một số phương pháp giải hệ pt không mẫu mực

Trường THPT Hùng Vương Chuyên đề pt và bpt vô tỉ
* PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
Dạng I: Luỹ thừa hai vế và dùng các công thức cơ bản
1)
2
0B
A B
A B
≥

= ⇔

=

2)
0 (hoac 0)B A
A B
A B
≥ ≥

= ⇔

=

3)





=++

≥
≥
⇔=+
2
2
0
0
tABBA
B
A
tBA
Chú ý: Trong một số trường hợp ta dùng pt hệ quả thì bài toán sẽ đơn giản hơn rất nhiều.
Bài tập: Giải các pt sau:
1) a)
2 2
2 3 5 1x x x− + = −
; b)
31
2
=+++ xxx
; c)
xxx −=+++ 6321
2) a)
3 3 1 2 2 2x x x x+ + + = + +
; b)
3
2
1
1 1 3
3

x
x x x x
x
+
+ + = − + + +
+
;
3) a)
3 3
34 3 1x x+ − − =
; b)
3 3 3
1 3 1 1x x x− + − = +
,
CHUÙ YÙ.
333
C)BA(AB3BACBA =+++⇔=+

⇒

3 3 3
3A B ABC C+ + =
4) a)
2
2 6 1 1x x x+ + = +
b)
2
1 1x x+ + =
; c)
2 2

3 1 ( 3) 1x x x x+ + = + +
Bài tập về nhà: Giải các pt sau:
1) a)
31
2
=+++ xxx
; b)
2 2
2 8 4x x− + + =
; c)
4 9 11 1 7 4 0x x x+ − + − + =
2) a)
2 2
5
19 204 25 150 3
30
x
x x x x
x
+
− + − − − =
−
, (
15 57105
24
x
− −
=
)
b)

3 1 2 2 4 3 0+ − + − + + =x x x x
, (x=1)
3) a)
3 3 3
1 3 1 1x x x+ + + = −
,(x=-1); b)
3 3 3
2 1 2 1 10x x x− + + =
,(
5
0,
4
x x= = ±
)
4) a)
2 2
77 5 3 2x x x x x− + + = − −
, (đs:x=-1); b)
4 3 10 3x 2x− − = −
,(đs x=3)
Dạng II: Phương Pháp Đặt Ẩn Phụ.
Chúng ta chú ý một số dạng sau;
1)
.0;0)()(. ≠=++ acxfbxfa
Đặt
0,)( ≥= txft
phương trình trở thành:
.0.
2
=++ cbtta

2)
0)()()()(( =++± cxgxfbxgnxfma
với
kxgnxfm =+ )()(
22
Đặt
)()( xgnxfmt ±=
, suy ra
)()( xgxf
theo
t
bằng cách lấy
2
t
3)
0.).( =++± cBAbBAa
. Đặt
B±= At
, suy ra
BA
theo
t
bằng cách lấy
2
t
.
Chú ý: Đối với phương trìng này cần thử lại nghiệm.
4)
0)2()( =+±++± cABBAbBAa
. Đặt

BAt ±=
.
Bài tập: Giải các pt sau:
1) a)
2152153
22
=++++ xxxx
b)
7353
22
+=++− xxxx

2) a)
5)4)(1(41 =−++−++ xxxx
, b)
2
340558 xxxx −−=+−−+

GV: Hồ Đình Sinh_ Tổ Toán
1
Trường THPT Hùng Vương Chuyên đề pt và bpt vô tỉ
3) a)
22
4324 xxxx −+=−+
, b)
2
2
11
2
=

−
+
x
x
4) a)
1635223132
2
−+++=+++ xxxxx
, b)
2
2 2 2 4 2 2x x x x− − + = − − +
;
5)
2
3x
1x
)3x(3)1x)(3x( −=
−
+
−−+−
. Chú ý: đặt
2
tAB
A
B
At =⇒=
6) a)
2 2
1 1 2x x x x− − + + − =
, b)

( )
(
)
2
2004 1 1x x x= + − −
,
c)
2
1
2 3 1x x x x
x
+ − = +
, d)
( ) ( )
3 2 9 18 168x x x x x+ + + + =
Bài tập về nhà: Giải các pt sau:
1) a)
2
)4(3
2323
22
+
=+−−+
x
xxx
, b)
xxxx 33)2)(5(
2
+=−+
2) a)

05)20)(5(205
2222
=+−+−−++ xxxx
, b)
xxxx −+=−+++ 101173023
2
3) a)
2 2
17 17 9x x x x+ − + − =
, b)
2 2
2 2 3x x x x+ − + − =
4) a)
2
3 1 2 2 2 5 3 9 2x x x x x+ + − + + − = −
,
4
( 1 )
7
x x= ∨ =
b)
2 2
41
2 5 2 5 2 5 2 48, (x=( ) )
12
x x x x x− + − + − + =
.
5) a)
2
(2004 )(1 1 )x x x= + − −

, b)
2 4 23
2 1x x x x+ − = +
,(đs:
1 5
2
±
=x
)
c)
( ) ( )
3 2 9 18 120 , (x=4 x=9)x x x x x+ + + + = ∨
. d)
3
4x
2x
)4x(2)4x)(2x( =
+
+
++++
.
Dạng III: Phương pháp đưa về hệ phương trình
 Đặt
( ) ( )
,u x v x
α β
= =
và tìm mối quan hệ giữa
( )
x

α
và
( )
x
β
từ đó tìm được hệ theo u,v
Khi tìm được u, v để tìm x ta chi cần giải một trong hai pt
( )
α
=u x
hoặc
( )
β
=v x
.
Loại1. Đưa về hệ đối xứng loại 1 hoặc hệ thông thường.
Bài tập: Giải các pt sau:
1) a)
5)4)(1(41 =−++−++ xxxx
, b)
xxxx −+=−+++ 101173023
2
2) a)
3
24 12 6x x+ + − =
b)
(
)
3 3
3 3

25 25 30x x x x− + − =
, c)
4 4
17 3x x+ − =
Chú ý: Khi gặp pt dạng:
( )
( ), ( ), ( )
n m
F f x a f x b f x c+ − =
thì ta đặt
( ), ( )
n m
u a f x v b f x= + = −
và đưa pt trình đã cho về hệ và giải hệ tìm u,v.
Bài tập về nhà: Giải các pt sau:
1) a)
91717
22
=−+−+ xxxx
b)
3)7)(2()7()2(
3
3
2
3
2
=+−−++− xxxx

c)
2151

44
=++− xx
d)
52213
33
=−++ xx
e)
54057
44
=++− xx
2)
3 3
) 2 1 3,b) 2 1 1a x x x x− + + = − + − =
,c)
55
2
=++ xx
,d)
4 2
2010 2010x x+ + =
Loại 2: Đặt ẩn phụ đưa về hệ đối xứng loại 2 hoặc gần đối xứng.
GV: Hồ Đình Sinh_ Tổ Toán
2
Trường THPT Hùng Vương Chuyên đề pt và bpt vô tỉ
°Phương trình chứa căn bậc 2;3 và luỹ thừa bậc 2;3.
{ }
ax+b ( ) , 2;3
n
n
c dx e x n

α β
= + + + ∈
;
,d ac e bc
α β
= + = +
.
Cách giải:
Đk:
ax+b 0≥
nếu n=2.
Đặt
ax+b
n
dy e= +
; đk dy+e
0≥
nếu n=2.
Pt đã cho chuyển thành hệ đối xứng loại 2 hoặc gần đối xứng.
Bài tập: Giải các pt sau:
1)
2
2 2 2 1x x x− = −
, 2)
2
2 2x x= + −

3)
2
4 5 13 3 1 0x x x+ − + + =

4)
3
3
1 2 2 1x x+ = −
Bài tập về nhà: Giải các pt sau:
1)
2
4 6x x x+ = +
2)
2
4 2 5x x x− = +
3)
2
4 3 5x x x− − = +
4)
2
8 8 1 1x x x+ + = +
5)
3
3
2 3 3 2x x+ = −
6)
3 2
3
8 53 36 3 5 25x x x x+ = + − +
Dạng 4: Nhân liên hợp.
Chú ý: *) Khi nhân với một biểu thức khác 0 thì ta nhân tự nhiên mà không xét thêm điều kiện gì.
*) Nếu biểu thức đó không biết dấu thì ta phải xét trường hợp biểu thức đó bằng 0 có nghiệm thoả
mãn phương trình hay không? Khi biểu thức đó khác không thì ta nhân vào hai vế hay vào tử số và
mẫu số.

*) Các công thức liên hiệp:
TT Biểu thức Biểu thức liên hiệp Tích
1
BA ±
BA 
BA −
2
33
BA +
3 2
3
3 2
BABA +−
BA +
3
33
BA −
3 2
3
3 2
BABA ++
BA −
Bài tập: Giải các pt sau:
1)
5
3
2314
+
=−−+
x

xx
, 2)
( )
2 2 2 2
3 5 1 2 3 1 3 4x x x x x x x− + − − = − − − − +
3)
2 2
4 1 3
x
x x x x x x
− =
+ + − +
, 4)
( )
2
2
4
1 1
x
x
x
− =
+ +
Bài tập về nhà: Giải các pt sau:
1)
9( 4 1 3 2) 3x x x+ − − = +
2)
6232 −=−− xxx
, (
3x =

)
3)
4
46
2242
2
+
−
=−−+
x
x
xx
, (
2
2
3
x x= ∨ =
); 4)
( )
2 1 1 1x x x+ + − =
, (x=0)
5)
4 1
3 1 2
3
x
x x
−
+ − − =
, (

1 7
; 1; )
4 4
x x x= = =
6)
( )
2 1 1 1x x x+ + − =
, (x=0)
7)
3 2 1 4x x x+ + − = −
,(x=1). 8)
2
1
3 1 1
x
x
x
= +
+ −
, (
1
1
3
x x= ∨ =
)
Dạng IV. Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến:
GV: Hồ Đình Sinh_ Tổ Toán
3
Trường THPT Hùng Vương Chuyên đề pt và bpt vô tỉ
 Chúng ta đã biết cách giải phương trình:

2 2
0u uv v
α β
+ + =
(1) bằng cách
Xét
0v
≠
phương trình trở thành:
2
0
u u
v v
α β
   
+ + =
 ÷  ÷
   
0v =
thử trực tiếp.
*) . Phương trình dạng :
( ) ( ) ( ) ( )
. .a A x bB x c A x B x+ =
*Cách giải: Đặt

2 2
( ), ( ) , U 0, V 0.
aU
U A x V B x
bV cUV

= = ≥ ≥
⇒ + =
*Chú ý các đẳng thức :

( )
( )
3 2
1 1 1x x x x+ = + − +
( ) ( ) ( )
4 2 4 2 2 2 2
1 2 1 1 1x x x x x x x x x+ + = + + − = + + − +
( ) ( )
4 2 2
1 2 1 2 1x x x x x+ = − + + +
( ) ( )
4 2 2
4 1 2 2 1 2 2 1x x x x x+ = − + + +
Bài tập: Giải các pt sau:
1)
( )
2 3
2 2 5 1x x+ = +
, 2)
2 3
2 5 1 7 1x x x+ − = −
, 3)
2 2
2 4 3 4x x x x+ + = +
4)
2 4 2

3
3 1 1
3
x x x x− + = − + +
Bài tập về nhà: Giải các pt sau:
( ) ( )
2 3 3 2 3 2
1) 2 3 2 3 8 2) 5 1 2( 2) 3) 10 8 3 6x x x x x x x x
− + = + + = + + = − +
Dạng V: các bài toán đặt ẩn phụ vẫn còn x.
Ta lưu ý có những phương trình khi ta lựa chọn ẩn phụ cho một biểu thức thì các biểu thức còn lại
không biểu diễn được triệt để qua ẩn phụ đó hoặc nếu biểu diễn được thì công thức biểu diễn lại
quá phức tạp. Khi đó ta lựa chọn một trong hai hướng sau:
Hướng 1: Lựa chọn phương pháp khác.
Hướng 2: Thử để pt ở dạng:”chứa ẩn phụ nhưng hệ số vẫn còn x”. Trong hướng này ta được một
phương trình bậc 2 theo ản phụ (hoặc theo ẩn x) có biệt số
∆
là một biểu thức bình phương.
Bài tập: Giải phương trình:
1)
021)1(2
22
=+−++−+ xxxxx
; 2)
1212)1(2
22
−−=−+− xxxxx

3)
2 2

3 1 ( 3) 1x x x x+ + = + +
. 4)
1221)14(
22
++=+− xxxx
Bài tập về nhà: gải các pt sau:
1)
0341)32(2
22
=+−+−−− xxxxx
, 2)
(
)
2 2 2
3 2 1 2 2x x x x+ − + = + +
3)
045)32(241035
323
=−−++−+ xxxxx
; 4)
3 3
3 1
(3 ) ( 1) 2
1 3
x x
x x
x x
− −
− + − =
− −

5)
( )
2 2
1 2 3 1x x x x+ − + = +
DạngVI: Phương pháp đánh giá 2 vế; dùng bất đẳng thức.
+ BĐT Côsi: Cho 2 số thực dương a, b:
abba 2≥+
. Dấu “ = “ xẩy ra
.ba
=⇔
+ BĐT Bunhiacôpxki: Cho các số thự
2121
,,, bbaa
:
( )
))((
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2211
bbaababa ++≤+
.
GV: Hồ Đình Sinh_ Tổ Toán
4

Trường THPT Hùng Vương Chuyên đề pt và bpt vô tỉ
Dấu “ = “ xảy ra
2
2
1
1
b
a
b
a
=
+ Xét PT dạng: VT = VP
Nếu
VPmVT
≤≤
thì PT



=
=
⇔
mVP
mVT
Nếu
VPmVT
≥≥
thì PT




=
=
⇔
mVP
mVT
.
Bài tập:
Bài 1: Giải PT
11642
2
+−=−+− xxxx
Bài 2: Giải PT
222
215178254 xxxxxx −+=+++++
.
Bài 3: Giải PT
2152
2
=−++− xxx

Bài 4: Giải pt
2
4 1 4 1 1x x− + − =
Bài tập về nhà: Giải các pt
1)
2 2 2
3 6 7 5 10 14 4 2x x x x x x+ + + + + = − −

2)

0642532
2
=−+−−+− xxxx

3)
2 2 2
4 6 2 5 3 3 9 5x x x x x x− + = − + + − + −


BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
CAÙC DAÏNG CÔ BAÛN :
•



<
≥
⇔<
BA
0A
BA
;



>
≥
⇔>
BA
0B

BA
;





<
>
≥
⇔<
2
BA
0B
0A
BA
•





≤
≥
≥
⇔≤
2
BA
0B
0A

BA
;










>
≥



<
≥
⇔>
2
BA
0B
0B
0A
BA
;











≥
>



≤
≥
⇔≥
2
BA
0B
0B
0A
BA

Bài tập: Giải các bpt sau:
1) a)
2 2
2x x 3 x 2x 3+ − ≥ − −
b)
2xx3xx2
22
−+>++

2) a)
2
x x 12 8 x+ − < −
b)
2
5x x 6 3 2x− − ≤ +
3) a)
2
x 3x 10 x 2− − > −
b)
2
x x 6 x 2+ − ≥ +

4) a)
2
(x 3)(8 x) 26 x 11x− − + > − +
b)
2 2
x 4x 6 2x 8x 12 0− − − − + ≥

5)
x1418142x7x4926x77x7
2
−<−++−++
( KTQD-1999)
6)
5 1
5 2 4
2
2

x x
x
x
+ < + +
; 7)
( )
2
2
4
1 1
x
x
x
> −
+ +
; 8)
( )
2 2
3 2 3 2 0x x x x− − − ≥
GV: Hồ Đình Sinh_ Tổ Toán
5
Trường THPT Hùng Vương Chuyên đề pt và bpt vô tỉ
Bài tập về nhà: Giải các bpt:
1) a)
6x7x22x3x
22
+−≤+−
b)
x2x24x3x
22

−<−+
2) a)
5x20xx
2
<−−+
b)
2x6xx
2
≤−−−
3) a)
)1x(4)4x3)(5x( −>++
b)
2x)x4)(1x( −>−+

4) a)
x33x3x42x
22
>+−+−
b)
x45x5x35x6x2
22
<+−++−

5)
2
2
1 1
3
x x x x+ − ≤ + −
b)

3
24 12 6x x+ + − ≤
6) a)
2
2 2
2 1 1
x
x
x
> +
+ −
b)
(2 2) 2 1 6( 1)x x x− − ≤ −
c)
3
2 1 2 1
2
x x x x+ − + − − >
MỘT SỐ BÀI TRONG CÁC ĐỀ THI ĐH TỪ 2002-2009
1) Giải pt:
3
2 3 2 3 6 5 8 0x x− + − − =
(Khối A-2009)
2) Tìm m để pt sau có nghiệm:
2
4
3 1 1 2 1x m x x− + + = −
(ĐH Khối A_2007)
3)
2

2 1 3 1 0 (x R)x x x− + − + = ∈
(Khối D-2006)
4)
5 1 1 2 4x x x− − − > −
(Khối A-2005)
5)
2 2 2 1 1 4x x x+ + + − + =
(Khôi D-2005)
6)
2
2( 16)
7
3
3 3
x
x
x
x x
−
−
+ − >
− −
(Khối A-2004)
7)
( )
2 2
3 2 3 2 0x x x x
− − − ≥
( Khối A-2002)
GV: Hồ Đình Sinh_ Tổ Toán

6