Chuyên Đề PT Lượng Giác

THPT_TL
Cỏc dng bi tp lng giỏc
a/kiến thức cần nhớ và phân loại bài toán
D ng 1 Ph ơng trình bậc nhất và bậc hai , bậc cao với 1 hàm số l ợng giác
Đặt HSLG theo t với sinx , cosx có điều kiện
t


1
Gii Phng Trỡnh ***.theo t
Nhận t thoả mãn điều kiện giải Pt lợng giác cơ bản
Gii Phng Trỡnh:
1/
2cos2x- 4cosx=1
sinx 0




2/ 4sin
3
x+3
2
sin2x=8sinx
3/ 4cosx.cos2x +1=0 4/
1-5sinx+2cosx=0
cos 0x

5/ Cho 3sin
3
x-3cos
2
x+4sinx-cos2x+2=0 (1) và cos
2
x+3cosx(sin2x-8sinx)=0 (2).
Tìm n
0
của (1) đồng thời là n
0
của (2) ( nghiệm chung sinx=
1
3
)
6/ sin3x+2cos2x-2=0 7/ a/ tanx+
3
cot x
-2 = 0 b /
2
4
cos x
+tanx=7
c
*
/

sin
6

x+cos
4
x=cos2x
8/sin(
5
2
2
x

+
)-3cos(
7
2
x


)=1+2sinx 9/
2
sin 2sin 2 2sin 1x x x
+ =

10/ cos2x+5sinx+2=0 11/ tanx+cotx=4 12/
2 4
sin 2 4 cos 2 1
0
2sin cos
x x
x x
+
=

13/
sin 1 cos 0x x
+ + =
14/ cos2x+3cosx+2=0
15/
2 4
4sin 2 6sin 9 3cos 2
0
cos
x x x
x
+
=
16/ 2cosx-
sin x
=1
D ng 2 : Phơng trình bậc nhất đối với sinx và cosx : asinx+bcosx=c
Cách 1: asinx+bcosx=c
Đặt cosx=
2 2
a
a b+
; sinx=
2 2
b
a b+
2 2
sin( )a b x c

+ + =

Cách : 2
sin cos
b
a x x c
a

+ =


Đặt
[ ]
tan sin cos .tan
b
a x x c
a

= + =
sin( ) cos
c
x
a

+ =
Cách 3: Đặt
tan
2
x
t =
ta có
2

2 2
2 1
sin ;cos
1 1
t t
x x
t t

= =
+ +

2
( ) 2 0b c t at b c + + =
Đăc biệt :
1.
sin 3 cos 2sin( ) 2cos( )
3 6
x x x x

+ = + =
2.
sin cos 2 sin( ) 2 cos( )
4 4
x x x x

= =
m
3.
sin 3 cos 2sin( ) 2cos( )
3 6

x x x x

= = +
Điều kiện Pt có nghiệm :
2 2 2
a b c
+
Gii Phng Trỡnh
1/ 2sin15x+
3
cos5x+sin5x=k với k=0 và k=4 với k=0
2/ a :
1
3 sin cos
cos
x x
x
+ =
b:
6
4sin 3cos 6
4sin 3cos 1
x x
x x
+ + =
+ +
c:
1
3 sin cos 3
3 sin cos 1

x x
x x
+ = +
+ +

3/
cos 7 3 sin 7 2 0x x
+ =
*tìm nghiệm
2 6
( ; )
5 7
x


Chuyên đề ph ơng trinh l ợng giác
1
THPT_TL
4/( cos2x-
3
sin2x)-
3
sinx-cosx+4=0 5/
2
1 cos cos 2 cos3 2
(3 3sin )
2cos cos 1 3
x x x
x
x x

+ + +
=
+

6/
2
cos 2sin .cos
3
2 cos sin 1
x x x
x x

=
+

D ng 3 Phơng trình đẳng cấp đối với sin x và cosx
Gii
Phng Trỡnh
1/a/ 3sin
2
x-
3
sinxcosx+2cos
2
x cosx=2 b/ 4 sin
2
x+3
3
sinxcosx-2cos
2

x=4
c/3 sin
2
x+5 cos
2
x-2cos2x-4sin2x=0 d/ 2 sin
2
x+6sinxcosx+2(1+
3
)cos
2
x-5-
3
=0
2/ sinx- 4sin
3
x+cosx=0 2 cách +/ (tanx -1)(3tan2x+2tanx+1)=0

4
x k


= +
+ sin3x- sinx+ cosx- sinx=0

(cosx- sinx)(2sinxcosx+2sin2x+1)=0
3/ tanx sin
2
x-2sin
2

x=3(cos2x+sinxcosx)
4/ 3cos
4
x-4sin
2
xcos
2
x+sin
4
x=0 5/ 4cos
3
x+2sin
3
x-3sinx=0
6/ 2 cos
3
x= sin3x 7/ cos
3
x- sin
3
x= cosx+ sinx
8/ sinx sin2x+ sin3x=6 cos
3
x 9/sin
3
(x-

/4)=
2
sinx

Dang 4 Ph ơng trình vế trái đối xứng đối với sinx và cosx
* a(sin x+cosx)+bsinxcosx=c đặt t= sin x+cosx
2t


at + b
2
1
2
t
=c

bt
2
+2at-2c-b=0
* a(sin x- cosx)+bsinxcosx=c đặt t= sin x- cosx
2t

at + b
2
1
2
t
=c

bt
2
-2at+2c-b=0
Gi i Ph ng Trỡnh
1/ a/1+tanx=2sinx +

1
cos x
b/ sin x+cosx=
1
tan x
-
1
cot x

2/ sin
3
x+cos
3
x=2sinxcosx+sin x+cosx 3/ 1- sin
3
x+cos
3
x= sin2x
4/ 2sinx+cotx=2 sin2x+1 5/
2
sin2x(sin x+cosx)=2
6/ (1+sin x)(1+cosx)=2 7/
2
(sin x+cosx)=tanx+cotx
8/1+sin
3
2x+cos
3
2

x=
3
2
sin 4x 9/
*
a* 3(cotx-cosx)-5(tanx-sin x)=2
9/b*: cos
4
x+sin
4
x-2(1-sin
2
xcos
2
x) sinxcosx-(sinx+cosx)=0
10/
sin cos 4sin 2 1x x x
+ =
11/ cosx+
1
cos x
+sinx+
1
sin x
=
10
3

12/ sinxcosx+
sin cosx x

+
=1
dang 5 Gii Phng Trỡnh bằng phơng pháp hạ bậc
Công thức hạ bậc 2
cos
2
x=
1 cos 2
2
x
+
; sin
2
x=
1 cos 2
2
x

Công thức hạ bậc 3
cos
3
x=
3cos cos3
4
x x
+
; sin
3
x=
3sin sin 3

4
x x

Gi i Ph ng Trỡnh
1/ sin
2
x+sin
2
3x=cos
2
2x+cos
2
4x 2/ cos
2
x+cos
2
2x+cos
2
3x+cos
2
4x=3/2
3/sin
2
x+ sin
2
3x-3 cos
2
2x=0
4/ cos3x+ sin7x=2sin
2

(
5
4 2
x

+
)-2cos
2
9
2
x
5/ sin
2
4

x+ sin
2
3x= cos
2
2x+ cos
2
x với
(0; )x


Chuyên đề ph ơng trinh l ợng giác
Đẳng cấp bậc 2: asin
2
x+bsinx.cosx+c cos
2

x=0
Cách 1: Thử với cosx=0 Với cosx

0 .Chia 2 vế cho cos
2
x ta đợc:
atan
2
x+btanx +c=d(tan
2
x+1)
Cách2: áp dụng công thức hạ bậc
Đẳng cấp bậc 3: asin
3
x+b.cos
3
x+c(sinx+ cosx)=0 hoặc
asin
3
x+b.cos
3
x+csin
2
xcosx+dsinxcos
2
x=0
Xét cos
3
x=0 và cosx

0 Chia 2 vế cho cos
2
x ta đợc Pt bậc 3 đối với tanx
2
THPT_TL
6/sin
2
4x-cos
2
6x=sin(
10,5 10x
π
+
) víi
(0; )
2
x
π
∈
7/ cos
4
x-5sin
4
x=1
8/4sin
3
x-1=3-
3
cos3x 9/ sin
2

2x+ sin
2
4x= sin
2
6x
10/ sin
2
x= cos
2
2x+ cos
2
3x 11/ (sin
2
2x+cos
4
2x-1):
sin cosx x
=0
12/ 4sin
3
xcos3x+4cos
3
x sin3x+3
3
cos4x=3
;
24 2 8 2
k k
x
π π π π

 
= + +
 
 
13/ 2cos
2
2x+ cos2x=4 sin
2
2xcos
2
x
14/ cos4xsinx- sin
2
2x=4sin
2
(
4 2
x
π
−
)-7/2 víi
1x
−
<3
15/ 2 cos
3
2x-4cos3xcos
3
x+cos6x-4sin3xsin
3

x=0
16/ sin
3
xcos3x +cos
3
xsin3x=sin
3
4x 17/ * 8cos
3
(x+
3
π
)=cos3x
18/cos10x+2cos
2
4x+6cos3xcosx=cosx+8cosxcos
2
3x
19/
sin 5
5sin
x
x
=1
20 / cos7x+ sin
2
2x= cos
2
2x- cosx 21/ sin
2

x+ sin
2
2x+ sin
2
3x=3/2
22/ 3cos4x-2 cos
2
3x=1
Dang 6 : Ph ¬ng tr×nh LG gi¶i b»ng c¸c h»ng ®¼ng thøc

* a
3
±
b
3
=(a
±
b)(a
2
m
ab+b
2
) * a
8
+ b
8
=( a
4
+ b
4

)
2
-2 a
4
b
4
* a
4
- b
4
=( a
2
+ b
2
) ( a
2
- b
2
) * a
6
±
b
6
=( a
2
±
b
2
)( a
4

m
a
2
b
2
+b
4
)

Gi ả i Ph ươ ng Trình
1/ sin
4
2
x
+cos
4
2
x
=1-2sinx 2/ cos
3
x-sin
3
x=cos
2
x-sin
2
x
3/ cos
3
x+ sin

3
x= cos2x 4/
4 4
sin cos 1
(tan cot )
sin 2 2
x x
x x
x
+
= +
v« nghiÖm
5/cos
6
x-sin
6
x=
13
8
cos
2
2x 6/sin
4
x+cos
4
x=
7
cot( ) cot( )
8 3 6
x x

π π
+ −
7/ cos
6
x+sin
6
x=2(cos
8
x+sin
8
x) 8/cos
3
x+sin
3
x=cosx-sinx
9/ cos
6
x+sin
6
x=cos4x 10/ sinx+sin
2
x+sin
3
x+sin
4
x= cosx+cos
2
x+cos
3
x+cos

4
x
11/ cos
8
x+sin
8
x=
1
8
12/ (sinx+3)sin
4
2
x
-(sinx+3) sin
2
2
x
+1=0
Dang 7 : Ph ¬ng tr×nh LG biÕn ®æi vÒ tÝch b»ng 0
1/ cos2x- cos8x+ cos4x=1 2/sinx+2cosx+cos2x-2sinxcosx=0
3/sin2x-cos2x=3sinx+cosx-2 4/sin
3
x+2cosx-2+sin
2
x=0
5/ 3sinx+2cosx=2+3tanx 6/
3
2
sin2x+
2

cos
2
x+
6
cosx=0
7/ 2sin2x-cos2x=7sinx+2cosx-4 8/
sin 3 sin 5
3 5
x x
=

9/ 2cos2x-8cosx+7=
1
cos x
10/ cos
8
x+sin
8
x=2(cos
10
x+sin
10
x)+
5
4
cos2x
11/ 1+ sinx+ cos3x= cosx+ sin2x+ cos2x
12/ 1+sinx+cosx+sin2x+cos2x=0 13/ sin
2
x(tanx+1)=3sinx(cosx-sinx)+3

14/ 2sin3x-
1
sin x
=2cos3x+
1
cos x
15/cos
3
x+cos
2
x+2sinx-2=0
16/cos2x-2cos
3
x+sinx=0 17/ tanx–sin2x-cos2x+2(2cosx-
1
cos x
)=0
18/sin2x=1+
2
cosx+cos2x 19/1+cot2x=
2
1 cos 2
sin 2
x
x
−

20/ 2tanx+cot2x=2sin2x+
1
sin 2x

21/cosx(cos4x+2)+ cos2x-cos3x=0
22/ 1+tanx=sinx+cosx 23/ (1-tanx)(1+sin2x)=1+tanx
24/ 2
2
sin( )
4
x
π
+
=
1 1
sin cosx x
+
25/ 2tanx+cotx=
2
3
sin 2x
+

Chuyªn ®Ò ph ¬ng trinh l îng gi¸c
3
THPT_TL
26/ cotx-tanx=cosx+sinx 27/ 9sinx+6cosx-3sin2x+cos2x=8
Dang 8 : Ph ơng trình LG phải thực hiện công thúc nhân đôi, hạ bậc
cos2x= cos
2
x- sin
2
x =2cos
2

x-1=1-2sin
2
x
sin2x=2sinxcosx
tan2x=
2
2 tan
1 tan
x
x

sinx =
2
2
1
t
t+
; cosx=
2
2
1
1
t
t

+
tanx=
2
2
1

t
t
Gi i Ph ng Trỡnh
1/ sin
3
xcosx=
1
4
+ cos
3
xsinx 2/ cosxcos2xcos4xcos8x=1/16
3/tanx+2cot2x=sin2x 4/sin2x(cotx+tan2x)=4cos
2
x
5/ sin4x=tanx 6/ sin2x+2tanx=3 7/ sin2x+cos2x+tanx=2
8/tanx+2cot2x=sin2x 9/ cotx=tanx+2cot2x
10/a* tan2x+sin2x=
3
2
cotx b* (1+sinx)
2
= cosx
Dang 9 : Ph ơng trình LG phải thực hiện phép biến đổi tổng_tích và tích_tổng
Gi i Ph ng Trỡnh
1/ sin8x+ cos4x=1+2sin2xcos6x 2/cosx+cos2x+cos3x+cos4x=0
3/
sin 3 sin
sin 2 cos 2
1 cos 2
x x

x x
x

= +

tìm
( )
0;2x


4/ sinx+sin2x+sin3x+sin4x=0
5/ sin5x+ sinx+2sin
2
x=1 6/
( )
3 cos 2 cot 2
4sin cos
cot 2 cos 2 4 4
x x
x x
x x

+

= +
ữ ữ


7/ tanx+ tan2x= tan3x 8/ 3cosx+cos2x- cos3x+1=2sinxsin2x
Dang 10 : Ph ơng trình LG phải đặt ẩn phụ góc A hoặc đặt hàm B

Gi i Ph ng Trỡnh
1/ sin(
3
10 2
x


)=
1
2
sin(
3
10 2
x

+
)
3 4 14
2 ; 2 ; 2
5 15 15
x k k k



= + + +


2/ sin(
3
4

x


)=sin2x sin(
4
x

+
)
4 2
x k

= +
3/(cos4x/3 cos
2
x):
2
1 tan x

=0
3x k

=
4/ cosx-2sin(
3
2 2
x


)=3

4x k

=
5/ cos(
7
2
2
x


)=sin(4x+3

)
;
6 2
k
x k



= +


6/3cot
2
x+2
2
sin
2
x=(2+3

2
)cosx
2 ; 2
3 4
x k k



= + +


7/2cot
2
x+
2
2
cos x
+5tanx+5cotx+4=0
4
x k


= +
8/ cos
2
x+
2
1
cos x
=cosx+

1
cos x

x k

=

9/sinx- cos2x+
1
sin x
+2
2
1
sin x
=5
7
2 ; 2 ; 2
2 6 6
x k k k



= + + +


11/
1 sin 2
1 sin 2
x
x

+

+2
1 tan
1 tan
x
x
+

=3
{ }
; , tan 2x k k

= + =

Dang 11 : Ph ơng trình LG phải thực hiện các phép biến đổi phức tạp
Gi i Ph ng Trỡnh
1/
3 4 6 (16 3 8 2) cos 4cos 3x x
+ =
2
4
x k


= +
2/cos
(
)
2

3 9 16 80
4
x x x





=1 tìm n
0
x

Z
{ }
21; 3x
=
3/
5cos cos 2x x

+2sinx=0
2
6
x k


= +
4/3cotx- tanx(3-8cos
2
x)=0
3

x k


= +
5/
( )
2 sin tan
2cos 2
tan sin
x x
x
x x
+
=

2
2
3
x k


= +
6/sin
3
x+cos
3
x+ sin
3
xcotx+cos
3

xtanx=
2sin 2x
2
4
x k


= +
7/tan
2
xtan
2
3

xtan
2
4x= tan
2
x-tan
2
3

x+tan4x
4
k
x

=
8/tanx+tan2x=-sin3xcos2x
2

3
k
x k



= +


9/sin3x=cosxcos2x(tan2x+tan
2
x)
x k

=
10/
2
sin sin 1 sin cosx x x x+ =

5 1
;sin
2
x k x


= =
11/cos
2
( )
2

sin 2 cos
4
x x


+


-1=tan
2
2
tan
4
x x


+
ữ


2
4
x k


= +
12/
2 3
2 cos 6 sin 2sin 2sin
5 12 5 12 5 3 5 6

x x x x


= +
ữ ữ ữ ữ


5 5 5
5 ; 5 ; 5
12 3 4
x k k k



= + + +


Dang 12 : Ph ơng trình LG không mẫu mực, đánh giá 2 vế ,tổng 2 l ợng không âm,vẽ 2 đồ thị bằng đạo hàm
Gi i Ph ng Trỡnh
1/ cos3x+
2
2 cos 3x

=2(1+sin
2
2x)
x k

=
2/ 2cosx+

2
sin10x=3
2
+2sinxcos28x
4
x k


= +
3/ cos
2
4x+cos
2
6x=sin
2
12x+sin
2
16x+2 với x
( )
0;


4/ 8cos4xcos
2
2x+
1 cos3x
+1=0
2
2
3

x k



= +


Chuyên đề ph ơng trinh l ợng giác
4
THPT_TL
5/
sin
cos
x
x
π
=

0x
=
6/ 5-4sin
2
x-8cos
2
x/2 =3k t×m k
∈
Z
*
®Ó hÖ cã nghiÖm 7/ 1-
2

2
x
=cosx
8/( cos2x-cos4x)
2
=6+2sin3x
2
x k
π
π
= +
9/
( )
1
1 cos 1 cos cos 2 sin 4
2
x x x x
− + + =

2
4
x k
π
π
= ± +

Chuyªn ®Ò ph ¬ng trinh l îng gi¸c
5