Một số bài toán hình học

1)Cho nửa đờng tròn đờng kính AB cố định. C là một điểm bất kì thuộc nửa đờng tròn. ở
phía ngoài tam giác ABC, vẽ các hình vuông BCDE và ACFG. Gọi Ax, By là các tiếp tuyến của
nửa đờng tròn.
1. Chứng minh rằng khi C di chuyển trên nửa đờng tròn đã cho thì đờng thẳng ED luôn đi
qua một điểm cố định và đờng thẳng FG luôn đi qua điểm cố định khác.
2. Tìm quĩ tích của các điểm E và G khi C di chuyển trên nửa đờng tròn đã cho.
Tìm quĩ tích của các điểm D và F khi C di chuyển trên nửa đờng tròn đã cho.
2) Cho đờng tròn tâm O, bán kính R, hai đờng kính AB và CD vuông góc với nhau. E là điểm bất kì
trên cung AD. Nối EC cắt OA tại M, nối EB cắt OD tại N.
1. Chứng minh rằng tích
OM ON
AM DN
ì
là một hằng số. Suy ra giá trị nhỏ nhất của tổng
OM ON
AM DN
+
,
khi đó cho biết vị trí của điểm E ?
2. Gọi GH là dây cung cố định của đờng tròn tâm O bán kính R đã cho và GH không phải là đờng
kính. K là điểm chuyển động trên cung lớn GH. Xác định vị trí của K để chu vi của tam giác GHK
lớn nhất.
3) Cho tam giác ABC có
ã
0
60 ; ;ABC BC a AB c= = =
(
,a c
là hai độ dài cho trớc), Hình
chữ nhật MNPQ có đỉnh M trên cạnh AB, N trên cạnh AC, P và Q ở trên cạnh BC đợc gọi là hình
chữ nhật nội tiếp trong tam giác ABC.

1. Tìm vị trí của M trên cạnh AB để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn nhất. Tính diện
tích lớn nhất đó.
2.Dựng hình vuông EFGH nội tiếp trong tam giác ABC bằng thớc kẻ và com-pa. Tính diện
tích của hình vuông
4) Cho đờng tròn (O) tâm O, bán kính R, hai đờng kính AB và CD vuông góc với nhau. Đ-
ờng tròn (O
1
) nội tiếp trong tam giác ACD. Đờng tròn (O
2
) tiếp xúc với 2 cạnh OB và OD của tam
giác OBD và tiếp xúc trong với đờng tròn (O). Đờng tròn (O
3
) tiếp xúc với 2 cạnh OB và OC của
tam giác OBC và tiếp xúc trong với đờng tròn (O). Đờng tròn (O
4
) tiếp xúc với 2 tia CA và CD và
tiếp xúc ngoài với đờng tròn (O
1
). Tính bán kính của các đờng tròn (O
1
), (O
2
), (O
3
), (O
4
) theo R.
5) Cho ng trũn tõm (O; R) ng kớnh AB v CD vuụng gúc vi nhau. Trong on AB
ly im M khỏc 0. ng thng CM ct ng trũn (O) ti im th hai N. ng thng vuụng
gúc vi AB ti M ct tip tuyn vi ng trũn (O) ti N im P. Chng minh rng:

a) Cỏc im O, M, N, P cựng nm trờn mt ng trũn.
b) T giỏc CMPO l hỡnh bỡnh hnh.
c) CM.CN = 2R
2

Khi M di chuyn trờn on AB thỡ P di chuyn õu
6) Tam giỏc ABC cú ba gúc nhn, cỏc ng cao AD, BE, CF gp nhau ti H. ng thng
vuụng gúc vi AB ti B v ng thng vuụng gúc vi AC ti C ct nhau ti G.
a) Chng minh rng GH i qua trung im M ca BC.
b) ABC ~ AEF
c)
EDCFDB

=
H cỏch u cỏc cnh ca tam giỏc DEF
7) Cho ng trũn tõm O ng kớnh AB. Trờn ng kớnh AB ly hai im I v J i xng
nhau qua O. M l mt im (khỏc A v B) trờn (O); cỏc ng thng MO, MI, MJ th t ct (O)
ti E, F, G; FG ct AB ti C. ng thng i qua F song song AB ct MO, MJ ln lt ti D v
K. Gi H l trung im ca FG.
a) Chng minh t giỏc DHEF ni tip c.
Chng minh CE l tip tuyn ca ng trũn (O).