cac phuong trinh he phuong trinh dai so LTDH

Ph¬ng Tr×nh HÖ ph¬ng tr×nh
1. Hệ phương trình bậc 1 :

+ =

+ =

' ' '
ax by c
a x b y c
.
Tính : D =
' '
a b
a b
, D
x
=
' '
c b
c b
, D
y
=
' '
a c
a c
D ≠ 0 : nghiệm duy nhất x = D
x
/D , y = D
y

/D.
D = 0, D
x
≠ 0 ∨ D
y
≠ 0 : VN
D = D
x
= D
y
= 0 : VSN hay VN (giải hệ với m đã biết).
2. Hệ phương trình đối xứng loại 1 :
Từng phương trình đối xứng theo x, y. Đặt S = x + y, P = xy.
ĐK : S
2
– 4P ≥ 0. Tìm S, P. Kiểm tra đk S
2
– 4P ≥ 0;
Thế S, P vào pt : X
2
– SX + P = 0, giải ra 2 nghiệm là x và y.
(α, β) là nghiệm thì (β, α) cũng là nghiệm;
Nghiệm duy nhất ⇒ α = β ⇒ m = ?
Thay m vào hệ, giải xem có duy nhất nghiệm không.
3. Hệ phương trình đối xứng loại 2 :
Phương trình này đối xứng với phương trình kia. Trừ 2 phương trình, dùng các hằng đẳng thức đưa về
phương trình tích A.B = 0.
Nghiệm duy nhất làm như hệ đối xứng loại 1.
4. Hệ phương trình đẳng cấp :


+ + =


+ + =


2 2
2 2
' ' ' '
ax bxy cy d
a x b xy c y d
Xét y = 0. (Có thể xét x = 0, xét x ≠ 0, đặt y = tx) .
Xét y ≠ 0 : đặt x = ty, chia 2 phương trình để khử t. Còn 1 phương trình theo y, giải ra y, suy ra t, suy ra
x.
5. HOÁN VỊ VÒNG QUANH :

=

=


=

( )
( )
( )
x f y
y f z
z f x

Xét hàm số f(t) luôn đồng biến (nghịch biến) trên D.
Với x, y, z ∈ D, từ tính đơn điệu của f(t) trên D suy ra x = y = z.
Thế vào hệ, giải pt x = f(x) trên D.
A– Cơ bản:
1) (A–03)

− = −



= +

3
1 1
(1)
2 1 (2)
x y
x y
y x
⇔
(2)
(2)
1 5
1;
2
1
x y x y
xy vn
− ±
= = =

= −

→



→

2) (B–02)

− = −


+ = + +


3
(1)
2 (2)
x y x y
x y x y

(1)⇔

= → = =


= + → = =



(2)
(2)
1
3 1
1 ;
2 2
x y x y
x y x y
3) A2–05)


+ + − + =

+ =


2 1 1
3 2 4
x y x y
x y
Đặt u =
= + + ≥ = + ≥2 1 0; 0u x y v x y
Có

− =

=

⇔
 

=
+ =



2 2
1
2
1
5
u v
u
v
u v
. ĐS (2; −1)
4) (D1–06)

− + = −


+ + = −


2 2
2 2 2
3( )
7( )
x xy y x y
x xy y x y
. Đặt


= −

=

u x y
v xy

0978541185
1
Ph¬ng Tr×nh HÖ ph¬ng tr×nh


− + = = =

⇔


= =
=



2
2
3 0 0
1; 2
2
u u v u v
u v

v u
.ĐS: (0;0),(2; 1),(−1; −2)
5) (D–02)
+

= −


+
=

 +
3 2
1
2 5 4 (1)
4 2
(2)
2 2
x
x x
x
y y
y

(2) ⇔ 2
x
= y >0
→
(1)
(0;1),(2;4)

6) (B–05)

− + − =


− =


2 3
9 3
1 2 1 (1)
3log (9 ) log 3 (2)
x y
x y

(2) ⇔ x = y
+
→
(1)
(1;1),(2;2)
ñk
7) (A–04)

− − =



+ =

1 4

4
2 2
1
log ( ) log 1 (1)
25 (2)
y x
y
x y
(1) ⇔
+
= →
(2)
3
(3;4)
4
ñieáu kieän
y
x
8) (D2–06)

+ − + = −

− +

2 2
ln(1 ) ln(1 ) (1)
12 20y =0 (2)
x y x y
x xy
(2) ⇔ x= 2y; x = 10y → x và y cùng dấu

Xét f(t) = ln(1+t) – t (t > –1); (1) ⇔ f(x) = f(y)
Từ tính đơn điệu của f(t)→ x = y → ĐS: (0; 0)
9) D08)

+ + = −


− − = −


2 2
2 (1)
2 1 2 2 (2)
xy x y x y
x y y x x y
(1)⇔(x+y)(x–2y–1)=0
≥ ≥
→
ñk:x 1;y 0
x= 2y+1
→
(2)
(5;2)
10) (A08)

+ + + + + = −





+ + + = −


2 3 2
4 2
5
4
5
(1 2 )
4
x y x y xy xy
x y xy x
Đặt

= +


=


2
u x y
v xy
có

+ + = −





+ = −


2
5
(1)
4
5
(2)
4
u v uv
u v
(1) ⇔

 

= = − → −
 ÷
 ÷

 
= − − →

 

= − = − → −
 ÷

 


3
3
2 (2)
5 5 25
0; ;
4 4 16
5
4
1 3 3
; 1;
2 2 2
u v
v u
u v
11) (B–08)

+ + = +


+ = +


4 3 2 2
2
2 2 9(1)
2 6 6 (2)
x x y x y x
x xy x
(2) ⇔ xy =
+ − → −

2
(1)
17
3 3 ( 4; )
2 4
x
x
12) (B2–08)

− − = −


− =


3
4
1 8 (1)
( 1) (2)
x y x
x y
Thế (2) vào (1)⇒
− − − + − = ≥
2 3
1 ( 1) 8 0 ( 1)x x x x
Cách 1: đặt t =
−1x
→ t =1 → (2; 1)
Cách 2: f(x) =
− − − + − ≥

2 3
1 ( 1) 8 ( 1)x x x x
Có f(x) đồng biến ∀x > 1 ⇒ x =2 là nghiệm duy nhất.
0978541185
2
Ph¬ng Tr×nh HÖ ph¬ng tr×nh
13) (A–06)

+ − =


+ + + =


3 (1)
.
1 1 4 (2)
x y xy
x y
Bình phương 2 vế pt(2)→ pt(3) . Đặt t =
xy

→ + = +
(1)
3x y t
; thay vào (3) ⇒ t =3⇒ đáp số (3; 3)
B- Đối xứng loại I (S; P)
14) (A1−05)

+ + + =



+ + + + =


2 2
4
( 1) ( 1) 2
x y x y
x x y y y
ĐS:
− − − −( 2; 2),( 2; 2),(1; 2),( 2;1)
15) (CĐ–06)

+ + +




2 2
y =8
xy(x+1)(y+1)=12
x y x
16) (A1–06)

+ + + =


+ + − =



2
2
1 ( ) 4 (1)
( 1)( 2) (2)
x y y x y
x y x y
Cách 1: (1)⇒ y ≠ 0. chia 2 pt cho y ,
đặt

+
=



= + −

2
1
2
x
u
y
v x y


+ =
⇔ = =

=


2
1
. 1
u v
u v
u v
.ĐS
−(1;2),( 2;5)
Cách 2: Thay y từ (2) vào (1)⇒ y+x–2=1. ĐS(1;2), (–2;5)
17) (A2–07)

− + =


− + = −


4 3 2 2
3 2
1
1
x x y x y
x y x xy
Đặt u = –x
2
; v = xy


= −

+ + =

⇔
 
=
+ − = −



2 2
1
1
0
1
u
u v uv
v
u v uv
ĐS: (1; 0), (–1; 0)
C- Đối xứng loại II
18) (B–03)
+
=
+
=








2
2
2
2
2
3
2
3
y
y
x
x
x
y

19) (ĐH –99)
+ =
+ =







1 3
2
1 3

2
x
y x
y
x y

 
− −
 ÷
 ÷
 
( 2; 2),( 2; 2)
(1;1), (-1;-1)
20) (A1–07)
−
−

+ − + = +


+ − + = +


2 1
2 1
2 2 3 1 (1)
2 2 3 1 (2)
y
x
x x x

y y y
Đặt u =x –1; v =y –1. Lấy (1)–(2)⇒ pt (3): f(u) =f(v)
Với hàm số f(t) =
+ + +
2
1 3
t
t t
đồng biến trên D ⇒u=v
⇒ g(u)=
+ +
−
2
1
1
3
u
u u
=0; g(u) nghịch biến ⇒ u =0 là nghiệm duy nhất ⇒ x = y =1
21) (B2–07)

+ = +

− +



+ = +

− +


2
3
2
2
2
3
2xy
(1)
2 9
2xy
(2)
2 9
x x y
x x
y y x
y y
C1: (1)– (2) có (x–y).A = 0 (A ≠ 0 )⇔ x = y.
C2: (1)+(2)có
+
− + − +
 
 ÷
 ÷
 
2 2
3
3
1 1
2

( 1) 8 ( 1) 8
xy
x y
=x
2
+y
2
≥ ≥2 xyVP VT
vì
< + ≤
− + − +
2 2
3
3
1 1
0 1
( 1) 8 ( 1) 8x y
ĐS (0; 0), (1; 1)
0978541185
3
HD: TH1 x=y suy ra
x=y=1
TH2 chú ý: x>0 ,
y> 0
suy ra vô
nghiệm
Phơng Trình Hệ phơng trình
22) B1_07)CMR
=

=








2
2
2007 (1)
1
2007 (2)
1
x
y
y
e
y
x
e
x
cú ỳng 2 n
0

>
>

0
0
x
y
T x>0; y > 0 e
x
>1; e
y
>1 Ly (1) (2) (3): f(x)=f(y),
Vi f(t)=
>

2
( 1)
1
t
t
e t
t
f(t)ng bin t >1 x =y
g(x) =
+ =

2
2007 0
1
x
x
e

x
g(x) > 0 ;
kt hp tớnh liờn tc ca hm s pcm
23) HSG)

+ + + =


+ + + =


2
2
3 ln(2 1) (1)
3 ln(2 1) (2)
x x x y
y y y x
k: x> 1/2; y>1/2. Ly (1) (2) f(x) = f(y)
Vi f(t)= t
2
+4t+ln(2t +1)
>
1
( )
2
t
f ng bin x = y
g(x) = x
2
+4x+ln(2x +1) = 0; g(x) ng bin x = 0 l nghim duy nht

thử ỷ laùi
ỏp s x = y = 0
D- H ng cp:
24)

+ + =


=


2 2
2 2
3

3
x xy y a)Giaỷi heọ phửụng trỡnh khi m = 3
b)Tỡm m ủeồ heọ phửụng trỡnh co ự nghieọm
x xy y m
x = 0 y
2
= 3= m/3 m = 9
x 0 y = tx
+
=
+ +
2
2
3 1

3
1
m t t
t t
(t
Ă
) (*)
C1: KSHS f(t) =
+
+ +
2
2
3 1
1
t t
t t

+3 4 3 3 4 3m
C2: (*) pt b2 theo t


ẹKCN: 0
ỏp s
25) Cho x, y l cỏc s thc tha món: x
2
xy +y
2
3. Chng minh:
+ +
2 2

1 2 7 2 1 2 7x xy y
E- H hoỏn v vũng quanh
26) D208)
+ =
+ =
+ =





2 2
2 2
2 2
36 60 25 0
36 60 25 0
36 60 25 0
x y x y
y z y z
z x z x

=
+
=
+
=
+

2
2
2
2
2
2
60
36 25
60
36 25
60
36 25
x
y
x
y
z
y
z
x
z
x; y ; z khụng õm
x = 0 y = z = 0 x = y = z = 0 l 1 nghim ca h.
x > 0 y > 0; z > 0

Xột f(t) =
+
2
2
60
36 25
t
t
f ng bin x = y = z=
5
6
l 1 n
0
27) (A206)

= +


= +


3 3
2 2
8 2
3 3( 1)
x x y y
x y

ữ

ữ ữ
ữ ữ
ữ


6 6 6 6
(3;1),( 3; 1), 4 ; , 4 ;
13 13 13 13
28) (B206)

+ =


+ =


2 2
2 2
( )( ) 13
( )( ) 25
x y x y
x y x y
( (3;2), (2;3) )
29) (D104)
+

+ = +

=


2 2
1
2 2
x y x
x y y x
x y
(x=y=1; x=1,y=0)
0978541185
4
Ph¬ng Tr×nh HÖ ph¬ng tr×nh
30) (A1–03)

=


+ =


log log
2 2 3
y x
x y
xy y
 
= =
 ÷

 
2
3
log
2
x y
31) (B1–02)

− + =


− =


4 2
4 3 0
log log 0
x y
x y
((1;1), (9;3))
32) Đề 2009 :
B
+ + =
∈
+ + =



¡
2 2 2

1 7
( , )
1 13
xy x y
x y
x y xy y
; D
+ + − =
+ − + =





2
2
( 1) 3 0
5
( ) 1 0
x x y
x y
x
33)
− = −
= +






2
2
10 20 (1)
5 (2)
xy x
xy y
HD : Rút ra
+
= = +
2
5 5
y
x y
y y
. Cô si
= + ≥
5
2 5
x y
y
.
x
2
≥

20 theo (1) x
2
≤ 20 suy ra x
2
=20 ⇒ x,y.

0978541185
5