Đề thi đậi học môn toán khối A năm 2010 & đáp án

1
ĐÁP ÁN ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC 2010
MÔN TOÁN – KHỐI A
I – PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH
Câu I:
( )
3 2
y x 2x 1 m x m= − + − +
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
Khi m = 1 .hàm số là
3 2
2 1y x x= − +
Tập xác định :
¡
Chiều biến thiên :
' 2
3 4y x x= −
'
0,( 1)
0
4 5
,( )
3 27
x y
y
x y
= =


= ⇔


= = −

lim , lim
x x
y y
→+∞ →−∞
= +∞ = −∞
Bảng biến thiên:
Cực trị :
ax
1
m
y =
tại
0x =

min
5
27
y = −
tại
4
3
x =
Đồ thị :
Điểm uốn :
'' 6 4y x= −
triệt tiêu và đổi dấu tại
2
3

x =
, đồ thị có điểm uốn
2 11
;
3 27
U
 
 ÷
 
Giao với các trục:
0 1x y= ⇒ =
. Đồ thị cắt trục tung tại điểm
( )
0;1 .
3 2
1 5
0 2 1 0 1; =
2
y x x x x
±
= ⇒ − + = ⇒ =
Đồ thị cắt trục hoành tại ba điểm có hoành độ
1 5
1,
2
x x
±
= =
2
Vẽ đồ thị

2) Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số (1) và Ox
( )
3 2
x 2x 1 m x m 0− + − + =
( )
( )
2
x 1 x x m 0⇔ − − − =
2
x 1 0 (2)
g(x) x x m 0 (3)
− =

⇔

= − − =

Gọi x
1
là nghiệm pt (2) và x
2
, x
3
là nghiệm pt (3).
Yê u cầu bài toán :
( )
2 2 2 2
1 2 3
2 3 2 3
0 1 4m 0

g(1) 0 m 0
x x x 4
1 x x 2x x 0


∆ > + >



≠ ⇔ ≠
 
 
+ + <
+ + − <



1
m
1 1
4
m 0 m 1
m 0
4 4
m 1 m 0
1 1 2m 4
−

>


− −
 
< ≠ < <

 
⇔ ≠ ⇔ ⇔
  
  
< ≠
+ + <
 


Câu II
1)
( )
 
π
+ + +
 ÷
 
=
+
1 sinx cos2x sin x
4
1
cosx
1 tanx
2
. Điều kiện:


≠

≠ −

cosx 0
tanx 1
pt
( ) ( )
+ + +
⇔ =
+
1 sinx cos2x sinx cosx
cosx
sinx
1
cosx
( ) ( )
+ + +
⇔ =
+
cosx 1 sinx cos2x sinx cosx
cosx
cosx sinx
⇔ + + =1 sinx cos2x 0
⇔ + =
2
2cos x sinx 0
( )
⇔ − + =

2
2 1 sin x sinx 0
3
⇔ − − =
2
2sin x sinx 2 0

+
=


⇒

−
=


1 17
sinx >1 (loaïi)
4
1 17
sinx (thoûa ñk)
4
( )

 
−
= + π

 ÷

 ÷

 
⇒ ∈

 
−

= π− + π
 ÷

 ÷
 

1 17
x arcsin k2
4
k Z
1 17
x arcsin k2
4
.
2)
( )
−
≥
− − +
2
x x
1

1 2 x x 1
Ta có:
( ) ( )
 
 
 
− + = − + ≥ ⇒ − − + <
 ÷
 
 
 
2
2 2
1 3 3
2 x x 1 2 x 1 2 x x 1 0
2 4 2
bpt
( )
⇔ − ≤ − − +
2
x x 1 2 x x 1

( )
( )
⇔ − + ≤ + −
2
2 x x 1 x 1 x
( )
( )
( )

 
⇔ − + ≤ + −
 
 
2
2
2 1 x x x 1 x
( )
( )
( )

+ − ≥

⇔

− − ≤


2
x 1 x 0
1 x x 0

+ − ≥

⇔

− =


x 1 x 0

1 x x
−
⇒ =
3 5
x
2
Câu III
( )
2 x x
1 1 1
2 x 2 x x
2
x x x
0 0 0
x 1 2e e
x e 2x e e
I dx dx x dx
1 2e 1 2e 1 2e
+ +
 
+ +
= = = +
 ÷
+ + +
 
∫ ∫ ∫
1 1
0 0
1 1 1 2e
3 x

ln
3 2 3
1 1
x ln1 2e
3 2
+
 
= + = +
 ÷
 
+
Vậy
1 1 1 2e
I ln
3 2 3
+
 
= +
 ÷
 
4
H
M
N
D
B
A
C
S
K

Câu IV
+ Ta có: SH ⊥ (ABCD) 
S.CMND CMND
1
V SH.S
3
=
2 2 2
2
CMND ABCD CBM AMD
a a 5a
S S S S a
4 8 8
= − − = − − =
2 3
S.CMND
1 5a a 5 3
V a 3
3 8 24
⇒ = × × =
(đvtt)
+ Ta có : ∆CDN = ∆DAM
CN DM
DM (SCN) DM SC
SH DM
⊥

⇒ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥

⊥


Kẻ HK ⊥ SC  HK ⊥ MD  HK = d(DM, SC)
2 2 2
1 1 1
HK SH HC
= +

với
4 4 2
2
2
2
2
SH a 3
CD a 4a
CH
5a
CN 5
CN.CH CD
4

=

→ = = =

=


2 2 2 2
1 1 5 19 2a 3

HK
HK 3a 4a 12a
19
⇒ = + = ⇒ =
.
Câu V
( )
( )
( )
( )
 
+ + − − = + = − −
 
⇔
 
 
+ + − = + + − =
 
2 2
2 2 2 2
4x 1 x y 3 5 2y 0 4x 1 x 3 y 5 2y (1)
4x y 2 3 4x 7 4x y 2 3 4x 7 (2)
+ Điều kiện:

≤




≤



3
x
4
5
y
2
( )


= + ≤
= − − ≤
 
⇒ ⇒ ⇒ ≥
 
 
≥
≥


3
(1)
(1)
(1)
39
39
VT 4x x
VP 3 y 5 2y
(1) y 0

16
16
VP 0
x 0
Suy ra

≤ ≤




≤ ≤


3
0 x
4
5
0 y
2
5
a
2
a
2
2
a
a
H
N

M
D
C
B
A
+ Xét
( )
= +
2
1
f (x) 4x 1 x
tăng trên
 
 
 
3
0 ;
4
,
 
=
 ÷
 
1
f 1
2
( )
= − −
1
g (y) 3 y 5 2y

giảm trên
 
 
 
5
0 ;
2
,
( )
=g 2 1
+
= + −
2
2
f (x) 4x 2 3 4x
giảm trên
 
 
 
3
0 ;
4
=
2
2
g (y) y
tăng trên
 
 
 

5
0 ;
2
+ Với
≤ ≤
1
0 x
2
:
⇒ = < ⇒ >
1 1
(1) g (y) f (x) 1 y 2

 
> =

 ÷
⇒

 

> =

2 2
2 2
1
f (x) f 3
2
g (y) g (2) 4
⇒ >

(2) (2)
VT VP
+ Với
< ≤
1 3
x
2 4
:
 
⇒ = > = → <
 ÷
 
1 1
1
(1) g (y) f (x) f g(2) y 2
2

 
< =

 ÷
⇒

 

< =

2 2
2
1

f (x) f 3
2
g (y) g(2) 4
⇒ <
(2) (2)
VT VP
+
= ⇒ =
1
x y 2
2
.
Vậy nghiệm:

=



=

1
x
2
y 2
II – PHẦN RIÊNG
A. THEO CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN
Câu VIa
1)
+ =
1

(d ): 3x y 0
;
− =
2
(d ): 3x y 0
.
+
( )
∩ =
1 2
d d 0 0;0
+
( )
−
= =
1 2
3. 3 1
1
cos d ;d
2.2 2
·
⇒ =
0
AOC 60
(∆AOC vuông tại A).
⇒ = = =AC 2R ; AB R ; BC R 3
;
=
2R
OA

3
.
Theo gt:
= ⇒ = ⇔ = ⇒ =
ABC
3 AB.BC 3 2
S R 1 OA
2 2 2
3
6
Mà
( )
( )
∈ ⇒ −
1
A d A a; 3a
⇒ = ⇔ + = ⇔ =
2 2 2 2
4 4 4
OA a 3a 4a
3 3 3
⇔ =
1
a
3
(a > 0).
+

 
−


 ÷

 

⊥

3
3 1
1
qua A ; 1
(d ):
3
(d ) (d )

⇒ − − =
3
4
(d ):x 3y 0
3
.
+
 
−
∈
 ÷
 ÷
 
3
3t 4

T t; d
3
+
 
−
= + = ⇔ + =
 ÷
 ÷
 
2
2 2 2 2
7 3t 4 7
OT OA AT t
3 3 3

=


⇔ − − = ⇒

−
=


1
2
2
5 3
t
6

12t 8 3t 5 0
3
t
6
Vậy
( )
 
 
− + + =
 ÷
 ÷
 ÷
 
 
2
2
1
5 3 1
T : x y 1
6 2
và
( )
 
 
+ + + =
 ÷
 ÷
 ÷
 
 

2
2
2
3 3
T : x y 1
6 2
2)
x 1 y z 2
:
2 1 1
− +
∆ = =
−
;
( )
P : x 2y z 0− + =
Phương trình tham số:
x 1 2t
: y t (t )
z 2 t
= +


∆ = ∈


= − −

¡
+ Vì

( )
C P= ∆∩
. Tọa độ điểm C thỏa hệ:
x 1 2t t 1
y t x 1
z 2 t y 1
x 2y z 0 z 1
= + = −
 
 
= = −
 
⇒
 
= − − = −
 
 
− + = = −
 
( )
C 1; 1; 1⇒ − − −
+
( )
M 1 2t;t; 2 t+ − − ∈∆
,
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
MC 6 2t 2 t 1 t 1 6= ⇔ + + + + − − =
( )

( )
1
2
2
t 0 M 1;0; 2
6t 12t 0
t 2 M 3; 2;0
= → −
⇔ + = ⇔

= − → − −


+
( )
( )
( )
( )
1 2
1 0 2
6
d M , P d M , P
6
1 4 1
− −
= = =
+ +
. Vậy
( )
( )

6
d M, P
6
=
.
Câu VIIa
7
Tìm phần thực, ảo của z:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
z 2 i 1 2i
2 2 2i i 1 2i
1 2 2i 1 2i
1 2i 2 2i 4i 5 2i
= + −
= + + −
= + −
= − + − = +
z 5 2i⇒ = −
Phần thực của z là a = 5; phần ảo của z là
b 2= −
.
B. THEO CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO
Câu VIb
1) Đặt
d : x y 4 0+ − =

+
A d : x y 0∈∆ ⊥ ⇒ ∆ − =
+ Gọi
( )
H d H 2;2= ∆∩ ⇒
+ Gọi I là trung điểm BC
suy ra H là trung điểm IA  I(-2; -2)
+ Đường thẳng (BC) qua I và song song d
 (BC): x + y + 4 = 0.
+
( )

− −

∈ ⇒

− −


B b ; b 4
B,C BC
C(c ; c 4)
+
( )
AB b 6; b 10= − − −
uuur
;
( )
EC c 1; c 1= − − −

uuur
.
Ta có:


=



uuur uuur
AB.EC 0
I laø trung ñieåm BC
( ) ( ) ( ) ( )

− − + + + =

⇔

+ = −


b 6 c 1 b 10 c 1 0
b c 4
  
+ + = = = −
⇔ ⇔ ∨
  
+ = − = − =
  
bc 2c 8 0 c 2 c 4

b c 4 b 6 b 0
( ) ( )
⇒ − −B 6;2 ;C 2; 6
hay
( ) ( )
− −B 0; 4 ;C 4;0
.
2)
( )
A 0;0; 2−
,
x 2 y 2 z 3
:
2 3 2
+ − +
∆ = =
+ (d) qua M(-2;2;-3), vtcp:
( )
a 2;3;2=
r
+
( )
MA 2; 2;1= −
uuuur
+
( )
a;MA 7;2; 10 a;MA 49 4 100 153
   
= − ⇒ = + + =
   

r uuuur r uuuur
+
a 4 9 4 17= + + =
r
( )
a;MA
153
d A, 3
17
a
 
 
∆ = = =
r uuuur
r
.
8
d
H
M
I
B
C
A
E
Mà
= ∆ + = + =
2
2 2
BC

R d (A, ) 9 16 25
4
Suy ra mặt cầu
( ) ( )
2
2 2
S : x y z 2 25+ + + =
Câu VIIb
Ta có

( ) ( )
( )
3
2 3
2 2
1 3i 8 3 3i 3i 1 i
1 3 3i 3.3.i 3i
z
1 i 1 i 2
8 8i 3 3i 3 3i 3i 3i 11 3 3 5i 3 3i
2 2
− − − + +
− + −
= = =
− −
− − − − + + − + − −
= =
11 3 3 5 3 3
a ; b
2 2

− + +
⇒ = =
Ta có:
( ) ( )
z iz a bi i a bi a b a b i+ = − + + = − + −
2 2
2 2
11 3 3 5 3 3 11 3 3 5 3 3
8 8 8 2
2 2 2 2
   
− + + − + +
= − + − = + =
 ÷  ÷
   
9