Tuyển tập các bài toán hay Hình học 9

TUYỂN TẬP CÁC B ÀI TOÁN HAY H ÌNH HỌC 9
Bài 1: Cho một đường tròn (O) đường kính AB. Gọi C là điểm chính giữa cung AB. Gọi
M là điểm di động trên cung BC, dây AM cắt OC ở E.Chứng minh tâm I của đường tròn
ngoại tiếp tam giác OME luôn thuộc đoạn thẳng cố định.
Bài 2: Cho tam giác ABC nhọn có trực tâm H. Gọi E, F lần lượt là trung điểm AH, BC.
Các đường phân giác góc ABH và ACH cắt nhau tại P.Chứng minh ba điểm E, F, P
thẳng hàng .
Bài 3 : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O),H là trực tâm của tam
giác ABC.Gọi E là điểm đối xứng của H qua BC.
a) Chứng minh E thuộc đường tròn (O).
b) Gọi I là giao điểm của hai đường phân giác trong của tam giác ABC và D là điểm đối
xứng của I qua BC .Tìm điều kiện của tam giác ABC để D thuộc đường tròn (O).
Bài 4: Các đường cao AH, BE,CF của tam giác nhọn ABC cắt đường tròn ngoại tiếp
tam giác đó tại các điểm thứ 2 tương ứng là M,N,P.Chứng minh :
a)
AM BN CP
+ + = 4
AH BE CF
b)
≤
2 2 2
1
HA.HM + BE.EN + FC.FK (AB + AC + BC )
4
Bài 5 : (BMO 2004)Cho hai đường tròn tiếp xúc trong tại M. Đường tiếp tuyến với
đường tròn bên trong tại P cắt đường tròn bên ngoài tại Q và R.Chứng minh :
·
·
QMP = RMP
Bài 6 : (BMO 2000)Hai đ ường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại M, N.Vẽ tiếp tuyến chung
PQ (gần N hơn )của hai đường tròn.

( )
∈ ∈P (O);Q (O')
PN cắt đường tròn (O’) tại
R.Chứng minh:
a) MQ là phân giác
·
PMR
.
b) Diện tích hai tam giác MNP và MNQ bằng nhau.
c)
·
·
OMO' = 2PMQ
Bài 7: (BMO 2004)Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O)vẽ hai tiếp tuyến AB và AC với
đường tròn (O). PQ là đường kính bất kỳ . PA, PB, PC cắt đường tiếp tuyến tại Q của
đường tròn (O) theo thứ tự tại các điểm L, M, N.Chứng minh: L là trung điểm của MN.
Bài 8 : (BMO 2004)Cho AB là đường kính của đường tròn tâm O và CD là dây cung
thẳng góc với AB. Một dây cung bất kỳ AE cắt CO tại M, DE cắt BC taị N
Chứngminh.:CM.CB=CN.CO
Bài 9 : (BMO 1999)Cho đường tròn đường kính AB. Điểm C cố định trên AB. Điểm
P bất kỳ trên đường tròn.Chứng minh :
·
·
tgAPC
tgPAC
không đổi.
Bài 10: (BMO 1994)Cho đ ư ờng tr òn (O) T ừ một đi ểm P ở ngoài đ ư ờng tròn (O)
vẽ hai tiếp tuyến PQ và PR ( Q và R là hai tiếp đi ểm ). Trên PQ nối dài, lấy điểm A.
Đường tròn ngoại tiếp tam giác PAR cắt đường tròn (O) tại B và AR cắt đường
tr òn (O) tại C.Chứng minh

·
·
PAR = ABC
Bài 11: (BMO 1996)Tam giác ABC có các góc đều nhọn, nội tiếp đường tròn tâm
O.Vẽ đường tròn tâm O' ngoại tiếp tam giác ABO. Đường thẳng CA cắt đường
tròn (O’) tại P và CB cắt đường tròn (O’) tại Q. Chứng minh: CO vuông góc PQ.
Bài 12 : (BMO 2001)Cho hai đường tròn tiếp xúc trong tại A. Từ điểm P của đường
tròn lớn, vẽ các tiếp tuy ến PX và PY với đường tròn nhỏ , PX v à PY cắt đường
tròn lớn tại các điểm Q và R. Chứng minh
·
·
QAR = 2XAY
.
Bài 13 : (BMO 2004)Cho tam gi ác đều ABC và điểm D trên cạnh BC. Một đường
tròn tiếp xúc với BC tại D, cắt cạnh AB tại M, N và cắt cạnh AC tại P, Q.
Chứng minh: BD+AM+AN=CD+ AP + AQ.
Bài 14 : (BMO 2004)Cho tam giác ABC c ó AD và BE là hai đường cao. Đường
thẳng AD cắt nửa đường tròn đường kính BC tại P.Đường thẳng BE cắt nửa đường
tròn đường kính AC tại Q. Chứng minh : CP = CQ.
Bài 15: Cho hai tam giác ABC và DEF có hai đáy AB và DE cùng nằm trên một
đường thẳng. DF//AC và EF//BC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEC và đường
tròn ngoại tiếp tam giác CBD cắt nhau tại C, G. Chứng minh C, G, F thẳng hàng.
Bài 16 : ( BMO 2005) Cho tam giác ABC có số đo góc A bằng 120
0
.

AD, BE, CF
là ba đường phân giác trong của tam giác ABC. Chứng minh đường tròn đường kính
EF đi qua D.
Bài 17 : (BMO1995)Tam giác ABC với ba trung điểm D, E, F của 3 cạnh BC , AC ,

AB .Chứng minh:
·
·
DAC = ABE
nếu và chỉ nếu
·
·
AFC = ADB
=
Bài 18 :(BMO1997)Cho tam giác ABC. Đường cao CF và trung tuyến BM. Nếu
BM = CF và
·
·
MBC = FCM
, Chứng minh tam giác ABC đều.
Bài 19 :(BMO 2001)Cho tam giác ABC (
µ
µ
C > B
). Phân giác trong góc A cắt BC tại
D.Điểm E trên AB sao cho góc EDB vuông.Điểm F trên AC sao cho
·
·
BED = DEF
.
Chứng minh:
·
·
BAD = FDC
Bài 20: (BMO 2001) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) . DA và CB cắt

nhau tại P.Gọi là giao điểm của hai đường chéo AC và BD .Cho biết : CD = CP =
CQ, Chứng minh :
·
0
CAD = 60
.
Bài 21: (BMO 2002)Cho tam giác ABC nội tiếp đường tr òn (O, R ) và đường cao
AD. Hạ DE và DF thẳng góc với hai cạnh AB và AC . Tính độ dài EF theo R và các
tỉ số lượng giác các góc của tam giác ABC
Bài 22: (BMO 2005) Cho tứ giác nội tiếp ABCD với AC là phân giác góc A. Lấy
điểm E trên AD.Chứng minh : CE = CA nếu và chỉ nếu DE = AB.
Bài 23: (BMO 2007) Tam giác có ba góc ABC nhọn với AB > AC,
·
0
BAC = 60
.Gọi
O là tâm đường ngoại tiếp, H là trực tâm tam giác ABC , và OH cắt cạnh AB tại P và
AC tại Q. Chứng minh : PO = HQ.
Bài 24: (BMO 2008) Tam giác ABC có góc A tù, nội tiếp trong vòng tròn. Lấy điểm
Q trên cung BC có chứa điểm A. Kẻ đường kính QP.Từ Q, hạ các đường thẳng góc
xuống AC và AB, theo thứ tự tại các điểm V và W. Chứng minh hai tam giác PBC
và AWV đồng dạng.
Bài 25: Cho tam giác ABC nội tiếp trong vòng tròn. Phân giác của ba góc A,
B, C cắt đường tròn tại A', B', C'. Đường A'B' cắt BC tại N và đường C'B'
cắt AB tại M. Chứng minh MN đi qua tâm O của đường tròn nội tiếp tam giác ABC
Bài 26:Cho tam giác ABC vng tại A.Trên BC lấy điểm D sao cho
·
·
BDA = 2.BAD

Chứng minh :
2 1 1
= +
AD BD CD
Bài 27: Cho hình bình hành ABCD.Lấy điểm E sao cho AE thẳng góc AB và EC
thẳng góc BC. Chứng minh
·
·
DEA = CEB
.
Bài 28 : Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại M và N .Gọi d là tiếp tuyến
chung của hai đường tròn (O) và (O’) tại A và B (d gần M hơn N ) .Qua M vẽ
đường thẳng song song với d cắt hai đường tròn (O) và (O’) tại C và D .Biết CA
và BD cắt nhau tại E , AN cắt CD tại P , BN cắt CD tại Q .Chứng minh :
a) Tứ giác AEBN là tứ giác nội tiếp .
b) EP = EQ
Bài 29 : Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B .Tiếp tuyến tại A của
đường tròn (O) cắt đường tròn (O’) tại N . Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O’)
cắt đường tròn (O) tại M .Biết BN cắt đường tròn (O) tại Q , BM cắt đường tròn
(O’) tại P .Chứng minh MP = NQ.
Bài 30 : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). AD là đường
kính của đường tròn .Tiếp tuyến tại D của đường tròn (O) cắt BC tại P .Đường
thẳng PO cắt AC và AB tại M và N .Chứng minh OM = ON
Bài 31 : Cho M là một điểm trên đoạn thẳng AB ( MB < MA ) .Trên cùng một
nửa mặt phẳng bờ là AB vẽ hai hình vuông AMCD và MBFE .Hai đường tròn
ngoại tiếp hai hình vuông AMCD và MBEF cắt nhau tại N .Chứng minh ba điểm
A, F ,N thẳng hàng .
Bài 32 : Cho đường tròn (O) có AB là đường kính .C và D là hai điểm trên hai tia
đối nhau của tiếp tuyến tại B của đường tròn .AC và AD cắt đường tròn tại E và F
.CF và DE cắt đường tròn lần lượt tại G và H .Chứng minh BG = BH .

Bài 33 : Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại P và Q .Một đường thẳng qua
P cắt hai đường tròn lần lượt tại A và A’ .Một đường thẳng qua Q song song
AA’cắt hai đường tròn tại B và B’(A và B cùng thuộc một đường tròn ).Chứng
minh hai tam giác PBB’ và QAA’ có cùng chu vi .
Bài 34 : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn .đường tròn tâm O đường kính AC cắt
AB tại F .đường tròn tâm O’ đường kính AB cắt AC tại E .BE cắt (O) tại P và CF
cắt đường tròn (O’) tại Q . Chứng minh AP = AQ .
Bài 35* : P là điểm trên đường cao AD của tam giác ABC. BP, CP cắt AB và AC
theo thứ tự tại E, F.Chứng minh: AD là phân giác góc EDF.
Bài 36 : (3 điểm) Cho tam giác PNM. Các đường phân giác trong của các góc M và
N cắt nhau tại K, các đường phân giác ngồi của các góc M và N cắt nhau tại H.a)
Chứng minh KMHN là tứ giác nội tiếp.
b) Biết bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác KMHN bằng 10cm và đoạn KM bằng
6cm, hãy tính diện tích tam giác KMH.
I
P
N
O'
B
A
M
E
H
P
N
M
D
C
B
A

B ài 37 : Cho đường tròn (O; R) và AB < 2R cố định. Một điểm M di chuyển trên
cung lớn AB (M khác A và B). Gọi I là trung điểm của AB; (O') là đường tròn đi qua
M và tiếp xúc với AB tại A. Đường thẳng MI cắt (O) và (O') lần lượt tại N và P.
Chứng minh rằng:
a) IA
2
= IP.IM.
b) Tứ giác ANBP là hình bình hành.
c) IB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp ΔMBP.
d) Khi M di chuyển trên cung lớn AB thì trọng tâm G của ΔPAB chạy trên một
cung tròn cố định.
Bài 38: Cho ΔABC vuông cân tại A, trung tuyến AD. M là điểm bất kì trên đoạn AD.
Gọi N, P lần lượt là hình chiếu của M trên AB, AC; H là hình chiếu của N trên DP.
Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C, kẻ Bx vuông góc với BA và gọi E là
giao điểm của DP và Bx.
a) Chứng minh rằng: ΔEBN vuông cân.
b) Chứng minh rằng: 3 điểm B, M, H thẳng hàng và tứ giác AHDB nội tiếp.
c) Xác định vị trí của điểm M để diện tích ΔAHB là lớn nhất.
d) Chứng minh rằng: Đường thẳng HN luôn đi qua một điểm cố định khi M
thay đổi trên đoạn AD.