HD giai de KHTN -2010 (vong 2)

Lời giải tóm tắt đề thi môn Toán vào các trờng PTTH chuyên năm học 2010-2011
I HC QUC GIA H NI THI TUYN SINH LP 10
TRNG I HC KHOA HC T NHIấN H THPT CHUYấN NM 2010
MễN THI: TON (Vũng 2)
Thi gian lm bi: 150 phỳt (Khụng k thi gian phỏt )
Cõu I
1) Gii phng trỡnh
4133 =+++ xx
2) Gii h phng trỡnh
( )( )



=++
=++
.1123
26225
22
yxyxx
xyyx
Cõu II
1) Tỡm tt c cỏc s nguyờn dng n
391
2
+n
l s chớnh phng.
2) Gi s x, y, z l nhng s thc dng tho món iu kin
1=++ zyx
. Chng minh
rng
.1

1
22
22

+
+++
xy
yxzxy
Cõu III
Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhn v M l im nm trong tam giỏc. Kớ hiu H l hỡnh
chiu ca M trờn cnh BC v P, Q, E, F ln lt l hỡnh chiu ca H trờn cỏc ng
thng MB, MC, AB, AC. Gi s bn im P, Q, E, F thng hng.
1) Chng minh rng M l trc tõm ca tam giỏc ABC.
2) Chng minh rng BEFC l t giỏc ni tip.
Cõu IV
Trong dóy s gm 2010 s thc khỏc 0 c sp xp theo th t
201021
, ,, aaa
, ta ỏnh
du tt c cỏc s dơng v tt c cỏc s m tng ca nú vi mt s số liờn tip lin ngay
sau nú l mt s dng. (Vớ d vi dóy s -8,-4,4,-1,2,-1,2,-3, ,-2005 thỡ cỏc s c
ỏnh du l
2,1,4,4
5432
====
aaaa
).
Chng minh rng nu trong dóy s ó cho cú ớt nht mt s dng thỡ tng ca tt c
cỏc s c ỏnh du l mt s dng.
_____________________________

Cỏn b coi thi khụng gii thich gỡ thờm.
Ghi chú : Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh số báo danh
Biên tập: Nguyễn Minh Sang GV Trờng THCS Lâm Thao-Phú Thọ
1
Lời giải tóm tắt đề thi môn Toán vào các trờng PTTH chuyên năm học 2010-2011
HD giải đề thi MễN TON (Vũng 2)
Thi gian lm bi: 150 phỳt (Khụng k thi gian phỏt )
Cõu I
3) Gii phng trỡnh
4133 =+++ xx
4) Gii h phng trỡnh
( )( )



=++
=++
.1123
26225
22
yxyxx
xyyx
H ớng dẫn
1) x=1 xét x< 1 VT<4; x>1 VT>4
2)
( )( )

=+
=++






=+
=++




=++
=++
)2(222246
)1(26225
1123
26225
.1123
26225
22
22
22
22
22
yxyxx

xyyx
yxyxx
xyyx
yxyxx
xyyx
Cộng
(1) và (2) ta có PT
0)2)(83(01623
2
=+=+
xxxx
Với
3
8
=x
thay vào PT(1) vô nghiệm
Với
2=x
thay vào PT(1) ta đợc y=1 hoặc y=-3
Vậy hệ có 2 nghiệm (x;y)=(2;1);(2-3)
Cõu II
3) Tỡm tt c cỏc s nguyờn dng n
391
2
+n
l s chớnh phng.
4) Gi s x, y, z l nhng s thc dng tho món iu kin
1=++ zyx
. Chng minh
rng

.1
1
22
22

+
+++
xy
yxzxy
H ớng dẫn
1)ta có
391
2
+n
là số chính phơng nên
22
391 kn =+

)( Nk
391))((391
22
=+=+
knknkn
mà 391=-1.391=1.(-391)=-17.23=17.(-23)
Ta có n-k<n+k nên
n-k -391 -1 -23 -17
n+k 1 391 17 23
n -195( loại) 195 -3(loai) 3
Vậy n =3 hoặc n=195
2)

xyyxzxy
xy
yxzxy
++++
+
+++
122.1
1
22
22
22
áp dngj BĐT Bunhiacopsky cho 2 dãy x ; y và 1; 1 ta có
yxyxyxyx
++++
)(2)()(2
22222
Biên tập: Nguyễn Minh Sang GV Trờng THCS Lâm Thao-Phú Thọ
2
Lời giải tóm tắt đề thi môn Toán vào các trờng PTTH chuyên năm học 2010-2011
Nên
yxzxyyxzxy
++++++
22
22
ta phải chứng minh
)(22122
111
22
dungxyyxxyzxyzzzxyxyzzzxy
xyzzxyxyzzxyxyyxzxy

++++
+++++++++
Dờu = xảy ra khi
2
1 z
yx

==
Cõu III
Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhn v M l im nm trong tam giỏc. Kớ hiu H l hỡnh
chiu ca M trờn cnh BC v P, Q, E, F ln lt l hỡnh chiu ca H trờn cỏc ng
thng MB, MC, AB, AC. Gi s bn im P, Q, E, F thng hng.
3) Chng minh rng M l trc tõm ca tam giỏc ABC.
4) Chng minh rng BEFC l t giỏc ni tip.
H ớng dẫn
P
Q
E
F
M
H
B
C
A
1)Vì t giác BEPH nội tiếp nên
EPBEHB
=
(1) vì E;P;Q thẳng hàng nên
EPBMPQ
=

(2). Vì t giác MQHP nội tiếp nên
MHQMPQ
=
(3) Ta có
MHC

vuông tại H có
MCHQ
suy ra
MHQMCH
=
(4) từ (1); (2) ; (3) ;(4) ta có
MCHEHB
=
ở vị trí đồng vị nên HE//CM mà
(*)ABCMABHE

Tơng tự
(**)ACBM
từ (*) và (**) ta có M là trực Tâm tam giác ABC
2)Vì M là trực tâm tam giác ABC nên A,M,H thẳng hàng ta có
00
90;90 == AFHAEH
nên tứ
giác AEHF nội tiếp đờng kính AH nên
AHEAFE
=
( nội tiếp chắn cung AE) mà
AHEEBH
=

( cùng phụ
BHE
)
Vậy
EBHAFE
=
mà
00
180180
=+=+
EFCEBHEFCAFE
Nên tứ giác BEFC nội tiếp
Biên tập: Nguyễn Minh Sang GV Trờng THCS Lâm Thao-Phú Thọ
3
Lời giải tóm tắt đề thi môn Toán vào các trờng PTTH chuyên năm học 2010-2011
Cõu IV
Trong dóy s gm 2010 s thc khỏc 0 c sp xp theo th t
201021
, ,, aaa
, ta ỏnh
du tt c cỏc s õm v tt c cỏc s m tng ca nú vi mt số s liờn tip lin ngay sau
nú l mt s dng. (Vớ d vi dóy s -8,-4,4,-1,2,-1,2,-3, ,-2005 thỡ cỏc s c ỏnh
du l
2,1,4,4
5432
==== aaaa
).
Chng minh rng nu trong dóy s ó cho cú ớt nht mt s dng thỡ tng ca tt c
cỏc s c ỏnh du l mt s dng.
H ớng dẫn

Xét các số đợc đánh dấu a
1
;a
2
;a
3
a
n
(n
)2010; < nN
-Nếu dãy có tất cả các số dơng thì ta có đpcm
-Nếu có số âm đợc đánh dấu thi các liền sau số âm phải là số dơng ( Giá trị tuyệt đối số số
tổng các dơng lớn hơn GTTĐ số âm) vì số âm cộng với số liền sau nó ra kết quả là số dơng
suy ra số liền sau số âm đó cũng đợc đánh dấu suy ra tổng luôn là só dơng
Biên tập: Nguyễn Minh Sang GV Trờng THCS Lâm Thao-Phú Thọ
4
Ngời gửi ; Nguyễn Minh Sang
GV trờng THCS Lâm Thao Phú Thọ DD 0917370141
gmail:
Tôi có đề thi và HD giải các đề thi vào chuyên NN ; Chuyên ĐHSP;
ĐHKHTN ,Chuyên Hùng Vơng Phú thọ từ năm học 2004-2005 đến
nay rất mong đợc trao đổi đề thi và đáp án HSG Toán 9 cấp huyện và
cấp tỉnh và đề thi vào lớp 10 các trờng THPT chuyên trong cả nớc
với các bạn đồng nghiệp mọi liên hệ gửi về