Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực bồi dưỡng HSG lớp 9

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO YÊN MỸ
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Đề tài: Một số phương pháp giải hệ phương trình
không mẫu mực dùng bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9
Họ và tên: Nguyễn Văn Hiến
Đơn vị: THCS Đoàn Thị Điểm - Yên Mỹ - Hưng Yên

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Năm học 2012 - 2013
Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n HiÕn - THCS §oµn ThÞ §iÓm, Yªn Mü, Hng Yªn
2
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP 9
MỤC LỤC
A. MỞ ĐẦU 3
I. LÝ DO CHỌN SÁNG KIẾN 3
1. Cơ sở lí luận 3
2. Cơ sở thực tiễn 4
II. MỤC ĐÍCH, NHIỆM VỤ, ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU VÀ PHƯƠNG PHÁP
NGHIÊN CỨU 5
1. Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu 5
2. Đối tượng nghiên cứu 6
3. Phương pháp nghiên cứu 6
B. NỘI DUNG 6
I. MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CÙNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI CẦN NHỚ
6
1. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn 6
2. Hệ phương trình đối xứng loại một 8
3. Hệ phương trình đối xứng loại hai 9
II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC 10

1. Phương pháp biến đổi tương đương 10
DẠNG 1: Trong hệ có một phương trình bậc nhất đối với ẩn x hay ẩn y 10
DẠNG 2: Một hoặc hai phương trình của hệ có thể đưa về dạng tích 15
2. Phương pháp đặt ẩn phụ 20
3. Phương pháp đánh giá 26
C. THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 30
I. GIÁO ÁN DẠY THỰC NGHIỆM 30
II. KẾT QUẢ KIỂM TRA TRƯỚC VÀ SAU KHI DẠY THỰC NGHIỆM 36
1. Kết quả kiểm tra trước khi tiến hành dạy thực nghiệm 36
2. Kết quả kiểm tra sau khi tiến hành dạy thực nghiệm 36
3. So sánh đối chứng trước và sau tiến hành thực nghiệm 37
D. KẾT LUẬN 38
I. NHỮNG VẤN ĐỀ CÒN HẠN CHẾ 38
II. BÀI HỌC KINH NGHIỆM 39
III. KIẾN NGHỊ VỀ VIỆC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN 40
IV. KẾT LUẬN CHUNG 40
TÀI LIỆU THAM KHẢO 41
A. MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN SÁNG KIẾN
1. Cơ sở lí luận
Kiến thức về phương trình, hệ phương trình trong chương trình toàn của
bậc học phổ thông là một nội dung rất quan trọng, vì nó là nền tảng để giúp
Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n HiÕn - THCS §oµn ThÞ §iÓm, Yªn Mü, Hng Yªn
3
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP 9
học sinh tiếp cận đến các nội dung khác trong chương trình toán học, vật lí
học, hoá học, sinh học của bậc học này.
Trong chương trình toán của bậc học phổ thông, bắt đầu từ lớp 9 học
sinh được học về hệ phương trình, bắt đầu là hệ hai phương trình bậc nhất hai
ẩn. Cùng với đó học sinh được học hai quy tắc biến đổi tương đương một hệ

phương trình là “Quy tắc thế”; “Quy tắc cộng đại số”. Trong chương trình
toán lớp 8 và lớp 9 học sinh được học khá đầy đủ về phương trình một ẩn
như: phương trình bậc nhất một ẩn; phương trình tích; phương trình chứa ẩn ở
mẫu; phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối; phương trình bậc hai; phương
trình chứa dấu căn. Thông qua việc học các dạng phương trình trên học sinh
được trang bị tương đối đầy đủ về các phương pháp giải các phương trình đại
số, điều này đồng nghĩa với việc học sinh được trang bị các phương pháp giải
hệ phương trình không phải là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn.
Các hệ phương trình mà cách giải tuỳ thuộc vào đặc điểm riêng của hệ,
không có một đường lối chung cho việc giải các hệ đó, ta gọi các hệ dạng này
là hệ phương trình không mẫu mực. Việc giải các hệ phương trình không mẫu
mực đòi hỏi học sinh phải nắm rất vững các phương pháp biến đổi tương
đương một hệ phương trình, các phép biến đổi tương đương một phương
trình, đặc biệt học sinh phải rất tinh ý phát hiện ra những đặc điểm rất riêng
của từng hệ từ đó có cách biến đổi hợp lí nhờ đó mới có thể giải được hệ.
2. Cơ sở thực tiễn
Tuy trong nội dung chương trình toán lớp 8 và lớp 9 đã trang bị cho học
sinh khá đầy đủ kiến thức về phương trình và hệ phương trình đại số cùng các
phương pháp giải. Trong khi đó, việc trang bị các phương pháp giải hệ phương
trình không mẫu mực hầu như không được đề cập tới trong sách giáo khoa và
ngay cả hệ thống sách tham khảo hiện có dành cho học sinh trung học cơ sở.
Việc giải được các hệ phương trình không mẫu mực đòi hỏi học sinh
phải vận dụng rất khéo léo các kiến thức đã học để có được cách biến đổi hợp
lí đối với riêng từng hệ phương trình đã cho, điều này đánh giá được trình độ
kiến thức của học sinh. Chính vì vậy, trong nội dung các đề thi học sinh giỏi
Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n HiÕn - THCS §oµn ThÞ §iÓm, Yªn Mü, Hng Yªn
4
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP 9
cấp tỉnh môn toán 9, đề thi tuyển sinh vào trường THPT chuyên Hưng Yên,
đề thi khảo sát chất lượng học kì 2 môn toán 9 nhiều năm gần đây của Sở

Giáo dục và Đào tạo Hưng Yên luôn xuất hiện các câu hỏi yêu cầu học sinh
phải giải các hệ phương trình không mẫu mực, với mục đích phân loại đối
tượng học sinh. Không những vậy, trong nội dung đề thi tuyển sinh vào khối
THPT chuyên của trường Đại học Quốc gia, Đại học Sư phạm Hà Nội ở môn
toán vòng 1, vòng 2 luôn xuất hiện các câu hỏi giải hệ phương trình thuộc
kiểu hệ không mẫu mực.
Tài liệu tham khảo đối với các giáo viên phụ trách bồi dưỡng học sinh
giỏi viết riêng cho chuyên đề giải hệ phương trình không mẫu mực không có,
chính vì thế giáo viên dạy gặp rất nhiều khó khăn và lúng túng khi dạy đến
chuyên đề này. Vì vậy, khi dạy đến nội dung này giáo viên thường dạy lướt
qua bằng một số ví dụ minh hoạ chưa làm rõ được những đường lối chung để
giải các hệ phương trình không mẫu mực.
Chính vì những lí do mang tính lí luận và thực tế trên mà tôi chọn sáng
kiến của mình là “Một số phương pháp giải hệ phương trình không mẫu
mực dùng bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9”.
II. MỤC ĐÍCH, NHIỆM VỤ, ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU VÀ PHƯƠNG
PHÁP NGHIÊN CỨU.
1. Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu
Sáng kiến kinh nghiệm này nhằm mục đích tập hợp, sắp xếp hệ thống
các phương pháp thường được sử dụng để giải hệ phương trình không mẫu
mực dùng bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 9 của cấp trung học cơ sở.
Nhiệm vụ cần đạt:
- Chỉ ra được kiến thức về hệ phương trình có liên quan mà học sinh cần
nắm vững trước khi tiếp cận với các phương pháp giải hệ phương trình không
mẫu mực.
- Đưa ra hệ thống các phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực
có sự sắp xếp hợp lôgíc về mặt tư duy kiến thức bộ môn.
Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n HiÕn - THCS §oµn ThÞ §iÓm, Yªn Mü, Hng Yªn
5
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP 9

- Xây dựng được hệ thống các bài tập phù hợp với đối tượng học sinh
theo từng phương pháp cụ thể, nhằm giúp học sinh có được bài tập luyện tập
khắc sâu kiến thức, giáo viên giảng dạy có được hệ thống bài tập minh hoạ
phong phú cho tứng phương pháp.
2. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm này là hệ thống các
phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực, những điểm học sinh cần
lưu ý khi tiến hành giải các hệ phương trình loại này.
3. Phương pháp nghiên cứu
Để hoàn thiện sáng kiến này tôi đã sử dụng các phương pháp nghiên cưu sau:
- Phương pháp duy vật biện chứng và duy vật lịch sử.
- Phương pháp trừu tượng hoá khoa học.
- Phương pháp phân tích tổng hợp.
- Phương pháp so sánh, đối chiếu, thống kê.
- Phương pháp số liệu, hệ thống hoá … phỏng vấn, điều tra, khảo sát
điều tra thực tế.
B. NỘI DUNG
I. MỘT SỐ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CÙNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI
CẦN NHỚ
1. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Định nghĩa:
Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ có dạng:
(1)
' ' ' (2)
ax by c
a x b y c
+ =


+ =


trong đó a, b, c, a’, b’, c’ là các số cho trước,
2 2
0a b+ ≠
và
2 2
' ' 0a b+ ≠
.
Nghiệm của hệ là cặp số
( )
; x y
thoả mãn đồng thời hai phương trình (1)
và (2) của hệ. Giải hệ tức là tìm tất cả các nghiệm của hệ.
Cách giải:
Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n HiÕn - THCS §oµn ThÞ §iÓm, Yªn Mü, Hng Yªn
6
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Trong chương trình toán trung học cơ sở để giải hệ hai phương trình bậc
nhất hai ẩn ta thường sử dụng hai phương pháp:
- Phương pháp thế nhờ sử dụng quy tắc thế;
- Phương pháp cộng đại số nhờ sử dụng quy tắc cộng đại số.
Để minh hoạ cho hai phương pháp này ta xét ví dụ sau:
Ví dụ. Giải hệ phương trình
3 2 4 (1)
2 5 (2)
x y
x y
− =



+ =

Lời giải:
Cách 1: (Sử dụng phương pháp thế)
- Từ phương trình (2) của hệ, rút y theo x ta có
5 2y x= −
. Thay vào phương
trình (1) của hệ ta được:
( )
3 2 5 2 4x x− − =
Hay
7 14x
=
.
- Theo quy tắc thế hệ phương trình đã cho tương đương với hệ phương trình
sau:
7 14 2
5 2 1
x x
y x y
= =
 
⇔
 
= − =
 
Vậy hệ có nghiệm duy nhất
( ) ( )
; 2; 1 .x y =
Cách 2: (Sử dụng phương pháp cộng đại số)

- Nhân cả hai vế của phương trình (2) với 2 rồi cộng với phương trình (1) vế
với vế ta được:
( ) ( )
4 2 3 2 10 4x y x y+ + − = +
Hay
7 14x =
.
- Theo quy tắc cộng đại số hệ phương trình đã cho tương đương với hệ
phương trình sau:
7 14 2
2 5 1
x x
x y y
= =
 
⇔
 
+ = =
 
Vậy hệ có nghiệm duy nhất
( ) ( )
; 2; 1 .x y =
Nhận xét: Trong chương trình toán lớp 10 của cấp THPT học sinh mới bắt
đầu tiếp cận đến việc giải hệ phương trình trên bằng phương pháp sử dụng
định thức cấp 2. Bằng phương pháp sử dụng định thức ta có thể giải hệ
phương trình trên như sau:
Hệ phương trình
3 2 4
2 5
x y

x y
− =


+ =

có:
Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n HiÕn - THCS §oµn ThÞ §iÓm, Yªn Mü, Hng Yªn
7
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP 9
3 2 4 2 3 4
3.1 2.2 7 0; 4.1 5.2 14; 3.5 2.4 7
2 1 5 1 2 5
x y
D D D
− −
= = + = ≠ = = + = = = − =
Suy ra hệ có nghiệm duy nhất:
14
2
7
7
1
7
x
y
D
x
D
D

y
D

= = =




= = =


2. Hệ phương trình đối xứng loại một
Định nghĩa: Một hệ phương trình hai ẩn x, y được gọi là hệ phương trình đối
xứng loại một nếu mỗi phương trình của hệ đã cho đối xứng với hai ẩn x và y
(nghĩa là mỗi phương trình của hệ không thay đổi khi ta đổi vai trò của x và y
cho nhau).
Tính chất: Nếu (x
0
; y
0
) là một nghiệm của hệ thì (y
0
; x
0
) cũng là nghiệm của
hệ.
Cách giải thường dùng: Đặt
S x y= +
và
P xy=

, với điều kiện
2
S 4P 0− ≥
đưa
hệ đã cho về hệ đơn giản hơn đã biết cách giải.
Ví dụ. Giải hệ phương trình
( )
2 2
11
3 28
x y xy
x y x y
+ + =



+ + + =


Lời giải:
Đặt
S x y= +
và
P xy=
, khi đó hệ đã cho có dạng:
2
11 (1)
2 3 28 (2)
S P
S P S

+ =


− + =

Từ (1) suy ra
11P S
= −
, thay vào phương trình (2) ta được:
( )
2 2
2 11 3 28 hay 5 50 0.S S S S S− − + = + − =
Phương trình này có hai nghiệm phân biệt:
5; 10.S S= = −
* Nếu
5S =
thì
6,P =
nên x, y là các nghiệm của phương trình bậc hai:
( ) ( )
2
2
5 6 0 2 3 0
3
t
t t t t
t
=

− + = ⇔ − − = ⇔


=

Suy ra
( ) ( )
; 2; 3x y =
hoặc
( ) ( )
; 3; 2 .x y =
* Nếu
10S
= −
thì
21,P =
nên x, y là các nghiệm của phương trình bậc hai:
Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n HiÕn - THCS §oµn ThÞ §iÓm, Yªn Mü, Hng Yªn
8
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP 9
( ) ( )
3
10 21 0 3 7 0
7
t
t t t t
t
= −

+ + = ⇔ + + = ⇔

= −


Suy ra
( ) ( )
; 3; 7x y = − −
hoặc
( ) ( )
; 7; 3 .x y = − −
Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm:
( ) ( ) ( ) ( )
2; 3 ; 3; 2 ; 3; 7 ; 7; 3 .− − − −

3. Hệ phương trình đối xứng loại hai
Định nghĩa: Một hệ phương trình hai ẩn x, y được gọi là hệ phương trình đối
xứng loại hai nếu trong hệ phương trình, khi đổi vai trò của x và y cho nhau
thì phương trình này trở thành phương trình kia.
Tính chất: Nếu (x
0
; y
0
) là một nghiệm của hệ thì (y
0
; x
0
) cũng là nghiệm của
hệ.
Cách giải thường dùng: Trừ các vế tương ứng của hai phương trình thì nhận
được phương trình tích dạng
( ) ( )
( )
0

.f , 0
f , 0
x y
x y x y
x y
− =

− = ⇔

=

Từ đó hệ đã cho tương đương với hai hệ đơn giản hơn có thể giải được.
Ví dụ. Giải hệ phương trình sau:
3
3
1 2 (1)
1 2 (2)
x y
y x

+ =


+ =


Lời giải:
Trừ từng vế của phương trình (1) cho phương trình (2) ta được:
( )
( )

( )
3 3
2 2
2
2 2 2
2
2 0
3
0 ( 2 2 0 , )
2 4
.
x y y x
x y x xy y
y
x y x xy y x y x y
y x
− = −
⇔ − + + + =
 
⇔ − = + + + = + + + > ∀
 ÷
 
⇔ =
V ×
Thay
y x=
vào phương trình (1) ta được:
( )
( )
3 2

1
2 1 0 1 1 0
1 5
2
x
x x x x x
x
=


− + = ⇔ − + − = ⇔
− ±

=


Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n HiÕn - THCS §oµn ThÞ §iÓm, Yªn Mü, Hng Yªn
9
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Vậy hệ phương trình đã cho có 3 nghiệm là:
( )
1 5 1 5 1 5 1 5
1; 1 ; ; ; ; .
2 2 2 2
   
− − − − − + − +
 ÷  ÷
 ÷  ÷
   
II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC

1. Phương pháp biến đổi tương đương
Để biến đổi tương đương một hệ phương trình chúng ta sử dụng các quy
tắc biến đổi tương đương như quy tắc thế, quy tắc cộng đại số. Cùng với đó ta
cần kết hợp các phép biến đổi tương đương một phương trình trong quá trình
biến đổi như quy tắc chuyển vế, quy tắc nhân, phân tích thành tích, bình
phương hoặc lập phương hai vế, thêm bớt làm xuất hiện nhân tử chung,…
Nhìn chung việc biến đổi tương đương các hệ phương trình loại này đòi
hỏi người làm phải rất khéo léo và linh hoạt trong từng bước biến đổi. Ta có
thể vận dụng phương pháp biến đổi tương đương để giải hệ không mẫu mực
trong các tình huống sau.
DẠNG 1: Trong hệ có một phương trình bậc nhất đối với ẩn x hay ẩn y.
Ví dụ 1: Giải các hệ phương trình sau:
2 2
2 1 0
1 0
x y
x y xy
− + =


− + − =

Lời giải:
Ta có:

( ) ( )
( )
2 2
2
2

2 1 0

1 0
2 1
2 1 2 1 1 0
2 1
5 1 0
2 1 1
0 0
2 1 1
1 1
x y
x y xy
x y
y y y y
x y
y y
x y x
y y
x y x
y y
− + =


− + − =

= −


⇔


− − + − − =


= −


⇔

− =


 = −  = −
 
 
 
= =
 
 
⇔ ⇔
 
= − =
 
 
 
= =
 
 
 
Vậy hệ có hai nghiệm:

( ) ( )
1; 0 ; 1; 1 .−
Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n HiÕn - THCS §oµn ThÞ §iÓm, Yªn Mü, Hng Yªn
10
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Nhận xét: Phương trình thứ nhất của hệ là phương trình bậc nhất hai ẩn nên
ta có thể rút x theo y ( hoặc y theo x ) rồi thế vào phương trình còn lại của hệ,
theo quy tắc thế ta nhận được một hệ mới tương đương. Trong hệ mới nhận
được có một phương trình là phương trình một ẩn, nhờ đó ta đã giải được hệ.
Trong lời giải trên, ta đã tính x theo y từ phương trình thứ nhất rồi thế vào
phương trình thứ hai. Ta cũng có thể tính y theo x rồi thế vào phương trình
thứ hai của hệ, tuy nhiên việc biến đổi hệ tiếp theo sẽ trở nên phức tạp vì xuất
hiện mẫu số.
Ví dụ 2: Giải các hệ phương trình sau:
( ) ( )
2 2
2
1 1 3 4 1 (1)
1 (2)

+ + + = − +


+ + =


x y x y x x
xy x x
Lời giải:
Nhận thấy

0x
=
không thoả mãn phương trình (1) của hệ nên hệ không có
nghiệm
( )
0; y
.
Khi
0x
≠
từ phương trình (2) ta có
2
1
1
x
y
x
−
+ =
thay vào phương trình (1) ta
được:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2
2 2
2
2

2
2
1 1
3 4 1

1
1
1 2 1 1 3 1
1
1
1
1
1
2 1 2 0
2
2
1
1
1
1
5
2
x x
x x x x
x x
x
y
x
x x x x
x

y
x
x
x
y
x x x
x
x
x
y
x
y
x
y
x

  
− −
+ = − +

 ÷ ÷

  

−

+ =




− − = − −

⇔

−
+ =


 =


=




= −
− + =




= −
 


⇔ ⇔ ⇔
 
= −


−


+ =
−
 
+ =




= −






Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là:
( )
5
1; 1 ; 2; .
2
 
− − −
 ÷
 
Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n HiÕn - THCS §oµn ThÞ §iÓm, Yªn Mü, Hng Yªn
11
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP 9

Nhận xét: Phương trình (2) của hệ là phương trình bậc nhất đối với ẩn y nên
ta tiến hành tính ẩn y theo ẩn x rồi thế vào phương trình (1) của hệ. Tuy nhiên
việc tính y theo x ta phải thực hiện phép chia cho x, nên cần nhận xét
( )
0; y

không là nghiệm của hệ để từ đó với
0x ≠
ta có thể tính
2
1
1
x
y
x
−
+ =
và hệ
nhận được tương đương với hệ đã cho.
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau
2 2
2 2
10 0
4 2 20 0
x y x
x y x y

+ − =



+ + − − =


Lời giải:
Lấy phương trình thứ nhất trừ cho phương trình thứ hai ta được
7 10y x= −
.
Theo quy tắc cộng đại số, hệ đã cho tương đương với hệ phương trình sau:
( )

+ − =

= −


+ − − =

⇔

= −



+ + =
⇔

= −


= −



= −
 

= −
 


⇔ ⇔
= −



= −



= −


= −



2 2
2
2
2
10 0

7 10
7 10 10 0
7 10
3 2 0
7 10
1
1
17
2
2
7 10
24
x y x
y x
x x x
y x
x x
y x
x
x
y
x
x
y x
y
Vậy hệ đã cho có 2 nghiệm:
( ) ( )
1; 17 ; 2; 24 .− − − −
Nhận xét: Tuy ở cả hai phương trình của hệ đều không có phương trình nào

là phương trình bậc nhất đối với một ẩn, nhưng bằng việc sử dụng quy tắc
cộng đại số trừ vế với vế hai phương trình của hệ ta được một phương trình
là phương trình bậc nhất hai ẩn, nhờ đó ta đã giải được hệ.
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình sau
( )
( )
2 5
3 4
x y xy x y xy
x y xy x y xy

+ + + =


+ + − =


Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n HiÕn - THCS §oµn ThÞ §iÓm, Yªn Mü, Hng Yªn
12
MễT Sễ PHNG PHAP GIAI Hấ PHNG TRINH KHễNG MU MC DUNG BễI DNG HOC SINH GIOI LP 9
Li giai:
*) D thy
0x y= =
l nghim ca h.
*) Cỏc cp s
( )
x y với y 0 hay = =; x 0; x 0; y 0
u khụng l nghim.
*) Vi
xy 0.

Chia c hai v ca mi phng trỡnh trong h cho
xy 0
ta
c:
x y
x y
x y
x y

+ + + =




+ + =


1 1
2 5
1 1
3 4
Suy ra
x y x y x y
x y
= + = + =
1 1
5 2 4 3 2 1
Thay
2 1x y=
vo phng trỡnh th 2 ca h ban u ta c:

( ) ( ) ( )
( )
( )
=




+ + =



=

=




+ =
+ =



=

=

= =

=




+


=
=
+


= =






=

2
3 2
2 1

2 1 2 1 3 2 1 4 2 1
2 1
2 1
1 10 9 1 0
10 19 10 1 0
2 1
41 1 41 1
1
1
10 10
hoặc hoặc
9 41
1
9 41
20
20
9 41
20
x y
y y y y y y y y
x y
x y
y y y
y y y
x y

y
x x
x
y
y
y y
y








9 41
20
Võy hờ a cho co 4 nghiờm l:
( ) ( )
41 1 9 41 41 1 9 41
0; 0 ; 1; 1 ; ; ; ; .
10 20 10 20


+
ữ ữ
ữ ữ

Nhõn xet: ờ giai hờ trờn ta co thờ biờn ụi ngay t hờ ban õu nh quy tc
cụng ai sụ nh sau:

( )
( )
( ) ( )
( )

+ + + =


+ + =




+ + + + + =




+ + =


2 5
3 4
3 2 4 5
3 4
x y xy x y xy
x y xy x y xy
x y xy x y x y xy x y xy xy
x y xy x y xy
Giáo viên: Nguyễn Văn Hiến - THCS Đoàn Thị Điểm, Yên Mỹ, Hng Yên

13
MễT Sễ PHNG PHAP GIAI Hấ PHNG TRINH KHễNG MU MC DUNG BễI DNG HOC SINH GIOI LP 9
( )
( )
( )
( )
( )

+ =



+ + =



=




+ + =




=

+ + =




=




+ + =




2 1 0

3 4
0
3 4
0
3 4
2 1
3 4
xy x y
x y xy x y xy
x

x y xy x y xy
y
x y xy x y xy
x y
x y xy x y xy
ờn õy viờc giai hờ ban õu c a vờ viờc giai 3 hờ phng trinh
n gian hn. Cach biờn ụi nay kha n gian nờn hoc sinh kha dờ tiờp thu,
c biờt la hoc sinh lp 9.
Vớ d 5: Gii h phng trỡnh sau
3 3
2 2
9
2 4
x y
x y x y

=


+ =


(Thi học k ì 2 lớp 9 năm học 2011- 2012 Sở Hng Yê n)
Li giai:
( )
( )
( ) ( )
3 3
3 3
2 2

2 2
3 3 3 3 2 2
2 2 2 2
3 3
2 2
2 2
9
9
3 2 3 4
2 4
9 3 3 6 12 9
3 3 6 12 9 9 2 4
1 2
1 2
2 4
2 4
x y
x y
x y x y
x y x y
x y x y x x y y
x x y y x y x y
x y
x y
x y x y
x y x y

=

=

+ =
+ =





= = + + +



+ + + = + =



= +

= +



+ =
+ =

( ) ( )
2
2
2
3
3
3 2 0
3 2 3 4
2
1
1
2
x y
x y
y y
y y y y
x
y
x
y


= +

= +




+ + =

+ + = +



=



=




=



=



Võy hờ a cho co 2 nghiờm:
( ) ( )
1; 2 ; 2; 1 .
Nhõn xet: Ro rang vi vi du 5 nay viờc tim ra c cach biờn ụi ờ giai
c hờ phng trinh trờn nh trờn la kha kho ụi vi hoc sinh, c biờt la
hoc sinh lp 9. Vi vi du nay, oi hoi hoc sinh phai nhõn xet hờt sc tinh tờ
Giáo viên: Nguyễn Văn Hiến - THCS Đoàn Thị Điểm, Yên Mỹ, Hng Yên
14
MễT Sễ PHNG PHAP GIAI Hấ PHNG TRINH KHễNG MU MC DUNG BễI DNG HOC SINH GIOI LP 9

cac hờ sụ cua tng hang t trong mụi phng trinh va hoc sinh a c tiờp
cõn vi cach biờn ụi tng t nh trờn.
BI TP.
Bi 1: Gii cỏc h phng trỡnh sau
( )
( ) ( )
+ =

+ + =
=



+ + = +
+ =
+ =



+ =
+ = =


+ = +
+ = + + =



+ =
+

3 3
2
2 2
3 3 3 3
3 3 2 2
5 5 2 2 2 2
3 3
2
4
2 1 0
3
1) 2) 3)
1 4 2
1 0
1
1
1 35
4) 5) 6)
2 3 4 9
9
7)
x y
x y
x y x y
x y xy y
x y xy
x y
x y
x y x y
x y x y

x y x y x y x y
x y
x

+ + =


= + + + + =


2
2 3 2 2
5 9
8)
2 4 3 2 6 18
x x y
y x y x x y xy x
Bi 2: Cho h phng trỡnh
+ = +


+ =

2 2 2
1
(m l tham số)
2 3
x y m
x y xy m m
a) Gii h phng trỡnh khi m = 3.

b) Chng minh rng h phng trỡnh ó cho luụn cú nghim vi mi giỏ
tr ca m.
DNG 2: Mt hoc hai phng trỡnh ca h cú th a v dng tớch.
Vớ d 1. Gii h phng trỡnh sau
2 2
2 2
5 6 0
2 1
x xy y
x y

+ =


+ =


Li giai:
( ) ( )
( )
( )

+ =


+ =



=

+ =



=


= =






+ =

+ = =






== =

+ = =
+ =







= =





= =


2 2
2 2
2 2
2
2
2 2 2
22 2 2

2
5 6 0

2 1
2 3 0
2 1
2
2 2
2 2 1
2 1 9 1
33 3
2 1 19 1
2 3 1
2 2
3 3
hoặc
1 1
3
x xy y
x y
x y x y
x y
x y
x y x y
y y
x y y
x yx y x y
x y y
y y
x x

y y


= =





= =




3 19 3 19
19 19
hoặc hoặc
19 19
3
19 19
x x
y y
Giáo viên: Nguyễn Văn Hiến - THCS Đoàn Thị Điểm, Yên Mỹ, Hng Yên
15
MễT Sễ PHNG PHAP GIAI Hấ PHNG TRINH KHễNG MU MC DUNG BễI DNG HOC SINH GIOI LP 9
Võy hờ a cho co 4 nghiờm:



ữ ữ

ữ ữ
ữ ữ


2 1 2 1 3 19 19 3 19 19
; ; ; ; ; ; ; .
3 3 3 3 19 19 19 19
Nhõn xet: Trong hờ phng trinh trờn, phng trinh th nhõt chinh la
phng trinh ng cõp bõc hai, tuy nhiờn ụi vi hoc sinh lp 9 khụng nờn
giai bng cach t x = ky vi vi cach giai nay hoc sinh rõt kho hiờu tai sao
lai nghi ra cach t o. Chinh vi võy, khi day giao viờn nờn hng dõn hoc
sinh hay phõn tich phng trinh th nhõt vờ dang tich va biờn ụi tiờp nh
cach giai trờn.
Vớ d 2. Gii h phng trỡnh sau:
2 2
2 2
2 5 2 0 (1)
(TS Chuyờn Toỏn H 2011 2012)
4 0 (2)
x y xy y x
x y x y

+ + + =



+ + + =


ng Yê n

Li giai:
Dựng phng phỏp phõn tớch a thc thnh nhõn t bin i phng
trinh (1) v dng tớch.
( ) ( )
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2 1 0
2 5 2 0

4 0
4 0
2 0
(a)
4 0
2 1 0
(b)
4 0
x y x y
x y xy y x
x y x y
x y x y
x y
x y x y
x y
x y x y
+ =

+ + + =



+ + + =
+ + + =





+ =



+ + + =




=




+ + + =


Gii h (a):

( ) ( )
2
2 2 2
2
2
2 0 2
1
1
4 0 2 1 0
2 2 4 0
y x
x y y x
x
y
x y x y x x
x x x x
=

+ = =
=





=
+ + + = + =
+ + + =

Giai hờ (b):

( ) ( )
2 2
2
2
2
2 1 0

4 0
1
1
2 1
2 1
4
5 4 0
2 1 2 1 4 0
5
13
5
x y
x y x y
x
y
y x
y x
x
x x

x x x x
y
=


+ + + =

=



=


=

=







=


=
+ + + =

=




Giáo viên: Nguyễn Văn Hiến - THCS Đoàn Thị Điểm, Yên Mỹ, Hng Yên
16
MễT Sễ PHNG PHAP GIAI Hấ PHNG TRINH KHễNG MU MC DUNG BễI DNG HOC SINH GIOI LP 9
Võy hờ a cho co hai nghiờm:
( )
4 13
1; 1 ; ;
5 5


ữ

.
Nhõn xet:
- Ta cú th xem phng trỡnh (1) ca h l phng trỡnh bc 2 i vi n x
cũn n y l tham s v tin hnh gii nh sau:
( )

( )
2 2
2
2
2
(1) 2 5 2 0
9 18 9 3 3
5 3 3 1 5 3 3
; 2
4 2 4
1
*) Khi 2 1 thay vo (2) ta cú :
2
4
5 4 0 1;
5
x
x y x y y
y y y
y y y y y
x x y
y
x y x
x x x
+ + + =
= + =
+ + + + +
= = = = +
+
= =

=


phơng tr ì nh đợc
Khi đ
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
2
4 13
; 1; 1 ; ; .
5 5
*) Khi 2 2 thay vo (2) ta cú : 2 2 1 0 1
; 1; 1 .
; 1; 1
x y
x y y x x x x
x y
x y




ữ


= + = + = =

=

ó ta đợc nghiệm của hệ l
Khi đó ta đợc nghiệm của hệ l
Vậy tập nghiệm của hệ đã cho l
4 13
; ; .
5 5



ữ



- Viờc phõn tich a thc vờ trai cua phng trinh th nhõt cua hờ, giao
viờn khi day nờn hng dõn hoc sinh s dung hng ng thc ang nh ờ
tiờn hanh biờn ụi vi õy la a thc bõc hai ụi vi hai õn.
Vớ d 3. Gii h phng trỡnh sau
2 2
2
2
1 (1)
(Thi 2011 2012)
(2)
xy
x y
x y
x y x y

+ + =

+



+ =

HSG tỉnh Hng Yê n năm học
Li giai:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2 2
2 2
2
2 2 2 2
*) : 0
(1) 1
0
x y
x y x y
x y
x y
x y x y x y x y x y

x y
+ >
+ +
+ + =
+
+ + + + + +
=
+
ĐK
Ta có
Giáo viên: Nguyễn Văn Hiến - THCS Đoàn Thị Điểm, Yên Mỹ, Hng Yên
17
MễT Sễ PHNG PHAP GIAI Hấ PHNG TRINH KHễNG MU MC DUNG BễI DNG HOC SINH GIOI LP 9
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
2 2
2 2
2 2
2 2
1 1
0
1 1 0
1 0 ( 0 1 0)
1
1 2 0 1
x y x y x y x y
x y

x y
x y
x y
x y
x y x y
x y
x y
x x x x x
+ + + + +
=
+

+
+ + =
ữ
+

+
+ = + > + >
+
+ =
= + = =
V ì nê n
Thay vào pt (2) ta đợc : 1 h
( ) ( ) ( )
{ }
2.
; 1; 0 ; 2; 3 .
x
x y

=

oặc
Từ đó suy ra hệ đã cho có 2 nghiệm
Nhõn xet:
- Vi hờ co cha dõu cn, khi day giao viờn cõn ren cho hoc sinh thoi
quen phai t iờu kiờn ờ cac cn thc cung co nghia, trong thc tờ
hoc sinh thng quờn iờu nay.
- ờ biờn ụi phng trinh th nhõt cua hờ vờ dang tich, ta cung co thờ
biờn ụi nh sau:
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
2
2 2
2 2
2
1
2
2 1 2 0
1
1 2 1 0
1 1 2 1 0
1 1 2 0

1 0
1 0 Do 0 nờn 0
xy
x y
x y
xy
x y xy xy
x y
x y xy
x y
x y x y x y xy x y
x y x y x y xy
x y x y x y
x y x y x y x y
+ + =
+
+ + + =
+

+ + =
ữ
+

+ + + + + =
+ + + + =

+ + + + =
+ = + > + + + >
Vớ d 4. Gii h phng trỡnh sau
2 2

4 5
4 2 7
x y
xy x y

+ =

+ + =

Li giai:
Cng v vi v hai phng trỡnh ca h ta c:
( )
( )
( ) ( )
+ + + + =
+ + + =
2 2
2
4 4 2 12
2 2 12 0
x xy y x y
x y x y
Giáo viên: Nguyễn Văn Hiến - THCS Đoàn Thị Điểm, Yên Mỹ, Hng Yên
18
MễT Sễ PHNG PHAP GIAI Hấ PHNG TRINH KHễNG MU MC DUNG BễI DNG HOC SINH GIOI LP 9
( ) ( )
+ + + =
+ = + =
2 4 2 3 0
2 4 hoặc 2 3

x y x y
x y x y
Do ú ta co:

+ =



+ + =

+ =





+ + =
+ =




+ + =



2 2
2 4
( )
4 2 7

4 5
4 2 7
2 3
( )
4 2 7
x y
a
xy x y
x y
xy x y
x y
b
xy x y
Giai h (a):
( ) ( )
=
=

+ =




+ + =
+ + =
+ + =

2
2 4
2 4
2 4
4 2 4 2 4 2 7
4 2 7
8 16 11 0
x y
x y
x y
y y y y
xy x y
y y
Vi phng trinh
+ + =
2
8 16 11 0y y
co
' 24 0 = <
nờn vụ nghiờm. Do võy hờ (a)
vụ nghiờm.
Giai hờ (b):

( ) ( )
=

+ =

+ + =
+ + =



= = =


=


= =






+ =




= =

2
3 2
2 3

4 3 2 3 2 2 7
4 2 7
3 2 1
3 2
1 2

2 3 1 0
1 1
2 2
x y
x y
y y y y
xy x y
x y x y
x y
y x
y y
y y
Võy hờ a cho co 2 nghim:
( )
1
1; 1 ; 2; .
2

ữ

Nhõn xet: Trong hờ trờn cha co phng trinh nao cua hờ co thờ a ngay vờ
dang tich, tuy nhiờn bng viờc cụng vờ vi vờ hai phng trinh cua hờ theo
quy tc cụng ai sụ ta nhõn c mụt hờ mi, trong hờ mi nay co mụt
phng trinh a c vờ dang tich.
BAI TP.
Giai cac hờ phng trinh sau:
3 2 2 3
3
3
6 9 4 0
1) 2)
2
3
y
x y x
x x y xy y
x
x y x y
x y x x



+ + + =
+ =


+ + =

+ + = +

Giáo viên: Nguyễn Văn Hiến - THCS Đoàn Thị Điểm, Yên Mỹ, Hng Yên
19
MễT Sễ PHNG PHAP GIAI Hấ PHNG TRINH KHễNG MU MC DUNG BễI DNG HOC SINH GIOI LP 9
( )
2 2
2 2
3 3
2 2
2
2 2
2
1
3) 4)
2 1 2 2
1
3 2 4 16
5) 6)
1 5(1 )
2 8
2
7)
4 5(2 )
xy x y x y
x y x y x y
x y y x x y
x y
x y xy x y y x
y x

x y
x y
x y x y xy


+ + =
+ + = +


=
+ =






= + = +


+ = +

=



+ =

+ =


( ) ( )
2 2
2 2
2
2 2
2
2
3 ( 1) ( 3) 4
8)
2 1
2 2 2
5 4 4
9) 10)
1 2
5 4 16 8 16 0
2 2 5
11)
5 7
x x y y y x
x xy y
x xy y y x
y x x
y x y x
x y xy x y
x xy y
y xy x

+ + =

=



+ + = +
= +


+ + =
+ + + =





+ + =


+ + =


( )
( ) ( )
2 2
2 2
3 3
2 2
3

2 2
12)
3
1 1
7 7
13) 14)
2
2 1
4
15)
1 1 2
x x y y
x y x y
x y
x x y y
x y
x y x y
y x
x y x y
x x y y y

+ = +


+ = +



=

+ = +


+ = + +



= +


+ + + =


+ + + + =


2. Phng phap t õn phu
* im mu chụt ca phng phỏp ny l phi phỏt hin ra n ph
( ) ( )
; ; ; u f x y v g x y= =
ngay trong tng phng trỡnh ca h hoc sau mt s
phộp bin i h ó cho.
* Thụng thng vic bin i h ch xoay quanh vic cng, tr 2 phng
trỡnh ca h theo v hoc chia c hai v ca mt phng trỡnh hay c hai
phng trỡnh ca h cho mt i lng khỏc 0 no ú ó ch ra trong cỏc
phng trỡnh, nh ú nhn ra vic phi chn n ph nh th no cho hp lớ.
Vớ d 1. Gii h phng trỡnh sau:
( )
2 2
2

2
1 4
2 7 2
x y xy y
x y x y

+ + + =


+ = + +


(1)
(Thi HSG tỉnh Hng Yên năm học 2010-2011)
y (2)
Li giai:
* Nhõn thõy moi cp sụ
( )
;x y
vi y = 0 ờu khụng phai la nghiờm cua hờ.
* Khi
y 0
, chia ca hai vờ cua (1) va (2) cho y ta c hờ:
Giáo viên: Nguyễn Văn Hiến - THCS Đoàn Thị Điểm, Yên Mỹ, Hng Yên
20
MễT Sễ PHNG PHAP GIAI Hấ PHNG TRINH KHễNG MU MC DUNG BễI DNG HOC SINH GIOI LP 9
( )
( )
2
2

2
1
4
1
2. 7
x
x y
y
x
x y
y

+
+ + =



+

+ = +


t
2
1x
u
y
v x y

+

=



= +

, khi o hờ trờn tr thanh:
2
4
2. 7
u v
v u
+ =


= +

Giai hờ phng trinh:
( )
2
2 2
4
4 4
1 9
3 5
2 4 7
2. 7 2 15 0
u v
u v u v
u u

v v
v v
v u v v
=
+ = =

= =





= =
= +
= + + =




hoặc
* Vi
1
3
u
v
=


=

thay vao cach t õn phu ta c:
2
2 2
1
1 1 2
1 2 0
2 5
3 3
3
x
x x
y x x x
y
y y
y x y x
x y

+
= = =

= + + =




= =
= =

+ =

hoặc
* Vi
9
5
u
v
=


=

thay vao cach t õn phu ta c:
2
2 2
1
9
9 1 9 46 0
5 5
5
x
y x x x
y
y x y x
x y

+
=

= + + + =



= =


+ =

Hờ nay vụ nghiờm vi phng trinh
2
9 46 0x x+ + =
co
103 0 = <
nờn vụ
nghiờm.
Võy hờ a cho co 2 nghiờm:
( ) ( )
1; 2 ; 2; 5 .
Nhõn xet:
- Vi hờ phng trinh trờn viờc võn dung cac phep biờn ụi tng ng mụt hờ
gp kho khn vi khụng thờ s dung c quy tc thờ hay quy tc cụng ai sụ.
- ờ co thờ lam xuõt hiờn nhng yờu tụ c lp i lp lai trong cac phng
trinh cua hờ, nh o ta t c õn phu thi cõn chia ca hai vờ cua tng
phng trinh cho
0y
.
Giáo viên: Nguyễn Văn Hiến - THCS Đoàn Thị Điểm, Yên Mỹ, Hng Yên
21
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP 9

Ví dụ 2. Giải hệ phương trình sau:





=−++
=+−+−
0222
0964
22
224
yxyx
yyxx
.
Lời giải:
Hệ phương trình đã cho tương đương với
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
( 2) ( 3) 4 ( 2) ( 3) 4
( 2) 22 0 ( 2 4)( 3 3) 2 20 0
x y x y
x y x x y x
 
− + − = − + − =
 
⇔
 
+ + − = − + − + + − − =
 

 
Đặt
2
2
3
x u
y v

− =

− =

, khi đó hệ phương trình trên trở thành:
2 2
4
. 4( ) 8
u v
u v u v

+ =

+ + =

Giải hệ trên ta được
2
0
u
v
=



=

hoặc
0
2
u
v
=


=

.
Thế vào cách đặt ta được các nghiệm của hệ là:
2
3
x
y
=


=

;
2
3
x
y
= −



=

;
2
5
x
y

=


=


;
2
5
x
y

= −


=


.
Nhận xét:

- Với hệ phương trình trên, việc biến đổi hệ để xuấn hiện bộ phận để đặt
ẩn phụ khá dễ nhận ra việc phải sử dụng hằng đẳng thức nhờ phương
trình thứ nhất của hệ.
- Ta cũng có thể giải hệ trên nhờ phương pháp thế bằng cách tính y theo
x từ phương trình thứ hai rồi thay vào phương trình thứ nhất. Tuy
nhiên theo cách này sẽ xuất hiện một phương trình bậc 8 rất khó giải.
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình sau:
( )
( )
2 2
2
3
4 4 7
1
2 3
xy x y
x y
x
x y

+ + + =

+



+ =

+


Lời giải:
* ĐK:
0.x y+ ≠
* Hệ đã cho được viết lại dưới dạng sau:
( )
( )
( ) ( )
2
2
3
4 4 2 7
1
3
xy x y xy
x y
x y x y
x y

 
+ + − + =

 
+



+ + + − =

+


Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n HiÕn - THCS §oµn ThÞ §iÓm, Yªn Mü, Hng Yªn
22
MễT Sễ PHNG PHAP GIAI Hấ PHNG TRINH KHễNG MU MC DUNG BễI DNG HOC SINH GIOI LP 9
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
2
2
2 2
2
3
4 4 7
1
3
1
3 7
1
3
x y xy
x y
x y x y
x y
x y x y
x y
x y x y

x y

+ + =

+




+ + + =

+




+ + + =


+





+ + + =

+

* t

1
; 2u x y u
x y
v x y

= + +

+


=


, khi o hờ a cho tr thanh:
( )
2 2
3 2 7
3
u v
u v

+ =


+ =


* Giai hờ vi õn phu u, v ta co:
( )
2 2

2 2
3 2 7
2
3 13
1
3
3
u v
u
u v
v
u v
u v

+ =
=

+ =




=
+ =
+ =



* Thay vao cach t ta c:
1

2
1 1
1 0
1
x y
x y x
x y
x y y
x y

+ + =
+ = =


+


= =


=

Võy hờ a cho co nghiờm duy nhõt:
1
.
0
x
y
=

=

Nhõn xet: Viờc biờn ụi hờ trong vi du nay nhõn thõy ngay phai s dung hng
ng thc ang nh ờ nhm xuõt hiờn
( )
2
x y+
, o chinh la c s ờ thc
hiờn cach biờn ụi hờ tao iờu kiờn thuõn li cho viờc t õn phu.
Vớ d 4. Gii h phng trỡnh sau:
2 3 2
4 2
5
4

5
(1 2 )
4
x y x y xy xy
x y xy x

+ + + + =




+ + + =

(Đề tuyển sinh Đại học khối A năm 2008)
Li gii:
H ó cho tng ng vi
2 2
2 2
5
( )
4
5
( )
4
x y xy x y xy
x y xy

+ + + + =




+ + =


.
t
2
x y a
xy b

+ =

=


, khi o ta c h mi
2
5
4
5
4
a ab b
a b

+ + =




+ =


Giáo viên: Nguyễn Văn Hiến - THCS Đoàn Thị Điểm, Yên Mỹ, Hng Yên
23
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Giải hệ phương trình mới nhận được ta có:
2
2 3 2
3 2
2
5 5

4 4

5 5 5 5
4 4 4 4
5
0 0;
4 4
5 1 3
;
4 2 2
a ab b b a
a b a a a a
a
a a a b
b a a b
 
+ + = − = − −
 
 
⇔
 
 
+ = − − − − − = −
 
 
 
+ + = = = −
 

⇔ ⇔





= − − = − = −


 
* Với
0
5
4
a
b
=



= −


, ta được
3
2 2
3
3
10
0
2
5 5

100
4 4
4
x
x y y x
xy x
y

 
=
+ = = −

  
⇔ ⇔
  
= − =
  
= −
 


* Với
1
2
3
2
a
b

= −





= −


, ta được:
2
2
3
1
1
1
2
2
3
3
2 3 0
2
2
x
x y
y x
y
xy
x x


=

+ = −


= − −
  
⇔ ⇔
  
= −
  
= −
+ − =




Vậy hệ đã cho có hai nghiệm :
3 3
10 100 3
; ; 1; .
2 4 2
 
 
− −
 ÷
 ÷
 
 
Nhận xét:
Qua ví dụ này cho thấy với kiến thức lớp 9, học sinh hoàn toàn có thể tiếp
cận được đến việc giải các hệ không mẫu mực ngay cả trong đề thi vào các

trường Đại học. Rõ ràng với phương pháp đặt ẩn phụ giúp chúng ta giải được
nhiều hệ tương đối phức tạp bằng cách đưa về việc giải các hệ đơn giản hơn.
Ví dụ 5. Giải hệ phương trình sau:
( )
2
1 1 4 3.
3
2
2
x y x y x y
x y

+ + + = + + +


− =



Lời giải:
* ĐK:
0x y+ ≥
* Đặt
; 0.t x y t= + ≥
Khi đó phương trình thứ nhất của hệ trở thành :
( ) ( )
( )
1 2
2 1 2 1
1 3

1
1 2 2 1 0
1 3
1 1
(Do 0 nên 2 1 0).
2
1 3
t
t t
t t
t t
t t
t t t
t t
−
= − +
+ +
 
⇔ − + + =
 
+ +
 
⇔ = ≥ + + >
+ +
Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n HiÕn - THCS §oµn ThÞ §iÓm, Yªn Mü, Hng Yªn
24
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÔNG MẪU MỰC DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Do đó hệ đã cho trở thành
2
1

3
2
3 1
2
2 6
x
x y
x y y


=
+ =


 
⇔
 
 
− = = −





Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất:
2 1
;
3 6
 
−

 ÷
 
.
Nhận xét:
- Trong ví dụ trên việc đặt ẩn phụ lại không tiến hành theo lối thông
thường, là biến đổi hệ để xuất hiện biểu thức đặt ẩn phụ mà việc đặt ẩn
phụ chỉ tiến hành ở phương trình thứ nhất của hệ nhằm đưa phương
trình thứ nhất về dạng đơn giản, nhờ đó mà ta giải được hệ phương
trình.
- Như vậy có thể nói, việc đặt ẩn phụ đòi hỏi người giải toán phải hết
sức linh hoạt trong việc chọn giải pháp biến đổi hệ đã cho nhằm xuất
hiện bộ phận cần đặt ẩn phụ. Cũng có khi việc đặt ẩn phụ chỉ nhằm
mục đích biến đổi một phương trình của hệ thành phương trình mới
tương đương với với phương trình ban đầu nhưng ở dạng đơn giản
hơn, chính vì vậy giúp ta có thể giải được hệ phương trình đề toán đặt
ra.
BÀI TẬP.
Giải các hệ phương trình sau:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2 2
2
2 2

2 2
2 2
1
1 5
1 4
1) 2)
1 2
1
4
15
2 4
3) 4)
1 1
3
85
3
2.
1
5)
x y
x y y x y
xy
x y x y
xy
xy
x y
x y
x y y x xy
y x
x

x y
x xy y
x y
y x
y
x y x

 
+ + =

 ÷

+ + + =
 
 
 
+ + − =
 

+ =



 
+ + =

 + + =
 ÷
 
 

 
+ + =
 
 
+ + =

 ÷

 

+
+ −



( )
( )
2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
2
2 2
1
1
2 2

6)
4. 22
2 2
12
1 2
7) 8)
1
12
3
9)
7
x x
y
x
x y
y y x y
y
x y x y
x y x y xy
x x y xy y xy
y x y
x xy y x y
x xy y x y

=


+ − =
 
 

 
+ + =
− − = −




+ + − =

+ + = +
 
 
+ + = + +

− =




− + = −


+ + = −





2
2

3
2 3
1 1
1 4
10)
1
4
x x
y y
x x
x
y y y

 
+ + + =

 ÷

 


+ + = −



Gi¸o viªn: NguyÔn V¨n HiÕn - THCS §oµn ThÞ §iÓm, Yªn Mü, Hng Yªn
25