB với đường tròn (O
2
; R) là P. Các tia
CM và PD cắt nhau ở Q; MP và AQ cắt nhau ở K.
a) Chứng minh tứ giác AMQP nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh tam giác MPQ đều.

c) Tính tỉ số:
AK
AQ
Bài 9:Từ điểm S ở ngoài đường tròn(O; R) vẽ hai tiếp tuyến SA, SB (A, B là các tiếp
điểm) và cát tuyến SCD của đường tròn không đi qua tâm O (C nằm giữa S và D).
a) Gọi I là trung điểm của đoạn CD. Chứng minh tứ giác SAIB nội tiếp.
b) Phân giác góc
·
DCA
cắt dây CD tại M. Chứng minh: SM = SA.
c) Tính thể tích hình cầu được tạo thành khi quay nửa hình tròn (O; R) một vòng
quanh trục d đi qua điểm S và tâm O, biết rằng góc
·
0
ASB 120=
và SA = 10cm.
Bài 10: Cho tam giác ABC, vẽ hai đường cao BF và CE (F thuộc đườang thẳng AC
và E thuộc đường thẳng AB). Gọi giao điểm của BF và CE là H.
a) Chứng minh 4 điểm B, E, F và C cùng thuộc một đường tròn. Hãy xác định
tâm O của đường tròn đó.
b) Chứng minh: AH ⊥ BC.
c) Kéo dài AH cắt BC tại điểm K. Chứng minh KA là tia phân giác của góc
EKF.
d) Giả sử góc
·
BAC
của tam giác ABC là một góc tù. Trong trường hợp này hãy
chứng minh hệ thức:
E AF
1

BE CF
AK A
HK
+ + =
21
22
Một số đề ôn luyện:
Đề số I
Câu 1. Rút gọn biểu thức sau:
A =
1 1
( 0, 1)
a a a a
a a
a a a a
+
>
+
Câu 2. Cho phơng trình: x
2
+ (3 - m).x - m =0 (*)
a) Giải phơng trình (*) khi m = 2
b) Tìm m để phơng trình có một nghiệm bằng -2. Tìm nghiệm còn lại.
c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm đối nhau.
Câu 3. Một hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 10 m. Nếu tăng chiều dài thêm
5m và giảm chiều rộng đi 5 m ta đợc một hình chữ nhật mới có chiều rộng bằng
2
7

chiều dài. Tính chu vi và diện tích hình chữ nhật ban đầu.

Câu 4. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, nội tiếp trong đờng tròn ( O; R). Hai đờng
cao BE và CF của tam giác ABC cắt nhau tại H.
a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp .
b) Hai đờng thẳng BE và CF cắt đờng tròn (O) lần lợt tại P và Q. Chứng minh
ã
ã
BPQ BCQ=
, suy ra EF // PQ
c) Chứng minh OA vuông góc với EF
d) Cho BC = R
3
. Tính bán kính đờng tròn ngoại tiếp AEF theo R.
Câu 5. Giải phơng trình.
1 4 9 0x x x x + + + + =
Hết
22
23
Đề số 2
Câu 1: a) Giải hệ phơng trình sau:



=
=+
123
532
yx
yx
b) Gọi . x
1

; x
2
là hai nghiệm của phơng trình x
2
+2009x 2010 = 0 . Tính
gía trị của biểu thức : A = x
1
+ x
2
+ x
1
. x
2
Câu 2: Cho biểu thức: P =
1
1
:
1
1
1
3
+ì






+ì

+
ì
a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P.
b) Tìm các gia trị của x để P =
4
5
c) Tìm các gía trị nhỏ nhất của biểu thức M =
P
x
x 1
.
1
12

+
Câu 3: Hai ngời thợ sơn cùng sơn cửa cho một ngôi nhà trong hai ngày thì xong việc.
Nếu ngời thứ nhất làm trong 4 ngày rồi nghỉ và ngời thứ hai làm tiếp trong 1 ngày thì
xong việc. Hỏi mổi ngời làm một mình thì bao lâu sẻ xong công việc?
Câu 4: Cho tam giac ABC vuông ở A. Đờng tròn đờng kinh AB cắt cạnh BC tại M.
Trên cung nhỏ AM lấy điểm E ( E khác A; M). Kéo dài BE cắt AC tại F.
a) Chứng minh rằng góc BEM bằng góc ACB, từ đó suy ra MEFC là một t giác nội
tiếp.
b) Gọi K là giao điểm của ME và AC . Chng minh AK
2
= KE.KM
c) Khi điểm E ở vị trí sao cho AE + BM = AB . Chứng minh rằng giao điểm các đ-
ờng phân giác của góc AEM và góc BME thuộc đoạn thẳng AB.
Câu 5: Giải phơng trình:
0941 =++++ xxxx
23

24
Đề số 3
Câu 1: a) Giải phơng trình sau:
2
8 2 1 0x x =
b) Gọi x
1

; x
2
là hai nghiệm của phơng trình x
2
+ 2009x 2010 = 0 . Tính
giá trị của biểu thức : A = x
1
+ x
2
+ x
1
. x
2
.
Câu 2: Cho biu thc:
A =

+










1
2
1:
1
1 xxxx
x
a) Tìm iu kin ca x A có nghĩa, rút gọn A
b) Tính giá tr ca A khi x =
223 +
.
c) Tìm các giá tr ca x sao cho A < -1.
Câu 3: Hai ngời thợ sơn cùng sơn cửa cho một ngôi nhà trong hai ngày thì xong việc.
Nếu ngời thứ nhất làm trong 4 ngày rồi nghỉ và ngời thứ hai làm tiếp trong 1 ngày thì
xong việc. Hỏi mổi ngời làm một mình thì bao lâu sẻ xong công việc ?
Câu 4: Cho đờng tròn (O; R) có hai đờng kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên
đoạn thẳng AB lấy một điểm M ( khác O). Đờng thẳng CM cắt đờng tròn tâm O tại

điểm thứ hai N. Đờng thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N của đờng
tròn tại điểm P. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác OMNP nội tiếp.
b) Tứ giác CMPO là hình bình hành
c) Khi M di động trên đoạn thẳng AB thì P chạy trên đoạn thẳng cố định.
Câu 5: Giải phơng trình:

2
2 2
4 8
4
x
x x+ =
24
25
Đề số 4
Câu 1: 1, Giải hệ phơng trình :
2 4
3 2 1
x y
x y



+ =
=
2, Gọi x
1
,

x
2
là hai nghiệm của phơng trình 2x
2
- 15x - 7 = 0. Tính giá trị biểu
thức : A = x
1
+ x
2
+ x
1
x
2
.
Câu 2: Cho biểu thức P =
2
1 1
1 : 1
1
1
a
a
a


ữ
ữ


+ +

+

với - 1 < a < 1
1, Rút gọn biểu thức P.
2, Tìm các giá trị của a để P
2
= P.
Câu 3 : Một ngời đi xe máy từ địa điểm A đến địa điểm B cách nhau 60 km. Khi từ B
trở về A, do trời ma, ngời đó giảm vận tốc 10 km/h so với lúc đi nên thời gian
về nhiều hơn thời gian đi là 30 phút. Tính vận tốc lúc đi của ngời đó.
Câu 4 : Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB. Trên đờng tròn lấy điểm C ( C khác A và
B ), tia AC cắt tiếp tuyến kẻ từ B của đờng tròn tại điểm D. Gọi I là trung
điểm của AC.
1, Chứng minh

BAD =

CBD.
2, Chứng minh AO.IB = AI.OD .
3, Tìm vị trí của điểm C để diện tích tứ giác BDCO gấp 7 lần diện tích tam
giác BCO.
Câu 5 : Các số thực x, y thoả mãn điều kiện: x
2
8(x + y) + 2xy + 2y
2
+13 = 0.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = x + y.
25