Giáo trình Hóa Lượng Tử - Chương 5 pptx

49

Chơng 5
Chơng 5Chơng 5
Chơng 5



Trờng xuyên tâm và nguyên tử hyđro
Trờng xuyên tâm và nguyên tử hyđroTrờng xuyên tâm và nguyên tử hyđro
Trờng xuyên tâm và nguyên tử hyđro




5.1. Trờng xuyên tâm
5.1. Trờng xuyên tâm5.1. Trờng xuyên tâm
5.1. Trờng xuyên tâm

-

-

Hệ toạ độ cầu
Hệ toạ độ cầuHệ toạ độ cầu
Hệ toạ độ cầu


5.1.1. Trờng xuyên tâm:

Một trờng thế đợc gọi là trờng xuyên tâm khi:
- Mọi lực tác dụng lên hạt đều đi qua một điểm cố định gọi là tâm của trờng và
ngời ta lấy điểm này làm gốc toạ độ.
- Lực đó chỉ phụ thuộc khoảng cách R từ tâm đến hạt chứ không phụ thuộc vào
phơng của vectơ R, do đó U = U(r).
Ví dụ: Trờng lực của hạt nhân đối với electron là trờng xuyên tâm.



U = -
r
Ze
2




5.1.2. Toạ độ cầu:


Vì trờng xuyên tâm là trờng đối xứng cầu, nên các bài toán trong trờng
xuyên tâm ngời ta sử dụng hệ toạ độ cầu. Giữa toạ độ Descartes và toạ độ cầu có mối
quan hệ sau:

r = OM (0 r )
= (OZ,OM) (0 )
= (OX,OM) ( 0 2)
x = rsincos
y = rsinsin
z = rcos ; r

2
= x
2
+ y
2
+ z
2







Phần thể tích d trong toạ độ cầu có dạng:

d = r
2
dr.sindd

5.1.3. Các toán tử trong hệ toạ độ cầu
r


50


- Toán tử Laplace
2
2

2
1
)(
1
r
r
r
r
r
+




=


: Phần phụ thuộc góc của toán tử Laplace

=
2
2
2
sin
1
)(sin
sin
1

+






- Toán tử mômen động lợng:

)cos.(sin







+


= ctgiM
x

)sin.(cos










= ctgiM
y







= iM
z




22

=
M


Theo cơ học lợng tử, khi hạt chuyển động trong trờng xuyên tâm, giữa các
toán tử momen động lợng có các tơng quan:

[
M

2
,
M

x
] = [
M

2
,
M

y
] = [
M

2
,
M

z
] = 0

- Toán tử Haminton:
H

= -
2
2
m

[
2
2
2
1
)(
1
r
r
r
r
r
+




] + U

- Phơng trình Schrodinger cho trạng thái dừng trong trờng xuyên tâm:

H


(r,

,

)
= E
(r,

,

)
(5.1)

hay
0)(
21
)(
1
22
2
2
=++

UE
m
r
r
r
r
r

(5.2)

5.1.4. Các toán tử giao hoán trong trờng xuyên tâm:

Trong trờng xuyên tâm các toán tử
H

,
M

2
và
M

z
giao hoán với nhau từng đôi

51

một: [
H

,
M

2
] = [
H

,
M

z
] = [
M

2
,
M

z
] = 0. Do đó, các trị riêng của chúng E, M
2
, M
z

là đồng thời xác định. Chúng có chung hàm riêng và lập thành một hệ toán tử đầy đủ,
xác định hoàn toàn hàm sóng của hệ.

5.2.
5.2.5.2.
5.2.

Bài toán nguyên tử hidro và ion giống hidro
Bài toán nguyên tử hidro và ion giống hidroBài toán nguyên tử hidro và ion giống hidro
Bài toán nguyên tử hidro và ion giống hidro





Nguyên tử hidro và ion giống hidro nh He
+
, Li
2+
có một electron duy nhất
chuyển động trong trờng lực của hạt nhân với điện tích dơng +e (hay +Ze) có thế
năng U = -Ze
2
/r (r: khoảng cách từ electron đến hạt nhân).
So với electrron, hạt nhân có khối lợng rất lớn và chuyển động rất chậm, nên
một cách gần đúng ngời ta xem nó đứng yên và đặt gốc toạ độ tại nhân. Nh vậy, bài
toán nguyên tử hidro và ion giống hidro chuyển thành bài toán xét chuyển động của
electron trong trờng xuyên tâm.

5.2.1.

Phơng trình Schrodinger của nguyên tử hidro

0)(
21
)(
1
22
2
2
=++






UE
m
r
r
r
r
r

(5.2)

Việc giải phơng trình Schrodiger chính là đi tìm giá trị

E và hàm của phơng
trình (5.2).
Trong trờng xuyên tâm, các toán tử
2

M
và
z
M

giao hoán với nhau và giao
hoán với toán tử
H


Toán tử
z
M

và
2

M
có hàm riêng chung là Y (,) ( hàm cầu).

(r,

,

)
là hàm riêng của toán tử
H

. Để
(r,

,

)
cũng là hàm riêng của
2

M
và
z
M

thì phải bằng tích của hàm cầu Y
(

,

)
với một hàm chỉ phụ thuộc r (gọi là hàm
bán kính R
(r)

)


(r,

,

)
= R
(r)
. Y
(

,

)
= R.Y (5.3)


Thay (5.3) vào (5.2) ta đợc:


0)(
2
)(
1
22
2
2
=+

+




RYUE
m
r
RY
r
RY
r
r
r

(5.4)

với
2
2


M
=


(5.4)
0)(
2

)(
22
2
2
2
2
=+




UERY
mM
r
R
r
R
r
r
r
Y


(5.5)


52

Nhân (5.5) với

RY
r
2
, chuyển phần phụ thuộc góc về phía phải, ta đợc:


Y
YM
UE
mr
r
R
r
r
R
2
2
2
2
2

)(
2
)(
1


=+

(5.6)

Để cho phơng trình (5.6) luôn nghiệm đúng thì hai vế của phơng trình phải
bằng một hằng số và ngời ta tách thành hai phơng trình:

- Phơng trình phụ thuộc góc (,):
Y
YM
2
2


= A (5.7) ( A = const)

-Phơng trình phụ thuộc bán kính r:
)(
2
)(
1
2
2
2
UE
mr
r
R
r
r

R
+





= A (5.8)

Nh vậy, việc giải phơng trình Schrodinger chính là giải phơng trình phụ
thuộc góc và phơng trình phụ thuộc bán kính.

5.2.2. Phơng trình phụ thuộc góc
a.
a.a.
a. Hàm riêng của
Hàm riêng của Hàm riêng của
Hàm riêng của
2

M
và
và và
và
z
M


Phơng trình (5.7) chính là phơng trình hàm riêng và trị riêng của toán tử
2

M
.
Vì hàm cầu Y(,) là hàm riêng chung của
2

M
và
z
M

, mà
z
M

chỉ chứa một biến
(
z
M

= -i




); nên Y(,) là tích của hàm ()():

Y(,) = ()() (5.9)

Thay (5.9) vào phơng trình góc (5.7):

2

M
Y = A
2
Y ta đợc:


2
2
2
sin
1
)(sin
sin
1






+



YY
= -AY

hay

0
sin
)

(sin
sin
2
2
=+


+




A





(5.10)

Nhân (5.10) với


2
sin
và biến đổi ta đợc:

53


])(sin
sin
1
[sin
2
A+











= -
2
2
1



(5.11)

Để cho (5.11) luôn nghiệm đúng, thì hai vế phải bằng một hằng số:

-
2
2
1



= m
2
(5.12)

])(sin
sin
1
[sin
2
A+









= m
2

(5.13)

*Phơng trình (5.12) đợc viết lại:


0
2
2
2
=+



m


Đây là phơng trình vi phân bậc hai có nghiệm:


m(

)
= c. e
im



Để hàm
m(

)
là đơn trị, thì m phải nhận các giá trị 0, 1, 2


m(

)
là hàm riêng của toán tử M
z


*Phơng trình (5.13) đợc viết lại:

-
=

+




A
m





2
2

sin
)(sin
sin
1


Đặt A = l(l + 1), ta đợc: -
+=

+




)1(
sin
)(sin
sin
1
2
2
ll
m





(5.14)

Phơng trình (5.14) là phơng trình hàm số cầu, phơng trình này chỉ có thể có
nghiệm đơn trị, hữu hạn, liên tục.
Nghiệm của phơng trình:


)!(
)!(
2
12
)(
ml
ml
l
+

+
=

. P
)(cos

m
l
(5.15)

Với: l = 0, 1, 2,
m= 0, 1, 2, , l

54

Nh vậy: Hàm cầu Y
(

,

)
= ()() trở thành:

Y
(

,

)
=

2
1

)!(
)!(
2
12
ml
ml
l
+

+

. P
)(cos

m
l
.e
im

(5.16)

b.
b.b.
b.

Trị riêng của toán tử
Trị riêng của toán tử Trị riêng của toán tử
Trị riêng của toán tử
M

2
22
2
,
, ,
,
M

z
zz
z

-Trị riêng của M
2
:
YllYM
22
)1(


+=
(5.17)

Suy ra: M
2
= l(l +1)
2

Hay: M =

2
)1(
h
ll +

l = 0,1,2,
l gọi là số lợng tử phụ ( số lợng tử obital).
Theo qui ớc những trạng thái của hệ ứng với các giá trị của l là:

l = 0 1 2 3 4 5 6 7
s p d f g h i k



Chú ý
Chú ýChú ý
Chú ý:
::
:
Các ký hiệu s, p, d, f cho các obital đợc lấy từ các chữ cái đầu tiên của
4 dãy quang phổ phát xạ của nguyên tử natri: Sharp (s), Principle (p), Diffusion (d),
Fundamental (f). Các ký hiệu còn lại nh: g, h, i, k đợc sắp xếp theo thứ tự anpha.

- Trị riêng của M
z
:
z
M

= M
z


hay

im
ec
i
.

= M
z


Lấy vi phân ta đợc -i .c.i.m.e
im

= M
z
.

.c.m.e
im

= M
z
.

M
z

= m. (5.18)

(m = 0, 1, 2, , l)

m gọi là số lợng tử từ. m chỉ có thể nhận những giá trị gián đoạn từ +l đến -l.
Về ý nghĩa vật lí, nó đặc trng cho sự định hớng của vectơ momen động trên trục Z.

55

Một số dạng hàm cầu đã đợc chuẩn hoá nh bảng 5.1.
Chỉ những hàm cầu có m
l
=0 mới là hàm thực, còn các hàm cầu có m
l
0 đều là
phức vì có chứa e
im

. Song vì hàm cầu Y là phần góc của = R.Y, trong đó hàm bán
kính R là thực, cho nên để cho AO là thực thì cần biến đổi hàm cầu phức thành hàm
thực. Để làm điều này ta tiến hành tổ hợp tuyến tính các hàm cầu phức một cách thích
hợp có tính đến định lí Euler:
Cos = (e
i

+ e
-i

)/2

Sin = (e
i

- e
-i

)/2i

Ví dụ: Với l = 1. Từ các giá trị ở bảng 5.1 ta có:

P
z
=
pz
= Y
1,0
=


cos
8
3


P
x
=
px
=

cossin
4
3
)
2
(sin
4
3
2
1,11,1
=
+
=
+


ii
ee
YY


P
y
=
py
=

sinsin
4
3
)
2
(sin
4
3
2
1,11,1
=

=



ii
ee
i
YY


Các giá trị của các hàm đã tổ hợp đợc đa ra ở bảng 5.2.

Bảng 5.1: Dạng hàm cầu Y

l,m
(,)

l m
l

Y
l, m
(, )
M
z
M
0 0
Y
00
=

4
1

0 0
0
Y
10
=


cos
8
3

0
1 1
Y
1,1
=

8
3
sin. e
i


+

2

-1
Y
1,-1
=

8
3
sin. e
-i


-

0
Y
2,0
=

16
5
(3cos
2
- 1)

0
1
Y
2,1
=

8
15
sincos e
i



+


56

2 -1

Y
2,-1

=

8
15
sincos e
-i



-

6

2
Y
2,2
=

32
15
sin
2
e
2i

+2

-2
Y
2,-2
=

32
15
sin
2
e
-2i



-2


Bảng 5.2: Dạng hàm cầu Y
l,m
của hidro

l m
l

Y
l, m
(, )
Tổ hợp tuyến tính Ký hiệu

0 0
Y
00
=

4
1

s
1 0
Y
10
=


cos
8
3

p
z

1 1
Y
1,1
=

8
3
sin. e

i


2
1
(Y
1,1
+ Y
1,-1
)
p
x

1 -1
Y
1,-1
=

8
3
sin. e
-i


2
1
i
(Y
1,1
- Y

1,-1
)
p
y

2 0
Y
2,0
=

16
5
(3cos
2
- 1)
d
z2
2 1
Y
2,1
=

8
15
sincos e
i


2
1

(Y
2,1
+ Y
2,-1
)
d
xz

2 -1
Y
2,-1

=

8
15
sincos e
-i


2
1
i
(Y
2,1
- Y
2,-1
)
d
yz

2 2
Y
2,2
=

32
15
sin
2
e
2i


2
1
(Y
2,2
+ Y
2,-2
)
d
x2 - y2
2 -2
Y
2,-2
=

32
15

sin
2
e
-2i


2
1
i
(Y
2,2
- Y
2,-2
)
d
xy

Các dạng hàm P
x
, P
y
, P
z
thu đợc từ sự tổ hợp tuyến tính gọi là các obital
nguyên tử P
x
, P
y
, P
z

và kết hợp với các giá trị của x, y, z trong hệ toạ độ cầu ta đợc:

P
z
=

4
3
(z/r); P
x
=

4
3
(x/r); P
y
=

4
3
(y/r)


57

Điều này giải thích vì sao chúng ta có các hàm ứng với các kí hiệu P
x
, P
y
, P

z
.
Bằng cách tơng tự ta có các kí hiệu d
xy
, d
xz
, d
yz
, d
x2-y2
và d
z2
.

5.2.2.

Phơng trình phụ thuộc bán kính r

Từ phơng trình (5.8) :
)(
2
)(
1
2
2
2
UE
mr
r
R

r
r
R
+





= l(l+1)

Ta đợc:
0]
)1(
)(
2
[
2
222
2
=
+
++ R
r
ll
UE
m
dr
dR
r

dr
Rd

(5.19)

Từ phơng trình (5.19) ta phải tìm giá trị E và R(r).
Đối với electron có hai khả năng xảy ra:
- Khi electrron bứt ra khỏi nguyên tử, nghĩa là không tồn tại liên kết, lúc đó E >
0.
- Khi electrron còn tơng tác với hạt nhân, nghĩa là tồn tại liên kết hoá học, E <
0. Đây là trờng hợp mà ta quan tâm.
Để giải phơng trình bán kính ta đặt: x =
o
na
Zr2
(5.20)
Với n là một tham số nào đó.
Tìm giá trị của các hàm dr, dr
2
, dR/dr, d
2
R/dr
2
(5.21)
Thay các gía trị ở (5.20) và (5.21) vào (5.19) và biến đổi để đa về dạng
Laguerre, giải ta đợc nghiệm của phơng trình hàm bán kính:
R(r) = -C
)
2
()

2
12
/
o
l
ln
naZr
o
na
Zr
Le
na
Zr
o
+
+



a
0
= 0,529A
0
~ 0,53A
0
(bán kính Bohr)

L
2l+1
n+l

(x) : Đa thức Laguerre

C =
34
])![(
)!1(4
lnn
ln
+

2/3
)(
o
a
Z


Phơng trình bán kính chỉ có nghiệm khi n-l-1 0 và nguyên, tức là n l + 1 và
nguyên, mà l = 0, 1, 2, ; do đó n = 1, 2, n đợc gọi là số lợng tử chính.
Nh vậy ứng với một giá trị của n có n giá trị l

n = 1 l = 0 : 1s
n = 2 l = 0, 1 : 2s, 2p
n = 3 l = 0, 1, 2 : 3s, 3p, 3d
n = 4 l = 0, 1, 2, 3 : 4s, 4p, 4d, 4f

58


Một số hàm bán kính R (n,l) của các ion giống hidro đợc trình bày ở bảng 5.3.

Bảng 5.3: Một số hàm bán kính của các ion giống hidro

n l R
n.l
(r)
1 0
o
aZr
o
e
a
Z
/
2/3
.)(2


2 0
o
aZr
oo
e
a
Zr
a
Z
2/
2/3
).
2

1()(
2
1



2 1
o
aZr
o
er
a
Z
2/
2/5
.)(
62
1


3 0
o
aZr
o
oo
e
a
rZ
a
Zr

a
Z
3/
2
22
2/3
)
9
2
23()(
39
2

+

3 1
o
aZr
oo
e
a
Zr
a
Z
3/
2/5
)
3
2()(
627

4



3 2
o
aZr
o
er
a
Z
3/
22/7
)(
3081
4



- Năng lợng:
E = -
22
42
2

n
meZ


E đợc lợng tử hoá vì n nhận giá trị gián đoạn.

E
1
: ứng với trạng thái n = 1: Trạng thái cơ bản E min.
Trong nguyên tử hidro và ion giống hidro thì những trạng thái ứng với n 2 gọi
là trạng thái kích thích.

5.2.3. Một số tính chất của các hàm sóng
5.2.3
5.2.35.2.3
5.2.3.1. Khái niệm về obital nguyên tử
.1. Khái niệm về obital nguyên tử.1. Khái niệm về obital nguyên tử
.1. Khái niệm về obital nguyên tử



Hàm sóng (r,,) là hàm mô tả trạng thái chuyển động của electron trong
nguyên tử. Hàm (r,,) là tích của hàm bán kính và hàm góc.


n,l,m
(r,,) = R
n, l
(r) .Y
l,m
(,)

Trong quá trình giải phơng trình Schrodinger ta thấy xuất hiện 3 số lợng tử:
- n: Số lợng tử chính nhận các giá trị 1, 2, 3 Số lợng tử này xác định
những mức năng lợng trong nguyên tử:

E = -
22
42
2

n
meZ



59

- l: Số lợng tử phụ hay số lợng tử orbital nhận các giá trị 0, 1, 2, 3, (n -1). Số
lợng tử này xác định momen động lợng orbital:

M =

)1( +ll

- m
l
: Số lợng tử từ nhận các giá trị 0, 1, 2 l. Số lợng tử này xác hình
chiếu của mômen động lợng theo một phơng nào đó, chẳng hạn theo trục
z.
M
z
= m
l
.

Nh vậy, hàm không gian
n,l,m
phụ thuộc vào 3 số lợng tử và mô tả trạng thái
chuyển động của electron trong nguyên tử hidro và ion giống hidro. Theo Mulliken,
những hàm nh thế gọi là orbital nguyên tử (viết tắt là AO - Atomic Orbital).
Trong cơ học lợng tử khái niệm quỹ đạo (orbit) đợc thay bằng orbital. Đó
chính là những hàm sóng mô tả trạng thái của electron, sự phân bố xác suất có mặt của
electron trong nguyên tử.
Một số obital nguyên tử của nguyên tử hiđro đợc đa ra ở bảng 5.4.
Bảng 5.4: Một số orbiatl nguyên tử của nguyên tử hidro

nlm Orbital

Hàm bán kính Hàm góc E(eV)

100

1s

2a
o
-3/2
e
-r/ao


2
1

-13,6

200 2s
o
ar
o
o
e
a
r
a
2/
2/3
)
2
1()(
2
1





2
1

-3,4
210 2p
z

o
ar

o
era
2/
2/5
.)(
62
1





cos
8
3

-3,4
211 2p
x

o
ar
o
era
2/
2/5
.)(
62
1

8
3
sin.cos
-3,4
21-1 2p
y

o
ar
o
era
2/
2/5
.)(
62
1




8
3
sin.sin
-3,4
300 3s
o
ar

o
o
o
e
a
r
a
r
a
3/
2
2
2/3
)
9
2
23()(
39
2


+


2
1

-1,5
310 3p
z

o
ar
o
o
e
a
r
a
3/
2/5
)
3
2()(
627
4






cos
8
3

-1,5
31+1 3p
x

o
ar
o
o
e
a
r
a
3/
2/5
)
3
2()(
627
4





8
3
sin.cos
-1,5
31-1 3p
y

o
ar
o

o
e
a
r
a
3/
2/5
)
3
2()(
627
4





8
3
sin.sin
-1,5
320 3d
z2

o
ar
o
era
3/
22/7

)(
3081
4




4
15
(3cos
2
-1)
-1,5

60

32+1 3d
xz

o
ar
o
era
3/
22/7
)(
3081
4

4
15
sin2cos
-1,5
32-1 3d
yz

o
ar
o
era
3/
22/7
)(
3081
4




4
15
sin2sin
-1,5
32+2 3d
x2-y2

o

ar
o
era
3/
22/7
)(
3081
4




4
15
sin
2
cos2

-1,5
32-2 3d
xy
o
ar
o
era
3/
22/7
)(
3081
4

4
15
sin2sin2
-1,5



5.2.3
5.2.35.2.3
5.2.3.2. Sự suy biến năng lợng của AO
.2. Sự suy biến năng lợng của AO.2. Sự suy biến năng lợng của AO
.2. Sự suy biến năng lợng của AO


Qua bảng trên ta nhận thấy các AO phụ thuộc vào 3 số lợng tử n, l, m
l
; nhng
năng lợng E chỉ phụ thuộc vào n mà thôi không phụ thuộc vào l và m
l
. Khi năng
lợng không phụ thuộc vào số lợng tử nào thì nó suy biến đối với số ;ợng tử đó,
nghĩa là E suy biến theo l và m
l
.
ứng với mỗi giá trị của n có n giá trị của l từ 0, 1, 2, (n-1) và ứng với mỗi giá
trị của l có 2l + 1 giá trị m

l
từ -l đến + l . Nh vậy ứng với mỗi giá trị của n ta có:



=
1
0
n
l
(2l + 1) = n
2
AO với các giá trị của l và m
l
khác nhau.

Ví dụ: ứng với n = 2 có 2
2
= 4 AO, ta nói mức năng lợng E
2
bị suy biến bậc 4.

5.2.4
5.2.45.2.4
5.2.4.3.
.3. .3.
.3. X
XX
Xá
áá

ác suất có mặt của electron
c suất có mặt của electronc suất có mặt của electron
c suất có mặt của electron


Mỗi trạng thái của electron đợc xác định bằng một hàm sóng
n,l,m
và ứng với
mỗi hàm sóng này có một sự phân bố xác suất của electron quanh một điểm M nào đó
trong không gian.
Theo lý thuyết xác suất, mật độ xác suất đợc xác định bằng bình phơng
mođun của hàm sóng:
2

.
Trong toạ độ cầu một đơn vị thể tích d là:

d = r
2
sindrdd

Xác suất có mặt của electron đợc biểu diễn:

dP =
*
r
2
sindrdd

Điều kiện chuẩn hoá đối với hàm sóng là:

= 1
2

d



61

Do (r,,) = R(r)Y(,) nên điều kiện chuẩn hoá đợc tách thành hai thành
phần độc lập:



=
=
=
r
r
drRrR
0
2*
1


Và

=
=
=
=
=





2
0
*
0
1sin ddYY


Ta sẽ xét mật độ xác suất theo bán kính và theo góc.

a.

Mật độ xác suất theo bán kính
Biểu thức P(r) = R
2
(r)r
2
cho biết sự phân bố mật độ xác suất tìm thấy electron
theo bán kính r đối với hạt nhân, nên đợc gọi là hàm phân bố xác suất theo bán kính.
Nếu gọi r
max

là giá trị của r mà tại đó mật độ xác suất tìm thấy electron là cực
đại, trị này ứng với điều kiện:
Ví dụ: electron ở trạng thái 1s trong nguyên tử H
R(r) = 2
o
ar
o
e
a
/
2/3
.)
1
(



Chọn a
0
= 1 ( làm đơn vị) R(r) = 2.e
-r

Ta có:

0).4(
),(
22
22
==
r

er
dr
d
dr
rRd


hay 8r.e
-2r
(1-r) = 0 r
max
= 1 = a
0
= 0,53 A
0

Tơng tự đối với 2p và 3d ta đợc : r
2p
max
= 4a
0
; r
3d
max
= 9a
0
Đồ thị phân bố mật độ electron theo r của một số AO đợc trình bày ở hình 5.1.

62



Hình 5.1. Sự phân bố mật độ electron theo bán kính

Từ đồ thị thu đợc cho thấy, electron không khu trú trên một quỹ đạo (orbit) xác
định mà chúng đợc giải toả đều trong toàn không gian orbital xung quanh hạt nhân,
nghĩa là electron có mặt ở khoảng cách bất kỳ quanh hạt nhân với những mật độ xác
suất khác nhau, trong đó có mật độ xác suất lớn nhất: r
1s
(max) = a
o
; r
2p
(max) = 4a
o

Nh vậy, một lần nữa khái niệm quỹ đạo trùng với quỹ đạo Bohr của cơ học cổ
điển không còn ý nghĩa trong cơ học lợng tử.

b. Đồ thị hàm cầu và mật độ xác suất theo góc
Đây là sự phân bố mật độ xác suất trong trờng xuyên tâm theo một hớng cho
trớc đợc xác định bởi góc , .
Hàm Y
l,m
(, ) chỉ phụ thuộc vào các số lợng tử l và m và độc lập với số lợng
tử chính n.
Xác suất theo góc đợc biểu diễn bằng biểu thức:

dP(, ) = Y
*
Ysindd = Y
*
Yd

Với d = sindd.
Mật độ xác suất đợc biểu diễn nh sau:


63


2
*
)(
)(
YYYD
d
dP
===





Ta xét một số trờng hợp sau:
-Khi l = 0, m
l
= 0, Y

00
(s) =

4
1
. Đồ thị hàm cầu Y
00
là một hình cầu bán
kính bằng

4
1
, nó không phụ thuộc vào góc , và dơng ở khắp nơi.


+ Mật độ xác suất theo góc cũng không phụ thuộc vào ,

Y
2
00
=

4
1


- Khi l = 1 ( trạng thái p):

P
x

=

4
3
sincos; P
y
=

4
3
sinsin; P
z
=

4
3
cos
+ Đồ thị P
z
và P
z
2
có thể biểu diễn nh sau:




64

Sự biến thiên của P

z
phụ thuộc vào góc . Từ hình trên ta thấy khi = 0
o
, cos =
1, đoạn OA =
3
nằm trên trục OZ. Nh thế giá trị lớn nhất là
3
; khi = 90
o
,
cos = 0, đoạn OA tíên tới gốc toạ độ và nằm tại O, nghĩa là mặt phẳng xOy vuông góc
với trục Oz làm thành một mặt nút của hàm P
z
. Khi = 45
o
, cos =
2
2
ta có đoạn OB
=
3
.
2
2
= OA
2
2
. Nh vậy điểm B nằm trên nửa đờng tròn đờng kính OA =
3

.
Nếu ta quay nửa đờng tròn quanh trục Z sẽ có hình cầu đờng kính OA tiếp xúc với
mặt phẳng xOy tại O ứng với góc = 0 ữ 90
o
. Ta tiếp tục thực hiện các phép biến đổi
= 90
o
ữ 180
o
sẽ thu đợc một hình cầu thứ hai giống hệt hình cầu thứ nhất nằm dới
mặt phẳng xOy với dấu âm.
Khi bình phơng P
z
2
ta sẽ có một hình số 8 tròn xoay quanh trục Z. Những điểm
nằm trên vành số 8 biểu thị mật độ xác suất có mặt của electron quay quanh hạt nhân
Tơng tự đối với P
x
, P
y
, P
x
2
, P
y
2
nhng phân bố theo trục X và Y.

- Khi l = 2 ( trạng thái d), lí luận tợng tự ta có đồ thị cuả các hàm d
z2

, d
x2-y2
,
d
xy
, d
xz
, d
yz
.






65

Đồ thị các hàm mật độ xác suất theo góc tơng ứng với 5 hàm d trên thu đợc
bằng cách bình phơng các hàm sóng này, do đó các múi dơng và thon hơn.

5.2.3
5.2.35.2.3
5.2.3.4. Khái niệm mây electron
.4. Khái niệm mây electron.4. Khái niệm mây electron
.4. Khái niệm mây electron

Vì electron vừa có tính chất sóng, tính chất hạt nên sự chuyển động của electron
xung quanh hạt nhân nh loang ra, nh nhoè ra giống hình ảnh của đám mây. Vậy mây
electron là hình ảnh về s chuyển động của electron quanh hạt nhân.
Mây electron tỉ lệ với - e.
2

; điều đó có nghĩa là mây dày tức mật độ xác suất
lớn thì khu vực đó dễ tìm thấy electron, trái lại mây mỏng hay tha, nghĩa là mật độ
xác suất nhỏ thì khó tìm thấy electron. Vậy mây electron không phải là AO.

5.2.3
5.2.35.2.3
5.2.3.5. Hình dạng của AO
.5. Hình dạng của AO.5. Hình dạng của AO
.5. Hình dạng của AO





Để biểu diễn hình dạng của AO, có thể có các cách sau:
- Biểu diễn AO thông qua hàm góc Y (,)
- Biểu diễn AO thông qua hàm
2
,(

Y

- Biểu diễn AO bằng cách vẽ bề mặt giới hạn khoảng không gian tìm thấy phần

lớn (~ 95%) mây điện tích electron. Hình dạng các bề mặt giới hạn này đợc xác định
bởi đồ thị hàm mật độ xác suất theo góc.
Từ các biểu thức toán học cho thấy, không gian mà electron có mặt không có
một giới hạn rõ ràng. Tuy nhiên, trong trờng hợp chung, phần lớn xác suất có ặmt của
electron tập trung chủ yếu trong một không gian xác định. Vì vậy, trong trờng hợp
chung ngời ta thờng biểu diễn các obital bằng một mặt cong giới hạn bao gồm phần
lớn (khoảng 95%) xác suất có mặt của electron.

Chú ý:
- Những AO cùng n thì tập hợp thành lớp AO gọi là lớp n
- Những AO có cùng giá trị l thì tập hợp thành phân lớp obital gọi là phân lớp l.

Kí hiệu obital = : ô lợng tử


5.2.4. ý nghĩa của các số lợng tử. Lớp và phân lớp
5
55
5.2.4
.2.4.2.4
.2.4.1. S
.1. S.1. S
.1. Số lợng tử chính n. Lớp orbital. Năng lợng của electron
ố lợng tử chính n. Lớp orbital. Năng lợng của electronố lợng tử chính n. Lớp orbital. Năng lợng của electron
ố lợng tử chính n. Lớp orbital. Năng lợng của electron

a) Lớp orbital
Phơng trình Schrodinger có nhiều nghiệm
nlm
, mỗi nghiệm đặc trng cho một
trạng thái của electron trong nguyên tử (cha chú ý đến spin của electron) và đợc gọi
là orbital nguyên tử AO. Mỗi orbital đợc đặc trng bằng một tổ hợp các trị của ba số
lợng tử n, l và m.
Số lợng tử chính n nhận những giá trị: n = 1, 2, 3
Tất cả các orbital đợc đặc trng bởi cùng một giá trị của n thuộc cùng một lớp.
Ngời ta dùng các chữ cái in để đặc trng cho các lớp

66

n = 1 2 3 4
Tên lớp: K L M N
Vậy, số lợng tử n đặc trng cho lớp orbital hay lớp electron.

b) Năng lợng của electron
Từ kết quả giải phơng trình Schrodinger ta có biểu thức năng lợng:

E = -
222
42
)4(
1
2
o
n

meZ




Nếu năng lợng tính ra eV, thì biểu thức năng lợng đợc viết dới dạng đơn
giản:

2
6,13
n
E
n
=
(eV)

Đối với những ion giống hidro, số điện tích hạt nhân Z ,thì:


2
2
6,13
n
Z
E
n
=
(eV)

Ta thấy, trong các biểu thức trên năng lợng của electron trong nguyên tử H và

ion giống H chỉ phụ thuộc vào số lợng tử n. Điều này có nghĩa là khi electron ở những
orbital khác nhau thuộc cùng một lớp thì có cùng năng lợng nh nhau.

5.2.4
5.2.45.2.4
5.2.4.2. Số lợng phụ l. Phân lớp
.2. Số lợng phụ l. Phân lớp.2. Số lợng phụ l. Phân lớp
.2. Số lợng phụ l. Phân lớp.
. .
. Mômen động lợng của electron
Mômen động lợng của electronMômen động lợng của electron
Mômen động lợng của electron


a) Phân lớp:

Số lợng tử phụ l còn gọi là số lợng tử orbital. Trong cùng một lớp các orbital
có cùng giá trị l thì thuộc cùng phân lớp. ứng với lớp n có n phân lớp.
Ngời ta ký hiệu phân lớp bằng các chữ cái nhỏ:

l = 0 1 2 3 4 5
Phân lớp: s p d f g h

Lớp K (n = 1) có 1 phân lớp: phân lớp 1s (l = 0)
Lớp L (n = 2) có 2 phân lớp: phân lớp 2s (l = 0), 2p (l = 1)
Lớp M (n = 3) có 3 phân lớp: phân lớp 3s (l = 0), 3p (l =1), 3d (l = 2)
Lớp N (n = 4) có 4 phân lớp: phân lớp 4s (l = 0), 4p (l = 1), 4d (l =2), 4f (l =3)

Các orbital trong cùng phân lớp, về cơ bản có hình dạng giống nhau, chỉ khác
nhau về độ lớn của hàm bán kính. Ví dụ: orbital s ở lớp nào cũng có hình cầu, orbital p

có dạng hình quả tạ đôi.
b) Mômen động lợng M của electron
Từ phơng trình góc ta có biểu thức momen động lợng của electron:

67


2
)1(
h
llM +=


Nh vậy, số lợng tự phụ l xác định momen đọng lợng của electron. Giá trị của
M không phụ thuộc vào n mà chỉ phụ thuộc vào l; do đó ở bất kỳ lớp nào các electron ở
phân lớp s đều có momen động lợng bằng không:


0
2
)10(0 =+=

h
M


Các electron thuộc phân lớp p có :

2
2
2
)11(1
hh
M =+=


5.2.4
5.2.45.2.4
5.2.4.3. Số lợng tử từ m. Hình c
.3. Số lợng tử từ m. Hình c.3. Số lợng tử từ m. Hình c
.3. Số lợng tử từ m. Hình chiếu của momen động lợng của electron. Các orbital
hiếu của momen động lợng của electron. Các orbital hiếu của momen động lợng của electron. Các orbital
hiếu của momen động lợng của electron. Các orbital
trong một phân lớp
trong một phân lớptrong một phân lớp
trong một phân lớp


a) Số lợng tử từ m
Số lợng tử thứ 3 đặc trng cho orbital đợc gọi là số lợng tử từ m. ứng với 1
giá trị của l có (2l + 1) giá trị của m:

m = -l; -l + 1; -l + 2; ; 0; 1; 2; ; +l

Nh vậy, phân lớp l có (2l +1) orbital
Phân lớp s (l = 0) có 1 orbital
Phân lớp p (l = 1) có 3 orbital

Phân lớp d (l = 2) có 5 orbital
Phân lớp f (l = 3) có 7 orbital

b) Hình chiếu của momen động lợng
Kết quả giải phơng trình góc cho hệ thức:


2
h
mM
Z
=


Số lợng tử từ m xác định hình chiếu của momen động lợng trên một phơng
xác định.
Ví dụ phân lớp d có 5 orbital ứng với 5 trị của m (0, 1; 2). Electron trên 5
orbital có momen động lợng nh nhau, nhng có M
Z
khác nhau: M
Z
= -2h/2; -1h/2;
0; 1h/2; 2h/2. Các orbital trong một phân lớp khác nhau về cách định hớng trong
không gian.

c) Số orbital trong một lớp

68

Ta đã biết, ứng với những tổ hợp khác nhau của các giá trị khả dĩ của n, l, m ta

có những orbital
nlm
khác nhau. ỉng với một giá trị của n (một lớp) có n giá trị của l
(phân lớp) và ứng với một trị của l (một phân lớp) có (2l +1) gía trị của m.
Nh vậy, ứng với một trị của n (lớp n) ta có:



=
=
=+
1
0
2
)12(
nl
l
nl
orbital
Do đó, lớp n có n
2
orbital.

5.2.5. Giản đồ năng lợng và phổ phát xạ nguyên tử của hidro
5.2.5
5.2.55.2.5
5.2.5.1. Các trạng thái năng lợng của electron trong nguyên tử hidro
.1. Các trạng thái năng lợng của electron trong nguyên tử hidro.1. Các trạng thái năng lợng của electron trong nguyên tử hidro
.1. Các trạng thái năng lợng của electron trong nguyên tử hidro

Biểu thức năng lợng của electron trong nguyên tử hidro:

E
n
= -
222
42
)4(
1
2
o
n
meZ




Hay :
2
6,13
n
E
n
=
(eV)

Biểu thức trên ta thấy năng lợng của electron chỉ phụ thuộc vào số lợng tử
chính n.
Với n = 1 (lớp K) E = -13,6 eV
Nh vậy, ở trạng thái cơ bản, electron có năng lợng bằng -13,6 eV
Với n = 2 (lớp L) E = -3,4 eV
Với n = 3 (lớp M) E = -1,51 eV

5.2.5
5.2.55.2.5
5.2.5.2. Phổ phát xạ của nguyên tử hidro
.2. Phổ phát xạ của nguyên tử hidro.2. Phổ phát xạ của nguyên tử hidro
.2. Phổ phát xạ của nguyên tử hidro



ở điều kiện bình thờng, electron ở trạng thái cơ bản 1s; khi đợc kích thích,
electron chuyển lên một orbital có năng lợng cao hơn. Tuy nhiên, trạng thái kích thích
là trạng thái không bền, chỉ sau một thời gian rất ngắn (khoảng 10
-8
s) electron lại
chuyển về những trạng thái có năng lợng thấp hơn, có thể qua nhiều bớc nhảy và
cuối cùng về lại trạng thái cơ bản.
Khi chuyển từ mức năng lợng cao (E
c
) về mức năng lợng thấp (E
t
) năng lợng
của electron giảm: E = E
c
- E

t
. Theo nguyên lý bảo toàn năng lợng, electron sẽ giải
phóng một năng lợng: = h = hc

đúng bằng E.

Ta có:

=
hc
E
hc
E
tc

(

= 1/ : số sóng)


69

Hay

=
)
11
()
11
(

2
22223
42
ct
H
ct
nn
R
nnch
em
=



R
H
=
1
3
42
109678
2

= cm
c
h
em

gọi là hằng số Rydberg

Nh vậy, ứng với mỗi bớc nhảy xác định từ n
c
n
t
nguyên tử phát ra một bức
xạ đơn sắc với số sóng đợc tính theo công thức trên. Khi qua máy quang phổ, mỗi bức
xạ đơn sắc cho một vạch phổ. Tập hợp nhiều vạch phổ cho một dãy vạch phổ.



Hình 5.2: Giản đồ năng lợng và sự xuất hiện các dãy phổ phát xạ của hidro

* Dãy Lyman: Tập hợp các vạch phổ ứng với những bớc chuyển electron từ
những mức năng lợng cao (n
c
) về mức cơ bản (n
t
=1) tạo nên một dãy vạch phổ gọi là
dãy Lyman, đợc Lyman tìm ra năm 1916.
Đối với dãy Lyman: n
t
= 1; n
c
= 2; 3; 4; ;
Bức xạ thuộc dãy Lyman có

lớn và thuộc miền tử ngoại.
* Dãy Balmer: Tập hợp các vạch phổ ứng với bớc chuyển electron từ n
c
về

n
t
= 2. Các bức xạ thuộc dãy Balmer nằm trong miền khả kiến đã đợc Balmer tim ra
đầu tiên năm 1885 và là dãy phổ quan trọng nhất của H.
Một số vạch thờng hay nói đến trong dãy Balmer:


70

H

(màu đỏ): n
c
= 3 n
t
= 2; = 6562,8 A
o

H

(màu lam): n
c
= 4 n
t
= 2;

= 4861,3A
o

H

(màu chàm): n
c
= 5 n
t
= 2; = 4340,5 A
o

H

(màu tím): n
c
= 6 n
t
= 2; = 4101,7 A
o


* Dãy Paschen gồm tập hợp những bức xạ phát ra khi có sự chuyển electron từ
n
c
về n
t
= 3 đợc Paschen tìm ra năm 1908. Những bức xạ này nằm trong miền hồng
ngoại.
* Dãy Brackett gồm tập hợp những bức xạ có bớc nhảy electron từ n
c
về n
t
=4

đợc Brackett tìm ra năm 1922.
* Dãy Pfund gồm tập hợp những bức xạ có bớc chuyển electron từ n
c
về n
t
= 5,
đợc Pfund tìm ra năm 1924.

5.2.5
5.2.55.2.5
5.2.5.3. Phổ phát xạ của những ion giống hidro
.3. Phổ phát xạ của những ion giống hidro.3. Phổ phát xạ của những ion giống hidro
.3. Phổ phát xạ của những ion giống hidro


Đối với những ion giống hidro nh He
+
(Z = 2); Li
2+
(Z = 3); Be
3+
(Z = 4); thì
năng lợng của electron đợc tính theo công thức:


2
2
6,13
n
Z

E
n
=
eV

Số sóng

đợc tính theo công thức:



=
)
11
(
22
2
ct
X
nn
ZR


R
X
có giá trị khác so với R
H
vì số sóng phụ thuộc ít nhiều vào hạt nhân.

5.2.6. Spin của electron - Hàm spin- orbital

a. Spin c
a. Spin ca. Spin c
a. Spin của electron:
ủa electron:ủa electron:
ủa electron: Theo cơ học lợng tử phi tơng đối tính, khi giải phơng
trình Schrodinger ta thu đợc 3 số lợng tử n, l, m
l
. Ba số lợng tử này cha đủ để đặc
trng cho trạng thái của electron.
Ví dụ: khi cho một chùm nguyên tử H đi qua một từ trờng không đều thì chùm
H chia làm hai phần theo hai hớng ngợc nhau. Ta đã biết với nguyên tử H : n = 1
l = 0 và
)1( += llM


= 0. Nghĩa là nguyên tử H không có momen động lợng, nên
phải đi thẳng qua từ trờng, điều này mâu thuẫn với thực tế là chùm nguyên tử H bị
tách thành hai phần.
Ngoài ra, khi nghiên cứu chi tiết về phổ phát xạ của nguyên tử H và kim loại
kiềm, năm 1925 hai nhà bác học Hà Lan là Uhlenbeck và Goudsmit đã đa ra giả
thuyết về spin. Theo Uhlenbeck và Goudsmit thì ngoài momen động lợng xác định
bằng số lợng tử l, electron còn có momen phụ thêm, đợc gọi là momen động lợng
riêng hay momen spin. Uhlenbeck và Goudsmit giải thích sự tồn tại của momen spin
bằng sự chuyển động tự quay của electron chung quanh trục riêng của nó (tiếng Anh
spin có nghĩa là quay).

71

Tuy nhiên, sự tự quay cuả electron chỉ là một cách diễn tả hình tợng và không
đợc khoa học hiện đại chấp nhận. Mặc dù vậy sự tồn tại của momen spin là một thực

tế khách quan.
Năm 1928 Dirac (Anh) đã dựa vào thuyết tơng đối Einstein để hiệu chỉnh khối
lợng của electron và giải phơng trình Schrodinger đã đợc tơng đối hoá thì thu đợc
số lợng tử thứ 4 gọi là số lợng tử spin- kí hiệu là S; S = 1/2.
ứng với mỗi giá trị của S có 2S + 1 giá trị khác nhau của m
s
(số lợng tử từ spin
của e), m
s
= + 1/ 2, -1/ 2.
Khi nói electron có spin + 1/ 2 hay -1/ 2 cần hiểu là nó có m
s
= +1/ 2 hay m
s
= -
1/ 2 (số lợng tử m
s
thờng gọi tắt là spin).
Nh vậy, spin của electron đã xuất hiên một cách tự nhiên nh là bậc tự do thứ
t bên cạnh ba bậc tự do của toạ độ không gian.

b. Hàm spin
b. Hàm spinb. Hàm spin
b. Hàm spin-

- obital:
obital: obital:
obital: Hàm AO
n,l,m
(r) là hàm chỉ các toạ độ không gian của một

electron trong nguyên tử và đặc trng bằng 3 số lợng tử n,l,m
l
. Để đặc trng đầy đủ
trạng thái của electron trong nguyên tử cần đa spin vào. Khi đó hàm sóng đầy đủ đơn
nguyên tử phải chứa cả toạ độ spin = S
z
của electron và gọi là hàm spin- obital (ASO)
biểu diễn bởi:


n,l,m,s
(r, ) =
n,l,m,
(r) .
ms
( )

Hàm toàn phần Hàm vị trí Hàm spin

Vì m
s
= 1/ 2, nên có hai hàm spin :
1/2
( ) =

-1/2
( ) =

Suy ra:
n,l,m,ms

(r, ,, ) =
n,l,m
(r, ,).
=
n,l,m
(r, ,).

Nh vậy: ứng với một hàm vị trí có hai hàm toàn phần.

* Dirac khi giải phơng trình Schrodinger tơng đối tính thì thu đợc biểu thức
tính năng lợng:

E
n,l
= -
)]
4
3
2
/
1
1
(1[
2
1
22
2
42
2
n

J
n
ZemZ
n

+
+




J: số lợng tử nội J = l s

137
1
=

: Hằng số cấu trúc tinh vi


72

Chính biểu thức này cho ta thấy năng lợng của các electron không những phụ
thuộc vào số lợng tử chính n, mà còn phụ thuộc vào số lợng tử phụ l.



Câu hỏi và bài tập
Câu hỏi và bài tậpCâu hỏi và bài tập
Câu hỏi và bài tập

1.
1.1.
1. Chứng minh rằng

4
3
cos,

4
3
sine
i

và

4
3
sin sine
-i

là các hàm riêng
của
Z
M

. Các trị riêng tơng ứng bằng bao nhiêu?
2.

2.2.
2. Chứng minh rằng đối với bài toán trong trờng xuyên tâm ta có các tơng quan
giao hoán: [
2

,

MH
] = 0, [
Z
MH

,

] = 0 và [
Z
MM

,

2
] = 0
3.
3.3.
3. a- Hãy viết phơng trình Schrodinger cho bài toán về electron trong nguyên tử
H. Hãy giải thích các biểu thức, ký hiệu trong phơng trình.
b- Việc giải phơng trình Schrodinger cho những nghiệm đợc gọi là hàm sóng.
Những hàm thu đợc phụ thuộc vào mấy số lợng tử, cho biết tên và quan hệ
giữa các số lợng tử đó.
c- Việc giải phơng trình Schrodinger cũng cho những biểu thức tính năng

lợng, momen động lợng và hình chiếu của momen động lợng trên một
phơng xác định của trờng ngoài. Hãy viết biểu thức tính các đại lợng đó.
d- Hãy cho biết ý nghĩa của các số lợng tử.
4.
4.4.
4. Xét các obitan sau đây của nguyên tử H:

100
,
210
,
320

a- Hãy vẽ hình dạng đám mây electron ứng với các obitan trên.
b- Hãy cho biết năng lợng E, momen động lợng M và hình chiếu của
momen động lợng M
Z
của electron khi electron ở trạng thái đó.
5.
5.5.
5. a- Hãy viết biểu thức tính năng lợng E của electron trong nguyên tử H thu đợc
từ việc giải phơng trinh Schrodinger.
b- Hãy vẽ giản đồ năng lợng của electron ứng với các gía trị khác nhau của n.
c- Từ giản đồ đó hãy vẽ các bớc chuyển e khác nhau ứng với các dãy phổ
Lyman, Balmer, Paschen, Brackett, Pfund.
6.
6.6.
6. a- Hãy tính số sóng và bớc sóng của vạch phổ đầu tiên và vạch phổ giới hạn
của dãy vạch Lyman và dãy vạch Balmer.
b-Hãy tính năng lợng ra erg và ra eV của photon ứng với vạch giới hạn của dãy

Lyman. Năng lợng đó còn có những ý nghĩa gì? Cho biết hằng số Rydberg:
R
H
= 109678cm
-1
.
7.
7.7.
7. Trên phổ phát xạ của H, vạch thứ nhất của dãy Lyman có bớc sóng
1
=
1215A
o
, các vạch H


, H

, H

thuộc dãy Balmer lần lợt có bớc sóng
2
=
6563A
o
,
3
= 4861A
o

4
= 4340A
o
. Hãy tính bớc sóng của hai vạch tiếp theo
trên dãy Lyman và hai vạch đầu của dãy Paschen.
8.
8.8.
8. Hình dạng của AO đợc biểu diẫn nh thế nào? Hãy cho biết chi tiết hình dạng
AOs, AOp và AOd.

73

9.
9.9.
9. Hàm Orbital - Spin là gì? Hãy nêu ví dụ.
10.
10.10.
10. Hãy cho biết trong các bộ số lợng tử sau đây, bộ số lợng tử nào đúng:
a- n = 3, l = 2, m
l
= +3, m
s
= +1/2
b- n = 2, l = 2, m
l
= -2, m
s
= -1/2
c- n = 4, l = 3, m
l

= +2, m
s
= -1
d- n = 5, l = 4, m
l
= +3, m
s
= +1/2
11.
11.11.
11. Hãy cho biết sự khác nhau cơ bản của việc nghiên cứu nguyên tử H theo lý
thuyết Bohr và theo cơ học lợng tử.
12.
12.12.
12. Hãy khảo sát mật độ xác suất cao nhất đối với orbital 2p của nguyên tử hidro.
Cho R(r) =
o
ar
o
rea
/
2/5
62
1



13.
13.13.
13. ở trạng thái cơ bản hàm sóng 1s của nguyên tử H có dạng:

o
ar
o
s
e
a
/
2/1
3
1
)
1
(

=



Với a
o
= 0,53 A
o
. Hãy
a) Tính xác suất tìm thấy electron trong phạm vi quả cầu có r
o
= 0,01A
o
bao quanh
hạt nhân.

b) Xác định xác suất bằng bao nhiêu nếu bán kính quả cầu đạt đợc r = a
o
.
14.
14.14.
14. Cho hàm sóng 1s đối với nguyên tử H là:

o
ar
o
s
e
a
/
2/1
3
1
)
1
(

=



a) Tính xác suất tìm thấy electron trong vùng biến đổi của r từ 0 2a
o
.
b) Hãy cho biết xác suất này ở ngoài khoảng 2a
o

là bao nhiêu?. Biết d = 4r
2
dr.
15.
15.15.
15. Từ thực nghiệm ngời ta ghi đợc các vach phổ thuộc dãy Lyman ứng với số
sóng tơng ứng của ion giống hidro của Li
2+
là: 740747; 877924; 925933 cm
-1
.
a) Tìm giá trị hằng số R cho ion Li
2+

b) Xác định số sóng cho 2 vạch đầu tiên thuộc dãy Balmer.
c) Tìm năng lợng ion hoá (eV) cho Li
2+
.