Các dạng kiến thức cơ bản và bài tập vận dụng thi lên lớp 10

NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT
1
A, kin th"c
Mt s kin thc quan trng ca ton lp 9
I.MỤC TIÊU
II.NHỮNG NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN
A.Đại số:
I.Đa thc: Nhân, chia, hằng đẳng thc, phân tích đa thc thành nhân tử.
II.Phân thc đại s: ĐKXĐ, rút gn, quy đồng, cc phép tính.
III.Căn bậc hai: Khi niệm, hằng đẳng thc, ĐKXĐ, cc phép bin đổi.
IV.Phương trình, bất phương trình bậc nhất mt ẩn: Dạng, phương php giải.
V.Hàm s bậc nhất, bậc hai: Định nghĩa, tính chất, đồ thị, vị trí trên mặt phẳng ta đ
giữa cc đồ thị.
VI.Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn: Nghiệm, cc phương php giải.
VII.Giải bài ton bằng cch lập hệ phương trình, phương trình.
VIII.Phương trình bậc hai: Dạng, công thc nghiệm, Định lý Viet, ng dụng.
B.Hình học:
I.Định lí Pytago, hệ thc lượng trong tam gic vuông, tỉ s lượng gic ca góc nhn.
II.Định lý Talet, tính chất đường phân gic.
III.Tam gic bằng nhau, đồng dạng: Khi niệm, cc trường hợp.
IV.Đường tròn: Khi niệm, sự xc định đường tròn, tính chất đi xng, vị trí tương
đi ca đường thẳng vi đường tròn (chú ý tiếp tuyến của đường tròn), đường tròn
vi đường tròn.
V.Góc và đường tròn: Đặc điểm, quan hệ vi cung bị chắn, tính chất.
VI.T gic ni tip: Khi niệm, tính chất, dấu hiệu.
VII.Đ dài và diện tích hình tròn.
VIII.Hình hc không gian: Khi niệm, công thc tính diện tích xung quanh, diện tích
toàn phần, thể tích.
§1.ĐA THỨC
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.Nhân đơn, đa thức

( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
m n p q m p n q m p n q
) ax y .bx y a.b x .x y .y abx y .
) A B C D A.B A.C A.D
) A B C D A.C A.D B.C B.D
+ +
+ = =
+ + − = + −
+ + − = − + −
2.Cộng, trừ đơn, đa thức
Thực chất ca việc làm này là cng, trừ đơn thc đồng dạng dựa vào quy tắc
sau cùng tính chất giao hon, kt hợp ca phép cng cc đa thc.
( )
( )
m n m n m n
m n m p m n m n m p
ax y bx y a b x y
ax y bx y cx y a c x y bx y
± = ±
+ + = + +
NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT
2
3.Hằng đẳng thức đáng nhớ
( )
( ) ( )
( )
( )

( )
2
2 2
2 2
3
3 2 2 3
2 2 3 3
A B A 2AB B
A B A B A B
A B A 3A B 3AB B
A B A AB B A B
± = ± +
+ − = −
± = ± + ±
± + = −m
Mở rộng:
( ) ( )
( ) ( )
2
2 2 2
2
2 2 2
A B C A B C 2 AB BC CA
A B C A B C 2 AB BC CA
+ + = + + + + +
+ − = + + + − −
4.Phân tích đa thức thành nhân tử
Phân tích đa thc thành nhân tử thực chất là vit đa thc đó thành tích ca hai
hay nhiều đa thc khc đơn giản hơn.
Cc phương php phân tích đa thc thành nhân tử gồm:

-Đặt nhân tử chung.
-Dùng hằng đẳng thc.
-Nhóm nhiều hạng tử.
-Tch mt hạng tử thành nhiều hạng tử.
-Thêm, bt cùng mt hạng tử.
-Đặt ẩn phụ.
Trong thực hành thông thường ta dùng kt hợp cc phương php vi nhau.
Song nên đi theo th tự cc phương php như trên để thuận lợi trong qu trình xử lý
kt quả.
B.MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ 1.Thực hiện phép tính
( )
( ) ( )
2 3 2 3 4
3 2
3
A 2x y. x y xy . 4x
2
B x 1 x. x 2 1
 
= − − + −
 ÷
 
= + − − −
Giải
( )
2 3 2 3 4
5 3 5 3
5 3
3

A 2x y. x y xy . 4x
2
3x y 4x y
x y
 
= − − + −
 ÷
 
= −
= −
( ) ( )
3 2
3 2 3 2
2
B x 1 x. x 2 1
x 3x 3x 1 x 2x 4x 1
5x x
= + − − −
= + + + − + − −
= −
Ví dụ 2.Tính giá trị của biểu thức
( )
2 3 2 3 4
3
A 2x y. x y xy . 4x
2
 
= − − + −
 ÷
 

vi x = - 2; y =
1
2
.
NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT
3
( ) ( )
3 2
B x 1 x. x 2 1= + − − −
vi x =
2
1
3
−
Giải
-Thu gn biểu thc. (đã làm ở ví dụ 1)
-Thay s, tính:
( ) ( )
3
5
1 1
A 2 . 32 . 4
2 8
 
= − − = − − =
 ÷
 
2
5 5 25 5 125 15 140
B 5 5

3 3 9 3 9 9 9
     
= − − − = + = + =
 ÷  ÷  ÷
     
.
Ví dụ 3.Chứng minh
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2
a) a b 4ab a b
b) A n n 5 n 3 n 2 6 n Z
c) B x 2x 2 0 x.
+ − = −
= + − − + ∀ ∈
= + + > ∀
M
Giải
a) Có VT = a
2
+ 2ab + b
2
– 4ab = a
2
– 2ab + b
2
= (a – b)
2
= VP.(đpcm)

b) Có A = n
2
+ 5n – n
2
+ n + 6 = 6n + 6 = 6.(n + 1)
do
( )
n Z n 1 Z 6 n 1 n∈ ⇒ + ∈ ⇒ + M
. (đpcm)
c) Có B = (x
2
+ 2x + 1) + 1 = (x + 1)
2
+ 1.
Do (x + 1)
2

≥
0
x∀

⇒
(x + 1)
2
+ 1 > 0
x∀
.(đpcm)
Ví dụ 4.Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) x
3

– 4x b) x
2
– 5x + 4 c) x
4
+ 4.
Giải
a) x
3
– 4x = x.(x
2
– 4) = x.(x – 2).(x + 2).
b) x
2
– 5x + 4 = (x
2
– 4x) – (x – 4) = x.(x – 4) – (x – 4) = (x – 4).(x – 1).
c) x
4
+ 4 = (x
2
)
2
+2x
2
.2 +2
2
– 4x
2
= (x
2

+2)
2
– (2x)
2
= (x
2
+2 – 2x).(x
2
+2 + 2x).
C.MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
1.Chng minh
( ) ( ) ( ) ( )
2
3 2
a) 3x. x 1 2x. x 3 . x 3 4x. x 4 x 2x 5x− − − + + − = − +
.
( ) ( )
2 3
b) A x. 2x 1 x 2x 2 2x x 15= + − + + − +
không phụ thuc vào bin x.
( )
( )
2
c) B 2a a 5 5 a 2a 1 0 a= − − − + < ∀
.
2.Tính gi trị ca biểu thc
A = 6(4x + 5) + 3(4 – 5x) vi x = 1,5.
B = 40y – 5(2y – 3) + 6(5 – 1,5y) vi y = -1,5.
3.Tìm x
a) 2x(3x + 1) + (4 – 2x).3x = 7.

b) 5x(x – 3) – x + 3 = 0.
4.Chng minh
a) (1 – 2a)(5a
2
+ 2a + 1) = 1 – 10a
3
.
b) (5x
3
+ 4x
2
y + 2xy
2
+ y
3
)(2x – 10y) = 10(x
4
– y
4
).
c) a
3
+ b
3
+ c
3
-3abc = 0
⇔
a = b = c hoặc a + b + c = 0.
(Nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác thì tam giác đó là tam giác gì?)

NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT
4
d)
x,y 0∀ >
thì
x y
2
y x
+ ≥
.
5.Cho x + y + z = 0 và xy + yz + zx = 0 Tính T = (x – 1)
1991
+ y
1992
+ (z + 1)
1993
.
6.Tìm max, min ca cc biểu thc sau
A = x
2
– 4x + 1.
B = 2 + x – x
2
.
C = x
2
– 2x

+ y
2

– 4y + 6.

§2.PHÂN THỨC
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.Khái niệm
Dạng
A
B
trong đó A, B là cc đa thc, B
≠
0.
2.Điều kiện xác định
Cch tìm:
-Giải B = 0.
-Kt luận: loại đi cc gi trị tìm được ca ẩn ở trên.
3.Rút gọn
-Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử.
-Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.
A C.M C
B D.M D
= =
4.Quy đồng mẫu các phân thức
-Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử.
-Lập tích = (BCNN ca cc hệ s).(cc nhân tử vi s mũ ln nhất).
-Tìm thừa s phụ = MTC : MR.
-Nhân cả tử và mẫu ca mỗi phân thc vi thừa s phụ tương ng ca nó.
5.Các phép tính
( )
A B A B
a)

M M M
A C A.D C.B
b)
B D B.D
A C A C
c)
B D B D
A C A.C
d) .
B D B.D
A C A D
e) : . C 0
B D B C
+
+ =
+
+ =
−
− = +
=
= ≠
Chú ý:
-Ở phần b, MTC có thể khc.
-Cần rút gn kt quả nu có thể.
NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT
5
B.MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ 1.Tìm điều kiện xác định của các phân thức sau
3
2

x 1 30
a) b)
x 1 4x xy
+
− −
Giải
a) Phân thc
3
x 1
x 1
+
−
không xc định khi x – 1 = 0
⇔
x = 1.
Vậy ĐKXĐ: x
≠
1.
b) Phân thc
2
30
4x xy−
không xc định khi 4x
2
– xy = 0
⇔
x(4x – y) = 0

⇔
x = 0 hoặc 4x – y = 0

⇔
x = 0 hoặc y = 4x.
Vậy ĐKXĐ:
x 0; y 4x≠ ≠
.
Ví dụ 2.Rút gọn các biểu thức sau
2 2
2
4x 1 x x 20
A B
2x 1 x 5x
− + −
= =
− +
Giải
( ) ( ) ( )
( )
2
2
2x 1 2x 1 2x 1
4x 1 1
A 2x 1; x
2x 1 2x 1 2x 1 2
− − +
−
 
= = = = + ≠
 ÷
− − −

 
.
( ) ( )
( )
( )
2
2
x 5 x 4
x x 20 x 4
B ; x 5
x 5x x x 5 x
+ −
+ − −
= = = ≠ −
+ +
.
Ví dụ 3.Thực hiện phép tính
2
2 2
x 1 x 2 x 1
a) b)
x 1 1 x x 3x x 9
+ +
+ −
− − + −
Giải
( ) ( )
( )
( )
2 2 2

x 1 x 1
x 1 x 1 x 1
a) x 1; x 1
x 1 1 x x 1 x 1 x 1 x 1
− +
−
+ = − = = = + ≠
− − − − − −
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
2 2
2 2
x 2 x 3 x 1 x
x 2 x 1 x 2 x 1
b)
x 3x x 9 x x 3 x 3 x 3 x 3 x 3
2 x 3
x 3x 2x 6 x x 2x 6 2
x x 3 x 3 x x 3 x 3 x x 3 x 3 x x 3
x 3; x 0
+ + − +
+ + + +
− = − =
+ − + − + − +
− +

− + − − − − − −
= = = =
− + − + − + −
≠ ± ≠
.
C.MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
1.Tìm điều kiện xc định ca cc phân thc sau
( )
2 2
2
3 2
x 2xy y x 2y 2x 1 7
a) b) c) d)
x y 3x x x x 1
4 x y
− + + +
− − − +
+
NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT
6
2.Cc biểu thc sau có phụ thuc vào gi trị ca bin hay không?
2
2
2
4x 1 4xy 2y 2x 1 1 1
A ; x , y .
2x 1 2y 1 2 2
x 1 2
B ; x 2
x 4 x 2 2 x

− − + −
= − ∀ ≠ ≠ −
− +
= + + ∀ ≠ ±
− + −
3.Chng minh
2 2 x y x y 2x
x y :
3x x y 3x x x y
 
+ −
 
− − − =
 ÷
 
+ −
 
 
.
4.Cho biểu thc
2
6x 2x 3xy y
A
6x 3y
+ − −
=
−
a)Tìm ĐKXĐ ca biểu thc A.
b)Rút gn A và tính gi trị vi x = - 0,5; y = 3.
c)Tìm điều kiện ca x, y để A = 1.

d)Tìm x, y để biểu thc A có gi trị âm.

§3.CĂN BẬC HAI
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.Khái niệm
x là căn bậc hai ca s không âm a
⇔
x
2
= a. Kí hiệu:
x a=
.
2.Điều kiện xác định của biểu thức
A
Biểu thc
A
xc định
⇔

A 0≥
.
3.Hằng đẳng thức căn bậc hai
2
A khi A 0
A A
A khi A 0
≥

= =


− <

4.Các phép biến đổi căn thức
+)
( )
A.B A. B A 0; B 0= ≥ ≥
+)
( )
A A
A 0; B 0
B
B
= ≥ >
+)
( )
2
A B A B B 0
= ≥
+)
( )
A 1
A.B A.B 0; B 0
B B
= ≥ ≠
+)
( )
( )
2
2
m. A B

m
B 0; A B
A B
A B
= ≥ ≠
−
±
m
+)
( )
( )
n. A B
n
A 0; B 0; A B
A B
A B
= ≥ ≥ ≠
−
±
m
NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT
7
+)
( )
2
A 2 B m 2 m.n n m n m n± = ± + = ± = ±
vi
m n A
m.n B
+ =



=

B.MỘT SỐ VÍ DỤ
VD1.Thu gọn, tính giá trị các biểu thức
( ) ( ) ( )
( )
2
A 3 3 2 3 3 3 1
3 2 3 2 2
B 2 3
3 2 1
C 3 2 2 6 4 2
D 2 3 2 3
= − − + +
+ +
= + − +
+
= − − +
= + + −
Giải
A 6 3 6 27 6 3 1 34= − + + + + =
( ) ( )
3 3 2 2 2 1
B 2 3 3 2 2 2 3 2
3 2 1
+ +
= + − − = + + − − =
+

( ) ( )
2 2
C 2 2 2 1 4 2 8 2 2 1 2 2 2 1 2 2 1= − + − + + = + − + = + − − = −
(
)
( ) ( )
2 2
D. 2 2. 2 3 2 3 4 2 3 4 2 3 3 1 3 1
D. 2 3 1 3 1 2 3 D 6
= + + − = + + − = + + −
⇒ = + + − = ⇒ =
VD2.Cho biểu thức
2
x x 2x x
y 1
x x 1 x
+ +
= + −
− +
a)Rút gọn y. Tìm x để y = 2.
b)Cho x > 1. Chứng minh
y y 0− =
c)Tìm giá trị nhỏ nhất của y
Giải
a)
( )
( )
( )
3
x x 1

x 2 x 1
y 1 x x 1 1 2 x 1 x x
x x 1 x
 
+
+
 
 
= + − = + + − − = −
− +
( ) ( )
y 2 x x 2 x x 2 0 x 1 x 2 0
x 2 0 x 2 x 4
= ⇔ − = ⇔ − − = ⇔ + − =
⇔ − = ⇔ = ⇔ =
(Ở đây ta có thể áp dụng giải phương trình bậc hai bằng cách đặt ẩn phụ)
b) Có
y y x x x x− = − − −
NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT
8
Do x 1 x x x x 0 x x x x
y y 0
> ⇒ > ⇒ − > ⇒ − = −
⇒ − =
c) Có:
( ) ( )
2
2 2
1 1 1 1 1 1
y x x x x x 2. x. x

2 4 4 2 4 4
 
= − = − = − + − = + − ≥ −
 ÷
 
Vậy
1 1 1 1
Min y khi x x x
4 2 2 4
= − = ⇔ = ⇔ =
VD3.So sánh hai số sau
a 1997 1999= +
và
b 2 1998=
Giải
Có
( )
2
2 2
a 1998 1 1998 1 1998 1 1998 1
2.1998 2 1998 1 2.1998 2 1998 2 1998
= − + + = − + +
= + − < + =
Vậy a < b.
C.MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
1.Thực hiện phép tính, rút gn biểu thc
A 4 3 2 2 57 40 2= + − +
B 1100 7 44 2 176 1331= − + −
( )
2

C 1 2002 . 2003 2 2002= − +
1 2
D 72 5 4,5 2 2 27
3 3
= − + +
( )
3 2 3 2
E 6 2 4 . 3 12 6 . 2
2 3 2 3
   
= + − − − −
 ÷ ÷
   
F 8 2 15 8 2 15= − − +
G 4 7 4 7= + − −
H 8 60 45 12= + + −
I 9 4 5 9 4 5= − − +
( ) ( )
K 2 8 3 5 7 2 . 72 5 20 2 2= + − − −
2 5 14
L
12
+ −
=
( ) ( )
5 3 50 5 24
M
75 5 2
+ −
=

−
NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT
9
3 5 3 5
N
3 5 3 5
+ −
= +
− +
3 8 2 12 20
P
3 18 2 27 45
− +
=
− +
( )
2
2
1 5 2 5
Q
2 5
2 3
 
−
= −
 ÷
−
 
+
R 3 13 48= + +

2.Tính gi trị ca biểu thc
1 1 1 1
A khi a ; b
a 1 b 1
7 4 3 7 4 3
= − = =
+ +
+ −
2
1
B 5x 4 5x 4 khi x 5
5
= − + = +
1 2x 1 2x 3
C khi x
4
1 1 2x 1 1 2x
+ −
= + =
+ + − −
3.Chng minh
a)
1 1 1 5 1 3
12 2
3 3 2 3 6
+ + − =
b)
3 3
2 5 2 5 1+ + − =
c)

2 3 2 3
2
2 2 3 2 2 3
+ −
+ =
+ + − −
d)
1 1 1
S
1 2 2 3 99 100
= + + +
+ + +
là mt s nguyên.
4.Cho
( )
3
x x 2x 2
2x 3 x 2
A ; B
x 2 x 2
− + −
− −
= =
− +
a) Rút gn A và B.
b) Tìm x để A = B.
5.Cho
x 1
A
x 3

+
=
−
. Tìm s nguyên x để A nhận gi trị nguyên.
6.Tìm x, bit:
( )
2
x x 1 x 5
a) 4 x . 81 36 b) 3 c) 1
x x 4
+ + −
− = = =
−
NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT
10
§4.HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.Định lý Pitago
ABC∆
vuông tại A
2 2 2
AB AC BC⇔ + =
2.Hệ thức lượng trong tam giác vuông
B
H
C
A
1) AB
2

= BH.BC; AC
2
= CH.BC
2) AB.AC = AH.BC
3) AH
2
= BH.HC
4)
2 2 2
1 1 1
AH AB AC
= +
Kt quả:
-Vi tam gic đều cạnh là a, ta có:
2
a 3 a 3
h ; S
2 4
= =
3.Tỉ số lượng giác của góc nhọn
Đặt
ACB ; ABC∠ = α ∠ =β
khi đó:
AB AH AC HC AB AH AC HC
sin ; cos ; tg ; cotg
BC AC BC AC AC HC AB AH
α = = α = = α = = α = =
b asin B acosC ctgB ccotgC
c acosB asinC bctgB btgC
= = = =

= = = =
Kt quả suy ra:
1) sin cos ; cos sin ; tg cotg ; cotg tgα = β α = β α = β α = β
sin cos
2) 0 sin 1; 0 cos <1; tg ; cotg
cos sin
α α
< α < < α α = α =
α α
2 2
2 2
1 1
3) sin cos 1; tg .cotg 1; 1 cotg ; 1 tg
sin cos
α + α = α α = = + α = + α
α α
4) Cho
ABC∆
nhn, BC = a; AC = b; AB = c khi đó:
2 2 2
ABC
1
a b c 2bc.cosA; S bcsin A
2
∆
= + − =
B.MỘT SỐ VÍ DỤ
VD1.Cho tam giác ABC có AB>AC, kẻ trung tuyến AM và đường cao AH. Chứng
minh:
2

2 2 2
2 2
BC
a) AB AC 2AM
2
b) AB AC 2BC.MH
+ = +
− =
NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT
11
VD2.Cho hình thang ABCD (AB//CD có AB = 3cm; CD = 14cm; AC = 15cm; BD
= 8cm.
a) Chứng minh AC vuông góc với BD.
b) Tính diện tích hình thang.
VD3.Tính diện tích hình bình hành ABCD biết AD = 12; DC = 15;
∠
ADC=70
0
.
C.MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
1.Cho tam gic ABC vuông cân tại A, trung tuyn BD. Gi I là hình chiu ca C trên
BD, H là hình chiu ca I trên AC.
Chng minh: AH = 3HI.
2.Qua đỉnh A ca hình vuông ABCD cạnh bằng a, vẽ mt đường thẳng cắt BC ở E và
cắt đường thẳng DC ở F.
Chng minh:
2 2 2
1 1 1
AE AF a
+ =

3.Cho tam gic cân ABC có đy BC = a;
∠
BAC = 2
α
;
0
45α <
. Kẻ cc đường cao
AE, BF.
a) Tính cc cạnh ca tam gic BFC theo a và tỉ s lượng gic ca góc
α
.
b) Tính theo a, theo cc tỉ s lượng gic ca góc
α
và
2α
, cc cạnh ca tam
gic ABF, BFC.
c) Từ cc kt quả trên, chng minh cc đẳng thc sau:
2 2
2
2tg
1) sin 2 2sin cos ; 2) cos2 =cos sin ; 3) tg2
1 tg
α
α = α α α α − α α =
− α

§5.PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH
(Bậc nhất)

A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.Phương trình bậc nhất một ẩn
-Quy đồng khử mẫu.
-Đưa về dạng ax + b = 0 (a ≠ 0)
-Nghiệm duy nhất là
b
x
a
−
=
2.Phương trình chứa ẩn ở mẫu
-Tìm ĐKXĐ ca phương trình.
-Quy đồng và khử mẫu.
-Giải phương trình vừa tìm được.
-So snh gi trị vừa tìm được vi ĐKXĐ rồi kt luận.
NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT
12
3.Phương trình tích
Để gii phương trình tích ta chỉ cần giải cc phương trình thành phần ca nó.
Chẳng hạn: Vi phương trình A(x).B(x).C(x) = 0
( )
( )
( )
A x 0
B x 0
C x 0
=

⇔ =



=

4.Phương trình có chứa hệ số chữ (Giải và biện luận phương trình)
Dạng phương trình này sau khi bin đổi cũng có dạng ax + b = 0. Song gi trị
cụ thể ca a, b ta không bit nên cần đặt điều kiện để xc định s nghiệm ca phương
trình.
-Nu a ≠ 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất
b
x
a
−
=
.
-Nu a = 0 và b = 0 thì phương trình có vô s nghiệm.
-Nu a = 0 và b ≠ 0 thì phương trình vô nghiệm.
5.Phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối
Cần chú ý khi niệm gi trị tuyệt đi ca mt biểu thc
A khi A 0
A
A khi A 0
≥

=

− <

6.Hệ phương trình bậc nhất
Cch giải ch yu dựa vào hai phương php cng đại s và th. Chú ý phương
php đặt ẩn phụ trong mt s trường hợp xuất hiện cc biểu thc ging nhau ở cả hai

phương trình.
7.Bất phương trình bậc nhất
Vi bất phương trình bậc nhất thì việc bin đổi tương tự như vi phương trình
bậc nhất. Tuy nhiên cần chú ý khi nhân và cả hai v vi cùng mt s âm thì phải đổi
chiều bất phương trình.
B.MỘT SỐ VÍ DỤ
VD1.Giải các phương trình sau
a)
( ) ( )
2 x 3 1 2 x 1 9− + = + −
b)
( )
7x 20x 1,5
5 x 9
8 6
+
− − =
c)
2 2
13 1 6
2x x 21 2x 7 x 9
+ =
+ − + −
d)
x 3 3 x 7 10− + − =
(*)
Giải
( ) ( )
a) 2 x 3 1 2 x 1 9 2x 5 2x 7 5 7− + = + − ⇔ − = − ⇔ − = −
(Vô lý)

Vậy phương trình vô nghệm.
( )
7x 20x 1,5
b) 5 x 9 21x 120x 1080 80x 6 179x 1074 x 6
8 6
+
− − = ⇔ − + = + ⇔ − = − ⇔ =
Vậy phương trình có nghiệm x = 6.
NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT
13
c)
2 2
13 1 6
2x x 21 2x 7 x 9
+ =
+ − + −
( ) ( ) ( ) ( )
13 1 6
x 3 2x 7 2x 7 x 3 x 3
⇔ + =
− + + − +
ĐKXĐ:
7
x 3; x
2
≠ ± ≠ −
( ) ( ) ( ) ( )
2
13 x 3 x 3 x 3 6 2x 7 13x 39 x 9 12x 42⇒ + + − + = + ⇔ + + − = +
( ) ( )

2
x 3 DKXD
x x 12 0 x 3 x 4 0
x 4 DKXD
= ∉

⇔ + − = ⇔ − + = ⇔

= − ∈

Vậy phương trình có nghiệm x = - 4.
d) Lập bảng xét dấu
x 3 7
x – 3 - 0 + +
x - 7 - - 0 +
-Xét x < 3:
(*)
( )
7
3 x 3 7 x 10 24 4x 10 4x 14 x
2
⇔ − + − = ⇔ − = ⇔ − = − ⇔ =
(loại)
-Xét
3 x 7≤ <
:
(*)
( )
x 3 3 7 x 10 2x 18 10 2x 8 x 4⇔ − + − = ⇔ − + = ⇔ − = − ⇔ =
(t/mãn)

-Xét
x 7≥
:
(*)
( )
17
x 3 3 x 7 10 4x 24 10 4x 34 x
2
⇔ − + − = ⇔ − = ⇔ = ⇔ =
(loại)
Vậy phương trình có nghiệm x = 4.
VD2.Giải và biện luận phương trình sau
a)
2 2
x a b x b a b a
a b ab
+ − + − −
− =
(1)
b)
( )
2
2
a x 1
ax 1 2
x 1 x 1 x 1
+
−
+ =
− + −

(2)
Giải
a) ĐK: a ≠ 0; b ≠ 0.
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2 2
(1) b x a b a x b a b a
bx ab b ax ab a b a
b a x 2 b a b a
⇔ + − − + − = −
⇔ + − − − + = −
⇔ − = − +
-Nu b – a ≠ 0
b a⇒ ≠
thì
( ) ( )
( )
2 b a b a
x 2 b a
b a
− +
= = +
−
-Nu b – a = 0
b a⇒ =
thì phương trình có vô s nghiệm.
Vậy:
-Vi b ≠ a, phương trình có nghiệm duy nhất x = 2(b + a).
-Vi b = a, phương trình có vô s nghiệm

NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT
14
b) ĐKXĐ:
x 1≠ ±
( ) ( ) ( )
( )
( )
2
2 2
(2) ax-1 x 1 2 x 1 a x 1
ax ax x 1 2x 2 ax a
a 1 x a 3
⇒ + + − = +
⇔ + − − + − = +
⇔ + = +
-Nu a + 1 ≠ 0
a 1⇒ ≠ −
thì
a 3
x
a 1
+
=
+
-Nu a + 1 = 0
a 1⇒ = −
thì phương trình vô nghiệm.
Vậy:
-Vi a ≠ -1 và a ≠ -2 thì phương trình có nghiệm duy nhất
a 3

x
a 1
+
=
+
-Vi a = -1 hoặc a = -2 thì phương trình vô nghiệm.
VD3.Giải các hệ phương trình sau
1 1 5
x 2y 3z 2
x 5y 7
x y x y 8
a) b) c) x 3y z 5
3x 2y 4 1 1 3
x 5y 1
x y x y 8

+ − =
+ =


+ =
+ −

 
− + =
  
− =

 
− =

− =


− +

Giải
( )
x 7 5y
x 5y 7 x 7 5y x 7 5y x 2
a)
3 7 5y 2y 4
3x 2y 4 21 17y 4 y 1 y 1
= −

+ = = − = − =
   
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
    
− − =
− = − = = =
   

hoặc
x 5y 7 3x 15y 21 17y 17 y 1
3x 2y 4 3x 2y 4 3x 2y 4 x 2
+ = + = = =
   
⇔ ⇔ ⇔
   
− = − = − = =

   
b) ĐK:
x y≠ ±
đặt
1 1
u; v
x y x y
= =
+ −
Khi đó, có hệ mi
5
1
2v 1
u v
v
8
2
5
1
3
u v
u
u v
8
88
 
=
+ =
=


 
  
⇔ ⇔
  
+ =
  
=
− + =





Thay trở lại, ta được:
x y 8 x 5
x y 2 y 3
+ = =
 
⇔
 
− = =
 
c)
x 2y 3z 2 x 1 5y x 1 5y x 6
x 3y z 5 1 5y 2y 3z 2 7y 3z 1 y 1
x 5y 1 1 5y 3y z 5 2y z 4 z 2
+ − = = + = + =
   
   
− + = ⇔ + + − = ⇔ − = ⇔ =

   
   
− = + − + = + = =
   
C.MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT
15
1.Giải cc phương trình sau
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
2
a) 3 x 4 5 x 2 4 3x 1 82
x 17 3x 7
b) 2
5 4
x 1 x 2 x 3 x 4
c)
65 64 63 62
x 1 x 7x 3
d)
x 3 x 3 9 x
x 2 1 2
e)
x 2 x x x 2
f ) x 3 5
g) 3x 1 2x 6
h) 2 x 3 2x 1 4
i) x 2 x 3 2x 1
k) 5 3x x 3 3x 1 x 2

4x 3 x 1 2x 3 x 2
l)
3 6 2 4
+ − − = − +
+ −
− = −
+ + + +
+ = +
− −
− =
+ − −
+
− =
− −
+ =
− = +
− − + =
− + − =
+ + < − +
+ − − +
− > −
2.Giải và biện luận cc phương trình sau
( )
2
2
2
x a x b
a) b a
a b
b) a x 1 3a x

ax-1 x a a 1
c)
a+1 1 a a 1
a 1 a 1 a 1
d)
x a x 1 x a x 1
− −
+ = +
− − =
+ +
− =
− −
− +
+ = +
− + − +
3.Giải cc hệ phương trình sau
2 2
2 2
m n p 21
x y 24
3x 4y 5 0 2u v 7 n p q 24
a) b) c) d)
x y 8
2x 5y 12 0 p q m 23
2
u 2v 66
9 7 9
q m n 22
+ + =


+ =



+ − = − = + + =

  
   
− + = + + =
+ =
+ =



 


+ + =

4.Cho hệ phương trình
( )
m 1 x y 3
mx y m
 + − =

+ =

a) Giải hệ vi m = -
2
b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất sao cho x + y dương.

§6.CHỨNG MINH
BẰNG NHAU – SONG SONG, VUÔNG GÓC - ĐỒNG QUY, THẲNG HÀNG
NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT
16
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.Tam giác bằng nhau
a) Khi niệm:
A A'; B B'; C C'
ABC A'B'C' khi
AB A'B'; BC B'C'; AC A'C'
∠ = ∠ ∠ = ∠ ∠ = ∠

∆ = ∆

= = =

b) Cc trường hợp bằng nhau ca hai tam gic: c.c.c; c.g.c; g.c.g.
c) Cc trường hợp bằng nhau ca hai tam gic vuông: hai cạnh góc vuông;
cạnh huyền và mt cạnh góc vuông; cạnh huyền và mt góc nhn.
d) Hệ quả: Hai tam gic bằng nhau thì cc đường cao; cc đường phân gic;
cc đường trung tuyn tương ng bằng nhau.
2.Chứng minh hai góc bằng nhau
-Dùng hai tam gic bằng nhau hoặc hai tam gic đồng dạng, hai góc ca tam
gic cân, đều; hai góc ca hình thang cân, hình bình hành, …
-Dùng quan hệ giữa cc góc trung gian vi cc góc cần chng minh.
-Dùng quan hệ cc góc tạo bởi cc đường thẳng song song, đi đỉnh.
-Dùng mi quan hệ ca cc góc vi đường tròn.(Chng minh 2 góc ni tip
cùng chắn mt cung hoặc hai cung bằng nhau ca mt đường tròn, …)
3.Chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau
-Dùng đoạn thẳng trung gian.

-Dùng hai tam gic bằng nhau.
-Ứng dụng tính chất đặc biệt ca tam gic cân, tam gic đều, trung tuyn ng
vi cạnh huyền ca tam gic vuông, hình thang cân, hình chữ nhật, …
-Sử dụng cc yu t ca đường tròn: hai dây cung ca hai cung bằng nhau, hai
đường kính ca mt đường tròn, …
-Dùng tính chất đường trung bình ca tam gic, hình thang, …
4.Chứng minh hai đường thẳng, hai đoạn thẳng song song
-Dùng mi quan hệ giữa cc góc: So le bằng nhau, đồng vị bằng nhau, trong
cùng phía bù nhau, …
-Dùng mi quan hệ cùng song song, vuông góc vi đường thẳng th ba.
-Áp dụng định lý đảo ca định lý Talet.
-Áp dụng tính chất ca cc t gic đặc biệt, đường trung bình ca tam gic.
-Dùng tính chất hai dây chắn giữa hai cung bằng nhau ca mt đường tròn.
5.Chứng minh hai đường thẳng vuông góc
-Chng minh chúng song song vi hai đường vuông góc khc.
-Dùng tính chất: đường thẳng vuông góc vi mt trong hai đường thẳng song
song thì vuông góc vi đường thẳng còn lại.
-Dùng tính chất ca đường cao và cạnh đi diện trong mt tam gic.
-Đường kính đi qua trung điểm ca dây.
-Phân gic ca hai góc kề bù nhau.
6.Chứng minh ba điểm thẳng hàng
-Dùng tiên đề Ơclit: Nu AB//d; BC//d thì A, B, C thẳng hàng.
-Áp dụng tính chất cc điểm đặc biệt trong tam gic: trng tâm, trực tâm, tâm
đường tròn ngoại tip, …
-Chng minh 2 tia tạo bởi ba điểm tạo thành góc bẹt: Nu góc ABC bằng 180
0

thì A, B, C thẳng hàng.
NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT
17

-Áp dụng tính chất: Hai góc bằng nhau có hai cạnh nằm trên mt đường thẳng
và hai cạnh kia nằm trên hai nửa mặt phẳng vi bờ là đường thẳng trên.
-Chng minh AC là đường kính ca đường tròn tâm B.
7.Chứng minh các đường thẳng đồng quy
-Áp dụng tính chất cc đường đồng quy trong tam gic.
-Chng minh cc đường thẳng cùng đi qua mt điểm: Ta chỉ ra hai đường
thẳng cắt nhau tại mt điểm và chng minh đường thẳng còn lại đi qua điểm đó.
-Dùng định lý đảo ca định lý Talet.
B.MỘT SỐ VÍ DỤ
VD1.Cho một nửa lục giác đều ABCD nội tiếp trong nửa đường tròn (O; R). Hai
tiếp tuyến tại B và D cắt nhau ở T.
a) Chứng minh rằng OT//AB.(góc BAD = góc TOD)
b) Chứng minh ba điểm O, C, T thẳng hàng.(phân giác BOD; song song với
AB)
c) Tính chu vi và diện tích của tam giác TBD theo R.(P =
3 3R
; S =
2
3R 3
4
)
d) Tính theo R diện tích giới hạn bởi hai cạnh TB, TD và cung BCD.
(S =
2
R 3
3
π
 
−
 ÷

 
VD2.Cho nửa đường tâm O đường kính AB = 2R, M là trung điểm AO. Các đường
vuông góc với AB tại M và O cắt nửa đường tròn tại D và C.
a) Tính AD, AC, BD và DM theo R.(AD = R; AC =
R 2
; BD =
R 3
; DM
=
R 3
4
)
b) Tính các góc của tứ giác ABCD.(ABD = 30
0
; ABC = 45
0
; BCD = 120
0
;
ADC = 135
0
)
c) Gọi H là giao điểm của AC và BD; I là giao điểm của AD và BC. Chứng
minh rằng IH vuông góc với AB.(AC, BD là các đường cao của tam giác IAB)
VD3.Cho tam giác ABC đều cạnh a. Kéo dài BC một đoạn CM = a.
a) Tính các góc của tam giác ACM.(ACM = 102
0
; CAM = CMA = 30
0
)

b) Chứng minh Am vuông góc với AB.(MAB = 90
0
)
c) Kéo dài CA một đoạn AN = a và kéo dài AB một đoạn BP = a. Chứng tỏ
tam giác MNP đều.(tgMCN = tgNAP = tgPBM)
C.MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
1.Cho hình vuông ABCD. Lấy điểm M trên đường chéo BD. Gi E, F lần lượt là hình
chiu ca M lên AB và AD.
a) Chng tỏ: CF = DE; CF vuông góc vi DE. Từ đó tìm quỹ tích giao điểm N
ca CF và DE. (tgCFD = tgDAE; quỹ tích N là ¼ đường tròn-cung tròn DNO có
đường kính CD)
b) Chng tỏ: CM = EF và CM vuông góc vi EF. (tgCKM = tgFME, K là giao
của FM và CB)
NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT
18
c) Chng minh rằng cc đường thẳng CM, BF, DE đồng quy.(CM, ED, FB là
ba đường cao của tam giác CEF)
2.Cho tam gic ABC vuông ở A. Đường tròn qua tâm O qua A tip xúc vi BC tại B
và đường tròn tâm I qua A tip xúc vi BC tại C.
a) Chng minh hai đường tròn (O) và (I) tip xúc nhau tại A.(tgOAB; tgIAC
cân; OAB + CAI + BAC = 180
0
; O, I, A thẳng hàng)
b) Từ O kẻ đường vuông góc vi AB và từ I kẻ đường vuông góc vi AC.
Chng minh chúng cắt nhau tại trung điểm M ca BC.(MA = MB = MC)
c) Chng minh MO vuông góc vi MI.(OMI = 90
0
)
d) Kéo dài BA cắt đường tròn tâm I ở P. Chng minh C, P, I thẳng hàng.(tính
chất góc nội tiếp hoặc PIA + AIC = 180

0
)
3.Cho hai đường tròn (O), (O’) cắt nhau tại A và B sao cho góc OAO’ bằng 90
0
. Qua
A kẻ ct tuyn MAM’ vuông góc vi AP trong đó P là trung điểm ca OO’. M, M’
theo th tự là giao điểm ca ct tuyn vi hai đường tròn (O); (O’). Chng minh:
a) AM = AM’.(A là trung điểm của DC; OC, O’D vuông góc với MM’)
b) Tam gic ABM cân.(tgOAC = tgOHA)
c) BM vuông góc vi BM’.(AB = AM’; t/c trung tuyến tam giác vuông)
d) Vi vị trí nào ca ct tuyn MAM’ thì MM’có đ dài ln nhất.
(MM’=2OO’; MM’//OO’)

§7.PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠0) (1)
*Trong trường hợp giải và biện luận, cần chú ý khi a = 0 phương trình trở
thành bậc nhất một ẩn (§5).
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.Các dạng và cách giải
Dạng 1: c = 0 khi đó
( ) ( )
2
x 0
1 ax bx 0 x ax+b 0
b
x
a
=



⇔ + = ⇔ = ⇔

= −

Dạng 2: b = 0 khi đó
( )
2 2
c
1 ax c 0 x
a
−
⇔ + = ⇔ =
-Nu
c
0
a
−
≥
thì
c
x
a
−
= ±
.
-Nu
c
0

a
−
<
thì phương trình vô nghiệm.
Dạng 3: Tổng quát
NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT
19
CÔNG THỨC NGHIỆM TỔNG QUÁT CÔNG THỨC NGHIỆM THU GỌN
2
b 4ac∆ = −
2
' b' ac∆ = −
0∆ >
: phương trình có 2 nghiệm phân biệt
1 2
b b
x ; x
2a 2a
− + ∆ − − ∆
= =
' 0∆ >
: phương trình có 2 nghiệm phân biệt
1 2
b' ' b' '
x ; x
a a
− + ∆ − − ∆
= =
0∆ =
: phương trình có nghiệm kép

1 2
b
x x
2a
−
= =
' 0∆ =
: phương trình có nghiệm kép
1 2
b'
x x
a
−
= =
0∆ <
: phương trình vô nghiệm
' 0∆ <
: phương trình vô nghiệm
Dạng 4: Các phương trình đưa được về phương trình bậc hai
Cần chú ý dạng trùng phương, phương trình vô tỉ và dạng đặt ẩn phụ,
còn dạng cha ẩn ở mẫu và dạng tích đã nói ở §5.
3.Hệ thức Viet và ứng dụng
-Nu phương trình ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x
1
, x
2
thì:
1 2

1 2
b
S x x
a
c
P x x
a

= + = −




= =


-Nu có hai s u và v sao cho
u v S
uv P
+ =


=


( )
2
S 4P≥
thì u, v là hai nghiệm ca
phương trình x

2
– Sx + P = 0.
-Nu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm là x
1
= 1; x
2
=
c
a
.
-Nu a – b + c = 0 thì phương trình có nghiệm là x
1
= -1; x
2
=
c
a
−
.
4.Điều kiện có nghiệm của phương trình ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠0)
-(1) có 2 nghiệm
0∆ ≥
; có 2 nghiệm phân biệt
0∆ >
.
-(1) có 2 nghiệm cùng dấu
0
P 0

∆ ≥


>

.
-(1) có 2 nghiệm dương
0
P 0
S 0
∆ ≥


>


>

-(1) có 2 nghiệm âm
0
P 0
S 0
∆ ≥


>


<


-(1) có 2 nghiệm tri dấu ac < 0 hoặc P < 0.
5.Tìm điều kiện của tham số để 2 nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện
nào đó.
NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT
20
2 2
1 2 1 2
1 2
2 2 3 3
1 2 1 2
1 1
a) x x ; b) x x m; c) n
x x
d) x x h; e) x x t;
α + β = γ + = + =
+ ≥ + =
Trong những trường hợp này cần sử dụng hệ thc Viet và phương php giải hệ
phương trình.
B.MỘT SỐ VÍ DỤ
VD1.Giải các phương trình sau
2 2 2
1
a) 3x 2x 0 b) x 8 0 c) x 3x 10 0
2
+ = − + = + − =
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
d) 2x 2 1 x 1 2 2 0 e) x 4 x 3 0 f ) x 1 x 2 x 3 x 4 3+ − + − = − + = + + + + =
Giải

( )
2
x 0
a) 3x 2x 0 x 3x 2 0
2
x
3
=


+ = ⇔ + = ⇔

= −

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt …
2 2
1
b) x 8 0 x 16 x 4
2
− + = ⇔ = ⇔ = ±
Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt …
( )
2 2
1 2
c) a 1; b 3; c 10
b 4ac 3 4.1. 10 49 0
b 3 7 b 3 7
x 2; x 5
2a 2.1 2a 2.1
= = = −

∆ = − = − − = >
− + ∆ − + − − ∆ − −
= = = = = = −
Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt …
d) a 2; b 2 1; c 1 2 2= = − = −
Có
a b c 2 2 1 1 2 2 0+ + = + − + − =
Theo hệ thc Viet, có:
1 2
c 1 2 2 2 4
x 1; x
a 2
2
− −
= = = =
e) Đặt
t x 0= ≥
, ta có pt mi: t
2
– 4t + 3 = 0.
Có a + b + c = 1 + (-4) + 3 = 0.
Vậy t
1
= 1; t
2
= 3.
Suy ra: x
1
= 1; x
2

= 9.
f)
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
x 1 x 2 x 3 x 4 3 x 5x 4 x 5x 6 3+ + + + = ⇔ + + + + =
Đặt x
2
+ 5x + 4 = t, ta có:
t .(t + 2) = 3
( ) ( )
2
t 1
t 2t 3 0 t 1 t 3 0
t 3
=

⇔ + − = ⇔ − + = ⇔

= −

NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT
21
Suy ra:
2 2
1 2
2 2
x 5x 4 1 x 5x 3 0
5 13 5 13
x ; x

2 2
x 5x 4 3 x 5x 7 0
 

+ + = + + =
− + − −
⇔ ⇔ = =
 

+ + = − + + =

 
Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt …
VD2.Cho phương trình x
2
+ 3x – m = 0 (1)
a) Giải phương trình vi m = 4.
b) Giải và biện luận theo m s nghiệm ca phương trình (1).
c) Tìm m để (1) có nghiệm x= -2. Tìm nghiệm còn lại.
d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn mt trong cc điều
kiện sau:
1. 2x
1
+ 3x
2
= 13.

2. Nghiệm này ln hơn nghiệm kia ba đơn vị.
3. x
1
2
+ x
2
2
= 11.
e) Chng tỏ rằng
1 2
1 1
;
x x
là nghiệm ca phương trình mx
2
– 3x – 1 = 0. Trong
đó x
1
, x
2
là hai nghiệm ca (1).
f) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu. Em có nhận xét gì về
hai nghiệm đó.
Giải
a) Vi m = 4 ta có: x
2
+ 3x – 4 = 0 (a = 1; b = 3; c = -4)
Nhận thấy: a + b + c = 1 + 3 + (-4) = 0
Theo hệ thc Viet, có: x
1

= 1; x
2
=
c
4
a
= −
b) có:
2
b 4ac 9 4m∆ = − = +
1 2
9
0 9 4m 0 m
4
b 3 9 4m b 3 9 4m
x ; x
2a 2 2a 2
∆ > ⇔ + > ⇔ > −
− + ∆ − + + − − ∆ − − +
= = = =
1 2
9
0 9 4m 0 m
4
b 3
x x
2a 2
∆ = ⇔ + = ⇔ = −
−
= = = −

9
0 9 4m 0 m
4
∆ < ⇔ + < ⇔ < −
phương trình vô nghiệm.
c) Phương trình (1) có nghiệm x = -2, do đó:
(-2)
2
+ 3(-2) – m = 0
⇔
m = -2
-Tìm nghiệm th hai
cách 1: Thay m = -2 vào phương trình đã cho: x
2
+ 3x + 2 = 0
có a – b + c = 1 – 3 + 2 = 0 nên x
1
= -1; x
2
=
c
2
a
−
= −
Vậy nghiệm còn lại là x = - 1.
Cách 2: Ta có x
1
+ x
2

=
b
a
−

( )
2 1
b
x x 3 2 1
a
⇒ = − − = − − − = −
NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT
22
Cách 3: Ta có x
1
x
2
=
c
a

2 1
c m
x : x 1
a 2
−
⇒ = = = −
−
d) Phương trình có hai nghiệm thỏa mãn 2x
1

+ 3x
2
= 13
1 2
1 2
1 2
0
b
x x
a
c
x x
a
2x 3x 13
∆ ≥



+ = −

⇔


=


+ =

1 2
1 2

1 2
9
m
4
x x 3
x x m
2x 3x 13

≥ −



+ = −
⇔


= −

+ =


giải hệ tìm được x
1
= -22; x
2
= 19; m = 418.
-Tương tự ta tìm được (x
1
= -2; x
2

= -3; m = -6); (m=1)
e) Ta có
1 2
1 2 1 2
1 2 1 2
1 1 x x 3
x x x x m
1 1 1 1
.
x x x .x m
+

+ = =




= = −


mà
2
2 2
3 1 9 4 9 4m
4 0
m m m m m
+
   
− − = + = ≥
 ÷  ÷

   
Vậy
1 2
1 1
;
x x
là hai nghiệm ca phương trình
2 2
3 1
x x 0 mx 3m 1 0
m m
− − = ⇔ − − =
f) Phương trình có hai nghiệm cùng dấu
9
0
m
9
m 0
4
P 0
4
m 0

∆ ≥
≥ −


⇔ ⇔ ⇔ − ≤ <
 
>



− >

Hai nghiệm này luôn âm. Vì S = - 3.
C.MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
1.Giải cc phương trình sau
( )
2 2 2 2
a) x 5x 0 b) 2x 3 0 c) x 11x 30 0 d) x 1 2 x 2 0− = + = − + = − + + =
( )
2
4 2
e) x 7x 12 0 f ) x 2 5 x 2 6 0− + = − − − + =
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
2 1 x 4
g) 0 h) x 1 x 2 x 5 x 2 20
x 4 x x 2 x x 2
−
− + = + + + − = −
− − +
2 2 2
2
1 1
i) 2x 8x 3 2x 4x 5 12 k) x 4,5 x 7 0
x x
 
− − − − = + − + + =

 ÷
 
NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT
23
2.Cho phương trình
2
x 2 3x 1 0− + =
, có hai nghiệm x
1
, x
2
. Không giải phương trình.
Hãy tính gi trị cc biểu thc sau:
2 2
2 2 3 3
1 1 2 2
1 2 1 2
3 3
1 2 1 2
3x 5x x 3x
A x x ; B x x ; C
4x x 4x x
+ +
= + = + =
+
3.Cho phương trình x
2
+ mx + m+3 = 0.
a) Giải phương trình vi m = -2.
b) Giải và biện luận s nghiệm ca phương trình.

c) Tính x
1
2
+ x
2
2
; x
1
3
+ x
2
3
theo m.
d) Xc định gi trị ca m để x
1
2
+ x
2
2
= 10.
e) Tìm m để 2x
1
+ 3x
2
= 5.
f) Tìm m để phương trình có nghiệm x = -3. Tính nghiệm còn lại.
g) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm cùng dấu dương.
4.Cho phương trình bậc hai: mx
2
– (5m-2)x + 6m – 5 = 0.

a) Giải phương trình vi m = 2.
b) Chng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.
c) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm đi nhau.
d) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm là nghịch đảo ca nhau.
e) Tìm m để phương trình có nghiệm là x = 0. Tìm nghiệm còn lại.
f) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm.
5.Cho phương trình x
2
– mx + m – 1 = 0, ẩn x, tam s m.
a) Chng tỏ phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
vi mi m. Tính nghiệm kép
(nu có) cùng gi trị tương ng ca m.
b) Đặt A = x
1
2
+ x
2
2
– 6x
1
x
2
.
+) Chng minh A = m
2
– 8m + 8.
+) Tìm m để A = 8.

+) Tìm gi trị nhỏ nhất ca A và gi trị tương ng ca m.
6*.Cho phương trình bậc hai: ax
2
+ bx + c = 0 vi abc ≠ 0.
a) Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm x
1
; x
2
.
b) Lập phương trình nhận hai s
( ) ( )
1 2
x ; x+ α + α
làm nghiệm.
c) Lập phương trình nhận hai s
1 2
x ; xα α
làm nghiệm.
d) Lập phương trình nhận hai s
1 2
1 1
;
x x
làm nghiệm.
e) Lập phương trình nhận hai s
1 2
2 1
x x
;
x x

làm nghiệm.

NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT
24
§8.CHỨNG MINH HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG
HỆ THỨC HÌNH HỌC
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.Tam giác đồng dạng
-Khi niệm:
A A'; B B'; C C'
ABC A'B'C' khi
AB AC BC
A'B' A'C' B'C'
∠ = ∠ ∠ = ∠ ∠ = ∠


∆ ∆

= =


:
-Cc trường hợp đồng dạng ca hai tam gic: c – c – c; c – g – c; g – g.
-Cc trường hợp đồng dạng ca hai tam gic vuông: góc nhn; hai cạnh góc
vuông; cạnh huyền - cạnh góc vuông…
*Tính chất: Hai tam gic đồng dạng thì tỉ s hai đường cao, hai đường phân
gic, hai đường trung tuyn tương ng, hai chu vi bằng tỉ s đồng dạng; tỉ s hai diện
tích bằng bình phương tỉ s đồng dạng.
2.Phương pháp chứng minh hệ thức hình học
-Dùng định lí Talet, tính chất đường phân gic, tam gic đồng dạng, cc hệ

thc lượng trong tam gic vuông, …
Giả sử cần chng minh MA.MB = MC.MD
-Chng minh hai tam gic MAC và MDB đồng dạng hoặc hai tam gic MAD
và MCB.
-Trong trường hợp 5 điểm đó cùng nằm trên mt đường thẳng thì cần chng
minh cc tích trên cùng bằng tích th ba.
Nu cần chng minh MT
2
= MA.MB thì chng minh hai tam gic MTA và
MBT đồng dạng hoặc so snh vi tích th ba.
Ngoài ra cần chú ý đn việc sử dụng cc hệ thc trong tam gic vuông; phương
tích ca mt điểm vi đường tròn.

B.MỘT SỐ VÍ DỤ
VD1.Cho hình bình hành ABCD. Từ đỉnh A kẻ ct tuyn bất kì cắt đường chéo BD
tại E, cắt cạnh BC tại F và cắt cạnh CD tại G. Chng minh:
a) Cc tam gic DAE và BFE đồng dạng.
b) Cc tam gic DGE và BAE đồng dạng.
c) AE
2
= EF.EG.
d) Tích BF.DG không đổi khi ct tuyn qua A thay đổi.
VD2.Cho hình bình hành ABCD. Từ C kẻ CM vuông góc vi AB, CN vuông góc vi
AD. Giả sử AC > BD. Chng minh rằng: AB.AM + AD.AN = AC
2
.
C.MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
1.Cho tam gic ABC có ba góc đều nhn. Cc đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H.
Gi M là trung điểm ca BC. Đường thẳng qua H vuông góc vi MH cắt AB tại P,
cắt AC tại Q. Chng minh:

a)
AHP ~ CMH∆ ∆
NỘI DUNG KIẾN THỨC CƠ BẢN ÔN THI VÀO LỚP 10 THPT
25
b)
QHA ~ HMB∆ ∆
c) HP = HQ.
2.Cho tam gic đều ABC. Gi M là trung điểm ca BC. Lấy P trên cạnh AB, Q trên
cạnh AC sao cho góc PMQ bằng 60
0
.
a) Chng minh
MBP ~ QCM∆ ∆
. Từ đó suy ra PB.CQ có gi trị không đổi.
b) Kẻ MH vuông góc vi PQ, chng minh
MBP ~ QMP; QCM ~ QMP∆ ∆ ∆ ∆
.
c) CHng minh đ dài MH không đổi khi P, Q chạy trên AB, AC và vẫn thỏa
mãn điều kiện góc PMQ bằng 60
0
.
3.Cho tam gic ABC có BC = a; AC = b; AB = c (b > c) và cc phân gic BD, CE.
a) Tính đ dài CD, BE rồi suy ra CD > BE.
b) Vẽ hình bình hành BEKD, chng minh CE > EK.
c) Chng minh CE > BD.

§9.GIẢI BÀI TOÁN
BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH
A.KIẾN THỨC CƠ BẢN
Phương pháp giải

Bưc 1. Gi ẩn và đặt điều kiện: Gi mt (hai) trong s những điều chưa bit
làm ẩn và đặt điều kiện cho ẩn.
Bưc 2. Biểu diễn cc đại lượng chưa bit còn lại qua ẩn.
Bưc 3. Lập phương trình (hệ phương trình): Dựa vào mi quan hệ giữa đại
lượng đã bit và chưa bit.
Bưc 4. Giải phương trình (hệ phương trình) vừa lập ở trên.
Bưc 5. Kt luận: Kiểm tra gi trị tìm được vi điều kiện rồi kt luận.
*Chú ý việc tóm tắt bài ton trưc khi làm.
B.MỘT SỐ VÍ DỤ
1.Để đi đoạn đường từ A đn B, mt xe my đã đi ht 3h20 phút, còn mt ôtô chỉ đi
ht 2h30phút. Tính chiều dài quãng đường AB bit rằng vận tc ca ôtô ln hơn vận
tc xe my 20km/h.
Quãng đường (km) Thời gian (h) Vận tc (km/h)
Xe my x 3h20ph =
10
3
h
10 3x
x :
3 10
=

Ôtô x 2h30ph =
5
2
h
5 2x
x :
2 5
=

Từ đó có phương trình
2x 3x
20
5 10
− =
, giải được x = 200 km.