tuyen tap 25 de thi dap an vao lop 10 nam 2010 2011

Thời gian làm bài 120 phút
Câu 1(2.0 điểm):
1) Giải phương trình:
x 1 x 1
1
2 4
− +
+ =

2) Giải hệ phương trình:
x 2y
x y 5
=


− =

Câu 2:(3.0 điểm )
a) Rút gọn biểu thức: A =
2( x 2) x
x 4
x 2
−
+
−
+
với x
≥
0 và x
≠
4.

b) Một hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 2 cm và diện tích của nó là 15
cm
2
. Tính chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật đó.
Câu 3: (2,0 điểm)
Cho phương trình: x
2
- 2x + (m – 3) = 0 (ẩn x)
a) Giải phương trình với m = 3.
a) Tính giá trị của m, biết phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
và
thỏa mãn điều kiện: x
1
2
– 2x
2
+ x
1
x
2
= - 12
b)
Câu 4:(3 điểm)
Cho tam giác MNP cân tại M có cậnh đáy nhỏ hơn cạnh bên, nội tiếp
đường tròn ( O;R). Tiếp tuyến tại N và P của đường tròn lần lượt cắt tia MP và tia
MN tại E và D.
a) Chứng minh: NE

2
= EP.EM
a) Chứng minh tứ giác DEPN kà tứ giác nội tiếp.
b) Qua P kẻ đường thẳng vuông góc với MN cắt đường tròn (O) tại K
( K không trùng với P). Chứng minh rằng: MN
2
+ NK
2
= 4R
2
.
Hết
TRƯỜNG THCS LÊ QUÝ ĐÔN ĐỀ THI THỬ MÔN TOÁN
Năm học 2010 – 2011
Giải
Câu I.
a,
x 1 x 1
1 2(x 1) 4 x 1 x 1
2 4
− +
+ = ⇔ − + = + ⇔ = −
Vậy tập nghiệm của phương trình S=
{ }
1−
b,
x 2y x 2y x 10
x y 5 2y y 5 y 5
= = =
  

⇔ ⇔
  
− = − = =
  
Vậy nghiệm của hệ (x;y) =(10;5)
Câu II.
a, với x
≥
0 và x
≠
4.
Ta có:
2( 2) 2( 2) ( 2) ( 2)( 2)
1
( 2)( 2) ( 2) ( 2)( 2) ( 2)( 2)
x x x x x x x
A
x x x x x x x
− − + − − +
= + = = =
− + + − + − +
b, Gọi chiều rộng của HCN là x (cm); x > 0
⇒
Chiều dài của HCN là : x + 2 (cm)
Theo bài ra ta có PT: x(x+2) = 15 .
Giải ra tìm được :x
1
= -5 ( loại ); x
2
= 3 ( thỏa mãn ) .

Vậy chiều rộng HCN là : 3 cm , chiều dài HCN là: 5 cm.
Câu III.
a, Với m = 3 Phương trình có dạng : x
2
- 2x
( 2) 0x x
⇔ − =
⇒
x = 0 hoặc x = 2
Vậy tập nghiệm của phương trình S=
{ }
0;2
b, Để PT có nghiệm phân biệt x
1
; x
2
thì
'
0 4 0 4 (*)m m∆ > => − > => <
.
Theo Vi-et :
1 2
1 2
2 (1)
3 (2)
x x
x x m
+ =



= −

Theo bài: x
2
1
-
2x
2
+ x
1
x
2
= - 12 => x
1
(x
1
+ x
2
) -2x
2
=-12
⇒
2x
1
- 2x
2
= -12 ) ( Theo (1) )
hay x
1
- x

2
= -6 .
Kết hợp (1)
⇒
x
1
= -2 ; x
2
= 4 Thay vào (2) được :
m - 3 = -8
⇒
m = -5 ( TM (*) )
Câu IV .
a,
∆
NEM đồng dạng
∆
PEN ( g-g)
2
.
NE ME
NE ME PE
EP NE
=> = => =
b,
·
·
MNP MPN=
( do tam giác MNP cân tại M )
·

·
·
( ùng )PNE NPD c NMP
= =
=>
·
·
DNE DPE
=
.
Hai điểm N; P cùng thuộc nửa mp bờ DE và cùng nhìn DE
dưới 1 góc bằng nhau nên tứ giác DNPE nội tiếp .
c,
∆
MPF đồng dạng
∆
MIP ( g - g )
2
. (1)
MP MI
MP MF MI
MF MP
=> = => =
.
H
E
D
F
I
P

O
N
K
M
∆
MNI đồng dạng
∆
NIF ( g-g )
2
IF
.IF(2)
NI
NI MI
MI NI
=> = => =
Từ (1) và (2) : MP
2
+ NI
2
= MI.( MF + IF ) = MI
2
= 4R
2
( 3).
·
·
NMI KPN=
( cùng phụ
·
HNP

)
=>
·
·
KPN NPI=

=> NK = NI ( 4 )
Do tam giác MNP cân tại M => MN = MP ( 5)
Từ (3) (4) (5) suy ra đpcm .
Câu V .
2
2
6 8
x 8 6 0 (1)
1
x
k k x k
x
−
= <=> + + − =
+
+) k=0 . Phương trình (1) có dạng 8x-6=0  x=
2
3
+) k
≠
0 thì (1) phải có nghiệm 
'
∆
= 16 - k (k - 6)

≥
0
2 8k
<=> − ≤ ≤
.
Max k = 8
⇔
x =
1
2
−
.
Min k = -2
⇔
x = 2 .
Sở GD& ĐT Nghệ An KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2008 - 2009
I Phần trắc nghiệm : ( 2 điểm)
Em hãy chọn một phương án đúng trong các phương án trả lời ( A, B, C, D) của từng câu sau rồi ghi
vào bài làm .
Câu 1 ( 0,5 điểm )
Đồ thị hàm số y = - 3x + 4 đi qua điểm :
A.(0;4) B.(2;0) C.(-5 ; 3) D . (1; 2)
Câu 2 ( 0,5 điểm )
bằng :
A. - 7 B 5 C.7 D. 5
Câu 3 ( 0,5 điểm )
Hình tròn đường kính 4cm thì có diện tích là :
A. 16
π

(cm
2
) B. 8
π
(cm
2
) C. 4
π
(cm
2
) D.2
π
(cm
2
)
Câu 4 ( 0,5 điểm )
Tam giác ABC vuông ở A , biết tgB = và AB = 4 . Độ dài cạnh AC là :
A.2 B .3 C.4 D.6
II) TỰ LUẬN (8điểm)
Câu 1 (3điểm)
Cho biểu thức
3 1 1
:
1
1 1
P
x
x x
 
= +

 ÷
−
+ +
 
a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P.
b) Tìm giá trị của x để P = .
c) Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức
12 1
.
1
x
M
P
x
+
=
−
.
Câu 2 (2điểm)
Hai người thợ cùng sơn cửa cho một ngôi nhà trong 2 ngày thì xong công việc. Nếu người thứ nhất
làm trong 4 ngày rồi nghỉ và người thứ 2 làm tiếp trong một ngày thì xong công việc. Hỏi nếu mỗi
người làm một mình thì bao lâu xong công việc ?
Câu 3 (3điểm)
Cho tam giác ABC vuông ở A. Đường tròn đường kính AB cắt BC tại M . Trên cung nhỏ AM lấy
điểm E. ( E
≠
A; M )Kéo dài BE cắt AC tại F.
a). Chứng minh rằng
·
·

BEM ACB =
từ đó suy ra tứ giác MEFC nội tiếp .
b) Gọi K là giao điểm ME và AC. Chứng minh AK
2
= KE . KM
c). Khi điểm E ở vị trí sao cho AE + BM = AB. Chứng minh rằng giao điểm các đường phân giác
của
·
AEM
và
·
BME
thuộc đoạn thẳng AB .
Hết
Họ và tên thí sinh : Số báo danh :
Sở GD& ĐT Nghệ An KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2008 - 2009
Đề chính thức
Đề chính thức
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC
Môn thi : Toán
( Hướng dẫn chấm này gồm 3 trang )
I . PHẦN TRẮC NGHIỆM : (2đ)
Mỗi câu trả lời đúng cho 0,5 điểm .
Câu 1 : A Câu 2 : D Câu 3 : C Câu 4 : B
Câu Nội dung Điểm
1 3 điểm
a
(1,5đ)
ĐKXĐ của P :

0
1
x
x
≥


≠

0,25
0,25
( ) ( ) ( ) ( )
3 1 1
:
1 1 1 1
P
x x x x
 
 ÷
= +
 ÷
− + + +
 
0,25
( ) ( )
3 1 1
1
1 1
x x
x x

 
+ − +
 ÷
=
 ÷
− +
 
g
0,5
2
1
x
x
+
=
−
0,25
b
(0,75đ)
Với
5 2 5
0; 1;
4 4
1
x
x x P
x
+
≥ ≠ = ⇔ =
−

0,25
4( 2) 5( 1)
13
x x
x
⇔ + = −
⇔ =
0,25

169x
⇔ =
Kết hợp với điều kiện ta cóvới x = 169 thì P = 5 /4
0,25
Với
0; 1x x≥ ≠

12 1 12 1 12
1 1 2 2
x x x x
M
p
x x x x
+ + − +
= × = × =
− − + +
0,25
( )
4 16 16 16
2 2 4
2 2 2

x
x x
x x x
− +
= = − + = + + −
+ + +
0,25

2
4
2 4
2
4
x
x
M
 
= + − +
 ÷
 ÷
+
 
⇒ ≥
( Học sinh có thể áp dụng BĐT Cối cho hai số dương
2x +
và
16
2x +

ta có

( )
16
2 2 4 4
2
M x
x
≥ + − =
+
thì vẫn cho điểm tối đa )
0,25
Đẳng thức xẩy ra
⇔
2x +
= 4

⇔
x = 4 (TMĐK)
Vậy GTNN của M là 4 khi x = 4
0,25
2 2 điểm
Gọi thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc là x ( ngày)
Gọi thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc là y ( ngày)
Điều kiện : x > 0 , y > 0 (Nếu điều kiện x > 2 , y > 2 vẫn cho điểm )
0,25
E
A
B
C
M
F

K
Một ngày người thứ nhất làm được
1
x
( công việc ) ; người thứ hai làm được
1
y

(công việc ) . Ta có phương trình
1
x
+
1
y
=
1
2
(1)
0,25
Trong 4 ngày , người thứ nhất làm được
4
x
( công việc )
Vì người thứ nhất làm trong 4 ngày rvà người thứ hai làm tiếp trong một ngày thì
xong việc nên ta có phương trình
4
x
+
1
y

= 1 (2)
0,25
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình :
1 1 1
2
4 1
1
x y
x y

+ =




+ =


0,25
Giải đúng
6
3
x
y
=


=

0,5

Đối chiếu với điều kiện thoả mãn
Vậy : Người thứ nhất làm một mình trong 6 ngày thì xong việc
Người thứ hai làm một mình trong 3 ngày thì xong việc
0,25
3 3 điểm
Vẽ hình đúng
0,25
a
(1 điểm)
Vì AC
⊥
AB nên AC là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AB
Ta có
·
1
2
ACB =
(sđ
»
AB
- sđ
¼
AM
) =
1
2
sđ
¼
BM
0,25

·
1
2
BEM =
sđ
¼
BM

·
·
BEM ACB⇒ =
0,25
Ta có
· ·
180BEM FEM+ = °
Mà
·
·
BEM FCM=
( chứng minh trên)
0,25
·
·
180FCM FEM⇒ + = °
Suy ra MÈC là tứ giác nội tiếp
0,25
Xét
AKE∆
và
MKA∆

có : +
·
AKE
chung
+
·
KAE
=
·
KMA
( bằng
1
2
sđ
»
AE
)
0,25

⇒
AKE∆
đồng dạng với
MKA∆
(g-g). 0,25
2
.
AK KE
AK KE KM
KM AK
⇒ = ⇒ =

0,25
A
B
E
I
M
P
c
1điểm
0,25
TH 1:
·
·
BEM AEM=
lúc đó tứ giác AEMB là hình thang cân có AE = BM =
2
AB
Suy ra phân giác của
·
BEM
và
·
AEM
cắt nhau tại trung điểm của AB
0,25
TH 2 :
·
·
BEM AEM≠

Không mất tính tổng quát , giả sử
·
·
BEM AEM>

Vẽ phân giác
·
BEM
cắt đeọan AB tại I
( Vì
·
0 180BEM° < < °

·
·
0 90BMI BMA⇒ ° < < ° =
, nên tia MI luôn nằm giữa hai tia MA
và MB )
Trên AB lấy điểm P sao cho AP = AE . Do AE + BM = AB nên ta có BP + BM
BMP
⇒ ∆
cân tại B .
0,25
Ta có
APE∆
cân tại A
·
·
·
·

180
2 2
BAE BME
APE EMI
°−
⇒ = = =
Suy ra tứ giác PIEM nội tiếp được
0,25
·
·
IEM BPM⇒ =
(cùng bù với )
·
IPM
. Kết hợp với (1)
·
·
1
2
IEM AEM⇒ =

Hay EI là phân giác của
·
AEM
.
Vậy phân giác của
·
AEM
và
·

BME
cắt nhau tại I thuộc đoạn AB
Kết hợp cả hai trường hợp trên , ta có ĐPCM
0,25
Ghi chú :
+ Nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì khônh chấm bài hình .
+ Học sinh làm cách khác đúng vân cho điểm tối đa .
+ Điểm bài thi glà tổng đieemr thành phần của tưnhgf câu hỏi trong đề thi , điểm lẻ đến 0,25.
Bộ giáo dục đào tạo cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam
Trường đại học sư phạm hà nội
Đ? ch?nh thức
đ? thi tuyển sinh
Vào khối trung học phổ thông chuyên năm 2010
Môn thi: Toán học
(Dùng cho mọi th? sinh thi vào trường chuyên)
Thời gian làm bài :120 phút
Câu 1:
4 3 2
4
2 7 6 2
3 1 (4 1) 4 29 78
2 1 6 6 3 12 36
x x x x x x
A x
x x x x x x
 
    
+ − − − + +
= − − ÷
 

 ÷ ÷  ÷
+ + − − + −
    
 
1. Rút gọn biểu thức A
2. Tìm tất các giá tr? nguyên của x để biểu thức A c? giá tr? nguyên
Câu 2:
Cho hai đường thẳng
(d1 ): y = (2m
2
+ 1 )x + 2m – 1
(d2): y = m
2
x + m – 2 Với m là tham số
1. Tìm toạ độ giao điểm I của d1 và d2 theo m
2. Khi m thay đổi, hãy chứng minh điểm I luôn thuộc đường thẳng cố đ?nh.
Câu 3 :

Giả sử cho bộ ba số thực (x;y;z) thoả mãn hệ



=+−+
+=+
)2(0107
)1(1
2
zzxy
zyx
1. Chứng minh x

2
+ y
2
= -z
2
+ 12z – 19
2. Tìm tất cả bộ số x,y,z sao cho x
2
+ y
2
= 17
Câu 4 :
Cho hình vuông ABCD c? độ dài bằng cạnh a. Trong hình vuông đo lấy điểm K sao cho
tam giác ABK đ?u. Các đường thẳng BK và AD cắt nhau ở P.
1. T?nh độ dài KC theo a
2. Trên AD lấy I sao cho
. 3
3
a
DI
=
CI cắt BP ở H.
Chứng minh CHDP là nội ti?p.
3. Gọi M và L lần lượt là trung điểm CP và KD. Chứng minh LM =
2
a
Câu 5: Giải phương trình : (x
2
-5x + 1)(x
2

- 4) = 6(x-1)
2
H?t
Ghi chú : Cán bộ coi thi không giải th?ch gì thêm
Họ và tên th? sinh số báo danh
Giải đ? thi tuyển sinh
Vào khối trung học phổ thông chuyên năm 2010
Môn thi: Toán học
(Dùng cho mọi th? sinh thi vào trường chuyên)
Câu 1:
4 3 2
4
2 7 6 2
3 1 (4 1) 4 29 78
2 1 6 6 3 12 36
x x x x x x
A x
x x x x x x
 
    
+ − − − + +
= − − ÷
 
 ÷ ÷  ÷
+ + − − + −
    
 
1. Rút gọn biểu thức A
2. Tìm tất các giá tr? nguyên của x để biểu thức A c? giá tr? nguyên
Hướng dẫn

1.
)3(2
)2(3
)26)(3(
)6)(2(3
.
)6(2
26
)26)(3(
)6)(2(3
.
)6(2
82183
)26)(3(
)6)(2(3
.
)6(2
82183
)26)(3(
)6)(2(3
.
6
4
2
3
)6)(2(3
)26)(3(
:
)1)(6(
)1)(4(

.
1
1
2
3
)1262(3
78263
:
)6()6(
44
.
1
1
2
3
6
2
2
6
2
2
6
23
2
446
+
−
=
++
+−

+
+
=
++
+−
+
+−+
=
++
+−
+
+−+
=
++
+−






+
−
−=









+−
++














−+
+−








+
−

−=








−+−
+++














+−+
−+−









+
−−+
−=
x
x
xx
xx
x
x
xx
xx
x
xx
A
xx
xx
x
xx
xx
xx
x
x
A
xx
xx

xx
xx
x
x
A
xxx
xxx
xxx
xxx
x
xxx
A
2.
)3(2
)2(3
+
−
=
x
x
A

X?t
)15(3
3
15
3
3
15)3(3
3

)2(3
2 UxZ
xx
x
x
x
A
∈+⇔∈
+
−=
+
−+
=
+
−
=
x+3 -15 -5 -3 -1 1 3 5 15
x -18 -8 -6 -4 -2 0 2 12
2A 4 6 8 18 -12 -2 0 2
A 2 3 4 9 -6 -1 0 1
Vậy
}{
12;2;0;2;4;6;8;18
−−−−−∈
x
thì A nguyên
Câu 2:
Cho hai đường thẳng
(d1 ): y = (2m
2

+ 1 )x + 2m – 1
(d2): y = m
2
x + m - 2 Với m là tham số
1. Tìm toạ độ giao điểm I của d
1
và d
2
theo m
2. Khi m thay đổi, hãy chứng minh điểm I luôn thuộc đường thẳng cố đ?nh.
Hướng dẫn
1.Giải hệ







+
−+−
=
+
+−
=
⇔








+
−−++−−
=
+
+−
=
⇔







−+
+
+−
=
+
+−
=
⇔






−+=
+−=+
⇔





−+=
=+−−−++
⇔





−+=
−++=
1
23
1
)1(
1
22
1
)1(
2
1
)1(
1

)1(
2
)1()1(
2
0212)12(
2
12)12(
2
2
2
2
2323
2
2
2
2
2
2
2
22
2
2
m
mm
y
m
m
x
m
mmmmm

y
m
m
x
m
m
mm
y
m
m
x
mxmy
mxm
mxmy
mxmmxm
mxmy
mxmy

ta đựợc








+
−+−
+

+−
1
23
;
1
)1(
2
2
2
m
mm
m
m
I
2.ta c?
x
m
mm
y −−=
+
+++−
= 3
1
)1()1(3
2
2
Vởy I thuộc đường thẳng y=-x-3 cố đ?nh
Câu 3 :

Giả sử cho bộ ba số thực (x;y;z) thoả mãn hệ




=+−+
+=+
)2(0107
)1(1
2
zzxy
zyx
1. Chứng minh x
2
+ y
2
= -z
2
+ 12z – 19
2. Tìm tất cả bộ số x,y,z sao cho x
2
+ y
2
= 17
Hướng dẫn
1.T? (1) ta c? x-y=z-1
⇔
x
2
-2xy+y
2
=1-2z+z

2

⇔
x
2
+y
2
=2xy+1-2z+z
2
(*)
T? (2) ta c? xy=-z
2
+7z-10 thay vào (*)
ta c? x
2
+ y
2
=2(=-z
2
+7z-10 )+z
2
-2z -+1
⇔
x
2
+ y
2
= -z
2
+ 12z -19 (đpcm)

2. ta c? -z
2
+ 12z – 19=17
⇔
z
2
-12z+36=0
0)6(
2
=−⇔
z
⇔
z=6 thay vào ta c? hệ
Hệ c? 2 nghiệm
(x,y,z)=(-1;4;6);(-
4;1;6)










=
−=




=
−=
⇔



=++
+=
⇔



=++
+=
⇔



=−++
+=
⇔



=+
−=−
1
4
4

1
0)1)(4(
5
08102
5
017)5(
5
17
5
22222
y
x
y
x
xx
xy
xx
xy
xx
xy
yx
yx
Câu 4 :
Cho hình vuông ABCD c? độ dài bằng cạnh a. Trong hình vuông đo lấy điểm K sao cho
tam giác ABK đ?u. Các đường thẳng BK và AD cắt nhau ở P.
1. T?nh độ dài KC theo a
2. Trên AD lấy I sao cho
. 3
3
a

DI
=
CI cắt BP ở H.
Chứng minh CHDP là nội ti?p.
3.Gọi M và L lần lượt là trung điểm CP và KD. Chứng minh LM =
2
a
Q
H
E
N
L
M
I
P
K
C
B
A
D
Hướng dẫn
1.Kẻ KQ
⊥
BC trong tam g?ac vuông BQK c? BK=a;
∠
KBQ=30
0
nên
2
a

KQ =
áp dụng
Pi-Ta-Go cho tam giác vuông BKQ ta c?
2
3
4
2
222
aa
aKQBKBQ =−=−=
nên
2
)32(
2
3
−
=−=−=
aa
aBQBCCQ
áp dụng Pi-Ta-Go cho tam giác vuông CKQ ta c?
2
3410
4
3
4
)347(
2
2
22
−

=+
−
=+=
aa
a
KQCQKC
2.X?t tam giácvuông DCI c? DC=a;
3
3a
DI
=
nên
3
3
==∠
DC
DI
DCITg
nên
∠
DCI=30
0

theo GT ta c?
∠
KBC=30
0
suy ra
∠
DPH=30

0
(So le)
Vởy
∠
DPH=
∠
DCH =30
0
nên theo QT cung chứa g?c 2 điểm P ; C thuộc cung chứa g?c
30
0
dựng trên DH hay tứ giác CHDP nội ti?p
3. Kẻ KE
⊥
AB thì HA=HB và KE//AP x?t tam giác ABP c? HA=HB; KH//AP nên
KP=KB=a gọi N là trung điểm KB thì LN//CD và
2
a
LN
=
; MN//KP;
2
a
MN
=
Vởy tam giác MNL cân tại N c?
0
60
=∠=∠
ABKMNL

(cạnh tương ứng //) Nên tam g?c
MNL đ?u suy ra
2
a
LM
=
( đpcm)
Câu 5: Giải phương trình : (x
2
-5x + 1)(x
2
- 4) = 6(x-1)
2
(*)
Hướng dẫn
Đặt x
2
-5x + 1-=a; x
2
- 4=b thì a-b=-5(x-1) suy ra
25
)(
)1(
2
2
ba
x
−
=−




=
=
⇔=−−⇔=+−−⇔
=+−⇔+−=⇔
−
=⇔
ab
ba
bababababa
babababaab
ba
ab
6
6
0)6)(6(06366
06376612625
25
)(6
(*)
22
2222
2
N?u thì a=6b ta c? PT







−−
=
+−
=
⇔=−+⇔=−+⇔−=+−
2
211
2
211
050255524615
2222
x
x
xxxxxxx
N?u b=6a ta c? PT




−=
+=
⇔=+−⇔=+−⇔−=+−
73
73
02601030546306
2222
x
x
xxxxxxx

PT(*) c? 4 nghiệm
73;73;
2
211
;
2
211
43211
−=+=
−−
=
+−
=
xxxx
Bộ giáo dục đào tạo cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam
Trường đại học sư phạm hà nội Độc Lập -Tự Do -Hạnh Phúc
Đ? ch?nh thức
đ? thi tuyển sinh
Vào khối trung học phổ thông chuyên năm 2010
Môn thi: Toán học
(Dùng cho mọi th? sinh thi vào chuyên Toán và chuyên Tin)
Thời gian làm bài :150 phút
Câu 1:
1.Giả sử a và b là hai số dương khác nhau và thoả mãn
22
11 abba −−−=−
Chứng minh rằng
1
22
=+

ba
2.Chứng minh rằng số
2222
20102010.20092009
++
là số nguyên dương
Câu 2:
Giải sử 4 số thực a , b, c, c, d đôi 1 khác nhau và thoả mãn hai đi?u kiện sau
i) Phương trình
052
2
=−−
dcxx
c? 2 nghiêm a và b
ii) Phương trình
052
2
=−−
baxx
c? 2 nghiêm c và d
Chứng minh rằng
1. a-c=c-b=d-a
2. a+b+c+d=30
Câu 3 Giả sử m và n là những số nguyên dương với n>1 .Đặt
nmnmS 44
22
+−=
Chứng minh rằng:
1.N?u m>n thì
( )

422
2
2
2 nmSnmn
<<−
2.N?u S là số ch?nh phương thì m=n
Câu 4 Cho tam g?ac ABC với AB>AC ,AB >BC.Trên cạnh AB của tam giác lấy
các điểm M và N sao cho BC=BM và AC=AN
1.Chứng minh điểm N thuộc đoạn thẳng BM
2.Qua M và N ta kẻ đường thẳng MP song song với BC và NQ song song
với CA
);( CBQCAP
∈∈
.Chứng minh CP=CQ.
3.Cho g?c ACB=90
0
, g?c CAB=30
0
và AB= a .
T?nh diện t?ch tam giác MCN theo a.
Câu 5 Trên bảng đen vi?t ba số
2
1
;2;2
.Ta bắt đầu thực hiện trò chơi như sau :
Mỗi lần chơi ta xoá hai số nào đ? trong ba số trên bảng ,giả sử là a và b rồi vi?t vào 2 v?
tr? v?a xoá hai số mới
2
ba
+

và
2
ba −
đồng thời giữ nguyên số còn lại .Như vậy sau mỗi
lần chơi trên bảng luôn c? ba số .Chứng minh rằng dù ta c? chơi bao nhiêu lần đi chăng
nữa thì trên bảng không đồng thời c? ba số
21;2;
22
1
+
.
H?t
Ghi chú : Cán bộ coi thi không giải th?ch gì thêm
Họ và tên th? sinh số báo danh
Giải đ? thi tuyển sinh
Vào khối trung học phổ thông chuyên năm 2010
Môn thi: Toán học
(Dùng cho mọi th? sinh thi vào chuyên Toán và chuyên Tin)
Câu 1:
1.Giả sử a và b là hai số dương khác nhau và thoả mãn
22
11 abba
−−−=−
Chứng minh rằng
1
22
=+
ba
2.Chứng minh rằng số
2222

20102010.20092009
++
là số nguyên dương
Hướng dẫn
1. t? GT
)(;
11
))((
11
11
2222
22
22
ba
ab
baba
ab
ba
abba ≠
−+−
+−
=
−+−
−
=−−−=−
suy ra
22
11 abba −+−=+
ta c? hệ
1

1
1
11
11
22
2
2
22
22
=+⇒





−=
−=
⇔





−−−=−
−+−=+
ba
ab
ba
abba
abba

2 Đặt a= 2009 ta c?
2222
20102010.20092009
++
=
Zaaaaaaaaaaaa
∈++=++=++++=++++
1)1(1)1(2)1.()1()1.(
222222222
Câu 2:
Giải sử 4 số thực a , b, c, c, d đôi 1 khác nhau và thoả mãn hai đi?u kiện sau
iii) Phương trình
052
2
=−−
dcxx
c? 2 nghiêm a và b
iv) Phương trình
052
2
=−−
baxx
c? 2 nghiêm c và d
Chứng minh rằng
1. a-c=c-b=d-a
2. a+b+c+d=30
Hướng dẫn
1. Vì a,b là nghiệm PT (1) theo Vi-?t ta c?




−=
=+
)2(5
)1(2
dab
cba
Vì a,b là nghiệm PT (1) theo Vi-?t ta c?



−=
=+
)4(5
)3(2
bcd
adc
T? (1) ta c? a-c=c-b t? (3) ta c? c-a=a-d nên a-c=c-b=d-a
2.nhân (2) và (4) ta c? abcd=25bd suy ra ac=25
Mặt khác a là nghiệm PT(1) nên
)5(505052
22
=−⇒=−−
dadcaa
c là nghiệm PT(1) nên
)6(505052
22
=−⇒=−−
bcbcac
t? (5) và (6) ta c?

)(30:;15
0150)(5)(100)(52)(100)(5
2222
dpcmdcbadacamaca
cacacaaccadbca
=+++⇒+=+=+⇔
=−+−+⇔=+−−+⇔=+−+
Câu 3 Giả sử m và n là những số nguyên dương với n>1 .Đặt
nmnmS 44
22
+−=
Chứng minh rằng:
1.N?u m>n thì
( )
422
2
2
2 nmSnmn
<<−
2.N?u S là số ch?nh phương thì m=n
Hướng dẫn
1.ta chứng minh
( )
42222
2
2
)44(2 nmnmnmnmn
<+−<−
Bằng cách x?t hiệu
( )

1:;044444
)44(2
33242242
222
2
2
><−=−+−+−=
+−−−=
nvinnmnnmmnnmH
nmnmnmnH
Mặt khác
0)(4)44(
242222
>−=−+−
nmnnmnmnmn
vì n>1; m>n
2.Ta chứng minh
( ) ( )
22
22
+<<−
mnSmn

x?t S=(mn-1)
2
thì
12441244
2222
=−−⇔+−=+−
mnmnmnnmnmnm

không tồn tại m,n vì v? phải chẵn
X?t S=(mn+1)
2
thì
12441244
2222
=+−⇔++=+−
mnmnmnnmnmnm
không tồn tại m,n vì v? phải chẵn
T? đ? ta c? S=m
2
n
2
thì
04444
2222
=−⇔=+−
mnnmnmnm
suy ra m=n
Câu 4 Cho tam g?ac ABC với AB>AC ,AB >BC.Trên cạnh AB của tam giác lấy
các điểm M và N sao cho BC=BM và AC=AN
1.Chứng minh điểm N thuộc đoạn thẳng BM
2.Qua M và N ta kẻ đường thẳng MP song song với BC và NQ song song
với CA
);( CBQCAP
∈∈
.Chứng minh CP=CQ.
3.Cho g?c ACB=90
0

, g?c CAB=30
0
và AB= a .
T?nh diện t?ch tam giác MCN theo a.
Hướng dẫn
H
P
Q
N
M
A
B
C
1. Ta c? BN=AB-AN=AB-AC<BC=BM ( bđt tam giác) vậy N
∈
BM
2. Ta c?
)1(
.
AB
MBAC
PC
MB
AB
PC
AC
=⇒=

)2(
.

AB
NABC
QC
NA
AB
QC
BC
=⇒=
Mà MB=BC; NA=AC k?t hợp với (1) và (2) ta c? CP=CQ (đpcm)
3.N?u ACB=90
0
, g?c CAB=30
0
và AB= a .thì
2
3
;
2
a
AC
a
BC
==
ta c? MN=AN-AM=AC-AM=AC-(AB-BM)=AC-AB+BC=
2
)13( a−
Kẻ CH
⊥
AB thì
4

3
:
4
3.

2
a
a
a
AB
CBCA
CHCBCACHAB ===⇒=
Vậy:
16
)33(
4
3
.
2
)13(
.
2
1
.
2
1
2
aaa
CHMNS
CMN

−
=
−
==
( đvdt)
Câu 5 Trên bảng đen vi?t ba số
2
1
;2;2
.Ta bắt đầu thực hiện trò chơi như sau :
Mỗi lần chơi ta xoá hai số nào đ? trong ba số trên bảng ,giả sử là a và b rồi vi?t vào 2 v?
tr? v?a xoá hai số mới
2
ba
+
và
2
ba −
đồng thời giữ nguyên số còn lại .Như vậy sau mỗi
lần chơi trên bảng luôn c? ba số .Chứng minh rằng dù ta c? chơi bao nhiêu lần đi chăng
nữa thì trên bảng không đồng thời c? ba số
21;2;
22
1
+
.
Hướng dẫn
Ta c?
22
2222

2
2
2
22
22
ba
babababa
ba
ba
+=
+−+++
=








−
+





 +
Như vậy sau khi xoá 2 số a; b thay bởi hai số mới
2

ba
+
và
2
ba −
thì tổng bình phương hai
số mới không đổi nên tổng bình phương của ba số trên bảng không đổi bằng
2
13
2
1
42
=++
mà tổng bình phương ba số
21;2;
22
1
+
là
2
13
)2232
8
1
(
≠+++
( đpcm)
H?t
ĐỀ SỐ 1.
SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

QUẢNG TRỊ Khóa ngày 2 tháng 7 năm 2006
MƠN: TỐN
( Thời gian 120 phút, khơng kể thời gian giao
đề )
Phần I : Traộc nghieọm khaựch quan ( 2.0 ủieồm )
Ch?n ch? cỏi đ?ng trý?c cõu tr? l?i đỳng nh?t.
1. Bieồu thửực
2
1 4x
x
−
xaực ủ?nh vụựi giaự tr? naứo sau ủãy cuỷa x ?
A. x ?
1
4
B. x ?
1
4
C. x ?
1
4
vaứ x ? 0 D. x ? 0
2. Caực ủửụứng thaỳng sau, ủửụứng thaỳng naứo song song vụựi ủửụứng thaỳng y
= 1 - 2x
A. y = 2x - 1 B.
( )
2 1 2y x= −
C. y = 2 - x D.
( )
2 1 2y x= −

3. Hai heọ phửụng tr?nh
3 3
1
kx y
x y
− = −


− =

vaứ
3 3 3
1
x y
x y
+ =


− =

laứ tửụng ủửụng khi k baống
A. -3 B. 3 C. 1 D. -1
4. ẹieồm
1
2;
2
Q
 
−
 ÷

 
thuoọc ủồ th? haứm soỏ naứo trong caực haứm soỏ sau
ủãy ?
A.
2
2
2
y x=
B.
2
2
2
y x= −
C.
2
2
4
y x=
D.
2
2
4
y x= −
5. Tam giaực GEF vuõng tái E, coự EH laứ ủửụứng cao . ẹoọ daứi ủoán GH =
4, HF = 9. Khi ủoự ủoọ daứi ủoán EF baống :
A. 13 B.
13
C. 2
13
D. 3

13
6. Tam giaực ABC vuõng tái A, coự AC = 3a, AB = 3
3
a, khi ủoự sinB baống
A.
3
2
a
B.
1
2
C.
3
2
D.
1
2
a
7. Cho tam giaực ABC vuõng tái A, coự AB = 18cm, AC = 24cm . Baựn kớnh
ủửụứng troứn ngoái tieỏp tam giaực ủoự baống .
A. 30cm B.
15 2cm
C. 20cm D. 15cm
8. Cho tam giaực ABC vuõng tái A, AC = 6cm, AB = 8cm. Quay tam giaực ủoự
moọt voứng quanh cánh AC coỏ ủ?nh ủửụùc moọt h?nh noựn . Dieọn tớch toaứn phần
h?nh noựn ủoự laứ
A. 96π cm
2
B. 100 π cm
2

C. 144 π cm
2
D. 150 π cm
2
Phần II : Tửù luaọn ( 8.0 ủieồm )
Baứi 1: ( 1,5 ủieồm )
Cho phửụng tr?nh baọc hai, aồn soỏ x: x
2
- 4x + m + 1 = 0
1. Giaỷi phửụng tr?nh khi m = 3
2. Vụựi giaự tr? naứo cuỷa m th? phửụng tr?nh coự nghieọm.
3. T?m giaự tr? cuỷa m sao cho phửụng tr?nh ủa? cho coự 2 nghieọm x
1
, x
2
thoaỷ ma?n
ủieàu kieọn x
1
2
+ x
2
2
= 10
Baứi 2 : ( 1 ủieồm )
Giaỷi heọ phửụng tr?nh :
3 2 2 1
2 2 3
x y
x y


− − + =


− + + =


Baứi 3: ( 1,5 ủieồm )
Ruựt goùn bieồu thửực :
1.
6 3 3 6 3 3A = + + −
2.
( ) ( )
5 2 6 49 20 6 5 2 6
9 3 11 2
B
+ − −
=
−
Baứi 4: ( 4 ủieồm )
Cho ủoaùn thaỳng AB vaứ moọt ủieồm C naốm giử?a A vaứ B. Treõn moọt nửỷa maởt
phaỳng coự bụứ laứ ủửụứng thaỳng AB, keỷ hai tia Ax vaứ By cuứng vuoõng goực vụựi
AB. Treõn tia Ax laỏy moọt ủieồm I . Tia vuoõng goực vụựi CI taùi C caột tia By taùi K.
ẹửụứng troứn ủửụứng kớnh IC caột IK ụỷ P.
1. Chửựng minh tửự giaực CPKB noọi tieỏp
2. Chửựng minh AI.BK = AC.CB
3. Chửựng minh tam giaực APB vuoõng .
4. Giaỷ sửỷ A, B, I coỏ ủ?nh . Ha?y xaực ủ?nh v? trớ cuỷa C sao cho tửự giaực
ABKI coự dieọn tớch lụựn nhaỏt .
éÁP ÁN
é? S? 1.

I/ Trắc nghiệm khách quan.
1- C 2 - b 3 - a 4 - c
5 - d 6 - b 7 - d 8 - c
II/ tự luận.
Bài 1:
1. Khi m = 3, phương trình đã cho trở thành : x
2
- 4x + 4 = 0 ⇒ (x - 2)
2
= 0 ⇒ x = 2 là
nghiệm k?p của phương trình.
2. Phương trình c? nghiệm ⇔ ∆’ ? 0 ⇔ (-2)
2
-1(m + 1) ? 0 ⇔ 4 - m -1 ? 0 ⇔ m ? 3.
Vậy với m ? 3 thì phương trình đã cho c? nghiệm.
3. Với m ? 3 thì phương trình đã cho c? hai nghiệm . Gọi hai nghiệm của phương
trình là x
1
, x
2
.Theo đ?nh l? Vi?t ta c? : x
1
+ x
2
= 4 (1), x
1
.x
2
= m + 1 (2). Mặt khác
theo gt : x

1
2
+ x
2
2
= 10 ⇒ (x
1
+ x
2
)
2
- 2 x
1
.x
2
= 10 (3). T? (1), (2), (3) ta được :16 -
2(m + 1) = 10 ⇒ m = 2 < 3(thoả mãn) . Vậy với m = 2 thì phương trình đã cho c? 2
nghiệm thoả mãn đi?u kiện x
1
2
+ x
2
2
= 10.
Bài 2:
Đi?u kiện để hệ c? nghiệm:
2 0 2
2 0 2
x x
y y

− ≥ ≥
 
⇔
 
+ ≥ ≥ −
 
. Đặt
2 0
2 0
x a
y b

− = ≥


+ = ≥


Khi đ? hệ phương trình
đã cho trở thành :
3 1
3
a b
a b
− =


+ =

.Giải hệ này ta được

1 0
2 0
a
b
= ≥


= ≥

(TM).
Với
1
2
a
b
=


=

ta c? :
2 1
2 1 3
2 4 2
2 2
x
x x
y y
y


− =
− = =
 

⇔ ⇔
  
+ = =
+ =
 


(TM).Vậy (x;y) = (3 ; 2) là nghiệm của hệ
phương trình đã cho.
Bài 3:
1. Ta c?

( ) ( ) ( )
2
2 2
6 3 3 6 3 3 2 6 3 3 6 3 3 12 2 6 3 3
12 2 3 18
A = + + − + + − = + − =
= + × =
⇒ A =
3 2
(vì A > 0)

2.
( )
( )

( )
( )
( )
2
2 3
2
2
5 2 6 3
5 2 6 3
5 2 6
5 2 6
9 3 11 2 9 3 11 2 9 3 11 2
9 3 11 2
1
9 3 11 2
B
−
−
−
−
−
+
= = = =
− − −
−
= =
−
Bài 4:
2. Ta c? KC ⊥ CI (gt), CB ⊥ AC (gt) ⇒
·

·
CKB ICA=
(cặp g?c nhọn c? cạnh tương ứng
vuông g?c).X?t hai tam giác vuông AIC và BCK (
µ µ
0
90A B= =
) c?
·
·
CKB ICA=
(cm/t) .Suy ra
∆AIC đồng dạng với ∆BCK. T? đ? suy ra
AI BC
AI BK BC AC
AC BK
= ⇒ × = ×
(đpcm).
3. Tứ giác CPKB nội ti?p (câu 1)
·
·
PBC PKC=
(1) (2 g?c nội ti?p cùng chắn một
cung). Lại c?
·
0
90IAC =
(gt) ⇒ A∈
;
2

IC
O
 
 ÷
 
, mặt khác P ∈
;
2
IC
O
 
 ÷
 
(cm/t) .T? đ? suy ra tứ
giác AIPC nội ti?p ⇒
·
·
PIC PAC=
(2). Cộng v? theo v? của (1) và (2) ta được :
· ·
·
·
PBC PAC PKC PIC+ = +
.Mặt khác tam giác ICK vuông tại C (gt) suy ra
·
·
0
90PKC PIC+ =
⇒
· ·

0
90PBC PAC+ =
, hay tam giác APB vuông tại P.(đpcm)
4. IA // KB (cùng vuông g?c với AC) .Do đ? tứ giác ABKI là hình thang vuông. Suy
ra
( )
ABKI
=
2
AI BK AB
s
+
⇒ Max SABKI ⇔ Max
( )
AI BK AB+
nhưng A, I, B cố đ?nh do đ?
AI, AB không đổi .Suy ra Max
( )
AI BK AB+
⇔ Max BK . Mặt khác
AC CB
BK
AI
×
=
(theo
câu 2) .Nên Max BK ⇔ Max AC.CB . Mà
( )
2
2

4 4
AC CB
AB
AC CB
+
× ≤ =
(không đổi) .
Dấu “=” xảy ra ⇔ AC = BC ⇔ C là trung điểm của AB . Vậy khi C là trung điểm của AC
thì SABKI là lớn nhất .
é? S? 2.
S? GIÁO D?C & éÀO T?O K? THI TUY?N SINH VÀO L?P 10
QU?NG B?NH Khúa ngày 3 thỏng 7 nóm 2006
MễN: TOÁN
( Th?i gian 120 phỳt, khụng k? th?i gian giao
đ? )
Câu 1: ( 2 điểm )
1) Phân t?ch x
2
– 9 thành t?ch.
2) x = 1 c? là nghiệm của phương trình x
2
– 5x + 4 = 0 không ?
Câu 2: ( 2 điểm )
1) Hàm số y = - 2x + 3 đồng bi?n hay ngh?ch bi?n ?
2) Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng y = - 2x + 3 với trục Ox, Oy
Câu 3: ( 1,5 điểm )
Tìm t?ch của hai số bi?t tổng của chúng bằng 17. N?u tăng số thứ nhất lên 3 đơn v? và
số thứ hai lên 2 đơn v? thì t?ch của chúng tăng lên 45 đơn v?.
Câu 4: ( 1,5 điểm )
Rút gọn biểu thức: P =

2 1
:
a b ab
a b a b
+ −
− +
với a, b
≥
0 và a ? b
Câu 5: ( 2 điểm )
Cho tam giác ABC cân tại B, các đường cao AD, BE cắt nhau tại H. Đường thẳng d
đi qua A và vuông g?c với AB cắt tia BE tại F
1) Chứng minh rằng: AF // CH
2) Tứ giác AHCF là hình gì ?
Câu 6: ( 1 điểm )
Tìm giá tr? lớn nhất của A = (2x – x
2
)(y – 2y
2
) với 0
≤
x
≤
2
0
≤
y
≤

1

2
éÁP ÁN
é? S? 2.
Câu 1.
1) Phân t?ch x
2
– 9 thành t?ch
x
2
– 9 = (x + 3)(x - 3)
2) x = 1 c? là nghiệm của phương trình x
2
– 5x + 4 = 0 không ?
Thay x = 1 vào phương trình ta thấy: 1 – 5 + 4 = 0 nên x = 1 là nghiệm của phương trình.
Câu 2.
1) Hàm số y = - 2x + 3 đồng bi?n hay ngh?ch bi?n ?
Hàm số y = - 2x + 3 là hàm ngh?ch bi?n vì c? a = -2 < 0
2) Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng y = - 2x + 3 với trục Ox, Oy
Với x = 0 thì y = 3 suy ra toạ độ giao điểm của đường thẳng y = - 2x + 3 với trục Ox là:
(0; 3)
Với y = 0 thì x =
3
2
suy ra toạ độ giao điểm của đường thẳng y = - 2x + 3 với trục
Oylà: (
3
2
; 0)
Câu 3.
Tìm t?ch của hai số bi?t tổng của chúng bằng 17. N?u tăng số thứ nhất lên 3 đơn v? và

số thứ hai lên 2 đơn v? thì t?ch của chúng tăng lên 45 đơn v?.
Gọi số thứ nhất là x, số thứ hai là y
Vì tổng của hai số bằng 17 nên ta c? phương trình: x + y = 17 (1)
Khi tăng số thứ nhất lên 3 đơn v? thì số thứ nhất sẽ là x + 3 và số thứ hai lên 2 đơn v? thì
số thứ hai sẽ là y + 2.
Vì t?ch của chúng tăng lên 45 đơn v? nên ta c? phương trình:
(x + 3)(y + 2) = xy + 45
⇔ 2x + 3y = 39 (2)
T? (1) và (2) ta c? hệ phương trình:
17
2 3 39
x y
x y
+ =


+ =

Giải hệ phương trình ta được
12
5
x
y
=


=

Câu 4.
Rút gọn biểu thức: P =

2 1
:
a b ab
a b a b
+ −
− +
với a, b
≥
0 và a ? b
P =
( )
( ) ( )
2
.( ) .
a b
a b a b a b a b
a b
−
+ = − + = −
−
với a, b
≥
0 và a ? b
Câu 5.
Cho tam giác ABC cân tại B, các đường cao AD, BE cắt nhau tại H. Đường thẳng d
đi qua A và vuông g?c với AB cắt tia BE tại F
a) Chứng minh rằng: AF // CH
b) Tứ giác AHCF là hình gì ?
H
d

F
E
D
C
A
B
a) Ta c? H là trực tâm tam giác ABC suy ra CH AB
d AB suy ra AF AB suy ra CH // AF
b) Tam giác ABC cân tại B c? BE là đường cao nên BE đồng thời là đường trung trực suy
ra EA = EC , HA = HC, FA = FC
Tam giác AEF = tam giác CEH nên HC=AF suy ra AH = HC = AF = FC nên tứ giác
AHCF là hình thoi
Câu 6.
Tìm giá tr? lớn nhất của A = (2x – x
2
)(y – 2y
2
) với 0
≤
x
≤
2
0
≤
y
≤

1
2
Với 0

≤
x
≤
2 0
≤
y
≤

1
2
thì 2x-x
2
≥
0 và y – 2y
2

≥
0
áp dụng bất đẳng thức Cô si ta c? 2x – x
2
= x(2 - x)
≤

2
x 2
1
2
x+ −
 
=

 ÷
 
y – 2y
2
= y(1 – 2y ) =
2
1 1 2 1 2 1
.2 (1 2 )
2 2 2 8
y y
y y
+ −
 
− ≤ =
 ÷
 
⇒
(2x – x
2
)(y – 2y
2
)
≤

1
8
Dấu “=” xảy ra khi x = 1, y =
1
4
Vậy GTLN của A là

1
8
⇔ x = 1, y =
1
4

S 3.
S GIO DC & O TO K THI TUYN SINH VO LP 10
LNG SN MễN: TON
( Thi gian 120 phỳt, khụng k thi gian giao
)
Bài 1: ( 2 điểm ).
Tính giá trị của biểu thức:
a)
2
A 1 (1 2)= +
b)
3 3
B 9 80 9 80= + +
Bài 2: ( 1 điểm ).
Giải phơng trình: x
4
+ 2008x
3
- 2008x
2
+ 2008x - 2009 = 0
Bài 3: ( 1 điểm ).
Giải hệ phơng trình:
x y 2

3x 2y 6
=


=


Bài 4: ( 2 điểm ).
Một đội công nhân hoàn thành một công việc, công việc đó đợc định mức 420 ngày công
thợ. Hãy tính số công nhân của đội, biết rằng nếu đội tăng thêm 5 ngời thì số ngày để hoàn
thành công việc sẽ giảm đi 7 ngày, giả thiết năng suất của các công nhân là nh nhau.
Bài 5: ( 4 điểm ).
Cho tam giác ABC vuông ở A và có AB > AC, đờng cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC
chứa điểm A, vẽ nửa đờng tròn đờng kính BH cắt AB tại E, nửa đờng tròn đờng kính HC
cắt AC tại F.
a) Chứng minh tứ giác AEHF là hình chữ nhật.
b) Chứng minh tứ giác BEFC là tứ giác nội tiếp.
c) Chứng minh AE.AB = AF.AC.
d) Gọi O là giao điểm của AH và EF. Chứng minh: p < OA + OB + OC < 2p, trong
đó 2p = AB + BC + CA.