Đề và ĐA môn Toán thi 10 - Thái Bình-2010

Sở Giáo dục và đào tạo
Thái bình
Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 trung học phổ thông
Năm học 2010 2011
Môn thi : Toán
Thời gian làm bài 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1. (2,0 điểm)
1. Rút gọn biểu thức:
3 1 x 9
A .
x x x x 3 x


= +
ữ
+

với x > 0, x

9
2. Chứng minh rằng:
1 1
5. 10
5 2 5 2

+ =
ữ
+

Bài 2. (2,0 điểm)
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đờng thẳng (d): y = (k - 1)x + n và 2 điểm

A(0; 2) và B(-1; 0)
1. Tìm giá trị của k và n để :
a) Đờng thẳng (d) đi qua 2 điểm A và B.
b) Đờng thẳng (d) song song với đờng thẳng (

) : y = x + 2 k
2. Cho n = 2. Tìm k để đờng thẳng (d) cắt trục Ox tại điểm C sao cho diện tích tam
giác OAC gấp hai lần diện tích tam giác OAB.
Bài 3. ( 2,0 điểm)
Cho phơng trình bậc hai: x
2
2mx +m 7 = 0 (1) với m là tham số
1. Giải phơng trình với m = -1
2. Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có hai ngiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
3. Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn hệ thức
1 2
1 1
16
x x
+ =
Bài 4 . ( 3,5 điểm)
Cho đờng tròn (O;R) có đờng kính AB vuông góc với dây cung MN tại H ( H nằm
giữa O và B). Trên tia MN lấy điểm C nằm ngoài đờng tròn (O;R) sao cho đoạn thẳng AC
cắt đờng tròn (O;R) tại điểm K khác A, hai dây MN và BK cắt nhau tại E.
1. Chứng minh tứ giác AHEK là tứ giác nội tiếp và

CAE đồng dạng với

CHK
2. Qua N kẻ đờng thẳng vuông góc với AC cắt tia MK tại F. Chứng minh

NFK cân.
3. Giả sử KE = KC. Chứng minh : OK // MN và KM
2
+ KN
2
= 4R
2
.
Bài 5 . ( 0,5 điểm)
Cho a, b, c là các số thực không âm thoả mãn : a + b + c = 3. Chứng minh rằng:
( ) ( ) ( )
3 3 3
3
a 1 b 1 c 1
4
+ +
Hết
Họ và tên thí sinh:Số báo danh:.
Giám thị 1: Giám thị 2: .
Sở Giáo dục và đào tạo
Thái bình
(Gồm 04 trang)
Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 trung học phổ thông
Năm học 2010 2011
Hớng dẫn chấm môn Toán

Bài 1. (2,0 điểm)
1. Rút gọn biểu thức:
3 1 x 9
A .
x x x x 3 x


= +
ữ
+

với x > 0, x

9
2. Chứng minh rằng:
1 1
5. 10
5 2 5 2

+ =
ữ
+

Câu Nội dung Điểm
1
x
x
xxx
A
9

.
3
1
3
3








+
+

=
x
x
xxx
A
9
.
3
1
)3(
3

+
+

=
x
xx
xxx
xxx
A
)3)(3(
.
)3)(3(
393 +
+
++
=
xxxx
xxx
A
)3)(3(
)3)(3).(9(
+
++
=
x

x
A
9+
=
0,25
0,25
0,25
0,25
2 Biến đổi vế trái:
)
25
1
25
1
(5
+
+

=VT

)25)(25(
2525
5
+
++
=
=
10
45
52

5 =

0,5
0,5
Bài 2. (2,0 điểm)
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đờng thẳng (d): y = (k - 1)x + n và 2 điểm A(0;
2) và B(-1; 0)
1. Tìm giá trị của k và n để :
a) Đờng thẳng (d) đi qua 2 điểm A và B.
b) Đờng thẳng (d) song song với đờng thẳng (

) : y = x + 2 k
2. Cho n = 2. Tìm k để đờng thẳng (d) cắt trục Ox tại điểm C sao cho diện tích tam
giác OAC gấp hai lần diện tích tam giác OAB.
Câu Nội dung Điểm
1a Đờng thẳng (d) đi qua điểm A(0; 2)

n = 2 0,25
Đờng thẳng (d) đi qua điểm B (-1; 0)

0 = (k -1) (-1) + n


0 = - k + 1 +2


k = 3 0,25
Vậy với k = 3; n = 2 thì (d) đi qua hai diểm A và B 0,25
1b
Đờng thẳng (d) song song với đờng thẳng (

) : y = x + 2 k






=
nk
k
2
11






=
0
2
n
k
Vậy với




=

0
2
n
k
thì Đờng thẳng (d) song song với đờng thẳng (

)
0,25
0,25
0,25
2 Với n = 2 phơng trình của (d) là: y = (k - 1) x + 2
đờng thẳng (d) cắt trục Ox

k - 1 0

k 1
0,25
Giao điểm của (d) với Ox là
)0;
1
2
(
k
C

(
)
C(
2
1-k

; 0)
B(-1; 0)
A(0;2)
x
y
O
1
2
các

OAB và OAC vuông tại O
OCOAS
OAC
.
2
1
=
;
OBOAS
OAB
.
2
1
=
S
OAC
= 2S
OAB

OC = 2.OB


Bc
xx .2=


1.2
1
2
=
k








==

==

22
1
2
02
1
2

k
k
k
k
( thoả mãn)
Vậy với k = 0 hoặc k = 2 thì
S
OAC
= 2S
OAB

0,25
Bài 3. ( 2,0 điểm)
Cho phơng trình bậc hai: x
2
2mx + m 7 = 0 (1) với m là tham số
1. Giải phơng trình với m = -1
2. Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có hai ngiệm phân biệt với mọi giá trị của m.
3. Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn hệ thức
1 2
1 1
16
x x
+ =
Câu Nội dung Điểm
1 Với m = -1 ta có pT: x

2
+ 2x -8 = 0


' = 1
2
- 1(-8) = 9

x
1
= - 1 +
9
= 2; x
2
= -1 -
9
= -4
Vậy với m = - 1phơng trình có hai nghiệm phân biệt x
1
= 2; x
2
= - 4
0,25
0,25
0,25
2

' = m
2
- m + 7

4
27
)
2
1
(
2
+= m
> 0 với mọi m
Vậy pt(1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m
0,25
0,25
0,25
3 Vì pt(1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m
nên theo Viet ta có:



=
=+
7
2
21
21
mxx
mxx
Theo bài ra
1 2
1 1

16
x x
+ =



16
21
21
=
+
xx
xx



16
7
2
=
m
m

m = 8
KL: m = 8
0,25
0,25
Bài 4 . ( 3,5 điểm)
Cho đờng tròn (O;R) có đờng kính AB vuông góc với dây cung MN tại H ( H nằm
giữa O và B). Trên tia MN lấy điểm C nằm ngoài đờng tròn (O;R) sao cho đoạn thẳng AC

cắt đờng tròn (O;R) tại điểm K khác A, hai dây MN và BK cắt nhau tại E.
1. Chứng minh tứ giác AHEK là tứ giác nội tiếp và

CAE đồng dạng với

CHK
2. Qua N kẻ đờng thẳng vuông góc với AC cắt tia MK tại F. Chứng minh

NFK cân.
3. Giả sử KE = KC. Chứng minh : OK // MN và KM
2
+ KN
2
= 4R
2
.
Câu Nội dung Điểm
F
E
N
M
C
K
O
A
B
H
h1

T

E
N
M
C
K
O
B
A
H
h2
1 Ta có

AKE = 90
0
( .)
và

AHE = 90
o
( vì MN

AB)



AKE +

AHE = 180
0

AHEK là tứ giác nọi tiếp
0,25
0,25
0,25
0,25
Xét

CAE và

CHK có :


C là góc chung

CAE =

CHK ( cùng chắn cung KE)



CAE



CHK (gg)
0,25
0,25
2 ta có NF

AC; KB

AC

NF // KB



MKB =

KFN (1)( đồng vị)
và

BKN =

KNF (2) (slt)
mà MN

AB

Cung MB = cung NB



MKB =

BKN (3)
Từ 1,2,3

KFN =

KNF



NFK cân tại K
0,25
0,25
0,25
0,25
3 Nếu KE = KC



KEC vuông cân tại K



KEC = 45
0



ABK = 45
0


Sđ cung AK = 90

0

0,25

K là điểm chính giữa cung AB

KO

AB
mà MN

AB
nên OK // MN 0,25
Kẻ đờng kính MT
chứng minh KT = KN 0,25
mà

MKT vuông tại K nên KM
2
+ KT
2
= MT
2

hay KM
2
+ KN
2
= (2R)
2

hay KM
2
+ KN
2
= 4R
2
0,25
Bài 5 . ( 0,5 điểm)
Cho a,b,c là các số thực không âm thoả mãn : a + b + c = 3. Chứng minh rằng:
( ) ( ) ( )
3 3 3
3
a 1 b 1 c 1
4
+ +
Câu Nội dung Điểm
Đặt x = a - 1; y = b - 1; z = c - 1
Đ/K x

-1 ; y

- 1; z

- 1

x + y + z = 0
và VT = x
3
+ y
3

+z
3
= 3xyz