đề thi vòng 2và đáp án vào lớp 10 KHTN Hà Nội

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HỆ THPT CHUYÊN NĂM 2010
MÔN THI: TOÁN (Vòng 2)
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề)
Câu I
1) Giải phương trình
4133 =+++ xx
2) Giải hệ phương trình
( )( )



=−++
=++
.1123
26225
22
yxyxx
xyyx
Câu II
1) Tìm tất cả các số nguyên dương n để
391
2
+n
là số chính phương.
2) Giả sử x, y, z là những số thực dương thoả mãn điều kiện
1=++ zyx
. Chứng minh
rằng
.1
1

22
22
≥
+
+++
xy
yxzxy
Câu III
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và M là điểm nằm trong tam giác. Kí hiệu H là
hình chiếu của M trên cạnh BC và P, Q, E, F lần lượt là hình chiếu của H trên các
đường thẳng MB, MC, AB, AC. Giả sử bốn điểm P, Q, E, F thẳng hàng.
1) Chứng minh rằng M là trực tâm của tam giác ABC.
2) Chứng minh rằng BEFC là tứ giác nội tiếp.
Câu IV
Trong dãy số gồm 2010 số thực khác 0 được sắp xếp theo thứ tự
201021
, ,, aaa
, ta
đánh dấu tất cả các số âm và tất cả các số mà tổng của nó với một số liên tiếp liền
ngay sau nó là một số dương. (Ví dụ với dãy số -8,-4,-1,2,-1,2,-3, ,-2005 thì các số
được đánh dấu là
2,1,4,4
5432
=−==−=
aaaa
).
Chứng minh rằng nếu trong dãy số đã cho có ít nhất một số dương thì tổng của tất cả
các số được đánh dấu là một số dương.
_____________________________
Cán bộ coi thi không giải thich gì thêm.

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI DỤ KIẾN LỜI GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH
LỚP 10
TRƯỜNG ĐẠI HỌC K.H.T.N HỆ THPT CHUYÊN NĂM 2010
MÔN THI: TOÁN (Vòng 2)
Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề)
Câu I 1)Giải phương trình
4133 =+++ xx
Cách 1 : (sử dụng tính đơn điệu ) điều kiện x
3
1−
≥

Ta nhận thấy x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình
thật vậy : -Nếu x> 1 thì vế trái
221331 +=+++>
= 4
-Nếu x< 1 thì vế trái
221331 +=+++<
= 4
vậy thấy x = 1 là nghiệm
Cách 1 : (bình phương hai vế (tự giải )
2)Giải hệ phương trình
( )( )



=−++
=++
.1123
26225

22
yxyxx
xyyx
⇔





=−+−+
=++
11.223
26225
22
22
yxyxyxx
xyyx
⇔





=+−−
=++
11.32
26225
22
22
xyxyx

yxyx
⇔





=+−−
=++
22.6224
26225
22
22
xyxyx
yxyx
cộng vế với vế ta có : 9x
2
+ 6x = 48
⇔
3x
2
+ 2x -16 = 0
⇔
x = 2 hoặc x =
3
1
3
8 −
<
−

loại
Với x = 2 ta có 5.4 + 2y
2
+4y = 26
⇔
y
2
+ 2y -3 = 0 vậy y = 1 hoặc y = -3
vậy nghiệm của hệ là ( x ;y) =
( ) ( ){ }
3;2;1;2 −

Câu II : 1)Tìm tất cả các số nguyên dương n để
391
2
+n
là số chính phương.
để
391
2
+n
là số chính phương. Thì
391
2
+n
= x
2

⇔
x

2
– n
2
= 391

⇔
( x-n) ( x+n) = 17 . 23
hoặc : ( x-n) ( x+n) = 1.391
xét ( x-n) ( x+n) = 17 . 23
⇔




=+
=−
23
17
nx
nx

⇔
2x = 40
⇔
x = 20 vậy n = 3
xét ( x-n) ( x+n) = 1 . 391
⇔





=+
=−
391
1
nx
nx

⇔
2x = 392
⇔
x = 196 vậy n = 195
2). Giả sử x, y, z là những số thực dương thoả mãn điều kiện
1=++ zyx
. Chứng minh rằng
.1
1
22
22
≥
+
+++
xy
yxzxy
Vì x, y, z là những số thực dương nên x+y
≥
2
xy
⇔
x + y + z

≥
2
xy
+ z

⇔
1
≥
2
xy
+ z
⇔
z
≥
2z
xy
+ z
2

⇔
xy +z
≥
xy+2z
xy
+ z
2

⇔
xy +z
≥

(
xy
+z)
2
⇔

zxyzxy +≥+
(1) ( do hai vế đều dương, khai căn 2 vế )
Mặt khác áp dụng BĐT Bunhia Côpxki ta có
( 1
2
+1
2
) (x
2
+ y
2
)
≥
(x+y)
2

⇔
2 x
2
+2 y
2
≥
(x+y)
2

⇔
yxyx +≥+
22
22
(2)
(do hai vế đều dương, khai căn 2 vế)
Cộng vế với vế (1) và (2) ta có
xyzyxyxzxy +++≥+++
22
22
xyyxzxy +≥+++ 122
22
suy ra
.1
1
22
22
≥
+
+++
xy
yxzxy
điều phải chứng minh
Câu III
A
B
C
M
H

P
Q
E
F
1) Ta thấy tứ giác HQFC nội tiếp ( điểm Q; F cùng nhìn HC dưới một góc vuông )

∠
FQC =
∠
FHC ( nội tiếp cùng chắn cung FC)

∠
FQC =
∠
MQP ( Đối đỉnh )
Ta thấy tứ giác MQHP nội tiếp ( điểm Q; P cùng nhìn HMdưới một góc vuông )

∠
PHM =
∠
MQP ( nội tiếp cùng chắn cung PM )
Suy ra
∠
PHM =
∠
FHC
Mà MH
⊥
BC
⇒

∠
BHP +
∠
PHM = 1V

∠
BHP +
∠
MBC = 1V
⇒

∠
MBC =
∠
FHC ( cùng phụ với
∠
BHP )
⇒
MB// HF ( Có hai góc đồng vị bằng
nhau) mà HF
⊥
AC
⇒
BM
⊥
AC suy ra BM là đường cao
Tương tự CM
⊥
AB suy ra CM là đường cao
Mà CM cắt BM tại M vậy M là trực tâm của tam giác ABC

2) do M là trực tâm của tam giác ABC nên MA
⊥
BC kết hợp MH
⊥
BC vậy M;A ; H
thẳng hàng
Ta thấy tứ giác AEHF nội tiếp ( có tổng hai góc đối diện AFH = AEH= 1V)
Nên
∠
AEF =
∠
AHF ( nội tiếp cùng chắn cung AF )
vậy
∠
AEF =
∠
FCH ( cùng phụ với gòc FHC)
mà
∠
AEF và
∠
FCH là hai góc kề đối của tứ giác BEFC vậy tứ giác BEFC nội tiếp
Câu IV:Do tổng của một số được đánh dấu với một số liền sau nó là dương nên tổng cặp số
đó dương. Do tổng dương nên có ít nhất một số hạng dương trong tổng. Mỗi tổng thu được
khi cộng các cặp số liên tiếp nhau là dương nên tổng tất cả chúng dương suy ra đpcm
Ghi chú : đây chỉ lời giải của cá nhân rất mong được các bạn đọc chỉ cho cách giải hay hơn
Ngày 13 tháng 6 năm 2010
Nguyễn Văn Thuỷ