Một số bài toán hay trung học cơ sở

Bài1(2):
Tìmtấtcảcácsốchínhphươngdạng .

Lờigiải:

Do làsốchínhphươngnên =k
2
.
Lạivì:10001≤ ≤99999,=>101≤k<317.Vậykphảilàsốcóbachữsố.Đặtk= .Cũng
từgiảthiếtbàitoán làsốchínhphươngnênathuộc{1,4,5,6,9}.
+)Nếua=1thì:100< <142(trongđóp=1hoặcp=9)
Vớip=1,tacócácsốthỏamãn điềukiệnbàitoánlà:101
2
=10201,111
2
=12321,121
2
=14641;
cònvớip=9tathấykhôngcósốnàothỏamãn điềukiện đềbài.
+)Nếua=4thì:200< <224(p=2hoặcp=8).Thửtrựctiếptacócácsốthỏamãnlà:
202
2
=40804,212
2
=44944.
+)Nếua=5thì:223< <245(trongđóp=5).Trongtrườnghợpnàykhôngcósốnàothỏa
mãn điềukiện đềbài.
+)Nếua=6thì:244< <265(p=4hoặcp=6).Chỉcómộtsốthỏamãntrườnghợpnàylà:
264
2
=69696.

+)Nếua=9thì:300< <317(p=3hoặcp=7).Trườnghợpnàycũngchỉcómộtsốthỏamãn
là:307
2
=94249.Tómlạicó7sốthỏamãn điềukiệnbàira:10201,12321,40804,14641,44844,
69696,94249.

Nhậnxét:

Nếubàitoáncóthêm điềukiệna,b,cđôimộtkhácnhauthìchỉcó5sốthỏamãnđềbài.

Bài3(2):
ChotamgiácABC.CácđiểmM,NtheothứtựthuộccáccạnhAB,ACsaochodiệntích
tamgiácAMNbằngmộtnửadiệntíchtamgiácABC(M≠B;N≠C).Chứngminh:Trọngtâmcủa
tamgiácABCnằmtrongtamgiácAMN.

Lờigiải:
(củabạn NguyễnThịQuỳnhMai,6B,THCSBáncôngHươngKhê,
HàTĩnh
)
GọiGlàtrọngtâmABC.ĐặtLlàgiaođiểmcủaBGvàAC;OlàgiaođiểmcủaBLvàMN.
Tacó:AL=CL;GB/GL=2 (1)
Theogiảthiết:S
(AMN)
=1/2.S
(ABC)
Mặtkhác,vìAL=CLnên:S
(ABL)
=1/2.S
(ABC)
VậyS

(AMN)
=S
(ABL)
=>S
(OLN)
=S
(OMB)
=>S
(BLN)
=S
(NMB)
=>ML//BN
=>:OB/OL=BN/ML=AN/AL<AC/AL=2 (2)(địnhlíTalét)
Từ(1),(2)=>:
OB/OL<GB/GL=>OB/OL+1<GB/GL+1=>BL/OL<BL/GL
=>GL<OL=>GthuộcđoạnOL=>GthuộctamgiácAMN(đpcm).

Nhậnxét:

1)Bàinàycókhánhiềubạnthamgiagiải,tấtcảđềugiải đúng.Tuynhiên,nhiềubạngiảiquádàivà
phứctạp.
2)Ngoàicáchgiảitrêncònmộthướnggiảikhácnữa.
ĐặtPlàgiaođiểmcủaAGvàBC;QlàgiaođiểmcủaAPvàMN.
Tacóđẳngthứcquenthuộc:
AB/AM+AC/AN=2.AP/AQ (3)
Theogiảthiết:
S
(ABC)
/S
(AMN)

=2=>AB/AM.AC/AN=2 (4)
Từ(3),(4),saumộtvàibiến đổi đạisố,tacó:AG<AQ.Từđó=>đpcm.

Bài4(2):
Giảiphươngtrình:
x
2
+2x+3=(x
2
+x+1)(x
4
+x
2
+4)

Lờigiải:
(củabạn PhanViệtThành,8D,THCSLươngThếVinh,TuyHòa,
PhúYên
)
Tacó:x
2
+x+1=(x+1/2)
2
+3/4>0vớimọix
Mặtkhác:Vớimọixtacóx
4
+x
2
+4 ≥4
=>(x

2
+x+1)(x
4
+x
2
+4) ≥4(x
2
+x+1)
=x
2
+2x+3+2x
2
+(x+1)
2
>x
2
+2x+3
Chứngtỏphươngtrìnhvônghiệm.

Bài5(2):
Tìmx,y đểbiểuthức:
đạtgiátrịnhỏnhất.

Lờigiải:

Tacó:
Dấu“=”xảy rakhivàchỉkhiy=1và3≥x≥1.

Bài1(3):
Tìmtấtcảcáccặpsốnguyênkhôngâm(x,y)saocho:x y=x

2
+xy+y
2
.

Lờigiải:

Giảsửcócặpsốnguyênkhôngâm(x,y)thỏamãnhệthứcx y=x
2
+xy+y
2
(1)
Từđódễdàng=>rằngx≥x y=x
2
+xy+y
2
≥3xy(2)
Nếux=0,từ(1)tacóy=y
2
=>y=0.
Nếux≠0,thayx=1vào(2)=>1≥3y=>y=0,thayy=0vào(1)=>x=x
2
=>x=1.
Tómlại:Cóhaicặpsố(0,0);(1,0)thỏamãn đềbài.

Bài2(4):
Choa,b,clà3sốthỏamãn điềukiện:
Tínhtổng:a
2001
+b

2002
+c
2003
.

Lờigiải:
Từ(1)=>a,b,c≤1.Trừtừngvếcủa(1)cho(2)tacó:a
2002
(1 a)+b
2002
(1 b)+c
2002
(1 c)=0
(3)
Vìa,b,c≤1nêna
2002
(1 a)≥0;b
2002
(1 b)≥0;c
2002
(1 c) ≥0.
Từđótacóa
2001
=a
2003
;b
2002
= b
2003
.

=>:a
2001
+b
2002
+c
2003
=a
2003
+b
2003
+c
2003
=1

Nhậnxét:

1/Từlờigiảitrên,kếthợpvới(1)hoặc(2)cóthể=>trongbasốa,b,ccóđúngmộtsốbằng1và
haisốcònlạibằng0.
2/Mộtsốbạntừ(1)=>0≤a≤1làsai.Mộtsốbạntự thêmgiảthiếta,b,clàcácsốnguyêndương.

Bài4(4):
ChoΔABCnhọn,bađườngcaoAD,BEvàCFcắtnhautạiH.QuaAvẽcácđườngthẳng
songsongvớiBE,CFlầnlượtcắtcácđườngthẳngCF,BEtạiPvàQ.ChứngminhrằngPQvuông
gócvớitrungtuyến AMcủaΔABC.

Lờigiải:

Vì ΔABCnhọnnêntrựctâmHnằmtrongΔABC(hìnhdưới).
LầnlượtđặtIlàgiaođiểmcủaAHvàPQ;KlàgiaođiểmcủaAMvàPQ.Từgiảthiết=>tứgiác
APHQlàhìnhbìnhhành,nênIlàtrungđiểmcủaAH.

Cũngtừgiảthiết=>APvuônggócvớiAC;AQvuônggócvớiAB=> ÐBAC=ÐAQH; ÐACB
= ÐAHQ(cáccặpgóccóhaicạnhtươngứngvuônggóc)
=>ΔABCđồngdạngvới ΔQAH(g.g)=>AB/QA=BC/AH=AC/AH.
MặtkhácM,IlầnlượtlàtrungđiểmcủaBC,AHnên:
AM/QI=BC/AH=MC/IH=>AM/QI=MC/IH=AC/QH
=>ΔAMCđồngdạngvới ΔQIH(c.c.c)
=> ÐCAM= ÐHQIhay ÐEAK= ÐEQK=>tứgiácKAQEnộitiếp
=> ÐAKQ= ÐAEQ=90
o
(cùngchắncungAQ,BQvuônggócvớiAC)=>PQvuônggócvới
AM(đpcm).
Bài3(5):
SosánhAvàBbiết:
A=(2003
2002
+2002
2002
)
2003
B=(2003
2003
+2002
2003
)
2002

Lờigiải:
(củabạn VõVănTuấn)
Tasẽchứngminhbàitoántổngquát:
(a

n
+b
n
)
n+1
>(a
n+1
+b
n+1
)
n
vớia,b,nlàcácsốnguyêndương.
Thậtvậy,khôngmấttínhtổngquát,giảsửa≥b.(a
n
+b
n
)
n+1
=(a
n
+b
n
)
n
.(a
n
+b
n
)>(a
n

+b
n
)
n
.a
n
=
[(a
n
+b
n
)a]
n
=(a
n
.a+b
n
.a)
n
≥(a
n
.a+b
n
.b)
n
=(a
n+1
+b
n+1
)

n
.
Vớia=2003,b=n=2002,tacóA>B.

Bài4(5):
TamgiácABCcóElàtrungđiểmcạnhBCsaocho ÐEAB=15
o
, ÐEAC=30.Tính Ð
C.
Lờigiải:
(củabạnPhạmThịHồngAnh)
GọiFlàđiểm đốixứngcủaCquaAEvàIlàgiaođiểmcủaCFvàAE,=>AIvuônggócvớiCI.
XéttamgiácvuôngIAC,vuôngtạiI,có ÐIAC=30
o
=> ÐACF= ÐACI=60
o
(1).
TacóAIlàtrungtrựccủaCFnên ΔAFCcân,từ(1)=>ΔAFCđều.
Nhậnxétrằng,IElàđườngtrungbìnhcủaΔBFCnênIE//FB,màIEvuônggócvớiFC=>BF
vuônggócvớiFChay ΔBFCvuôngtạiF=>gócBFC=90
o
;ΔAFCđều=> ÐCFA=ÐCAF=60
o
,=>:
ÐBFA= ÐBFC+CFA=90
o
+60
o
=150
o

ÐFAB= ÐCAF  ÐCFA  ÐBAE=60
o
 30
o
 15
o
=15
o
.
XétΔFBA, ÐBFA=150
o
và ÐFAB=15
o
.=> ÐFBA=15
o
suraΔFBAcântạiF=>FB=FA=
FC.Từđó, ΔBFCvuôngcântạiF=> ÐBCF=45
o
(2)
Từ(1),(2)=> ÐACB= ÐACF+ ÐBCF=60
o
+45
o
=105
o
.
Vậy ÐC=105
o
.


Bài2(7):
Choa,b,cthỏamãn:a/2002=b/2003=c/2004.
Chứngminhrằng:4(a b)(b c)=(c a)
2

Lờigiải:
Theotínhchấtcủatỉlệthứctacó:
a/2002=b/2003=c/2004=(a b)/(2002 2003)=(b c)/(2003 2004)=(c a)/(2004 2002)
=>:(a b)/1=(b  c)/1=(c  a)/2
=>:(a b)(b c)=[(c  a)/2]
2
=>4(a b)(b c)=(c a)
2
(đpcm).

Bài4(8):
ChohìnhchữnhậtABCD(nhưhìnhvẽ),biếtrằngAB=30cm,AD=20cm,AM=10
cm,BP=5cm,AQ=15cm.TínhdiệntíchtamgiácMRS.

Lờigiải:
GiảsửđườngthẳngPQcắtcácđườngthẳngCD,ABtươngứngtạiE,F.
Tacó:DE/EC=QD/CP=5/15=1/3,hayDE/DC=1/2=>DE=15cm.
TathấytamgiácQDE=tamgiácPBF=>BF=DE=15cm.
Lạicó:DE/MF=DR/MR=15/35=3/7=>MR/MD=7/10(1).
VìMS/MC=MF/EC=35/45=7/9=>MS/MC=7/16(2)
Tacó:S
MDC
=S
ABCD
SAMDS

BMC
=AB.AD 1/2AD.(AM+MB)=300(cm
2
)(3)
Mặtkhác,từ(1)và(2)tacó:
S
MRS
/S
MCD
=(MR/MD).(MS/MC)=7/10.7/16=47/160
Dođó,từ(3)tacó:
S
MRS
=300.(49/160)=91,875(cm
2
).

Bài5(8):
ChotamgiácABCkhôngvuông.CácđườngcaoBB’,CC’cắtnhautạiH.GọiKlàtrung
điểmcủaAH,IlàgiaođiểmcủaAHvàB’C’.Chứngminhrằng:IlàtrựctâmcủatamgiácKBC.

Lờigiải:

Trườnghợp1: TamgiácABCnhọn(hìnhvẽ).GọiLlàđiểm đốixứngcủaHquaBC.
Tacó: ÐBLC= ÐBHC= ÐB'HC'(đối đỉnh)=180
o
 ÐBAC(VìAC'HB'nộitiếp)
=> ÐBLC+ ÐBAC=180
o
=>tứgiácABLCnộitiếp

=> ÐCLA= ÐCBA.(1)
Mặtkhác,vì ÐBB'C= ÐBC'C(=90
o
)nêntứgiácBC’B’Cnộitiếp=> ÐAB'C'= ÐCBC'.
(2)
Từ(1)và(2)=>: ÐCLI= ÐAB'I=>tứgiácCLIB’nộitiếp=> ÐB'CI= ÐB'LI.(3)
Theogiảthiết,tamgiácAHB’vuôngtạiB’,B’KlàtrungtuyếnnênKB’=KH=> ÐKB'H= Ð
KHB'= ÐBHL= ÐBLH(vìtamgiácBLHcântạiB)=>tứgiácKB’LBnộitiếp,suyra ÐB'BK
= ÐB'LK.(4)
Từ(3)và(4)=>tứgiácBCB’Enộitiếp(ElàgiaocủaCIvàBK)
=> ÐBEC= ÐBB'C=90
o
=>CIvuônggócvớiBK.
Chúýrằng:KIvuônggócvớiBC
VậyIlàtrựctâmcủatamgiácKBC.
Trườnghợp2: TamgiácABCtù,chứngminhhoàntoàntươngtựnhưtrườnghợp1.

Bài1(11):
Phântíchsố8030028thànhtổngcủa2004sốtựnhiênchẵnliêntiếp.
Lờigiải:

Tathấy:Tổngcủa2004sốtựnhiênchẵnliêntiếplàS=a+(a+2)+ +(a+4006)=[a+(a+
4006)]:2x2004=(a+2003)x2004.
DođóS=8030028tươngđươngvới(a+2003)x2004=8030028haya=2004.
Vậy8030028=2004+2006+2008+ +6010.

Bài2(11):
TìmsốnguyênalớnnhấtsaochosốT=4
27
+4

1016
+4
a
làsốchínhphương.

Lờigiải:
Taxétalàsốnguyênthỏamãna≥27vàTlàsốchínhphương.NhậnxétT=4
27
(1+
4
989
+4
a  27
)=(2
27
)
2
.(1+2
1978
+(2
a  27
)
2
),=>S=1+2
1978
+(2
a  27
)
2
làsốchínhphương.

Chúý:1+2
1978
+(2
a  27
)
2
>(2
a  27
)
2
=>1+2
1978
+(2
a  27
)
2
≥(2
a  27
+1)
2
Tứclàtacó2
1978
≥2.2
a  27
=>1978≥a 26=>2004≥a.
Vớia=2004thìT=(2
27
)
2
.(2

1977
+1)
2
làsốchínhphương.
Vậysốnguyên alớnnhấtcầntìmlàa=2004

Bài4(11):
TínhgócAcủatamgiácABCbiếtrằng ÐO
1
OO
2
=90
o
vớiO
1
,O,O
2
lầnlượtlàtâm
củacácđườngtrònnộitiếp,ngoạitiếpvàbàngtiếp(tronggócA)củatamgiácABC.

Lờigiải:
GọiIlàgiaođiểmcủaAO
2
với đườngtròn(O).
Tathấy: ÐIBO
1
= ÐIO
1
B(=(ÐA+ ÐB)/2)=>ΔIBO
1

cântạiI,từđóIB=IO
1
(1).
Mặtkhác ÐO
1
BO
2
=90
o
nên ÐIBO
2
= ÐIO
2
BhayΔIBO
2
cântạiI=>IB=IO
2
(2).
Từ(1),(2)=>IO
1
=IO
2
.
Theogiảthiết ÐO
1
OO
2
=90
o
=>OI=1/2.O

1
O
2
.
DođóOI=BI=OB=R(bánkínhcủađườngtròn(O))=>ΔBIOđều=> ÐBOI=60
o
,=> ÐBAI
=30
o
.Vậy ÐBAC=60
o
.

Bài5(11):
VềphíangoàicủatamgiácABCtadựngcáctamgiácvuôngđồngdạngABE,ACF(Ð
ABE= ÐACF=90
o
).
Chứngminhrằng:BF,CEvàđườngcaoAHcủatamgiácđồngquy.

Lờigiải:
Cách1:
(củabạnVõVănTuấn,7A5,THCSBuônHồ,KRôngBuk,ĐắkLắk)
Vì ΔBEA đồngdạngvới ΔCFAnênAB/EB=AC/FC.
TrêntiađốicủatiaAHlấy điểmKsaocho:AK=AB/EB.BC=AC/FC.CB(hình1)
VìAK=AB/EB.BCnênAK/AB=BC/BE(1)
Mặtkhác: ÐKAB= ÐCBE(2)(haigóccócạnhtươngứngvuônggócvàcùngtù)
Từ(1),(2)=>:ΔKABđồngdạngvới ΔCBE
=>:ÐABK= ÐBEC=> ÐABK+ ÐEBK= ÐBEC+ ÐEBK
=>:90

o
= ÐENB(NlàgiaođiểmcủaECvàBK)=>CEvuônggócvớiBK.
Tươngtựnhưvậy:BFvuônggócvớiCK.
VậyBF,CE,AHlàbađườngcaocủaΔBCK=>BF,CE,AHđồngquy.

Cách2:
(củacácbạnHuỳnhQuốcUyvàTrầnLươngKhiêm,9A,THCSTrầnHưngĐạo,Quảng
Ngãi)
ĐặtI=BFgiaovớiCE.GọiM,NlàhìnhchiếucủaAtrênCE,BF (hình2).
DễthấycáctứgiácAMBE,ANCF,AMIN,AMHCnộitiếp.VìcáctứgiácAMBE,ANCFnộitiếp
vàvì ΔABEđồngdạngvới ΔACFnêntacó:
ÐBME= ÐBAE= ÐCAF= ÐCNF=> ÐBMC= ÐBNC
=>TứgiácBMNCnộitiếp=> ÐMNB= ÐMCB(1)
VìtứgiácAMINnộitiếpnên: ÐMNB= ÐMAI(2)
VìtứgiácAMHCnộitiếpnên: ÐMCB= ÐMAH(3)
Từ(1),(2),(3)=>: ÐMAI= ÐMAH=>tiaAItrùngtiaAH=>IthuộcAH=>BF,CE,AHđồng
quy.
Trênđây,tamớichỉvẽhìnhvàgiảibàitoántrongtrườnghợpcácgócABC,ACB<90
o
.Nếu Ð
ACB≥90
o
hoặc ÐACB≥90
o
thìtacũngcólờigiảitươngtự.

Bài1(12):
ChosốtựnhiênN=2003
2004
.ViếtNthànhtổngcủaksốtựnhiênnàođón

1
,n
2
,…,n
k
.
S=n
1
3
+n
2
3
+…+n
k
3
.TìmsốdưcủaphépchiaScho6.

Lờigiải:

Vìa
3
a=a.(a
2
1)=(a 1).a.(a+1)làtíchcủabasốnguyênliêntiếpnên a
3
achiahếtcho6với
mọisốnguyêna.
ĐặtN=n
1
+n

2
+…+n
k
,tacó:
S N=(n
1
3
+n
2
3
+…+n
k
3
)  (n
1
+n
2
+…+n
k
)=(n
1
3
 n
1
)+(n
1
3
 n
1
)+… +(n

k
3
n
k
)chiahết
cho6=>SvàNcócùngsốdưkhichiacho6.
Mặtkhác,2003chiacho6dư5=>2003
2
chiacho6dư1=>N=2003
2004
=(2003
2
)
1002
chiacho6
dư1.Vậy:Schiacho6dư1.

Bài4(12):
ChohìnhthangvuôngABCDcóAD//BC,ABvuônggócvớiAD,AD=4cm,AB=
BC=2cm.Hãytìmmộtcon đườngngắnnhấtđitừđỉnhAtớimộtđiểmMtrêncạnhDC,rồitới
điểmNtrêncạnhAB,quaylạimộtđiểmPtrêncạnhDCvàtrởvềA.

Lờigiải:
BàitoánđưavềtìmgiátrịnhỏcủatổngT=AM+MN+NP+PA.
Tacầnkếtquảsau.
Bổđề: Trongmộthìnhthangvuông,độdài đoạnthẳngnốihai điểmnằmtrênhaicạnhbênkhông
nhỏthuađộdài đáynhỏ(cácbạntựchứngminhbổđềnày).
ápdụngbổđề,tacó:MN≥BC;NP≥BC=>MN+NP≥2BC(1).
DựngCHcuônggócvớiAD.NhậnthấytứgiácABCHlàhìnhvuông,=>:CH=AH=AB=BC=
2cm=>DH=2cm.

TacóCH=AH=HD=2cm=>ΔCADvuôngcântạiC.
VìP,MthuộcCD=>PA≥AC;AM≥AC=>AM+PA≥2AC(2).
Từ(1),(2)=>T≥2(AC+BC)=
đẳngthứcxảyrakhivàchỉkhiP,M,CtrùngnhauvàNtrùngvớiB.
Vậycon đườngngắnnhấtthỏamãn điềukiện đềbàidài chínhlàconđường:A đếnC
đếnBđếnCđếnA.

Bài5(13)
:ChohìnhthangABCDcóABsongsongvàbằngmộtnửaCD.HlàtrungđiểmcủaCD.
ĐiểmMnằmngoàihìnhthangsaochoMHvuônggócvàbằngmộtphầntưCD.
Bênngoàihìnhthang,tadựngcáctamgiácADE,BCFvuôngcântạiE,F.Chứngminhrằngtam
giácMEFvuôngcântạiM.

Lờigiải
:

Cách1
:(củabạnChuToànThắng)Trướchết,tanhắclạimộtbổđềquenthuộc.

Bổđề(*)
:ChotamgiácABC.Vềphíangoàicủatamgiác,tadựngcáctamgiácABE,ACFvuông
cântạiE,F.MlàtrungđiểmcủaAB.Khi đó,tamgiácMEF vuôngcân.
Trởlạibàitoán.
TrêntiađốicủatiaMD,lấy điểmKsaocho:MK=MD(hình1). Dễthấy:KCvuônggócvớiDC
(1)vàCK=2MH(2)
dd>Từ(1)=>: ÐKCF=360
o
 ÐKCD ÐDCB  ÐBCF=360
o
90

o
(180
o
 ÐCBA)45
o
=
45
o
+ ÐCBA= ÐFBC+ ÐCBA= ÐABFVậy: ÐKCF= ÐABF
Từ(2)=>:KC=1/2CD=AB(4)
Từ(3),(4)vàCF=BF(dotamgiácBCFvuôngcântạiF)tacó:ΔKCF=ΔABF (c.g.c)
=>FK=FA; ÐCFK= ÐAFB
=> ÐKFA= ÐCFB+ ÐCFK  ÐBFA= ÐCFB=90
0
=>ΔAKFvuôngcântạiF.
ápdụngbổđề(*)chotamgiácADKvàcáctamgiácADE,AKFvuôngcântạiE,Ftacó: ΔMEF
vuôngcântạiM.

Cách2
:(củabạnNguyễnTài Đại)
GọiKlàtrungđiểmcủaAB.Lấy điểmNnằmngoàihìnhthangABCDsaochoNK=AB;NK
vuônggócvớiAB(hình2).
Dễthấy:tamgiácMHC=tam giácBKN=>MC=NB;mặtkhác,AB//CDvàtamgiácBCF
vuôngcântạiFnên ΔFMC=ΔFNB(c.g.c)=>ΔMFNvuôngcântạiF(bạn đọctựchứngminh).
Tươngtựnhưvậy,ΔMENvuôngcântạiE.
=>MENFlàhìnhvuông=>tamgiácMEFvuôngcântạiM.
Bài1(14):
Chox;ythỏamãn:
Hãytínhgiátrịcủabiểuthứcsau:
T=x

2003
+y
2003
.

Lờigiải:
Nhậnxét:
Dođókếthợpvớigiảthiếttasuyra:
Cộngtheotừngvếcủahai đẳngthứctrêntacó:y+x=x y.
Suyrax+y=0.DođóT=x
2003
+y
2003
=x
2003
+(x)
2003
=x
2003
x
2003
=0.

Bài4(14):
Cho∆ABC.TrêncáctiađốicủacáctiaCB,AC,BAlầnlượtlấycácđiểmA
1
,B
1
,C
1

saochoAB
1
=BC
1
=CA
1
.Chứngminhrằngnếu∆A
1
B
1
C
1
đềuthì∆ABCcũngđều.

Lờigiải:

Giảsử∆A
1
B
1
C
1
đều.Khôngmấttínhtổngquáttacóthểgiảthiết:
Khiđó:CB
1
≥AC
1
≥BA
1
hayCA ≥AB≥BC(doAB

1
=BC
1
=CA
1
),suyra
Mặtkhác,từ(*)suyra:(do∆A
1
B
1
C
1
đều).Nhưng
Từ(1),(2)suyra∆ABCđều(đpcm).

Bài5(14):
ChobađiểmA,B,Cthẳnghàng,AB=BC.Mộtđườngtròn(O) điquaA,B.Cáctiếp
tuyếnvới(O)kẻtừA,CcắtnhautạiS.TlàtiếpđiểmcủaSCvà(O).SBcắt(O)tạiE(EkhácB).
Chứngminhrằng:ET//AB.

Lờigiải:

VìSA,STtiếpxúcvới(O)nêntacó: ÐSTE= Ð SBT; ÐSAE= ÐSBA=>∆STEđồngdạngvới
∆SBT;∆SAEđồngdạngvới∆ABA
Mặtkhác,vìtứgiácAETBnộitiếpnên: ÐTEA= ÐTBC(2)
Từ(1),(2)tacó:∆TEA đồngdạngvới∆TBC=> ÐEAT= ÐBCT.
Từđó,vớichúýrằng: ÐEAT= ÐETS,tacó: ÐBCT= ÐETS=>ET//AB(haigócđồngvị
bằngnhau).

Bài4(15)

:ChotamgiácABCcóAB>AC.TrêncáccạnhAB,AClấycácđiểmN,Mtươngứng,
saochoAN=AM.GọiOlàgiaođiểmcủaBM,CN.
Chứngminhrằng:OB>OC.

Lờigiải:
(củabạn DươngCaoNguyên)
VìAB>AC>AM=ANnêntồntại điểmKthuộcđoạnBNsaocho:AK=AC.GọiLlàgiao
điểmcủaKMvàCN.VìKthuộcđoạnBNnênLthuộcđoạnON=> ÐOMN> ÐLMN.
Mặtkhác,dễthấytamgiácLMNcântạiL => ÐLMN= ÐLNM.
Vậy: ÐOMN> ÐONM=>ON>OM (1).
∆AKM=∆ACN(c.g.c)=>KM=CN (2).
VìAK=ACnêntamgiácAKCcântạiA
=> ÐAKC<90
o
=> ÐBKM>90
o
=> ÐBKM> ÐKMB=>BM>KM (3).
Từ(2)và(3)suyra:BM>CN (4)
Từ(1)và(4)suyra:BM OM>CN ON=>OB>OC.