các vấn đề về đơn điệu và cực trị

Các vấn đề phổ biến của giải tích hàm một
biến :
1) Đạo hàm :
Đ/n ; tính chất .
Các ứng dụng đầu tiên
2) Tiếp tuyến :
Đ/n ; pp viết pttt, các bài toán liên quan đến tiếp tuyến.
3) Sự biến fthiên của hàm số .
Các thuật ngữ : hs đồng biến , hs nghịch biến , hs đơn điệu .
Đạo hàm dương , đạo hàm âm , đạo hàm không âm , đạo hàm không
dương .
a) đ k cần để hàm số đơn điệu :
Đl : y= f(x) , có txđ D = R . I là khoảng con của D .
+) hs đb trên I thì f
’
(x)
Ix ∈∀≥ ;0
.
+) h s nb trên I thì f
’
(x)
.;0 Ix ∈∀≤
+) hàm số không đổi trên I thì f
’
(x) =0 trên I.
b) Đ k đủ để hàm số đơn điệu :
ĐL2: : y= f(x) , có txđ D = R . I là khoảng con của D.
+) f
’
(x) >0 trên I thì y= f(x) đb trên I.
+) f

’
(x) <0 trên I thì y= f(x) nb trên I.
+) f
’
(x) =0 trên I thì y= f(x) không đổi trên I.
Cm : định lý la gơ răng :
y=f (x) l tục trên [a;b] .
y= f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b) . khi đó
tồn tại số c thuộc khoanh (a;b) sao cho :
).(
)()(
'
cf
ab
afbf
=
−
−
Các VD :
VD1 : xét cbt của hàm số :
Y =
x
x
2
2
1
+
.
VD2 : xét cbt của hàm số :
y = -x

3
+ 3x +10 .
VD3 : cmr hs y = f(x) = 2x + sin x đồng biến trên tập x định .
VD4: Khảo sát sự biến thiên của hàm số ;
Y =
74
2
++ xx
.
Chú ý : 1)Mở rộng định lý 2 ta có
định lý 3: y=f(x) có txđ D . I là tập con của D.
+) f
’
(x) không âm trên I, bằng O tại hữu hạn điểm thì h s đb trên I.
+) f
’
(x) không dương trên I , bằng 0 tại hữu hạn điểm trên I thì h s nb trên
I.
VD : cm hs y= x
3
đb trên R .
1
2) Đk để hs đ đ trên một tập :
VD : ( ĐH thủy lợi HN năm 1997)
Tìm m để hs đb trên toàn bộ txđ :
Y=
xmxmx
m
).23(.
3

1
23
−++
−
.
Đk để một tam thức bậc hai luôn giữa một dấu trên R .
T(x)=
cxbxa ++
2
t(x) a
∆
0≥
+
0≤
0≤
-
0≤
Chú ý : nếu a chưa khác 0 thì phải xét th a bằng 0.
4) Cực tri hàm số:
Thuật ngữ : cực trị , cực tiểu , cực đại . lân cân , khoảng .
Gtln , gtnn địa phương . người đẹp địa phương .
Đạo hàm đổi dấu . đk cấn để có cực tri , đk đủ để có cực tri . Dấu hiệu
nhận biết cực trị.
a) Điểm cđ , điểm ct :
Đ/N : y=f(x) có txđ là D.
+) x
0
đgl điểm cđ của hàm số f nếu tồn tại một khoảng K của x
0
(K

)D⊂
.
sao cho :
f(x)
}{\);(
00
xKxxf ∈∀<
.Khi đó gths tại x
0
đgl gtcđ , k hiệu : f
cđ
hay y
cđ
và x
0
=x
cđ
.
+) x
0
đgl điểm ct của hàm số f nếu tồn tại một khoảng K của x
0
( K
)D⊂

sao cho :
f (x)
f>
(x
0

) ,
}{\
0
xKx ∈∀
. Khi đó gths tại x
0
đgl gtcđ , khí
hiệu là f
cđ
hay y
cđ
. và x
0
=x
cđ
.
b) Đk cần để h/s có cực trị :
Đl pec ma : nếu x
0
: c trị , tồn tai f
’
(x
0
) thì f
’
(x
0
)=0.
Cm : pp giới hạn .chuyển về cm f
’

(x
0
)
;0≥
f
’
(x
0
)
.0≤
Chú ý : hàm số có cực trị tại x
o
thì f
’
(x
0
)=0. hoặc ko tồn tại f
’
(x
0
).
c ) Đk đủ để có cực trị :
Dấu hiệu I :
Đl : y= f(x) có Txđ D ; x
0
thuộc D .
i ) đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x
0
thì x
o

: cđ .
ii ) đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x
0
thì x
o
: ct.
Dấu hiệu II
Đl :
Y= f(x) có Txđ D . ; x
0
thuộc D . Nếu f
’’
(x
0
)
.0≠
+) f
’’
(x
0
) >0 thì x
0
là điểm CT.
+) f
’’
(x
0
)<0 thì x
0
là điểm CĐ .

c) pp tìm cực trị :
2
Nếu xét dấu f
’
thuận tiện thì ta dùng dấu hiệu I .còn ngược lại ta dùng
dấu hiệu II .
Các ví dụ :
VD1 : tìm cực tri hàm số :
3