Cac dang toan on thi vao 10

Tài liệu Ôn thi vào lớp 10 THPT Biên soạn : Giáo viên : Nguyễn Văn Tâm
Dạng 1: Rút gọn biểu thức:
Bài 1: (Bài 3 Sách Ôn thi vào 10 năm 2010 T8)
Cho biểu thức:
M =
3
:
3
1
9
3









+
+

+
x
x
x
x
x
với x > 0, x 9
a) Rút gọn M

b) Tính giá trị của M khi x =
281821027 ++
c) CHứng minh M >
3
1
Bài 2 (Bài 4 T8 Sách Ôn thi vào 10 năm 2010)
Cho biểu thức
P =
3
4
.
1
1
1
2 x
xxx
x








+

+
+
với x 0.

a) Rút gọn P
b) Tìm các giá trị của x để P = 8/9
c) Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của P.
Bài 3: (Bài 5 T8 Sách Ôn thi vào 10 năm 2010)
Cho biểu thức
M =
xx
xx
x
x
xx
22
12
.
1
1
1
2

++

+
với x > 0, x 1
a) Rút gọn M
b) Tìm giá trị của a để phơng trình M = a có nghiệm.
c) Tìm x để
1
8
11

+

x
M
Bài 4: (Bài 6 T9 Sách Ôn thi vào 10 năm 2010 )
Cho biểu thức
Q =

+


+
+
1
3
22
:
9
33
33
2
x
x
x
x
x
x
x
x
với x 0 và x 9
a) Rút gọn Q

b) Tìm x để Q < -1/3
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của Q
Bài 5: (Bài 7 T9 Sách Ôn thi vào 10 năm 2010)
Cho biểu thức
P =










+









+


2
2

:
2
3
)2(
4
x
x
x
x
xxx
x
với x > 0, x 4
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của P biết x = 6 - 2
5
c) Tìm các giá trị của n để có x thoả mãn
( )
nxPx +>+ .1
Bài 6: (Đề 2 T67 Sách Ôn thi vào 10 năm 2010)
Cho biểu thức P =
1
46
1
3
1



+
+

x
x
xx
x
với x 0, x 1.
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tính giá trị của P khi x =
.347347 ++
1
Tài liệu Ôn thi vào lớp 10 THPT Biên soạn : Giáo viên : Nguyễn Văn Tâm
c) Tìm x để P <
2
1
Bài 7: (Đề 3 T67 Sách Ôn thi vào 10 năm 2010)
Cho biểu thức P =
xx
x
x
x
x +








+

+ :
1
1
, với x > 0
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tính giá trị của P khi x =
15
8
15
8
+


c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Bài 8: (Đề 4 T68 Sách Ôn thi vào 10 năm 2010)
Cho biểu thức B =
x
x
x
x
xx
x

+


+

+

3
12
2
3
65
92
với x 0, x 4, x 9.
a) Rút gọn biểu thức B.
b) Tìm x để B = - 3
c) Tìm giá trị nguyên của x để B có giá trị nguyên.
Bài 9: (Đề 6I T69 Sách Ôn thi vào 10 năm 2010)
Cho biểu thức M =
1
11
22
++
+
+

++

x
xx
xx
xx
xx
với x 0
a) Rút gọn biểu thức M
b) Tính giá trị của M khi x = 6 + 2
5

c) Tìm x để M <
M
Bài 10: (Đề 8I T71 Sách Ôn thi vào 10 năm 2010)
Cho biểu thức
M =











+
+
+


+
1
1
1
.
2
2
1
2

333
xx
x
x
x
xx
xx
với x > 0, x 1
a) Rút gọn biểu thức M.
b) Tìm x để M =
x
.
c) Tìm các số tự nhiên x để giá trị của M là số tự nhiên.
Bài 11: (Đề 9I T71 Sách Ôn thi vào 10 năm 2010)
Cho biểu thức P =
3
3
1
2
32
1926
+

+


+
+
x
x

x
x
xx
xxx
với x 0 , x 1
a) Rút gọn biểu thức P 2 Sách Ôn thi vào 10 năm 2010)
b) Tính giá trị của x để P = 4
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
Bài 12 : (Đề 10 T72 Sách Ôn thi vào 10 năm 2010)
P =
1
:
1
2
12
2
+











++
+

x
x
x
x
xx
x
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tính giá trị cuảe P khi x =
32
3
+
c) Tìm x để P =
4
4
+x
Bài 13: (Đề 13 T74 Sách Ôn thi vào 10 năm 2010)
2
Tài liệu Ôn thi vào lớp 10 THPT Biên soạn : Giáo viên : Nguyễn Văn Tâm
Cho biểu thức M =
xxx
x
xx
x
+
+
++
+
+
+
+

1
1
11
11
11
11
(- 1 < x < 1; x 0)
a) Rút gọn biểu thức M
b) Tính giá trị của M khi
x
1
99100
1

23
1
12
1
=
+
++
+
+
+
c) Chứng minh M >
2
1
Hớng dẫn dạng rút gọn biểu thức:
Bài 1:
a) M =

3
1
+
+
x
x
b) x = 1, M =1/2 c) M -
( )
0
33
2

3
1
>
+
==
x
x
Bài 2
a) P =
( )
13
4
+ xx
x
b) x
1
= 4, x
2

= 1/4 c) P =
3
4
)12.(3
4
1
1
3
4
=










+
x
x
Bài 3:
a) M =
x
x
2
1+
b) a > 1/2 và a 1 c) x = 9

Bài 4:
a) Q =
3
3
+

x
b) 0 x < 36 và x 9 c) min Q = - 1 khi x = 0
Bài 5:
a) P =
x1
b)
( )
52,15
2
== Px
c) n = 1
Bài 6:
a)
1
1
+

x
x
b) x = 4, P = 1/3 c) 0 x < 9 và x 1
Bài 7:
a) P =
x
xx 1++

b) x = 4, P = 7/2 c) P 3. min P = 3 khi x = 1
Bài 8:
a) B =
3
1

+
x
x
b) x = 4 (loại). c) x {1; 16; 25; 49}
Bài 9:
a) M =
( )
2
1x
b) x =
( )
2
15 +
, M = 5 c) 0< x < 4, x 1
Bài 10:
a) M =
1
1

+
x
x
b) M = 2, x =
223 +

c) x {4, 9}
Bài 11:
3
Tài liệu Ôn thi vào lớp 10 THPT Biên soạn : Giáo viên : Nguyễn Văn Tâm
a) P =
3
16
+
+
x
x
b) P = 4, x = 4 c) áp dụng BĐT Côsi, minP = 4 khi x = 4
Bài 12 :
a) P =
1
2
x
b) x 1 =
32
2
+

, P = - 2 -
3
, c) x = 4
Bài 13:
a) M =
x1
1
b) 1/ x = 9 => x = 9, M =

4
23
c) 1 < x < 1, M >
2
1
Dạng 2: Đồ thị và hàm số
Bi 1: Cho đờng thẳng (d) có phơng trình: y = (m 2)x + 2.
a) Chứng minh rằng đồ thị luôn đi qua một điểm cố định. Tìm toạ độ điểm cố định đó.
b) Tìm giá trị m để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đờng thẳng bằng 1.
c) Tỡm m khong cỏch t gc ta n ng thng ú l ln nht.
Bài 2: Cho đờng thẳng d có phơng trình y = (2m + 1)x 2 (m -1/2).
a) Chứng minh rằng đồ thị luôn đi qua một điểm cố định. Tìm toạ độ điểm cố định đó.
b) Tìm m để khoảng cách từ gốc toạ độ đến đờng thẳng d bằng
2
c) Gọi giao điểm của đờng thẳng với các trục Ox và Oy lần lợt là A, B. Tìm m để diện tích AOB
= 1/2
Bài 3:
Cho đờng thẳng
(m + 2)x my = - 1 (m là tham số)
a) Tìm điểm cố định mà đờng thẳng luôn đi qua.
b) Tìm giá trị m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đờng thẳng là lớn nhất.
Bài 4: (Đề 14V- T75 sách Ôn thi vào 10 năm 2010)
Cho hàm số y = (m
2
2m + 2)x + 4 có đồ thị là đờng thẳng d. Tìm m sao cho d cắt Ox tại A, cắt Oy
tại B mà diện tích OAB lớn nhất.
Bài 5: (Bài 6 T34 Sách Ôn thi vào 10 năm 2010)
Cho hàm số y = 2x
2
có đồ thị là parabol (P), đờng thẳng (d) có phơng trình y = 2x + 4. Chứng minh (d)

cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A, B. Tính diện tích OAB.
Bài 6: Cho (P) y =
2
2
1
x
và đờng thẳng (d) y =
3
2
1
+x
a) Vẽ đồ thị (P) và (d)
b) Xác định toạ độ các giao điểm A, B của (P) và (d)
c) Xác định toạ độ điểm C thuộc cung AB của (P) sao cho ABC có diện tích lớn nhất.
4
Tài liệu Ôn thi vào lớp 10 THPT Biên soạn : Giáo viên : Nguyễn Văn Tâm
Bài 7: Cho parabol (P) y = x
2
và hai điểm A, B (P) có hoành độ tơng ứng là - 1; 2. Tìm điểm M trên
cung AB của (P) sao cho AMB có diện tích lớn nhất.
Bài 8: (Bài 8 T34 sách Ôn thi vào 10 năm 2010)
Cho (P) y = x
2
và đờng thẳng (d) y = mx m + 1
Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ x
1
; x
2
thoả mãn điều kiện
a)

4
21
=+ xx
b) x
1
= 9x
2
Bài 9: (Đề 15 III- T76 Sách Ôn thi vào 10 năm 2010)
Cho hàm số y = x
2
có đồ thị là parabol (P), và đờng thẳng d: y = (2m + 2)x m
2
2m. Tìm m để (d)
cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A, B có hoành độ x
1
, x
2
sao cho 2x
1
+ x
2
= 5.
Bài 10: (Đề 17 III T77 Sách Ôn thi vào 10 năm 2010)
Cho hàm số y = x
2
có đồ thị là (P), đờng thẳng d: y = -mx m + 1. Tìm m để đờng thẳng d cắt (P) tại
A, B phân biệt với A(x
1
; y
1

) và B(x
2
; y
2
) mà (y
1
+ y
2
) nhỏ nhất.
Bài 11: Cho (P) y = x
2
và đờng thẳng (d) y = x m + 1
Tìm m để đờng thẳng d cắt parabol tại hai điểm phân biệt bên phải trục tung.
Bài 12: Cho parabol (P) y =
2
2
1
x
và đờng thẳng (d) y = mx + n. Xác định hệ số m, n để đờng thẳng d
đi qua điểm A(1; 0) và tiếp xúc với (P). Tìm toạ độ tiếp điểm.
Bài 13 : Cho parabol (P) y = x
2
. Tìm điểm A (P) sao tiếp tuyến với (P) tại A song song với đờng
thẳng y = 4x + 5.
Hớng dẫn giải dạng đồ thị và hàm số
Bài 1:
a) Gọi điểm cố định là (x
0
; y
0

). Ta có y
0
= (m 2)x
0
+ 2
mx
0
+ 2 2x
0
y
0
= 0 (với mọi m)
x
0
= 0 ; y
0
= 2. Điểm cố định là (0; 2)
b) Gọi A, B theo thứ tự là giao điểm của đờng thẳng với Ox, Oy. Ta có OA =
m2
2
, OB = 2.
Gọi OH là khoảng cách từ O đến đờng thẳng. Ta có:

222
111
OBOAOH
+=
và OH = 1. Từ đó thay vào tính đợc m = 2 +
3
hoặc m = 2 -

3
c) OH lớn nhất m
2
4m + 5 nhỏ nhất m = 2. Khi đó đờng thẳ

ng là y = 2 và OH = 2
Bài 2:
a) Điểm cố định là (0; - 2) b) m
1
= 0; m
2
= - 1 c) m
1
=
2
5
;
2
3
2
=m
Bài 4:
A(






+

0;
22
4
2
mm
và B(0; 4)
OA =
( )
( )
11
4
11
4
2
2
+
=
+

m
m
; OB = 4
S
OAB
=
( )
81
1
8

2
1
2
+

=
m
OBO A
. Dấu (=) xảy ra khi m = 1. Vậy diện tích lớn nhất là 8 khi m = 1
Bài 3:
a) Điểm cố định







2
1
;
2
1
Bài 4: Toạ độ điểm A

+

0;
22
4
2
mm
điểm B (0;4)
5
Tài liệu Ôn thi vào lớp 10 THPT Biên soạn : Giáo viên : Nguyễn Văn Tâm
S
OAB
= .
( )
11
8
2
+m
8. Dấu = xảy ra khi m = 1. Diện tích lớn nhất bằng 8 khi m = 1
Bài 5:
PHơng trình 2x
2
= 2x + 4 luôn có hai nghiệm. Tìm ra đợc x
1
= - 1, x
2
= 2, A(-1; 2) và B(2; 8)
S
OAB

= 6 (đơn vị diện tích)
Bài 6:
b) A(- 2; 2) và B(3;
2
1
4
)
c) Điểm C thuộc cung AB và cách xa AB nhất => C là tiếp điểm của đờng thẳng d // AB và tiếp
xúc với (P).
đờng thẳng (d) có dạng : y =
nx +
2
1
. Điều kiện để d tiếp xúc với (P) là PT sau có nghiệm kép:

nxx +=
2
1
2
1
2
n =-1/8. Toạ độ điểm C






8
1

;
2
1
Bài 7: M






4
1
;
2
1

Bài 11: Phơng trình x
2
= x m + 1 có hai nghiệm dơng phân biệt.
Tìm ra 1 < m < 5/4
Bài 12:
Điều kiện để đờng thẳng tiếp xúc với Parabol là m = 0; m = 2.
- Với m = 0: Toạ độ tiếp điểm là (0; 0).
- Với m = 2 toạ độ tiếp điểm là (2; 2)
Bài 13: Phơng trình đờng thẳng song song với đờng thẳng y = 4x + 5 có dạng: y = 4x + m
Giải điều kiện để đờng thẳng này tiếp xúc với Parabol đợc m = -4. Tiếp điểm A(2; 4)
Dạng 3: Giải bài toán bằng cách lập phơng trình hệ ph ơng trình.
* Toán chuyển động: (S = v.t; v =
v
S

t
t
S
=;
)
Bài 1 : (Đề 1 II- T66 Sách Ôn thi vào 10 năm 2010):
Một ngời đi ô tô từ A đến B cách nhau 100 km với vận tốc xác định khi từ B trở về A ngời đó đi đờng
khác dài hơn đờng cũ 20 km nhng với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi mỗi giờ 20km. Vì vậy thời gian
về ít hơn thời gian đi là 30 phút. Tính vận tốc lúc đi.
Bài 2: Một ô tô dự định đi từ A đến B các nhau 120 km trong một thời gian dự định. Sau khi đi đợc
một giờ ô tô bị chắn đờng bởi tàu hoả 10 phút. Do đó để đến B đúng hạn, xe phải tăng vận tốc thêm
6km/h. Tính vận tốc ô tô lúc đầu.
Bài 3: (Đề 3 T67 Sách Ôn thi vào 10 năm 2010 )
Trên quãng đờng AB dài 200km có 2 xe đi ngợc chiều nhau. Xe con đi từ A đến B, xe tải đi từ B đến
A. Nếu cùng khởi hành một lúc thì hai xe gặp nhau tại C cách nhau A là 120 km. Nếu xe con khởi
hành sau xe tải 1 giờ thì chúng gặp nhau tại một điểm D cách C là 24 km (về phía A). Tính vận tốc
mỗi xe.
Bài 4: (Đề 9 T71 Sách Ôn thi vào 10 năm 2010)
Một ô tô đi từ A tới B cách nhau 60 km trong một thời gian quy định. Trên nửa quãng đờng đầu, ô tô
đi với vận tốc kém vận tốc dự định mỗi giờ 6 km. Trên nửa quãng đờng sau, ô tô đi với vận tốc hơn
vận tốc dự định mỗi giờ 10km. Vì vậy ô tô đến B đúng thời gian dự định. Tính thời gian quy định để ô
tô đi từ A đến B.
Bài 5: Một ngời đi xe đạp từ A đến B trong một thời gian quy định. Khi còn cách B một đoạn đờng 30
km, ngời đó nhận thấy rằng sẽ đến B chậm nửa giờ nếu giữ nguyên vận tốc đang đi, nhng nếu tăng vận
tốc thêm 5 km/h thì sẽ tới đích sớm hơn nửa giờ. Tính vận tốc xe đạp trên quãng đờng đã đi lúc đầu.
6
Tài liệu Ôn thi vào lớp 10 THPT Biên soạn : Giáo viên : Nguyễn Văn Tâm
Bi 6: Hai ụ tụ cựng khi hnh mt lỳc t A i v hai phớa. Sau 1 gi hai xe cỏch nhau 75 km (tớnh
trờn ng qua A). Tớnh vn tc mi xe bit rng nu cựng i trờn quóng ng 180 km thỡ xe th hai
i ớt thi gian hn xe th nht l 2 gi.

Bi 7: Mt tu thu chy trờn khỳc sụng di 120 km, c i v v mt 6 gi 45 phỳt. Tớnh vn tc ca
tu thu khi nc yờn lng bit rng vn tc ca dũng nc l 4km/h.
Bi 8: Mt xe mỏy i t A n B trong mt thi gian d nh. Nu vn tc tng thờm 14 km/h thỡ n
sm 2 gi, nu gim vn tc i 4km/h thỡ n mun1 gi. Tớnh vn tc d nh v thi gian d nh.
Bài 9: (Đề 15II T76 Sách Ôn thi vào 10 năm 2010)
Một tàu thuỷ chạy xuôi dòng một khúc sông dài 72km sau đó chạy ngợc dòng khúc sông ấy 54km hết
tất cả 6 giờ. Tính vận tốc riêng của tàu thuỷ biết vận tốc của dòng nớc là 3km/h.
Bài 10: (Bài 8 T29 Sách Ôn thi vào 10 năm 2010)
Một bè nứa trôi tự do (trôi theo dòng nớc) va một ca nô đồng thời rời bến A để xuôi dòng song về phía
bến B. Ca nô xuôi dòng đợc 96 km thì quay ngày trở về A. Cả đi lẫn về hết 14 giờ. Trên đờng quay về
A khi còn cách A 24 km thì ca nô gặp chiếc bè.
Tính vận tốc của ca nô và vận tốc của dòng nớc.
* Toán năng suất:
Bài 11 : (Đề 4II T68 Sách Ôn thi vào 10 năm 2010)
Một công nhân dự kiến hoàn thành một công việc trong một thời gian quy định với năng suất 12 sản
phẩm trong một giờ. Sau khi làm xong một nửa công việc, ngời đó tăng năng suất, mỗi giờ làm đợc 15
sản phẩm. Nhờ vậy công việc đợc hoàn thành sớm hơn dự định là 1 giờ. Tính số sản phẩm mà ngời
công nhân đó phải làm.
Bài 12: (Bài 3 T28 Sách Ôn thi vào 10 năm 2010)
Một đội sản xuất phải làm 1000 sản phẩm trong một thời gian quy định. Nhờ tăng năng suất mỗi ngày
đội làm thêm đợc 10 sản phẩm so với kế hoạch. Vì vậy không những làm vợt mức 80 sản phẩm mà
còn xong trớc 2 ngày so với dự định. Tính số sản phẩm mà đội phải làm trong một ngày theo kế hoạch.
Bài 13:
Một đội công nhân dự định làm 72 sản phẩm trong thời gian dự định. Trong thực tế đội đợc giao 80
sản phẩm. Mặc dù mỗi giờ làm thêm 1 sản phẩm nhng thời gian hoàn thành vẫn chậm hơn so dự định
là 12 phút. Tính số sản phẩm phải làm trong 1 giờ theo dự định biết rằng số sản phẩm làm trong 1 giờ
theo dự định không quá 20 sảnphẩm.
Bài 14 :
Một nhóm thợ theo kế hoạch phải làm 3000 sản phẩm. Trong 8 ngày đầu họ thực hiện đúng mức đề ra
những ngày còn lại họ vợt mức mỗi ngày 10 sản phẩm nên đã hoàn thành kế hoạch sớm 2 ngày. Hỏi

theo kế hoạch mỗi ngày làm đợc bao nhiêu sản phẩm.
Bài 15 : Theo k hoch hai t sn xut 600 sn phm trong mt thi gian nht nh. Do ỏp dng k
thut mi nờn t I ó vt mc 18% v t II ó vt mc 21 %. Vỡ vy trong thi gian quy nh h ó
hon thnh vt mc 120 sn phm. Hi s sn phm c giao ca mi t theo k hoch?
Bài 16 : (Đề 6II T69 Sách Ôn thi vào 10 năm 2010)
Theo kế hoạch, hai tổ sản xuất phải làm đợc 700 sản phẩm trong một tháng. Nhng do tổ I làm vợt mức
kế hoạch 15%, tổ II làm vợt mức 20% nên cả hai tổ làm dợc 820 sản phẩm. Tính số sản phẩm mà mỗi
tổ phải làm trong một tháng theo kế hoạch.
Bài 17: Hai i cụng nhõn c giao k hoch sn xut tng cng 300 dng c trong mt thỏng.
c 3 tun, i I ó lm c 90 % k hoch ca mỡnh, i II ó lm c 69% k hoch ca mỡnh,
c hai i ó lm c 80% k hoch chung. Hi mi i c giao lm bao nhiờu dng c.
Bài 18:
Mt t cú k hoch sn xut 350 sn phm theo nng sut d kin. Nu tng nng sut 19 sn phm
mi ngy thỡ t ú s hon thnh sm hn 2 ngy so vi gim nng sut 10 sn phm mi ngy. Tớnh
nng sut theo k hoch ca t sn xut
Bài 19: (Đề thi vào 10 năm học 2009 2010)
Hai tổ sản xuất cùng may một loại áo. Nếu tổ thứ nhất may trong 3 ngày, tổ thứ hai may trong 5 ngày
thì cả hai tổ may đợc 1310 chiếc áo. Biết rằng trong một ngày tổ thứ nhất may đợc nhiều hơn tổ thứ
hai là 10 chiếc áo. Hỏi mỗi tổ trong một ngày may đợc bao nhiêu chiếc áo.
* Toán làm chung công việc:
7
Tài liệu Ôn thi vào lớp 10 THPT Biên soạn : Giáo viên : Nguyễn Văn Tâm
Bài 20: (Đề 2II T67 Sách Ôn thi vào 10 năm 2010)
Hai ngời làm chung một công việc thì sau 3 giờ sẽ xong. Nếu học cùng làm trong 2 giờ sau đó ngời
thứ nhất nghỉ thì ngời thứ hai làm tiếp 4 giờ nữa mới xong. Tính thời gian mỗi ngời làm một mình
xong toàn bộ công việc.
Bài 21: (Đề 8II T71 Sách Ôn thi vào 10 năm 2010)
Hai ngời cùng làm chung một công việc thì sau 7 giờ 12 phút sẽ xong. Nếu một mình ngời thứ nhất
làm trong 5 giờ và một mình ngời thứ hai làm trong 6 giờ thì cả hai làm đợc 3/4 công việc. Tính thời
gian mỗi ngời làm một mình xong toàn bộ công việc.

Bài 22: (Đề 14 T75 Sách Ôn thi vào 10 năm 2010)
Hai vòi nớc cùng chảy vào một bể không có nớc thì sau 1 giờ 30 phút sẽ đầy bể. Nếu mở một mình vòi
1 trong 15 phút khoá lại rồi mở tiếp vòi 2 trong 20 phút thì cả hai vòi chảy đợc 1/5 bể. Tính thời gian
mỗi vòi chảy một mình đầy bể.
Bài 23 :
Hai i cụng nhõn cựng lm mt cụng vic thỡ hon thnh cụng vic ú trong 6 gi 40 phỳt. Nu mi
i lm cụng vic ú mt mỡnh thỡ thi gian i I lm xong cụng vic ớt hn so vi i II l 3 gi.
Tớnh thi gian mi i lm mt mỡnh xong cụng vic núi trờn
Bài 24:
Nu hai vũi cựng chy vo mt b khụng cú nc thỡ sau 12 gi y b. Sau khi hai vũi cựng chy 8
gi thỡ ngi ta khoỏ vũi I, cũn vũi II tip tc chy. Do tng cụng sut vũi II lờn gp ụi, vũi II ó
chy y phn cũn li ca b trong 3 gi ri. Hi nu mi vũi chy mt mỡnh vi cụng sut bỡnh
thng thỡ phi bao lõu mi y b.
* Một số loại toán khác:
Bài 25: (Đề 10II T72 Sách Ôn thi vào 10 năm 2010)
Tìm một số tự nhiên có hai chữ số biết rằng tổng các bình phơng hai chữ số của số đó bằng 20. Mặt
khác khi đổi chỗ hai chữ số của số đó cho nhau ta đợc số mới lớn hơn số ban đầu 18 đơn vị.
Bài 26: (Đề 12II T74 Sách Ôn thi vào 10 năm 2010)
Hai trờng A và B có 420 học sinh thi đỗ vào trung học phổ thông đạt tỉ lệ 84%. Riêng trờng A có tỉ lệ
đỗ là 80%. Riêng trờng B có tỉ lệ đỗ là 90%. Tính số học sinh dự thi của mỗi trờng.
Bài 27 : Một phòng học có 360 ghế đợc xếp thành từng hàng và số ghế ở mỗi hàng đều bằng nhau.
Nếu số hàng tăng thêm 1 thì trong phòng sẽ có 400 ghế. Hỏi có bao nhiêu hàng ghế, bao nhiêu ghế
mỗi hàng.
Hớng dẫn: Giải bài toán bằng cách lập phơng trình hệ phơng trình
Bài 2: Gọi vận tốc lúc đầu của ô tô là x (km/h) Đk: x > 0
Ta có phơng trình:
6
7
6
120120

=
+


x
x
x
Giải ra ta đợc x = 48.
Bài 4: Gọi vận tốc dự định ô tô đi từ A đến B là x (giờ) Đk x >0
Ta có phơng trình:
10
30
6
3060
+
+

=
xxx
Giải ra đợc x = 30
Bài 5: Gọi vận tốc lúc đầu là x (km/h) ĐK x >0
Ta có phơng trình:
2
1
5
30
2
130
+
+

=
xx
Giải ra ta đợc x = 10
Bi 6: Gọi vận tốc của ô tô thứ nhất là x (km/h), 75 > x > 0
Ta có phơng trình:
2
75
180180
=


xx
Giải ra đợc x
1
= 30 và x
2
= 225 (loại)
Bi 7: Gọi vận tốc của tàu thuỷ khi nớc yên lặng là x (km/h) x > 4.
8
Tài liệu Ôn thi vào lớp 10 THPT Biên soạn : Giáo viên : Nguyễn Văn Tâm
Ta có phơng trình:
4
3
6
4
120
4
120
=

+
+ xx
Giải ra ta đợc x = 36.
Bi 8:: Gọi vận tốc dự định, thời gian dự định lần lợt là x, y
Ta có hệ phơng trình: (x + 14)(y 2) = xy
(x 4)(y + 1) = xy
Bài 11 : Gọi số sản phẩm phải làm là x (sản phẩm) x > 0. Ta có phơng trình:
1
302412
=






+
xxx
Giải ra ta đợc x = 120
Bài 12: Gọi số sản phẩm phải làm trong một ngày theo kế hoạch là x (sản phẩm), x >0
Ta có phơng trình:
2
10
10801000
=
+

xx
Giải ra ta đợc x = 50
Bài 13:

Gọi số sản phẩm phải làm theo dự kiến là x (sản phẩm 0< x < 20
Ta có phơng trình:
5
172
1
80
=
+ xx
Giải ra ta đợc x = 15.
Bài 14 :
Gọi số sản phẩm phải làm theo dự kiến là x (sản phẩm) x > 0
Ta có phơng trình:
82
10
830003000
++
+

=
x
x
x
Giải ra nhận giá trị x = 100
Bài 15:
- Nếu giải bài toán bằng cách lập hệ phơng trình.
Gọi số sản phẩm đợc giao theo kế hoạch của mỗi tổ lần lợt là x, y (sản phẩm); 0 < x,y < 600.
Ta có hệ phơng trình:
x + y = 600
1,18x + 1,21y = 720
Giải hệ phơng trình ta đợc x = 200, y = 400

- Nếu giải bằng cách lập phơng trình.
Gọi số sản phẩm đợc giao của tổ I theo kế hoạch là x, thì tổ II là 600 x (sản phẩm); ĐK 0 <x < 600
Ta có phơng trình: 1,18x + 1,21.(600 x) = 720
Giải ra ta đợc x = 200
Bài 16 :
- Nếu giải bài toán bằng cách lâp hệ phơng trình:
Gọi số sản phẩm mà mỗi tổ phải làm trong một tháng theo kế hoạch lần lợt là x, y (sản phẩm), 0 <x,y
< 700.
Ta có hệ phơng trình:
x + y = 700
1,15x + 1,2y = 820
Giải hệ ta đợc x = 400, y = 300
- Nếu giải bài toán bằng cách lập phơng trình.
Gọi số sản phẩm phải làm theo kế hoạch trong một tháng của tổ I là x thì tổ II là 700 x (sản phẩm)
ĐK: 0 < x < 700
Ta có phơng trình:
1,15x + 1,2(700 x) = 820. Giải phơng trình ta đợc x = 400
Bài 17:
- Nếu giải bài toán bằng cách lập hệ phơng trinh
Gọi số dụng cụ của mỗi đội đợc giao lần lợt là x, y (dụng cụ), 0< x, y < 300
Ta có hệ phơng trình:
x + y = 300
90%x + 60%y = 80%. 300
Giải hệ ta đợc x = 200, y = 100
- Nếu giải bài toán bằng cách lập phơng trình:
Gọi số dụng cụ của đội I đợc giao là x, thì số dụng cụ của đội II là 300 x
Ta có phơng trình: 90%x + 60%.(300 x) = 80%. 300
Bài 19: Gọi số áo tổ thứ nhất may đợc trong một ngày là x (áo), 0 < x < 1310.
Ta có phơng trình: 3x + 5(x 10) = 1310
9

Tài liệu Ôn thi vào lớp 10 THPT Biên soạn : Giáo viên : Nguyễn Văn Tâm
Giải ra ta đợc x = 170
Dạng 4: Phơng trình bậc hai - điều kiện về nghiệm của phơng trình bậc hai
I Lý thuyết
Xét phơng trình bậc hai: ax
2
+ bx + c = 0 (*)
1) Điều kiện có nghiệm của PT (*)
- PT (*) có nghiệm 0 (hoặc 0)
- PT (*) có hai nghiệm phân biệt khi > 0 (hoặc > 0)
- PT (*) có nghiệm kép khi = 0 (hoặc = 0)
- PT (*) vô nghiệm khi , 0 (hoặc < 0)
2) Điều kiện về dấu các nghiệm của phơng trình
- PT (*) có hai nghiệm trái dấu khi a.c < 0.
- PT (*) có hai nghiệm cùng dấu khi
> 0 (hoặc > 0) b
2
4ac > 0 (hoặc b
2
ac > 0)
P > 0
0>
a
c
- PT (*) có hai nghiệm cùng dấu dơng khi
> 0 (hoặc > 0) b
2
4ac > 0 (hoặc b
2
ac > 0)

P > 0
0>
a
c
S > 0
0>

a
b
- PT (*) có hai nghiệm cùng dấu âm khi
> 0 (hoặc > 0) b
2
4ac > 0 (hoặc b
2
ac > 0)
P > 0
0>
a
c
S < 0
0<

a
b
- PT (*) có hai nghiệm là hai số nghịch đảo của nhau khi
> 0 (hoặc > 0) b
2
4ac > 0 (hoặc b
2
ac > 0)

P = 1
1=
a
c
II Bài tập
Bài 1: Cho phơng trình :

( )
0412
2
=++ mxmx
(x là ẩn )
a) Giải phơng trình với m = 2
b) Chứng minh rằng phơng trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
c) Chứng minh biểu thức M=
( ) ( )
1221
11 xxxx +
không phụ thuộc vào m.
Bài 2: Cho phơng trình :
( )
021
22
=+ aaxax
a) Chứng minh rằng phơng trình trên có 2 nghiệm trái dấu với mọi a
b) Gọi hai nghiệm của phơng trình là x
1
và x
2
.Tìm giá trị của a để

2
2
2
1
xx +
đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 3: Cho phơng trình

( )
010212
2
=+++ mxmx
(với m là tham số )
10
Tài liệu Ôn thi vào lớp 10 THPT Biên soạn : Giáo viên : Nguyễn Văn Tâm
a) Giải và biện luận về số nghiệm của phơng trình
b) Trong trờng hợp phơng trình có hai nghiệm phân biệt là
21
; xx
; hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa
21
; xx
mà không phụ thuộc vào m
c) Tìm giá trị của m để
2
2
2
121
10 xxxx ++
đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 4: Cho phơng trình :
( )
05412
22
=+++ mmxmx

a) Xác định giá trị của m để phơng trình có nghiệm
b) Xác định giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt đều dơng
c) Xác định giá trị của m để PT có 2 nghiệm có giá trị tuyệt đối bằng nhau và trái dấu nhau
d) Gọi
21
; xx
là hai nghiệm nếu có của phơng trình . Tính
2
2
2
1
xx +
theo m
Bài 5: Cho phơng trình:
( )
0122 =+++ mxmx
x

a) Giải phơng trình khi m =
2
1

b) Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu
c) Gọi

21
; xx
là hai nghiệm của phơng trình . Tìm giá trị của m để :

2
1221
)21()21( mxxxx =+
Bài 6: Cho phơng trình:

( )
05222
2
= kxkx
( k là tham số)
a) CMR phơng trình có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k
b) Gọi
21
; xx
là hai nghiệm của phơng trình . Tìm giá trị của k sao cho
18
2
2
2
1
=+ xx
Bài 7: Cho phơng trình :
( )
0332
22
=+ mmxmx

a) CMR phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm
21
, xx
thoả mãn
61
21
<<< xx
Bài 8: Tìm các giá trị của m để phơng trình sau có ít nhất một nghiệm lớn hơn bay bằng 2
x
2
+ mx 1 = 0
HD: Giải phơng trình ta đợc
x
1
=
2
4
2
++ mm
x
2
=
2
4
2
+ mm
Thấy x
1
> x

2
nên ta có x
1
2. Giải tiếp đợc:
2
3
4

< m
Bài 9: Tìm m để phơng trình sau có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 2
3x
2
4x + 2(m 1) = 0
HD:
Ta có : > 0 > 0 (1)
X
1
2 < 0 (x
1
2)(x
2
2) > 0 (2)
X
2
2 < 0 (x
2
2) + (x
2
2) < 0 (3)
Giải (1) đợc m < 5/3

Giải (2): đợc m > - 1
Giải (3): đợc BĐT luôn đúng
KL: -1 < m < 5/3
Hoặc giải theo cách bài 8
Bài 10: (Đề 6III T70 Sách Ôn thi vào 10 năm 2010)
Cho phơng trình x
2
(3m 1)x + 2m
2
m = 0
11
Tài liệu Ôn thi vào lớp 10 THPT Biên soạn : Giáo viên : Nguyễn Văn Tâm
a) Giải phơng trình khi m = 1
b) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt x
1
; x
2
mà
2
21
= xx
HD:
a) Giải ra đợc x = 1
b) = (m 1)
2
.
PT có 2 nghiệm phân biệt khi m 1
Ta có:
2
21

= xx
(x
1
x
2
)
2

= 4. áp dụng hệ thức Viet ta đợc m
1
= - 1, m = 3
Bài 11: (Đề 8III 71 Sách Ôn thi vào 10 năm 2010)
Cho phơng trình x
2
2(m + 4)x + m
2
8 = 0
a) Giải phơng trình với m = -3
b) Tìm m đẻ phơng trình có 2 nghiệm phân biệt thoả mãn x
1
2
+ x
2
2
x
1
x
2
= 121.
HD: Giải nh bài 6

Bài 12: (Đề 12III T74 Sách Ôn thi vào 10 năm 2010)
Cho phơng trình x
3
m(x + 1) + 1 = 0
a) Giải phơng trình khi m = 3
b) Tìm m để phơng trình có 3 nghiệm phân biệt
Bài 13: Cho phơng trình 2x
2
+ 2mx + m
2
2 = 0
a) Giải phơng trình với m = 1.
b) Tìm m = ? để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt
c) Gọi x
1
, x
2
là 2 nghiệm của phơng trình. Tìm giá trị lớn nhất của
42
2121
++ xxxx
Bài 14:
Cho phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 có hai nghiệm dơng phân biệt x
1
, x
2
a) CHứng minh rằng phơng trình cx
2

+ bx + a = 0 cũng có hai nghiệm dơng phân biệt x
3
, x
4
.
b) Chứng minh rằng S = x
1
+ x
2
+ x
3
+ x
4
4
HD:
a) PHơng trình ax
2
+ bx + c = 0 có 2 nghiệm dơng x
1
, x
2
nên:
> 0, x
1
+ x
2
> 0, x
1
.x
2

> 0
b
2
4ac > 0,
0,0 >>

a
c
a
b
b
2
4ac > 0, a và b trái dấu, a và c cùng dấu, c 0
b
2
4ac > 0, c và b trái dấu, a và c cùng dấu, c 0
b
2
4ac > 0, x
3
+ x
4
=
,0>

c
b
x
3
.x

4
=
0>
c
a
c 0
Phơng trình cx
2
+ bx + a = 0 có hai nghiệm dơng x
3
, x
4
.
b) Chỉ ra nếu > 0 là nghiệm của phơng trình ax
2
+ bx + c = 0 thì

1
là nghiệm của phơng trình cx
2
+
bx + a = 0. Do đó
S = x
1
+ x
2
+ x
3
+ x
4

=
422
11
2
2
1
1
=+








++








+
x
x
x
x

Bài 15: (Bài 3 T20 Sách Ôn thi vào 10 năm 2010)
Cho hai phơng trình x
2

+ mx + 2 = 0 (1) và x
2
+ 2x + m = 0 (2). Tìm m để hai phơng trình có ít nhất
một nghiệm chung.
HD: Gọi x
0
là nghiệm chung của hai phơng trình. Ta có:
X
0
2
+ m x
0
+ 2 = 0 (1)
X
0
2
+ 2x
0
+ m = 0 (2)
12
Tài liệu Ôn thi vào lớp 10 THPT Biên soạn : Giáo viên : Nguyễn Văn Tâm
=> (m 2)(x
0
1) = 0 (3)
- Nếu m = 2 thì cả hai PT đều vô nghiệm. Vởy m 2

- Khi m 2 => x
0
= 1, thay vào PT ta đợc m = -3
Bài 16: Tổng quát
Tìm hệ thức giữa a, b, c để hai phơng trình sau có một nghiệm chung duy nhất.
ax
2
+ bx + c = 0 (1) và cx
2
+ bx + a = 0 (2)
HD: Gọi x
0
là nghiệm chung của hai phơng trình. Tìm ra đợc x
0
= 1 hoặc x
0
= -1.
Với x
0
= 1: Ta đợc hệ thức a + b + c = 0
Với x
0
= -1: Ta đợc hệ thức a b + c = 0.
Dạng 5: Hình học
Dạng 6: Bất đẳng thức Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
Bài 1: (Các ví dụ 1 7 T37 Sách Ôn thi vào 10 năm 2010)
Sử dụng những hằng đẳng thức và điều kiện có nghiệm của phơng trình bậc hai
Bài 2: Tìm x để biểu thức M = (2x 1)
2
- 3

212 +x
đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó
Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức y =
1
1

++
x
xx
Bài 4: Tìm giá trị của x để biểu thức
2
2
20102
x
xx
y
+
=
(*) đạt giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ nhất đó
HD: (*) (1 y)x
2
2x + 2010 = 0
PT có nghiệm = 1 2010(1 y) 0
2010y 2009 0 giá trị nhỏ nhất của y là 2009/2010 khi x = 2010.
Bài 5: Tìm giá trị của x để biểu thức y = x -
2010x
đạt giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Bài 6: (Đề 1V 66 Sách Ôn thi vào 10 năm 2010)
Cho x > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
A = x

2
+ 3x +
x
1
B i 7: (Đề 4 T68 Sách Ôn thi vào 10 năm 2010)
Cho 1 a, b, c 2 v a + b + c = 0. Ch ng minh: a
2
+ b
2
+ c
2
6.
HD:
Bài 8: (Đề 5 V T69 Sách Ôn thi vào 10 năm 2010)
Cho x + y + z + xy + yz + xz = 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của
S = x
2
+ y
2
+ z
2
Bài 9: (Đề 13V T75 Sách Ôn thi vào 10 năm 2010)
Cho phơng trình x
2
mx + m
2
5 = 0 (1). Giả sử x
0
là nghiệm của phơng trình. Tìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất của x

0
HD: Vì x
0
là nghiệm nên: x
0
2
mx
0
+ m
2
5 = 0
m
2
x
0
.m + x
0
2
5 = 0 (*)
PT (*) ẩn m phải có nghiệm. Do đó = x
0
2
4(x
0
2
5) 0
Giải ra đợc x
0
=
3

15
3
152
=<=> m
.
13
Tài liệu Ôn thi vào lớp 10 THPT Biên soạn : Giáo viên : Nguyễn Văn Tâm
x
0
=
3
15
3
152
=<=> m
. Vởy min x
0
=
3
152

, max x
0
=
3
152
Bài 7: Cho a, b, c là các số dơng và
cba +
+
+

+
+ 1
1
1
1
1
1
= 2. Tìm giá trị lớn nhất của abc.
HD: Dùng Bất đẳng thức Côsi
Bài 8: Cho x.y = 1 và x > y > 0. Chứng minh
22
22


+
yx
yx
Bài 9: Cho a, b, c là các số dơng và a + b + c = 1.
Chứng minh:
6+++++ accbba
Bài 10: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
2
21
2
xx
x
A +=
Bài 11: Cho x, y là các số dơng và x + y 6
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = 3x + 2y +
yx

86
+
Bài 12:
Cho a, b là các số dơng và a + b = 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của Q =
ba
11
+
B i 13:
14