giáo trình lý thuyết đồ thị potx

Biên soạn: Lê Đình Huy
1


Lời nói đầu

Tài liệu nhỏ này được biên soạn nhân dịp tôi và các bạn làm đề tài Toán rời
rạc. Nội dung chủ yếu của tài liệu này viết về lí thuyết đồ thị, và đi sâu về đồ thị
Halmilton. Xin nói rằng, tôi không lấy làm hãnh diện khi viết xong tài liệu này.
Đây chỉ là một chút sự góp nhặt nhỏ bé từ các tài liệu khác (chủ yếu là: Đại cương
về toán học hữu hạn – Hoàng Chúng) mà được tôi rút ra để tổng hợp lại những gì
đã được học.
Tất nhiên một mình tôi thì không thể biên soạn được tài liệu này. Trong quá
trình biên soạn, xin chân thành cám ơn nhóm đề tài toán rời rạc của lớp tôi gồm
các bạn: Cù Minh Khương; Phạm Thị Thu Hà; Phan Phương Dung; Nguyễn Thi
Thùy Dung; Phạm Thị Nâu. Cám ơn các thầy cô đã đón nhận. Chắc chắn tài liệu
sẽ có những sai sót không tránh khỏi, hi vọng được thầy cô, bạn đọc đón nhận và
góp ý.
Mùa xuân, Canh Dần, TP Hồ Chí Minh

Lê Đình Huy

Biên soạn: Lê Đình Huy
2

Sơ lược về Graph
I Graph (Đồ thị):
Hai chữ “đồ thị” vẫn thường xuyên xuất hiện trong đời sống toán học và cả
trong đời sống hàng ngày.
Trong các giờ toán, chúng ta từng nói tới đồ thị của các hàm số.Hay trong các
công sở, các nhân viên phải lập các biểu đồ theo dõi lượng tiêu thụ điện … Nói
chung, khái niệm đồ thị là một khái niệm khá quen thuộc với chúng ta nhằm biểu
diễn tương quan qua lại giữa 2 hoặc nhiều đối tượng toán học khác nhau.
Ở đây, khái niệm đồ thị vẫ được dùng theo nghĩa đó nhưng nó mang tính trừu
tượng hơn.
Lí thuyết đồ thị (tiếng Anh và tiếng Đức đọc là “graph”) nghiên cứu những tính
chất toán học, những quan hệ mà không phụ thuộc vào bản chất riêng của những
mối quan hệ này. Để tránh bị hiểu nhầm là đồ thị của hàm số, trong tài liệu này
chúng tôi sẽ dùng thuật ngữ “graph”.
Một graph có thể hiểu đơn giản là một hệ thống các đỉnh và các cạnh nối các
đỉnh này với nhau.
Một graph G được xác định bởi:
_ Tập hợp V những phần tử gọi là đỉnh của G.
_ Tập hợp E những phần tử gọi là cạnh của G.
Giả thuyết rằng V, E là các tập hữu hạn, V không rỗng.Kí hiệu: G(V,E) hay
V(G),V(E) để chỉ rõ V,E lần lượt là tập đỉnh, tập cạnh của graph G.
Một cạnh (u, v) của G thường được viết là uv (hay vu), ta nói cạnh uv nối u
với v, lúc đó, ta nói u và v là 2 đỉnh kề nhau.
VD1: Graph G được xác định bởi:
V = {a,b,c,d,e}
E = {ab,ac,ad,ae,bd,bc,cd,ce}
Tổng quát hơn khái niệm graph, chúng ta có khái niệm đa graph:

Một đa graph G được xác định bởi:
Biên soạn: Lê Đình Huy
3

_ Tập hợp V những phần tử gọi là đỉnh của G.
_ Bộ E những phần tử gọi là cạnh của G; mỗi cạnh là một cặp không sắp thứ tự
của 2 đỉnh.
Giả thuyết rằng V là các tập hữu hạn, không rỗng và E là một bộ gồm hữu hạn
phần tử.
Một bộ (khác với một tập hợp) có thể chứa nhiều phần tử trùng nhau.Trong đa
graph, E có thể chứa nhiều cạnh cùng nối một cặp đỉnh.
Mỗi cạnh là một cặp không sắp (không sắp thứ tự) của 2 đỉnh không nhất thiết
khác nhau( như graph).
VD2: Đa graph G được xác định bởi:
V = {u,v,x,y}
E = {uv,uv,ux,xy,yy}
Đa graph G có 2 cạnh uv cùng nối 1 cặp đỉnh,ta gọi đó là những cạnh song
song (cạnh bội). Cạnh yy có 2 đầu mút trùng nhau, ta gọi là khuyên.
Một đa graph không có cạnh song song và không có khuyên (như VD1) gọi là
một graph.
(Các thuật ngữ về graph hiện chưa thống nhất. Có tác giả dùng đồ thị (đa đồ thị)
thay cho graph (đa graph). Có tác giả gọi đa graph và graph lần lượt là graph và
đơn graph. Có tác giả gọi đa graph là giả graph, một giả graph không có khuyên
gọi là đa graph, một đa graph không có cạnh song song gọi là graph. Vì vậy, khi
đọc các tài liệu người đọc cần chú ý đến thuật ngữ mà tác giả sữ dụng.)
II Biểu diễn graph:
Ta thường dùng biểu diễn hình học của graph như sau: biểu diễn các đỉnh của
graph bằng các điểm (vòng tròn nhỏ,ô vuông nhỏ) và nối 2 điểm bằng 1 đường
(cong hay thẳng) khi cặp điểm đó ứng với 1 cạnh của graph.
Đinh lí: Mọi graph G đều có thể biểu diễn bằng 1 hình trong không gian.

Biên soạn: Lê Đình Huy
4


d
e
a
b
c

Biểu diễn của graph trong VD1



Biểu diễn graph G trong VD2

Trong nhiều trường hợp (nhất là với graph có nhiều đỉnh và cạnh),ta thường
biểu diễn graph bằng ma trận.
Một graph G có p đỉnh v
1
,v
2
,…,v
p
có thể biểu diễn bằng ma trận vuông p x p,
trong đó tại dòng thứ i và cột thứ j (1 i, j p).là số a
ij
với :

1
0
ij
ij
ij
khi v keà v
a
khi v khoâng keà v

Biên soạn: Lê Đình Huy
5


VD3:
Biểu diễn graph G trong VD1 như sau:


0 1 1 1 1
1 0 0 1 0
1 0 0 1 1
1 1 1 0 0
1 0 1 0 0


III Bậc của đỉnh:
Một đỉnh v của graph G là đỉnh bậc n nếu v kề với n đỉnh khác.

VD4:

d
e
a
c
b


Đỉnh Bậc
a 3
b 2
c 2
Biên soạn: Lê Đình Huy
6

d 1
e 0

Một đỉnh là đỉnh lẻ nếu bậc là số lẻ; đỉnh chẵn nếu bậc là số chẵn. Trong
VD4, b,c,e là đỉnh chẵn; a,d là đỉnh lẻ.
Đỉnh có bậc 0 là đỉnh cô lập.
Ta có định lí sau:
Đinh lí: Trong một graph G, tổng số bậc của các đỉnh là một số chẵn (bằng 2 lần
tổng số cạnh của G).
Hệ quả: Số đỉnh lẻ của mọi graph là một số chẵn.
IV Graph đẳng cấu:
G và G’ là hai graph đẳng cấu nếu có một tương ứng 1-1 giữa các đỉnh của G
và G’ sao cho nếu 2 đỉnh u, v của G là kề nhau thi 2 đỉnh tương ứng u’, v’ của G’

cũng kề nhau và ngược lại.
Dễ thấy rằng nếu 2 graph G và G’ là đẳng cấu thì chúng có:
_ số đỉnh bằng nhau.
_ số cạnh bằng nhau.
_ hai đỉnh tương ứng với nhau là 2 đỉnh cùng bậc.
Đó là những điều kiện cần để 2 graph là đẳng cấu.


VD5: Chứng minh 2 graph G và G’ dưới hình sau là đẳng cấu.

Biên soạn: Lê Đình Huy
7

u
G'
G
s
t
v
y
x
w
z
e
b
h
g
f
c
d

a


Trước hết, G và G’ có cùng số đỉnh (8 đỉnh), cùng số cạnh (7 cạnh), cùng có một
đỉnh bậc 4, một đỉnh bậc 3, một đỉnh bậc 2 và 5 đỉnh bậc 1.
Ta thiết lập một tương ứng 1-1 giữa các đỉnh cùng bậc:
e v (đỉnh bậc 4);
b y (đỉnh bậc 3);
a x (đỉnh bậc 2);
Đối với các đỉnh bậc 1 thì f, g, h trong G (cùng kề với e), nên ta cho tương ứng với
s, t, u trong G’ (cùng kề với v). Còn c, d trong G (cùng kề với b), tương ứng với z,
w trong G’ (cùng kề với y).
Như vậy, ta có sự tương ứng sau:
e v;
b y;
a x;
f s;
g t;
h u;
c z;
d w;
Với sự tương ứng đó, ta có:
Biên soạn: Lê Đình Huy
8

ea vx; ef vs; eg vt; eh vu; ba yx; bc yz; bd yw;
(hai cạnh tương ứng có đầu mút là 2 cặp đỉnh tương ứng)
Vậy G và G’ là đẳng cấu.
V Graph con:
Cho 2 graph G(V, E) và G’(V’, E’)

G’ là graph con của G nếu V’ V và E’ E. Trong trường hợp V = V’ thì G’
là graph con bao trùm của G.
VD6:
G
5
G
4
G
3
G
2
G
1
G
b
a
d
c
e
b
c
d
a
b
c
e
d
a
c
b

a
b
c
b
c
d
a
d
a

Trong hình trên, G
1
, G
2
, G
3
và G
4
là các graph con của G, trong đó G
2
và G
4
là
graph con bao trùm của G. Còn G
5
không là graph con của G vì G
5
chứa cạnh ad
mà G thì không.
VI Đường đi:

Trong một graph G, một dãy cạnh liên tiếp
v
0
v
1
,v
1
v
2
,… , v
n-2
v
n-1
,v
n-1
v
n
(n 0)
được gọi là một đường đi từ v
0
(đỉnh đầu) đến v
n
(đỉnh cuối), chứa (qua) các đỉnh
v
0
, v
1
,

… , v

n
và chứa các cạnh v
0
v
1
,v
1
v
2
,… , v
n-1
v
n
. Đường đi này thường được
viết gọn là
v
0
v
1
v
2
,… v
n-1
v
n
.
Khi chỉ cần nêu ra đỉnh đầu v
0
và đỉnh cuối v
n

của đường đi thì ta viết:
Biên soạn: Lê Đình Huy
9

Đường đi v
0
- v
n
.
Đường đi qua n cạnh gọi là đường đi có độ dài n.
Một đường đi không qua cạnh nào lần thứ hai là một đường đi đơn giản.
Một đường đi không qua đỉnh nào lần thứ hai là một đường đi sơ cấp.
Một đường đi sơ cấp là một đường đi đơn giản nhưng một đường đi đơn giản có
thể không là đường đi sơ cấp.
Một đường đi khép kín (đỉnh đầu trùng với đỉnh cuối) và có độ dài n 3 gọi là một
chu trình. Một chu trình không qua cạnh nào lần thứ hai là một chu trình đơn giản.
Một chu trình không qua đỉnh nào lần thứ hai, trừ đỉnh đầu và đỉnh cuối trùng
nhau là một chu trình sơ cấp.
VD7:

z
x
y
u
v

Trong hình trên, uvyz là đường đi sơ cấp từ u đến z (độ dài 3); uyxvyz là đường đi
không sơ cấp (qua đỉnh y hai lần) từ u đến z (độ dài 5); yvxyv là đường đi không
đơn giản (chứa cạnh yv hai lần) từ y đến v (độ dài 4); vyxv là một chu trình đơn
giản và sơ cấp (độ dài 3); vv là một đường đi độ dài 0.

VII Tính liên thông:
Hai đỉnh u, v của graph G được gọi là hai đỉnh liên thông nếu trong G có đường đi
u – v. G là graph liên thông nếu mọi cặp đỉnh của G là liên thông.
VD8:
Biên soạn: Lê Đình Huy
10


e
h
g
b
a
c
d
G
1
G
2


Trong hình trên, graph G
1
liên thông vì có đường đi nối 2 đỉnh bất kì của G
1
.Gragh
G
2
không liên thông vì không có đường đi từ d đến e.

Cho graph G(V, E) và v là một đỉnh của G; gọi V’ là tập hợp các đỉnh của G liên
thông với v và E’ là tập hợp các cạnh của G nối 2 đỉnh của V’. Graph G’(V’, E’),
một graph con của G(V, E), gọi là thành phần liên thông của G chứa v.
Đương nhiên, nếu v và u liên thông trong G thì thành phần liên thông của G
chứa v cũng là thành phần liên thông của G chứa u.
Có thể thấy rằng mọi graph G đều có k thành phần liên thông: mỗi đỉnh của
G thuộc một và chỉ một thành phần liên thông; hai đỉnh liên thông với nhau thì
thuộc một thành phần liên thông, hai đỉnh không liên thông thì thuộc hai thành
phần liên thông khác nhau.
VD9:
Xét graph G
2
trong VD8 có 3 thành phần liên thông:
+ thành phần liên thông chứa a là G
1
(V
1
, E
1
), trong đó:
V
1
= {a, b, c, d} và E
1
= {ab, bc, cd, ca};
+ thành phần liên thông chứa e là G
2
(V
2

, E
2
), trong đó:
V
2
= {e} và E
2
= ;
+ thành phần liên thông chứa g là G
3
(V
3
, E
3
), trong đó:
V
3
= {g, h} và E
3
= {gh};
Biên soạn: Lê Đình Huy
11

Tóm lại: G là một graph liên thông khi và chỉ khi G có duy nhất một thành phần
liên thông.
VIII Một số graph đặc biệt:
1) Graph đều là một graph mà mọi đỉnh cùng bậc; nếu bậc này bằng k thì đó là
graph k – đều.
VD10:
e)

d)
c)
b)
a)

Hình trên cho ta thấy các graph 0 - đều (hình a), 1 - đều (hình b), 2 - đều (hình c,
d), 3 – đều (hình e).
2) Graph đầy đủ là 1 graph mà mọi cặp đỉnh đều kề nhau. Một graph đầy đủ có
p đỉnh, kí hiệu là K
p
. K
p
là 1 graph (p -1) – đều, có
( 1)
2
pp
cạnh.
VD11:
K
5
K
4
K
3
K
2

Biên soạn: Lê Đình Huy
12

3) Graph hai phe G(V, E) là graph mà tập hợp đỉnh V(G) có thể phân thành 2
tập hợp không rỗng V
1
và V
2
sao cho cạnh nào của G cũng nối 1 đỉnh trong V
1
với
1 đỉnh trong V
2
.
VD12:
V
2
V
1
V
2
V
1
z
y
v
u
x
x
y
z
v
u

Một graph hai phe mà mỗi đỉnh của V
1
(có m đỉnh) đều kề với mọi đỉnh của V
2

(có n đỉnh) gọi là một graph hai phe đầy đủ, kí hiệu là K
m,n
.
VD13:
K
3,3
K
2,3

IX Một số phép biến đổi về graph:
1) Ta kí hiệu G – {v} là graph con của G, có được bằng cách xóa đỉnh v và các
cạnh của G, nối với v. Nếu xóa 2 đỉnh u, v của G, ta có graph con
G – {u,v}.
Ta kí hiệu G – uv là graph con của G, có được bằng cách xóa cạnh uv của G.
Nếu xóa hai cạnh uv, xy, ta có graph G – {uv, xy}.
v là một đỉnh cắt (hay khớp) của graph G nếu G liên thông, mà G – {v} thì
không liên thông.
uv là một cầu của G nếu G liên thông mà G - uv không liên thông.
VD14:
Biên soạn: Lê Đình Huy
13

G - de
G - ab

G - {a}
G - {e}
G
e
d
c
b
a
b
c
d
e
a
e
d
c
b
d
c
b
a
a
b
c
d
e

Nếu trong G có 2 đỉnh u, v không kề nhau, ta có thể thêm cạnh uv vào G và được
graph, kí hiêu G + uv. Nếu u hoặc v không là đỉnh của G ta kí hiệu G uv là
graph có được bằng cách thêm đỉnh u (hoặc v) và thêm cạnh uv vào G.

VD15:

G U cf
G + ce
G
b
c
d
e
f
a
a
b
c
d
e
a
b
c
d
e

2) Graph G’ (V,E’) là graph bù của graph G(V,E) nếu G và G’ không có cạnh
chung(E E’= ) và G(V, E) + E’ là graph đầy đủ. Nói cách khác, G và G’ bù
nhau nếu chúng tập đỉnh và cạnh nào đã có trong G thì không có trong G’ và
ngược lại.
VD16:
Biên soạn: Lê Đình Huy
14

d)
c)
b)
a)



Hình trên cho ta thấy graph a) và b) bù nhau, graph c) và d) bù nhau.
3) Cho 2 graph G(V, E) và G’(V’, E’). Graph tích G x G’ là graph có:
+ tập đỉnh là tập hợp tích V x V’,tức là nếu:
V = { v
1
, v
2
,… v
m
} và V’ = { v’
1
,

v’
2
,… v’
n
} thì tập hợp đỉnh của G x G’ là
tập hợp tất cả các cặp (v
i
, v’
j
) với mọi i =1, …, m và j = 1,…, n.

+ tập hợp cạnh được xác định như sau: Hai đỉnh (v
i
, v’
j
) và (v
k
, v’
p
) trong G x
G’ được nối bằng một cạnh khi chỉ khi
v
i
= v
k
và v’
j
v’
p
E’ (a)
hoặc v’
j
= v’
p
và v
i
v
k
E (b)
VD17:
Cho graph đầy đủ K

2
(2 đỉnh được kí hiệu là 0 và 1,ta có cạnh 01 hoặc10)
Graph tích K
2
x K
2
có:
+ 4 đỉnh là (0,0); (0,1); (1,0); (1,1).
+ 4 cạnh là cạnh nối (0,0) với (0,1); cạnh nối (1,0) với (1,1)(do thỏa điều kiện a),
cạnh nối (0,0) với (1,0); cạnh nối (0,1) với (1,1)(do thỏa điều kiện b)

K
2
00
10
11
01
1
0
K
2
x
K
2




Biên soạn: Lê Đình Huy
15

Để cho gọn, trong K
2
x K
2
ta kí hiệu các đỉnh 00, 01,… thay cho (0,0), (0,1)…
Dùng khái niệm graph tích, ta có khái niệm hình n – lập phương (siêu lập phương)
Q
n
như sau:
Q
1
= K
2

Q
n
= Q
n-1
x K
2
với n 2
VD18:
Q
4
0111
0010
0001
0110
0000

0100
0011
0101
1000
1100
1001
1110
1111
1010
1011
1101
Q
3
110
001
100
101
111
011
010
000


X Graph có hướng:
Trong đa graph có hướng H(V, E), với V là tập hợp đỉnh, thì E là một bộ
những phần tử gõi là cạnh có hướng hay cung của H; mỗi cung là cặp sắp thứ tự
(u, v) của 2 đỉnh, đỉnh u (đứng trước) gọi là gốc của cung và đỉnh v (đứng sau) gọi
là ngọn của cung. Cung (u, v) cũng được kí hiệu là uv.
Một đa graph có hướng cũng có thể biểu diễn hình học tương tự như đa graph
vô hướng, chỉ khác là các cung(các cạnh có hướng) được biểu thị bằng những

đường cong có mũi tên đi từ gốc tới ngọn. Ta cũng nói: cung uv đi ra khỏi u và đi
vào v.
Một đa graph có hướng, không có cạnh song song và không có khuyên gọi là
một graph có hướng.
Trong graph có hướng H, nếu đỉnh v là gốc của k cung thì ta nói v có bậc ra là
k; nếu v là ngọn của m cung thì ta nói v có bậc vào là m. Bậc của đỉnh v là k + m =
n.
Biên soạn: Lê Đình Huy
16

Đường đi trong graph có hướng cũng được định nghĩa tương tự như trong
graph vô hướng, nhưng chú ý là trên cung uv chỉ có thể đi từ u (gốc) đến v (ngọn).
Trong một graph có hướng H nếu ta thy mọi cung bằng một cạnh (hai cung uv
và vu, nếu có, cũng đều được thay bằng một cạnh uv) thì ta được graph G, gọi là
graph đối xứng của H.
Một graph có hướng H là liên thông yếu nếu graph đối xứng G của H liên
thông.
H là liên thông một chiều nếu với 2 đỉnh u, v khác nhau bất kì của H luôn có
đường đi u – v hoặc v – u.
H là liên thông hai (liên thông mạnh) chiều nếu với 2 đỉnh u, v khác nhau bất
kì của H luôn có đường đi u – v và v – u.


ĐƯỜNG ĐI HAMILTON
VÀ GRAPH HAMILTON
Năm 1857, nhà toán học người Ailen là Hamilton (1805 – 1865) đưa ra trò
chơi “Đi vòng quanh thế giới” như sau.
Cho một hình thập nhị đều (có 12 mặt, 20 đỉnh và 30 cạnh), mỗi đỉnh của hình
mang tên một thành phố nổi tiếng, mỗi cạnh của hình (nối hai đỉnh) là đường đi lại
giữa hai thành phố tương ứng. Xuất phát từ một thành phố, hãy tìm đường đi thăm

tất cả các thành phố khác, mỗi thành phố chỉ một lần, rồi trở về chổ cũ.

Biên soạn: Lê Đình Huy
17

Hình thập nhị diện đều có thể biểu diễn trong mặt phẳng như hình dưới và nếu
cho các thành phố mang tên A, B, C, D… thì ta có một cách “đi vòng quanh thế
giới” như sau:
A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, A


Trước Hamilton, có thể là từ thời Euler, người ta đ biết đến một câu đố hĩc ba
về “đường đi của quân m trn bn cờ”
Trn bn cờ, qun m chỉ cĩ thể đi theo đường chéo hình chữ nhật 2 x 3
hoặc 3 x 2 ơ vuơng.

Biên soạn: Lê Đình Huy
18



Giả sữ bn cờ cĩ 8 x 8 ơ vuơng. Hy tìm đường đi của quân m, qua được tất cả
các ô của bàn cờ (mỗi ô đúng một lần) rồi trở lại ô xuất phát. Hình trn cho ta một
lời giải của cu đố.
Trị chơi và câu đố trên dẫn đến việc khảo sát một lớp graph đặc biệt, graph
Hamilton.
Định nghĩa: Cho graph G. Nếu trong G có một đường đi sơ cấp u – y qua mọi
đỉnh của G chỉ một lần, thì u – y l một đường đi Hamilton trong G. Nếu u = y thì
ta cĩ một chu trình Hamilton. Một graph cĩ chu trình Hamilton gọi l graph
Hamilton.

Mọi graph đầy đủ (với số đỉnh không nhỏ hơn 3) cũng là graph Hamilton.
Đường đi Hamilton tương tự đường đi Euler trong cách phát biểu: đường đi
Euler qua mọi cạnh của graph đúng một lần, đường đi Hamilton qua mọi đỉnh của
Biên soạn: Lê Đình Huy
19

graph đúng một lần. Tuy nhin, nếu như bi tốn tìm đường đi Euler trong một graph
đ được giải quyết trọn vẹn, dấu hiệu nhận biết một graph Euler là khá đơn giản v
dễ sử dụng, thì cc bi tốn về tìm đường đi Hamilton và xác định graph Hamilton lại
khĩ hơn rất nhiều. Đường đi Hamilton và graph Hamilton cĩ nhiều ý nghĩa thực
tiễn v đ được nghin cứu nhiều, nhưng vẫn cịn những khĩ khăn lớn chưa ai vượt qua
được.
Người ta chỉ mới tìm được một vài điều kiện đủ để nhận biết một lớp rất nhỏ
các graph Hamilton và graph có đường đi Hamilton. Sau đây là một vài kết quả.
Định lý (Dirac, 1952): Nếu G l một graph có n đỉnh và mọi đỉnh của G đều cĩ
bậc khơng nhỏ hơn
2
n
thì G l một graph Hamilton.
Chứng minh: Định lý được chứng minh bằng phản chứng. Giả sử G khơng cĩ
chu trình Hamilton. Ta thêm vào G một số đỉnh mới và nối mỗi đỉnh mới này với
mọi đỉnh của G, ta được graph G’. Giả sử k (>0) là số tối thiểu các đỉnh cần thiết
để G’ chứa một chu trình Hamilton. Như vậy, G’ cĩ n + k đỉnh.

Gọi P l chu trình Hamilton ayb a trong G’, trong đó a và b là các đỉnh của
G, cịn y là một trong các đỉnh mới. Thế thì b khơng kề với a, vì nếu tri lại thì ta cĩ
thể bỏ đỉnh y và được chu trình ab a, mu thuẩn với giả thiết về tính chất nhỏ tối
thiểu của k.
Hơn nửa, nếu a’ là một đỉnh kề nào đó của a (khác với y) và b’ là đỉnh nối
tiếp ngay a’ trong chu trình P thì b’ khơng thể l đỉnh kề với b (vì nếu tri lại thì ta cĩ

thể thay P bởi chu trình aa’ bb’ a, trong đó không có y).
Biên soạn: Lê Đình Huy
20

Như vậy, với mỗi đỉnh kề với a, ta có một đỉnh không kề với b, tức là số đỉnh
không kề với b không thể ít hơn số đỉnh kề với a (số đỉnh kề với a không nhỏ hơn
2
n
k
). Mặt khác, theo giả thiết số đỉnh kề với b cũng không nhỏ hơn
2
n
k
. Vì
khơng cĩ đỉnh nào vừa kề với b lại vừa không kề với b, nên số đỉnh của G’ không
ít hơn
22
2
n
k n k
, mâu thuẩn với giả thiết là số đỉnh của G’ bằng n+k (k >
0). Định lý được chứng minh.
VD19:

k
h
g
e
b
c

d
a

Graph này có 8 đỉnh, đỉnh nào cũng có bậc 4. Vậy đây là graph Hamilton. Có
thể thấy một chu trình Hamilton l
a g c k d h b e a
Hệ quả: Nếu G l graph có n đỉnh và mọi đỉnh của G đều có bậc khơng nhỏ
hơn
1
2
n
thì G chứa một đường đi Hamilton.
Định lý (Ore, 1960): Nếu G l một graph có n đỉnh và bất kỳ hai đỉnh nào
không kề nhau cũng có tổng số bậc không nhỏ hơn n thì G l một graph Hamilton.
VD20:
Biên soạn: Lê Đình Huy
21


g
h
e
b
c
d
a

Graph này có 7 đỉnh, bất kì 2 đỉnh nào không kề nhau (a v c; a v g; b v h; d
v e;…) đều có tổng số bậc không nhỏ hơn 7. Vậy đây là graph Hamilton.
Định lý: Nếu G l một graph hai phe với hai tập đỉnh là V

1
, V
2
có số đỉnh
bằng nhau (bằng
2n
) và bậc của mỗi đỉnh lớn hơn
2
n
thì G l một graph
Hamilton.
VD21:

Graph ny l một graph Hamilton.(V
1
, V
2
đều có n = 3 đỉnh; mỗi đỉnh đều có
bậc ít nhất là 2 >
3
2
).

GRAPH CÓ TRỌNG SỐ VÀ
ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT

Graph có trọng số là graph, trong đó mỗi cạnh uv mang một số dương m(uv),
gọi là trọng số hay chiều dài cạnh uv. Mỗi đường đi u – y có chiều dài là m(u, y),
bằng tổng chiều dài các cạnh mà nó đi qua. Khoảng cách d(u, y) giữa 2 đỉnh u, y là
chiều dài đường đi ngắn nhất trong các đường đi u – y.

VD22:
Biên soạn: Lê Đình Huy
22


3
6
1
2
3
1
z
y
x
v
u

Trong graph có trọng số ở hình trên ta có:
m(uv) = 3; m(vx) = 2; m(xy) = 1; …
Nếu đường đi u – y là uxy thì m(u, y) = m(ux) + m(xy) = 6+1 = 7
Đường đi u – y ngắn nhất ở đây là
d(u, y) = m(uz) + m(zx) + m(xy) = 1 + 3 +1 = 5
Có thể coi một graph G là một graph có trọng số mà mọi cạnh đều có chiều
dài 1. Lúc đó khoảng cách d(u, y) giữa 2 đỉnh u và y là chiều dài của đường đi u –
y ngắn nhất, tức là đường đi qua ít cạnh nhất.

BÀI TOÁN NGƯỜI DU LỊCH
Một khách du lịch đang ở thành phố A, muốn đi thăm một số thành phố khác,
mỗi thành phố chỉ một lần, rồi trở về A. Giữa bất kì 2 thành phố nào cũng có một
“đường thẳng” nối với nhau, không phải đi qua một thành phố nào khác. Phải

hướng dẫn khách du lịch đi theo đường nào để chiều dài đường đi là ngắn nhất
(hoặc thời gian đi là ngắn nhất hoặc phí hao tổn giao thông ít nhất)?
Đó là bài toán du lịch, phát biểu theo ngôn ngữ graph như sau:
Cho G là một graph đầy đủ, có trọng số. Tím một chu trình Hamilton ngắn
nhất trong G. Bài toán người du lịch là bài toán có nhiều ý nghĩa thực tiễn; nhiều
bài toán trong giao thông liên lạc, trong sản xuất kinh doanh… được quy về bài
toán người du lịch. Bài toán người du lịch lại là một bài toán khó nổi tiếng, cho
đến nay vẫn chưa có lời giải đầy đủ. Người ta chưa tìm được một thuật toán hữu
hiệu để giải nó và cũng chưa chứng minh được rằng bài toán không có thuật toán
Biên soạn: Lê Đình Huy
23

hữu hiệu để giải. Chỉ mới xây doing được một số thuật toán hữu hiệu để tìm một
chu trình Hamilton “gần ngắn nhất” trong G.