HD de SP-2010 vong 1

Bộ giáo dục đào tạo cộng hoà x hội chủ nghĩa việt namã
Tr ờng đại học s phạm hà nội Độc Lập -Tự Do -Hạnh Phúc
Đề chính thức
đề thi tuyển sinh
Vào khối trung học phổ thông chuyên năm 2010
Môn thi: Toán học
(Dùng cho mọi thí sinh thi vào trờng chuyên)
Thời gian làm bài :120 phút
Câu 1:
4 3 2
4
2 7 6 2
3 1 (4 1) 4 29 78
2 1 6 6 3 12 36
x x x x x x
A x
x x x x x x


+ + +
= ữ

ữ ữ ữ
+ + +


1. Rút gọn biểu thức A
2. Tìm tất các giá trị nguyên của x để biểu thức A có giá trị nguyên
Câu 2:
Cho hai đờng thẳng
(d1 ): y = (2m

2
+ 1 )x + 2m 1
(d2): y = m
2
x + m 2 Với m là tham số
1. Tìm toạ độ giao điểm I của d1 và d2 theo m
2. Khi m thay đổi, hãy chứng minh điểm I luôn thuộc đờng thẳng cố định.
Câu 3 :

Giả sử cho bộ ba số thực (x;y;z) thoả mãn hệ



=++
+=+
)2(0107
)1(1
2
zzxy
zyx
1. Chứng minh x
2
+ y
2
= -z
2
+ 12z 19
2. Tìm tất cả bộ số x,y,z sao cho x
2
+ y

2
= 17
Câu 4 :
Cho hình vuông ABCD có độ dài bằng cạnh a. Trong hình vuông đo lấy điểm K sao cho
tam giác ABK đều. Các đờng thẳng BK và AD cắt nhau ở P.
1. Tính độ dài KC theo a
2. Trên AD lấy I sao cho
. 3
3
a
DI =
CI cắt BP ở H.
Chứng minh CHDP là nội tiếp.
3. Gọi M và L lần lợt là trung điểm CP và KD. Chứng minh LM =
2
a
Câu 5: Giải phơng trình : (x
2
-5x + 1)(x
2
- 4) = 6(x-1)
2
Hết
Ghi chú : Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh số báo danh
Giải đề thi tuyển sinh
Vào khối trung học phổ thông chuyên năm 2010
Môn thi: Toán học
(Dùng cho mọi thí sinh thi vào trờng chuyên)
Câu 1:

4 3 2
4
2 7 6 2
3 1 (4 1) 4 29 78
2 1 6 6 3 12 36
x x x x x x
A x
x x x x x x


+ + +
= ữ

ữ ữ ữ
+ + +


1. Rút gọn biểu thức A
2. Tìm tất các giá trị nguyên của x để biểu thức A có giá trị nguyên
H ớng dẫn
1.
)3(2
)2(3
)26)(3(
)6)(2(3
.
)6(2
26
)26)(3(
)6)(2(3

.
)6(2
82183
)26)(3(
)6)(2(3
.
)6(2
82183
)26)(3(
)6)(2(3
.
6
4
2
3
)6)(2(3
)26)(3(
:
)1)(6(
)1)(4(
.
1
1
2
3
)1262(3
78263
:
)6()6(
44

.
1
1
2
3
6
2
2
6
2
2
6
23
2
446
+

=
++
+
+
+
=
++
+
+
++
=
++
+

+
++
=
++
+






+

=








+
++

+
+








+

=








+

+++














++
+








+
+
=
x
x

xx
xx
x
x
xx
xx
x
xx
A
xx
xx
x
xx
xx
xx
x
x
A
xx
xx
xx
xx
x
x
A
xxx
xxx
xxx
xxx
x

xxx
A
2.
)3(2
)2(3
+

=
x
x
A

Xét
)15(3
3
15
3
3
15)3(3
3
)2(3
2 UxZ
xx
x
x
x
A
+
+
=

+
+
=
+

=
x+3 -15 -5 -3 -1 1 3 5 15
x -18 -8 -6 -4 -2 0 2 12
2A 4 6 8 18 -12 -2 0 2
A 2 3 4 9 -6 -1 0 1
Vậy
}{
12;2;0;2;4;6;8;18

x
thì A nguyên
Câu 2:
Cho hai đờng thẳng
(d1 ): y = (2m
2
+ 1 )x + 2m 1
(d2): y = m
2
x + m - 2 Với m là tham số
1. Tìm toạ độ giao điểm I của d
1
và d
2
theo m
2. Khi m thay đổi, hãy chứng minh điểm I luôn thuộc đờng thẳng cố định.

H ớng dẫn
1.Giải hệ







+
+
=
+
+
=








+
++
=
+
+
=

+
+
+
=
+
+
=






+=
+=+






+=
=+++

+=
++=
1
23
1
)1(
1
22
1
)1(
2
1
)1(
1
)1(
2
)1()1(
2
0212)12(
2
12)12(
2
2
2

2
2323
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
m
mm
y
m
m
x
m
mmmmm
y
m
m
x
m
m
mm
y
m
m

x
mxmy
mxm
mxmy
mxmmxm
mxmy
mxmy

ta đựợc








+
+
+
+
1
23
;
1
)1(
2
2
2
m

mm
m
m
I
2.ta có
x
m
mm
y =
+
+++
= 3
1
)1()1(3
2
2
Vởy I thuộc đờng thẳng y=-x-3 cố định
Câu 3 :

Giả sử cho bộ ba số thực (x;y;z) thoả mãn hệ



=++
+=+
)2(0107
)1(1
2
zzxy
zyx

1. Chứng minh x
2
+ y
2
= -z
2
+ 12z 19
2. Tìm tất cả bộ số x,y,z sao cho x
2
+ y
2
= 17
H ớng dẫn
1.Từ (1) ta có x-y=z-1

x
2
-2xy+y
2
=1-2z+z
2


x
2
+y
2
=2xy+1-2z+z
2
(*)

Từ (2) ta có xy=-z
2
+7z-10 thay vào (*)
ta có x
2
+ y
2
=2(=-z
2
+7z-10 )+z
2
-2z -+1

x
2
+ y
2
= -z
2
+ 12z -19 (đpcm)
2. ta có -z
2
+ 12z 19=17

z
2
-12z+36=0
0)6(
2
=

z

z=6 thay vào ta có hệ
Hệ có 2 nghiệm
(x,y,z)=(-1;4;6);(-
4;1;6)










=
=



=
=




=++
+=

=++
+=




=++
+=




=+
=
1
4
4
1
0)1)(4(
5
08102
5
017)5(
5
17
5
22222

y
x
y
x
xx
xy
xx
xy
xx
xy
yx
yx
Câu 4 :
Cho hình vuông ABCD có độ dài bằng cạnh a. Trong hình vuông đo lấy điểm K sao cho
tam giác ABK đều. Các đờng thẳng BK và AD cắt nhau ở P.
1. Tính độ dài KC theo a
2. Trên AD lấy I sao cho
. 3
3
a
DI =
CI cắt BP ở H.
Chứng minh CHDP là nội tiếp.
3.Gọi M và L lần lợt là trung điểm CP và KD. Chứng minh LM =
2
a
Q
H
E
N

L
M
I
P
K
C
B
A
D
H ớng dẫn
1.Kẻ KQ

BC trong tam gíac vuông BQK có BK=a;

KBQ=30
0
nên
2
a
KQ =
áp dụng
Pi-Ta-Go cho tam giác vuông BKQ ta có
2
3
4
2
222
aa
aKQBKBQ ===
nên

2
)32(
2
3

===
aa
aBQBCCQ
áp dụng Pi-Ta-Go cho tam giác vuông CKQ ta có
2
3410
4
3
4
)347(
2
2
22

=+

=+=
aa
a
KQCQKC
2.Xét tam giácvuông DCI có DC=a;
3
3a
DI
=

nên
3
3
==
DC
DI
DCITg
nên

DCI=30
0

theo GT ta có

KBC=30
0
suy ra

DPH=30
0
(So le)
Vởy

DPH=

DCH =30
0
nên theo QT cung chứa góc 2 điểm P ; C thuộc cung chứa góc
30
0

dựng trên DH hay tứ giác CHDP nội tiếp
3. Kẻ KE

AB thì HA=HB và KE//AP xét tam giác ABP có HA=HB; KH//AP nên
KP=KB=a gọi N là trung điểm KB thì LN//CD và
2
a
LN
=
; MN//KP;
2
a
MN
=
Vởy tam giác MNL cân tại N có
0
60
==
ABKMNL
(cạnh tơng ứng //) Nên tam gíc
MNL đều suy ra
2
a
LM
=
( đpcm)
Câu 5: Giải phơng trình : (x
2
-5x + 1)(x
2

- 4) = 6(x-1)
2
(*)
H ớng dẫn
Đặt x
2
-5x + 1-=a; x
2
- 4=b thì a-b=-5(x-1) suy ra
25
)(
)1(
2
2
ba
x

=



=
=
==+
=++=

=
ab
ba
bababababa

babababaab
ba
ab
6
6
0)6)(6(06366
06376612625
25
)(6
(*)
22
2222
2
Nếu thì a=6b ta có PT







=
+
=
=+=+=+
2
211
2
211
050255524615

2222
x
x
xxxxxxx
Nếu b=6a ta có PT




=
+=
=+=+=+
73
73
02601030546306
2222
x
x
xxxxxxx
PT(*) có 4 nghiệm
73;73;
2
211
;
2
211
43211
=+=

=

+
= xxxx
Ngời gửi ; Nguyễn Minh Sang
GV trờng THCS Lâm Thao Phú Thọ DD 0917370141
gmail:
Rất mong đợc trao đổi đề thi và đáp án HSG Toán 9 và các trờng
THPT chuyên trong cả nớc