hệ phương trình trong đề thi đại học
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (262.81 KB, 10 trang )
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
1
-
Hệ phương trình trong các kỳ thi tuyển sinh đại học(đề chính thức)
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối D-2012: Giải hệ phương trình sau
3 2 2 2
2 0
2 2 0
xy x
x x y x y xy y
+ − =
− + + − − =
trong đó
(
)
,x y∈
ℝ
Hướng dẫn giải
Hệ phương trình đã cho tương đương với
(
)
( )
( )
( )
2
2 0 1
2 1 0 2
xy x
x y x y
+ − =
− + − =
Với
2 1 0 2 1
x y y x
− + = ⇔ = +
thay vào phương trình 1 của hệ ta được
2
1 5
1 0
2
x x x
− ±
+ − = ⇔ =
.
Do
đ
ó ta có các nghi
ệ
m
( ) ( )
1 5 1 5
; ; 5 , ; ; 5
2 2
x y x y
− + − −
= = −
V
ớ
i
2 2
0 .
x y y x
− = ⇔ =
Thay vào ph
ươ
ng trình (1) c
ủ
a h
ệ
ph
ươ
ng trình ta
đượ
c
(
)
(
)
3 2
2 0 1 2 0 1
x x x x x x
+ − = ⇔ − + + = ⇔ =
. Do
đ
ó ta
đượ
c nghi
ệ
m
(
)
(
)
; 1;1
x y =
V
ậ
y nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
ph
ươ
ng trình
(
)
;
x y
đ
ã cho
là
1 5 1 5
; 5 , ; 5
2 2
− + − −
−
và
(
)
1;1
Trích t
ừ
đề
thi tuy
ể
n sinh
Đạ
i h
ọ
c kh
ố
i A-2012: Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình sau
3 2 3 2
2 2
3 9 22 3 9
1
2
x x x y y y
x y x y
− − + = + −
+ − + =
trong đó
(
)
,x y∈
ℝ
Hướng dẫn giải
Ta có:
(
)
( )
3 2 3 2
2 2
3 9 22 3 9 1
1
2
2
x x x y y y
x y x y
− − + = + −
+ − + =
Hệ phương trình đã cho tương đương với
( ) ( ) ( ) ( )
3 3
2 2
1 12 1 1 12 1
1 1
1
2 2
x x y y
x y
− − − = + − +
+ + + =
Từ (2), suy ra
1 3 1
1 1 1
2 2 2
1 1 3
1 1 1
2 2 2
x x
y y
− ≤ − ≤ − ≤ − ≤
⇔
− ≤ − ≤ − ≤ − ≤
Xét hàm số
(
)
3
12
f t t t
= −
trên
3 3
;
2 2
−
;
(
)
(
)
2
' 3 4 0
f t t
= − <
, suy ra
(
)
f t
là hàm ngh
ị
ch bi
ế
n.
Do
đ
ó (1) t
ươ
ng
đươ
ng
(
)
1 1 2 3
x y y x− = + ⇔ = −
Thay vào (2), ta
đượ
c
2 2
2
1
1 3
2
1 4 8 3 0
3
2 2
2
x
x x x x
x
=
− + − = ⇔ − + = ⇔
=
Thay vào ph
ươ
ng trình (3), ta
đượ
c nghi
ệ
m c
ủ
a h
ệ
ph
ươ
ng trình
(
)
;
x y
là
1 3
;
2 2
−
ho
ặ
c
3 1
;
2 2
−
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
2
-
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối A-2011: Giải hệ phương trình sau
(
)
( )
( )
2 2 3
2
2 2
5 4 3 2 0
2
x y xy y x y
xy x y x y
− + − + =
+ + = +
trong
đ
ó
(
)
,x y∈
ℝ
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
Ta có:
(
)
(
)
( )
( ) ( )
2 2 3
2
2 2
5 4 3 2 0 1
2 2
x y xy y x y
xy x y x y
− + − + =
+ + = +
T
ừ
ph
ươ
ng trình (2) t
ươ
ng
đươ
ng
( )
( )
2 2
2 2
1
1 2 0
2
xy
xy x y
x y
=
⇔ − + − = ⇔
+ =
+
1;
xy
=
từ phương trình (1) suy ra
4 2
2 1 0 1
y y y
− + = ⇔ = ±
Do đó, nghiệm
(
)
(
)
; 1;1
x y =
hoặc
(
)
(
)
; 1; 1
x y
= − −
+
2 2
2
x y
+ =
, từ phương trình (1) suy ra
(
)
(
)
( )
( )( )
2 2 2 2
2 2
3 4 2 2 0
6 4 2 2 0
1
1 2 0
2
y x y xy x y x y
y xy x y x y
xy
xy y x
x y
+ − + − + =
⇔ − + − + =
=
⇔ − − = ⇔
=
Với
2
x y
=
, từ
( )
2 2
2 10 10
2 ; ;
5 5
x y x y
+ = ⇒ =
ho
ặ
c
( )
2 10 10
; ;
5 5
x y
= − −
V
ậ
y h
ệ
ph
ươ
ng trình
đ
ã cho cho 4 nghi
ệ
m
( ) ( )
2 10 10
1;1 , 1; 1 , ;
5 5
− −
2 10 10
;
5 5
− −
Trích t
ừ
đề
thi tuy
ể
n sinh
Đạ
i h
ọ
c kh
ố
i D-2011: Tìm m
để
h
ệ
ph
ươ
ng trình sau có nghi
ệ
m
(
)
3 2
2
2 2
1 2
x y x xy m
x x y m
− + + =
+ − = −
trong
đ
ó
(
)
,x y∈
ℝ
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
Đặ
t
2
1
, ; 2
4
u x x u v x y
= − ≥ − = −
H
ệ
ph
ươ
ng trình
đ
ã cho tr
ở
thành
(
)
(
)
2
2 1 0 1
1 2
1 2
uv m
u m u m
u v m
v m u
=
+ − + =
⇔
+ = −
= − −
H
ệ
ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m khi và ch
ỉ
khi ph
ươ
ng trình (1) có nghi
ệ
m th
ỏ
a mãn
1
4
u
≥ −
V
ớ
i
1
4
u
≥ −
, ta có : (1)
( )
2
2
2 1
2 1
u u
u u u m
u
− +
⇔ + = − + ⇔ =
+
Xét hàm s
ố
( )
2
2 1
u u
f u
u
− +
=
+
V
ớ
i
1
4
u
≥ −
, ta có
( )
( )
( )
2
2
2 2 1 1 3
' ; ' 0
2
2 1
u u
f u f u u
u
+ − − +
= − = ⇔ =
+
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
3
-
Trích từ đề thi tuyển sinh Cao đẳng-2011: Giải hệ phương trình sau
2 2
2 2 3 2
2 2
x y x y
x xy y
+ = − −
− − =
trong đó
(
)
,x y∈
ℝ
Hướng dẫn giải
Điều kiện
2 0
x y
+ ≥
, đặt
2 , 0
t x y t
= + ≥
.
Phương trình (1) trở thành :
( )
2
1
2 3 0
3
t
t t
t loai
=
+ − = ⇔
= −
V
ớ
i t =1, ta có
1 2
y x
= −
. Thay vào (2) ta
đượ
c
2
1
2 3 0
3
x
x x
x
=
+ − = ⇔
= −
V
ớ
i x=1 ta
đượ
c
1
y
= −
V
ớ
i
3
x
= −
ta
đượ
c
7
y
=
V
ậ
y h
ệ
ph
ươ
ng trình có nghi
ệ
m
(
)
;
x y
là
(
)
1; 1
−
và
(
)
3;7
−
Trích t
ừ
đề
thi tuy
ể
n sinh
Đạ
i h
ọ
c kh
ố
i D-2010: Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình sau
( )
2
2
2
4 2 0
2log 2 log 0
x x y
x y
− + + =
− − =
trong
đ
ó
(
)
,x y∈
ℝ
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
Điều kiện
(
)
2; 0 1
x y> >
Từ hệ phương trình đã cho ta có :
2 2
0
2
4 2 0 3 0
2 2
3
1
x
y
x x y x x
x y y x
x
y
=
= −
− + + = − =
⇔ ⇔
− = = −
=
=
Đối chiếu nghiệm của hệ phương trình với điều kiện ta thấy nghiệm của hệ là
(
)
(
)
; 3;1
x y =
Trích t
ừ
đề
thi tuy
ể
n sinh
Đạ
i h
ọ
c kh
ố
i B-2010: Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình sau
(
)
2
2
log 3 1
4 2 3
x x
y x
y
− =
+ =
trong
đ
ó
(
)
,x y∈
ℝ
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
Điều kiện
1
3
y
>
, phương trình thứ nhất của hệ phương trình cho ta
3 1 2
x
y
− =
Do đó, hệ phương trình đã cho tương đương với
( )
2
2
2
1
1
2
3 1 2
3 1 2
2
1
1
6 3 0
3 1 3 1 3
2
2
x
x
x
x
y
y
y
y y
y y y
y
= −
=
− =
− =
⇔ ⇔ ⇔
=
− =
− + − =
=
Vậy hệ phương trình có nghiệm
( )
1
; 1;
2
x y
= −
Trích t
ừ
đề
thi tuy
ể
n sinh
Đạ
i h
ọ
c kh
ố
i A-2010: Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình sau
(
)
( )
2
2 2
4 1 3 5 2 0
4 4 2 3 4 7
x y y
x y x
+ + − − =
+ + − =
trong
đ
ó
(
)
,x y∈
ℝ
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
4
-
Điều kiện:
3 5
;
4 2
x y
≤ ≤
. Phương trình thứ nhất của hệ phương trình tương đương với
(
)
(
)
(
)
2
4 1 2 5 2 1 5 2 1
x x y y+ = − + −
Nhận xét phương trình (1) có dạng
( )
(
)
2 2 2
f x f y
= −
, với
(
)
(
)
2
1
f t t t
= +
Ta có
(
)
2
' 3 1 0
f t t
= + >
suy ra f là hàm số đồng biến trên R.
Do đó:
( )
2
0
1 2 5 2
5 4
2
x
x y
x
y
≥
⇔ = − ⇔
−
=
The vào phương trình thứ hai của hệ phương trình , ta được
( )
2
2 2
5
4 2 2 3 4 7 0 3
2
x x x
+ − + − − =
Nhận thấy
0
x
=
và
3
4
x
=
không phải là nghiệm của phương trình (3)
Xét hàm số
( )
2
2 2
5
4 2 2 3 4 7
2
g x x x x
= + − + − −
, trên khoảng
3
0;
4
( )
( )
2 2
5 4 4
' 8 8 2 4 4 3 0
2
3 4 3 4
g x x x x x x
x x
= − − − = − − ≤
− −
Suy ra
(
)
g x
là hàm số nghịch biến.
Mặt khác
1
0
2
g
=
, do đó phương trình (3) có nghiệm duy nhất
1
2
2
x y
=
⇒
=
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm
( )
1
; ;2
2
x y
=
Trích t
ừ
đề
thi tuy
ể
n sinh
Đạ
i h
ọ
c kh
ố
i D-2009: Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình sau
(
)
( )
2
2
1 3 0
5
1 0
x x y
x y
x
+ + − =
+ − + =
trong
đ
ó
(
)
,x y∈
ℝ
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
Hệ phương trình đã cho tương đương với
( )
2
2
2 2
2
1
1
1
3
3 3
1
2 1
1 0 1
1 1 2
5 4 6
3 5
1 0 2 0
1 1 0
2
3
1
2
2
x
x
x y
x y y
x y x y
x
x x
x
x y
x
x x x
x x
y
x y
=
=
+ = −
+ = =
+ + − = + = −
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
=
=
+ − + = − + =
− − + =
= −
+ =
Vậy
Hệ phương trình đã cho có nghiệm
(
)
;
x y
là
(
)
1;1
và
3
2;
2
−
Trích t
ừ
đề
thi tuy
ể
n sinh
Đạ
i h
ọ
c kh
ố
i B-2009: Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình sau
2 2 2
1 7
1 13
xy x y
x y xy y
+ + =
+ + =
trong
đ
ó
(
)
,x y∈
ℝ
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
Hệ phương trình đã cho tương đương với
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
5
-
( )
( )
2
2
2
2
1
5
1
1
1 1
7
7
20 0
12
1
1
1 1
13
4
13 1
3
x
x
y
I
x
x
x
x x
y y
x y
y y
y y
x
x x
x
x
x x
y y
y
II
y y y y
x y
+ = −
+ + =
+ + =
+ + + − =
=
⇔ ⇔ ⇔
+ + =
+ =
+ − = = − +
=
+ Hệ phương trình (I) vô nghiệm
+ Hệ phương trình (II) có nghiệm
( )
1
; 1;
3
x y
=
và
(
)
(
)
; 3;1
x y =
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối A-2009: Giải hệ phương trình sau
(
)
( )
2 2
2 2
2 2
log 1 log
3 81
x xy y
x y xy
− +
+ = +
=
trong
đ
ó
(
)
,x y∈
ℝ
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
Điều kiện:
(
)
0 *
xy >
, hệ phương trình đã cho tương đương với
2 2
2
2 2
2
2
4
4
x y
x y xy x y
y
y
x xy y
=
+ = =
⇔ ⇔
= ±
=
− + =
Kết với với điều kiện ta thấy hệ phương trình đã cho có nghiệm
(
)
2;2
và
(
)
2; 2
− −
Trích t
ừ
đề
thi tuy
ể
n sinh
Đạ
i h
ọ
c kh
ố
i A-2008: Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình sau
( )
( )
2 3 2
4 2
5
4
,
5
1 2
4
x y x y xy xy
x y
x y xy x
+ + + + = −
∈
+ + + = −
ℝ
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
Ta có biến đổi:
( )
( )
( )
( )
2 3 2 2 2
2
4 2 2
5 5
4 4
*
5 5
1 2
4 4
x y x y xy xy x y xy xy x y
x y xy x x y xy
+ + + + = − + + + + = −
⇔
+ + + = − + + = −
Đặt
2
u x y
v xy
= +
=
. Hệ phương trình (*) trở thành
2
2 3 2
5 5 5
0,
4 4 4
5 1 3
0 ,
4 4 2 2
u v uv v u u v
u
u v u u u v
+ + = − = − − = = −
⇔ ⇔
+ = − + + = = − = −
Giải ta được nghiệm của hệ phương trình
(
)
;
x y
là
3
3
5 25
;
4 16
−
và
3
1;
2
−
Trích t
ừ
đề
thi tuy
ể
n sinh
Đạ
i h
ọ
c kh
ố
i B-2008: Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình sau
4 3 2 2
2
2 2 9
2 6 6
x x y x y x
x xy x
+ + = +
+ = +
trong
đ
ó
(
)
,
x y∈
ℝ
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
Hệ phương trình đã cho tương đương với
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
6
-
(
)
( )
2
2
2
2
3
2 4 3 2
2
2 9
0
3 3 2 9 12 48 64 0 4 0
4
2
3 3
2
x xy x
x
x
x x x x x x x x x
x
x
xy x
+ = +
=
⇒ + + − = + ⇔ + + + = ⇔ + = ⇔
= −
= + −
+ Với x=0 không thỏa mãn hệ phương trình
+ Với
17
4
4
x y
= − ⇒ =
Vậy nghiệm của hệ phương trình là
( )
17
; 4;
4
x y
= −
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối D-2008: Giải hệ phương trình sau
( )
2 2
2
,
2 1 2 2
xy x y x y
x y
x y y x x y
+ + = −
∈
− − = −
ℝ
Hướng dẫn giải
Điều kiện:
1, 0
x y
≥ ≥
Hệ phương trình đã cho tương đương với
(
)
(
)
(
)
( )
2 1 0 1
2 1 2 2 2
x y x y
x y y x x y
+ − − =
− − = −
Từ điều kiện ta có
0
x y
+ >
nên
(
)
(
)
1 2 1 3
y⇔ +
Thay (3) vào(2) ta được
(
)
(
)
(
)
1 2 2 1 2 1 0 5
y y y y do y x
+ = + ⇔ = + > ⇒ =
Vậy nghiệm của hệ phương trình là
(
)
(
)
; 5;2
x y =
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối D-2007:
Xác định m để hệ phương trình sau có nghiệm thực
3 3
3 3
1 1
5
1 1
15 10
x y
x y
x y m
y y
+ + + =
+ + + = −
trong
đ
ó
(
)
,x y∈
ℝ
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
Đặt
( )
1
2, 2
1
u x
x
u v
v y
y
= +
≥ ≥
= +
. Hệ phương trình đã cho tương đương với
( )
3 3
5
5
8
3 15 10
u v
u v
uv m
u v u v m
+ =
+ =
⇔
= −
+ − + = −
Vậy u và v là hai nghiệm của phương trình
(
)
2
5 8 1
t t m− + =
Hệ phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm thỏa
1 2
2, 2
t t
≥ ≥
, (Hai nghiệm này không nhất thiết phân biệt)
Xét hàm số
(
)
2
5 8
f t t t
= − +
với
2
t
≥
.
Bảng biến thiên của hàm số
(
)
f t
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
7
-
Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy để hệ phương trình có nghiệm thì
22
m
≥
hoặc
7
2
4
m
≤ ≤
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối D-2006:
Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất
(
)
(
)
( )
ln 1 ln 1
,
x y
e e x y
x y
y x a
− = + − +
∈
− =
ℝ
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
Điều kiện: : x, y>-1. Hệ phương trình đã cho đường thẳng với
(
)
(
)
(
)
( )
ln 1 ln 1 0 1
2
x a x
e e x a x
y x a
+
− + + − + + =
= +
Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình (1) có nghiệm duy
nhất trong khoảng
(
)
1;
− + ∝
.
Xét hàm số
(
)
(
)
(
)
ln 1 ln 1
x a x
f x e e x a x
+
= − + + − + +
với x>-1
Do f(x) liên tục trong khoảng
(
)
1;
− + ∝
. và
(
)
(
)
1
lim ; lim
x
x
f x f x
+
→+∝
→−
= − ∝ = + ∝
Nên phương trình
(
)
0
f x
=
có nghiệm trong khoảng
(
)
1;
− + ∝
.
Mặt khác
( )
( )
( )( )
1 1
' 1 0, 1.
1 1 1 1
x a x x a
a
f x e e e e x
x a x x a x
+
= − + − = − + > ∀ > −
+ + + + + +
Suy ra f(x) là hàm số đồng biến trong khoảng
(
)
1;
− + ∝
.
Do đó, phương trình
(
)
0
f x
=
có nghiệm duy nhất trong khoảng
(
)
1;
− + ∝
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
Trích t
ừ
đề
thi tuy
ể
n sinh
Đạ
i h
ọ
c kh
ố
i A-2006: Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình sau
( )
3
,
1 1 4
x y xy
x y
x y
+ − =
∈
+ + + =
ℝ
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
Điều kiện: :
1, 1; 0
x y xy
≥ − ≥ − ≥
. Đặt
(
)
0
t xy t
= ≥
. Từ phương trình thứ nhất của hệ
phương trình ta suy ra:
3
x y t
+ = +
Bình phương hai vế của phương trình thứ hai ta được
(
)
2 2 1 16 2
x y xy x y+ + + + + + =
Thay
2
, 3
xy t x y t
= + =
vào phương trình (2) ta được
( )
( )
2 2
2
2
2
0 11
0 11
3 2 2 3 1 16 2 4 11 3
4 4 11
3 26 105 0
t
t
t t t t t t t
t t t
t t
≤ ≤
≤ ≤
+ + + + + + = ⇔ + + = − ⇔ ⇔ ⇔ =
+ + = −
+ − =
Với
3
t
=
ta có
6
9
x y
xy
+ =
=
suy ra nghiệm của hệ phương trình là
(
)
(
)
; 3;3
x y =
Trích t
ừ
đề
thi tuy
ể
n sinh
Đạ
i h
ọ
c kh
ố
i B-2005: Gi
ả
i h
ệ
ph
ươ
ng trình sau
( )
2 3
9 3
1 2 1
3log 9 log 3
x y
x y
− + − =
− =
trong
đ
ó
(
)
,x y∈
ℝ
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
+ Ta có:
( )
( )
( )
2 3
9 3
1 2 1 1
3log 9 log 3 2
x y
x y
− + − =
− =
; Điều kiện:
1
0 2
x
y
≥
< ≤
Từ phương trình (2) của hệ suy ra
(
)
3 3 3 3
3 1 log 3log 3 log log
x y x y x y
+ − = ⇔ = ⇔ =
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
8
-
Thay
y x
=
vào phương trình (1) ta có
( )( ) ( )( )
1
1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 0
2
x
x x x x x x x x
x
=
− + − = ⇔ − + − + − − = ⇔ − − = ⇔
=
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm
(
)
(
)
; 1;1
x y =
và
(
)
(
)
; 2;2
x y =
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối D-2004: Giải hệ phương trình sau
1
1 3
x y
x x y y m
+ =
+ = −
trong đó
(
)
,x y∈
ℝ
Hướng dẫn giải
Đặt
u x
v y
=
=
điều kiện
0
0
u
v
≥
≥
Hệ phương trình đã cho trở thành
3 3
1
1
1 3
u v
u v
uv m
u v m
+ =
+ =
⇔
=
+ = −
Vậy u, v là hai nghiệm của phương trình
(
)
2
0 **
t t m− + =
Hệ phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi hệ (*) có nghiệm sao cho
0
0
u
v
≥
≥
. Điều này
tương đương phương trình (**) có nghiệm t không âm
1 4 0
1
1 0 0
4
0
m
S m
m
∆ = − ≥
⇔ = ≥ ⇔ ≤ ≤
≥
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối A-2004: Giải hệ phương trình sau
( )
1 4
4
2 2
1
log log 1
25
y x
y
x y
− − =
+ =
trong đó
(
)
,x y∈
ℝ
Hướng dẫn giải
Điều kiện: y > x và y > 0
( ) ( )
1 4 4 4 4
4
1 1 3
log log 1 log log 1 log 1
4
y x y
y x y x x
y y y
−
− − = ⇔ − − − = ⇔ − = ⇔ =
Thay vào phương trình
2 2
25
x y
+ =
ta có
2
2
3
25 4
4
y
y y
+ = ⇔ = ±
So sánh điều kiện ta được
4 3
y x
= ⇒ =
thỏa mãn điều kiện
Vậy nghiệm của hệ phương trình là
(
)
(
)
; 3;4
x y =
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối B-2003: Giải hệ phương trình sau
( )
2
2
2
2
2
3
,
2
3
y
y
x
x y
x
x
y
+
=
∈
+
=
ℝ
trong
đ
ó
(
)
,x y∈
ℝ
H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i
Điều kiện:
0; 0
x y
≠ ≠
Khi đó hệ phương trình đã cho tương đương với
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
9
-
(
)
(
)
2 2
2 2
2 2
3 0
3 2
3 2
3 2
x y xy x y
x y y
xy x
xy x
− + + =
= +
⇔
= +
= +
Trường hợp 1:
2 2
1
1
3 2
x y
x
y
xy x
=
=
⇔
=
= +
Trường hợp 2:
2 2
3 0
3 2
xy x y
xy x
+ + =
= +
vô nghiệm vì từ (1) và (2) ta có x, y >0
Vậy nghiệm của hệ phương trình là
1
x y
= =
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối A-2003: Giải hệ phương trình sau
( )
3
1 1
,
2 1
x y
x y
x y
y x
− = −
∈
= +
ℝ
Hướng dẫn giải
Điều kiện:
0
xy
≠
Ta có phương trình (1) tương đương
( )
1
1 0
1
x y
x y
xy
xy
=
− + = ⇔
= −
Trường hợp 1:
( )
( )
2
3 3
1
1 5
1 1 0
2
2 1 2 1
1 5
2
x y
x y
x y x y
x y
x x x
y x x x
x y
= =
=
= =
− +
⇔ ⇔ ⇔ = =
− + − =
= + = +
− −
= =
Trường hợp 2:
( )
( )
3
4
3
1
1
3
1
2
2 1
2 0 4
1
y
y
xy
x
x
y x
x x
x
x
= −
= −
=
⇔ ⇔
= +
+ + =
− = +
Phương trình (4) của hệ vô nghiệm vì
2 2
4 2
1 1 3
2 0;
2 2 2
x x x x x
+ + = − + + + > ∀
Vậy hệ phương trình có nghiệm
(
)
;
x y
là
(
)
1;1
,
1 5 1 5
;
2 2
− + − +
và
1 5 1 5
;
2 2
− − − −
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối D-2002: Giải hệ phương trình sau
3 2
1
2 5 4
4 2
2 2
x
x x
x
y y
y
+
= −
+
=
+
trong đó
(
)
,x y∈
ℝ
Hướng dẫn giải
Hệ phương trình đã cho tương đương với
3 2
3 2
2 0
2 5 4 2 0
0
1
2 5 4 0
4
x
x x
x
y
y y y
y
y
y y y y
y
= >
= − = >
=
⇔ ⇔
=
= − + =
=
TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ĐT:0905671232–0989824932
E mail:
-
Trang
10
-
So sánh điều kiện ta thấy hệ phương trình có nghiệm
(
)
;
x y
là
(
)
0;1
và
(
)
2;4
Trích từ đề thi tuyển sinh Đại học khối B-2002: Giải hệ phương trình sau
3
2
x y x y
x y x y
− = −
+ = + +
trong đó
(
)
,x y
∈
ℝ
Hướng dẫn giải
Ta có:
( )
( )
3
1
2 2
x y x y
x y x y
− = −
+ = + +
Điều kiện:
( )
0
3
0
x y
x y
− ≥
+ ≥
Từ phương trình (1) tương đương
( )
3 6
1 0
1
x y
x y x y
x y
=
− − − = ⇔
= +
Thay
x y
=
vào phương trình (2), giải ra ta được
1
x y
= =
Thay
1
x y
= +
vào phương trình (2), giải ra ta được
3 1
;
2 2
x y
= =
Kết hợp với điều kiện (3) ta có nghiệm của hệ phương trình
(
)
;
x y
là
(
)
1;1
và
3 1
;
2 2
Lời kết:
+ Qua 10 năm thực hiện đề thi chung của bộ giáo dục, chúng tôi đã biên soạn và giới thiệu
đến cộng đồng một hệ thống những chuyên đề luyện thi tuyển sinh đại học của từng năm.
+Tài liệu được sưu tập và biên soạn lại bởi thầy giáo Nguyễn Quốc Tuấn kết hợp với trung
tâm giáo viên Quốc Tuấn địa chỉ 157 Đặng Văn Ngữ - Thành phố Huế -Điện thoại:
0905671232-0989824932. Là nơi quy tụ những giáo viên giảng dạy và luyện thi đạy học có
uy tín trên địa bàn thành phố Huế. Luôn có những chính sách và những phương pháp giảng
dạy cũng như tính cập nhật hàng đầu. Luôn mở các lớp, các nhóm dạy học chất lượng cao
với chi phí rẽ. Đặc biệt hưởng lợi được từ hàng ngàn tài liệu trên Xuctu.com và hàng trăm
Video Tutorial bài giảng được cấp phát miễn phí cho học viên tại trung tâm cũng như cộng
đồng học sinh.
+ Đặc biệt trong năm học 2013-2014, trung tâm mở ra chương trình khuyến học như sau:
- Miễn phí đến học một tuần để khẳng định chất lượng
- Giảm ngay 20% học phí tháng đầu tiên khi đến học
- Tặng ngay 20% học phí tháng đầu tiên khi các học viên khác giới thiệu 1 học viên
đến học
- Được sự giảng dạy trực tiếp của thầy cô giáo đầy kinh nghiệm luyện thi
- Phòng học thoáng mát, yên tỉnh tuyệt đối.
- Được phép học tăng cường khi chưa hiểu bài
Đến tham quan và đăng ký học tại địa chỉ trên hoặc tìm hiểu thông qua số điện thoại:
0905671232 hoặc website
Trân trọng và chúc các em học sinh sức khỏe và may mắn
