Đề+đáp án thi vào lớp 10 của các tỉnh P1

Sở GD&ĐT Hà Nội Đề thi tuyển sinh lớp 10
Năm học: 2009 2010.
Môn: Toán.
Ngày thi: 23 - 6 2009.
Thời gian làm bài: 120 phút.
Câu I(2,5đ): Cho biểu thức A =
1 1
4
2 2
x
x
x x
+ +

+
, với x 0 và x 4.
1/ Rút gọn biểu thức A.
2/ Tính giá trị của biểu thức A khi x = 25.
3/ Tìm giá trị của x để A = -1/3.
Câu II (2,5đ): Giải bài toán bằng cách lập phơng trình hoặc hệ phơng trình:
Hai tổ sản xuất cùng may một loại áo. Nếu tổ thứ nhất may trong 3 ngày, tổ thứ hai may
trong 5 ngày thì cả hai tổ may đợc 1310 chiếc áo. Biết rằng trong một ngày tổ thứ nhất may
đợc nhiều hơn tổ thứ hai là 10 chiếc áo. Hỏi mỗi tổ trong một ngày may đợc bao nhiêu chiếc
áo?
Câu III (1,0đ):
Cho phơng trình (ẩn x): x
2
2(m+1)x + m
2
+2 = 0
1/ Giải phơng trình đã cho khi m = 1.

2/ Tìm giá trị của m để phơng trình đã cho có nghiệm phân biệt x
1
, x
2
thoả mãn hệ
thức x
1
2
+ x
2
2
= 10.
Câu IV(3,5đ):
Cho đờng tròn (O;R) và điểm A nằm bên ngoài đờng tròn. Kẻ tiếp tuyến AB, AC
với đờng tròn (B, C là các tiếp điểm).
1/ Chứng minh ABOC là tứ giác nội tiếp.
2/ Gọi E là giao điểm của BC và OA. Chứng minh BE vuông góc với OA và OE.OA = R
2
.
3/ Trên cung nhỏ BC của đờng tròn (O;R) lấy điểm K bất kỳ (K khác B và C). Tiếp tuyến tại K
của đờng tròn (O;R) cắt AB, AC theo thứ tự tại P, Q. Chứng minh tam giác APQ có chu vi
không đổi khi K chuyển động trên cung nhỏ BC.
4/ Đờng thẳng qua O và vuông góc với OA cắt các đờng thẳng AB, AC theo thứ tự tại các
điểm M, N. Chứng minh PM + QN MN.
Câu V(0,5đ):
Giải phơng trình:
2 2 3 2
1 1 1
(2 2 1)
4 4 2

x x x x x x + + + = + + +
§¸p ¸n
C©u I:
C©u II:
C©u III:
C©u V:
Sở GD&ĐT Cần Thơ Đề thi tuyển sinh lớp 10
Năm học: 2009 2010.
Môn: Toán.
Thời gian làm bài: 120 phút
Câu I: (1,5đ) Cho biểu thức A =
1 1
1 1 1
x x x
x x x x x


+
1/ Rút gọn biểu thức A.
2/ Tìm giá trị của x để A > 0.
Câu II: (2,0đ) Giải bất phơng trình và các phơng trình sau:
1. 6 - 3x -9 2.
2
3
x +1 = x - 5
3. 36x
4
- 97x
2

+ 36 = 0 4.
2
2 3 2
3
2 1
x x
x

=
+
Câu III: (1,0đ) Tìm hai số a, b sao cho 7a + 4b = -4 và đờng thẳng ax + by = -1 đi
qua điểm A(-2;-1).
Câu IV: (1,5đ) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hàm số y = ax
2
có đồ thị (P).
1. Tìm a, biết rằng (P) cắt đờng thẳng (d) có phơng trình y = -x -
3
2
tại điểm A có
hoành độ bằng 3. Vẽ đồ thị (P) ứng với a vừa tìm đợc.
2. Tìm toạ độ giao điểm thứ hai B (B khác A) của (P) và (d).
Câu V: (4,0đ) Cho tam giác ABC vuông ở A, có AB = 14, BC = 50. Đờng phân giác của góc
ABC và đờng trung trực của cạnh AC cắt nhau tại E.
1. Chứng minh tứ giác ABCE nội tiếp đợc trong một đờng tròn. Xác định tâm O của
đờng tròn này.
2. Tính BE.
3. Vẽ đờng kính EF của đờng tròn tâm (O). AE và BF cắt nhau tại P. Chứng minh
các đờng thẳng BE, PO, AF đồng quy.
4. Tính diện tích phần hình tròn tâm (O) nằm ngoài ngũ giác ABFCE.
Gîi ý §¸p ¸n:

Sở GD&ĐT Thừa Thiên Huế Đề thi tuyển sinh lớp 10
Năm học: 2009 2010.
Môn: Toán.
Thời gian làm bài: 120 phút
Bài 1: (2,25đ)
Không sử dụng máy tính bỏ túi, hãy giải các phơng trình sau:
a) 5x
2
+ 13x - 6=0 b) 4x
4
- 7x
2
- 2 = 0 c)
3 4 17
5 2 11
x y
x y
=


+ =

Bài 2: (2,25đ)
a) Cho hàm số y = ax + b. Tìm a, b biết rằng đồ thị của hàm số đã cho song song
với đờng thẳng y = -3x + 5 và đi qua điểm A thuộc Parabol (P): y =
1
2
x
2
có hoàng độ

bằng -2.
b) Không cần giải, chứng tỏ rằng phơng trình (
3 1+
)x
2
- 2x -
3
= 0 có hai
nghiệm phân biệt và tính tổng các bình phơng hai nghiệm đó.
Bài 3: (1,5đ)
Hai máy ủi làm việc trong vòng 12 giờ thì san lấp đợc
1
10
khu đất. Nừu máy ủi thứ nhất làm
một mình trong 42 giờ rồi nghỉ và sau đó máy ủi thứ hai làm một mình trong 22 giờ thì cả hai
máy ủi san lấp đợc 25% khu đất đó. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi máy ủi san lấp xong khu
đất đã cho trong bao lâu.
Bài 4: (2,75đ) Cho đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R. Vẽ tiếp tuyến d với đờng tròn (O) tại
B. Gọi C và D là hai điểm tuỳ ý trên tiếp tuyến d sao cho B nằm giữa C và D. Các tia AC
và AD cắt (O) lần lợt tại E và F (E, F khác A).
1. Chứng minh: CB
2
= CA.CE
2. Chứng minh: tứ giác CEFD nội tiếp trong đờng tròn tâm (O

).
3. Chứng minh: các tích AC.AE và AD.AF cùng bằng một số không đổi. Tiếp tuyến của (O

)
kẻ từ A tiếp xúc với (O

) tại T. Khi C hoặc D di động trên d thì điểm T chạy trên đờng
thẳng cố định nào?
Bài 5: (1,25đ)
Một cái phễu có hình trên dạng hình nón đỉnh S, bán kính đáy R = 15cm,
chiều cao h = 30cm. Một hình trụ đặc bằng kim loại có bán kính đáy r =
10cm đặt vừa khít trong hình nón có đầy nớc (xem hình bên). Ngời ta nhấc
nhẹ hình trụ ra khỏi phễu. Hãy tính thể tích và chiều cao của khối nớc còn
lại trong phễu.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT – TP. HUẾ
THỪA THIÊN HUẾ Năm học 2009-2010
ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN
§¸p ¸n vµ thang ®iÓm
Bài
Cõu
Nội dung
Điểm
1
2,25
1.
a
Giải phơng trình
2
5 13 6 0x x+ =
:
Lập
2 2
13 120 289 17 17 = + = = =
Phơng trình có hai nghiệm:
1 2

13 17 13 17 2
3;
10 10 5
x x
+
= = = =
0,25
0,50
1.
b
Giải phơng trình
4 2
4 7 2 0x x =
(1):
Đặt
2
t x=
. Điều kiện là
0t
.
Ta đợc :
2
4 7 2 0 (2)t t =
Giải phơng trình (2):
2
49 32 81 9 , 9 = + = = =
,
1
7 9 1
0

8 4
t

= = <

(loại) và
2
7 9
2 0
8
t
+
= = >
.
Với
2
2t t= =
, ta có
2
2x =
. Suy ra:
1 2
2, 2x x= =
.
Vậy phơng trình ó cho có hai nghiệm:
1 2
2, 2x x= =
0,25
0,25
0,25

1.c
Giải hệ phơng trình
3 4 17
5 2 11
x y
x y
=


+ =

:
3 4 17 3 4 17 3 4 17
5 2 11 10 4 22 13 39
x y x y x y
x y x y x
= = =



+ = + = =

3 3
4 9 17 8 2
x x
y y
= =

= = =

0,50
0,25
2
2,25
2.
a
+ Đồ thị hàm số
y ax b= +
song song với đờng thẳng
3 5y x= +
, nên
3a
=
và
5.b

+ Điểm A thuc (P) có hoành độ
2x
=
nên có tung độ
( )
2
1
2 2
2
y = =
.
Suy ra:

( )
2; 2A
+ Đồ thị hàm số
3y x b= +
đi qua điểm
( )
2; 2A
nên:
2 6 4b b
= + =
Vậy:
3a
=
và
4b
=
0,50
0,25
0,25
2.
b
+ Phơng trình
( )
2
1 3 2 3 0x x+ =
có các hệ số:

1 3 , 2, 3a b c
= + = =
.

Ta có:
0ac <
nờn phơng trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt
1
x
và
2
x
.
0,25
Theo ®Þnh lÝ Vi-Ðt, ta cã:

1 2
2
3 1
3 1
b
x x
a
−
+ = = = −
+
( )
1 2
3 3 1
3 3 3
2 2
1 3
c
x x

a
−
− −
= = = − = −
+
0,25
0,25
( )
2
2 2
1 2 1 2 1 2
2x x x x x x+ = + −

( )
2
3 1 3 3 7 3 3= − + − = −
0,25
0,25
3
1,5
Gọi x (giờ ) và y (giờ ) lần lượt là thời gian làm một mình của máy thứ
nhất và máy thứ hai để san lấp toàn bộ khu đất (x > 0 ; y > 0)
Nếu làm một mình thì trong một giờ máy ủi thứ nhất san lấp được
1
x
khu
đất, và máy thứ hai san lấp được
1
y
khu đất.

Theo giả thiết ta có hệ phương trình :








=+
=+
4
1
y
22
x
42
10
1
y
12
x
12
.
Đặt
1
u
x
=
và

1
v
y
=
ta được hệ phương trình:
1
12 12
10
1
42 22
4
u v
u v

+ =




+ =


Giải hệ phương trình tìm được
1 1
;
300 200
u v= =
, Suy ra:
( ) ( )
; 300;200x y =

Trả lời: Để san lấp toàn bộ khu đất thì: Máy thứ nhất làm một mình trong
300 giờ, máy thứ hai làm một mình trong 200 giờ .
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
4
2,75
4.
a
+ Hình vẽ đúng.
+ Hai tam giác CAB và CBE có:
Góc C chung và
·
·
CAB EBC=
(góc
nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến với
một dây cùng chắn cung
»
BE
) nên
chúng đồng dạng.
Suy ra:

2
CA CB
CB CA CE

CB CE
= ⇔ = ×
0,25
0,25
0,25
4.
b
Ta có:
· ·
CAB EFB=
( hai góc nội tiếp cùng chắn cung BE)
Mà
·
·
0
90CAB BCA+ =
(tam giác CBA vuông tại B) nên
·
·
0
90ECD BFE+ =
Mặt khác
·
·
0
90BFD BFA= =
(tam giác ABF nội tiếp nửa đường tròn)
Nên :
·
·

·
·
·
0 0
180 180ECD BFE BFD ECD DFE+ + = ⇔ + =

Vậy tứ giác CEFD nội tiếp được đường tròn (O’).
0,25
0,25
0,25
0,25
4.c
+ Xét tam giác vuông ABC:
BE ⊥ AC ⇒ AC.AE = AB
2
= 4R
2
( hệ thức lượng trong tam giác vuông )
Tương tự, trong tam giác vuông ABD ta có: AD.AF = AB
2
= 4R
2
Vậy khi C hoặc D di động trên d ta luôn có :
AC.AE = AD.AF = 4R
2
( không đổi )
+ Hai tam giác ATE và ACT đồng dạng (vì có góc A chung và
·
·
ATE TCA=

)
+ Suy ra:
2 2
4AT AC AE R= × =
(không đổi). Do đó T chạy trên đường tròn
tâm A bán kính
2R
.
0,25
0,25
0,25
0,25
5
1,25
+ Hỡnh v th hin mt cắt hình nón và hình trụ bởi
mặt phẳng đi qua trục chung của chúng.
Ta có DE//SH nên:

( )
30 5
10( )
15
h R r
DE DB
DE cm
SH HB R

ì
= = = =
Do đó: Chiều cao của hình trụ là

' 10( )h DE cm= =
+ Nếu gọi
1 2
, ,V V V
lần lợt là thể tích khối nớc cũn li
trong phu khi nhc khi tr ra khi phu, thể tích
hình nón và thể tích khối trụ, ta có:
( )
2
2 2 3
1 2
1 15 30
' 1000 1250
3 3
V V V R h r h cm


ì
= = = =
Khối nớc cũn li trong phu khi nhc khi tr ra khi phu là một khối nón có
bán kính đáy là
1
r
và chiều cao
1
h
. Ta có:
1 1 1 1
1
2

r h Rh h
r
R h h
= = =
.
Suy ra:
3
2 3
1
1 1 1
1
1250 15000
3 12
h
V r h h


= = =
Vậy: Chiều cao của khi nớc cũn li trong phểu l:
3 3
1
15000 10 15 ( )h cm= =
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
Ghi chú:
Học sinh làm cách khác đáp án nhng đúng vẫn cho điểm tối đa.
Điểm toàn bài không làm tròn.

Sở GD và ĐT
Thành phố Hồ Chí Minh
Kì thi tuyển sinh lớp 10
Trung học phổ thông
Năm học 2009-2010
Khoá ngày 24-6-2009
Môn thi: toán
Câu I: Giải các phơng trình và hệ phơng trình sau:
a) 8x
2
- 2x - 1 = 0
b)
2 3 3
5 6 12
x y
x y
+ =


=

c) x
4
- 2x
2
- 3 = 0
d) 3x
2
- 2
6

x + 2 = 0
Câu II:
a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số y =
2
2
x
và đờng thẳng (d): y = x + 4 trên cùng một hệ
trục toạ độ.
b) Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính.
Câu III:
Thu gọn các biểu thức sau:
A =
4 8 15
3 5 1 5 5
+
+ +
B =
:
1
1 1
x y x y
x xy
xy
xy xy

+

+

ữ

ữ
ữ

+


Câu IV: Cho phơng trình x
2
- (5m - 1)x + 6m
2
- 2m = 0 (m là tham số)
a) Chứng minh phơng trình luôn có nghiệm với mọi m.
b) Gọi x
1
, x
2
là nghiệm của phơng trình. Tìm m để x
1
2
+ x
2
2
=1.
Câu V: Cho tam giác ABC (AB<AC) có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O) có tâm O, bán kính
R. Gọi H là giao điểm của ba đờng cao AD, BE, CF của tam giác ABC. Gọi S là diện tích
tam giác ABC.
a) Chúng minh rằng AEHF và AEDB là các tứ giác nội tiếp đờng tròn.
b) Vẽ đờng kính AK của đờng tròn (O). Chứng minh tam giác ABD và tam giác AKC
đồng dạng với nhau. Suy ra AB.AC = 2R.AD và S =
. .

4
AB BC CA
R
.
c) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh EFDM là tứ giác nội tiếp đờng tròn.
d) Chứngminh rằng OC vuông góc với DE và (DE + EF + FD).R = 2 S.
Gợi ý đáp án

Së GD - §T K× thi tun sinh líp 10 n¨m häc 2009-
2010
Kh¸nh hoµ m«n: to¸n
Ngµy thi : 19/6/2009
Thêi gian lµm bµi: 120 phót (kh«ng kĨ thêi gian giao
®Ị)
Bµi 1: (2,0®) (Kh«ng dïng m¸y tÝnh cÇm tay)
a. Cho biÕt A = 5 +
15
vµ B = 5 -
15
h·y so s¸nh tỉng A + B vµ tÝch A.B.
b. Gi¶i hƯ ph¬ng tr×nh
2 1
3 2 12
x y
x y
+ =



− =

Bài 2: (2,50 điểm)
Cho Parabol (P) : y = x
2
và đường thẳng (d): y = mx – 2 (m là tham số, m ≠ 0 )
a. Vẽ đồ thò (P) trên mặt phẳng Oxy.
b. Khi m = 3, tìm tọa độ giao điểm của (p) và (d).
c. Gọi A(x
A
; y
A
), B(x
B
; y
B
) là hai giao điểm phân biệt của (P) và (d). tìm các giá
trò của m sao cho y
A
+ y
B
= 2(x
A
+ x
B
) – 1
Bài 3: (1,50 điểm)
Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 6(m) và bình phương độ dài
đường chéo gấp 5 lần chu vi. Xác đònh chiều dài và chiều rộng mảnh đất đó.
Bài 4: (4,00 điểm)

Cho đường tròn (O; R). Từ một điểm M nằm ngoài (O; R) vẽ hai tiếp tuyến MA và
MB (A, B là hai tiếp điểm). Lấy điểm C bất kì trên cung nhỏ AB (Ckhác với A và B).
Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của C trên AB, AM, BM.
a. Chứng minh AECD là một tứ giác nội tiếp.
b. Chứng minh:
·
·
CDE CBA=
c. Gọi I là giao điểm của AC và ED, K là giao điểm của CB và DF. Chứng minh
IK//AB.
d. Xác đònh vò trí điểm C trên cung nhỏ AB để (AC
2
+ CB
2
) nhỏ nhất. Tính giá trò
nhỏ nhất đó khi OM = 2R.
Hết
HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1: (2,00 điểm) (Không dùng máy tính cầm tay)
a. Cho biết
5 15 và B = 5 15 hãy so sánh tổng A+B và tích A.BA = + −
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
2
Ta có : A+B= 5 15 5 15 10
A.B = 5 15 . 5 15 5 15 25 15 10
A+B = A.BVậy
+ + − =
+ − = − = − =

b. Giải hệ phương trình:
2 1
3 2 12
x y
x y
+ =


− =

( )
1 2
2 1 1 2
3 2 1 2 12
3 2 12 3 2 4 12
1 2 1 2 1 4 3
7 2 12 7 14 2 2
y x
x y y x
x x
x y x x
y x y x y y
x x x x
= −

+ = = −
 

⇔ ⇔
  

− − =
− = − + =

 

= − = − = − = −
   
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
   
− = = = =
   
Bài 2: (2,50 điểm)
Cho Parabol (P) : y = x
2
và đường thẳng (d): y = mx – 2 (m là tham số, m ≠ 0 )
a. Vẽ đồ thò (P) trên mặt phẳng Oxy.
TXĐ: R
BGT:
x -2 -1 0 1 2
y = x
2
4 1 0 1 4
Điểm đặc biệt:
Vì : a = 1 > 0 nên đồ thò có bề lõm quay lên trên.
Nhận trục Oy làm trục đối xứng. Điểm thấp nhất O(0;0)
ĐỒ THỊ:
b. Khi m = 3, tìm tọa độ giao điểm của (p) và (d).
Khi m = 3 thì (d) : y = 3x – 2
Phương trình tìm hoành độ giao điểm:
x

2
= 3x – 2
x
2
- 3x + 2 = 0
(a+b+c=0)
=>x
1
= 1 ; y
1
= 1 và x
2
= 2; y
2
= 4
Vậy khi m = 3 thì d cắt P tại hai điểm
(1; 1) và (2; 4).
c. Gọi A(x
A
; y
A
), B(x
B
; y
B
) là hai giao
điểm phân biệt của (P) và (d). tìm các
giá trò của m sao cho
y
A

+ y
B
= 2(x
A
+ x
B
) – 1(*)
1-1-2 2
4
1
y=x
2
0 x
y
Vì A(x
A
; y
A
), B(x
B
; y
B
) là giao điểm
của (d) và (P) nên:
( )
A A
B B
A B A B
y = mx 2
y = mx 2

y y =m x x 4
−
−
+ + −
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
A B A B
A B A B
A B
A B A B
A B
Thay vào (*) ta có:
m x x 4 2 x x 1
m x x 2 x x 3
2 x x
3
m
x x x x
3
m 2
x x
+ − = + −
⇔ + = + +
+
⇔ = +
+ +
⇔ = +

+
Bài 3: (1,50 điểm)
( )
[ ]
x(m) là chiều dài mảnh đất hình chữ nhật.
=> x-6 (m) là chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật(ĐK: x-6>0 => x> 6)
chu vi mảnh đất là 2. x+ x-6 = 2. 2x-6 4 12
; bình
Gọi
x
Theo đònh lí Pitago
 
= −
 
( )
( )
2
2 2 2 2
2
2
phương độ dài đường chéo sẽ là:
x x-6 x x 36 12 2x 12 36
: 2x 12 36 5. 4 12
2x 12 36 20 60
x x
Ta có phương trình x x
x x
+ = + + − = − +
− + = −
⇔ − + = −

( )
2
2
1 2
2x 32 96 0
x 16 48 0
' 64 48 16
' 16 4 0
8 4 8 4
nghiệm: x 12 và x 4 6
1 1
chiều dài mảnh đất là 12(m) và chiều rộng mảnh đất là 6(m)
x
x
Phương trình co ùhai loại
Vậy
⇔ − + =
⇔ − + =
∆ = − =
⇒ ∆ = = 〉
+ −
= = = = 〈
Bài 4: (4,00 điểm)
GT
đt:(O; R),tt:MA,MB;C
»
AB∈
; ;CD AB CE AM CF BM⊥ ⊥ ⊥
KL
a. Chứng minh AECD là một tứ giác

nội tiếp.
b. Chứng minh:
·
·
CDE CBA=
c. IK//AB
BÀI LÀM:
a. Chứng minh AECD là một tứ giác nội tiếp.
Xét tứ giác AECD ta có :
- Hai góc đối
·
·
90 ( ; )AEC ADC CD AB CE AM= = ⊥ ⊥
d
Nên tổng của chúng bù nhau.
Do đó tứ giác AECD nội tiếp đường tròn
b. Chứng minh:
·
·
CDE CBA=
Tứ giác AECD nội tiếp đường tròn nên
·
·
( )CDE CAE cùngchắncungCE=
Điểm C thuộc cung nhỏ AB nên:
·
·
( )CAE CBA cùngchắncungCA=
Suy ra :
·

·
CDE CBA=
c. Chứng minh IK//AB
µ
µ
µ
µ
·
·
·
·
µ
¶
¶
¶
·
·
·
·
·
1 1 2 2
0
0
Xét DCE và BCA ta có:
D ( )
DCE KCI
E ( )
EAD IDK( ; )
EAD DCE 180 ( nội tiếp)
KCI IDK 180

B cmt
A cùngchắncungCD
mà A D A D FBC
tứ giác AECD

=

⇒ =

=


= = = =
+ =
⇒ + =
V V
Suy ra tứ giác ICKD nội tiếp.
=>
·
·
»
( )
CKCIK CDK cùngchắn=

Mà
·
·
·
( )
CBFCAB CDK cùngchắn=

Suy ra
·
·
( )
vò trí đồng vòCIK CBA ở=
 IK//AB (đpcm)
d. Xác đònh vò trí điểm C trên cung nhỏ AB
để (AC
2
+ CB
2
) nhỏ nhất. Tính giá trò nhỏ nhất đó khi OM = 2R.
Gọi N là trung điểm của AB.
Ta có:
AC
2
+ CB
2
= 2CD
2
+ AD
2
+ DB
2
=2(CN
2
– ND
2
) + (AN+ND)
2

+ (AN – ND)
2
= 2CN
2
– 2ND
2
+ AN
2
+ 2AN.ND + ND
2

+ AN
2
– 2AN.ND + ND
2
.
= 2CN
2
+ 2AN
2
= 2CN
2
+ AB
2
/2
AB
2
/2 ko đổi nên CA
2
+ CB

2
đạt GTNN khi CN đạt GTNN  C là giao điểm của ON và
cung nhỏ AB.
=> C là điểm chính giữa của cung nhỏ AB.
Khi OM = 2R thì OC = R hay C là trung điểm của OM => CB = CA = MO/2 = R
Do đó: Min (CA
2
+ CB
2

)

= 2R
2
.
A
B
M
C
D
E
F
I
K
A
2
D
1
D
2

A
1
N