chuyên đề khảo sát hàm số 6

ÔN TẬP THI TỐT NGHIỆP
CHỦ ĐỀ I : ĐẠO HÀM
BÀI TẬP :
Bài 1 : Cho hàm số
( )

− −
≠


=


=


1 1
0
1
0
2
x
nếux
x
f x
nếux
a. Chứng minh rằng hàm số liên tục tại x
0
= 0
b. Tính f’(x
0

) nếu có .
Bài 2 : Tính đạo hàm các hàm số :
a.
π
 
= +
 ÷
 
3
cot 2
4
y g x
b.
( )
2
2
1
1 sin 2
y
x
=
+
c.
2
1 1
ln
x
y
x
+ −

=

d.
2
1
ln
2sin
y tgx
x
= −
e.
( )
2
2 cos 2 siny x x x x= − +

f.
1
1
x
y
x
 
= +
 ÷
 
g.
ln x
y x=
Bài 3 : Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau :
a.

( )
ln 1y x= −
b.
2
2
y
x
=
−
c.
2
siny x=
Bài 4 : Cho
( )
2
2
cos
1 sin
x
f x
x
=
+
. Chứng minh rằng :
3 ' 3
4 4
f f
π π
   
− =

 ÷  ÷
   
Bài 5 : Cho
sin x
y e=
. Chứng minh rằng :
'.cos .sin " 0y x y x y− − =
Bài 6 : Chứng minh rằng biểu thức sau không phụ thuộc vào x .
( )
2 2
2 2
cos2 cos cos
3 3
f x x x x
π π
   
= + + + −
 ÷  ÷
   
Bài 7 :
( )
2
ln 1
2
x
x x+ > −

∀
x > 0
1

CHỦ ĐỀ II : KHẢO SÁT HÀM SỐ
VẤN ĐỀ 1 : ĐƠN ĐIỆU .
LÝ THUYẾT :
Hàm số y = f( x ) đồng biến / ( a ; b )
⇔
f’( x )
≥
0
∀
x
∈
( a ; b )
Hàm số y = f( x ) nghòch biến / ( a ; b )
⇔
f’( x )
≤
0
∀
x
∈
( a ; b )
Dấu bằng chỉ xảy ra hữu hạn điểm .
ĐẶC BIỆT : f’( x ) = 0
∀
x
∈
( a ; b ) thì f( x ) = hằng số
∀
x
∈

( a ; b )
‡ Nếu hàm số y =
( )
f x
đồng biến / [ a,b ] thì
[ ]
( ) ( )
,x a b
Min f x f a
∈
=
;
[ ]
( ) ( )
,x a b
Max f x f b
∈
=
‡ Nếu hàm số y =
( )
f x
nghòch biến / [ a,b ]thì
[ ]
( ) ( )
,x a b
Min f x f b
∈
=
;
[ ]

( ) ( )
,x a b
Max f x f a
∈
=
DẠNG 1 : Tìm điều kiện để hàm số đồng biến (nghòch biến ) trên
khoảng ( a ; b ) .
Phương pháp : Ta tìm điều kiện để f’( x )
≥
0 ( f’( x )
≤
0 )
∀
x
∈
( a ; b )
Một số công thức liên quan :
. Đạo hàm f’( x ) có dạng tam thức bậc hai f’( x ) = ax
2
+ bx + c ( a
≠
0 )
1. f’( x ) = ax
2
+ bx + c
≥
0
∀
x
∈

R
⇔
>


∆ ≤

0
0
a
2. f’( x ) = ax
2
+ bx + c
≤
0
∀
x
∈
R
⇔
<


∆ ≤

0
0
a
 Nếu cơ số a chứa tham số ta cần xét trường hợp a = 0 ( suy biến ) trước
khi sử dụng các công thức trên .

DẠNG 2 : Sử dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức .
Phương pháp :
a. Bất đẳng thức chứa 1 biến số :
Biến đổi bất đẳng thức về dạng : f( x ) > 0
∀
x
∈
( a ; b )
Tính f’( x ) và xét dấu f’( x ) , suy ra f( x ) đồng biến hay nghòch biến trên (a;b )
p dụng đònh nghóa để chứng minh bất đẳng thức .
b. Bất đẳng thức chứa 2 biến số :
Biến đổi bất đẳng thức về dạng : f (
α
) < f (
β
) với a <
α
<
β
< b
Xét tính đơn điệu của hàm số f( x ) trong khoảng (
α
;
β
)
p dụng đònh nghóa để chứng minh bất đẳng thức .
2
VẤN ĐỀ 2 : CỰC TRỊ .
LÝ THUYẾT :
 Thông thường cực trò là nghiệm đơn của đạo hàm .

 DẤU HIỆU ĐỦ THỨ II : ( Dùng đạo hàm cấp hai )
x
0
là điểm cực đại của hàm số
⇔
( )
( )
0
0
' 0
'' 0
f x
f x
=


<


x
0
là điểm cực tiểu của hàm số
⇔
( )
( )
0
0
' 0
'' 0
f x

f x
=


>


x
0
là điểm cực trò của hàm số
⇔
( )
( )
0
0
' 0
'' 0
f x
f x
=


≠


QUY TẮC TÍNH GIÁ TRỊ CỰC TRỊ HÀM PHÂN THỨC :
Cho hàm số y = f( x ) =
( )
( )
u x

v x
. Với
( )
u x
và
( )
v x
có đạo hàm tại x
0
,
( )
0
' 0v x
≠
.
Ta có x
0
là cực trò thì giá trò cực trò y
0
= f(x
0
) =
( )
( )
0
0
u x
v x
=
( )

( )
0
0
'
'
u x
v x

 CÁC CÔNG THỨC KHÁC :
1. Hàm số đạt cực trò tại x
0

⇔

( )
=


∆ >


0
'
' 0
0
y
f x
nếu y’ có dạng bậc hai .
2. Hàm số đạt cực trò bằng y
0

khi x = x
0

⇔
( )
( )

=


=


0
0 0
' 0f x
y f x
và f’(x) đổi dấu khi
qua x
0
.
VẤN ĐỀ 3 : GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
Tìm GTLN – GTNN của hàm số y = f( x ) trên tập D
 Phương pháp chung : Lập bảng biến thiên của hàm số trên tập D
 Đặc biệt : Nếu D = [a;b] ta thực hiện :
+ Tính y’ và tìm các điểm tới hạn x
1
; x
2
… của hàm số thuộc [ a ; b ]

+ Tính f(x
1
) , f(x
2
) . . . .và f(a) , f(b) .
+ So sánh các giá trò trên và đưa ra kết luận .
3
VẤN ĐỀ 4 : VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG
Phương pháp :Cho hai đường (C
1
) : y = f( x )
(C
2
) : y = g( x )
Để xét vò trí tương đối của (C
1
) và (C
2
) ta thực hiện :
B1 : Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C
1
) và (C
2
)
f( x ) = g( x ) (1)
B2 : Số nghiệm của phương trình trên chính là số giao điểm của (C
1
) và (C
2
)

 CHÚ Ý :
i . Phương pháp biện luận phương trình bậc hai : ax
2
+ bx + c = 0
B1: a = 0 ( kiểm tra suy biến )
B2: a
≠
0
Lập
∆

TH1:
∆
< 0
⇒
phương trình vô nghiệm
TH2:
∆
> 0
⇒
phương trình có hai nghiệm phân biệt
Th 3:
∆
= 0
⇒
phương trình có nghiệm kép
ii . Phương pháp biện luận phương trình bậc ba đặc biệt : ax
3
+ bx
2

+ cx + d = 0
B1: a = 0 ( kiểm tra suy biến )
B2: a
≠
0 . Đoán một nghiệm x
0
và biến đổi phương trình về dạng ;
(x – x
0
) . (a’x
2
+ b’x + c’) = 0 (I)
⇔
( )
0
2
x x
g x a'x b'x c' 0*
=


= + + =


Tính
∆
và g (x
0
)
TH1 :

∆
< 0
⇒
phương trình * vô nghiệm
⇒
phương trình (I) có 1 nghiệm là x
0
TH 2 :
( )
∆
0
0
g x 0
>



≠



⇒
phương trình * có 2 nghiệm phân biệt khác x
0
⇒
phương trình (I) có 3 nghiệm phân biệt .
TH 3 :
( )
∆
0

0
g x 0
>



=



⇒
phương trình * có 1 nghiệm là x
0
và 1 nghiệm khác x
0
⇒
phương trình (I) có 2 nghiệm ( 1 nghiệm đơn , 1 nghiệm kép )
TH 4 :
∆
= 0
⇒
phương trình * có 1 nghiệm kép
Nếu nghiệm kép này khác x
0
thì
⇒
phương trình (I) có 2 nghiệm ( 1 nghiệm
đơn , 1 nghiệm kép )
Nếu nghiệm kép này trùng x
0

thì
⇒
phương trình (I) có 1 nghiệm (nghiệm bội
ba )
iii . Điều kiện phương trình bậc ba trên có 3 nghiệm phân biệt là :

( )
∆
0
a 0
0
g x 0

≠

>


≠


iv. TỔNG QUÁT : Điều kiện phương trình bậc ba f( x ) = ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0
4
( a
≠
0 ) có 3 nghiệm phân biệt là :

+ f’( x ) có 2 nghiệm phân biệt x
1
và x
2

+ f(x
1
) . f(x
2
) < 0
Để tính f(x
1
) và f(x
2
) ta chia y cho y’ tìm được phần dư là r ( x ) =
α
x +
β
, khi
đó f(x
1
) =
α
x
1
+
β
và f(x
2
) =

α
x
2
+
β

 LƯU Ý : Có những bài ta nên dựa vào BBT hoặc đồ thò thì giải quyết dễ
dàng hơn
VẤN ĐỀ 5 :TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG (C) : y = f(x) .
DẠNG 1 : TIẾP TUYẾN TẠI ĐIỂM ( x
0
; y
0
)
∈
( C )
Phương pháp : Tìm x
0
, y
0
và f’( x
0
)
Suy ra phương trình tiếp tuyến : y = f’( x
0
). (x – x
0
) + y
0

DẠNG 2 : TIẾP TUYẾN QUA ĐIỂM A(x
A
; y
A
)
Phương pháp : Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến
B1: Chỉ dạng : phương trình tiếp tuyến có dạng :
y = k ( x – x
A
) + y
A
B2 : Dùng điều kiện tiếp tuyến tiếp xúc ( C )
( ) ( )
( )
f x g x
f ' x k

=


=


nghiệm của hệ là hoành độ tiếp điểm
Giải hệ phương trình này ta tìm được x
⇒
k
⇒
phương trình tiếp tuyến
DẠNG 3 : TIẾP TUYẾN CÓ HỆ SỐ GÓC k CHO TRƯỚC

( Hoặc song song , vuông góc đường thẳng cho trước )
Phương pháp : Gọi ( x
0
; y
0
) là tiếp điểm
Dùng ý nghóa hình học của đạo hàm
Ta có : f’( x
0
) = k . Giả phương trình này ta tìm x
0

⇒
y
0

Suy ra phương trình tiếp tuyến : y = f’( x
0
). (x – x
0
) + y
0

Chú ý :
Đường phân giác thứ nhất của mặt phẳng tọa độ có phương trình là y = x
Đường phân giác thứ hai của mặt phẳng tọa độ có phương trình là y = -x
Hai đường thẳng song song nhau thì có hệ số góc bằng nhau .
Hai đường thẳng vuông góc nhau thì tích hai hệ số góc bằng -1 .
Tức là nếu đường thẳng
∆

có hệ số góc a thì :
+ Đường thẳng d song song với
∆

⇒
d có hệ số góc k = a
+ Đường thẳng d vuông góc với
∆

⇒
d có hệ số góc k =
1
a
−
VẤN ĐỀ 6 : BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH
BẰNG ĐỒ THỊ
Phương pháp chung : Biến đổi phương trình đã cho về dạng f( x ) = g( m ) (*)
Trong cùng hệ trục Oxy vẽ hai đồ thò ( C ) : y = f( x ) và (D) : y = g( m ) cùng
phương trục hoành Ox
Số hoành độ giao điểm của ( C ) và (D) là số nghiệm của phương trình (*)
Tùy theo vò trí tương đối của ( C ) và (D) để kết luận số nghiệm của phương
5
trình (*)
Chú ý : Nếu phải đặt ẩn phụ ta biện luận theo ẩn phụ đó sau đó kết luận
nghiệm theo x . Nếu điều kiện của ẩn phụ là
∈
[
α
;
β

]cần để ý giao điểm
của đường thẳng x =
α
và x =
β
có tung độ f(
α
) , f(
β
) với đồ thò ( C )
VẤN ĐỀ 7 : TÂM ĐỐI XỨNG
 Chứng minh rằng điểm I (x
0
; y
0
) là tâm đối xứng của đồ thò (C) : y = f( x )
Phương pháp :
B1: Tònh tiến hệ trục Oxy thành hệ trục IXY theo
OI
uur
theo công thức :

= +


= +

0
0
x X x

y Y y
B2: Tìm phương trình Y = F( X ) của ( C ) trong hệ trục IXY.
B3: Chứng minh rằng Y = F( X ) là hàm lẻ trong hệ trục IXY nên đồ thò nhận
gốc I làm tâm đối xứng .
VẤN ĐỀ 8 :MỘT SỐ ĐIỂM ĐẶC BIỆT TRÊN ĐỒ THỊ
DẠNG 1 : TÌM NHỮNG ĐIỂM TRÊN ĐỒ THỊ CÁCH ĐỀU HAI TRỤC TỌA ĐỘ
Phương pháp : Cho ( C ) : y = f( x )
Gọi M( x ; y )
∈
( C ) cách đều hai trục tọa độ
⇒
d( M ; Ox ) = d( M ; Oy )
⇔
| y | = | x |
⇔
y =
±
x
Chia hai trường hợp và thay vào phương trình của ( C )
DẠNG 2 : TÌM NHỮNG ĐIỂM TRÊN ĐỒ THỊ CÓ TỌA ĐỘ NGUYÊN .
Phương pháp : Cho ( C ) :
+ +
=
+
2
ax bx c
y
a'x b'
( hoặc ( C ) :
+

=
+
ax b
y
cx d
)
Biến đổi hàm số về dạng
= + +y x
mẫusố
γ
α β
với
α
,
β
,
γ

∈
Z
Do x , y
∈
Z nên mẫu số là ước của
γ
. Từ đó ta tìm được x , y
VẤN ĐỀ 9 : ĐIỂM ĐỐI XỨNG
Phương pháp : Cho ( C ) : y = f( x )
Gọi hai điểm M
1
( x

1
; y
1
) và M
2
( x
2
; y
2
) thuộc đồ thò ( C )
DẠNG 1 : Hai điểm M
1
và M
2
đối xứng nhau qua gốc tọa độ O

⇔
1 2
1 2
x x
y y
= −


= −

Giải hệ phương trình :

( )
( )

1 1
2 1 1
y f x
y y f x
=


= − = −



⇒
f( x
1
) + f( -x
1
) = 0
Ta tìm được x
1
, y
1

⇒
x
2
, y
2

DẠNG 2 : Hai điểm M
1

và M
2
đối xứng nhau qua điểm I ( x
0
; y
0
)
6

⇔
1 2 0
1 2 0
2
2
x x x
y y y
+ =


+ =

Giải hệ phương trình trên tìm được x
1
, y
1

⇒
x
2
, y

2

VẤN ĐỀ 10 : QUỸ TÍCH ( TẬP HP ĐIỂM ).
 Phương pháp : Để tìm quỹ tích điểm M thông thường ta thực hiện :
B1 : Tính tọa độ điểm M theo tham số m ( hoặc tham số khác )
M
( )
( )
x u m
y v m
=


=


( * )
Trong một số trường hợp phức tạp ta không nhất thiết phải tính x và y theo m
mà chỉ cần tìm các hệ thức ràng buộc giữa x , y , m và tìm cách khử m từ các
hệ thức này .
B 2 : Tìm phương trình quỹ tích
Khử tham số của hệ phương trình ( * ) ta có một hệ thức liên hệ giữa x và y gọi
là phương trình quỹ tích :
F ( x , y ) = 0
B 3 : Giới hạn quỹ tích :
Dựa vào điều kiện của tham số m , ta tìm được điều kiện của x , y để điểm M
tồn tại .
B 4 : Kết luận :
Dựa vào phương trình quỹ tích và giới hạn quỹ tích để kết luận .
 Các quỹ tích thông thường :

I . Quỹ tích trung điểm :
Đường thẳng d : y = ax + b cắt đường cong ( C ) : y = f( x ) tại hai điểm phân
biệt A và B . Khi đó tọa độ trung điểm I của đoạn AB là :
2

A B
x x
x
y ax b vì I d
+

=



= + ∈

Để giới hạn quỹ tích ta dựa vào điều kiện đường thẳng d cắt ( C ) hai điểm
phân biệt .
II . Quỹ tích tâm đối xứng :
1. Hàm bậc ba : y = f( x ) = a x
3
+ b x
2
+ cx + d
Điểm uốn là tâm đối xứng . Tọa độ tâm đối xứng :
( )
'' 0y
y f x
=




=


2. Hàm phân thức : y =
ax b
cx d
+
+
hoặc y =
2
' '
ax bx c
b x c
+ +
+
Điểm uốn là giao điểm hai tiệm cận . Tọa độ tâm đối xứng :

TCĐ
TCN hoặc TCX



7
III . Quỹ tích điểm cực trò :
1. Cực trò của hàm bậc ba : y = f( x ) = a x
3
+ b x

2
+ cx + d
Tọa độ điểm cực trò :
( )
' 0y
y f x
=



=


2. Cực trò của hàm phân thức : y =
2
' '
ax bx c
b x c
+ +
+
Tọa độ điểm cực trò :
' 0
2
'
y
ax b
y
b
=



+
=


Chú ý : Nếu muốn tìm quỹ tích của điểm CĐ hoặc CT ta cần phải lập BBT để
xác đònh tọa độ điểm CĐ hoặc điểm CT .
IV . Quỹ tích điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k :
Dùng công thức sau để tính tọa độ điểm M :
M
1
1
A B
A B
x kx
x
k
y ky
y
k
−

=


−

−

=


−

V . Quỹ tích điểm M từ đó kẻ được hai tiếp tuyến vuông góc với (C
m
) : y = f( x )
Gọi k là hệ số góc tiếp tuyến kẻ từ M .
phương trình tiếp tuyến có dạng :
y = k ( x – x
A
) + y
A
Dùng điều kiện tiếp tuyến tiếp xúc ( C )
( ) ( )
( )
'
f x g x
f x k
=


=


nghiệm x của hệ là hoành độ tiếp điểm
Dùng tính chất tích hai hệ số góc k
1
.k
2
= - 1

⇔
f’(x
1
).f’(x
2
) = - 1 . Với x
1
, x
2
là
nghiệm của hệ trên .
BÀI TẬP:
Bài 1 : Cho hàm số y =
x x m
x
2
2
1
+ +
−
có đồ thò là ( C
m
)
a. Tìm m để hàm số có cực trò .
b. Khảo sát và vẽ đồ thò ( C ) khi m = 1
c. Biện luận theo k dấu của nghiệm số phương trình :
( )
2
x k 2 x 1 k 0+ + + − =
d.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( C ),TCX , đường thẳng x=-2

và trục Oy .
Bài 2 : Cho hàm số y =
x
x
2
2
+
−
(C)
1) Khảo sát và vẽ đồ thò (C) của hàm số.
8
2) Tìm trên đồ thò (C) tất cả những điểm cách đều hai trục tọa độ.
3) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thò (C), biết rằng tiếp tuyến đi
qua điểm A(-6, 5).
Bài 3 :Cho hàm số
( )
= − + + +
3 2
y x m 4 x 4x m
1) Tìm các điểm mà đồ thò hàm số đi qua
∀
m .
2) Tìm m để hàm số có cực trò .
3) Khảo sát và vẽ đồ thò (C) của hàm số khi m = 0 .
4) Tìm k để ( C ) cắt đường thẳng y = kx tại ba điểm phân biệt .
Bài 4 : Cho hàm số
x
y x
4
2

9
2
4 4
= − −
( C )
1) Khảo sát và vẽ đồ thò (C) của hàm số
2) Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại các giao điểm của nó với
trục Ox
3) Biện luận theo k số giao điểm của ( C ) với đồ thò hàm số
y k x
2
2= −
4) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( C ) và trục hoành .
Bài 5 : Cho hàm số y = f(x) =
x mx
x
2
1
1
+ −
−
(*)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số khi m = 1.
2) Tìm những điểm trên (C) có tọa độ là những số nguyên.
3) Đònh m để đường thẳng y = m cắt đồ thò của hàm số (*) tại hai
điểm phân biệt A, B sao cho OA vuông góc với OB.
Bài 6 : Cho hàm số
y x mx m
4 2
5= + − −

( )
m
C
1) Tìm các điểm cố đònh của
( )
m
C
2) Tìm m để
( )
m
C
có ba điểm cực trò .
3) Khảo sát và vẽ đồ thò ( C ) khi m = -2
4) Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) song song đường thẳng
y x24 1= −
Bài 7 : Cho hàm số
x x
y
x
2
5
3
− −
=
−
( C )
1) Khảo sát và vẽ đồ thò ( C ) của hàm số
2) Xác đònh m để phương trình
( )

x m x m
2
1 3 5 0− + + − =
có hai
nghiệm dương
3) Tìm k để TCX của ( C ) tiếp xúc với đồ thò hàm số :
y x k
2
= +
4) Tìm trên ( C ) những điểm cách đều hai trục tọa độ .
9
Bài 8 : Cho hàm số
( ) ( )
y x m x m x
3 2
1 9
1 3
3 2
= − − + − +

( )
m
C
1) Khảo sát và vẽ đồ thò ( C ) khi m = 0 .
2) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thò ( C ) đi qua gốc tọa độ .
3)Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( C ) , trục hoành và các
đường thẳng x = 0 , x = 2 .
4) Tìm m để đồ thò
( )
m

C
cắt đường thẳng
y x
9
3
2
= − +
tại ba điểm
phân biệt .
Bài 9 : Cho hàm số
( )
x m x m
y
x
2
1 4
1
+ − − +
=
−

( )
m
C
1) Khảo sát và vẽ đồ thò ( C ) khi m = 2
2) Tìm m để đồ thò hàm số đã cho có điểm CĐ và CT nằm cùng một
phía đối với trục hoành .
3) Tìm các điểm có tọa nguyên trên đồ thò
( )
m

C
khi m
∈
Z
Bài 10 : Cho hàm số
( )
x m x m m
y
x
2 2
1 4 2
1
− + − + −
=
−
1) Tìm m để hàm số có cực trò . Tìm m để tích của giá trò CĐ và CT đạt
giá trò nhỏ nhất .
2) Khảo sát và vẽ đồ thò ( C ) khi m = 0
3) Chứng minh rằng ( C ) có tâm đối xứng là giao điểm I của hai đường
tiệm cận .
4) Tìm trên ( C ) những điểm cách đều hai trục tọa độ .
Bài 11 : Cho hàm số
( )
2
2y x x= −
có đồ thò ( C )
1) Khảo sát và vẽ đồ thò ( C )
2) Dựavào ( C ) biện luận theo m số nghiệm phương trình :
3 2
4 4 0x x x m− + − =

3)Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) qua điểm A( 3;3 )
4)Viết phương trình tiếp tuyến của (C )song song đường thẳng
y =-x + 5
Bài 12: Cho hàm số
4 2
1 5
3
2 2
x x− +
( C )
1) Khảo sát và vẽ đồ thò ( C )
2) Dựavào ( C ) tìm m sao cho phương trình :
4 2
6 5 0x x m− + − =
có 4
nghiệm phân biệt .
3) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( C ) và trục hoành .
10
Bài 13 : Cho ( C ) :
2 4
3
x
y
x
−
=
−
a) Khảo sát và vẽ đồ thò ( C )
b) Chứng minh rằng ( C ) nhận giao điểm hai tiệm cận làm tâm đối
xứng .

c) Tìm những điểm trên ( C ) có tọa độ nguyên .
d) Tính thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi cho hình phẳng
giới hạn bởi ( C ) , đường thẳng x =2 và hai trục tọa độ quay quanh Ox
Bài 14 : Cho
( )
2
1
:
1
m
x mx
C y
x
+ −
=
−
1) Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thò hàm số đi qua điểm A(2;4)
2) Tìm m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác đònh .
3) Khảo sát và vẽ đồ thò ( C ) khi m = 1
4) Dựavào ( C ) biện luận theo k số nghiệm phương trình :
( )
2
1 1 0x k x k+ − + − =
Bài 15: Cho hàm số :
4 2
1 3
3
2 2
y x x= − +
( C )

1) Khảo sát và vẽ đồ thò ( C )
2) Dựavào ( C ) biện luận theo m số nghiệm phương trình :
4 2
6 3 0x x m− + − =
3) Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại các điểm uốn .
4) Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) qua điểm
3
0;
2
A
 
 ÷
 
Bài 16 : Cho hàm số :
1
ax b
y
x
−
=
+
1) Tìm a , b để đồ thò hàm số có TCN y = 1 và tiếp tuyến tại điểm có
hoành độ x = 0 có hệ số góc là 3 .
2) Khảo sát và vẽ đồ thò ( C ) khi a = 1 , b = 2 .
3) Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm
( )
3;0A −
và có hệ số
góc k . Biện luận theo k số giao điểm của d và ( C ) .
4) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) , TCN, đường thẳng x =

λ
và trục Oy (
λ
> 0 )
Bài 17 : Cho hàm số :
1
3
y ax b
x
= + −
−
1) Tìm a , b để đồ thò hàm số đạt cực trò bằng 1 khi x = 2 .
2) Khảo sát và vẽ đồ thò ( C ) khi a = -1 , b = 2
11
3)Chứng minh rằng (C) nhận giao điểm hai tiệm cận làm tâm đối
xứng
4) Gọi M là một điểm thuộc ( C ) , tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận
tại A và B . Chứng minh rằng M là trung điểm của AB .
Bài 18 : Cho hàm số :
4 2
1
2
y x ax b= − +
1) Tìm a , b để đồ thò hàm số đạt cực trò bằng -2 khi x = 1
2) Khảo sát và vẽ đồ thò ( C ) khi a = 1 và b =
3
2
−
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( C ) và Ox
Bài 19 : Cho ( C ) :

( )
( )
2
1
2 2
x
y
x
−
=
−
1) Khảo sát và vẽ đồ thò ( C )
2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( C ) và hai trục tọa độ .
3) dựa vào ( C ) biện luận theo m số nghiệm và dấu của phương trình :
( )
2
2 1 1 4 0x m x m− + + + =
4) Viết đường thẳng tiếp xúc ( C ) và qua điểm A( 0 ; 2 )
Bài tập làm thêm :
Bài 1 : Cho hàm số:
2
2 2
1
+ −
=
−
x mx
y
x
với m là tham số.

1)Xác đònh m để tam giác tạo bởi 2 trục toạ độ và đường tiệm cận xiên
của hàm số trên có diện tích bằng 4.
2) Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số trên khi m= -3.
Bài 2 : Cho hàm số
3 2
2 3( - 3) 11- 3= + +y x m x m
(
m
C
)
1) Cho m = 2 . Tìm phương trình các đường thẳng qua
19
( ,4)
12
A
và tiếp
xúc với đồ thò (
2
C
) của hàm số .
2) Tìm m để hàm số có hai cực trò. Gọi
1
M
và
2
M
là các điểm cực trò
,tìm m để các điểm
1
M

,
2
M
và B(0,-1) thẳng hàng.
Bài 3 :1)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò ( C ) của hs
2
2 1
1
+ +
=
+
x x
y
x
2)Biện luận theo m số nghiệm phương trình
( )
2
2x 1 m x 1 m 0+ − + − =
3) Gọi
( )∈M C
có hoành độ
=
M
x m
. Chứng tỏ rằng tích các khoảng
cách từ M đến hai đường tiệm cận của ( C ) không phụ thuộc vào m.
BÀI TẬP VỀ GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ :
12
Tìm GTLN , GTNN của các hàm số sau :
a.

1 5= + + −y x x
b.
2
4 3= − +y x x
trên
[ ]
4;4−
c.
2sin sin 2= +y x x
trên
3
0;
2
π
 
 
 
d.
2
4
=
+
x
y
x
trên
( )
;−∞ +∞
CHỦ ĐỀ III : NGUYÊN HÀM
– TÍCH PHÂN

VẤN ĐỀ 1 : NGUYÊN HÀM
Đònh nghóa : F( x ) là 1 nguyên hàm của f( x ) trên tập D
⇔
F’( x ) = f( x )
∀
∈
D
BÀI TẬP :
Bài 1 : Tìm nguyên hàm các hàm số :
a. y = f( x ) =
x
x
x
2
3
4
 
−
 ÷
 

b. y = f( x ) =
x
x x
x
2
2
3
3
 

−
 ÷
 
c. y = f( x ) =
x
x
e
e
x
2
2
2
1
sin
−
−
 
+
 ÷
 
d. y = f( x ) =
x
x x
2
4 3
2 3 1
−
− +
e. y =
( )

2 2
cos2
sin .cos
x
f x
x x
=
Bài 2 : Tính đạo hàm của hàm số
( )
F x x x
2
ln=
, suy ra nguyên hàm
của hàm số
( )
g x x x2 ln=
Bài 3 : Chứng minh rằng
( ) ( )
x
H x x e1
−
= − +
là một nguyên hàm của
hàm số
( )
x
h x xe
−
=
. Suy ra nguyên hàm của hàm số

( ) ( )
x
f x x e1
−
= −
VẤN ĐỀ 2 : TÍCH PHÂN
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN .
Phương pháp 1: Phương pháp phân tích .
13
Ta biến đổi hàm số về dạng tổng , hiệu hoặc lũy thừa các hàm số đã
biết nguyên hàm .
Phương pháp 2 : Đưa về dạng cômg thức nguyên hàm hàm hợp .
B1 : Biến đổi u’(x).dx = du
B2 :
( ) ( ) ( )
. ' . .
b b
a a
f u x u x dx f u du= 
 
∫ ∫
Phương pháp 3 : Phương pháp đổi biến số
a. Đổi biến số thuận :
B1 : Đặt x = u ( t )
⇒
dx = u’( t ). dt
B2 : Khi x = a
⇒
t =
α

x = b
⇒
t =
β
B3 :
( ) ( ) ( )
. . ' .
b
a
f x dx f u t u t dt
β
α
=  
 
∫ ∫
b. Đổi biến số nghòch :
B1 : Đặt t = u ( x )
⇒
dt = u’( x ). dx
B2 : Khi x = a
⇒
t =
α
x = b
⇒
t =
β
B3 :
( ) ( ) ( )
. ' . .

b
a
f u x u x dx f t dt
β
α
= 
 
∫ ∫
Phương pháp 4 : Phương pháp tích phân từng phần .
B1 : Phân tích hàm số dưới dấu tích phân thành hai phần
u
dv




⇒

( )
( )
du viphân
v nguyênhàm





B2 : Sử dụng công thức :
[ ]
. . .

b
b b
a a
a
u dv u v v du= −
∫ ∫
Chú ý :
i.
. ( ).
b
a
đathức lượnggiác mũ dx
∫
ta đặt
( ).
u đathức
dv lượnggiác mũ dx
=


=

ii.
. .
b
a
đathức lôgarit dx
∫
ta đặt
.

u lôgarít
dv đathức dx
=


=

Phương pháp 5 : Phương pháp liên kết .
Để tính tích phân I ta chọn một tích phân J đồng dạng với I và thực
hiện .
B1 : Tính tổng mI + nJ
B2 : Tính hiệu m’I – n’J
Giải hệ phương trình trên ta tìm được I và J .
14
BAỉI TAP :
Baứi 1 : Tớnh caực tớch phaõn :
1.
0
2
1
2 1
3 2
x
dx
x x


+

2.

1
2
0
4
5 6
x
dx
x x +

3.
( )
3
0
cos .sin5 2 .x x x dx



4.
2
3
0
sin 2 .x dx



5.
4
2
0
sin .x dx

6.
2
6
0
cos 3 .
4
x dx




ữ



7.
4
2 2
6
cos2
sin .cos
x
dx
x x



8.

3
3 2
2
3.x x dx


9.
2
0
3
2
.
1
x dx
x



10.
6
0
cos .
4sin 1
x dx
x

+


11.

2
0
sin 3cos 1.x x dx

+

12.
3 4
2
2
cos .sin .x x dx




13.
2
1
4ln 1
e
dx
x x +

14.
( )
2
1
2ln 1
e
x

dx
x


15.
4
1
ln . 3ln 4
e
x x
dx
x
+

16.
2
2
2
4
2 cot
sin
g x
dx
x




17.
3

4
2
0
sin
cos
tgx
e x
dx
x



18.
3
0
1.x x dx+

.
19.
2
3
0
1 .x x dx

20.
2
2
1
2
1

x
dx
x x+

21.
4
2
0
4 .
cos
x dx
x


22.
3
4
2
0
sin
cos
x x
dx
x



23.
cot
2

2
4
6
sin
gx
e x
dx
x




23.
2
1
2
2
2
1 x
dx
x



25.
( )
1
3
2
0

1 x dx

26.
( )
2
2
1
ln 1x
dx
x
+


27.
5
4
0
.tg x dx


28.
3
4
0
cos
dx
x


29.

( )
2
3
4
2 3cottgx gx dx




30.
2
2 2
3
0
sin .cos .x x dx



31.
x
dx
x x

2
0
cos
sin 2cos+

32.
x

x x
e
dx
e e
1
0
4


+

15
Bài 2 : Chứng minh rằng :
( ) ( )
1 1
0 0
1 1
n m
m n
x x dx x x dx− = −
∫ ∫
Tính
( )
1
6
0
1x x dx−
∫
Bài 3 : Chứng minh rằng :
2

2
0
16 5 3cos 10
dx
x
π
π π
≤ ≤
+
∫
VẤN ĐỀ 3 : ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
A.DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG .
1. Công thức I :
Diện tích hình thang cong giới hạn bởi các đường y = f( x ) , đường
thẳng x = a , đường thẳng x = b ( a < b ) và trục hoành Ox ( y = 0 ) là
S =
( )
.
b
a
f x dx
∫
2. Công thức II:
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f( x ) , y = g( x ) ,
đường thẳng x = a , đường thẳng x = b ( a < b ) là :
S =
( ) ( )
.
b
a

f x g x dx
−
∫
Chú ý : Nếu chọn biến số y thì :
i. Diện tích hình thang cong giới hạn bởi các đường x = f( y ) , đường
thẳng y = a , đường thẳng y = b ( a < b ) và trục tung Oy ( x = 0 ) là
S =
( )
.
b
a
f y dy
∫
ii. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường x = f( y ) , x = g( y ) ,
đường thẳng y = a , đường thẳng y = b ( a < b ) là :
S =
( ) ( )
.
b
a
f y g y dy
−
∫
B. THỂ TÍCH HÌNH TRÒN XOAY .
Công thức I :
Thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra khi cho hình phẳng giới hạn
bởi các đường
( )
,
: 0

y f x
x a x b
Ox y
=


= =


=

( a < b ) quay quanh trục Ox là :
( )
2
b
a
S f x dx
π
=
 
 
∫
16
Công thức II :
Thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra khi cho hình phẳng giới hạn
bởi các đường
( )
( )
,
y f x

y g x
x a x b
=


=


= =

( a < b ) quay quanh trục Ox là :
( ) ( )
2 2
b
a
S f x g x dx
π
= −
∫
Chú ý : Nếu chọn biến số y thì :
Thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra khi cho hình phẳng giới hạn
bởi các đường
( )
,
: 0
x f y
y a y b
Oy x
=



= =


=

( a < b ) quay quanh trục Oy là :
( )
2
b
a
S f y dy
π
=  
 
∫
BÀI TẬP :
Bài 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :
a. y =
2
ln x
x
, y = 0 , x = 1 , x = e .
b. x – y
2
+ 1 = 0 , x – y – 1 = 0 .
c. y
2
= 4x + 1 , y = x – 1 .
d. y = sin

2
x . cos
3
x , y = 0 , x = 0 , x =
2
π
e. y = 2x – 2 , y
2
= 2x
f.
y x
3
1= −
và tiếp tuyến của đồ thò hàm số tại điểm
( )
1; 2− −
g. y = x
3
–3x
2
+ 2 , tiếp tuyến tại x = 2 và đường thẳng x = 1
Bài 2 : Tính thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành khi cho hình
phẳng giới hạn bởi các đường :
a.
( )
y x
1
3
2 1= +
, x = 0 , y = 3 quay quanh Oy

b. y = lnx , y =o , x = e
i . Quay quanh Ox
ii . Quay quanh Oy
c.
y x x
2 2
sin .cos=
,
x
π
4
=
và hai trục tọa độ quay quanh Ox .
17
CHỦ ĐỀ III : ĐẠI SỐ TỔ HP .
Hoán vò
Số hoán vò của n phần tử được tính theo công thức :
!
n
P n
=

n
+
∈¢

Chỉnh hợp
Số chỉnh hợp chập k của n phần tử :
( )
!

!
k
n
n
A
n k
=
−
với
{ }
, \ 0n k N
k n
 ∈

≤

Tổ hợp
Số tổ hợp chập k của n phần tử :
( )
!
! !
k
n
n
C
k n k
=
−
với
,n k N

k n
∈


≤

Các tính chất :
1. n ! . ( n + 1 ) = ( n + 1 ) ! .
2.
( ) ( ) ( )
!
1 2 1
!
n
n n n k
k
= − − +

3.
k n k
n n
C C
−
=


⇒

0
1

n
n n
C C= =
,
1 1n
n n
C C n
−
= =
,
( )
2 2
1
2
n
n n
n n
C C
−
−
= =
4.
1 1
1 1 1
k k k k
n n n n
n
C C C C
k
− −

− − −
= + =
5.
0 1 2
2
n n
n n n n
C C C C
+ + + + =
Nhò thức NEWTON :
1. Công thức NEWTON :
( )
0 1 1 2 2 2
. .
n
n n n n n
n n n n
a b C a C a b C a b C b
− −
+ = + + + +
( ) ( )
0 1 1 2 2 2
. . 1
n n
n n n n n
n n n n
a b C a C a b C a b C b
− −
− = − + − + −
2. Hệ qua û :

i.
( )
0 1 2 2 1 1
1
n
n n n n
n n n n n
x C C x C x C x C x
− −
+ = + + + + +
18
( ) ( )
0 1 2 2 3 3
1 1
n n
n n
n n n n n
x C C x C x C x C x− = − + − + + −
ii.
( )
0 1 1 2 2 1
1
n
n n n n n
n n n n n
x C x C x C x C x C
− − −
+ = + + + + +
( ) ( ) ( )
1

0 1 1 2 2 1
1 1 1
n n n
n n n n n
n n n n n
x C x C x C x C x C
−
− − −
− = − + − + − + −
3. Số hạng thứ k + 1: ( số hạng tổng quát )
1
.
k n k k
k n
T C a b
−
+
=
BÀI TẬP :
Bài 1 : Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau và :
a. Bắt đầu từ chữ số 1 và chẵn .
b. Luôn có mặt chữ số 2 và không có mặt chữ số 1.
c. Không tận cùng bằng 6 .
Bài 2 : Từ các chữ số 0 , 1 , 2 , 6 , 7 , 8 , 9 có thể lập được bao nhiêu số
tự nhiên có 4 chữ số khác nhau và lớn hơn 5000 .
Bài 3 : Một học sinh có 5 cuốn sách Toán , 4 cuốn sách Lý và 6 cuốn
sách Hóa khác nhau đôi một . Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp chúng
trên một kệ ngang sao cho :
a. Các cuốn sách nằm tùy ý .
b. Những cuốn sách thuộc cùng một loại nằm gần nhau .

Bài 4 : Giải các phương trình sau :
a.
1 3
1
72 72
x x
A A
+
− =
b.
4
3 4
1
24
23
n
n
n n
A
A C
−
+
=
−
c.
( )
3 1
1 1
14 1
x

x x
A C x
−
+ +
+ = +
d.
3
5
5
720
.
x
x x
P
A P
+
−
=
e.
2
1
2
10
3
x
x
C
x
C
+

=
f.
2 1
7 7 7
2
k k k
C C C
+ +
+ =
g.
1
1
1
.
72
y
x x y
x
A P
P
+
+ −
−
=
h.
1 2 3 10
1023
x x x x
x x x x
C C C C

− − − −
+ + + + =
Bài 5 : Giải phương trình và hệ phương trình sau :
a.
1 1
1 1 1
: : 5:5:3
m m m
n n n
C C C
+ −
+ + +
=
19
b.
2 5 90
5 2 80
y y
x x
y y
x x
A C
A C

+ =


− =



Bài 6 : Giải các bất phương trình sau :
a.
( )
4
4
143
2 ! 4
n
n
A
n P
+
<
+
b.
2 2 3
2
1 6
10
2
x x x
A A C
x
− ≤ +
c.
4 3 2
1 1 2
5
0
4

n n n
C C A
− − −
− − <
d.
1
105 105
8 3
n n
C C
+
<
Bài 7 : Chứng minh rằng :
a.
1 2 3 2 3
2 3
2 5 4
k k k k k k
n n n n n n
C C C C C C
+ + + + +
+ +
+ + + = +
b.
1 1 1
2
2
m m m m
n n n n
C C C C

+ − +
+
+ + =
c.
1 2 3
3
3 3
k k k k k
n n n n n
C C C C C
− − −
+
+ + + =
Bài 8 : Chứng minh rằng :
a.
0 0 1 1 2 2
9 9 9 9 10
n n n
n n n n
C C C C+ + + + =
b.
( )
0 1 2
1 0
n
n
n n n n
C C C C− + − + − =
c.
0 1 2

2
1 1 1
3 4
3 3 3
n n n
n n n n
n
C C C C
 
+ + + + =
 
 
d.
( ) ( )
1 1
1 2 2 3 1
2.5 3.5 1 .5 4
n n
n n
n n n n
C C C n C n
+ −
−
− + − + − = −
e.
( ) ( )
1 0 2 1 3 2 1 1
.9 1 .9 2 9 10
n n n n n
n n n n

n C n C n C C n
− − − − −
+ − + − + + =
f.
( ) ( ) ( ) ( )
0 1 2 2
. 1 1 . 2 2 1 2
n n
n n n
n n C n n C C n n
− −
− + − − + + = −
g.
0 1 2 1
2 1

1 2 3 1 1
n n
n n n n
C C C C
n n
+
−
+ + + + =
+ +
Bài 9 : Tính tổng :
a.
12 0 11 1 10 2 2 12 12
12 12 12 12
9 9 .7 9 .7 7A C C C C= + + + +

b.
( )
0 1 2 2
4 4 1 4
n
n n
n n n n
B C C C C= − + − + −
c.
1 2 2 3 1
2.5 3.5 .5
n n
n n n n
C C C C n C
−
= + + + +
d.
1 2 2 3 19 20
20 20 20 20
2.7 3.7 20.7D C C C C= − + − −
e.
( ) ( )
1 0 2 1 3 2 1
.6 1 .6 2 6
n n n n
n n n n
E n C n C n C C
− − − −
= + − + − + +
f.

( ) ( ) ( ) ( )
2
0 1 2
. 1 1 . 2 1 .2
n
n
n n n
F n n C n n C C
−
−
= − − − − + + −
20
g.
0 2 1 3 2
4. 4 . 4 . 4 .

1 2 3 1
n n
n n n n
C C C C
G
n
= + + + +
+
Bài 10 : a. Tìm số hạng chính giữa của khai triển :
12
2
4
x x
x x

 
−
 ÷
 
b. Tìm hai số hạng chính giữa của khai triển :
13
3
2
4
2x x
x x
 
−
 ÷
 
Bài 11 : Tìm số hạng không chứa x trong khai triển :
a.
15
2
1
x
x
 
−
 ÷
 
b.
10
2
x x

x
 
−
 ÷
 
Bài 12 : Cho biết hệ số của số hạng thứ 3 trong khai triển :
3
2
n
x
x x
x
 
+
 ÷
 
bằng 36 . Hãy số hạng thứ 7 và hai số hạng chính
giữa .
Bài 13 : Cho biết hệ số của số hạng thứ 3 trong khai triển :
1
3
n
x
 
−
 ÷
 

bằng 5 . Tìm số hạng chính giữa của khai triển .
Bài 14 : Cho biết tổng của hệ số thứ 1 , thứ 2 và thứ 3 trong khai triển :

3
2
1
n
x
x
 
+
 ÷
 
là 11 . Tìm hệ số chứa x
2
.
Bài 15 : Cho biết hiệu số giữa hệ số của số hạng thứ 3 và thứ 2 trong
khai triển :
4
1
n
x x
x
 
+
 ÷
 
bằng 44 . Tìm số hạng độc lập với x .
Bài 16 : Tìm hệ số của số hạng chứa
12 13
x y
trong khai triển :
a.

( )
25
x y+
b.
( )
25
2 3x y−
Bài 17 : Tìm hệ số của số hạng chứa
4
x
trong khai triển :
( )
10
2
1 2 3x x+ +
Bài 9 : Cho khai triển :
( )
50
2 50
0 1 2 50
3 x a a x a x a x+ = + + + +
a. Tính hệ số
46
a
.
21
b. Tính tổng
0 1 2 50
S a a a a= + + + +
Bài 18 : Cho khai triển :

( )
80
2 80
0 1 2 80
2 x a a x a x a x− = + + + +
a. Tính hệ số
78
a
.
b. Tính tổng
1 2 3 80
1. 2. 3. 80.S a a a a= + + + +
Bài 19 : Tìm số hạng của khai triển :
( )
9
3
3 2+
là một số nguyên .
Bài 20 : Tìm số hạng của khai triển :
( )
6
3 15−
là một số nguyên .
Bài 21 : Cho biết tổng tất cả các hệ số của khai triển :
( )
3n
a b+
là 64.
Tìm số hạng chính giữa của khai triển
ĐỀ MẪU:

Bài 1 : Cho hàm số y = x
2
( 2 – x
2
)
a. Khảo sát và vẽ đồ thò ( C ) của hàm số .
b. Dựa vào đồ thò ( C ) biện luận theo m số nghiệm phương trình :
4 2
2 0
t t
e e m− + =
c. Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) kẻ từ gốc tọa độ .
d. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( C ) và trục hoành Ox .
Bài 2 : Tính các tích phân :
a.
3
1
4ln
ln 1
e
x
dx
x x +
∫
b.
4
2
2
4 .
2 3 1

x dx
x x− +
∫
Bài 3 : Cho hypebol ( H ) qua hai điểm A
( )
2 5; 1
−
B
( )
6; 5
−
.
a. Viết phương trình chính tắc của ( H ) . Xác đònh tiêu điểm ,
đỉnh , tâm sai , phương trình tiệm cận và phương trình đường
chuẩn của ( H ).
b. Tìm những điểm trên ( H ) nhìn hai tiêu điểm dưới một góc
vuông .
c. Viết phương trình tiếp tuyến của ( H ) kẻ từ điểm K(4 ;2 ) .
Xác đònh tọa độ tiếp điểm .
Bài 4 : Cho mặt cầu ( S ) đi qua gốc tọa độ O và qua các điểm
A(2 ;0 ;0 ) , B( 0 ;-1 ;0 ) , C( 0 ;0 ;3 )
a. Xác đònh tâm I và bán kính R của mặt cầu ( S )
b. Gọi
α
là mặt phẳng đi qua 3 điểm A , B , C . Lập phương
trình đường tròn giao tuyến của ( S ) và
α
. Tính bán kính
của đường tròn này .
22

c. Tính thể tích của tứ diện OABC .
Bài 5 : Giải hệ phương trình :
1
1 1
1
1 1
3 5
y y
x x
y y
x x
C C
C C
+
+ +
−
+ +

=


=


x , y
∈
N
23