Giáo trình Hóa Lượng Tử - Chương 4 pptx

32

Chơng 4
Chơng 4Chơng 4
Chơng 4



Hệ tiê
Hệ tiêHệ tiê
Hệ tiên đề của cơ học lợng tử
n đề của cơ học lợng tửn đề của cơ học lợng tử
n đề của cơ học lợng tử




4.1. Tiên
4.1. Tiên4.1. Tiên
4.1. Tiên đề về hàm sóng (
đề về hàm sóng ( đề về hàm sóng (
đề về hàm sóng (tiên đề 1)
tiên đề 1) tiên đề 1)
tiên đề 1) -

- Nguyên lí chồng chất các trạng thái
Nguyên lí chồng chất các trạng thái Nguyên lí chồng chất các trạng thái
Nguyên lí chồng chất các trạng thái

4.1.1. Hàm sóng
a. Nội dung:
a. Nội dung:a. Nội dung:
a. Nội dung:
Mỗi trạng thái của một hệ vật lí vi mô (hệ lợng tử) đợc đặc
trng bằng một hàm xác định, đơn trị, hữu hạn, liên tục phụ thuộc vào thời gian t và toạ
độ q, kí hiệu là hàm
(q,t); gọi là hàm sóng hay hàm trạng thái của hệ

.
Mọi thông tin về hệ lợng tử chỉ có thể thu đợc từ hàm sóng mô tả trạng thái
cuả hệ.
b.
b. b.
b. ý
ý ý
ý nghĩa vật lí và tính chất của hàm sóng
nghĩa vật lí và tính chất của hàm sóngnghĩa vật lí và tính chất của hàm sóng
nghĩa vật lí và tính chất của hàm sóng


- Vì hàm sóng (q,t) nói chung là hàm phức nên nó không có ý nghĩa vật lí trực
tiếp, mà chỉ có bình phơng modun
2
(trị này là thực) của hàm sóng mới có ý nghĩa

là mật độ xác suất tìm thấy hạt tại toạ độ tơng ứng, đó chính là ý nghĩa vật lí của hàm
sóng.
- Nếu gọi dw là xác suất tìm thấy hạt trong một thể tích dv xung quanh một
điểm nào đó trong không gian thì ta sẽ có: dw =

2

dv
Mật độ xác suất
2

=
dv
dw
(4.1)
Nếu lấy tích phân của
2

trong toàn không gian ta sẽ có xác suất tìm thấy
hạt trong toàn không gian, theo lí thuyết xác suất thì xác suất này bằng 1.


2

dv = 1 (4.2)
Biểu thức (4.2) muốn thoả mãn tích phân
2

dv phải có giá trị hữu hạn,
nghĩa là 0 đủ nhanh ở vô cực.

Đây là điều kiện chuẩn hoá của hàm sóng, hàm
(q,t)
gọi là hàm đã chuẩn hoá.
Ngoài ra, hàm

(q,t)
phải thoả mãn tính chất đơn trị, hữu hạn và liên tục để thảo
mãn tính chất của một hàm mật độ vì:
1- Tính đơn trị: Vì
2

biểu thị mật độ xác suất của hạt và xác suất là một đại lợng
hoàn toàn xác định nên phải là một hàm đơn trị của toạ độ, nêú không tại một toạ độ
xác định ta sẽ thu đợc nhiều giá trị xác suất và điều này hoàn toàn không có ý nghĩa
vật lý.
2- Tính hữu hạn: Vì xác suất là hữu hạn nên hàm sóng phải hữu hạn tại mọi vị trí.
3- Tính liên tục: Vì trạng thái của hệ lợng tử phải biến đổi liên tục trong không gian,
nên hàm sóng mô tả trạng thái của hạt phải là một hàm liên tục.


33

4.1.2. Nguyên lí chồng chất trạng thái

Trong cơ học lợng tử xuất phát từ bản chất của hàm sóng ngời ta thừa nhận
một nguyên lí, gọi là nguyên lí chồng chất trạng thái. Đây là một nguyên lí cơ bản của
cơ học lợng tử.

Nếu các hàm
1
,
2
, .,
n
là các hàm sóng mô tả trạng thái của một hệ lợng

tử, thì tổ hợp tuyến tính của chúng cũng mô tả đợc trạng thái của hệ lợng tử đó

.
= C
1

1
+ C
2

2
+ . + C
n

n
: hàm trạng thái (4.3)
C
1
, C
2
, . là những hệ số tuỳ ý.
Nguyên lí chồng chất phản ánh tính chất độc lập của một trạng thái này đối với
một trạng thaí khác.



4.2.
4.2.4.2.
4.2.

Tiên đề về toán tử (tiên đề 2)
Tiên đề về toán tử (tiên đề 2)Tiên đề về toán tử (tiên đề 2)
Tiên đề về toán tử (tiên đề 2)


4.2.1. Nội dung:
Tơng ứng với mỗi đại lợng vật lí L của hệ lợng tử ở trạng thái
thì có một toán tử Hermit L tơng ứng
Giữa các toán tử này có các hệ thức giống nh những hệ thức đại lợng vật lí
trong cơ học cổ điển.

4.2.2. Một toán tử trong cơ học lợng tử tơng đơng với một đại lợng vật lí trong cơ
học cổ điển


a.Toán tử toạ độ:
x

= x

Một cách tổng quát
q

(x,y,z) = q( x,y,z)

b.Toán tử xung lợng (động lợng) thành phần

p
x

x
i
x
i
p
x


=


=




p
y

y
i
yi
p
y


=


=

p
z

z
i
z
i
p
z


=


=




c. Toán tử xung lợng


p

=
zyx

ppp

++



p

= -i
=


+


+


i
x
Zy
)(



34

d. Toán tử bình phơng xung lợng

=++=

22222


zyx
pppp


e. Toán tử mô men động lợng thành phần

M
x
= yp
z
- zp
y

)(

y
z
z
yiM
x





=

M
y
= zp
x
- xp
z

)(

z
x
x
ziM
y





=


M
z
= xp
y
-yp
x

)(

x
y
y
xiM
z





=



2222



zyx
MMMM ++=




f. Toán tử thế năng

U(x,y,z)
),,(

zyxU


g. Toán tử động năng
T =
2
2
mv

===
m
m
p
m
mv
T
2
2

2

222



h. Toán tử năng lợng (toán tử Hamilton)

E = T + U
UTH

+=


Thay các giá trị ta đợc:

)(

2

2
qU
m
H +=



4.3. Tiên đề về trị riêng và đại lợng đo đợc
4.3. Tiên đề về trị riêng và đại lợng đo đợc4.3. Tiên đề về trị riêng và đại lợng đo đợc
4.3. Tiên đề về trị riêng và đại lợng đo đợc


4.3.1. Phổ trị riêng của toán tử Hermite và những giá trị khả dĩ của các đại lợng vật lí
tơng ứng

Đại lợng vật lí L của một hệ lợng tử ở một thời điểm chỉ có thể nhận những
giá trị riêng của toán tử tơng ứng
L

thoả mãn phơng trình trị riêng ở thời điểm t:

35


L


n
= L
n

n
(4.4)

4.3.2. Những giá trị mà ở đó đại lợng vật lí L có giá trị xác định

Nếu hệ lợng tử ở trạng thái mà hàm này đồng nhất với một hàm riêng
k

nào đó của toán tử Hermite
L

, thì ở trạng thái đó đại lợng vật lí L có giá trị xác
định và bằng trị riêng L
k
của toán tử tuyến tính Hermite
L

.

Những trạng thái
L
mà ở đó một đại lợng vật lí L có giá trị xác định là những
trạng thái thoả mãn phơng trình trị riêng của toán tử tơng ứng
L

.


L


L
= L
L

4.3.3. Xác suất để một đại lợng L có một giá trị L
i

Nếu hệ lợng tử ở vào trạng thái , mà không trùng với một hàm riêng nào
của
L

thì đại lợng vật lí L của trạng thái đó không có giá trị xác định. Đại lợng L
chỉ có thể nhận một trong những giá trị xác định L
i
của phổ trị riêng của toán tử
L

,

nhng không biết chắc là trị nào. Vì thế ngời ta phải xác định L theo định luật xác
suất.
Xuất phát từ nguyên lí chồng chất trạng thái và tính đầy đủ, trực giao của hệ
hàm riêng của toán tử tuyến tính Hermite
L

ngời ta biểu diễn hàm mô tả trạng thái
của hệ thành chuỗi tuyến tính theo các hàm riêng.

= C
1

1
+ C
2

2
+ . + C
n

n
= C
i

i
(4.5)

Nh vậy, trạng thái đợc xem là sự chồng chất những trạng thái riêng U
i
của

toán tử Hermite
L

. Lúc đó ứng với mỗi trạng thái riêng trên, đại lợng vật lí L nhận
những giá trị xác định L
i
là trị riêng tơng ứng với hàm riêng U
i
.
Xác suất để L nhận giá trị L
i
là W (L
i
) =
2
i
C
.



2
i
C
= 1 : điều kiện chuẩn hoá.

Với W (L
i
) là xác suất để đại lợng L nhận một trong những giá trị có thể có
của L

n
.
Từ
L


n
= L
n

n

n
*

L


n
=
n
*
L
n
= L
n

n
*

n


L
n
=
n
*

L


n
d

n
*

n
d

Thực tế trong cơ học lợng tử ít khi tìm đợc
n
là một hàm riêng đúng, mà
chỉ tìm đợc hàm riêng gần đúng. Do đó trị riêng
n
tìm thấy là trị trung bình:

36

n
L
=
n
*

L


n
d (4.6)

n
*

n
d

Giá trị trung bình này còn gọi là kì vọng của L.

4.4. Điều kiện để
4.4. Điều kiện để 4.4. Điều kiện để
4.4. Điều kiện để hai đại lợng vật lí có giá trị xác định đồng thời trong cùng một trạng
hai đại lợng vật lí có giá trị xác định đồng thời trong cùng một trạng hai đại lợng vật lí có giá trị xác định đồng thời trong cùng một trạng
hai đại lợng vật lí có giá trị xác định đồng thời trong cùng một trạng
thái
tháithái
thái

Ta đã biết, đại lợng vật lí A của trạng thái
1
có giá trị xác định nếu
1
là hàm
riêng của toán tử
A

. Đại lợng vật lí B của trạng thái
2
có giá trị xác định nếu
2
là
hàm riêng của
B

. Do đó, hai đại lợng vật lí A, B của cùng trạng thái sẽ có giá trị
xác định đồng thời nếu là hàm riêng chung của hai toán tử
A

,
B

; khi đó hai toán tử
A

và
B

phải giao hoán với nhau. Ngợc lại, nếu hai toán tử giao hoán thì chúng sẽ có
chung hàm riêng và hai đại lợng vật lí tơng ứng sẽ có giá trị đồng thời xác định.
Vậy:
Điều kiện cần và đủ để hai đại lợng vật lí của hệ lợng tử có trị xác định
đồng thời trong cùng một trạng thái là các toán tử của chúng giao hoán với nhau
.
Một số thí dụ:
a. Các toán tử giao hoán:
- Toán tử
x

,
y

,
z

giao hoán với nhau từng đôi một

[
x

,
y

] = 0; [
y

,

z

] = 0; [
x

,
z

] = 0

Vậy các toạ độ x, y, z của một hạt có thể nhận đồng thời những giá trị trong
cùng một trạng thái.
- Toán tử thành phần động lợng p
x
, p
y
, p
z
giao hoán với nhau từng đôi một, nên
có giá trị đồng thời xác định trong cùng một trạng thái.

b- Các toán tử không giao hoán:
- Động lợng và toạ độ: Các toán tử toạ độ và thành phần động lợng tơng ứng
với toạ độ đó không giao hoán, nên từng đôi một không thể có giá trị xác định đồng
thời. Nhng một toán tử toạ độ và toán tử thành phần động lợng ứng với toạ độ khác
lại giao hoán. Do đó, chúng lại có thể đồng thời xác định trong cùng một trạng thái.
-Toán tử thành phần momen động lợng: Toán tử thành phần momen động
lợng không giao hoán với nhau từng đôi một. Do đó, các thành phần M
x
, M

y
, M
z
của
momen động lợng không thể có những giá trị xác định.

[
M

x
,
M

y
] = i
M

z
; [
M

y
,
M

z
] = i
M

x

; [
M

z
M

x
] = i
M

y

Tuy nhiên, toán tử bình phơng mômen động lợng
M

2
=
M

x
2
+
M

y
2
+
M

z

2

lại giao hoán với mỗi toán tử
M

x,

M

y
,
M

z
.

[
M


2
,
M

x
] = [
M


2

,
,

M

y
] = [
M


2
,
M

z
] = 0

37


Do đó,
M

2
và thành phần mômen động lợng nào đó là có thể đồng thời xác
định.
Ta có:
M

2

= M
2


M

z
= M
z


Một cách hoàn toàn tơng tự chúng ta cũng có thể chứng minh đợc ba toán tử
hình chiếu momen động spin S
x
, S
y
, S
z
ở cùng một trạng thái không giao hoán với nhau
từng đôi một. Ngợc lại, toán tử bình phơng momen động spin giao hoán với một
trong S
x
, S
y
, S
z


4.5. Tiên đề về phơng trình Schrodinger
4.5. Tiên đề về phơng trình Schrodinger4.5. Tiên đề về phơng trình Schrodinger

4.5. Tiên đề về phơng trình Schrodinger

-

-

Trạng thái dừng
Trạng thái dừngTrạng thái dừng
Trạng thái dừng


4.5.1. Tiên đề 3 - Phơng trình Schodinger tổng quát
Hàm sóng (q,t) mô tả trạng thái của hệ lợng tử biến thiên theo thời gian đợc
xác định bởi phơng trình Schrodinger tổng quát:



H
t
i

=



(4.7)

i =
1

,
H

: toán tử Haminton
H

=
H

(q,t)
: hàm sóng mô tả trạng thái của hệ theo thời gian (q,t)

Phơng trình (4.7) do Schrodinger đa ra năm 1926 nh một tiên đề, nghĩa là
không thể suy ra từ bất kì một nguyên lí nào khác. Sự đúng đắn của phơng trình chỉ
có thể đợc khẳng định bằng các kết quả kiểm chứng khi áp dụng cho các hệ lợng tử
cụ thể.
Phơng trình (4.7) là phơng trình vi phân tuyến tính thuần nhất; do đó nếu
1

và
2
là hai nghiệm độc lập của (4.7) thì mọi tổ hợp tuyến tính = C
1

1
+C
2

2
của

chúng cũng là nghiệm của phơng trình.
Nếu là hàm đã chuẩn hoá;
1
,
2
là trực chuẩn, còn C
1
, C
2
là những số
nói chung phức và không đồng thời bằng không thì:

C
1

2
+ C
2

2
+ + C
n

2
= 1

Vì vậy, phơng trình Schodinger tổng quát cũng thể hiện nguyên lí chồng chất
trạng thái trong cơ học lợng tử. Do những điều đó, phơng trình Schrodinger tổng
quát là phơng trình gốc và toán tử Haminton là toán tử quan trọng nhất của cơ học
lợng tử không tơng đối tính.

4.5.2. Phơng trình Schodinger của các trạng thái dừng
Giả sử hệ lợng tử ở vào một trờng thế U không phụ thuộc vào thời gian, chỉ
phụ thuộc vào toạ độ
U

= U(q), thì
H

không phụ thuộc vào thời gian. Lúc đó
H

chỉ

38

tác động lên phần phụ thuộc toạ độ của hàm (q,t). Do đó, hàm (q,t) tách thành hai
phần:
(q,t)= (q).F(t)

Thay vào phơng trình Schodinger tổng quát:


)()(
.

),(
tq
FH
t

tq
i


=



(4.8)


)(
)()(
)(

)(
.
q
qt
t
H
t
F
F
i


=

(4.9)

Hai vế của đẳng thức (4.9) phụ thuộc vào hai biến số khác nhau, nên hai vế chỉ
có thể bằng nhau khi hai vế phải bằng cùng một hằng số nào đó:



=


)(
.
)(
)(
t
F
F
i
t
t

(4.10)





=
)(

)(

q
q
H
(4.11)

Từ (4.11)
H


(q)
=
(q)
(4.12)

(4.12) là phơng trình hàm riêng trị riêng của
H

, mà trị riệng của
H

là năng
lợng toàn phần E nên = E là trị thực.
Các hàm (q) là hàm riêng của toán tử
H

, nó mô tả những trạng thái năng
lợng không biến đổi theo thời gian E = = const. Trạng thái có E không biến đổi theo
thời gian gọi là trạng thái dừng.

Phơng trình Schodinger cho trạng thái dừng:


H


(q)
= E.
(q)
(4.13)

hay
)(
2
)(
)(
2
qq
UE
m

+

= 0 (4.14)

Phơng trình (4.13) hoặc (4.14) là phơng trình quan trọng nhất của cơ học
lợng tử. Vì hoá học lợng tử chủ yếu nghiên cứu các hệ ở trạng thái dừng.

Giải phơng trình (4.10)
)(

.
)(
)(
t
F
F
i
t
t



= E ta đợc

39


F(t) = C.e
-i Et / h
gọi là thừa số đơn sắc hay thừa số pha của hàm sóng.
Nh vậy: nghiệm tổng quát của phơng trình Schrodinger sẽ là:

(q,t) = (q).F(t)

(q,t) = (q). e
-iEt / h


2
2

)(
2
),(
.

iEt
qtq
e

=




.
2
)(
2
),( qtq

=
(4.15)

Phơng trình (4.15) cho ta thấy ở trạng thái dừng, mật độ xác suất không phụ
thuộc vào thời gian. Do đó, khi giải phơng trình Schrodinger cho trạng thái dừng ta
chỉ cần tìm đến (q) là đủ, vì hóa lợng tử chủ yếu nghiên cứu các trạng thái dừng của
phân tử.

4.6. Một số bài toán ứng dụng
4.6. Một số bài toán ứng dụng4.6. Một số bài toán ứng dụng

4.6. Một số bài toán ứng dụng


4.6.1. Bài toán vi hạt trong hộp thế một chiều


Giả sử có một tiểu phân (hạt) khối lợng m chuyển động trong hộp thế một
chiều theo phơng x với bề rộng OA = a. Trong khoảng 0 x a thế năng của hệ
không đổi. ở những vị trí bên ngoài hộp (x < 0 và x > a) thì có những trờng lực làm
cho thế năng của hạt tăng vô hạn. Nói cách khác chuyển động của hạt bị giới hạn trong
hộp:

U = Const
U

=
U

=
x
0
a


U = Const = 0 với 0 x a
U = với x < 0 và x > a

Mô hình này gọi là mô hình hộp thế một chiều, trạng thái của hạt trong hộp thế
một chiều là trạng thái dừng.
Hạt chuyển động trong thành vách dựng đứng có thể dùng để mô tả electron tự

do trong kim loại hoăc electron không định c trong các phân tử liên hợp.
Ta có phơng trình Schrodinger cho trạng thái dừng:
8

8


40



)(
2
)(
)(
2
qq
UE
m

+

= 0
Vì là hộp thế một chiều theo phơng x nên:
2
2
dx
d
=

Suy ra :


E
m
dx
d
22
2
2

+
= 0

Đặt k
2
=
2
2

mE



2
2
2
k
dx
d

+
= 0 (4.16)

Đây là phơng trình vi phân tuyến tính bậc hai có nghiệm tổng quát:


(x)
= A coskx + Bsinkx (4.17)

Trong đó A, B là các hằng số cha xác định.
Ta có thể xác định A bằng cách để ý tới điều kiện bờ của bài toán (x = 0 và x =
a).
Tại các giá trị bờ (x = 0, x = a) hàm sóng phải triệt tiêu, nghĩa là = 0:

(0) = 0 , (a) = 0

* (0) = A cos 0 + Bsin0 = 0 A = 0


(x)
= Bsinkx

* (a) = Bsinka = 0 sinka = 0 ka = n ( n: nguyên)

(B không thể bằng 0, vì nếu B = 0 thì
(x)
bằng 0 với mọi x)

k =
a

n

(n = 1,2,3, .)

(n không thể bằng 0, vì n = 0 thì k = 0 và
(x)
cũng bằng 0 với mọi x. Đồng thời
n cũng không nhận giá trị âm, vì khi đó ta có
(x)
= - Bsinka và mật độ xác suất của
hàm sóng
2

vẫn không thay đổi).


(x)
= B sin
a
n

x

Hằng số B còn lại đợc xác định bằng điều kiện chuẩn hoá:


41

==
aa
xdx
a
n
SinBdx
0
22
0
2
11




B =
a
2
(thờng chọn B dơng)

Vậy hàm sóng đã chuẩn hoá:
n
(x) =
a
2
sin
a
n

x

Từ k
2
=

mE2
và k =
a
n



E
n
= n
2
2
2
8
ma
h
(4.18) n: số lợng tử ( n = 1,2,3, .)
Từ (4.18) ta thấy, hệ chỉ có thể nhận các giá trị năng lợng gián đoạn, ta nói
năng lợng của hạt đợc lợng tử hoá. Nh vậy, sự lợng tử hoá của năng lợng đợc
dẫn ra một cách tự nhiên từ yêu cầu hàm sóng phải thoả mãn các điều kiện bờ. Đây là
điểm khác biệt của hệ vi mô so với hệ vĩ mô.
n = 1 : E
1
=
2

2
8
ma
h
;
1
=
a
2
sin
a

x (x =0, x = a)
n = 2 : E
2
= 4.
2
2
8
ma
h
= 4E
1
;
2
=
a
2
sin 2
a

x (x = 0, a, a/2)
n = 3 : E
3
= 9.
2
2
8
ma
h
= 9E
1
;
3
=
a
2
sin 3
a

x (0, a, a/3, 2a/3)
Điểm mà tại đó hàm sóng = 0 ngời ta gọi là điểm nút. Trừ những điểm ở
thành hộp, ta thấy số điểm nút của hàm sóng phụ thuộc vào n và bằng (n-1).
Giản đồ năng lợng hàm sóng và mật độ xác suất của hạt trong hộp thế một
chiều đợc trình bày ở hình sau:


Có thể rút ra một số đặc điểm về hàm sóng và mức năng lợng của hệ:
- Mỗi hàm sóng
n

(x) có (n-1) điểm nút. Số điểm nút tăng theo chiều tăng của
mức năng lợng.

42

- Xác suất tìm thấy hạt tại một vị trí giữa x và dx là : dw =
2
dx. Xác suất này
có cực đại tại những vị trí khác nhau tuỳ theo trạng thái của hệ. ở trạng thái cơ bản
n =1, mật độ xác suất cực đại tại x =a/2.
- Mức năng lợng thấp nhất của hệ có giá trị hữu hạn khác không E
1
=
2
2
8
ma
h
.
Ngời ta gọi năng lợng này là năng lợng điểm không. Sự tồn tại năng lợng điểm
không là đặc trng của các hệ liên kết.

4.6.3. Bài toán vi hạt trong hộp thế 3 chiều

Mở rộng trờng hợp hộp thế 1 chiều đối với hộp thế 3 chiều, với thế năng:
U = Const = 0 trong khoảng 0 x a, 0 y b, 0 z c
và U = ở ngoài khoảng đó.

x
y

z
a
b
c
o


Phơng trình Schrodinger có dạng:

-
),,(),,(
2
2
2
2
2
2
2
)(
2
zyxzyx
E
zyx
m

=


+

+


(4.19)

E = E
x
+ E
y
+ E
z


Để giải phơng trình (4.19) ta phân li biến số:
(x,y,z)
=
(x)

(y)

(z)
(4.20)
Đa (4.20) vào (4.19) rồi chia cả hai vế cho
(x)

(y)

(z)
ta đợc:

E
m
Z
y
x
Z
Z
y
y
x
x
22
)(
2
)(
)(
2
)(
2
)(
2
)(
2111
2

=

+


+








(4.21)

hay
0)(
2111
22
)(
2
)(
)(
2
)(
2
)(
2
)(
2
=+++

+


+


zyx
Z
Z
y
y
x
x
EEE
m
Z
y
x







(4.22)

43

Phơng trình (4.22) có thể đợc xem nh là tổng của 3 phơng trình có dạng
giống nhau:

0
2
)(
2
)(
2
2
=+


xxx
E
m
x


(a)

0
2
)(
2
)(
2
2

=+


yyy
E
m
y


(b)

0
,2
2
)(
2
2
=+


Zzz
E
m
z


(c)

Các phơng trình (a), (b), (c) chính là phơng trình sóng của hạt trong hộp thế
một chiều mà nghiệm ta đã biết:

(x)
= A
x
sin
x
a
n

; E
x
=
2
2
2
8
ma
h
n
x


y
= A
y
sin
y
b
n
y

;
2
2
2
8
mb
h
nE
yy
=


(z)
= A
z
sin
z
c
n
z

; E
z
=
2
2
2
8
mc

h
n
z

ở điều kiện chuẩn hoá thì A
x
=
a
2
; A
y
=
b
2
; A
z
=
c
2
. Do đó hàm sóng
chuẩn hoá và năng lợng của hệ là:


a
zyx
2
),,(
=

sin

x
a
n

.
b
2
sin
y
b
n
y

.
c
2
sin
z
c
n
z


(4.23)

E
nx,ny,nz
=
)(
8

2
2
2
2
2
2
2
c
n
b
n
a
n
m
h
z
y
x
++
(4.24)

Từ (4.24) suy ra: Nếu một hay hai cạnh của hộp thế có độ dài bằng số nguyên
lần một cạnh khác thì sẽ có một số hàm riêng (trạng thái) khác nhau có cùng một giá
trị năng lợng nh nhau, tức là trị riêng E
nx,ny,nz
có suy biến. Sự xuất hiện trị riêng suy
biến rất thờng gặp trong cơ học lợng tử, phản ánh tính đối xứng của hệ khảo sát.
4.6.3. Dao động tử điều hoà

44

Chúng ta biết rằng dao động tử của một phân tử hai nguyên tử, chuyển động của
các hạt trong mạng lới tinh thể, một cách gần đúng, đợc xem nh các dao động điều
hoá tuyến tính.
Khi hạt chuyển động trong trờng lực dọc theo trục x (theo phơng xác định) thì
nó bị tác dụng một lực với thế năng:

U =
2
2
2
2
2
x
m
x
k

=
(4.25)
trong đó:
k = m
2
là hằng số lực hay hệ số đàn hồi
m : khối lợng hạt
x : li độ dao động
= 2 là tần số góc
Theo cơ học cổ điển, năng lợng của hệ là:

E =
2
2
1
ka
(4.26)

vì a (biên độ ) có thể nhận các giá trị bất kì nên E thu đợc là các giá trị liên tục.
Theo cơ học lợng tử, thay thế năng vào phơng trình Schrodinger, ta có:


0)
2
1
(
2
22
22
2
=+


xmE
m
dx
d

(4.27)

Đặt:

2
2

mE
=

(4.28)




m
=
(4.29)

Phơng trình (4.27) đợc viết lại:


2
2
dx
d

+ ( -
2
x
2
) = 0 (4.30)

Đa biến số:

x

=
(4.31)

Lấy đạo hàm theo x ta có:




=
dx
d



45

Hay




d
d
dx
d
d
d
dx

d
==
(4.32)


b
d
d
dx
d
2
2
2
2

=
(4.33)

Thay (4.32), (4.33) vào (4.30) ta đợc:


0)(
2
2
2
=+

d
d
(4.34)

Hay
0)(
2
2
2
=+





d
d
(4.35)


Hàm phải liên tục, đơn trị, hữu hạn đối với mọi gía trị của . Khi khá lớn thì
tỉ số / có thể bỏ qua, lúc đó phơng trình có dạng:


0
2
2
2
=

d
d


Phơng trình vi phân này có nghiệm là:


2/
2



= e


Khi thì tăng vô hạn, nghiệm
2/
2


+
= e
sẽ không thoả mãn điều kiện
của hàm . Vậy hàm sóng chỉ có thể là:


2/
2

= e

Nghiệm đúng của hàm trong phơng trình là :
Z
eH

=
)(

ở đây hàm H()
phải đợc xác định. Muốn vậy ta đặt Z =
2
/2; Z

= để đa phơng trình (4.35) về
dạng Hermit.
Giải phơng trình này ngời ta đợc nghiệm:

H
n
() = (-1)
n

)(
2
2

e
d
d
e
n
n

với n = 0, 1, 2, 3,
Năng lợng của hệ là : E = h(n +
2
1
)


46

Nh vậy ứng với mỗi giá trị của n = 0, 1, 2, ta có các giá trị năng lợng đợc
phép là 1/ 2, 3/2, 5/2 lần năng lợng h, nghĩa là các giá trị năng lợng của dao động
tử điều hoá tuyến tính lập thành một phổ gián đoạn phụ thuộc vào n gọi là số lợng tử
dao động. Một vài mức năng lợng đầu tiên và các hàm sóng tơng ứng đợc biểu diẽn
trên đồ thị sau:




Kết quả quan trọng nhất thu đợc là năng lợng đợc phép nhỏ nhất E = h/2
với n = 0. Đó là năng lợng điểm không và cũng là điều khác với kết quả thu đợc của
lí thuyết cổ điển. Điều nàyphù hợp với nguyên lí bất định, vì những bất định cần thiết

về vị trí và xung lợng sinh và năng lợng điểm không.


Câu hỏi và bài tập
Câu hỏi và bài tậpCâu hỏi và bài tập
Câu hỏi và bài tập



1.
1.1.
1. Hãy cho biết nội dung của tiên đề về hàm sóng.
2.
2.2.
2. Hàm sóng của một hệ lợng tử phải thoã mãn điều kiện gì?
3.
3.3.
3. Hãy cho biết ý nghĩa vật lý của hàm sóng.
4.
4.4.
4. Hãy cho biết nội dung, ý nghĩa của nguyên lý chồng chất trạng thái.
5.
5.5.
5. Hãy cho biết nội dung của tiên đề về toán tử.
6.
6.6.
6. Hãy cho biết điều kiện để hai đại lợng vật lý xác định đồng thời trong một
trạng thái.
7.
7.7.

7. Chứng minh rằng toạ độ và động lợng tơng ứng với toạ độ đó là không thể
xác định trong hệ lợng tử.
8.
8.8.
8. Hãy cho biết nội dung của tiên đề về phơng trình Schrodinger.
9.
9.9.
9. Hãy cho biết đặc điểm toán học của phơng trình Schrodinger. Giải phơng
trình này thu đợc những kết quả gì?
10.
10.10.
10. Hãy cho biết tại sao toán tử tuyến tính tự liên hợp đợc sử dụng trong cơ học
lợng tử?

47

11.
11.11.
11. Chứng minh rằng ở trạng thái dừng hàm mật độ xác suất có giá trị không phụ
thuộc vào thời gian.
12.
12.12.
12. Tại sao trạng thái dừng có giá trị năng lợng xác định?
13.
13.13.
13. a- Hãy mô tả hệ của bài toán hạt chuyển động trong hộp thế một chiều.
b- Hãy viết phơng trình Schrodinger cho bài toán trên và giải phơng trình đó.
c- Hãy cho biết ý nghĩa của các nghiệm thu đợc.
d- Tại sao nói các kết quả trên phản ánh tính chất lợng tử của hệ đợc xét?
14.

14.14.
14. Tìm năng lợng động học thấp nhất của một electron trong hộp thế 3 chiều có
kích thớc 0,1.10
-13
cm, 1,5.10
-13
cm và 2.10
-13
cm.
15.
15.15.
15. Xác định mức suy biến của mức năng lợng E =
2
2
8
17
ma
h
của hạt trong hộp thế 3
chiều có các cạnh bằng nhau.
16.
16.16.
16. Giả thiết một hộp thế một chiều với độ rộng a = 10 nm có một vi hạt chuyển
động đợc mô tả bằng hàm sóng:
x
aa


sin
2

=
với n = 1
Hãy xác định xác suất tìm thấy vi hạt trong các trờng hợp sau đây:
a) Giữa x = 4,95 nm và 5,05 nm
b) Giữa x = 1,95 nm và 2,05 nm
c) Giữa x = 9,90 nm và 10 nm
d) ở chính giữa a
e) x ở 1/3 a
17.
17.17.
17. áp dụng mô hình electron chuyển động tự do trong giếng thế một chiều (dọc
theo mạch cacbon liên hợp) cho phân tử liên hợp hecxatrien, hãy xác định bớc
sóng khi có sự chuyển dời 1 electron từ mức năng lợng bị chiếm cao nhất
(HOMO) lên mức năng lợng trống thấp nhất (LUMO). Cho biết độ dài liên kết
trung bình C - C trong mạch là 1,4A
o
.
18.
18.18.
18. Cho hàm thử = x(a - x) để mô tả sự chuyển động của vi hạt trong giếng thế
một chiều với kích thớc giếng là a.
a) Hãy chứng minh hàm thử thoả mãn điều kiện biên của bài toán.
b) áp dụng phơng pháp biến phân, xác định năng lợng E ở trạng thái cơ bản ứng
với điều kiện biên,
c) So sánh kết quả ở câu b) với kết quả thực nghiệm là E = h
2
/8ma
2
với n =1.
19.

19.19.
19. Hãy cho biết ứng với những giá trị nào khi electron chuyển động trong giếng thế
một chiều với độ dài là a ở trạng thái n = 3 sẽ đạt giá trị cực đại và cực tiểu.
Cho
x
a
n
a


sin
2
=

20.
20.20.
20. Electron của phân tử etylen hấp thụ một bớc sóng = 1625A
o
khi chuyển từ
mức năng lợng E
1
= h
2
/8ma
2
đến mức năng lợng E
2
= 4h
2
/8ma

2
. Tính độ dài
liên kết trong phân tử này bằng A
o
. Cho m = 9,1.10
-31
kg; h = 6,62.10
-34
Js, c =
3.10
8
m/s.