Đáp án đề thi đại học môn Toán khối A năm 2013

Hướng dẫn giải đề thi Đại học khối A môn Toán 2013


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -


HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI ĐẠI HỌC THPT NĂM 2013

MÔN TOÁN HỌC


Câu 1.

32
3 3 1y x x mx    

a.
Khi m = 0 ta có hàm số:
32
3 1( )y x x C   

TXD: D = R

'2
'
36
0
0
2

y x x
x
y
x
  







* Bảng biến thiên

x
-


0
2 +


y’ - 0 + 0 -
y
+




-1

3

-



+ Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng
   
,0 ; 2; 

+ Hàm số đồng biến trên (0, 2)

* Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại
23
CD CD
xy  

Hàm số đạt cực tiểu tại
01
CT CT
xy   

* Đồ thị hàm số:

''
''
66
0 1 (1) 1

yx
y x y
  
    

Suy ra điểm uốn U (1, 1)

+ (C) giao với trục Oy: (0; -1)

Điểm cực đại: (2; 3)

Điểm cực tiểu: (0; -1)
Hướng dẫn giải đề thi Đại học khối A môn Toán 2013


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2 -



b.


32
22
3 3 1 (1)
' 3 6 3 3( 2 )
y x x mx
y x x m x x m

    
       

Để hàm số (1) nghịch biến trên
 
0; 
thì
'0y 
trên
 
0; 
hay :

2
2
2 0 (0; )
2 (0; ) (*)
x x m x
m x x x
      
     

Xét
2
( ) 2g x x x
trên
 
0; 

'( ) 2 2
'( ) 0 1
g x x
g x x

  

Bảng biến thiên:

x 0
1


g'(x) - 0 +
g(x)


-1

(*) Xảy ra khi
(0; )
min ( ) 1
x
m g x
 
   

Kết luận
1m 

Câu 2:

1 + tanx =
2 2sin( ) (1)
4
x



ĐKXĐ: cosx

0.

(1)  1+
sinx
cos x

2 2 sin( )
4
x



 (sinx + cosx) =
2 2.cos .sin( )
4
xx




2
sin( )
4
x


=
2 2.cos .sin( )
4
xx



Hướng dẫn giải đề thi Đại học khối A môn Toán 2013


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 3 -



sin( )
4
x


[1-2 cosx]=0


sin( ) 0
44
4
1
22
cos
33
2
x k x k
x
x k x k
x






   

 

    


Kết hợp điều kiện cosx
0
thấy các nghiệm đều thỏa mãn.

Kết luận: nghiệm của phương trình là:
4
xk




;
2
3
xk






Câu 4

2
2
2
1
2 2 2
22
1 1 1
22
1
11
2 2 2

2
22
1 1 1
12
1
ln
11
(1 )ln ln ( )ln
2 2 2
ln ln ln 2ln 2 1
1 1 1
2
1 1 ln 1
( )ln ln ( )
1
2
ln2 1 ln2 1
()
1
22
53
ln2
22
x
I xdx
x
xdx xdx xdx
xx
x
I xdx x x dx x x x

x
x
I xdx xd dx
x x x x
x
I I I


    
      

   

  
   

  

  



Câu 5.

Hướng dẫn giải đề thi Đại học khối A môn Toán 2013


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 4 -

Tính
SABC
V

Gọi H là trung điểm của BC. Suy ra SH vuông góc với BC

Vì
( ) ( )
( ) ( )
()
SBC ABC
SBC ABC BC
SH BC SH ABC






  


Tam giác SBC đều cạnh = a suy ra SH =
3
2
a

Tam giác ABC vuông góc tại A, góc ABC =
0
30
, BC = a suy ra AB =
0
3
. os30
2
a
BC c 

Và AC =
2
a

Suy ra
3
1 1 1 1 3 3
. . . . . . ( )
3 3 2 6 2 2 2 16
SABC ABC
a a a a
V SH S SH AB AC dvtt   

Tính khoảng cách từ C đến (SAB)

Ta có: AH =
22
BC a


Tam giác SAH vuông tại H suy ra
22
22
3
44
aa
SA SH AH a    

Tam giác SHB vuông tại H suy ra
22
22
3
44
aa
SB SH HB a    

Hướng dẫn giải đề thi Đại học khối A môn Toán 2013


Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 5 -


Suy ra tam giác SHB cân tại S. Gọi M là trung điểm của AB suy ra SM =
2
2
2 2 2 2
3 3 13

4 16 4
a
a a a
SB BM a a

     




Suy ra diện tích tam giác
2
1 1 13 13 39
. . ( )
2 2 4 2 16
SAB
a a a
S SM AB dvdt  

Ta có
3
..
1
( ,( )).
3 16
S ABC C SAB SAB
a
V V d C SAB S  

3

3
2
3
3 16 3 39
16
( ,( )) .
16 13
39 39
SAB
a
a a a
d C SAB
S
a
    


Câu 8a.
6 1 2
:
3 2 1
x y z  
  


Mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với


Mặt phẳng (P) có vtpt :
//

p
nu
= (-3; -2; -1)

Phương trình mặt phẳng (P): -3(x – 1) – 2(y-7) + 1(z-3) = 0

 -3x – 2y + z +14 = 0

M ∈


63
12
2
xt
M y t
zt



   


  


2 30AM 
 AM
2
= 120


2
14 8 6 0tt  


1 (3; 3; 1)
3 51 1 17
( ; ; )
7 7 7 7
tM
tM
   




   


Câu 8b..

Mặt cầu (S) có tâm I (1;-2;1) bán kính
14R 

 
2 2 2
2.1 3.( 2) 1.1 11
14
; 14

14
2 3 1
d I P R
   
   


Mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S).

Lập phương trình đường thẳng d đi qua I (1;-2;1) và
()mp P

Ta có véc tơ chỉ phương
d
u
//
d
u

12xt

23yt  

1zt

 
tR

Tọa độ tiếp điểm mà M là giao của d và (S);
()MP

           
2 2 2
1 2 2 3 1 2 1 2 4 2 3 2 1 8 0t t t t t t              