Đề Thi Tốt NGhiệp CDSP Toán Tin 2010

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO GIA LAI
TRƯỜNG CAO ĐẲNG SƯ PHẠM
ĐỀ THI TỐT NGHIỆP NĂM 2010
(1)
Hệ :Cao đẳng Sư phạm
Ngành :Toán- Tin
Môn : Toán và Phương pháp giảng dạy Toán
Thời gian : 150 phút(không kể thời gian phát đề)
0O0
Câu 1: (3 điểm)
Cho ánh xạ f:
3 3
R R→
xác định như sau:
3
1 2 3 1 1 2 3 1 2 3
( , , ) : ( ) (2 ; 2 3 ;3 2 2 )x x x x R f x x a x x x x x x∀ = ∈ = + − + − − +
1. Xác định a để f là một ánh xạ tuyến tính trên R
3
.
2. Với a vừa tìm được ở trên tìm ma trận của f đối với cơ sở chính tắc
trong R
3
.
Câu 2: (1 điểm)
Tìm điều kiện của a để hệ phương trình sau có nghiệm:

1
1
1
ax y z

x ay z
x y az
+ + =


+ + =


+ + =

Câu 3: (3 điểm)
1. Cho n là số nguyên tố, n>3. Chứng minh rằng
2
1 24n − M
.
2. Cho X là vành giao hoán có đơn vị, a,b thuộc X.
Chứng minh A={xa+yb|x,y
∈
X} là một iđêan của X và nó là iđêan bé
nhất chứa B={a,b}.
Câu 4: (3 điểm)
1. Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AH,BI,CK.
Chứng minh rằng:
2 2 2
1 os os os
HIK
ABC
S
C A C B C C
S

∆
∆
= − − −
.
2. Trình bày các bước cần thiết khi giải một bài toán.
Hết
ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 1
Câu1 1.Đặt x=(x
1
,x
2
,x
3
) ; y=(y
1
,y
2
,y
3
) để f là một ánh xạ tuyến tính thì
f(x+y)=f(x)+f(y)
1 1 1 1
1 1 2 2 3 3 1 2 3
1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3
2( ) 2 2
2( ) 3( ) ( ) 2 3
3( ) 2( ) 2( ) 3 2 2 3 2 2
x y a x a y a
x y x y x y x x x
x y x y x y x x x y y y

+ + = + + +


⇔ − + + + − + = − + −


+ − + + + = − + + − +

 2a=a  a=0
0,5
0,5
0,5
2.Ta có f(1,0,0)=(2,-2,3); f(0,1,0)=(0,3,-2); f(0,0,1)=(0,-1,2)
2 0 0
2 3 1
3 2 2
A
 
 ÷
= − −
 ÷
 ÷
−
 
1
0,5
Câu2
Ma trận
1 1 1 1 1
1 1 , 1 1 1

1 1 1 1 1
a a
A a B a
a a
   
 ÷  ÷
= =
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
Xét định thức D=
1 1
1 1
1 1
a
a
a
=a
3
-3a+2=(a-1)
2
(a+2)
+ Nếu a#1, a#-2 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
+ Nếu a=1 ta có hạng(A) = hạng(B) = 1. Vậy với a = 1 hệ đã cho có
nghiệm.
+ Nếu a = -2, ta có: D = 0 và
⇒≠=
−
−
= 03

2
1
1
2
1
D
hạng(A)
= 2.
Xét định thức cấp 3 của ma trận B:
⇒≠=−
−
= 09
1
1
1
1
2
1
1
1
2
3
D
hạng(B) = 3
=> hạng(A)
≠
hạng(B). Vậy với a = -2 hệ đã cho vô nghiệm
* Vậy để hệ trên có nghiệm thì a
≠
-2.

0,25
0,25
0,25
0,25
Câu3 1.Ta có n
2
-1=(n-1)(n+1) 0,25
Vì n là số nguyên tố lớn hơn 3 nên n-1 và n+1 là hai số chẵn
liên tiếp, suy ra (n-1)(n+1)
M
8 (1)
Ta có
( 1)( 1) 3
( 1)( 1) 3 (2)
( ;3) 1
n n n
n n
n
+ −

⇒ − +

=

M
M
Từ (1) và (2) suy ra n
2
-1
M

3.8 => n
2
-1
M
24
0,25
0,25
0,25
0,5
2.
, ' , ' ' ' , , ', 'z z A z xa yb z x a y b voi x y x y X∀ ∈ ⇒ = + = + ∈
Ta có z-z’=(x-x’)a+(y-y’)b
∈
A (1) vì x-x’,y-y’
∈
X
1 1 1 1 1 1
, ( ) ( ) ( ) (2)x X z A x z zx x xa yb x x a x y b A∀ ∈ ∀ ∈ ⇒ = = + = + ∈
Từ (1) và (2) ta có A là idean của X.
Gọi 1 là phần tử đơn vị của vành X. Ta có
1. 0
0 1
a b A a A
a b A b A
B A
+ ∈ ⇒ ∈
+ ∈ ⇒ ∈
⇒ ⊂
Gọi A’ là một idean của X và B
⊂

A’.
z A z xa yb∀ ∈ ⇒ = +
Ta có xa,yb
∈
A’ suy ra
' ' 'xa yb A z A A A+ ∈ ⇒ ∈ ⇒ ⊂
.
Vậy A là idean bé nhất của X chứa B.
0,5
0,5
0,25
0,25
Câu4 1.Ta có S
HIK
=S
ABC
-S
AKI
-S
BHK
-S
CHI

1
HIK AKI BHK CHI
ABC ABC ABC ABC
S S S S
S S S S
⇒ = − − −
Mà hai tam giác AKI và ABC có góc chung A nên

2
.
cos
.
AKI
ABC
S AK AI AK AI
A
S AB AC AC AB
= = =
Tương tự ta có
2 2
cos , cos
BHK CHI
ABC ABC
S S
B C
S S
= =
Vậy
2 2 2
1 os os os
HIK
ABC
S
C A C B C C
S
= − − −
2.Các bước giải bài toán
-Tìm hiểu nội dung

-Thiết lập chương trình giải
-Trình bày bài giải
-Kiểm tra, nghiên cứu bài giải.
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO GIA LAI
TRƯỜNG CAO ĐẲNG SƯ PHẠM
ĐỀ THI TỐT NGHIỆP NĂM 2010
(2)
Hệ :Cao đẳng Sư phạm
Ngành :Toán- Tin
Môn : Toán và Phương pháp giảng dạy Toán
Thời gian : 150 phút(không kể thời gian phát đề)
0O0
Câu 1: (3,5 điểm)
Cho ánh xạ f: R
3
→ R
3
xác định như sau:
f(x;y;z)=(x-y;0;z)
a) Chứng minh rằng f là một ánh xạ tuyến tính.
b) Tìm Imf; kerf.

c) Tìm ma trận của f đối với cơ sở chính tắc.
Câu 2: (2 điểm)
Cho tập hợp
{ }
( ; ) | , , 0G a b a b R a= ∈ ≠
.Trên G xác định phép toán * như sau :
(a;b)*(a’;b’)=(aa’;ab’+b)
1. Chứng tỏ (G;*) là một nhóm không giao hoán.
2. Cho f: G→R\{0} xác định bởi f(a;b)=a. Chứng minh rằng
,x y G∀ ∈
, ta có
f(x*y)=f(x).f(y).
Câu 3: (2 điểm)
1. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 5x+7y=112.
2. Chứng minh rằng A=5
n
(5
n
+1)-6
n
(3
n
+2
n
)
M
91
n N∀ ∈
.
Câu 4: (2,5 điểm)

1. Cho tam giác ABC đều, M là điểm di động trên cạnh BC. Qua M vẽ các
đường thẳng song song với AB, AC và cắt AC, AB lần lượt tại I,J. Tìm quỹ
tích điểm N là trung điểm của đoạn IJ.
2. Nêu các yêu cầu của việc dạy học định lý.
Hết
ĐÁP ÁN
Câu
1
Cho ánh xạ f: R
3
→ R
3
xác định như sau:
f(x;y;z)=(x-y;0;z)
a)
3
, R∈∀
βα
);;();;;(
222111
zyxzyx ==
βα
ta có :
)()(
βα
ff +
(1)

)()(
ββ

kfkf =
(2).
Từ (1) và (2) ta có f là axtt.
b) Imf=Rx{0}xR
Kerf = {(a;a;0)
3
R∈
}
c)f(e
1
)=(1;0;0); f(e
2
) = (-1;0;0); f(e
3
) = (0;0;1).
Ma trận của f đối với cơ sở chính tắc {e
1
;e
2
;e
3
}
là A =











−
100
000
011
.
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
Câu2 1. Tính chất kết hợp
Phần tử đơn vị (1;0)
∈
G
Phần tử đối của (a;b) là
1
;
b
a a
−
 
 ÷
 
Vậy (G,*) là một nhóm.
Nhóm này không giao hoán vì có (1;2)*(3;4)=(3;6)

# (3;4)*(1;2)=(3;10)
2.
( , ), ( ', ')x a b y a b G∀ = = ∈
ta có
+f(x)f(y)=a.a’
+f(x*y)=f(aa’;ab’+b)=aa’
=> f(x*y)=f(x).f(y)
0,5
0,25
0,25
0,5
0,25
0,25
Câu3
1.Ta có 5x+7y=112 =>
2(1 )
22
5
y
x y
−
= − +
(1)
Để x là số nguyên thì 2(1-y)
M
5, mà (2;5)=1 nên 1-y
M
5
=> y có tận cùng bằng 1 hoặc 6 (2)
Vì x,y là các số nguyên dương nên 5x>0

=> 0<7x<112  0<y<16 (3)
Từ (2) và (3) suy ra y=1,y=6 hoặc y=11
Thay y vào (1) ta có :
y= 1 => x=21; y=6 =>x=14; y=11 =>x=7.
Vậy phương trình có các nghiệm nguyên dương là (21;1),
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
(14;6),(7,11).
2.Ta có A=25
n
+5
n
-18
n
-12
n
và 91=7.13
Do (7,13)=1 nên ta cần chứng minh A chia hết cho 7 và
cho 13.
+A=(25
n
-18
n
)-(12

n
-5
n
)
Do 25
n
-18
n

M
25-18=7 và 12
n
-5
n
M
12-5=7 nên A
M
7
+ A=(25
n
-12
n
)-(18
n
-5
n
)
Do 25
n
-12

n

M
25-12=13 và 18
n
-5
n
M
18-5=13 nên A
M
13
Vậy A
M
91 với mọi n là số tự nhiên.
Câu4
1.Ta có tứ giác AIMJ là hbh
N là trung điểm của IJ nên N là trung điểm của AM
NMV
A
=∃⇒ )(
2/1
M
[ ] [ ]
''CBNBC ∈⇒∈
là ảnh của [BC] qua
2/1
A
V

Vậy quỹ tích điểm N là đoạn B’C’ với B’,C’ là trung điểm của AB, AC.

0,5
0,5
0,5
2.
- Nắm được nội dung định lý.
- Nhận dạng và thể hiện được định lý.
- Biết vận dụng định lý trong giải toán và ứng dụng
thực tiễn.
- Phát triển năng lực CMĐL.
0.25
0.25
0.25
0.25