GIÁO TRÌNH HÓA LƯỢNG TỬ

§¹i häc
§¹i häc §¹i häc
§¹i häc ®µ n½ng
®µ n½ng®µ n½ng
®µ n½ng


tr−êng ®¹i häc s− ph¹m
tr−êng ®¹i häc s− ph¹mtr−êng ®¹i häc s− ph¹m
tr−êng ®¹i häc s− ph¹m
















lª tù h¶i
lª tù h¶ilª tù h¶i

lª tù h¶i

§µ N½ng
§µ N½ng §µ N½ng
§µ N½ng -

-

200
200200
2009
99
9








®¹i häc ®µ n½ng
®¹i häc ®µ n½ng®¹i häc ®µ n½ng
®¹i häc ®µ n½ng

tr−êng ®¹i häc s− ph¹m
tr−êng ®¹i häc s− ph¹mtr−êng ®¹i häc s− ph¹m
tr−êng ®¹i häc s− ph¹m





Lª Tù H¶i
Lª Tù H¶iLª Tù H¶i
Lª Tù H¶i







Gi¸o tr×nh
Gi¸o tr×nhGi¸o tr×nh
Gi¸o tr×nh




ho¸
ho¸ ho¸
ho¸ l−îng tö

l−îng tö l−îng tö
l−îng tö

















§µ N½ng - 2009



2

Mục lục
Mục lụcMục lục
Mục lục

Trang

Chơng 1. Một số mô hình nguyên tử trớc cơ học lợng tử
Chơng 1. Một số mô hình nguyên tử trớc cơ học lợng tửChơng 1. Một số mô hình nguyên tử trớc cơ học lợng tử
Chơng 1. Một số mô hình nguyên tử trớc cơ học lợng tử

5
1.1. Khái niệm nguyên tử 5
1.2. Mô hình nguyên tử của Rutherford 5
1.3. Phổ nguyên tử 6
1.4. Thuyết lợng tử Planck 7
1.5. Mô hình nguyên tử của Bohr 9
1.6. Mô hình nguyên tử của Sommerfeld 13
Câu hỏi và bài tập
15

Chơng 2. Đại cơng về cơ học lợng tử
Chơng 2. Đại cơng về cơ học lợng tửChơng 2. Đại cơng về cơ học lợng tử
Chơng 2. Đại cơng về cơ học lợng tử

16
2.1. Tính chất sóng - hạt của ánh sáng 16
2.2. Tính chất sóng - hạt của hạt vật chất 18
2.3. Nguyên lý bất định Heizenberg 18
2.4. Sự khác nhau giữa cơ học cổ điển và cơ học lợng tử 21
Câu hỏi và bài tập

22

Chơng 3. Toán tử và hệ hàm
Chơng 3. Toán tử và hệ hàmChơng 3. Toán tử và hệ hàm
Chơng 3. Toán tử và hệ hàm

23
3.1. Toán tử 23
3.2. Toán tử tuyến tính 24
3.3. Một số khái niệm về các hệ hàm 26
3.4. Toán tử tuyến tính tự liên hợp (toán tử Hermit) 28
Câu hỏi và bài tập
30

Chơng 4. Hệ tiên đề của cơ học lợng tử
Chơng 4. Hệ tiên đề của cơ học lợng tửChơng 4. Hệ tiên đề của cơ học lợng tử
Chơng 4. Hệ tiên đề của cơ học lợng tử

32
4.1. Tiên đề về hàm sóng (tiên đề 1). Nguyên lý chồng chất các trạng
thái
32
4.2. Tiên đề về toán tử (tiên đề 2) 33
4.3. Tiên đề về trị riêng và đại lợng đo đợc 34
4.4. Điều kiện để hai đại lợng vật lý có giá trị xác định đồng thời trong
một trạng thái
36
4.5. Tiên đề về phơng trình Schrodinger. Trạng thái dừng 37
4.6. Một số bài toán ứng dụng 39
Câu hỏi và bài tập

47

Chơng 5. Trờng xuyên tâm và nguyên tử Hidro
Chơng 5. Trờng xuyên tâm và nguyên tử HidroChơng 5. Trờng xuyên tâm và nguyên tử Hidro
Chơng 5. Trờng xuyên tâm và nguyên tử Hidro

49
5.1. Trờng xuyên tâm và hệ toạ độ cầu 49
5.2. Bài toán nguyên tử H và ion giống H 51
Câu hỏi và bài tập

72

Chơng 6. Nguyên tử nhiều electron
Chơng 6. Nguyên tử nhiều electronChơng 6. Nguyên tử nhiều electron
Chơng 6. Nguyên tử nhiều electron

74

3

6.1. Phơng trình Schrodinger của nguyên tử nhiều electron 74
6.2. Hệ các hạt độc lập và đồng nhất. Nguyên lý loại trừ Pauli 74
6.3. Phơng pháp trờng tự hợp Hartree giải bài toán nguyên tử nhiều
electron
78
6.4. Phơng pháp biến phân 80
6.5. Obital nguyên tử nhiều electron, obital Slater và Gauss 83
6.6. Các mức năng lợng của nguyên tử nhiều electron. Qui tắc
Klechkovski. Cấu hình electron của nguyên tử

85
6.7. Sự biến thiên tuần hoàn một số tính chất của các nguyên tố hoá học 89
6.8. Độ âm điện 91
6.9. Số hạng nguyên tử 93
6.10. Quang phổ của nguyên tử nhiều electron 97
Câu hỏi và bài tập
102

Chơng
Chơng Chơng
Chơng 7
77
7. Khái quát về sự khảo sát phân tử bằng cơ học lợng tử
. Khái quát về sự khảo sát phân tử bằng cơ học lợng tử. Khái quát về sự khảo sát phân tử bằng cơ học lợng tử
. Khái quát về sự khảo sát phân tử bằng cơ học lợng tử

103
7.1. Quá trình phát triển các thuyết về cấu tạo phân tử và liên kết hoá
học
103
7.2. Lý thuyết cơ học lợng tử về liên kết hoá học 104
7.3. Hàm sóng và năng lợng electron của phân tử 105
7.4. Phép tính biến phân 106

Chơng
Chơng Chơng
Chơng 8
88
8. Thuyết liên kết hoá trị (V.B)
. Thuyết liên kết hoá trị (V.B). Thuyết liên kết hoá trị (V.B)

. Thuyết liên kết hoá trị (V.B)

109
8.1. Phơng pháp VB giải bài toán phân tử H
2
109
8.2. Phơng pháp VB và phân tử nhiều nguyên tử 114
8.3. Sự lai hoá các obital nguyên tử 117
8.4. Thuyết VB với liên kết cho nhận 123
8.5. Thuyết VB với sự cộng hởng 123
8.6. Công thức vạch hoá trị. Thành công và hạn chế của thuyết VB 125
Câu hỏi và bài tập
126

Chơng
Chơng Chơng
Chơng 9
99
9. Thuyết obital phân tử (M.O
. Thuyết obital phân tử (M.O. Thuyết obital phân tử (M.O
. Thuyết obital phân tử (M.O)
))
)

128
9.1. Những luận điểm cơ bản của thuyết MO 128
9.2. Giải bài toán ion phân tử H
2
+
bằng phơng pháp MO - LCAO 128

9.3. Sự xen phủ các AO tạo các MO 134
9.4. Thuyết MO và phân tử hai nguyên tử đồng hạch 135
9.5. Phổ hấp thụ phân tử, quang phổ electron và năng lợng các MO 139
9.6. Phân tử hai nguyên tử dị hạch AB 140
9.7. Thuyết MO và liên kết cho nhận 143
9.8. Thuyết MO và phân tử nhiều nguyên tử 143
9.9. Chuyển MO không định c thành MO định c 149
9.10. Thuyết MO và các mô hình khác nhau về liên kết 150
Câu hỏi và bài tập
153



4

Chơng 1
Chơng 1Chơng 1
Chơng 10
00
0. Phơng pháp MO và hệ electron
. Phơng pháp MO và hệ electron . Phơng pháp MO và hệ electron
. Phơng pháp MO và hệ electron

không định c
không định c không định c
không định c


154
10.1. Sự gần đúng electron

154
10.2. áp dụng phơng pháp MO - Huckel khảo sát các phân tử liên hợp
155
10.3. áp dụng phơng pháp MO-Huckel cho phân tử liên hợp mạch
vòng
160
10.4. Giản đồ phân tử
167
10.5. Qui ớc Huckel về tính thơm 170
Câu hỏi và bài tập
171

Chơng 1
Chơng 1Chơng 1
Chơng 11
11
1. Liên kết trong phức chất
. Liên kết trong phức chất. Liên kết trong phức chất
. Liên kết trong phức chất

173
11.1. Khái niệm về phức chất 173
11.2. ứng dụng của phức chất
173
11.3. Các thuyết về liên kết trong phức chất 174
11.4. Thuyết VB 174
11.5. Thuyết trờng phối tử 177
11.6. Định lý Jahn - Teller 183
11.7. Phơng pháp MO - LCAO cho phức chất 184
Câu hỏi và bài tập

194

Tài liệu tham khảo
Tài liệu tham khảoTài liệu tham khảo
Tài liệu tham khảo

195
















5

Chơng 1
Chơng 1Chơng 1
Chơng 1

Một số mô hình nguyên tử trớc cơ học lợng tử
Một số mô hình nguyên tử trớc cơ học lợng tửMột số mô hình nguyên tử trớc cơ học lợng tử
Một số mô hình nguyên tử trớc cơ học lợng tử




1.1. Khái niệm nguyên tử
1.1. Khái niệm nguyên tử1.1. Khái niệm nguyên tử
1.1. Khái niệm nguyên tử





Quan niệm cho rằng toàn bộ thế giới vật chất đợc hình thành do sự kết hợp của
một số hữu hạn các nguyên tố là một quan niệm duy vật. Một quan niệm nh vậy đã
đợc các nhà triết học cổ Hy Lạp đề xuất từ thế kỷ 6 - 7 trớc công nguyên. Thales cho
rằng nguyên tố duy nhất của vật chất là nớc, trái lại Heraclit thì cho rằng nguyên tố
đó là lửa. Sang thế kỷ thứ 5 trớc công nguyên, Empedocle đa ra thuyết 4 nguyên tố.
Theo ông thì cơ sở vật chất không phải là một, mà là sự tổng hợp của 4 nguyên tố đầu
tiên là nớc, lửa, không khí và đất. Thuyết này đợc Aristole (thế kỷ thứ 4 trớc công
nguyên) phát triển thêm. Theo Aristole thì đất, nớc , lửa và không khí xuất hiện do sự
tổ hợp của bốn tính chất cơ bản: nóng, lạnh, khô và ẩm. Cũng trong thời đại đó, ở
phơng Đông có quan nịêm cho rằng thế giới vật chất đợc cấu tạo từ các nguyên tố.
Ví dụ thuyết 5 nguyên tố của nhà triết học Vơng Sung: kim, mộc, thuỷ, hoả, thổ.
Khái niệm nguyên tử lần đầu tiên đợc Leucippe và Democrite đa ra từ thế kỷ
4 - 5 trớc công nguyên: Nguyên tử là phần tử nhỏ nhất không thể phân chia đợc của
vật chất. Các nguyên tử phân biệt với nhau bởi độ lớn và hình dạng của chúng. Học

thuyết nguyên tử của Leucippe và Democrite đợc các nhà triết học khác nh Epicure
và Lucrece hởng ứng. Tuy nhiên, trong suốt thời gian dài quan niệm này bị các quan
điểm duy tâm của Platon chống đối và trấn áp.
Năm 1807 nhà Bác học ngời Anh là Dalton đã làm sống lại khái niệm nguyên
tử. Theo ông nguyên tử là các quả cầu nhỏ, rắn, không thể xuyên qua đợc. Các định
luật tỉ lệ bội (Dalton), định luật tỉ số đơn giản thể tích các chất khí (Gay - Lussac) và
định luật Avogadro là kết quả sự tìm kiếm các bằng chứng (gián tiếp) cho sự tồn tại
của nguyên tử.
Ngày nay, chúng ta biết rằng nguyên tử không phải là những phần tử nhỏ bé
nhất của vật chất. Bằng các phơng pháp vật lý (ví dụ sự bắn phá hạt nhân) có thể phân
chia nguyên tử thành các phần tử nhỏ bé hơn, các hạt cơ bản. Có thể chính xác hoá
khái niệm nguyên tử nh sau
: Nguyên tử là phần tử nhỏ bé nhất của vật chất không thể
phân chia đợc bằng các phản ứng hoá học.

1.2. Mô hình nguyên tử của Rutherford
1.2. Mô hình nguyên tử của Rutherford1.2. Mô hình nguyên tử của Rutherford
1.2. Mô hình nguyên tử của Rutherford





Dựa vào kết quả nghiên cứu sự tán xạ hạt (tức là hạt nhân nguyên tử He
2+
)
trên màng mỏng nhiều nguyên tố khác nhau, Rutherford (1911) đa ra mô hình nguyên
tử: Giống nh trong một hệ hành tinh, electron trong nguyên tử quay xung quanh hạt
nhân nh những hành tinh quay xung quanh mặt trời (mô hình hành tinh). Các electron
chuyển động sao cho lực li tâm của chúng cân bằng với lực hút Coulomb giữa hạt nhân

6

và electron. Trong mô hình này electron có thể chuyển động trên quĩ đạo cách hạt nhân
một khoảng cách tuỳ ý, miễn là có sự cân bằng lực.
Dễ dàng nhận thấy rằng, mô hình hành tinh của Rutherford chứa đựng trong nó
nhiều mâu thuẫn. Trớc hết, theo các định luật của điện động lực học cổ điển, một
nguyên tử đợc cấu tạo nh vậy không thể bền. Khi electron, một hạt mang điện,
chuyển động có gia tốc nó sẽ phát ra bức xạ điện từ. Quá trình ấy làm mất năng lợng,
electron chuyển động theo đờng xoắn ốc rồi cuối cùng rơi vào hạt nhân (giả thiết
rằng bán kính ban đầu của quĩ đạo electron là 10
-8
cm thì chỉ sau một thời gian là 10
-12

giây electrron đã rơi vào hạt nhân). Hơn nữa, bức xạ do electron phát ra phải tạo thành
một phổ liên tục vì tần số chuyển động của electron trên đờng xoắn ốc không ngừng
tăng lên. Cả hai điều đó trái với sự thật là nguyên tử là một hệ bền và phổ phát xạ của
nguyên tử là phổ gián đoạn.

1.3. Phổ nguyên tử
1.3. Phổ nguyên tử1.3. Phổ nguyên tử
1.3. Phổ nguyên tử

Một trong những yêu cầu đặt ra đối với mọi lí thuyết về nguyên tử là giải thích
đợc sự xuất hiện phổ vạch của nguyên tử và một số tính chất của chúng.
Khi nung nóng một chất (bằng ngọn lửa, phóng điện trong chân không, hồ
quang ) tới một nhiệt độ đủ lớn thì nó phát sáng. Ví dụ cho ít NaCl vào ngọn lửa đèn
cồn thì ngọn lửa nhuộm màu vàng thẫm. ánh sáng vàng ấy là do nguyên tử Na (xuất
hiện trong quá trình nhiệt phân NaCl trong ngọn lửa) phát ra. Phân tích ánh sáng ngọn
lửa có chứa hơi Na bằng một quang phổ kế ngời ta thấy bên cạnh phổ liên tục của ánh
sáng ngọn lửa là một vạch đậm màu vàng có bớc sóng 5892 A
0
(với quang phổ có độ
phân giải cao sẽ thấy dó là một vạch kép). Phổ xuất hiện nh vậy gọi là phổ phát xạ.
Trái lại, nếu chiếu ánh sáng trắng qua hơi Na thì trên phổ liên tục, ở vị trí tơng
ứng với vạch vàng Na là một vệch tối. Đó là phổ hấp thụ của Na. Nguyên tử có khả
năng hấp thụ ánh sáng có tần số đúng bằng tần số ánh sáng phát xạ của nó.
Phổ nguyên tử H ở vùng thấy đợc có cấu trúc đặc biệt đơn giản. Balmer (1885)
tìm thấy các phổ vạch nguyên tử H có bớc sóng tuân theo công thức đơn giản:

=
22
2
2
.

m
mK
(1.1)

với K = 3645,6 . 10
-7

mm và m = 3,4,5
Công thức Balmer đợc Rydberg (1896) và Ritz (1908) khái quát hoá:



= R
H
(
2
2
2
1
11
nn

) (1.2)

n
1
= 1, 2, 3,
n
2
= n
1
+ 1, n
1
+ 2,


7

R
H
=
K
4
gọi là hằng số Rydberg. Thay n
2
= m và n
1
= 2 ta có đợc công thức
Balmer. Cho n
1
các giá trị 1,2,3, và n
2
các giá trị nguyên lớn hơn n
1
ta có công thức
biểu diễn toàn bộ phổ nguyên tử H. Theo Ritz, ngời ta gọi các đại lợng R/n
1
2
và
R/n
2
2
là các số hạng. Nh vậy mỗi một vạch phổ ứng với hai số hạng. Mỗi một giá trị
của n
1
đặc trng cho một dãy phổ.
Các dãy phổ của nguyên tử H

Các dãy phổ của nguyên tử HCác dãy phổ của nguyên tử H
Các dãy phổ của nguyên tử H



n
1
n
2
Dãy phổ Vùng phổ
1 2,3, Lyman Cực tím
2 3,4, Balmer
BalmerBalmer
Balmer

Nhìn thấy và gần cực tím
3 4,5, Paschen Hồng ngoại gần
4 5,6, Brackett Hồng ngoại xa
5 6,7, Pfund Hồng ngoại xa

1.4.Thuyết lợng tử
1.4.Thuyết lợng tử 1.4.Thuyết lợng tử
1.4.Thuyết lợng tử Planck
PlanckPlanck
Planck


1.4.1. Sự khủng hoảng tử ngoại
Khi bức xạ điện từ gặp một vật nào đó thì trong trờng hợp chung, một phần bức
xạ đợc phản xạ, một phần bị hấp phụ và một phần còn lại có thể đi qua vật chất. Khác

với trờng hợp chung, thì vật đen tuyệt đối là vật hấp thụ hoàn toàn tất cả năng lợng
bức xạ.
Một thí dụ về vật đen tuyệt đối là một quả cầu bằng đồng, bên trong rỗng đợc
bôi đen hoàn toàn. Khi có một bức xạ truyền vào bên trong quả cầu qua một khe hở
nhỏ, do cấu tạo của quả cầu, bức xạ đợc truyền vào sẽ bị hấp thu hoàn toàn (hình
1.1a).
Sau khi hấp thụ toàn bộ năng lợng đợc truyền đến, vật đen tuyệt đối sẽ nóng
lên. Cũng nh bất cứ vật rắn nào khác, vật đen tuyệt đối bị nóng lên sẽ phát ra năng
lợng dới dạng sóng điện từ. Từ thực nghiệm của Lummer và Pringsheim cho thấy
trong điều kiện đẳng nhiệt, đờng cong phân bố năng lợng E () theo bớc sóng có
dạng nh hình 1.1b.


Hình 1.1. a) Bức xạ truyền đến cho vật đen tuyệt đối bị nó hấp thụ hoàn toàn
b) Đờng cong đẳng nhiệt biểu diễn sự phụ thuộc của năng lợng E (
) vào bớc sóng
do vật đen tuyệt đối phát ra

8

Nhìn vào quang phổ trên ta thấy rằng, tổng năng lợng bức xạ E tăng theo nhiệt
độ và khả năng bức xạ quang phổ E () đối với mỗi nhiệt độ có một trị số cực đại tại
một sóng nhất định.
Nh vậy, có hai vấn đề cần đợc giải thích đó là sự phụ thuộc của E vào T và sự
phụ thuộc của E vào .
- Theo định luật Stefan-Boltzamnn ta có biểu thức sự phụ thuộc của E vào T:

E = kT
4
(1.3)

Trong đó K là hằng số tỉ lệ và T là nhiệt độ tuyệt đối.
Nh vậy, biểu thức trên cho thấy E tỉ lệ thuận với T
- Từ quan điểm của cơ học cổ điển về tính liên tục của các đại lợng vật lý,
Rayleigh đã thiết lập biểu thức sự phụ thuộc của E vào :

kT
c
E
4
2



=
(1.4)

Trong đó k là hằng số Boltzmann, c là vận tốc ánh sáng trong chân không. T là
nhiệt độ tuyệt đối, là tần số của bức xạ.
Từ (1.4) cho thấy, ở miền bớc sóng lớn thì sự phụ thuộc của E vào phù hợp
với thực nghiệm. Tuy nhiên, ở miền bớc sóng nhỏ, ứng với miền tử ngoại của quang
phổ thì theo (1.4) E phải tăng. Điều này không phù hợp với quan sát thực nghiệm của
Lummer và Pringsheim.
Nh vậy, việc ứng dụng vật lý học kinh điển để giải thích quang phổ của vật đen
tuyệt đối có liên quan đến sự bức xạ năng lợng của các phần tử dao động tích điện có
kích thớc nguyên tử hoàn toàn thất bại ở vùng bớc sóng tử ngoại. Hiện tợng này
đợc các nhà vật lý gọi là
S
SS
Sự

ựự
ự

khủng hoảng tử ngoại
khủng hoảng tử ngoạikhủng hoảng tử ngoại
khủng hoảng tử ngoại

.

.



1.4.2. Thuyết lợng tử Planck

Để đa vật lý thoát ra khỏi Sự khủng hoảng tử ngoại, năm 1900 nhà vật lý
ngời Đức là Max Planck đa ra thuyết lợng tử gọi là thuyết lợng tử Planck.
Theo thuyết lợng tử Planck thì:
Một dao động tử dao động với tần số chỉ có
thể phát ra hay hấp thụ năng lợng từng đơn vị gián đoạn, từng lợng nhỏ một nguyên
vẹn, gọi là lợng tử năng lợng
. Lợng tử năng lợng này tỉ lệ với tần số của dao
động tử".
= h. (1.5)

(h = 6,625.10
-27
erg.sec = 6.625.10
-34
J.s)

ý nghĩa quan trọng của thuyết lợng tử Planck là đã phát hiện ra tính chất gián
đoạn hay tính chất lợng tử của năng lợng trong các hệ vi mô. Năng lợng của

9

electron trong nguyên tử, năng lợng quay, năng lợng dao động của các nguyên tử
hay nhóm nguyên tử trong phân tử đều nhận những giá trị gián đoạn xác định.
Theo thuyết lợng tử Planck thì năng lợng của dao động tử dao động với tần số
chỉ có thể nhận những giá trị gián đoạn:

0, h, 2h, 3h, 4h, nh
nghĩa là bội số nguyên lần lợng tử năng lợng = h. Do đó, ta có thể biểu diễn E
theo công thức:
E = nh (n = 0, 1, 2, 3, )

Mặt khác, vì năng lợng của dao động tử phát ra hay hấp thụ dới dạng năng
lợng bức xạ nên thuyết lợng tử Planck cũng có nghĩa là:

ánh sáng hay bức xạ nói chung gồm những lợng tử năng lợng = h. phát
đi từ nguồn sáng

.
Vì vậy, thuyết lợng tử Planck còn đợc gọi là thuyết lợng tử ánh sáng.

1.5. Mô hình nguyên tử của Bohr
1.5. Mô hình nguyên tử của Bohr1.5. Mô hình nguyên tử của Bohr
1.5. Mô hình nguyên tử của Bohr

1.5.1. Các tiên đề của Bohr

Năm 1913, Bohr nhận thấy rằng hằng số tác dụng Planck và xung lợng góc có
cùng một thứ nguyên giống nhau là (năng lợng * thời gian). Kết hợp mô hình nguyên
tử của Rutherford với thuyết lợng tử của Planck (1900), Bohr đa ra mô hình nguyên
tử nổi tiếng mang tên ông. Mô hình này dựa trên 3 tiên đề:
1. Trong nguyên tử electron không chuyển động trên những quĩ đạo bất kì mà
chỉ đợc phép chuyển động trên những quĩ đạo sao cho xung lợng quay (còn gọi là
mô men xung lợng) của nó bằng số nguyên lần đại lợng

2
h
=
(điều kiện lợng tử
hoá xung lợng quay).
L = n.


hay mvr = n.

(1.6)
( n = 1,2,3, )
Ngời ta gọi n là số lợng tử.
2. Khi chuyển động trên các quĩ đạo đợc lợng tử hoá nói trên, electron không
phát ra bức xạ nghĩa là không mất năng lợng.
Quĩ đạo hay trạng thái trên đó năng lợng của electron có một giá trị xác định,
không đổi gọi là quĩ đạo dừng hay trạng thái dừng.
3. Electron chỉ phát xạ hay hấp thụ bức xạ khi chuyển từ trạng thái dừng này
sang trạng thái dừng khác.
Năng lợng của bức xạ đợc phát ra hay hấp thụ đúng bằng hiệu số năng lợng

của hai trạng thái đó.

E = E
n2
- E
n1
= h (1.7)

E
n2
là trạng thái có năng lợng cao, E
n1
là trạng thái có năng lợng thấp.

10

1.5.2. Mô hình Bohr đối với nguyên tử H và các ion giống H

Các ion giống H ( He
+
, Li
2+
, Be
3+
, ) có điện tích hạt nhân là +Ze và khối lợng
M. Electron có khối lợng m và điện tích -e. Dới tác dụng của lực Coulomb electron
chuyển động trên các quĩ đạo tròn quanh hạt nhân. Vì khối lợng của hạt nhân rất lớn
so với khối lợng của electron, nên hạt nhân coi nh đứng yên. Để quĩ đạo của electron
là bền phải có sự cân bằng giữa lực hút Coulomb với lực li tâm xuất hiện do chuyển
động quay của electron.

r
mv
r
Ze
2
2
2
4
1
=

(1.8)

Rút v từ điều kiện lợng tử hoá xung lợng quay (1.7) rồi
thay vào (1.8) ta nhận đợc bán kính quĩ đạo.

r
n
= 4.
2
22
mZe
n

(1.9)

và v
n

=
mr
n



v
n
=

n
Ze
2
4
1

(1.10)

Ta nhận thấy bán kính quĩ đạo tỉ lệ thuận với bình phơng số lợng tử. Đối với
nguyên tử H, nếu thay các giá trị của h, e, m vào (1.9) thì bán kính Bohr thứ nhất (n=1)
có giá trị: r
1
= 0,53. 10
-10
m = 0,53 A
0

Trong các tính toán đối với hệ nguyên tử, phân tử ngời ta thờng dùng bán
kính Bohr thứ nhất của nguyên tử H làm đơn vị đo chiều dài và kí hiệu là a
0

.
Công thức (1.9) có thể viết lại dới dạng:

r
n
= n
2
a
0

Electron trên quĩ đạo thứ nhất có năng lợng cực tiểu. Có thể coi a
0
là bán kính
nguyên tử H ở trạng thái bình thờng .
Năng lợng toàn phần của electron là tổng số động năng và thế năng của nó:

E = E
đn
+ E
t n


Với E
đn
=
2
2
mv

Từ (1.8) biểu thức tính động năng có dạng:

11


E
đn
=
r
Ze
2
4
1
2



Thế năng của electron đợc coi là bằng không nếu nó cách hạt nhân một khoảng
vô cùng lớn. Do đó, thế năng của electron ở tại một khoảng cách hữu hạn r nào đó
chính bằng công đa nó từ r tới .
Trong đó -
2
2
4
r
Ze

là lực tơng tác Coulomb giữa hạt nhân và electron. Thế
năng của electron có giá trị âm vì lực Coulomb là lực hút, cần phải tiêu tốn năng lợng
để chuyển electron từ r đến .

Năng lợng của hệ là:

E
n
= -
22
42
2.)4(


emZ
2
1
n
(1.11)

Nh vậy là điều kiện lợng tử xung lợng quay đã dẫn tới sự lợng tử hoá năng
lợng.
Bằng biểu thức (1.11) ta có thể vẽ đợc giản đồ năng lợng của nguyên tử H.
Với sự tăng số lợng tử n các mức năng lợng xít lại gần nhau và cuối cùng tiến tới
giới hạn 0 với n .


E
-1 3,59
-3,44
-1 ,5 6
-0 ,9 8
n = 1
n = 2

n = 3
n = 4


Năng lợng thấp nhất là năng lợng của electron trên quĩ đạo thứ nhất E
1
. Thay
số vào (1.8) tính đợc E
1
= -13,6 eV.
Giá trị này phù hợp với giá trị năng lợng liên kết của H đo bằng thực nghiệm.
Kết hợp điều kiện tần số Bohr (1.7) với công thức tính năng lợng (1.11) ta tính
đợc tần số cuả bức xạ phát ra hay hấp thụ khi e chuyển từ quĩ đạo này sang quĩ đạo
khác:
=
h
EE
nn 12




12

= (

4
1
)
2

.
3
42
4


emZ
(
2
2
2
1
11
nn

)

hay với

= 1/ = /c


= (

4
1
)
2
.
C

me
3
4
4


. Z
2
(
2
2
2
1
11
nn

) (1.12)

hay

= R

. Z
2
(
2
2
2
1
11

nn

)
với R

= (

4
1
)
2
.
C
me
3
4
4


(1.13)

Đối với nguyên tử H (z =1) công thức (1.12 ) đồng nhất với công thức Balmer.
Trong quá trình thiết lập biểu thức (1.12), ta đã giả thiết là hạt nhân đứng im và
chỉ có electron chuyển động. Ngay đối với hạt nhân nhẹ nhất là H, sự khác nhau về
khối lợng giữa electron và hạt nhân cũng vào khoảng 2000 lần, cho nên giả thiết trên
là một phép gần đúng khá tốt. Tuy nhiên, vì các phép đo số liệu quang phổ đã đạt đợc
độ chính xác rất cao nên muốn so sánh R

với số liệu thực nghiệm (R
H

) phải để ý tới
cả chuyển động tơng đối giữa electron và hạt nhân. Trên thực tế cả electron và hạt
nhân đồng thời chuyển động quanh khối tâm của chúng. Có thể coi chuyển động này
chỉ của electron với khối lợng rút gọn: à = m.M/ (M +m)
Nếu thay m bằng à trong công thức (1.13) thì hằng số Rydberg tính đợc bằng
lí thuyết có giá trị là 10.9 68.100 m
-1
phù hợp tốt với giá trị thực nghiệm.
Sự xuất hiện của phổ vạch H có thể giải thích nh sau: trạng thái bình thờng là
trạng thái chuyển động của electron trên quĩ dạo có năng lợng thấp nhất (n = 1) gọi là
trạng thái cơ bản. Nếu nhận đợc năng lợng, electron chuyển lên trạng thái có số
lợng tử lớn hơn gọi là trạng thái kích thích. Do có xu hớng trở về trạng thái có năng
lợng thấp hơn, nên sau một thời gian rất ngắn electron lại nhảy về trạng thái có năng
lợng thấp hơn và cuối cùng trở về trạng thái cơ bản. Trong các bớc chuyển này
electron phát ra bức xạ điện từ. Các bớc chuyển ứng với các dãy đợc mô tả dới đây:
n =
n = 6

Pfund n = 5
Brackett n = 4
Paschen n = 3

Balmer n = 2


Lymann n = 1

13

Mô hình Bohr cũng có thể áp dụng cho các ion giống H nh He

+
, Li
2+
, Chẳng
hạn mô hình dự đoán đúng phổ vạch của ion He
+
có dạng giống hệt nh phổ vạch
hydro với số sóng lớn gấp 4 lần (Z = 2).

1.6.
1.6. 1.6.
1.6. Mô hình nguyên tử của Sommerfeld
Mô hình nguyên tử của SommerfeldMô hình nguyên tử của Sommerfeld
Mô hình nguyên tử của Sommerfeld



Mặc dù có sự phù hợp hoàn toàn giữa tính toán lí thuyết và số liệu thực nghiệm
quang phổ H và ion giống H, nhng mô hình Bohr không thể giải thích đợc phổ tinh
tế của các nguyên tử này, tức là hiện tợng mỗi vạch phổ nguyên tử trên thực tế bao
gồm một số vạch đứng sát nhau. Để khắc phục khó khăn này, Sommerfeld (1916) tìm
cách cải tiến mô hình của Bohr bằng cách đa vào quĩ đạo elip.
Để thuận tiện cho phép toán ngời ta sử dụng toạ độ cực tơng ứng với hai toạ
độ biến thiên là r và . Sommerfeld đa ra hai điều kiện lợng tử hoá:




p
r

dr = n
r
h (1.14)

với n
r
= 0,1,2,3, ( điều kiện lợng tử hoá xuyên tâm)



L d = n

h

với n

= 1,2,3, ( điều kiện lợng tử phơng vị)
áp dụng các điều kiện lợng tử hoá nói trên, ngời ta nhận đợc biểu thức năng
lợng gần giống biêủ thức năng lợng của Bohr. Điểm khác nhau duy nhất là thay n
bằng tổng ( n
r
+ n

) và ngời ta gọi tổng này là số lợng tử chính (n = 1, 2,3 ).
Đối với mỗi một giá trị của số lợng tử chính n cho trớc, số lợng tử phơng vị
chỉ có thể có các giá trị n

= 1,2, ,n.
ứng vơí một quĩ đạo tròn Bohr, có n quĩ đạo elip trong mô hình Sommerfeld.

Hình 1.3. Quĩ đạo elip của Sommerfeld thuộc lớp N (n = 4)


14

Electron trên quĩ đạo elip có cùng số lợng tử chính có năng lợng bằng nhau,
ngời ta nói đó là các trạng thái suy biến. Nh vậy là với việc đa quĩ đạo elip vào vẫn
cha giải thích đợc phổ tinh tế của nguyên tử.
Trong bớc tiếp theo, Sommerfeld làm mất sự suy biến bằng cách để ý tới hiệu
ứng tơng đối. Tốc độ của electron trên quĩ đạo elip không phải cố định mà thay đổi,
càng ở gần hạt nhân tốc độ của electron càng lớn (định luật Kepler thứ hai). Theo
thuyết tơng đối thì khi tốc độ thay đổi, khối lợng của e cũng thay đổi theo. Điều đó
làm cho quĩ đạo của e không còn là các elip khép kín mà trở thành các đờng chu sai.



Hình 1.4. Đờng chu sai

Năng lợng của electron cũng vì thế mà còn phụ thuộc vào số lợng tử phụ nửa:



nn
E
,
= -
)]

4
31
(
.
1[
2.)4(
22
222
42
nnn
Z
n
eZ
+



à

(1.12)

Ngời ta gọi là hằng số cấu trúc tinh tế, nó đợc tính bằng:

=
137
1
)(
4
1
2

e
e




Nh vậy: Mẫu nguyên tử của Bohr-Sommerfeld có một ứng dụng quan trọng
trong quá trình phát triển lí thuyết về cấu tạo nguyên tử và phân tử.
Mẫu nguyên tử Bohr-Sommerfeld đợc coi là hoàn hảo nhất trong số các mẫu
nguyên tử đầu tiên. Tuy nhiên, thuyết Bohr-Sommerfeld không phải là một lí thuyết
hoàn chỉnh (có tính chất nửa lí thuyết- nửa thực nghiệm) và cũng không phải là lí
thuyết nhất quán (vừa sử dụng và phủ nhận các định luật của vật lí học kinh điển), nên
không thể tránh khỏi thiếu sót. Hai trong số đó là:
1- Mặc dù đã tính đợc mức năng lợng và tần số bức xạ đợc phát ra hay hấp thụ
khi có bớc chuyển năng lợng, nhng không biết đợc tốc độ của các bớc
chuyển này, tức là không biết đợc cờng độ của bức xạ.

15

2- Thuyết Bohr-Sommerfeld chỉ áp dụng đợc đối với hệ 1 electron. Đối với hệ
nhiều electron (ngay cả nguyên tử He chỉ có 2 electron) thì thuyết này cũng
hoàn toàn bất lực.
Nh vậy, thuyết Bhor-Sommerfeld chỉ đợc coi là một giai đoạn quá độ để đi
đến một lí thuyết hoàn chỉnh: Cơ học lợng tử.

Câu hỏi và bài tập
Câu hỏi và bài tậpCâu hỏi và bài tập
Câu hỏi và bài tập

1.
1.1.
1. Trình bày nội dung mô hình nguyên tử của Rutherford.
2.
2.2.
2. Trong điều kiện nào xuất hiện phổ nguyên tử? Phổ nguyên tử của hydro có
những đặc điểm gì?
3.
3.3.
3. Trình bày nội dung của thuyết lợng tử Planck. Hãy tính lợng tử năng lợng
đợc phát ra từ một ion dao động với tần số = 10
14
s
-1
.
4.
4.4.
4. Trình bày nội dung mô hình nguyên tử của Bohr.
5.
5.5.
5. Thay các giá trị của hằng số (e, pi, h, c, m) vào công thức tính hằng số Rydberg.
So sánh sự khác nhau giữa gía trị chính xác và giá trị gần đúng của hằng số đó
nhận đợc bằng cách thay à bằng m.
6.
6.6.
6. Ngời ta sử dụng một chùm electron để bắn phá các nguyên tử H dạng khí. Hãy
tính năng lợng tối thiểu của chùm electron nếu số hạng đầu của dãy Balmer bị
phát xạ ứng với trạng thái chuyển từ n = 3 tới n = 2.

7.
7.7.
7. Nếu electron của nguyên tử H đợc kích thích đến mức năng lợng tơng ứng là
3,4eV. Hãy xác định bớc sóng của vạch phát xạ khi electron quay về trạng thái
cơ bản của nó.
8.
8.8.
8. Năng lợng ion hoá thứ nhất của nguyên tử H là 21,79.10
-19
J. Hãy tính năng
lợng ion hoá thứ hai của nguyên tử He.
9.
9.9.
9. Bớc sóng của một vạch phổ xác định trong dãy Balmer là 487,6nm. Hãy xác
định giá trị n tơng ứng với vạch phổ đó.
10.
10.10.
10. a- Hãy vẽ các quỹ đạo Sommerfeld khác nhau thuộc lớp quỹ đạo N (n = 4) và
hãy đặc trng các quỹ đạo đó bằng số lợng tử l và bằng các chữ cái (S, P .)
b-Hãy tính mômen động lợng của electron khi chuyển động trên các quỹ đạo
đó theo thuyết Sommerfeld và cho nhận xét.

16

Chơng 2
Chơng 2Chơng 2
Chơng 2



Đại cơng về cơ học lợng tử
Đại cơng về cơ học lợng tửĐại cơng về cơ học lợng tử
Đại cơng về cơ học lợng tử




2.1. Tính chất sóng
2.1. Tính chất sóng 2.1. Tính chất sóng
2.1. Tính chất sóng -

- hạt của ánh sáng
hạt của ánh sáng hạt của ánh sáng
hạt của ánh sáng

H.Hetz (1887) khi làm thí nghiệm để chứng minh sự tồn tại của sóng điện từ
trong lí thuyết cuả MaxWell đã phát hiện ra rằng ánh sáng cực tím có tác dụng trợ lực
cho sự phóng điện trong chân không. Sau đó, (1900) Lenard chỉ ra rằng nguyên nhân
của hiện tợng trên là do ánh sáng cực tím đã giải phóng electron ra khỏi bề mặt catôt.
Hiện tợng electron đợc giải phóng ra khỏi bề mặt kim loại dới tác dụng của ánh
sáng đợc gọi là hiệu ứng quang điện.
Hiệu ứng quang điện có thể đợc nghiên cứu bằng một dụng cụ mô tả nh trong
hình 2.1.






Hình 2.1. Thí nghiệm hiệu ứng quang điện

ánh sáng đơn sắc đợc chiếu lên tấm kim loại C đặt trong buồng chân không
làm giải phóng electron (gọi là quang điện tử hay photoelectron). Có thể nhận biết
đợc điều này bằng cách đặt giữa C và A một thế hiệu (C: catot, A: anot) và đo cờng
độ dòng điện bằng một máy đo G.
Đồ thị a trong hình 2.2 biểu diễn cờng độ dòng quang điện theo biến thiên của
thế hiệu đặt vào U. Nếu U đủ lớn, dòng quang điện đạt gía trị giới hạn (bão hoà), trong
điều kiện đó tất cả các electron đợc giải phóng đều tới A.
Nếu đổi dấu nguồn điện thì dòng quang điện không lập tức biến mất. Điều đó
chứng tỏ electron đợc giải phóng ra với một động năng nhất định. Một số electron vẫn
tới đợc A mặc dù có sự tác động ngợc lại của điện trờng. Tuy nhiên, khi thế hiệu
đảo đạt một giá trị U

o
nhất định gọi là thế hãm thì dòng quang điện biến mất. Trong
điều kiện này thế năng của electron với tốc độ lớn nhất có giá trị tính đợc:

K
max
= e. U
o
(2.1)


17

I
a
I
a
U
o
O
b
I
b
U
o
v
o
v

a) b)

Hình 2.2. Sự phụ thuộc của dòng quang điện vào thế hiệu nguồn và cờng độ ánh sáng

Đối với một kim loại nhất định U
o
không phụ thuộc vào cờng độ ánh sáng.
Đờng b trong hình 2.2 nhận đợc nếu giảm cờng độ ánh sáng xuống còn một nửa.
Ngoài ra, với một kim loại nhất định tồn tại một tần số ngỡng
o
. ánh sáng có tần số
nhỏ hơn
o
không làm xuất hiện hiệu ứng quang điện.
Nhiều vấn đề của hiệu ứng quang điện không thể giải quyết đợc trên quan
điểm của bức xạ điện từ.
1- Quan điểm sóng cho rằng biên độ của vectơ điện E tỉ lệ thuận với cờng độ bức
xạ. Tuy nhiên, nh ta thấy trong hình 2.2, U
o
và do đó K
max
không phụ thuộc
vào cờng độ bức xạ.
2- Theo thuyết sóng, hiệu ứng quang điện phải xuất hiện với bức xạ có tần số bất
kỳ miễn là có cờng độ đủ lớn. Trái lại nh ta thấy, đối với mỗi kim loại tồn tại
một tần số ngỡng.
3- Cũng theo thuyết sóng, năng lợng của bức xạ đợc phân bố đều trên mặt sóng.
Để tích tụ đủ năng lợng cần phải có một khoảng thời gian nhất định kể từ khi
chiếu sáng tói khi electron đợc thoát ra khỏi bề mặt kim loại. Thực nghiệm
không cho thấy điều đó. Hiệu ứng quang điện xuất hiện tức thời khi có tác dụng
của ánh sáng.

einstein (1905) cho rằng có thể mở rộng thuyết lợng tử của Planck để giải
thích hiệu ứng quang điện. Vì vậy, Einstein đa ra thuyết hạt hay thuyết lợng tử ánh
sáng. Theo thuyết lợng tử ánh sáng của Einstein thì ánh sáng hay bức xạ nói chung là
một thông lợng các hạt vật chất đợc gọi là photon (quang tử) hay lợng tử ánh sáng
với một lợng tử năng lợng:
= h (2.2)

Electron trong kim loại hấp thụ hoàn toàn và ngay lập tức toàn bộ năng lợng
của photon khi nó tơng tác với photon.
Nh vậy:
Trong những điều kiện nhất định nh trong các thí nghiệm giao thoa
và nhiễu xạ, bức xạ điện từ thể hiện tính chất sóng của chúng; còn trong điều kiện
khác, nh trong hiệu ứng quang điện, chúng lại có bản chất hạt. Tính chất đó gọi là
lỡng tính sóng- hạt của bức xạ điện từ
.

18

Theo hệ thức của einstein, giữa khối lợng m của một vật và năng lợng E của
nó có hệ thức:
E = m.c
2
(c: vận tốc ánh sáng) (2.3)

Do đó , đối với photon ta có: mc
2
= h. = h.

c
hay m =

.
c
h

Từ đó suy ra p = m .c =

h
(2.4)

Nh vậy, phơng trình (2.4) cho thấy mối quan hệ của m (đặc trng tính chất
hạt) và (đặc trng cho tính chất sóng). Đây là phơng trình quan trọng chứa đựng bản
chất nhị nguyên của bức xạ điện từ.

2.2. Tính chất sóng
2.2. Tính chất sóng2.2. Tính chất sóng
2.2. Tính chất sóng

-

- hạt của hạt vật chất (sóng vật chất De Broglie)
hạt của hạt vật chất (sóng vật chất De Broglie) hạt của hạt vật chất (sóng vật chất De Broglie)
hạt của hạt vật chất (sóng vật chất De Broglie)





Năm 1924, nhà vật lí Pháp Louis De Broglie cho rằng có thể mở rộng bản chất
nhị nguyên sóng - hạt của bức xạ điện từ cho mọi vật chất. Giả thiết của De Broglie

chủ yếu dựa trên cơ sở triết học về sự đối xứng trong tự nhiên. Có thể chia thế giới vật
chất thành hai phần là bức xạ và vật chất. Bên cạnh thuộc tính sóng, bức xạ còn có
thuộc tính hạt. Suy ra, ngoài bản chất hạt, vật chất còn có tính chất sóng.
Sự chuyển động của một hạt vật chất bất kì có thể đợc xem nh một quá trình
sóng có bớc sóng và tần số :

=
h
E
; =
mV
h
=
p
h
(2.5)

m: khối lợng của hạt ; p: động lợng của hạt
v: vận tốc hạt ; h: hằng số Plank.
Biểu thức (2.5) gọi là biểu thức De Broglie hay là những phơng trình cơ bản
của sóng vật chất De Broglie.
Nếu có một hạt vật chất ta có biểu thức sóng:

(x,t)
= a.e
i.(Et - px)/ h
(2.6) : sóng vật chất De Broglie

2.3. Nguyên lí bất định Heisenberg
2.3. Nguyên lí bất định Heisenberg2.3. Nguyên lí bất định Heisenberg

2.3. Nguyên lí bất định Heisenberg


Trong cơ học cổ điển khi nghiên cứu chuyển động của các hạt, ngời ta phải nói
đến quỹ đạo của chúng, lúc đó tại một thời điểm bất kì ta có thể xác định đợc toạ độ
và động lợng của hạt.
Trong cơ học lợng tử, khi nói đến tính sóng của hạt vật chất thì khái niệm quỹ
đạo không còn ý nghĩa nữa.

19

Giả sử rằng ta tiến hành đo vị trí và xung lợng của một electron để xác định
chuyển động của nó. Dụng cụ thông thờng để xác định vị trí là một kính hiển vi đợc
minh hoạ nh hình 2.3.


Hình 2.3. Xác định vị trí và vận tốc của electron

Độ chính xác mà kính hiển vi có thể đo đợc khoảng cách dọc theo trục x bị
hạn chế bởi bớc sóng của ánh sáng sử dụng. Nói cách khác ta không thể xác định vị
trí của hạt chính xác hơn khoảng cách giữa hai đỉnh sóng của ánh sáng, vì vậy ngời ta
phải dùng ánh sáng có bớc sóng ngắn để đo chính xác vị trí của hạt. Giới hạn này là


sin
2
. Nhng theo giả thuyết lợng tử của Planck, ngời ta không thể dùng một lợng
ánh sáng nhỏ tuỳ ý đợc, mà phải dùng ít nhất một lợng tử. Lợng tử này sẽ làm
nhiễu động hạt và làm thay đổi vận tốc của hạt một cách không thể tiên đoán đợc.
Thật vậy, nếu một photon có năng lợng h và xung lợng h/c đập vào một electron

đứng yên thì sau khi va chạm photon sẽ có năng lợng h và xung lợng h/c; trong
khi đó electron sẽ có động năng 1/2mv
2
và xung lợng mv. Chuyển động của photon và
electron đợc mô tả nh sau :


Theo định luật bảo toàn năng lơng ta có hệ thức:

h = h + 1/2mv
2
(2.7)

Định luật bảo toàn xung lợng cho ta hệ thức:

20






coscos
'
mv
c
h
c
h
+=

(2.8)



sinsin
'
0 mv
c
h
=
(2.9)

Do đó, thành phần x của xung lợng là:


)cos'(

=
c
h
p
x
(2.10)

Từ phơng trình (2.7) ta thấy nhỏ hơn ; nghĩa là ánh sáng tán xạ có bớc
sóng dài hơn ánh sáng tới. Tuy nhiên, đối với mục tiên của ta, ta sẽ nhận đợc gía trị
xung lợng electron đủ chính xác nếu ta đặt = vào phơng trình (2.10). Ta đợc:


)cos1(

=
h
p
x
(2.11)

Nếu muốn thấy ánh sáng trong kính hiển vi, thì nó phải khuếch tán bởi electron
vào vật kính để phải nằm trong các giới hạn 90
o
- và 90
o
+ . Vì không thể chỉ ra
đợc phần nào của vật kính mà ánh sáng khuếch tán từ electron đã đi qua, ta chỉ biết
thành phần x của xung lợng electron nằm giữa các giới hạn:


)sin1()sin1(




+
h
p
h
x
(2.12)

Cho nên xung lợng của electron có một lợng bất định:

p
x
~


sin
h
(2.13)

Do năng suất phân giải của kính hiển vi là hữu hạn, nên có một lợng bất định
trong vị trí của electron:

x ~


sin
(2.14)

Tích các bất định này là: p
x
. x ~ h 2.15)
Tích này không phụ thuộc vào cách đo vị trí và vận tốc của hạt hoặc vào loại
hạt. Do đó, nếu ta càng cố gắng đo vị trí của hạt chính xác bao nhiêu thì sẽ đo đợc vận
tốc của hạt kém chính xác bấy nhiêu và ngợc lại. Điều này đợc Heisenberg phát biểu
qua hệ thức bất định:

21

"
""
"Toạ độ và động lợng của hạt
Toạ độ và động lợng của hạtToạ độ và động lợng của hạt
Toạ độ và động lợng của hạt tơng ứng với t
tơng ứng với t tơng ứng với t
tơng ứng với toạ độ đó
oạ độ đó oạ độ đó
oạ độ đó

là không thể đồng thời
là không thể đồng thời là không thể đồng thời
là không thể đồng thời
xác định
xác địnhxác định
xác định
"
""
".

.



Biểu thức bất định Heisenberg:
x. p
x
h (2.16)

x: độ bất định của toạ độ
p
x
: độ bất định của động lợng trên phơng x.

Biết p
x
= m. V
x

Suy ra : x. V
x

m
h
(2.17)

Vì
m
h
= const, nên V
x
càng nhỏ (V
x
càng chính xác) thì x càng lớn (x càng
bất định) và ngợc lại. Có nghĩa là ta không thể xác định đợc đồng thời một cách
chính xác vị trí x và vận tốc V
x
của một electron trong nguyên tử. Nếu biết V
x

thì
không thể xác định chính xác toạ độ x của nó, tức là không tồn tại quỹ đạo của electron
trong nguyên tử.
Nguyên lí bất định Heisenberg cũng đúng trong trờng hợp của hệ vĩ mô, nhng
vì hạt vĩ mô thì tính chất sóng- hạt là rất bé nên ít đợc áp dụng.
Từ hai tính chất vật lí của hạt vật chất ta có thể rút ra tính chất đặc trng của hệ
vi mô:
- Các đại lợng vật lí của hạt vi mô đều gián đoạn.
- Toạ độ x và động lợng của hạt là không thể đồng thời xác định
- Chuyển động của hạt vi mô không có quỹ đạo



2.4. Sự khác nhau giữa cơ học cổ điển và cơ học lợng tử
2.4. Sự khác nhau giữa cơ học cổ điển và cơ học lợng tử2.4. Sự khác nhau giữa cơ học cổ điển và cơ học lợng tử
2.4. Sự khác nhau giữa cơ học cổ điển và cơ học lợng tử




Dựa trên các số liệu thực nghiệm thu đợc và các hiện tợng quan sát, ta có thể
tóm tắt sự khác nhau chính giữa hai loại cơ học nh sau:

Cơ học cổ điển
Cơ học cổ điểnCơ học cổ điển
Cơ học cổ điển

- Chuyển động của hạt có quỹ đạo
- Các đại lợng vật lí (năng lợng,
động lợng, mô men động lợng .)

có thể nhận bất cứ giá trị nào.
- Các đại lợng cơ học đều có thể
xác định đợc đồng thời.
Cơ học
Cơ học Cơ học
Cơ học lợng tử
lợng tửlợng tử
lợng tử

- Chuyển động của hạt không có quỹ đạo.
- Các đại lợng vật lí chỉ có thể nhận
những giá trị gián đoạn hay đợc lợng tử
hoá.
- Toạ độ và động lợng tơng ứng với toạ
độ đó là không thể đồng thời xác định.


22







Câu hỏi và bài tập
Câu hỏi và bài tậpCâu hỏi và bài tập
Câu hỏi và bài tập

1.
1.1.
1. Tính bớc sóng ứng với các trờng hợp:
a- Chuyển động của electron trong nguyên tử H với vận tốc khoảng 10
6
m/s
b- Chuyển động của một ôtô có khối lợng 1 tấn và vận tốc 100km/h
c- Từ các kết quả đó có nhận xét gì về sóng vật chất?
2.
2.2.
2. Một electron chuyển động trong một điện trờng, hiệu điện thế V 9,3V có thể
ion hóa một phân tử benzen: e + C
6
H
6
C
6
H
6
+
+ 2e. Hỏi muốn ion hoá phân tử
benzen thì photon có số sóng tối thiểu bằng bao nhiêu?
3.
3.3.
3. Sự phá vỡ các liên kết I-I trong một mol iôt đòi hỏi một năng lợng bằng
150,48kJ. Năng lợng này có thể sử dụng dới dạng năng lợng ánh sáng. Hãy
cho biết bớc sóng của ánh sáng cần sử dụng trong quá trình đó.
4.
4.4.
4. Trên phổ electron của một hợp chất có đám hấp thụ tại

1
= 450nm,
2
=
350nm,
3
= 250nm.
a) Hãy tính năng lợng kích thích ứng với các đám hấp thụ trên (theo eV).
b) Chất đó có màu không? Tại sao?
5.
5.5.
5. Hãy phát biểu giả thuyết De Broglie về sóng vật chất. Hãy cho biết tính nghiệm
đúng của giả thuyết này đối với các hạt vi mô, đối với các vật thể vĩ mô?
6.
6.6.
6. Phát biểu nguyên lý bất định Heizenberg và cho biết những hệ quả rút ra đợc
từ nguyên lý đó.
7.
7.7.
7. áp dụng hệ thức bất định Heizenberg để tính bất định về vị trí, bất định về vận
tốc trong các trờng hợp sau đây và cho nhận xét:
a- Electron chuyển động trong nguyên tử với giả thuyết V
x
= 10
6
m/s, cho
biết m
e
= 9,1.10
-31

kg; h = 6,625.10
-34
j.s
b- Quả bóng bàn bay có khối lợng 10g, còn vị trí có thể xác định chính xác
đến x = 0,01mm
8.
8.8.
8. Hãy xác định độ bất định về động lợng và tốc độ cho một electron khi nó
chuyển động trong một vùng không gian theo một chiều xác định (giả sử theo
chiều x của toạ độ) với độ rộng bằng cỡ đờng kính nguyên tử (~ 1A
o
).
9.
9.9.
9. Hãy tính bớc sóng De Broglie cho các trờng hợp sau:
a) Một vật có khối lợng 1,0 g chuyển động với tốc độ 1,0 cm.s
-1
.
b) Đối với vật thể cũng có khối lợng nh thế, nhng chuyển động với tốc độ
1000km.s
-1

c) ở nhiệt độ phòng, một nguyên tử He chuyển động với vận tốc 1000 m.s
-1
. Cho
He = 4,003.
10.
10.10.
10. Hãy cho biết sự khác nhau cơ bản giữa cơ học cổ điển và cơ học lợng tử?

23

Chơng 3
Chơng 3Chơng 3
Chơng 3



Toán tử và hệ hàm
Toán tử và hệ hàmToán tử và hệ hàm
Toán tử và hệ hàm






3.1.
3.1.3.1.
3.1.

Toán tử
Toán tửToán tử
Toán tử



Do hệ lợng tử có các thuộc tính khác biệt với hệ vĩ mô, nên ngời ta không thể
biểu diễn các đại lợng vật lí của hệ này bằng các biểu thức giải tích thông thờng nh
trong cơ học cổ điển mà phải dùng đến một công cụ toán học mới có khả năng mô tả

bản chất của hệ lợng tử. Một trong những công cụ ấy là toán tử tác dụng lên hàm
sóng.



3.1.1. Định nghĩa:
Toán tử là một phép toán khi ta tác dụng lên một hàm thì cho ra
một hàm mới.
Thực hiện các phép toán đợc qui ớc trong toán tử A đối với hàm số
x
đứng
sau nó ta nhận đợc hàm mới
x
. Hay nói cách khác
x
là kết quả của sự tác động toán
tử A lên hàm số
x
.

Kí hiệu:
A


x
=
x
(3.1)

Ví dụ: Toán tử A hàm số hàm mới

nhân với a x ax
d/ dx x
4
+ 5 4x
3

Toán tử A = nhân với a có nghĩa là thực hiện phép nhân a vào hàm số đứng sau
nó.
A

= d/ dx nghĩa là lấy đạo hàm theo x hàm số đứng sau nó. Ngời ta thờng kí hiệu
các toán tử:
A

,
B

,
C

.

3.1.2. Các phép toán về toán tử

a. Phép cộng của hai toán tử A và B:
Tổng các toán tử A và B là toán tử C (
C

=
A

+
B

) sao cho khi
C

tác dụng lên
hàm u (tuỳ ý) thì bằng
A

+
B

tác dụng lên hàm u đó.


A

+
B

=
C

nếu
C

u =
A

u +
B

u

Ví dụ:
A

= x;
B

= d/ dx ; u = U (x)


C

= x + d /dx
C

u = xu + du / dx = ( x+ d /dx)u

b. Tích các toán tử: Tích hai toán tử A và B là toán tử C hay C
'
sao cho:

24


C

=
A

.
B


C

u =
A

[
B

u]

C

=
B

.
A


C

u =

B

[
A

u]
Ví dụ:
A

= x ,
B

= d /dx

C

u =
A

[
B

u] = x.du /dx

C

u =
B

[

A

u] = d/dx (x.u) = x. du/dx + u
C

u

Nếu
A

.
B


B

.
A

thì ta nói hai toán tử
A

,
B

không giao hoán với nhau,
ta gọi [
A

,

B

] =
A

.
B

-
B

.
A

là giao hoán tử của hai toán tử
A

và
B

.
Nếu
A

.
B

=
B

.
A

thì ta nói hai toán tử
A

và
B

giao hoán.

[
A

,
B

] =
A

.
B

-
B

.
A

= 0

b. Luỹ thừa của toán tử: Luỹ thừa của toán tử
A

đợc định nghĩa:

Â
2
u = (Â.Â)u = Â (Âu)

Vậy Â
2
= Â. là  tác dụng liên tiếp hai lần.

Ví dụ: Â =
dx
d
, u(x) = x
4

Â
2
u =
dx
d
(du/dx) =
dx
d
(4x
3

) = 12x
2


3.2.
3.2.3.2.
3.2.

Toán tử tuyến tính
Toán tử tuyến tínhToán tử tuyến tính
Toán tử tuyến tính


3.2.1. Định nghĩa:


Toán tử
L

đợc gọi là toán tử tuyến tính nếu nó thoả mãn biểu thức
sau:


L

(au + bv) = a
L

u + b
L

v (3.2)

u,v: hàm ; a,b: các hằng số bất kì

Ví dụ: toán tử
dx
d
của hàm f(x) theo x là toán tử tuyến tính vì:


dx
d
(af
1
(x) + bf
2
(x)) = a.
dx
d
f
1
(x) + b.
dx
d
f
2
(x)

Một số toán tử tuyến tính nh: toán tử nhân (với một số, một hàm số)

+Toán tử , vi phân:
dx
d
,
2
2
dx
d
.