Học toán cần phải biết thắc mắc

Học toán cần phải biết thắc mắc
Luôn tự đặt các câu hỏi và tìm cách giải đáp trước mỗi vấn đề khi học toán là một
phẩm chất rất đáng khích lệ. Nó không những giúp bạn hiểu kĩ được vấn đề mà còn tạo cho
bạn phong cách học tập chủ động và thói quen suy nghĩ sâu sắc, đầy đủ.
Tôi đã thực hiện kinh nghiệm học toán này từ khi còn đang ngồi trên ghế nhà trường,
hôm nay xin được chia sẻ cùng với các bạn thông qua một ví dụ.
Khi học bài “Đường trung bình của tam giác - áp dụng vào tam giác vuông”, SGK
Hình Học 7 cũ (trang 51) có nêu hai định lí sau đây :
Định lí 1 : Trong tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh
huyền.
Định lí 2 : Trong một tam giác nếu trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy
thì tam giác đó là tam giác vuông.
* Việc chứng minh hai định lí này không khó (dựa vào tính chất đường trung bình
trong tam giác) nhưng vấn đề sẽ nảy sinh nếu định lí 1 được phát biểu bằng cách khác :
“Trong một tam giác, trung tuyến xuất phát từ đỉnh góc vuông bằng nửa cạnh đối diện với
đỉnh đó”.
Câu hỏi tôi đã đặt ra khi đó là : Trong một tam giác, trung tuyến xuất phát từ đỉnh góc
nhọn (hay đỉnh góc tù) so với cạnh đối diện với đỉnh đó sẽ như thế nào ? Không khó khăn lắm
để có trả lời cho câu hỏi này.
Trường hợp 1 (trung tuyến xuất phát từ đỉnh góc nhọn) :
Cho tam giác ABC có Đ A = 90
o
M là trung điểm của BC. Ta so sánh AM với
BC/2;
Không mất tính tổng quát, giả sử Đ B < 90
o
(hình 1). Gọi H là hình chiếu vuông góc
của C trên AB thì H phải thuộc đoạn thẳng AB (H khác A và H khác B). Suy ra :
Đ AHM = Đ AHC + Đ CHM > Đ AHC = 90
o

=> Đ H là góc lớn nhất trong tam giác AHM => AM > HM.
Mặt khác, theo định lí 1 thì HM = BC/2 nên : AM > BC/2.
Trường hợp 2 (trung tuyến xuất phát từ đỉnh góc tù) :
Cho tam giác ABC có Đ A > 90
o
, M là trung điểm của BC. Ta so sánh AM với BC/2 :
Dựng hình bình hành ABDC (hình 2).
Dễ thấy M là trung điểm của AD và Đ ACD < 90
o
, theo định lí 1 thì AD/2 < CM.
Suy ra AM = BC/2.
Như vậy ta có thêm hai định lí sau đây :
Định lí 1.1 : Trong một tam giác, trung tuyến xuất phát từ đỉnh góc nhọn lớn hơn nửa
cạnh đối diện với đỉnh đó.
Định lí 1.2 : Trong một tam giác, trung tuyến xuất phát từ đỉnh góc tù nhỏ hơn nửa
cạnh đối diện với đỉnh đó.
Bằng phương pháp phản chứng ta dễ dàng chứng minh được hai định lí khác :
Định lí 2.1 : Trong một tam giác nếu trung tuyến ứng với một cạnh lớn hơn nửa cạnh
ấy thì góc đối diện với cạnh này nhọn.
Định lí 2.2 : Trong một tam giác nếu trung tuyến ứng với một cạnh nhỏ hơn nửa cạnh
ấy thì góc đối diện với cạnh này tù.
* Tôi đã rất vui sướng đem kết quả này khoe với người anh họ. Anh ấy khen và đặt
thêm cho tôi một câu hỏi : Với tam giác vuông ABC vuông tại A, trung tuyến AM. Đặt BC =
a, AM = m
a
khi đó định lí 1 được viết dưới dạng hệ thức là : m
a
= a/2 (*), vậy có hệ thức tổng
quát tính độ dài các đường trung tuyến khi ABC là tam giác bất kì không ?
Phải đợi đến khi học định lí Py-ta-go ở lớp 8 tôi mới trả lời được câu hỏi này, chính là

định lí sau đây (trong SGK mới, định lí Py-ta-go được giới thiệu ngay từ lớp 7).
Định lí 3 : Một tam giác có độ dài ba cạnh là a, b, c và độ dài ba đường trung tuyến
tương ứng là m
a
, m
b
, m
c
thì :
Chứng minh (**) : Dựng đường cao AH (hình 3), không mất tổng quát, giả sử H
thuộc tia MB. Theo định lí Py-ta-go ta có :
AB
2
= AH
2
+ HB
2
= AH
2
+ |MB - MH|
2

= AH
2
+ MH
2
+ MB
2
- 2.MB.MH
= AM

2
+ BC
2
/4 - 2,MB.MH ;
AC
2
= AH
2
+ HC
2
= AH
2
+ (MC + MH)
2

= AH
2
+ MH
2
+ MC
2
+ 2.MC.MH
= AM
2
+ BC
2
/4 + 2.MB.MH.
* Tôi tiếp tục dự đoán và chứng minh được định lí 3 bao trùm các định lí 1 ; 1.1 ; 1.2.
Ta có :
Việc dự đoán và chứng minh trên đã dẫn tôi đến các kết quả (1), (2), chính là các mở

rộng của định lí Py-ta-go. Đảo lại của định lí Py-ta-go và các kết quả (1), (2) cũng
đúng.
Chứng minh (1) : Tam giác ABC có Đ A < 90
o
. Không mất tính tổng quát, giả sử Đ B
< 90
o
(hình 4).
Gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên AB thì H phải thuộc đoạn thẳng AB (H
khác A và H khác B). Suy ra :
BC
2
= BH
2
+ CH
2
= (BA - AH)
2
+ AC
2
- AH
2

= AB
2
+ AC
2
- 2.AB.AH < AB
2
+ AC

2

=> a
2
< b
2
+ c
2
.
Chứng minh (2) : Tam giác ABC có Đ B < 90
o
(hình 5).
Gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên AB thì A phải nằm giữa B và H. Suy ra :
BC
2
= BH
2
+ CH
2
= (BA + AH)
2
+ AC
2
- AH
2

= AB
2
+ AC
2

+ 2.AB.AH > AB
2
+ AC
2

=> a
2
> b
2
+ c
2
.
Liệu lại có một công thức bao trùm cả định lí Py-ta-go và các mở rộng của nó không,
các bạn thử tìm xem ? Và nếu các bạn quan tâm thì vẫn còn nhiều câu hỏi, thắc mắc
đang chờ được giải đáp.
Các bạn thấy đấy, với cách học này chúng ta còn phát hiện ra những mối quan hệ
khăng khít giữa các khái niệm, các kiến thức Toán học ; chủ động phát hiện và chứng
minh những kiến thức mới mà không nhất thiết phải chờ thầy dạy.
Chúc các bạn thành công.
Đặng Văn Biểu
(Gia Lâm, Hà Nội)