chuyên đề khảo sát hàm số 4

Vũ Hoàng Anh – 0984 960096
LÝ THUYẾT ÔN THI ĐẠI HỌC MÔN GIẢI TÍCH
Kiến thức bổ sung

Cách xét dấu tam thức bậc hai

Cho tam thức bậc hai
( ) ( )
0
2
≠++=
acbxaxxf
( )



<
≤∆
⇔∈∀≤
0
0
0
a
Rxxf
( )



>
≤∆
⇔∈∀≥

0
0
0
a
Rxxf
Nếu chưa có điều kiện
0
≠
a
thì phải xét trường hợp
0
=
a

Nhắc lại công thức so sánh nghiệm

Cho phương trình bậc hai:
( ) ( )
00
2
≠=++= acbxaxxf
có hai nghiệm
21
xx <
và hai số
βα
<
. Ta có:
•
( )

0.
21
<⇔<<
αα
faxx
•
( )







<−
>
>∆
⇔<<
0
2
0.
0
21
α
αα
S
faxx
•
( )








>−
>
>∆
⇔<<
0
2
0.
0
21
α
αα
S
faxx
•
( )
( )



<
>
⇔<<<
0.
0.

21
β
α
βα
fa
fa
xx
•
( )
( )



>
<
⇔<<<
0.
0.
21
β
α
βα
fa
fa
xx
•
( )
( )




<
<
⇔<<<
0.
0.
21
β
α
βα
fa
fa
xx
Vũ Hoàng Anh – 0984 960096
•
( )
( )









<<
>
>
>∆

⇔<<<
βα
β
α
βα
2
0.
0.
0
21
S
fa
fa
xx
 KHẢO SÁT HÀM SỐ
Một số dạng toán ứng dụng đạo hàm
Chủ đề 1. Tính đơn điệu của hàm số
( )
xfy =
I. Định nghĩa
Cho hàm số
( )
xfy =
xác định trên
( )
ba,
1.
f
tăng trên
( )

ba,
nếu với mọi
( )
baxx ,,
21
∈
mà
21
xx <
thì
( ) ( )
21
xfxf <
.
2.
f
giảm trên
( )
ba,
nếu với mọi
( )
baxx ,,
21
∈
mà
21
xx <
thì
( ) ( )
21

xfxf >
.
3.
( )
bax ,
0
∈
được gọi là điểm tới hạn của hàm số nếu tại đó
( )
xf
′
không nh hay
bằng 0.
II. Định lý:
1. Định lý Lagrăng: Nếu hàm số
( )
xfy =
liên tục trên đoạn
[ ]
ba,
và có đạo hàm trên
khoảng
( )
ba,
thì tồn tại một điểm
( )
bac ,∈
sao cho
( ) ( ) ( )( )
abcfafbf −

′
=−
hay
( )
( ) ( )
ab
afbf
cf
−
−
=
′
2. Cho hàm số
f
có đạo hàm trên khoảng
( )
ba,
.
• Nếu
( )
0>
′
xf

( )
bax ,∈∀
thì hàm số
( )
xfy =
đồng biến trên

( )
ba,
.
• Nếu f’(x)<0
( )
bax ,∈∀
thì hàm số
( )
xfy =
nghịch biến trên
( )
ba,
.
( Nếu
( )
0=
′
xf
tại một số hữu hạn điểm trên khoảng
( )
ba,
thì định lý vẫn còn đúng ).
Dạng 1: Xét tính đơn điệu của hàm số
B
1
: Tìm tập xác định
B
2
: Tính
( )

xf
′
, cho
( )
0=
′
xf
giải tìm
x
B
3
: Vẽ bảng biến thiên suy ra tính đơn điệu của hàm số
• Nếu
( )
0>
′
xf
hàm số đồng biến
• Nếu
( )
0<
′
xf
hàm số đồng biến
• Nếu
( )
0=
′
xf
hàm số không đổi dấu trên TXĐ

Dạng 2: Định m để hàm số đơn điệu trên tập xác định
Vũ Hoàng Anh – 0984 960096
B
1
: Tính
( )
xf
′
B
2
: Sử dụng điều kiện để hàm số đơn điệu của dạng 1
B
3
: Giải tìm m.
Dạng 3: Hàm số đơn điệu trên khoảng
( )
βα
;
Phương pháp giải tương tự dạng 2.
Chủ đề 2. Cực trị của hàm số
( )
xfy =
1.Định nghĩa: Cho hàm số
( )
xfy =
xác định trên
( )
ba,
và điểm
( )

bax ,
0
∈
.
•
0
x
đgl điểm cực đại
( ) ( )
Dbaxba ⊂⊃∃⇔ ;:;
0
và
( ) ( ) ( ) { }
00
\;, xbaxxfxf ∈∀<
•
0
x
đgl điểm cực tiểu
( ) ( )
Dbaxba ⊂⊃∃⇔ ;:;
0
và
( ) ( ) ( ) { }
00
\;, xbaxxfxf ∈∀>
2. Điều kiện để hàm số có cực trị:
Định lý fermat: Nếu hàm số
( )
xfy =

liên tục
( )
ba,
có đạo hàm tại
( )
bax ,
0
∈
và đạt cực
trị tại điểm đó thì
( )
0
0
=
′
xf
.
Định lí 1:
Giả sử hàm số
( )
xfy =
liên tục trên khoảng
( )
ba,
chứa điểm
0
x
và có đạo hàm trên các khoảng
( )
0

, xa
và
( )
bx ,
0
. Khi đó:
a. Nếu
( )
0
0
<
′
xf

( )
0
, xax ∈∀
và
( )
0>
′
xf

( )
bxx ,
0
∈∀
thì hàm số
f
đạt cực tiểu tại

điểm
0
x
.
b. Nếu
( )
0
0
>
′
xf

( )
0
, xax ∈∀
và
( )
0<
′
xf

( )
bxx ,
0
∈∀
thì hàm số
f
đạt cực đại tại điểm
0
x

.
Nói một cách vắn tắt: Nếu khi
x
đi qua
0
x
, đạo hàm đổi dấu thì điểm
0
x
là điểm cực trị
( dương sang âm là cực đại, âm sang dương là cực tiểu ).
Định lí 2. Giả sử hàm số
( )
xfy =
có đạo hàm cấp một trên khoảng
( )
ba,
chứa điểm
0
x
,
( )
0
0
=
′
xf
và
f
có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm

0
x
.
1. Nếu
( )
0
0
>
′′
xf
thì
0
x
là điểm cực tiểu.
2. Nếu
( )
0
0
<
′′
xf
thì
0
x
là điểm cực đại.
Nói cách khác:
1.
( )
0
0

=
′
xf
,
( )
0
0
>
′′
xf
⇒
0
x
là điểm cực tiểu.
2.
( )
0
0
=
′
xf
,
( )
0
0
<
′′
xf
⇒
0

x
là điểm cực đại.
Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số
( )
xfy =
Vũ Hoàng Anh – 0984 960096
Áp dụng 1 trong 2 quy tắc sau:
Quy tắc 1:
B
1
: Tìm
( )
xf
′
B
2
: Cho
( )
0=
′
xf
giải tìm các
i
x
B
3
: Xét dấu
( )
xf
′

. Nếu
( )
xf
′
đổi dấu khi
x
qua điểm
i
x
thì hàm số đạt cực trị tại
i
x
.
Quy tắc 2:
B
1
: Tìm
( )
xf
′
B
2
: Cho
( )
0=
′
xf
giải tìm các
i
x

B
3
: Tìm
( )
xf
′′
và tính các
( )
i
xf
′′
• Nếu
( )
0<
′′
i
xf
thì hàm số đạt cực đại tại điểm
i
x
• Nếu
( )
0>
′′
i
xf
thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm
i
x
Dạng 2: Bài toán có tham số m

Tùy vào giả thiết đề bài mà có hướng giải
Chú ý: Nếu hàm số
( )
xfy =
đạt cực trị tại
ax =
thì ta có
( )
0=
′
af
Chủ đề 3. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm
( )
xfy =
Cho hàm số
( )
xfy =
xác định trên
RD ⊂
• Nếu tồn tại
Dx ∈
0
sao cho
( ) ( )
Dxxfxf ∈∀≤
0
thì số
( )
0
xfM =

đgl giá trị lớn nhất
của hàm số
f
trên
D
, kí hiệu
( )
xfM
Dx∈
= max
• Nếu tồn tại
Dx ∈
0
sao cho
( ) ( )
Dxxfxf ∈∀≥
0
thì số
( )
0
xfm =
đgl giá trị lớn nhất của
hàm số
f
trên
D
, kí hiệu
( )
xfm
Dx∈

= min
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
( )
xfy =
trên đoạn
[ ]
ba;
B
1
: Tìm
( )
xf
′
B
2
: Cho
( )
0=
′
xf
giải tìm các
[ ]
bax
i
;∈
B
3
: Tính các giá trị
( )
i

xf
,
( ) ( )
bfaf ,
B
4
: So sánh các giá trị tìm được. Số lớn nhất trong các giá trị đó là giá trị lớn nhất của
f
trên
đoạn
[ ]
ba;
, số nhỏ nhất trong các giá trị đó là giá trị nhỏ nhất của
f
trên đoạn
[ ]
ba;
.
Chủ đề 4. Tiệm cận
1. Tiệm cận đứng:
Vũ Hoàng Anh – 0984 960096
Nếu
0
lim ( )
x x
f x
→
= ∞
thì đường thẳng (d) có phương trình
0

xx =
là tiệm cận đứng của đồ
thị (C).
2. Tiệm cận ngang:
Nếu
0
lim ( )
x
f x y
→∞
=
thì đường thẳng (d) có phương trình
0
xy =
là tiệm cân ngang của đồ
thị (C).
3. Tiệm cận xiên:
Điều kiện cần và đủ để đuờng thẳng (d) là một tiệm cận của đồ thị (C) là
lim [ ( ) (ax+b)] 0
x
f x
→+∞
− =

hoặc
lim [ ( ) (ax+b)] 0
x
f x
→−∞
− =

hoặc
lim[ ( ) (ax+b)] 0
x
f x
→∞
− =
.
4. Cách tìm các hệ số a, b của tiệm cận xiên y=ax+b.
x
( )
lim b= lim[ ( ) ax]
x
f x
a f x
x
→∞ →∞
= −
.
Khảo sát hàm số
1. Hàm số bậc 3
( )
0
23
≠+++= adcxbxaxy
 Yêu cầu khảo sát:
 TXĐ
 Sự biến thiên:
•
y
x −∞→

lim
;
y
x +∞→
lim
• Bảng biến thiên
 Tính
y
′
, cho
0=
′
y
giải tìm các giá trị
i
x
( giá trị cực trị )
 Vẽ bảng biến thiên
 Tính
y
′′
, cho
0=
′′
y
giải tìm
x
và suy ra điểm uốn, cho điểm đặc biệt và vẽ đồ thị
2. Hàm số trùng phương
( )

0
24
≠++= acbxaxy
 Yêu cầu khảo sát: tương tự như hàm số bậc 3
Chú ý: nếu phương trình
0=
′′
y
có nghiệm kép hoặc vô nghiệm thì đồ thị (C )
3. Hàm số
( )
0,0 ≠−≠
+
+
= bcadc
dcx
bax
y
 Yêu cầu khảo sát:
 TXĐ
 Sự biến thiên:
•
c
a
yy
xx
==
+∞→−∞→
limlim
suy ra đường thẳng

c
a
y =
là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
Vũ Hoàng Anh – 0984 960096
•
y
c
d
x
−
−→
lim
và
y
c
d
x
+
−→
lim
suy ra đường thẳng
c
d
x −=
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
• Bảng biến thiên
 Tính
y
′

 Nếu
Dxy ∈∀<
′
0
thì hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó
 Nếu
Dxy ∈∀>
′
0
thì hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó
 Cho vài điểm đặc biệt và vẽ đồ thị
4. Hàm số
( )
0,0
2
≠
′
≠
′
+
′
++=
′
+
′
++
= aa
bxa
r

qpx
bxa
cbxax
y
 Yêu cầu khảo sát:
 TXĐ
 Sự biến thiên:
•
yy
xx
+∞→−∞→
lim;lim
•
y
a
b
x
−
′
′
−→
lim
và
y
a
b
x
+
′
′

−→
lim
suy ra đường thẳng
a
b
x
′
′
−=
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã
cho.
•
( )
[ ]
( )
[ ]
0limlim =+−=+−
−∞→+∞→
qpxyqpxy
xx
suy ra đường thẳng
qpxy
+=
là tiệm cận xiên
của đồ thị hàm số đã cho
• Bảng biến thiên
 Tính
y
′
 Cho

0=
′
y
giải tìm các giá trị cực trị ( nếu có )
 Vẽ bảng biến thiên
 Cho điểm đặc biệt và vẽ đồ thị hàm số.
Một số bài toán liên quan đến khảo sát hàm số.
 Chủ đề 1: Sự tương giao của hai đồ thị
 Lý thuyết
Xét sự tương giao của hai đồ thị
( ) ( )
xfyC =:
và
( ) ( )
xgyC =
′
:
• Lập phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị
( ) ( ) ( )
1xgxf =
• Số điểm chung của
( )
C
và
( )
C
′
bằng số nghiệm của
( )
1

 Nếu phương trình
( )
1
vô nghiệm thì hai đồ thị không có điểm chung
 Nếu phương trình
( )
1
có nghiệm kép thì hai đồ thị tiếp xúc nhau
Vũ Hoàng Anh – 0984 960096
 Nếu phương trình
( )
1
có bao nhiêu nghiệm thì hai đồ thị có bấy nhiêu điểm chung
 Chú ý:
Phương trình bậc 3:
( )
10
23
=+++ dcxbxax

 Nếu
( )
1
có 1 nghiệm là
α
thì:
( ) ( )
( )
( )




=++
=
⇔=++−⇔
20
01
2
2
CBxAx
x
CBxAxx
α
α
• Phương trình
( )
1
có 1 nghiệm
⇒
phương trình
( )
2
có 1 nghiệm kép
α
=x
• Phương trình
( )
1
có 2 nghiệm
⇒

phương trình
( )
2
có 1 nghiệm kép
α
≠x
hoặc có hai
nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm
α
=x
• Phương trình
( )
1
có 3 nghiệm
⇒
phương trình
( )
2
có 2 nghiệm phân biệt khác
α
 Nếu không nhẩm được nghiệm
• Phương trình
( )
1
có 1 nghiệm
⇔
hàm bậc 3 không có cực trị ( phương trình
0=
′
y

vô
nghiệm hoặc có nghiệm kép ) hoặc hàm bậc ba có hai cực trị
0. >
CTCĐ
yy
• Phương trình
( )
1
có 2 nghiệm
⇔
hàm bậc 3 có hai cực trị
0. =
CTCĐ
yy
• Phương trình
( )
1
có 3 nghiệm
⇔
hàm bậc 3 có hai cực trị
0. <
CTCĐ
yy
Hàm trùng phương
( )
10
24
=++ cbxax
• Đặt
( )

0
2
≥= txt
• Khi đó
( ) ( )
201
2
=++⇔ cbtat
 Phương trình
( )
1
vô nghiệm
⇒
phương trình
( )
2
vô nghiệm hoặc có nghiệm âm
 Phương trình
( )
1
có 1 nghiệm
⇒
phương trình
( )
2
có 1 nghiệm kép
0
=
x
hoặc có

hai nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm
0
=
x
và 1 nghiệm âm.
 Phương trình
( )
1
có 2 nghiệm
⇒
phương trình
( )
2
có 1 nghiệm kép
0>x
hoặc có
hai nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm
0>x
và 1 nghiệm âm.
 Phương trình
( )
1
có 3 nghiệm
⇒
phương trình
( )
2
có 1 nghiệm đơn
0
>

x
và 1
nghiệm kép
0
=
x
 Phương trình
( )
1
có 4 nghiệm
⇒
phương trình
( )
2
có 2 nghiệm đơn
0>x
.
 Hai đồ thị
( ) ( )
xfyC =:
và
( ) ( )
xgyC =
′
:
tiếp xúc nhau
⇔
hệ phương trình
( ) ( )
( ) ( )




′
=
′
=
xgxf
xgxf

có nghiệm.
 Chủ đề 2: Tiếp tuyến
Vũ Hoàng Anh – 0984 960096
 Lý thuyết
 Phương trình tiếp tuyến tại
( )
00
; yxM
có dạng :
( )( )
000
xxxfyy −
′
=−
 Phương trình tiếp tuyến đi qua
( )
00
; yxM
có dạng:
( ) ( )

dyxxky
00
+−=
Để (d) tiếp xúc với (C):
( )
xfy =
thì hệ phương trình sau phải có nghiệm:

( ) ( )
( )



=
′
+−=
kxf
yxxkxf
00
 Chủ đề 3: Vấn đề cố định của hàm số
 Lý thuyết
 Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số luôn đi qua với mọi m
• Gọi
( )
00
; yxM
là điểm cố định cần tìm
• Viết phương trình
( )
0,

00
=− ymxf
theo ẩn m có dạng:
0=+ BAm
hoặc
0
2
=++ CBmAm
• Cho các hệ số của phương trình trên đồng thời bằng 0 tức :



=
=
0
0
B
A
hoặc





=
=
=
0
0
0

C
B
A
sau đó
giải hệ suy ra điểm cố định.
 Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số hàm số không đi qua với mọi m
• Tìm điểm mà đồ thị hàm số không xác định
• Khi hàm số xác định
 Viết phương trình
( )
0, =− ymxf
theo ẩn m có dạng:
0
=+
BAm
hoặc
0
2
=++ CBmAm
 Lý luận cho phương trình vô nghiệm
o
0
=+
BAm
vô nghiệm



≠
=

⇔
0
0
B
A
o
0
2
=++ CBmAm
vô nghiệm



≠
<∆
⇔
0
0
A
 Chủ đề 4: Biến đổi đồ thị
 Lý thuyết
a. Cho hàm số
( )
xfy =
(C) hãy vẽ đồ thị hàm số (C
’
)
( )
xfy =
Vũ Hoàng Anh – 0984 960096

Ta có:
( )
( )
( )











′
<−






′
≥
==
2
1
0
0

Cyxf
Cyxf
xfy
Suy ra: Đồ thị
( )
C
′
gồm 2 phần:
•






′
1
C
là phần đồ thị của (C) ứng với
0≥y
•






′
2
C

là phần đồ thị lấy đối xứng phần
0<y
của đồ thị (C) qua trục Ox.
b. Cho hàm số
( )
ax
xU
y
−
=
(C) hãy vẽ đồ thị hàm số (C
’
)
( )
ax
xU
y
−
=
hoặc
( )
ax
xU
y
−
=
Ta có:
( )
( )
( )














′
<
−
−






′
>
−
=
−
=
2

1
Cax
ax
xU
Cax
ax
xU
ax
xU
y
Suy ra: Đồ thị
( )
C
′
gồm 2 phần:
•






′
1
C
là phần đồ thị của (C) ứng với
ax >
•







′
2
C
là phần đồ thị lấy đối xứng phần
ax <
của đồ thị (C) qua trục Ox.
Hàm số
( )
ax
xU
y
−
=
tương tự.
c. Cho hàm số
( )
xfy =
(C) hãy vẽ đồ thị hàm số (C
’
)
xfy =
Ta có:
( )
xfxf =
nếu
0≥x

xfxf =−

⇒
hàm số
( )
xfxf =
là hàm số chẵn
Suy ra: Đồ thị
( )
C
′
gồm 2 phần:
•






′
1
C
là phần đồ thị của (C) ứng với
0
≥
x
•







′
2
C
là phần đồ thị lấy đối xứng phần






′
1
C
qua trục Oy.
d. Cho hàm số
( )
xfy =
(C) hãy vẽ đồ thị hàm số (C
’
)
( )
xfy =
Ta có:
nếu
nếu
nếu

nếu
Vũ Hoàng Anh – 0984 960096
( )
( )
( )



±=
≥
⇔=
xfy
xf
xfy
0
Suy ra: Đồ thị
( )
C
′
gồm 2 phần:
•






′
1
C

là phần đồ thị của (C) ứng với
0≥y
•






′
2
C
là phần đồ thị lấy đối xứng phần






′
1
C
qua trục Ox.
 Chủ đề 5: Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình
( )
0, =mxf
 Lý thuyết
Đưa phương trình về dạng
( ) ( )
mgxf =

. Trong đó:
•
( )
xfy =
chính là đồ thị đã khảo sát.
•
( )
mgy =
chỉ chứa tham số m có đồ thị là đường thẳng song song với trục Ox.
Số nghiệm của phương trình đã cho chính là số giao điểm của 2 đường
( )
xfy =
và
( )
mgy =
.
 Chủ đề 6: Cực trị
 Lý thuyết
• Hàm số
( )
xfy =
đạt cực trị
( )
( )
( )



=
=

′
⇒
baf
af
baI
0
,
• Hàm số
( )
xfy =
có cực trị
y
′
⇔
có sự đổi dấu.
 Chú ý:
• Nếu việc xét dấu
y
′
là tam thức bậc hai thì hàm số có cực trị khi phương trình
0=
′
y
có 2 nghiệm phân biệt
( )
0>∆
.
• Hàm số bậc 3 hoặc hoặc không có cực trị hoặc có 2 cực trị ( 1 CĐ – 1 CT ).
• Hàm số
( )

( )
xV
xU
y =
có hoành độ cực trị là
0
x
thì
( )
( )
0
0
0
xV
xU
y
′
=

Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị
 Hàm bậc 3
( )
0
23
≠+++= adcxbxaxy
• Tìm điều kiện tồn tại 2 điểm cực trị
• Chia
y
cho
y

′
ta có phần nguyên
( )
xq
, phần dư
( )
xr
suy ra
( ) ( ) ( )
xrxqxyy +
′
= .
• Gọi
( )
yxM ,
là cực trị
( ) ( )
baxxryxy +==⇒=
′
⇒ 0
là đường thẳng đi qua 2 điểm cực
trị.
bậc 2
bậc 1
bậc 2
bậc 1
Vũ Hoàng Anh – 0984 960096
 Hàm số
( )
( )

xV
xU
y =
• Tìm điều kiện tồn tại 2 điểm cực trị
• Gọi
( )
yxM ,
là cực trị
( )
( )
bax
xV
xU
y +=
′
=⇒
là đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị.
 Chủ đề 7: Khoảng cách
 Lý thuyết
• Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm
( )
00
, yxM
đên đường thẳng
( )
0=++∆ CByAx
:
( )
22
00

,
BA
CByAx
Md
+
++
=∆
• Để tìm khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng
∆
nào đó sao cho khoảng cách đó ngắn
nhất ta thường áp dụng bất đẳng thức Cauchy nhiều lần. Và để khoảng cách ngắn nhất thì
dấu “ =” xảy ra ở những số mà ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy.

Đối với bài toán tìm 2 điểm A, B thuộc 2 nhánh phân biệt của đồ thị sao cho AB ngắn nhất
của hàm
bxa
cbxax
y
′
+
′
++
=
2
ta thường làm như sau:
• Chia đa thức tìm phần nguyên và phần dư.
• Gọi 2 điểm A, B sao cho phù hợp
o Nếu A ở nhánh bên phải thì ta nên gọi A có giá trị hoành độ là
aTCĐx
+=

sau đó
suy ra
y
, điều kiện
( )
0>a
o Nếu B ở nhánh bên trái thì ta nên gọi B có giá trị hoành độ là
bTCĐx −=
sau đó
suy ra
y
, điều kiện
( )
0>b
• Sau đó tính AB và áp dụng bất đẳng thức Cauchy nhiều lần như ở trên.
 Chủ đề 8: Quỹ tích
 Lý thuyết
Để tìm quỹ tích của 1 loại điểm nào đó ta thường làm theo các bước sau:
• Tìm điều kiện tồn tại quỹ tích theo tham số m
• Tính tọa độ quỹ tích
( ) ( )
( ) ( )



=
=
2,
1
mxgy

mfx

• Khử tham số m: Rút m ở (1) thế vào (2) suy ra
( )
xhy =
Vũ Hoàng Anh – 0984 960096
• Giới hạn quỹ tích từ điều kiện tồn tại của quỹ tích theo tham số m suy ra điều kiện tồn tại
quỹ tích theo biến x.
Chú ý: Khi tính tọa độ quỹ tích nếu 1 trong 2 biểu thức không chứa tham số ta sẽ kết luận biểu
thức đó là quỹ tích cần tìm.
 Chủ đề 9: Tính đơn điệu của hàm số
 Lý thuyết
Hàm số
( )
xfy =
tăng
DxyDx ∈∀≥
′
⇔∈∀ ,0
Hàm số
( )
xfy =
giảm
DxyDx ∈∀≤
′
⇔∈∀ ,0
Chú ý:
• Hàm nhất biến thì không có dấu “=”
• Cho tam thức bậc hai
( ) ( )

0
2
≠++= acbxaxxg

( )



<
≤∆
⇔∈∀≤
0
0
0
a
Rxxg

( )



>
≤∆
⇔∈∀≥
0
0
0
a
Rxxg
Hàm số

( )
xfy =
tăng trên
( ) ( )
βαβα
,,0, ∈∀≥
′
⇔⊂ xyD
Hàm số
( )
xfy =
giảm trên
( ) ( )
βαβα
,,0, ∈∀≤
′
⇔⊂ xyD
Chú ý: Nếu việc xét dấu
y
′
là tam thức bậc 2
( )
cbxaxxg ++=
2
. Khi đó ta xét các trường hợp
sau:
Trường hợp 1: Xét
0=a
. Khi đó ta được 1 giá trị cụ thể của tham số m, sau đó xét hàm số cụ
thể với giá trị m vừa tìm được xem chúng có thỏa mãn bài toán hay không.

Trường hợp 2: Khi
0≠a
và
0≤∆
 Nếu bài toán yêu cầu hàm số tăng ta xét



>
≤∆
0
0
a
 Nếu bài toán yêu cầu hàm số giảm ta xét



<
≤∆
0
0
a
Trường hợp 3: Khi
0
≠
a
và
0
>∆
, khi đó phương trình

0=
′
y
có 2 nghiệm phân biệt
21
, xx
. Đặt
2 số
βα
,
vào các khoảng nghiệm
21
, xx
sao cho thỏa mãn điều kiện bài toán rồi áp dụng công
thức so sánh nghiệm của tam thức bậc 2.
 Chủ đề 10: Tâm đối xứng – Trục đối xứng
 Lý thuyết
Vũ Hoàng Anh – 0984 960096
 Tâm đối xứng
Chứng minh
( )
00
, yxI
là tâm đối xứng của đồ thị hàm số
( )
xfy =
Đặt




+=
+=
0
0
yYy
xXx
thế vào hàm số ban đầu
( )
xfy =
ta được hàm số mới
( )
XGY =
Chứng minh hàm số
( )
XGY =
là hàm số lẻ, tức là chứng minh
( ) ( )
XGXG −=−
Chú ý:
• Cặp điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ có tọa độ là
( ) ( )
002001
,,, yxMyxM −−
• Cặp điểm đối xứng nhau qua trục hoành có tọa độ là
( ) ( )
002001
,,, yxMyxM −
• Cặp điểm đối xứng nhau qua trục tung có tọa độ là
( ) ( )
002001

,,, yxMyxM −
 Trục đối xứng
a. Chứng minh đường thẳng
0
xx =
là trục đối xứng của đồ thị hàm số
( )
xfy =
Đặt



=
+=
Yy
xXx
0
thế vào hàm số ban đầu ta được hàm số mới
( )
XGY =
Chứng minh hàm số
( )
XGY =
là hàm số chẳn, tức là chứng minh
( ) ( )
XGXG =−
b. Chứng minh đường thẳng
( )
baxyd +=:
là trục đối xứng của đồ thị hàm số

( )
xfy =
• Gọi
d
′
là đường thẳng vuông góc với
d
suy ra
( )
bx
a
yd
′
+−=
′
1
:
• Lập phương trình hoành độ giao điểm của
d
′
và đồ thị
• Gọi A, B là giao điểm của
d
′
và đồ thị, I là trung điểm của AB
⇒
2
BA
I
xx

x
+
=
• Gọi I
’
là giao điểm của
d
và
d
′

I
x
′
⇒
• Chứng minh
dIIxx
II
⇒
′
≡⇒=
′
là trục đối xứng của đồ thị hàm số.
 NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
 Nguyên hàm

Kiến thức cơ bản


Khái niệm

( )
xF
được gọi là nguyên hàm của
( )
xf

( ) ( )
xfxF =
′
⇔

Tính chất

Nếu
gf ,
là hai hàm liên tục trên K thì
•
( ) ( )
[ ]
( ) ( )
∫ ∫ ∫
+=+ dxxgdxxfdxxgxf
• Với mọi số thực
0≠k
ta có:
( ) ( )
∫ ∫
= dxxfkdxxkf
Các phương pháp tìm nguyên hàm

Vũ Hoàng Anh – 0984 960096
Phương pháp đổi biến số
Ví dụ: Tìm
∫
+
dxxe
x
2
1
Ta có:
( )
dxxedxxe
xx
′
+=
++ 211
1
2
1
22
Đặt
2
1 xu +=
Suy ra
( ) ( )
CeCeduexdedxxe
xuuxx
+=+==+=
+++
∫∫∫

222
1211
2
1
2
1
2
1
1
2
1
Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần
Ví dụ: Tìm nguyên hàm của hàm số
( )
x
e
x
xf
2
3
=
Đặt
dxdu
x
u
3
1
3
=⇒=

xx
evedv
22
2
1
=⇒=
Suy ra
( )
Ceexxdeexdxee
x
dxe
x
xxxxxxx
+−=−=−=
∫∫∫
2222222
12
1
.
6
1
2
2
1
6
1
.
6
1
2

1
.
3
1
2
1
.
33