Tài liệu Giáo trình trường điện từ_Chương 3 + 4 pptx

61
Chương III Chương III TRƯỜNG ĐIỆN TỪ BITRƯỜNG ĐIỆN TỪ BIẾN THIÊNẾN THIÊN

III.1 Khái niệmIII.1 Khái niệm
Như ở các chương trước ta đã biết trường từ biến thiên sinh ra trường
điện và trường điện biến thiên sinh ra trường từ. Khi đó trường điện và trường
từ liên hệ chặt chẽ với nhau. Trường điện từ biến thiên có thể lan truyền trong
không gian hoặc trong môi trường chất dưới dạng sóng. Sóng điện từ, bao gồm
ánh sáng, tia X, tia hồng ngoại, tia gamma (γ), sóng radio đóng vai trò rất quan
trong trong vật lý và được sử dụng rộng rãi trong mọi lónh vực khoa học kỹ
thuật và đời sống.
Để khảo sát trường điện từ biến thiên ta dùng hệ phương trình Maxwell
tổng quát như đã mô tả ở chương I.
Dạng tích phân:

∫∫∫
+=
SSC
dSD
dt
d
dSJdH
r
r
l
r
;
∫∫
−=
BC

dSB
dt
d
dE
r
l
r
;

∫∫
ρ=
VS
dVdSD
r
; 0dSB
S
M
==Φ
∫
r

Dạng vi phân:

t
D
JHrot
∂
∂
+=
r

rr
;
t
B
Erot
∂
∂
−=
r
r
;

ρ=Ddiv
r
;
0
Bdiv
=
r
.
kết hợp với các phương trình chất
(
)
Ss
JEEEJ;HB;ED
r
r
r
r
r

r
r
r
r
+σ=+σ=µ=ε= (đối với môi trường đẳng hướng),
trong đó
S
E
r
là trường “ngoài”,
S
J
r
là mật độ dòng điện “ngoài”. Ở vùng ngoài
nguồn EJ;0E
S
r
r
r
σ== ; và với phương trình liên tục
t
Jdiv
∂
ρ∂
−=
r
.
Người ta chứng minh được rằng các nghiệm H,E
r
r

của các phương trình
Maxwell đối với các điều kiện ban đầu (
(
)
(
)
0t0t
t,z,y,xH;t,z,y,xE
==
r
r
trong
thể tích V và điều kiện bờ xác đònh (
(
)
(
)
SS
t,z,y,xH,t,z,y,xE
r
r
) là duy nhất.

III.2 Khái niệm về thế vô hướng III.2 Khái niệm về thế vô hướng ϕϕ và thế vector và thế vector
A
r

Cũng tương tự như trường điện từ không biến thiên theo thời gian
(trường tónh và trường dừng), để phân tích toán học trường điện từ biến thiên
người ta đưa ra khái niệm thế vô hướng và thế vector của trường điện từ biến

thiên.
Về phương diện toán học ta có thể chứng minh được rằng 0Frotdiv =
r

với một vector
F
r
bất kỳ. Theo phương trình Maxwell thứ ba thì
0
Bdiv
=
r
(đònh
luật Gauss đối với trường từ), do đó ta có thể đặt
A
rotB
r
r
=
. Ta gọi vector
A
r
là
thế vector của trường điện từ biến thiên.

62
Theo phương trình Maxwell thứ hai (đònh luật cảm ứng điện từ Faraday
đối với trường điện từ biến thiên):

t

B
Erot
∂
∂
−=
r
r
, suy ra
( )








∂
∂
−=
∂
∂
−=
t
A
rotArot
t
Erot
r
r

r

⇒
0
t
A
rotErot =








∂
∂
+
r
r
⇒
0
t
A
Erot =









∂
∂
+
r
r
.
Mặt khác ta có thể chứng minh được bằng các phép toán rằng 0gradfrot
=
với
f là đại lượng vô hướng bất kỳ. Vậy ta có thể đặt
ϕ−=








∂
∂
+ gradrot
t
A
Erot
r
r

. Ta
gọi ϕ là thế vô hướng của trường điện từ biến thiên. Ta có mối liên hệ giữa
E
r

và ϕ
,A
r
như sau:

ϕ−=
∂
∂
+ grad
t
A
E
r
r

⇒

t
A
gradE
∂
∂
−ϕ−=
r
r

.
Ở đây
0
t
A
≠
∂
∂
r

⇒
công thực hiện để di chuyển một điện tích giữa hai điểm
trong trường phụ thuộc vào đường đi. Vậy trường điện từ biến thiên không phải
trường thế.
Ta có thể chứng minh được rằng với một trường điện từ biến thiên cho
trước ( B,E
r
r
cho trước), các giá trò ϕ,A
r
không đơn trò.
Thật vậy, nếu gọi f là một hàm vô hướng liên tục bất kỳ phụ thuộc vào
không gian và thời gian. Đặt
gradfAA +=
′
r
r
, khi đó
ArotgradfrotArotArot
r

r
r
=+=
′
. Theo đònh nghóa ta có
A
rot
A
rot
B
′
=
=
r
r
r
.
Mặt khác, đặt
t
f
∂
∂
−ϕ=ϕ
′
, khi đó

( )
E
t
A

grad
gradf
tt
A
t
f
gradgrad
t
A
t
f
grad
t
A
gradE
r
r
r
r
r
r
′
=
∂
′
∂
−ϕ
′
−=
∂

∂
+
∂
′
∂
−
∂
∂
−ϕ
′
−=
∂
∂
−






∂
∂
+ϕ
′
−=
∂
∂
−ϕ−=
, tức
EE

r
r
=
′
.
Vậy ta thấy tồn tại vô số các giá trò ϕ,A
r
thỏa các điều kiện đònh nghóa. Do đó
để ϕ,A
r
xác đònh hoàn toàn ta cần đưa thêm điều kiện phụ cho chúng. Trong
điện động lực học người ta đưa vào điều kiện phụ Lorentz:

0
t
Adiv =
∂
ϕ∂
εµ+
r

Ta có thể giải thích sự lựa chọn này như sau. Theo phương trình chất
HB
r
r
µ=
,
ta có:

63

Brot
1
Hrot
r
r
µ
=
mà
A
rotB
r
r
=
, suy ra
t
grad
t
A
J
t
A
grad
t
J
t
E
J
t
D
J

Arotrot
1
Brot
1
Hrot
2
2
∂
ϕ∂
ε−
∂
∂
ε−=








∂
∂
−ϕ−
∂
∂
ε+=
∂
∂
ε+=

∂
∂
+=
µ
=
µ
=
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
Mặt khác về mặt toán học có thể chứng minh được:
AgraddivAdivgradArotrot
r
r
r
−=
⇒

t
grad
t
A

JAgraddivAdivgrad
2
2
∂
ϕ∂
εµ−
∂
∂
εµ−µ=−
r
r
rr

⇒
J
t
A
Agraddiv
t
Adivgrad
2
2
r
r
rr
µ=
∂
∂
εµ+−







∂
ϕ∂
εµ+
Vậy điều kiện Lorentz
0
t
Adiv =
∂
ϕ∂
εµ+
r
thể hiện tính liên tục của dòng
điện toàn phần. Hiện tại ta chọn như vậy để được một phương trình đơn giản
hơn.

III.3 Sự lan truyền của trường điện từ biến thiên. Phương trình d’AIII.3 Sự lan truyền của trường điện từ biến thiên. Phương trình d’Alembert.lembert.
Theo phương trình cuối cùng ta suy ra:

J
t
A
Agraddiv
2
2
r

r
r
µ−=
∂
∂
εµ− , tức
J
t
A
A
2
2
r
r
r
µ−=
∂
∂
εµ−∆ .
Vậy ta có:



µ−
=
∂
∂
εµ−∆
môi điện trong
dẫnvật trong

0
J
t
A
A
2
2
r
r
r

 Trong trường hợp toàn không gian không có điện tích tự do thì không có
khái niệm thế vô hướng, tức
0=
ϕ
. Vậy
t
A
EJ
∂
∂
⋅σ−=σ=
r
rr
. Khi đó:
0
t
A
t
A

A
2
2
=
∂
∂
µσ−
∂
∂
εµ−∆
r
r
r
.
 Trong điện môi lý tưởng 0J;0 ==σ
r
, ta đặt
2
v
1
=µε , tức
µε
=
1
v ta có:

( )
0
vt
A

A
t
A
v
1
A
t
A
A
2
2
2
2
22
2
=
∂
∂
−∆=
∂
∂
−∆=
∂
∂
εµ−∆
r
r
r
r
r

r

hay viết gọn lại như sau:
( )
0
vt
A
A
2
2
=
∂
∂
−∆
r
r
. Phương trình này được gọi là
phương trình d’Alembert về truyền sóng của trường điện từ biến thiên trong
điện môi.

64
Ta có thể viết phương trình d’Alembert tổng quát như sau:

( )



µ−
=
∂

∂
−∆
môi điện trong
dẫnvật trong
0
J
vt
A
A
2
2
r
r
r

Vậy ta nhận được phương trình xác đònh thế vector
A
r
. Để trường hoàn toàn
xác đònh ta còn phải tính thế vô hướng ϕ. Ta có ρ=Ddiv
r

⇒

ε
ρ
=Ediv
r
, suy ra:

ε
ρ
=








∂
∂
−ϕ−
t
A
graddiv
r

⇒

ε
ρ
=
∂
∂
−ϕ∆− Adiv
t
r

hay
ε
ρ
−=
∂
∂
+ϕ∆ Adiv
t
r
. Mặt khác theo điều kiện phụ Lorentz
0
t
Adiv =
∂
ϕ∂
εµ+
r
ta có
t
Adiv
∂
ϕ∂
εµ−=
r
, ta nhận được phương trình cho
ϕ
:

ε
ρ

−=
∂
ϕ∂
εµ−ϕ∆
2
2
t

Từ các điều kiện ban đầu và điều kiện bờ cho các vector cường độ điện
trường và từ trường H,E
r
r
ta có thể suy ra được điều kiện bờ cho các thế
A
r
và
ϕ
. Tìm được
A
r
và
ϕ
ta có thể suy ra H,E
r
r
.
Giải các phương trình vi phân tìm
A
r
và

ϕ
người ta chứng minh được
chúng diễn tả hiện tượng lan truyền sóng: các nghiệm
A
r
và
ϕ
lan truyền từ
nguồn (tức vùng có chứa các điện tích
ρ
) vào không gian xung quanh với vận
tốc
µε
=
1
v . Chiều truyền sóng chính là chiều truyền năng lượng. Ngoài ra ta
cần chú ý rằng tốc độ lan truyền của sóng điện từ trong một môi trường là như
nhau trong mọi hệ quy chiếu quán tính. Trong chân không sóng điện từ lan
truyền với vận tốc s/m103c
8
⋅= . Sóng điện từ có khả năng xuyên thấu mọi
chất và chân không.

dV
V
( )rP
r
R
r
r

r
0
x
y
z


Hình 3.2
Trong môi trường đồng nhất vô
hạn
const
;
const
=
µ
=
ε
, các phương
trình trên có nghiệm như sau:

( )
( )
∫
∫







−ρ
πε
=ϕ






−
π
µ
=
V
V
R
dV
v
R
t,r
4
1
t,r
R
dV
v
R
t,rJ
4
t,rA

r
r
r
r
r
r



65
trong đó V là vùng nguồn có chứa các điện tích tự do (hình 3.2). Vậy sự thay
đổi thế
A
r
và ϕ diễn ra trễ hơn sự thay đổi
J
r
và
ρ
một khoảng thời gian vR ,
do đó
A
r
và
ϕ
gọi là thế trễ.
Các phương trình truyền:

( )
J

vt
A
A
2
2
r
r
r
µ−=
∂
∂
−∆ ;
A
rotB
r
r
=


ε
ρ
−=
∂
ϕ∂
εµ−ϕ∆
2
2
t
;
t

A
gradE
∂
∂
−ϕ−=
r
r
.
có ý nghóa như sau:
– Mô tả sự lan truyền của trường và mối quan hệ giữa trường-chất
( εµ↔ ,,JA
r
r
; εµ↔ϕ ,,J
r
);
– Mô tả tính chất lan truyền của trường trong các môi trường khác nhau với
σ
ε
µ
,,
khác nhau.
Sau đây ta sẽ xét đặc điểm khảo sát trường điện từ biến thiên trong từng
loại môi trường.

III.4 Trường điện từ biến thiên trong điện môi lý tưởngIII.4 Trường điện từ biến thiên trong điện môi lý tưởng
Trong một số trường hợp khi khảo sát trường điện từ biến thiên trong
điện môi lý tưởng để đơn giản ta có thể coi gần đúng trường điện từ biến thiên
như trường thế (mô hình trường thế), khi đó thay vì giải phương trình
d’Alembert ta chỉ cần giải phương trình Laplace-Poisson. Bài toán khi đó trở

nên đơn giản hơn nhiều. Ví dụ các trường hợp đặc biệt có thể sử dụng mô hình
trường thế: trường biến thiên giữa hai bản tụ điện rộng và đặt gần nhau, trường
biến thiên ở lớp không khí bao quanh các đường dây dẫn điện, v.v…

III.4.1 PhươIII.4.1 Phương trình trạng thái của điện môing trình trạng thái của điện môi
Đối với trường biến thiên không phải lúc nào ta cũng có mối quan hệ
tuyến tính đơn giản EkP
E0
r
r
ε= hay
(
)
EEk1D
E0
r
r
r
ε=+ε= , mà các mối quan hệ
này thường được biểu hiện dưới dạng vi phân. Người ta chia điện môi lý tưởng
thành hai loại như sau:
 Điện môi lý tưởng không nhớt (hay không trễ): vector
P
r
biến thiên kòp so
với
E
r
do quán tính dipole đủ nhỏ so với tốc độ biến thiên của trường
E

r

hoặc khi trường biến thiên tương đối chậm. Khi đó EkP
E0
r
r
ε= , suy ra
(
)
EEk1D
E0
r
r
r
ε=+ε= . Phương trình Laplace-Poisson có dạng:
( )



ερ−
=ϕ∆
tích điện có khôngvùngở

tích

điện

có

vùng

ở

0
t,z,y,x

66
 Điện môi lý tưởng nhớt: vector
P
r
không biến thiên kòp so với
E
r
, tức sự
phân cực của các phân tử điện môi biến thiên chậm so với sự biến thiên của
trường. Khi đó
P
r
và
E
r
liên hệ với nhau bởi phương trình vi phân bậc I:
EkP
dt
Pd
E0
rr
r
ε=+τ , τ gọi là hằng số thời gian,
hoặc ở một số điện môi
P

r
và
E
r
liên hệ với nhau bởi phương trình vi phân bậc
cao hơn:

(
)
0, P,P,P,Ef
'''
=
r
r
r
r
.

III.4.2 Phương trình LaplaceIII.4.2 Phương trình Laplace Poisson đối với ảnh Laplace của hàm thế Poisson đối với ảnh Laplace của hàm thế
vô hướngvô hướng
Để làm đơn giản bài toán ta dùng phương pháp toán tử Laplace. Ta
nhắc lại phép biến đổi Laplace như sau:
Biến đổi xuôi
(
)
(
)
pFtf
→
:

( ) ( ) ( )
[ ]
tfLdtetfpF
0
pt
=⋅=
∫
∞
−

Biến đổi ngược
(
)
(
)
tfpF
→
:
( ) ( ) ( )
[ ]
pFLdpepFtf
1pt −
∞
∞−
=⋅=
∫
.
F(p) gọi là ảnh Laplace của hàm f(t).
Các tính chất cơ bản của phép biến đổi Laplace:
–

(
)
[
]
(
)
[
]
(
)
paFtfaLtafL
=
=
;
–
(
)
( )
[ ]
( )
ppFtfpL
dt
tdf
L ==







;
–
( )
[
]
( )
[ ]
( )
pF
p
1
tfL
p
1
dttfL ==
∫
;
–
(
)
(
)
[
]
(
)
[
]
(
)

[
]
(
)
(
)
pFpFtfLtfLtftfL
212121
±
=
±
=
±
.

Ta thay mỗi thông số biến thiên của trường và môi trường bằng ảnh
Laplace:
(
)
(
)
pt
ϕ
→
ϕ

(
)
(
)

pEtE
r
r
→
(
)
(
)
pPtP
r
r
→
Trong trường hợp
P
r
và
E
r
liên hệ với nhau bởi phương trình vi phân bậc
I, tức
EkP
dt
Pd
E0
rr
r
ε=+τ , ta có:

(
)

(
)
(
)
pEkpPpPp
E0
r
r
r
ε=+τ
Suy ra:

( )
(
)
( )
1p
k
pE
pP
pk
~
E
0
+τ
=
ε
=
r
r

;

67

(
)
(
)
[
]
pk
~
1p
~
0
+ε=ε
1p
1kp
1p
k
1
E
0
E
0
+τ
++τ
⋅ε=







+τ
+ε= .
Trong môi trường điện môi không nhớt, quán tính của lưỡng cực có thể
bỏ qua, tức
0=τ
, ta có
(
)
E
kpk
~
= ;
(
)
(
)
1kp
~
E0
+
ε
=
ε
.
Vậy hệ phương trình của mô hình trường thế được viết thành:
(

)
(
)
(
)
pgradpE0pErot
ϕ−=⇒=
r
r

(
)
(
)
ppDdiv ρ=
r

(
)
(
)
(
)
pEp
~
pD
r
r
ε=

Vậy phương trình Laplace-Poisson đối với ảnh được viết như sau:

( )
(
)
(
)



ερ−
=ϕ∆
tích điện có khôngnơiở
tích

điện

có

nơi
ở

0
p
~
p
p
Trong trường hợp điện trường biến thiên điều hòa thì phép biến đổi Laplace
được thay bằng biến đổi Fourier.

ω
→
jp
(
)
(
)
ω
ϕ
→
ϕ
jp
(
)
(
)
ω→
jEpE
r
r

(
)
(
)
ω→ jPpP
r
r

(

)
(
)
ω
ε
→
ε
j
~
p
~

Hệ phương trình của mô hình trường thế:
(
)
(
)
ωϕ−=ω jgradjE
r

(
)
(
)
ωρ=ω jjDdiv
r

(
)
(

)
(
)
ωωε=ω jEj
~
jD
r
r

Phương trình Laplace-Poisson khi đó có dạng:

( )
(
)
(
)



ωεωρ−
=ωϕ∆
tích điện có khôngnơiở
tích

điện

có

nơi
ở

0
j
~
j
j

III.4.3 Điều kiện bờIII.4.3 Điều kiện bờ
Để nghiệm của các phương trình trên hoàn toàn xác đònh ta cần có các
điều kiện bờ hỗn hợp trên mặt tiếp giáp hai môi trường.
 Mặt tiếp giáp điện môi – điện môi:
(
)
(
)
pEpE
21 ττ
=

(
)
(
)
pDpD
n2n1
=
hay
(
)
(

)
(
)
(
)
pEp
~
pEp
~
n22n11
ε
=
ε

Trường hợp trường điều hòa:
(
)
(
)
ω
=
ω
ττ
jEjE
21

(
)
(
)

ω
=
ω
jDjD
n2n1
hay
(
)
(
)
(
)
(
)
ω
ω
ε
=
ω
ω
ε
jEj
~
jEj
~
n22n11

 Mặt tiếp giáp vật dẫn – điện môi:
(
)

(
)
0pEpE
21
=
=
ττ

(
)
(
)
ppD
Sn2
σ
=


68
Trường hợp trường điều hòa:
(
)
(
)
0jEjE
21
=
ω
=
ω

ττ

(
)
(
)
ω
σ
=
ω
jjD
Sn2


III.4.4 Toán tử điện môi phức. III.4.4 Toán tử điện môi phức. Đặc tính tần số của điện môi.Đặc tính tần số của điện môi.
Trong kỹ thuật ta thường gặp loại trường biến thiên điều hòa. Để phân
tích trường trong trường hợp này ta dùng các toán tử Fourier
(
)
(
)
ωωε jk
~
,j
~
.
Xét môi trường điện môi nhớt bậc I, ta có:

( )
1j

1kj
j
~ E
0
+ωτ
+
+
ωτ
⋅ε=ωε ;
( )
1j
k
jk
~
E
+ωτ
=ω ;
suy ra
( )
(
)
(
)
1
kjk1
1
j11kj
j
~
22

E
22
E
0
22
E
0
+
τ
ω
ωτ−τω++
ε=
+
τ
ω
ωτ−++ωτ
ε=ωε .
Đặt
(
)
(
)
(
)
ω
ε
−
ω
ε
=

ω
ε
21
jj
~
, trong đó

( )
1
k1
22
22
E
01
+
τ
ω
τω++
ε=ωε ;
( )
1
k
22
E
02
+
τ
ω
ωτ
ε=ωε .

Viết đại lượng phức
(
)
ω
ε
j
~
dưới dạng module và argument, ta có:
(
)
(
)
(
)
ω
δ
−
⋅ωε=ωε
tgj
ej
~
, trong đó:

( ) ( ) ( )
( )
1
1k
22
2
E

22
0
2
2
2
1
+τω
++τω
⋅ε=ωε+ωε=ωε ;

( ) ( )
(
)
( )
1k
k
tg
E
22
E
1
2
++τω
ωτ
=
ωε
ω
ε
=ωδ≈ωδ
.

Khảo sát các hàm số
(
)
(
)
(
)
ω
δ
ω
ε
ω
ε
tg,,
21
ta vẽ được các đồ thò hình 3.3.
0
ε
ε
δ
tg
δtg
τ
3
1
τ
1
1
ε
2

ε
ω

Hình 3.3
Ta sẽ phân tích ý nghóa
của các hàm tần số trên:
(
)
ω
ε
1

đặc trưng cho khả năng tích lũy,
còn
(
)
ω
ε
2
và
(
)
ω
δ
tg đặc trưng
cho khả năng tiêu tán năng
lượng trường trong môi trường.
Thật vậy, mật độ công
suất, tức độ biến đổi năng lượng
trường trong một đơn vò thể tích

điện môi là:


t
D
EEJp
d
∂
∂
==
r
rrr
;
trong đó
t
D
J
d
∂
∂
=
r
r
là mật độ dòng điện dòch.

69
Nếu trường biến thiên điều hòa, ta xét phương trình trên bằng các đại
lượng phức:

( )

EjjE
~
jDjJ
21d
&
r
&
r
&
r
&
r
ε−εω=εω=ω=

2d1d12
JJEjE
&
r
&
r
&
r
&
r
+=ωε+ωε=
EJ
21d
&
r
&

r
ωε= là thành phần mật độ dòng điện dòch cùng pha với
E
&
; EjJ
12d
&
r
&
r
ωε=
là thành phần mật độ dòng điện dòch vuông pha với
E
&
. Khi đó mật độ công
suất tức thời là

212d1d2d1dd
ppJEJEJEJEEJp +=⋅+⋅=⋅+⋅==
r
r
r
r
r
r
.
Thành phần
1d1
JEp
⋅

=
bằng tích hai hàm điều hòa cùng pha, do đó
không âm và có giá trò trung bình bằng tích các giá trò hiệu dụng
2
hd2hd1dhd
EJE ωε= . Vậy đó là công suất tiêu tán trong điện môi, công suất
này tỉ lệ với
2
ε
.
Thành phần
2d2
JEp
⋅
=
bằng tích hai hàm điều hòa vuông pha nhau,
nên trung bình triệt tiêu. Vậy đó là công suất trao đổi, dao động năng lượng
trường với điện môi, biên độ dao động bằng
2
hd1hd2cdhd
EJE ωε= , tỉ lệ với
1
ε
.
Góc tiêu tán
2
hd1
2
hd2
1

2
E
E
tg
ωε
ωε
=
ε
ε
=δ bằng tỉ số công suất tiêu tán trung
bình với biên độ công suất tích phóng năng lượng, vậy cũng đặc trưng cho khả
năng tiêu tán năng lượng trường trong điện môi.
 Đối với điện môi không nhớt τ = 0, suy ra 0tg;0
2
=
δ
=
ε
, tức không có hiện
tượng tiêu tán năng lượng điện từ.
 Trong điện môi nhớt, có tồn tại sự tiêu tán năng lượng điện từ. Ví dụ như
một tụ điện có điện môi nhớt giữa hai bản có mạch tương đương như trên
hình 3.4a) và 3.4b).

)
(
g
1
ω
)(C

1
ω
)(r
2
ω
)(C
2
ω
a) b)

Hình 3.4

Ví dụ

Cho tụ điện có 2 lớp điện môi
11
,
~
τ
ε
và
22
,
~
τ
ε
giữa hai bản tụ (hình 3.5).
Tụ được nối với nguồn biến thiên e(t). Tìm vector cường độ điện trường giữa

70

hai bản tụ trong từng điện môi. Cho s10
8
1
−
=τ ; 0
2
=
τ
; 4k
E
=
; 4,3
2
=
ε
;
m10dd
4
21
−
== ;
21
m
10S
−
=
;
Ω
=
20r

;
V10e
=
.

11
,
~
τε
22
,
~
τε
1
d
2
d
r
)
t
(
i



<
>
=
0t nếu 0
0t nếu e

)t(e
x


Hình 3.5

♦ Thế các hàm thời gian bằng ảnh Laplace:

(
)
(
)
pt
ϕ
→
ϕ
;
(
)
(
)
pete
→
;
(
)
(
)
pEtE
11

r
r
→ ;
(
)
(
)
pIti
→
;
(
)
(
)
pEtE
22
r
r
→ ;
(
)
(
)
pUtu
→
(phân bố thế trong tụ).
Ta có
( )
1p
1kp

p
~
1
E1
01
+τ
+
+
τ
ε=ε ;
( )
1p
1kp
p
~
1
E1
01
+τ
+
+
τ
ε=ε . Ta sẽ giải phương trình
Laplace cho ảnh
(
)
p
ϕ
:
(

)
0p
=
ϕ
∆
.
Giả sử các bản tụ điện đủ rộng để có thể coi trường trên mỗi mặt phẳng
ngang là đều. Vậy hàm ϕ chỉ phụ thuộc tọa độ x:
(
)
0
dx
pd
2
2
=
ϕ
.
Nghiệm của phương trình này có dạng:
Trong lớp điện môi thứ nhất:
(
)
BAxp
1
+
=
ϕ
;
Trong lớp điện môi thứ hai:
(

)
DCxp
2
+
=
ϕ
.
Điều kiện bờ:
– Trên bản thứ nhất của tụ điện x = 0:
0
0x
1
=ϕ
=
;
– Trên bản thứ hai của tụ điện x = d:
(
)
(
)
prIpe
dx
2
−=ϕ
=
;
– Tại bờ giữa hai điện môi
1
dx
=

:
(
)
(
)
1211
dd
ϕ
=
ϕ
;

11
dx
2
2
dx
1
1
x
~
x
~
==
∂
ϕ∂
ε=
∂
ϕ∂
ε

.
Theo Maxwell, mật độ dòng điện dòch là:
t
D
J
d
∂
∂
=
r
r
. Vậy dòng điện dòch qua tụ
là:

71

( )
(
)
t
tE
~
S
t
D
Sti
11
∂
ε
∂

⋅=
∂
∂
⋅= ,
suy ra phương trình đối với ảnh Laplace có dạng:
(
)
(
)
SpE
~
ppI
11
⋅
ε
⋅
=
.
Theo điều kiện đề bài, e(t) có dạng là một phân bố Dirac. Hàm này có ảnh
Laplace là:
(
)
pepe
=
.
Từ các điều kiện bờ suy ra:

( )










ε=ε
+=+
⋅ε−=+
=
C
~
A
~
DCdBAd
SpE
~
rp
p
e
DCd
0B
21
11
11

Giải hệ phương trình trên ta tìm được các hằng số A, B, C, D.

[ ]
122121
2
~
d
~
d
~~
prSp
e
~
A
ε+ε+εε
⋅
ε
= ; B = 0;

[ ]
122121
1
~
d
~
d
~~
prSp
e
~
C
ε+ε+εε

⋅
ε
= ;
[ ]
122121
12
~
d
~
d
~~
prSp
de
~
D
ε+ε+εε
⋅
⋅
ε
= .

Vậy các hàm thế trong môi trường điện môi giữa hai bản tụ điện có dạng:

( )
[ ]
x
~
d
~
d

~~
prSp
e
~
x,p
122121
2
1
⋅
ε+ε+εε
⋅
ε
=ϕ ;

( )
[ ]
( )
x
~
x
~
~
d
~
d
~~
prSp
e
x,p
21

122121
2
ε+ε⋅
ε+ε+εε
=ϕ .
Nếu ta chọn chiều trục x ngược chiều với vector
E
r
thì:

( )
A
x
x,pE
1
1
=
∂
ϕ
∂
= ;
( )
C
x
x,pE
2
2
=
∂
ϕ

∂
= .
Vậy cường độ điện trường giữa hai bản tụ điện là:


( )
[ ]
122121
2
1
~
d
~
d
~~
prSp
e
~
x,pE
ε+ε+εε
⋅
ε
=
( )( )
( )( )
1p
1kp
d
1p
1kp

d
1p1p
1kp1kp
prSp
1p
1kp
e
1
E1
2
2
E2
1
12
E1E2
0
2
E2
+τ
++τ
+
+τ
++τ
+







+τ+τ
++τ++τ
ε⋅
+τ
+
+
τ
⋅
=
.

Tương tự ta suy ra công thức cho
(
)
x,pE
2
.
Thế các giá trò số vào các công thức này ta được:

72

( )
(
)
cbppp
1p
NpE
2
1
11

++
+
τ
= ;
( )
(
)
cbppp
1kp
NpE
2
E1
22
++
+
+
τ
= .
Trong đó
(
)
(
)
8
120
10221E20
1007,5
rS
ddk1rS
b ⋅=

τεε
τ
ε
+
ε
+
+
ε
ε
= ;

(
)
16
120
E0221
1014,0
rS
1kdd
c ⋅=
τεε
+
ε
+
ε
= ;

18
01
1

105,56
rS
e
N ⋅=
ετ
= ;
18
21
2
106,16
rS
e
N ⋅=
ετ
= .

Sau đó dùng phép biến đổi Laplace ngược ta sẽ nhận được các giá trò cường độ
điện trường trong miền thời gian
(
)
(
)
tE,tE
21
. ♦

73

III.5 Trường điện từ biến thiên trong môi trường dẫn điện lý tưởngIII.5 Trường điện từ biến thiên trong môi trường dẫn điện lý tưởng
Việc khảo sát trường điện từ biến thiên trong môi trường dẫn điện lý

tưởng được tiến hành tương tự như trong điện môi lý tưởng. Với môi trường dẫn
điện lý tưởng
0=ε
. Trong môi trường này dòng điện dòch rất nhỏ so với dòng
điện dẫn J
t
D
J
d
r
r
r
<<
∂
∂
= , tức có thể bỏ qua dòng điện dòch, tức bỏ qua hiện
tượng phóng năng lượng trường trong không gian.
Ở các điều kiện bờ đặc biệt, hoặc khi tốc độ biến thiên trường từ đủ nhỏ
0
t
B
≈
∂
∂
r
ta có thể dùng mô hình trường thế:

(
)
0t,z,y,xErot =

r


(
)
0t,z,y,xJdiv =
r

Vậy
E
r
có thể biểu diễn qua hàm thế vô hướng
(
)
t,z,y,x
ϕ
:

(
)
(
)
t,z,y,xgradt,z,y,xE ϕ−=
r

suy ra
(
)
0t,z,y,x
=

ϕ
∆
.
Tương tự như đối với điện môi, ta có thể phân chia môi trường dẫn ra
làm hai loại: nhớt và không nhớt.
– Vật dẫn không nhớt: các điện tích linh động chuyển động kòp với sự biến
thiên của trường hoặc khi trường biến thiên đủ chậm. Khi đó
EJEJ
r
r
r
r
≈σ⇒σ≈ . Ví dụ như bạc, đồng, nhôm, … ở tần số cao đến 100 GHz
vẫn có tính chất này. Phương trình Laplace trong trường hợp này có dạng
(
)
0t,z,y,x
=
ϕ
∆
.
– Vật dẫn nhớt: các điện tích không chuyển động kòp với sự biến thiên của
trường, ví dụ như các môi trường điện ly, plasma, v.v…. Khi đó
J
r
và
E
r
liên
hệ với nhau bởi phương trình vi phân:

(
)
0E, ,J,J,Jf
'''
=
r
r
r
r
.
Mỗi thông số của trường và chất biến thiên theo thời gian được thay thế
bằng ảnh phức:
(
)
(
)
pt
ϕ
→
ϕ

(
)
(
)
pEtE
r
r
→
(

)
(
)
pJtJ
r
r
→
Xét môi trường nhớt bậc I, tức
J
r
và
E
r
phụ thuộc bởi phương trình vi
phân bậc I:

EJ
dt
Jd
rr
r
σ=+τ ;
Thay các đại lượng bằng ảnh phức, ta có:

(
)
(
)
(
)

pEpJpJp
r
r
r
σ=+τ


74

(
)
(
)
(
)
pE1ppJ
r
r
σ=+τ
⇒

( )
(
)
( )
1p
pE
pJ
p
~

+τ
σ
==σ
r
r
.
Trong trường hợp trường biến thiên điều hòa ta có:

( ) ( ) ( )
ωσ+ωσ=
+ωτ
σ
=ωσ
21
j
1j
j
~
.
(
)
ω
σ
1
đặc trưng cho khả năng tiêu tán, va chạm của các hạt mang điện tự do
với mạng lưới tinh thể của vật dẫn,
(
)
ω
σ

2
đặc trưng cho quán tính của các hạt
dao động.
Vậy hệ phương trình của mô hình trường thế được viết thành:
(
)
(
)
pgradpE ϕ−=
r

(
)
0pJdiv =
r

(
)
(
)
(
)
pEp
~
pJ
r
r
σ=
Điều kiện bờ có dạng:
(

)
(
)
pEpE
21 ττ
=

(
)
(
)
pJpJ
n2n1
=
hay
(
)
(
)
(
)
(
)
pEp
~
pEp
~
n22n11
σ
=

σ
.

IIIII.6 Trường điện từ biến thiên trong môi trường có tổn hao không nhớtI.6 Trường điện từ biến thiên trong môi trường có tổn hao không nhớt
Trong môi trường có tổn hao có cả hiện tượng phân cực lẫn hiện tượng
dẫn điện dưới tác dụng lực điện trường. Để đơn giản hóa việc khảo sát trường
ta coi môi trường là không nhớt và các thông số
σε,
là các số thực. Trong một
số bài toán bờ đặc biệt ta có thể dùng mô hình trường thế.

(
)
0t,z,y,xErot =
r
hay
ϕ−= gradE
r


(
)
0t,z,y,xJdiv =
∑
r
tức 0
t
E
Ediv =









∂
∂
ε+σ
r
r

Mỗi thông số của trường và chất biến thiên theo thời gian được thay thế
bằng ảnh Laplace:
(
)
(
)
pt
ϕ
→
ϕ

(
)
(
)
pEtE
r

r
→
(
)
(
)
pJtJ
r
r
→
Vậy hệ phương trình của mô hình trường thế được viết thành:
(
)
(
)
pgradpE ϕ−=
r

(
)
0pJdiv =
r

(
)
(
)
(
)
(

)
(
)
pEp
~
pEppJ
r
r
r
σ=ε+σ=
Bài toán trở thành: giải phương trình Laplace đối với ảnh phức
(
)
0p
=
ϕ
∆
với
điều kiện bờ có dạng
(
)
(
)
pEpE
21 ττ
=

(
)
(

)
pJpJ
n2n1
=
hay
(
)
(
)
(
)
(
)
pEp
~
pEp
~
n22n11
σ
=
σ
.
Như vậy ta có thể coi môi trường như vật dẫn, trong đó

75

(
)
ε
+

σ
=
σ
pp
~


(
)
(
)
(
)
pEp
~
pJ
r
r
σ=

Trong trường hợp trường biến thiên điều hòa ta có:

(
)
(
)
(
)
ω
σ

+
ω
σ
=
ωε
+
σ
=
ω
σ
jjjjj
~
21


(
)
(
)
(
)
ωωσ=ω
jEj
~
jJ
r
r

Lý luận tương tự ta cũng có thể coi môi trường như điện môi nhớt, coi
J

r
là
dòng điện dòch. Khi đó:

(
)
(
)
(
)
(
)
pEp
~
ppDppJ
r
r
r
ε==

( )
(
)
p
pJ
pD
r
r
=
Điều kiện bờ:

(
)
(
)
pEpE
21 ττ
=

(
)
(
)
pJpJ
n2n1
=
hay
(
)
(
)
pDpD
n2n1
=
;
(
)
(
)
(
)

(
)
pEp
~
pEp
~
n22n11
ε
=
ε
.
trong đó
( )
(
)
pp
p
~
p
~
σ
+ε=
σ
=ε hay trong trường hợp trường điều hòa
( )
(
)
21
j
j

jj
j
~
j
~
ε−ε=
ω
σ
−ε=
ω
σ
+ε=
ω
ωσ
=ωε .
Ví dụ
:
1. Điện môi lý tưởng nhớt bậc I có hệ số phân cực điện 3k
E
=
, hằng số thời
gian s10
8
−
=τ . Tìm
ε
σ
~
,
~

.
♦ Biểu thức liên hệ giữa các vector
P
r
và
E
r
đối với điện môi lý tưởng
nhớt bậc I:

EkP
dt
Pd
E0
rr
r
ε=+τ
Mỗi thông số của trường và chất biến thiên theo thời gian được thay thế
bằng ảnh Laplace, khi đó
(
)
(
)
pEtE
r
r
→
(
)
(

)
pPtP
r
r
→

(
)
(
)
(
)
pEkpP1p
E0
r
r
ε=+τ
⇒

( )
(
)
( )
1p
k
pE
pP
pk
~
E

0
+τ
=
ε
=
r
r


( ) ( )
( )
8
8
0
8
8
0
8
8
0
E
00
10p
104p
1p10
4p10
1p10
13p10
1p
1kp

pk
~
1p
~
+
⋅+
ε=
+
+
ε=
+
++
ε=
+τ
++τ
ε=+ε=ε
−
−
−
−


( ) ( )
8
82
0
10p
p104p
p
~

pp
~
+
⋅+
ε=ε=σ
Trong trường hợp trường biến thiên điều hòa:

76

( ) ( ) ( )
ωε−ωε=
+ω
⋅+ω
ε=ωε
21
8
8
0
j
10j
104j
j
~


( ) ( ) ( )
ωσ+ωσ=
+ω
ω⋅+ω−
ε=ωσ

21
8
82
0
j
10j
104
j
~
♦
2. Tụ điện phẳng có diện tích bản mặt là
23
m10S
−
= , khoảng cách giữa hai
bản là m10d
4
−
= cách điện bằng lớp điện môi nhớt bậc I có
s10,3k
8
E
−
=τ= . Tìm các thông số trong mạch tương đương C // g ở tần số
s/rad10
4
=ω .
♦ Điện dung của tụ điện được tính như sau:
d
S

u
q
C
ε
==
Dẫn nạp của tụ điện:
d
S
jCjY
ε
ω=ω= .
Vậy trong trường hợp tụ điện không lý tưởng ta có:

1j
1kj
d
S
j
~
d
S
jC
~
jY
~
E
0
+ωτ
+
+

ωτ
εω=εω=ω=

(
)
(
)
[
]
1
1kjk
d
S
1j
j1k
d
S
22
E
3
E
2
0
E
2
0
+
τ
ω
+ω+τω+τω

ε=
+ωτ
ω++τω−
ε=

{
}
{
}
CjgYImjYRe
ω
+
=
+
=

Vậy
{ }
1
k
d
S
YReg
22
E
2
0
+
τ
ω

τω
⋅ε== ;
{ }
1
1k
d
S
YIm
1
C
22
E
2
0
+
τ
ω
++τω
ε=
ω
= .
♦

III.7 Phương trình Laplace đối vơIII.7 Phương trình Laplace đối với từ trường biến thiênùi từ trường biến thiên
Khi từ trường biến thiên chậm trong môi trường điện môi xung quanh
các đường dây dẫn điện ta có thể dùng mô hình trường thế, tức
0
t
E
EHrot ≈

∂
∂
ε+σ=
r
rr
.
Hệ phương trình mô tả trường khi đó sẽ có dạng:

(
)
( )





+µ=
=
=
MHB
0t,z,y,xBdiv
0t,z,y,xHrot
0
rrr
r
r

Người ta phân từ môi ra làm hai loại:
– Từ môi không nhớt khi có thể bỏ qua được quán tính của các dòng điện
Ampère, tức khi vector phân cực từ

M
r
biến đổi kòp với tốc độ biến thiên
của từ trường. Khi đó vector
M
r
tỉ lệ với vector cường độ từ trường
H
r
:
HkM
M0
r
r
µ=
HB
r
r
µ=⇒
.

77
Phương trình Laplace:
(
)
0t,z,y,x
M
=
ϕ
∆

; trong đó từ thế
M
ϕ
liên hệ
với cường độ từ trường như sau:
M
gradH ϕ−=
r
.
– Từ môi nhớt: khi vector phân cực từ
M
r
không biến đổi kòp với tốc độ biến
thiên của từ trường. Khi đó các vector
M
r
và
H
r
liên hệ với nhau bởi phương
trình vi phân:
(
)
0H, ,M,M,Mf
'''
=
r
r
r
r

Thế mỗi đại lượng biến thiên theo thời gian bằng ảnh Laplace của nó:
(
)
(
)
pMtM
r
r
→
(
)
(
)
pHtH
r
r
→
ta có hệ phương trình với ảnh Laplace:

(
)
(
)
(
)
pHpk
~
pM
M0

r
r
µ=

(
)
(
)
[
]
(
)
pHpk
~
1pB
M0
r
r
+µ=

(
)
(
)
[
]
pk
~
1p
~

M0
+µ=µ
Đối với từ môi nhớt bậc I
M
r
và
H
r
có mối liên hệ như sau:

HkM
dt
Md
M0
rr
r
µ=+τ , trong đó
M
k là hệ số phân cực từ, τ là hằng số
thời gian.
Làm các phép tính tương tự như các phần trên ta tính được toán tử
(
)
p
~
µ
đặc
trưng cho môi trường:

( )

1p
1kp
p
~
M
0
+τ
+
+
τ
µ=µ
Trường hợp trường biến thiên điều hòa:

( ) ( ) ( ) ( )
M
jtg
21
M
0
ej
1j
1kj
j
~
δ−
⋅ωµ=ωµ−ωµ=
+ωτ
+
+
ωτ

µ=ωµ
(
)
ω
µ
1

đặc trưng cho khả năng tích phóng và
(
)
ω
µ
2
,
M
tg
δ
đặc trưng cho khả
năng tiêu tán năng lượng từ của môi trường.
Ta có bài toán bờ như sau:

(
)
0p
M
=
ϕ
∆
;
(

)
(
)
pgradpH
M
ϕ−=
r

(
)
(
)
pHpH
21 ττ
=

(
)
(
)
pBpB
n2n1
=
hay
(
)
(
)
(
)

(
)
pHp
~
pHp
~
n22n11
µ
=
µ
.
Giải bài toán này tìm
(
)
pH
r
, sau đó dùng phép biến đổi Laplace ngược ta nhận
được vector cường độ trường trong miền thời gian
(
)
tH
r
.

III.8 Tổng kết về các thông số đặc trưng của các môi trường khác nhauIII.8 Tổng kết về các thông số đặc trưng của các môi trường khác nhau
III.8.1 Môi trường tuyến tính, đẳng hướngIII.8.1 Môi trường tuyến tính, đẳng hướng
– Ở trường tónh và dừng (không biến thiên theo thời gian) môi trường được
đặc trưng bởi các thông số
µ
ε

,,k,k
ME
;

78
– Đối với trường biến thiên, môi trường được đặc trưng bởi các toán tử
σµε
~
,
~
,
~
,k
~
,k
~
ME
;
– Trong chân không: 1kk
ME
=
=
,
00
,
µ
ε
.

III.8.2 Toán tử điện dung và điện cảm III.8.2 Toán tử điện dung và điện cảm

LC
~
,
~

Như ta đã biết trong mục II.1.3 và II.2.5, điện dung là thông số đặc
trưng cho khả năng tích lũy năng lượng điện trường trong điện môi giữa hai
điện cực:

∫
∫
∫
∫
ε
===
C
S
C
S
dE
dSE
dE
dSD
u
q
C
l
r
r
l

r
r
hay
u
q
C
∂
∂
= .
Điện cảm đặc trưng cho khả năng tích lũy năng lượng từ trong một cuộn dây.

i
dSB
i
L
S
∫
=
Φ
=
r
hay
i
L
∂
Φ∂
=
Trong trường biến thiên các thông số vector của trường
H,B,E,D
r

r
r
r
thay đổi
theo thời gian, do đó không có tỉ lệ giữa q và u, Φ và i trong các tụ điện và
cuộn dây và
i
,
u
q
∂
Φ∂
∂
∂
không xác đònh. Khi đó để khảo sát ta dùng ảnh Laplace
của các đại lượng.
(
)
(
)
pQtq
→

(
)
(
)
pUtu
→

(
)
(
)
pt
Φ
→
Φ

(
)
(
)
pIti
→

hoặc với trường biến thiên điều hòa
(
)
(
)
ω
→
jQtq ,
(
)
(
)
ω
→

jUtu ,
(
)
(
)
ω
Φ
→
Φ
jt ,
(
)
(
)
ω
→
jIti .
Khi đó ta đònh nghóa toán tử điện dung và điện cảm như sau:
Toán tử điện dung:

( )
(
)
( )
pU
pQ
pC
~
= hay
( )

(
)
( )
ω
ω
=ω
jU
jQ
jC
~
.
Toán tử điện cảm:

( )
(
)
( )
pI
p
pL
~
Φ
= hay
( )
(
)
( )
ω
ωΦ
=ω

jI
j
jL
~
.
(
)
ω
jC
~
và
(
)
ω
jL
~
là các số phức nên ta có thể viết:

(
)
(
)
(
)
ω+ω=ω
21
jCCjC
~

(
)
(
)
(
)
ω+ω=ω
21
jLLjL
~

(
)
(
)
ω
ω
11
L,C đặc trưng cho khả năng tích lũy năng lượng điện từ và
(
)
(
)
ω
ω
22
L,C đặc trưng cho khả năng tiêu tán năng lượng điện từ của tụ điện
hoặc cuộn dây.

79
III.8.3 Môi trường phi tuIII.8.3 Môi trường phi tuyếnyến
Trong môi trường phi tuyến các vector
E,P
r
r
và
H,M
r
r
liên hệ không
tuyến tính với nhau, do đó không có khái niệm về các toán tử tuyến tính
σµε
~
,
~
,
~
,k
~
,k
~
ME
.
Nếu bỏ qua hiện tượng tiêu tán và nếu môi trường phi tuyến ít, ta có:
hdhdtb
ED
=
ε
;

hdhdtb
HB
=
µ
, trong đó chỉ số tb chỉ các giá trò trung bình,
còn chỉ số hd chỉ các giá trò hiệu dụng.
Nếu có thể bỏ qua quán tính của môi trường, và nếu
D,E
r
r
biến thiên
quanh các giá trò
00
D,E
r
r
, ta có thể dùng các đại lượng điện thẩm và từ thẩm vi
sai:
ED
d
∂
∂
=
ε
; HB
d
∂
∂
=
µ

, trong đó
d
ε
và
d
µ
là các hàm số của
00
D,E
r
r
.
Tương ứng, người ta đưa ra khái niệm điện dung, điện cảm trung bình
và vi sai:
hdhdtb
UQC
=
;
hdhdtb
IL
Φ
=
;
uqC
d
∂
∂
=
; iL
d

∂
Φ
∂
=
.

III.8.4III.8.4 Môi trường tuyến tính không đẳng hướng Môi trường tuyến tính không đẳng hướng
Trong loại môi trường này ta có quan hệ
E,P
r
r
như sau:

zzzyzyxzxz
zyzyyyxyxy
zxzyxyxxxx
EkEkEkP
EkEkEkP
EkEkEkP
++=
++=
+
+
=

hay dưới dạng ma trận:
[
]
[
]

[
]
EkP
E
=
, trong đó
[
]
E
k là ma trận hệ số phân cực,
đặc trưng cho quá trình phân cực trong một hệ tọa độ nào đó. Ta có:

[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
EkE1ED
E00
ε
+

ε
=
ε
=

[ ]
ε
là ma trận hệ số điện môi trong môi trường không đẳng hướng.
[ ] [ ] [ ]
( )










+
+
+
ε=+ε=ε
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
0E0
k1kk
kk1k

kkk1
k1
Trong trường điện từ biến thiên người ta đặc trưng các hành vi môi trường
bằng các ma trân toán tử
[
]
E
k
~
,
[ ]
ε
~
.
Tương tự đối với từ môi không đẳng hướng, các đại lượng đặc trưng là
[
]
M
k ,
[ ]
µ
hoặc
[
]
M
k
~
,
[ ]
µ

~
:

[
]
[
]
[
]
HkM
M
=
hoặc
(
)
[
]
[
]
(
)
[
]
pHk
~
pM
M
=

[

]
[
]
[
]
HB
µ
=
hoặc
(
)
[
]
[
]
(
)
[
]
pH
~
pB
µ
=
.

III.9 Phương trình truyền của trường điện từ biến thiên trIII.9 Phương trình truyền của trường điện từ biến thiên trong các môi trườngong các môi trường
– Trong điện môi lý tưởng không nhớt
0=
σ

, ε là số thực, phương trình
truyền trong môi trường không tiêu tán là phương trình d’Alembert:

80
0
t
A
A
2
2
=
∂
∂
εµ−∆
r
r
;
A
rotB
r
r
=


0
t
2
2
=
∂

ϕ∂
εµ−ϕ∆ ;
t
A
gradE
∂
∂
−ϕ−=
r
r
.
Trong môi trường không tiêu tán, trường và năng lượng truyền với vận tốc như
nhau.
– Trong môi trường dẫn không nhớt, độ dẫn điện
σ
là số thực, ta có:
t
A
t
A
A
2
2
∂
∂
µσ=
∂
∂
εµ−∆
r

r
r

Đây là phương trình có tiêu tán Joule.
Ta cũng có thể suy ra phương trình truyền cho các vector cường độ
trường
E
r
và
H
r
. Ta có hằng đẳng thức:
HBdivgrad
1
HgraddivHdivgradHrotrot
r
r
r
r
r
∆−
µ
=−= ,
Vì
0
Bdiv
=
r
nên ta có: HHrotrot
r

r
∆−= , mặt khác theo phương trình Maxwell
thứ nhất
t
D
JHrot
∂
∂
+=
r
rr
, suy ra:

2
2
t
H
t
H
Erot
tt
B
Drot
t
Erot
t
D
JrotHrotrot
∂
∂

εµ−
∂
∂
µσ−=
∂
∂
ε+
∂
∂
σ−=
∂
∂
+σ=








∂
∂
+=
rr
r
r
rr
r
rr

Vậy ta suy ra phương trình cho cường độ từ trường
H
r
có dạng tương tự như
phương trình cho
A
r
trong môi trường dẫn không nhớt:

t
H
t
H
H
2
2
∂
∂
µσ=
∂
∂
εµ−∆
r
r
r

Tương tự với vector cường độ điện trường
E
r

ta cũng chứng minh được:

t
E
t
E
E
2
2
∂
∂
µσ=
∂
∂
εµ−∆
r
r
r
.
Vậy tương tự như các hàm thế
A
r
và ϕ, các cường độ trường điện và từ lan
truyền trong không gian với vận tốc
εµ=1v .


81
III.10 Biểu diễn phức các phương trình của trường điện từ biến thiênIII.10 Biểu diễn phức các phương trình của trường điện từ biến thiên
Khi khảo sát một trường điện từ biến thiên điều hòa để đơn giản người

ta thường dùng phương pháp biên độ phức. Muốn vậy ta phải biểu diễn các đại
lượng dưới dạng phức.
Xét vector cường độ điện trường
E
r
. Ta biết
E
r
là hàm số của không
gian và thời gian, tức
(
)
t,z,y,xEE
r
r
=
, ta có:
(
)
(
)
(
)
[
]
( ) ( )
[ ]
( ) ( )[ ]
z,y,xtcosz,y,xEi
z,y,xtcosz,y,xEi

z,y,xtcosz,y,xEit,z,y,xEE
zzmz
yymy
xxmx
ϕ+ω⋅+
ϕ+ω⋅+
ϕ+ω⋅==
r
r
r
r
r


trong đó ω là tần số góc của trường biến thiên.
Tại các điểm mà
zyx
ϕ
=
ϕ
=
ϕ
các thành phần
(
)
(
)
(
)
tE,tE,tE

zyx
tỉ lệ
nhau nên vector
E
r
ở đó luôn có một phương cố đònh. Khi đó:

(
)
(
)
ψ+ω= tcosEtE
m
r
r


zmzymyxmxm
EiEiEiE ⋅+⋅+⋅=
r
r
r
r

Biên độ
m
E
r
không phụ thuộc vào t.
Tuy nhiên, tại các điểm mà

zyx
ϕ
≠
ϕ
≠
ϕ
các thành phần
(
)
(
)
(
)
tE,tE,tE
zyx
không tỉ lệ với nhau,
E
r
có phương thay đổi, quay trong
không gian.
Theo công thức Euler
α+α=
α
sinjcose
j
, ta có thể viết lại công thức
của vector
E
r
như sau:

( )
(
)
(
)
(
)
{
}
z
y
x
tj
xmz
tj
xmy
tj
xmx
eEieEieEiRet,z,y,xE
ϕ+ω
ϕ+ω
ϕ+ω
⋅+⋅+⋅=
r
r
r
r

⇒

( ) ( )
(
)
{
}
ϕ+ω
⋅=
tj
ez,y,xERet,z,y,xE
&
r
r
,
trong đó
( )
z
y
x
j
zmz
j
ymy
j
xmx
eEieEieEiz,y,xE
ϕ
ϕ
ϕ
⋅+⋅+⋅=

r
r
r
&
r
. Ta gọi đại lượng
này là vector biên độ phức của
E
r
.
Tương tự ta có các vector biên độ phức của các đại lượng vector khác
như sau:

( )
z
y
x
j
zmz
j
ymy
j
xmx
eHieHieHiz,y,xH
ϕ
ϕ
ϕ
⋅+⋅+⋅=
r
r

r
&
r


( )
z
y
x
j
zmz
j
ymy
j
xmx
eDieDieDiz,y,xD
ϕ
ϕ
ϕ
⋅+⋅+⋅=
r
r
r
&
r


( )
z
y

x
j
zmz
j
ymy
j
xmx
eBieBieBiz,y,xB
ϕ
ϕ
ϕ
⋅+⋅+⋅=
r
r
r
&
r

…………………………………………………………………………………………………
Tương tự ta cũng có các biên độ phức của các đại lượng vô hướng:

(
)
ϕ
⋅ρ=ρ
j
m
ez,y,x
&

(
)
(
)
(
)
(
)
{
}
tj
m
ez,y,xRetcosz,y,xt,z,y,x
ω
⋅ρ=ϕ+ωρ=ρ
&

Vậy khi khảo sát trường biến thiên điều hòa ta thế các đại lượng biến
thiên theo thời gian bằng biên độ phức của chúng.

82

( ) ( )
z,y,xEt,z,y,xE
&
r
r
↔

( ) ( )
z,y,xHt,z,y,xH
&
r
r
↔

………………………………………………

(
)
(
)
z,y,xt,z,y,x
ρ
↔
ρ
&

………………………………………………
Các biên độ phức có các tính chất sau:

( ) ( )
z,y,xEjt,z,y,xE
t
&
r
r
ω↔

∂
∂
;

( )
xx
EjtE
t
&
ω↔
∂
∂
;

( ) ( )
z,y,xEt,z,y,xE
t
2
2
2
&
rr
ω−↔
∂
∂
;

( )
x
2

x
2
2
EtE
t
&
ω−↔
∂
∂
.
Như vậy các phương trình Maxwell có thể được viết dưới dạng phức như sau:
BjErot
&
r
&
r
ω−=
DjJHrot
&
r
&
r
&
r
ω+=
ρ=
&
&
r
Ddiv

0
Bdiv
=
&
r

và các phương trình chất: H
~
B
&
r
&
r
µ=
,
E
~
D
&
r
&
r
ε
=
,
E
~
J
&

r
&
r
σ
=
.
Với điện môi lý tưởng không nhớt:
ε
=ε
~
,
0=
σ

Với từ môi lý tưởng không nhớt:
µ
=
µ
~

Với vật dẫn lý tưởng không nhớt:
σ
=
σ
~
.
Đồng thời ta cũng có thể viết lại các phương trình truyền sóng dạng phức:
 Trong môi trường không có điện tích tự do:

(

)
0A
~~
j
~~
A
2
=σµω−µεω+∆
&
r
&
r


(
)
0E
~~
j
~~
E
2
=σµω−µεω+∆
&
r
&
r


(

)
0H
~~
j
~~
H
2
=σµω−µεω+∆
&
r
&
r

Điều kiện bờ:
ττ
=
21
EE
&&
;
ττ
=
21
HH
&&
.
n2n1
DD
&&
= hay

n22n11
E
~
E
~
&&
ε=ε trong điện môi;
n2n1
JJ
&&
= hay
n22n11
E
~
E
~
&&
σ=σ trong vật dẫn.
 Nếu môi trường là điện môi nhớt thì các phương trình truyền dạng phức
được viết thành:
0A
~~
A
2
=µεω+∆
&
r
&
r

0E
~~
E
2
=µεω+∆
&
r
&
r

0H
~~
H
2
=µεω+∆
&
r
&
r


83
 Nếu môi trường là vật dẫn nhớt thì các phương trình truyền dạng phức được
viết thành:
0A
~~
jA =σµω−∆
&
r
&

r

0E
~~
jE =σµω−∆
&
r
&
r

0H
~~
jH =σµω−∆
&
r
&
r

– Với trường hợp môi trường không nhớt:
ε
=ε
~
,
µ
=
µ
~
,
σ
=

σ
~
.
– Nếu môi trường có tổn hao không nhớt thì ta có thể coi môi trường tương
đương với vật dẫn nhớt, các phương trình truyền dạng phức được viết như
cho vật dẫn nhớt:
0E
~
jE =σωµ−∆
&
r
&
r

0H
~
jH =σωµ−∆
&
r
&
r

trong đó
(
)
ωε
+
σ
=
ω

σ
jj
~
. Điều kiện bờ:
ττ
=
21
EE
&&
;
ττ
=
21
HH
&&
,
n22n11
E
~
E
~
&&
σ=σ ,
n22n11
HH
&&
µ=µ .
Ta cũng có thể coi môi trường tương đương với điện môi nhớt:
0E
~

E
2
=µεω+∆
&
r
&
r

0H
~
H
2
=µεω+∆
&
r
&
r

trong đó
( )
ω
σ
−ε=
ω
σ
+ε=ωε j
j
j
~
. Điều kiện bờ:

ττ
=
21
EE
&&
;
ττ
=
21
HH
&&
,
n22n11
E
~
E
~
&&
ε=ε ,
n22n11
HH
&&
µ=µ .

III.11 Biểu diễn phức của vector PoyntingIII.11 Biểu diễn phức của vector Poynting
Trong kỹ thuật, đối với các đại lượng đo công suất người ta thường quan
tâm đến các giá trò trung bình hơn là các giá trò tức thời. Như ta đã biết, vector
Poynting thể hiện mật độ dòng công suất của trường lan truyền. Để khảo sát
trường bằng phương pháp biên độ phức, để tính giá trò trung bình của dòng
công suất ta cần biểu diễn vector Poynting dưới dạng phức.

Ta viết lại các công thức của các cường độ điện và từ trường, chú ý rằng
{ }
(
)
*
XX
2
1
XRe += :

( )
{
}
(
)
tj*tjtj
eEeE
2
1
eERetE
ω−ωω
⋅+⋅=⋅=
&
r
&
r
&
r
r

( )
{
}
(
)
tj*tjtj
eHeH
2
1
eHRetH
ω−ωω
⋅+⋅=⋅=
&
r
&
r
&
r
r

trong đó
( )
z
y
x
j
zmz
j
ymy

j
xmx
*
eEieEieEiz,y,xE
ϕ−
ϕ−
ϕ−
⋅+⋅+⋅=
r
r
r
&
r

( )
z
y
x
j
zmz
j
ymy
j
xmx
*
eHieHieHiz,y,xH
ϕ−
ϕ−
ϕ−
⋅+⋅+⋅=

r
r
r
&
r

là các vector liên hiệp phức của
E
&
r
và
H
&
r
.
Vector Poynting tức thời bằng:

84

( ) ( ) ( )
(
)
(
)
( )
HEHEeHEeHE
4
1
eHeH
2

1
eEeE
2
1
tHtEtS
**tj2**tj2
tj*tjtj*tj
&
r
&
r
&
r
&
r
&
r
&
r
&
r
&
r
&
r
&
r
&
r
&

r
r
r
r
×+×+⋅×+⋅×=
⋅+⋅×⋅+⋅=×=
ω−ω
ω−ωω−ω

Bằng các phép biến đổi đơn giản ta có thể chứng minh được:

{
}
tj2tj2tj2**
eHERe2eHEeHE
ωωω−
×=×+×
&
r
&
r
&
r
&
r
&
r
&
r

suy ra:
( )
{
}
{
}
tj2*
eHERe
2
1
HERe
2
1
tS
ω
×+×=
&
r
&
r
&
r
&
r
r
.
Ta nhận thấy số hạng thứ nhất của biểu thức này không đổi theo thời
gian, vậy giá trò trung bình của vector Poynting là:

( ) ( )

{ } {
}
*
0
T
0
tj2
T
0
HERe
2
1
dteHERe
2
1
T
1
dttP
T
1
tS
&
r
&
r
4444 34444 21
&
r
&
rrr

×+×==
∫∫
ω

Vậy ta có
( )
{
}
*
HERe
2
1
tS
&
r
&
r
r
×= . ta gọi đại lượng phức
*
HE
2
1
S
~
&
r
&
r
r

×= là vector
Poynting dạng phức.


85
Chương IV. Chương IV. SÓNG ĐIỆN TỪ PHẲSÓNG ĐIỆN TỪ PHẲNG VÀ TRỤ TRÒNNG VÀ TRỤ TRÒN

IV.1 Khái niệmIV.1 Khái niệm
Trường điện từ biến thiên theo thời gian tạo nên sóng điện từ lan truyền
trong không gian. Trong kỹ thuật, hiện tượng truyền sóng được ứng dụng rất
rộng rãi. Theo hình dạng mặt sóng, người ta phân chia làm nhiều loại sóng:
sóng phẳng, sóng trụ, sóng cầu, v.v… (hình 4.1a). Trong chương này ta khảo sát
hai loại sóng: sóng phẳng và sóng trụ tròn.

Hình 4.1a)

Hình 4.1b)

Sóng điện từ phẳng, chẳng hạn như sóng truyền trên một đường dây
dẫn thẳng, hay sóng truyền xét ở vùng xa từ một anten (hình 4.1b), v.v… là
sóng mà ở mọi điểm, trường và năng lượng lan truyền theo một phương xác
đònh.
Sóng trụ tròn, như sóng truyền trong dây cáp đồng trục, là loại sóng mà
trường và năng lượng truyền theo chiều bán kính r từ một trục tỏa ra xung
quanh hoặc hướng vào trục.
Sóng cầu, như sóng truyền từ một nguyên tố anten, là loại sóng mà
trường và năng lượng truyền từ nguồn tỏa ra đều trong không gian, khi đó mặt
sóng là các mặt cầu (hình 4.1b).