Vật lý đại cương A1 pdf

Nguyễn Phước Lân













VẬT LÝ ĐẠI CƯƠNG A1
(Bài giảng tại Đại học Sư phạm kỹ thuật)














LƯU HÀNH NỘI BỘ

Tp. HCM – 2011
- 2 -





Phần 1. CƠ HỌC

Cơ học là một phần của vật lý học, nghiên cứu dạng chuyển động cơ học
của vật chất.

Chương 1. Động học chất điểm

Động học là một phần của cơ học, nghiên cứu những đặc trưng của
chuyển động và những dạng chuyển động khác nhau của vật thể vĩ mô.

1.1. Những khái niệm mở đầu

1.1.1. Chuyển động và hệ quy chiếu
Chuyển động của một vật là sự chuyển dời vị trí của vật đó đối với các
vật khác trong không gian, theo thời gian.
Để nhận biết vật có chuyển động hay không, ta phải so sánh vị trí của nó
với một vật bất kỳ được coi là đứng yên và được chọn làm chuẩn. Vật được
chọn này gọi là vật quy chiếu. Để xác định vị trí của vật trong không gian
người ta gắn với vật quy chiếu này một hệ tọa độ và để xác định được thời
gian trôi qua, người ta gắn với vật quy chiếu một đồng hồ đo thời gian.
Tập hợp hệ tọa độ và đồng hồ gắn với vật quy chiếu được gọi là hệ quy
chiếu.
Chuyển động có tính tương đối. Một vật đứng yên hay chuyển động

hoàn toàn phụ thuộc vào hệ quy chiếu mà ta đã chọn.
1.1.2. Chất điểm và hệ chất điểm
Chất điểm là một vật có kích thước nhỏ không đáng kể so với những
khoảng cách, kích thước mà ta đang khảo sát. Khi xem xét như vậy, ta coi
toàn bộ khối lượng của vật tập trung vào một điểm. Việc coi một vật có phải
là chất điểm hay không, phụ thuộc vào điều kiện bài toán mà ta đang xem xét.
Một tập hợp chất điểm được gọi là một hệ chất điểm.
1.1.3. Bán kính véctơ
Chọn một hệ quy chiếu và ký hiệu gốc
của hệ tọa độ trong hệ quy chiếu đó là 0.
Xét chuyển động của một vật (chất điểm)
trong hệ quy chiếu đó. Tại một thời điểm
nào đó, chất điểm đang ở tại một vị trí,
được ký hiệu là M. Vị trí M của chất điểm
có thể được biểu diễn một cách đơn trị bởi
một véctơ, được kẻ từ gốc tọa độ 0 đến
điểm M. Véctơ này được gọi là bán kính
véctơ và ký hiệu là r. Rõ ràng, hai điểm
phân biệt không thể có cùng một bán kính
véctơ và một bán kính véctơ r kẻ từ 0
không thể chỉ đến hai điểm khác nhau.
r
0

x
y
M

z

- 3 -





Có thể biểu diễn bán kính véctơ này trong một hệ tọa độ thông dụng nhất
là hệ tọa độ Đềcác. Hệ tọa độ này có gốc tọa độ tại điểm 0 và gồm có 3 trục
0x, 0y, 0z vuông góc với nhau từng đôi một, hợp thành một tam diện thuận.
Hệ tọa độ Đềcác này được ký hiệu là 0xyz.
Trong hệ tọa độ, vị trí của chất điểm M tại thời điểm nào đó được đặc
trưng bởi 3 tọa độ x, y, z của điểm M (là hình chiếu của đoạn thẳng 0M lên 3
trục 0x, 0y, 0z).
Ký hiệu i, j, k là những véctơ đơn vị hướng theo các trục 0x, 0y, 0z tương
ứng, ta có thể biểu diễn
r = x i + y j + z k
1.1.4. Phương trình chuyển động của chất điểm
Khi chất điểm chuyển động, tọa độ của nó thay đổi theo thời gian. Như
vậy, trong trường hợp tổng quát, chuyển động của chất điểm được xác định
bởi 3 phương trình
x = x(t), y = y(t), z = z(t)
Các phương trình trên được gọi là phương trình động học chuyển
động của chất điểm.
Khi chất điểm chuyển động, bán kính véctơ của nó thay đổi, là một hàm
véctơ của thời gian
r = r (t)
Phương trình véctơ này tương đương với các phương trình động học
chuyển động của chất điểm nêu ở trên.
1.1.5. Quỹ đạo chuyển động của chất điểm
Quỹ đạo chuyển động của một chất điểm là một đường tạo bởi tập hợp

tất cả các vị trí của chất điểm đó trong không gian trong suốt quá trình
chuyển động.
Quỹ đạo của chuyển động có thể thu được từ các phương trình chuyển
động
x = x(t), y = y(t), z = z(t)
Ví dụ, đối với chuyển động hai chiều
x = x(t), y = y(t)
Từ phương trình thứ nhất, ta có thể biểu diễn
t = x
-1

Thay vào phương trình thứ hai, ta được
y = y(t) = y(x)
Phương trình, biểu diễn mối liên hệ giữa các tọa độ x và y của quỹ đạo chất
điểm, được gọi là phương trình quỹ đạo.
Tuỳ thuộc vào dạng của quỹ đạo mà chuyển động được gọi là chuyển động
thẳng hay là chuyển động cong.
1.1.6. Hoành độ cong và độ dài quãng đường
Xét chuyển động của một chất điểm dọc theo một quỹ đạo bất kỳ. Chọn
một điểm A nào đó cố định trên quỹ đạo làm gốc, chọn một chiều nào đó của
quỹ đạo làm chiều dương và chọn thời điểm ban đầu (t = 0) là thời điểm khi
chất điểm ở vị trí A. Khi đó, tại mỗi thời điểm t, vị trí M của chất điểm sẽ
được xác định bởi cung AM, ký hiệu là s. Ta gọi s là hoành độ cong của M.
- 4 -





Khi M chuyển động s là hàm của thời gian

s = s (t)
Nếu chiều dương được chọn là chiều AM, thì s khi đó có giá trị dương và
đoạn quỹ đạo AM được gọi là độ dài quãng đường.
Độ dài của đoạn quỹ đạo AM, mà
chất điểm đi được trong khoảng thời
gian t, được gọi là độ dài quãng
đường. Độ dài quãng đường là một đại
lượng dương, ký hiệu là S, và là một hàm
vô hướng của thời gian S = S(t).
Trong hệ SI, độ dài được đo bằng đơn
vị mét (m).

1.2. Véctơ vận tốc và véctơ gia tốc

1.2.1. Véctơ vận tốc
Vận tốc là đại lượng đặc trưng cho mức độ nhanh chậm của chuyển
động chất điểm.
a/ Véctơ vận tốc trung bình
Xét một chất điểm đang chuyển
động trong một hệ quy chiếu nào đó.
Tại thời điểm t
1
= t chất điểm ở tại
vị trí có bán kính véctơ r
1
, tại thời
điểm t
2
= t+t chất điểm ở tại vị trí
có bán kính véctơ r

2
. Sau khoảng
thời gian t bán kính véctơ thay đổi
một lượng bằng r = r
2
- r
1
. r
được gọi là véctơ dịch chuyển của
chất điểm sau khoảng thời gian t.
Tỉ số giữa véctơ dịch chuyển r và khoảng thời gian t được gọi là
véctơ vận tốc trung bình của chất điểm trong khoảng thời gian t. Véctơ
vận tốc trung bình được ký hiệu là V
tb

V
tb
=
t
r



b/ Véctơ vận tốc tức thời
Muốn biết độ nhanh chậm và phương chiều của chuyển động chất điểm tại
một thời điểm, ta phải sử dụng véctơ vận tốc tức thời.
Giới hạn của tỉ số giữa véctơ dịch chuyển r của chất điểm và khoảng
thời gian t khi t  0 được gọi là véctơ vận tốc tức thời của chất điểm
tại thời điểm t. Véctơ vận tốc tức thời được ký hiệu là V
V =

lim
0t
t
r



Ta có thể cho rằng
r = r
2
- r
1
= r(t+t) – r(t)
M
A
0
r
r


r

z
y
x
- 5 -

Do đó
V =
lim
0t
t
trttr




)()(


=
dt
rd


Như vậy, véctơ vận tốc tức thời của chất điểm bằng đạo hàm bậc nhất
theo thời gian của bán kính véctơ của chất điểm.
Véctơ vận tốc có phương trùng với phương của tiếp tuyến quỹ đạo
chuyển động của chất điểm tại điểm r
1
, có chiều trùng với chiều của
chuyển động.
Rõ ràng, khi t  0, r trùng với độ dài quãng đường S. Do đó
V = V =
lim
0t

t
r


=
lim
0t
t
S


=
lim
0t
t
tSttS




)()(
=
dt
dS

Độ lớn của véctơ vận tốc bằng đạo hàm bậc nhất theo thời gian của
quãng đường chất điểm chuyển động. Độ lớn của véctơ vận tốc còn được
gọi là tốc độ.
c/ Biểu thức giải tích của véctơ vận tốc
Trong một hệ tọa độ Đềcác, ta có

r = x i + y j + z k
Lấy đạo hàm bậc nhất theo thời gian biểu thức trên, ký hiệu
V
x
=
dt
dx
, V
y
=
dt
dy
, V
z
=
dt
dz

Ta được
V = V
x
i + V
y
j + V
z
k
Và V =
222
zyx
VVV 

Trong hệ SI, đơn vị đo vận tốc là m/s.
1.2.2. Véctơ gia tốc
Trong trường hợp chuyển động của chất điểm là không đều, cần thiết phải
biết vận tốc thay đổi như thế nào theo thời gian.
Gia tốc là đại lượng đặc trưng cho mức độ thay đổi theo thời gian của
vận tốc.
a/ Gia tốc trung bình
Xét chuyển động của một chất điểm. Tại thời điểm t
1
= t chất điểm ở vị trí
A, vận tốc của nó bằng V
1
. Tại thời điểm t
2
= t + t chất điểm ở vị trí B và có
vận tốc bằng V
2
. Vận tốc V
2
khác V
1
cả về độ lớn lẫn về phương. Độ biến
thiên của vận tốc sau thời gian t bằng
V = V
2
– V
1

Tỉ số giữa độ biến thiên của vận tốc V và khoảng thời gian t được
gọi là gia tốc trung bình của chất điểm trong khoảng thời gian t. Gia tốc

trung bình được ký hiệu là a
tb

a
tb
=
t
V





- 6 -





b/ Gia tốc tức thời
Giới hạn của tỉ số giữa độ biến thiên của vận tốc V và khoảng thời
gian t khi t  0 được gọi là gia tốc tức thời của chất điểm tại thời
điểm t. Gia tốc tức thời được ký hiệu là a
a =
lim
0t
t
V



=
lim
0t
t
tVttV

 )()(


=
dt
Vd

Như vậy, gia tốc tức thời là một đại lượng véctơ, bằng đạo hàm bậc
nhất theo thời gian của véctơ vận tốc.
c/ Biểu thức giải tích của véctơ gia tốc
Trong một hệ tọa độ Đềcác, ta có
V = V
x
i + V
y
j + V
z
k
Lấy đạo hàm bậc nhất theo thời gian biểu thức trên, ký hiệu
a
x
=
dt
dV

x
, a
y
=
dt
dV
y
, a
z
=
dt
dV
z

Ta được
a = a
x
i + a
y
j + a
z
k
Và a =
222
zyx
aaa 

Trong hệ SI, đơn vị đo gia tốc là m/s
2
.

d/ Gia tốc tiếp tuyến và gia tốc pháp tuyến
Vận tốc chuyển động của một chất điểm có thể thay đổi theo độ lớn và
theo phương. Xét một chất điểm chuyển động trên một quỹ đạo nào đó. Tại
thời điểm t chất điểm ở vị trí A, vận tốc của nó bằng V. Ký hiệu  là véctơ đơn
vị trên tiếp tuyến của quỹ đạo, ta có thể biểu diễn
V = V
Khi đó, ta có thể viết
a =
dt
Vd

=
dt
dV
 + V
dt
d



+ Gia tốc tiếp tuyến
Thành phần của gia tốc có phương trùng với phương của tiếp tuyến
quỹ đạo được gọi là gia tốc tiếp tuyến. Gia tốc tiếp tuyến được ký hiệu là a
t

a
t
=
dt
dV


Gia tốc tiếp tuyến có phương trùng với tiếp tuyến của quỹ đạo, có chiều
theo chiều của vận tốc nếu vận tốc tăng và ngược chiều với vận tốc nếu vận
tốc giảm, có độ lớn bằng
t
a =
dt
dV

Gia tốc tiếp tuyến đặc trưng cho sự thay đổi về độ lớn của véctơ vận
tốc.
+ Gia tốc pháp tuyến
Xét thành phần của gia tốc
V
dt
d


= V
lim
0t
t





- 7 -

Giả sử, tại thời điểm t chất điểm ở vị trí A, véctơ đơn vị trên tiếp tuyến của
quỹ đạo là 
1
. Sau một khoảng thời gian t chất điểm chuyển động đến vị trí
B, véctơ đơn vị trên tiếp tuyến của quỹ đạo là 
2
. Khi đó
 = 
2
- 
1

Tam giác dựng trên ba véctơ 
1
, 
2
và  là tam giác cân. Khi t  0, góc
ở đỉnh  0 và   vuông góc với 
1
. Khi đó
t




tiến tới trùng với pháp
tuyến của quỹ đạo.

Thành phần của gia tốc có phương trùng với phương của pháp tuyến
quỹ đạo được gọi là gia tốc pháp tuyến. Gia tốc pháp tuyến được ký hiệu là
a
n

a
n
= V
lim
0t
t





Xét khoảng thời gian đủ nhỏ. Khi đó, có
thể coi đoạn quỹ đạo AB trùng với cung tròn
tâm O bán kính R (cung của đường tròn mật
tiếp). Các véctơ 
1
và 
2
tạo thành một góc
. Rõ ràng góc  bằng góc AOB. Khi t
 0,   0. Khi  đủ nhỏ, ta có thể xấp xỉ
cho rằng
 = 
1
. = 

Mặt khác, đoạn đường AB chất điểm đi được trong khoảng thời gian t
bằng
V.t = R.
Từ đây ta suy ra
 = Vt /R
Hay
a
n
= V
2
/R
Ký hiệu pháp tuyến của quỹ đạo là n, có phương vuông góc với tiếp tuyến,
có chiều hướng vào tâm đường cong quỹ đạo, có giá trị bằng đơn vị, ta có thể
biểu diễn gia tốc pháp tuyến ở dạng
a
n
=
R
V
2
n
Véctơ gia tốc pháp tuyến a
n
có phương vuông góc với véctơ vận tốc có
chiều hướng vào tâm đường cong quỹ đạo và có độ lớn bằng bình phương của
vận tốc chia cho bán kính cong của quỹ đạo R.
Gia tốc pháp tuyến đặc trưng cho sự thay đổi về phương của véctơ vận
tốc.
Véctơ gia tốc toàn phần khi đó có thể được biểu diễn bằng tổng
a = a

t
+ a
n

và a = a =
22
nt
aa 






2


1

A
O
R

2

B
- 8 -

1.3. Véctơ vận tốc góc và véctơ gia tốc góc

Khi chất điểm chuyển động trên một quỹ đạo tròn, chuyển động đó có thể
đặc trưng bởi véctơ vận tốc góc và véctơ gia tốc góc.
1.3.1. Véctơ vận tốc góc
a/ Vận tốc góc trung bình
Cho rằng chất điểm chuyển động trên đường tròn
bán kính R. Chọn một hệ tọa độ mà gốc tọa độ O
trùng với tâm của đường tròn quỹ đạo. Giả sử tại
thời điểm t chất điểm ở tại một vị trí nào đó trên
đường tròn, được biểu diễn bởi bán kính véctơ R.
Sau một khoảng thời gian t, bán kính véctơ của nó quay một góc .
Khi đó, vận tốc góc trung bình của chuyển động chất điểm trên đường
tròn là tỉ số giữa góc  và khoảng thời gian t. Vận tốc góc trung bình
được ký hiệu là 
tb


tb
= /Δt
b/ Vận tốc góc tức thời
Vận tốc góc tức thời của chuyển động chất điểm trên đường tròn là
giới hạn của tỉ số giữa góc  và khoảng thời gian t khi t  0. Vận tốc
góc tức thời được ký hiệu là 
 =
lim
0t

(Δ/Δt) =
lim
0t
t
ttt




)()(


=
dt
d

Trong hệ SI, góc được đo bằng đơn vị radian (rad), vận tốc góc được đo
bằng đơn vị radian/giây (rad/s).
Giữa vận tốc dài V của chất điểm chuyển động trên quỹ đạo tròn và vận
tốc góc  của nó có mối liên hệ đơn trị. Thật vậy, vì S = R, nên
V =
0
lim
t
(ΔS/Δt) = R
0
lim
t
(Δ/Δt) = R
Do vận tốc dài của chất điểm chuyển động trên quỹ đạo tròn là một đại

lượng véctơ, nên có thể coi vận tốc góc cũng là một đại lượng véctơ.
Véctơ vận tốc góc  được coi là nằm trên trục của đường tròn quỹ đạo, có
chiều theo chiều tiến của cái đinh vít khi quay đinh vít theo chiều chuyển
động của chất điểm, có độ lớn bằng đạo hàm bậc nhất theo thời gian của góc
quay.
Ký hiệu R là bán kính véctơ của chất điểm chuyển động, kẻ từ tâm quỹ
đạo. Ta có thể biểu diễn
V = [R]
Giữa gia tốc pháp tuyến và vận tốc góc có mối liên hệ
a
n
= V
2
/R = (R)
2
/R = 
2
R
1.3.2. Véctơ gia tốc góc
Nếu vận tốc góc thay đổi theo thời gian, ta có đại lượng đặc trưng cho sự
biến thiên theo thời gian của véctơ vận tốc góc là véctơ gia tốc góc. Giới hạn
của tỉ số giữa độ biến thiên của véctơ vận tốc góc  và khoảng thời gian
t khi t  0 được gọi là véctơ gia tốc góc và được ký hiệu bằng 
O

V
R

- 9 -

 =
lim
0t
(Δ/Δt) =
lim
0t
t
ttt




)()(




=
dt
d

Véctơ gia tốc góc nằm trên trục quay của quỹ đạo, có chiều theo chiều của
véctơ vận tốc góc nếu vận tốc góc tăng theo thời gian và ngược chiều với
véctơ vận tốc góc nếu vận tốc góc giảm theo thời gian.
Giữa gia tốc tiếp tuyến và gia tốc góc có mối liên hệ
a

t
=
dt
dV
= R
dt
d

= R
Trong hệ SI, gia tốc góc được đo bằng đơn vị rad/s
2
.

1.4. Một số chuyển động đơn giản của chất điểm

1.4.1. Chuyển động thẳng
Chuyển động thẳng là chuyển động có quỹ đạo chuyển động là một
đường thẳng. Trong chuyển động thẳng gia tốc pháp tuyến a
n
= 0.
Trong chuyển động thẳng ta chọn tọa độ một chiều với trục tọa độ 0x trùng
với phương của quỹ đạo, chiều dương theo chiều của chuyển động.
a/ Chuyển động thẳng đều
Chuyển động thẳng đều là chuyển động thẳng có vận tốc không đổi.
Ta có V =
dt
dx
, với V là hình chiếu của véctơ vận tốc lên trục tọa độ. Công
thức trên cho thấy, x là nguyên hàm của V. Khi đó, dx = Vdt. Ký hiệu x = x(t),
x

0
= x(t
0
), theo công thức Newton-Leibniz, ta có
x - x
0
=

t
t
V
0
dt
Từ đây x - x
0
= V

t
t
dt
0
= V (t-t
0
)
Hay x = x
0
+ V (t-t
0
)
Nếu bắt đầu xét chuyển động từ thời điểm t

0
= 0, ta có
x = x
0
+ V.t
b/ Chuyển động thẳng biến đổi đều
Chuyển động thẳng biến đổi đều là chuyển động thẳng có gia tốc
không đổi. Trong chuyển động thẳng biến đổi đều ta có a = a
x
= a
t
= const.
Vì a
t
=
dt
dV
nên ta có dV = a dt. Ký hiệu V = V(t), V
0
= V(t
0
), ta có
V - V
0
=

t
t
a
0

dt
Từ đây V - V
0
= a

t
t
dt
0
= a(t-t
0
)
Hay V = V
0
+ a (t-t
0
)
Nếu ta bắt đầu xét chuyển động từ thời điểm t
0
= 0, thì
V = V
0
+ at
Vì V =
dt
dx
nên ta có dx = Vdt. Từ đây ta có
- 10 -

x - x
0
=

t
V
0
dt
Hay
x - x
0
=
)(
0
0
atV
t


dt = V
0
t +
2
1
at
2

Nếu khử t khỏi các biểu thức trên, ta được
2aS = V
2
-
2
0
V

Nếu khử a khỏi biểu thức thứ nhất
a = (V - V
0
)/t
Thay vào biểu thức thứ hai, ta thu được
(V
0
+ V)/2 = S/t = V
tb

1.4.2. Chuyển động cong
Xem xét một chuyển động cong tiêu biểu là chuyển động ném xiên.
Chuyển động ném xiên là chuyển động của chất điểm khi nó được ném
lên dưới một góc

nào đó so với phương nằm ngang.
Giả sử một chất điểm được ném lên với vận tốc V
0
, theo phương hợp với
phương nằm ngang một góc

. Chọn một hệ tọa độ xy, có gốc tọa độ đặt tại

điểm ném, trục 0x nằm ngang trong cùng mặt phẳng với véctơ vận tốc, còn
trục 0y theo phương thẳng đứng hướng lên trên. Bỏ qua sức cản của không
khí. Trong trường hợp này, chuyển động của chất điểm có thể phân tích thành
hai chuyển động đồng thời :
- Chuyển động thẳng đều theo phương nằm ngang, với gia tốc a
x
= 0 và
vận tốc
V
x
= V
0x
= V
0
.cos


Tọa độ x của chất điểm được mô tả bởi phương trình
x = V
x
t = V
0
.cos

.t
- Chuyển động thẳng biến đổi đều theo phương thẳng đứng, với gia tốc
bằng gia tốc trọng trường g ( a
y
= -g, g = 9,81 m/s
2

), và vận tốc ban đầu
V
0y
= V
0
.sin


Vận tốc của chất điểm chuyển động được mô tả bởi phương trình
V
y
= V
0y
+ a
y
t = V
0
.sin

- gt
Tọa độ y của chất điểm được mô tả bởi phương trình
y = V
0y
t +
2
1
a
y
t
2

= V
0
.sin

.t -
2
1
gt
2

1.4.3. Chuyển động tròn
Chuyển động tròn là chuyển động mà quỹ đạo chuyển động là một
đường tròn.
a/ Chuyển động tròn đều
Chuyển động tròn đều là chuyển động tròn có vận tốc góc không đổi.
Trong chuyển động tròn đều, sau một khoảng thời gian t chất điểm quay được
một góc

=

t, quãng đường chất điểm đi được bằng S = Vt = Rt .
Do chuyển động tròn đều có tính tuần hoàn, nên có thể đặc trưng chuyển
động này bằng các đại lượng chu kỳ và tần số. Chu kỳ là thời gian mà chất
- 11 -





điểm quay được một vòng, ký hiệu là T. Do một vòng quay tương ứng với

một góc bằng 2, nên vận tốc góc sẽ bằng
 = 2/T
Hay
T = 2/
Tần số là số vòng mà chất điểm thực hiện trong thời gian một giây, ký
hiệu là n
n = 1/T = /2
Từ đây ta có
 = 2n
b/ Chuyển động tròn biến đổi đều
Chuyển động tròn biến đổi đều là chuyển động tròn có gia tốc góc
không đổi.
Vì
 =
dt
d

Nên ta có
d = dt
Lấy tích phân hai vế, ta thu được
 = 
0
+ t
Vì
 =
dt
d

Nên ta có
d = dt

Lấy tích phân, ta được
 - 
0
= 
0
t + ½..t
2

Ta có thể thiết lập được hệ thức
2( - 
0
) = 
2
- 
0
2

c/ Phương trình chuyển động
Xét một chất điểm, chuyển động trên
một đường tròn tâm 0, bán kính R. Chất
điểm chuyển động với vận tốc góc .
Gọi  là góc tạo bởi bán kính véctơ của
chất điểm, kẻ từ tâm đường tròn và trục
0x của một hệ tọa độ vuông góc nào đó.
Khi đó, vị trí M của chất điểm có thể
được xác định bởi hai giá trị
- Khoảng cách từ M đến tâm 0. Giá trị này được ký hiệu là  và bằng
 = R
- Góc  tạo bởi bán kính véctơ của chất điểm và trục 0x, bằng
 = 

0
+ t
Có thể biểu diễn vị trí của M theo tọa độ x, y của một hệ tọa độ Đềcác, cụ
thể là
y

x

0
M
- 12 -





x = R.cos = R.cos(t + 
0
)
y = R.sin = R.sin(t + 
0
)

1.5. Phép biến đổi vận tốc và gia tốc

1.5.1. Phép biến đổi vận tốc và gia tốc trong chuyển động tịnh tiến
Cho một hệ quy chiếu 0xyz mà ta quy ước là đứng yên, và hệ quy chiếu
0’x’y’z’, chuyển động thẳng tương đối so với 0xyz.
Xét chuyển động của một chất điểm trong cả hai hệ quy chiếu.
Xét vị trí của chất điểm tại thời điểm t

nào đó. Giả sử, tại thời điểm t chất điểm
ở vị trí M.
Ký hiệu bán kính véctơ của điểm M
trong hai hệ tọa độ là r và r’, bán kính
véctơ của gốc tọa độ 0’ là r
0
, ta có
r = r’ + r
0

a/ Quy tắc tổng hợp vận tốc
Lấy đạo hàm theo thời gian biểu thức
liên hệ
r = r’ + r
0

Ký hiệu
V =
dt
d
r , V’=
dt
d
r’, u =
dt
d
r
0

Ta có

V = V’ + u
Hay
V
x
= V’
x
+ u
x

V
y
= V’
y
+ u
y

V
z
= V’
z
+ u
z

Vận tốc của một chất điểm chuyển động, biểu diễn trong một hệ quy
chiếu, bằng vận tốc của nó biểu diễn trong hệ quy chiếu khác cộng với
vận tốc của hệ quy chiếu thứ hai đối với hệ quy chiếu thứ nhất.
b/ Quy tắc tổng hợp gia tốc
Lấy đạo hàm theo thời gian biểu thức tổng hợp vận tốc, ta được
dt
d

V =
dt
d
V’ +
dt
d
u
Ký hiệu
a =
dt
d
V - gia tốc của chất điểm trong hệ tọa độ 0xyz,
a’ =
dt
d
V’ - gia tốc của chất điểm trong hệ tọa độ 0’x’y’z’,
 =
dt
d
u - gia tốc của hệ tọa độ 0’x’y’z’ trong hệ tọa độ 0xyz.
Ta có
a = a’ + 
r
0

r'
r
M
- 13 -

Hay
a
x
= a’
x
+ 
x

a
y
= a’
y
+ 
y

a
z
= a’
z
+ 
z

Gia tốc của một chất điểm chuyển động, biểu diễn trong một hệ quy
chiếu, bằng gia tốc của nó biểu diễn trong hệ quy chiếu khác cộng với gia
tốc của hệ quy chiếu thứ hai đối với hệ quy chiếu thứ nhất.
1.5.2. Phép biến đổi vận tốc và gia tốc trong hệ quy chiếu chuyển động

quay
a/ Phép biến đổi vận tốc và gia tốc trong hai hệ quy chiếu bất kỳ
Ký hiệu hệ quy chiếu đứng yên là K, hệ quy chiếu chuyển động tương đối
so với K là K’. Xét một chất điểm chuyển động. Bán kính véctơ của vị trí M
của chất điểm trong hệ quy chiếu K được ký hiệu là r, trong hệ quy chiếu K’
là r’. Ký hiệu bán kính véctơ của gốc tọa độ của hệ quy chiếu K’ là r
0
. Khi đó
ta có
r = r
0
+ r’
Lấy đạo hàm bậc nhất theo thời gian của biểu thức trên, ta thu được
V = u +
dt
d
r’
Với
V =
dt
d
r - Vận tốc của chất điểm trong hệ quy chiếu K.
u =
dt
d
r
0
- Vận tốc của gốc tọa độ hệ quy chiếu K’ trong hệ quy chiếu K.
Biểu diễn
r' = x’i’ + y’j’ + z’k’

Ta có
dt
d
r’ =
dt
d
(x’)i’ +
dt
d
(y’)j’ +
dt
d
(z’)k’ + x’
dt
d
i’ + y’
dt
d
j’ + z’
dt
d
k’
Rõ ràng
V’ =
dt
d
(x’)i’ +
dt
d
(y’)j’ +

dt
d
(z’)k’ – Vận tốc của chất điểm trong hệ quy
chiếu K’. Còn
x’
dt
d
i’ + y’
dt
d
j’ + z’
dt
d
k’ – Vận tốc do hệ tọa độ gắn với K’ quay tương
đối so với K.
Ký hiệu  là vận tốc góc của chuyển động quay của hệ tọa độ K’. Ta có
dt
d
i’ = [i’],
dt
d
j’ = [j’],
dt
d
k’= [k’]
Hay
dt
d
r’ = V’ + [r’]
Từ đây ta có

V = u + [r’] + V’
Biểu thức này mô tả quy tắc tổng hợp vận tốc trong trường hợp tổng quát.
- 14 -





Tiếp tục lấy đạo hàm theo thời gian của biểu thức trên, ta thu được
a =  +
dt
d
[r’] +
dt
d
V’
Với
a =
dt
d
V – Gia tốc của chất điểm trong hệ quy chiếu K.
 =
dt
d
u - Gia tốc của gốc tọa độ của hệ quy chiếu K’ trong hệ quy chiếu K.
Xử lý tương tự như phần vận tốc trên, ta có
dt
d
V’ = a’ + [V’]
dt

d
[r’]= [r’] +[V’] + [[r’]]
Với
a’ =
2
2
dt
d
(x’)i' +
2
2
dt
d
(y’)j' +
2
2
dt
d
(z’)k' – Gia tốc của chất điểm trong hệ quy
chiếu K’.
Cuối cùng ta được
a =  + [r’] + [[r’]] + 2 [V’] + a’
Biểu thức này mô tả quy tắc tổng hợp gia tốc trong trường hợp tổng quát.
b/ Phép biến đổi vận tốc và gia tốc trong hệ quy chiếu chỉ quay
Trong trường hợp hệ quy chiếu K’ chỉ quay, ta có
V = [r’] + V’
a = [r’] + [[r’]] + 2 [V’] + a’


Chương 2. Động lực học chất điểm

Động lực học là một phần của cơ học, nghiên cứu chuyển động của vật
trong mối liên hệ với các vật khác, nghĩa là có tính đến nguyên nhân gây
ra sự thay đổi trong chuyển động đó.

2.1. Các định luật Newton. Các định lý về động lượng. Định luật hấp
dẫn

2.1.1. Các định luật Newton
a/ Định luật Newton thứ nhất
+ Phát biểu định luật
Một chất điểm (vật) bất kỳ bảo toàn trạng thái đứng yên hay chuyển
động thẳng đều cho đến khi có tác động từ phía các vật khác buộc nó thay
đổi trạng thái đó.
Xu hướng của vật bảo toàn trạng thái đứng yên hay chuyển động thẳng đều
được gọi là quán tính. Vì vậy, định luật thứ nhất của Newton còn được gọi
là định luật quán tính.
+ Hệ quy chiếu quán tính
- 15 -





Định luật thứ nhất của Newton không phải được tuân thủ trong mọi hệ quy
chiếu. Hệ quy chiếu nào mà định luật này đúng, được gọi là hệ quy chiếu quán
tính.
Như vậy, hệ quy chiếu quán tính là hệ quy chiếu mà trong đó một chất
điểm bất kỳ, không chịu tác động từ bên ngoài, thì hoặc đứng yên, hoặc
chuyển động thẳng đều.

+ Khối lượng
Khi có tác động của bên ngoài, không phải mọi vật thay đổi trạng thái
chuyển động (có gia tốc) như nhau. Sự thay đổi này còn phụ thuộc vào tính
chất của vật – đó là khối lượng. Vậy, khối lượng của vật, một đại lượng vật
lý, là một trong những đặc trưng chủ yếu của vật chất, xác định tính chất
quán tính của nó. Trong hệ SI, khối lượng được đo bằng đơn vị kilôgam
(kg).
+ Lực
Để mô tả tác động làm thay đổi trạng thái chuyển động, người ta đưa vào
khái niệm lực. Dưới tác dụng của lực, vật hoặc thay đổi trạng thái chuyển
động, hoặc bị biến dạng. Tác động này phụ thuộc vào hướng. Vậy, lực là một
đại lượng véctơ, là số đo tác động cơ học lên một vật từ phía các vật khác
hoặc trường, mà kết quả là vật hoặc có gia tốc hoặc thay đổi hình dạng
hay kích thước của mình.
b/ Định luật Newton thứ hai
Định luật thứ hai của Newton là định luật cơ bản của động lực học của
chuyển động tịnh tiến.
Nếu xem xét tác động của những lực khác nhau lên cùng một vật, ta nhận
thấy gia tốc mà vật có được luôn luôn tỉ lệ thuận với độ lớn của lực
a  F
Khi tác động cùng một lực lên những vật có khối lượng khác nhau, ta nhận
thấy gia tốc của chúng tỉ lệ nghịch với khối lượng
a  1/m
Như vậy, chúng ta có thể viết
a = k.F/m
+ Phát biểu định luật
Gia tốc, mà một chất điểm có được, tỉ lệ thuận với lực gây ra nó, có
chiều theo chiều của lực, và tỉ lệ nghịch với khối lượng của chất điểm đó
a = k.F/m
Định luật thứ hai của Newton chỉ đúng trong các hệ quy chiếu quán

tính.
Trong hệ SI, hệ số tỉ lệ k = 1, nên
a = F/m
Biểu thức của định luật Newton thứ hai có thể viết dưới dạng
F = ma
Biểu thức trên cho phép xác định đơn vị của lực. Trong hệ SI, đơn vị của
lực là niutơn (N), có thứ nguyên là kg.m/s
2
.
Trong trường hợp chất điểm chịu nhiều lực tác dụng đồng thời thì
- 16 -






i
F
i
= F = ma
+ Lực tiếp tuyến và lực pháp tuyến
Trong chuyển động cong, ta có
a = a
t
+ a
n

Hai gia tốc này có thể được coi là do hai lực gây ra, nên trong chuyển động
cong có thể phân tích lực thành hai thành phần : thành phần tiếp tuyến và

thành phần pháp tuyến :
F = F
t
+ F
n

Vì giá trị của các gia tốc bằng
a
t
=
dt
dV
và a
n
=
R
V
2

Nên ta có các phương trình
F
t
= ma
t
= m
dt
dV

F
n

= ma
n
= m
R
V
2

Phương trình

i
F
i
= F = ma
có thể khái quát cả hai định luật của Newton, mô tả quy luật chuyển động của
chất điểm, được gọi là phương trình cơ bản của động lực học chất điểm.
c/ Định luật Newton thứ ba
Định luật thứ ba của Newton xác định tác động tương hỗ giữa các chất
điểm (vật). Định luật thứ ba của Newton phát biểu như sau :
Hai chất điểm tác dụng lên nhau với những lực, bằng nhau về độ lớn,
ngược chiều nhau, và dọc theo đường thẳng nối chúng
F
12
= - F
21

Ở đây, F
12
là lực tác động của chất điểm 1 lên chất điểm 2, F
21
là lực tác

động của chất điểm 2 lên chất điểm 1. Các lực này được đặt lên các chất điểm
(vật) khác nhau và luôn luôn tác động từng đôi một.
d/ Các lực liên kết
Khi xem xét các lực tác dụng lên một vật, người ta chia các lực thành hai
loại
- Các lực tác dụng từ bên ngoài : lực hút, lực kéo, lực đẩy….
- Các lực liên kết là các lực xuất hiện khi có sự hiện diện của các vật
khác. Cụ thể có các lực liên kết sau đây mà ta xem xét :
+ Trọng lực : Là lực hấp dẫn giữa Trái đất và một vật. Trọng lực được ký
hiệu là p và bằng
p = mg
Trong đó g là gia tốc trọng trường, có giá trị bằng 9,81 m/s
2
và luôn hướng
về tâm của Trái đất.
+ Lực pháp tuyến : Là phản lực của một bề mặt lên vật khi vật tác dụng
một lực nén vuông góc lên bề mặt, có phương vuông góc với bề mặt, có chiều
hướng khỏi bề mặt và có giá trị bằng lực nén. Lực pháp tuyến ký hiệu là N.
- 17 -





Lực pháp tuyến được xác định từ định luật thứ hai của Newton đối với vật
theo phương vuông góc với bề mặt (phương của pháp tuyến)
F
n
+ N = ma
n

Giá trị của lực này, trong trường hợp một vật khối lượng m nằm yên trên
một bề mặt phẳng, bằng
N = mg.cos
Trong đó  là góc giữa bề mặt và phương nằm ngang.
+ Lực ma sát : Là lực cản trở của bề mặt đối với vật chuyển động trên
đó.
* Lực ma sát động
Khi vật chuyển động trên một bề mặt, ta có lực ma sát, gọi là ma sát động,
có giá trị bằng
f
ms
= k.N
với k là hệ số ma sát động, phụ thuộc vào các bề mặt tiếp xúc.
* Lực ma sát nghỉ
Cho một vật nằm yên trên một bề mặt. Tác dụng một lực F song song với
bề mặt lên vật mà không làm vật chuyển động. Khi đó, trên vật có lực ma sát
nghỉ f
msn
tác dụng. Theo định luật 2 của Newton
F + f
msn
= ma = 0
Từ đây ta có
f
msn
= - F
Khi tăng dần độ lớn của lực tác dụng F, đến một giá trị f
0
nào đó, vật bắt

đầu chuyển động. Khi đó, lực ma sát nghỉ biến mất. Nghĩa là lực ma sát nghỉ
có giá trị cực đại, và người ta gán giá trị f
0
cho lực ma sát nghỉ cực đại đó.
Thực nghiệm cho thấy rằng f
0
= k
n
.N (thông thường, k
n
> k). Nghĩa là lực ma
sát nghỉ có thể nhận một giá trị bất kỳ giữa 0 và f
0
. Khi F < f
0
vật đứng yên,
còn khi F > f
0
vật chuyển động với một gia tốc nào đó. Khi F = f
0
vật bắt đầu
chuyển động (trong một số tài liệu, người ta cho rằng khi F = f
0
vật chưa
chuyển động, một số tài liệu thì cho rằng khi F = f
0
vật bắt đầu chuyển động).
Vì vậy, trong một số bài toán, có thể cho rằng, khi F  f
0
thì vật chuyển động

và khi đó, vật chịu tác dụng của lực ma sát động.
+ Lực căng : Là lực sinh ra khi một sợi dây, được buộc với một vật, bị
kéo căng. Lực căng ký hiệu là T, tác dụng lên vật, có phương dọc theo dây và
có chiều đi khỏi vật.
+ Lực đàn hồi : Là lực xuất hiện khi vật bị biến dạng và có xu hướng
chống lại sự biến dạng đó. Lực đàn hồi tuân theo định luật Hooke :
Trong giới hạn đàn hồi, lực đàn hồi tỉ lệ với độ biến dạng của vật
F = - kl
Với k là hệ số đàn hồi, l là độ biến dạng của vật.
+ Lực cản (phụ thuộc vào vận tốc) : Là lực cản của môi trường lên vật,
khi vật chuyển động trong môi trường đó. Lực cản có độ lớn phụ thuộc vào
vận tốc. Thực nghiệm cho thấy :
- Khi vật chuyển động với vận tốc V nhỏ, lực cản bằng
F = - V
- Khi vật chuyển động với vận tốc V lớn, lực cản bằng
- 18 -





F = - kVV
Trong đó,  và k là các hệ số cản của môi trường, phụ thuộc vào bản chất
của môi trường, hình dạng và kích thước của vật.
2.1.2. Các định lý về động lượng
a/ Định lý thứ nhất về động lượng
+ Động lượng của chất điểm
Động lượng (hay xung lượng) của chất điểm là một đại lượng véctơ,
bằng tích của khối lượng với véctơ vận tốc của nó. Ký hiệu động lượng
bằng véctơ K, ta có

K = mV
+ Định lý thứ nhất về động lượng
Theo định luật thứ hai của Newton
ma =

i
F
i
= F
Do
a =
dt
d
V
Nên
ma = m
dt
d
V =
dt
d
(mV) =
dt
d
K
Từ đây ta có
dt
d
K =


i
F
i
= F
Đạo hàm theo thời gian của động lượng của một chất điểm bằng lực
(hoặc tổng hợp lực) tác dụng lên chất điểm đó.
Định lý thứ nhất về động lượng là dạng tổng quát của phương trình cơ
bản của động lực học chất điểm.
b/ Định lý thứ hai về động lượng
+ Xung lượng của lực
Tích phân

2
1
t
t
Fdt
được gọi là xung lượng của lực F trong khoảng thời gian từ t
1
đến t
2
.
+ Định lý thứ hai về động lượng
Từ biểu thức của định lý thứ nhất về động lượng ta có thể suy ra
dK = Fdt
Tích phân hai vế của biểu thức trong khoảng thời gian từ t
1
đến t
2


2
1
K
K
dK =

2
1
t
t
Fdt
Ta được
K = K
2
- K
1
=

2
1
t
t
Fdt
- 19 -

Độ biến thiên động lượng của một chất điểm trong một khoảng thời
gian nào đó có giá trị bằng xung lượng của lực (hay tổng hợp lực) tác
dụng lên chất điểm trong khoảng thời gian đó.
Nếu F = const, ta có
K = F.t
2.1.3. Định luật hấp dẫn
a/ Định luật vạn vật hấp dẫn
Định luật vạn vật hấp dẫn phát biểu như sau :
Hai chất điểm bất kỳ luôn hút nhau với một lực, gọi là lực hấp dẫn, tỉ
lệ thuận với tích khối lượng của chúng và tỉ lệ nghịch với bình phương
khoảng cách giữa chúng.
Ký hiệu m
1
và m
2
là khối lượng của hai chất điểm, r là khoảng cách giữa
chúng, ta có biểu thức của lực hấp dẫn
F = G.m
1
m
2
/r
2
Với G = 6,67.10
-11
Nm
2
/kg
2
- là hằng số hấp dẫn.

Đối với hai vật ở cách nhau khá xa, có thể coi r là khoảng cách giữa các
khối tâm của chúng.
b/ Trọng lực và gia tốc trọng trường
+ Trọng lực và gia tốc trọng trường
Ký hiệu M và R là khối lượng và bán kính của Trái đất, m là khối lượng
của một vật nào đó ở gần mặt đất, ta có
F = GMm/R
2

Nếu ký hiệu
g = GM/R
2

(M = 5,98.10
24
kg, R = 6,38.10
6
m)
Ta có thể biểu diễn trọng lực bởi công thức
P = mg
Với g được gọi là gia tốc trọng trường hay là gia tốc rơi tự do. Ở gần mặt
đất, g = 9,81 m/s
2
.
+ Trọng lượng : Là lực, dưới tác dụng của trọng lực, đè lên giá đỡ hoặc
kéo căng dây treo, mà giá đỡ hay dây treo đó ngăn không cho vật rơi tự do
trong hệ quy chiếu của vật. Ký hiệu lực này là P’, và lực của giá đỡ tác dụng
lên vật là N. Theo định luật thứ ba của Newton, ta có
P’ = - N
Từ biểu thức của định luật Newton đối với vật có khối lượng m

P + N = ma
Ta có
P’ = P – ma = m(g - a)

2.2. Hệ quy chiếu không quán tính

Cho một hệ quy chiếu quán tính K mà ta quy ước là đứng yên, và hệ quy
chiếu K’, chuyển động tương đối so với K. Trong trường hợp tổng quát, hệ
quy chiếu K’ không quán tính.
Xét chuyển động của một chất điểm trong cả hai hệ quy chiếu.
- 20 -





Gia tốc của chất điểm trong hệ quy chiếu quán tính đứng yên và hệ quy
chiếu không quán tính có mối liên hệ như sau
a =  + [r’] + [[r’]] + 2 [V’] + a’
2.2.1. Hệ quy chiếu chuyển động tịnh tiến có gia tốc. Lực quán tính
Nếu hệ quy chiếu K’ đang chuyển động tịnh tiến, nhưng không quay, ta có
a =  + a’
Giả sử chất điểm khối lượng m chịu tác dụng của một lực F. Trong hệ quy
chiếu quán tính, ta có
ma = F
Ta có thể biểu diễn
m( + a’) = F
Hay
ma’ = F - m
Để định luật thứ hai của Newton đúng trong hệ quy chiếu K’, ta phải coi

rằng lực tác dụng lên chất điểm m trong hệ quy chiếu K’ bằng
F’ = F – m
Lực F’ có thể coi là tổng hợp của hai lực : một lực là lực F tác dụng thực tế
lên chất điểm và lực khác F
qt
= - m. Lực này được gọi là lực quán tính, là
lực xuất hiện do hệ quy chiếu K’ chuyển động thẳng có gia tốc.
2.2.2. Hệ quy chiếu chuyển động quay. Lực ly tâm
Nếu hệ quy chiếu K’ không chuyển động tịnh tiến, nhưng đang quay đều
với vận tốc góc , ta có
a = [[r’]] + 2 [V’] + a’
Giả sử chất điểm khối lượng m chịu tác dụng của một lực F. Trong hệ quy
chiếu quán tính, ta có
ma = F
Ta có thể biểu diễn
m([[r’]] + 2 [V’] + a’) = F
Hay
ma’ = F - m[[r’]] - 2m[V’]
Để định luật thứ hai của Newton đúng trong hệ quy chiếu K’, ta phải coi
rằng lực tác dụng lên chất điểm m trong hệ quy chiếu K’ bằng
F’ = F - m[[r’]] - 2m[V’]
Như vậy, trên chất điểm có ba lực tác dụng :
- Lực F là lực tác dụng thực tế lên chất điểm
- Lực F
lt
= - m[[r’]] được gọi là lực ly tâm. Lực này có giá trị
F
lt
= m
2

r’
đúng bằng giá trị của lực hướng tâm, nhưng có chiều ngược lại (vì vậy, nó
được gọi là lực ly tâm).
- Lực F
cor
= - 2m[V’] được gọi là lực côriôlis. Lực này chỉ xuất hiện khi
chất điểm chuyển động trong hệ quy chiếu quay.



- 21 -





2.3. Nguyên lý tương đối Galileo

Xét một chất điểm khối lượng m chuyển động trong hệ quy chiếu quán tính
Oxyz.
Nếu có một lực F tác dụng lên chất điểm đó, thì, do hệ quy chiếu Oxyz là
quán tính, nên định luật thứ hai của Newton áp dụng được ở đây. Ta có
F = ma
Xét trường hợp một hệ quy chiếu O’x’y’z’ chuyển động thẳng đều so với
hệ quy chiếu quán tính Oxyz.
Vì hệ quy chiếu O’x’y’z’ chuyển động không có gia tốc, nên
a = a’
Nghĩa là, gia tốc của chất điểm như nhau trong cả hai hệ quy chiếu.
Từ đây ta có
F = ma’

Đó là phương trình động lực học của chuyển động chất điểm trong hệ quy
chiếu O’x’y’z’. Nói cách khác, định luật thứ hai của Newton thỏa mãn trong
hệ quy chiếu O’x’y’z’.
Như vậy, hệ quy chiếu O’x’y’z’ cũng là hệ quy chiếu quán tính.
Kết quả trên cho phép phát biểu một nguyên lý :
Các định luật Newton được nghiệm đúng trong hệ quy chiếu chuyển
động thẳng đều đối với hệ quy chiếu quán tính. Hệ quy chiếu, chuyển
động thẳng đều đối với một hệ quy chiếu quán tính, cũng là hệ quy chiếu
quán tính.
Hay : Các phương trình động lực học trong các hệ quy chiếu quán tính
có dạng như nhau.
Nguyên lý này được gọi là nguyên lý tương đối Galileo.

2.4. Cơ năng của chất điểm

2.4.1. Công và công suất
a/ Công
+ Công của một lực không đổi
Nếu một vật chuyển động thẳng, dưới tác dụng của một lực không đổi F,
hướng theo phương tạo thành một góc  với phương chuyển động, thì ta nói
rằng lực F đã sinh công và công của lực này bằng tích của hình chiếu của
lực trên phương của chuyển động với quãng đường dịch chuyển của điểm
đặt lực :
A = F
s
.S = F.S.cos
Nếu biểu diễn
S =



i
i
S
Ta có
A =


i
i
SF
.cos =


i
i
A

- 22 -





Nghĩa là, công của lực F thực hiện trên một quãng đường bằng tổng công
thực hiện trên từng đoạn đường.
+ Công của một lực biến thiên
Xét trường hợp chất điểm dịch chuyển dưới tác dụng của lực F theo một
đường cong, từ điểm 1 đến điểm 2. Trong trường hợp tổng quát, lực có thể
thay đổi theo độ lớn cũng như theo phương. Tính công của lực trong trường
hợp này. Để áp dụng được công thức tính công như định nghĩa, ta thay đường

cong bằng một đường gấp khúc gồm N đoạn. Xét một đoạn gấp khúc, ví dụ
đoạn thứ i. Ký hiệu F
i
, cos
i
là giá trị đại diện của lực F và cos của góc  trên
đoạn gấp khúc i, S
i
là độ dài của đoạn gấp khúc đó. Khi đó, công A
i
của lực
F trên đoạn gấp khúc i sẽ bằng
A
i
= F
i
.cos
i
.S
i

Công của lực F thực hiện trên cả quãng đường sẽ xấp xỉ bằng
A 



N
i
i
A

1
=



N
i
iii
SF
1
cos


Khi số các đoạn gấp khúc tăng, sao cho max{S
i
}  0, đường gấp khúc
dần trùng với đường cong. Khi đó
A(1  2) =
 NS
i
,0}max{
lim



N
i
iii
SF
1

cos

=

2
1
cos dSF

=

2
1
dA

Nếu lưu ý rằng S = r. Khi đó, ta có thể biểu diễn
A
i
= F
i
.cos
i
. r
i
= (F.r)
i

Hay
dA = F.cos.dS = (F.dr)
Khi đó, công của lực F trên một đoạn quỹ đạo từ điểm 1 đến điểm 2 bằng
A (1  2) =


2
1
dA
=

2
1
cos dSF

=

2
1
).( rdF



Trong hệ SI, công được đo bằng đơn vị jun (J). 1 J = 1N.m.
b/ Công suất
Để đặc trưng cho tốc độ thực hiện công, người ta đưa ra khái niệm công
suất. Công suất là công thực hiện bởi lực trong một đơn vị thời gian. Công
suất có thể tính bằng công thức
P = VF
t
SF
t
A



cos
cos
 =(F.V)
Hoặc bằng công thức
P =
dt
dA

Vì
dA = (F.dr)
Nên
P = F
dt
d
r = (F.V)
Công suất bằng tích vô hướng của véctơ lực với véctơ vận tốc của điểm
đặt lực.
Trong hệ SI, công suất được đo bằng đơn vị watt (W). 1 W = 1 J/s.
- 23 -





c/ Công và năng lượng
+ Khái niệm năng lượng
Động lượng của một vật là một đặc trưng quan trọng cho chuyển động cơ
học của nó. Nhưng đại lượng này không thể đặc trưng hoàn toàn cho sự biến
đổi trong chuyển động của vật. Ví dụ, xét trường hợp hai quả cầu nhựa mềm
giống nhau, chuyển động ngược chiều nhau cùng tốc độ và va chạm nhau. Sau

khi va chạm nhau, hai quả cầu nhựa sẽ đứng yên và chuyển động của hai quả
cầu chấm dứt. Trước va chạm, tổng động lượng của hai quả cầu bằng 0. Sau
va chạm, tổng động lượng này cũng bằng không. Vậy, động lượng của cả hệ
trước và sau va chạm là không thay đổi. Nhưng động lượng của từng quả cầu
thì có thay đổi. Trước va chạm các quả cầu tham gia chuyển động cơ học, còn
sau va chạm thì chuyển động cơ học của chúng biến mất. Tuy nhiên, nếu đo
nhiệt độ của các quả cầu, thì có thể phát hiện ra rằng nhiệt độ của chúng tăng
lên. Vậy, dạng chuyển động cơ học của các quả cầu đã chuyển sang dạng
chuyển động nhiệt. Động lượng không đặc trưng được quá trình biến đổi này.
Đại lượng có thể đặc trưng cho quá trình thay đổi này là năng lượng.
Năng lượng là một thuộc tính của vật chất, là một đại lượng vô hướng,
đặc trưng cho mức độ vận động và tương tác của vật chất. Một vật hay
một hệ vật, ở một trạng thái chuyển động hay tương tác nhất định, có một
năng lượng nhất định. Những dạng chuyển động khác nhau của vật chất gắn
liền với những dạng năng lượng khác nhau : cơ học, nhiệt học, điện từ, hạt
nhân, ….
+ Định luật bảo toàn và chuyển hóa năng lượng
Trong một số hiện tượng, dạng chuyển động của vật chất không thay đổi,
như trong hiện tượng truyền nhiệt từ vật nóng sang vật lạnh, trong những hiện
tượng khác lại xảy ra việc chuyển từ dạng chuyển động này sang dạng khác,
như trong hiện tượng ma sát, chuyển động cơ học biến thành chuyển động
nhiệt. Nhưng, trong tất cả các hiện tượng, năng lượng được một vật cho (ở
dạng này hay dạng khác) bằng năng lượng một vật khác nhận được. Điều này
là một minh họa cho định luật bảo toàn và chuyển hóa năng lượng, là một
trong những định luật quan trọng nhất của tự nhiên : Năng lượng không tự
nhiên sinh ra, cũng không tự nhiên mất đi, nó chỉ chuyển hóa từ dạng này
sang dạng khác, hoặc truyền từ vật này sang vật khác, còn tổng năng
lượng không thay đổi.
Theo định luật này, thì năng lượng toàn phần của một hệ cô lập không
thay đổi, bất kể trong hệ xảy ra quá trình gì.

+ Quan hệ giữa năng lượng và công
Nếu một hệ không cô lập thì hệ có tương tác với bên ngoài và có trao đổi
năng lượng với bên ngoài. Xét một ví dụ cụ thể : một đoàn tàu chuyển động
đều dưới tác dụng của lực kéo của đầu máy. Nếu không có lực kéo của đầu
máy thì đoàn tàu sẽ chuyển động chậm dần và dừng lại dưới tác dụng của lực
ma sát ( và khi đó năng lượng cơ học của đoàn tàu sẽ giảm đi ). Lực kéo của
đầu máy là ngoại lực đối với đoàn tàu, có nguồn gốc từ việc đốt cháy nhiên
liệu hay tiêu hao điện năng cung cấp từ bên ngoài. Khi đoàn tàu chuyển động,
lực kéo thực hiện một công và công này được dùng để duy trì năng lượng
- 24 -





không đổi cho đoàn tàu (duy trì chuyển động với vận tốc không đổi). Các
khảo sát cho thấy rằng, công của lực kéo đúng bằng năng lượng đã cung cấp
từ bên ngoài. Nghĩa là, môi trường bên ngoài đã truyền cho đoàn tàu một
lượng năng lượng thông qua công của lực kéo. Ví dụ trên cho thấy rằng, sinh
công là một hình thức trao đổi năng lượng giữa các hệ hoặc các vật.
Trong cơ học, công là cách trao đổi năng lượng giữa các vật thông qua
tương tác lực. Khi một lực bên ngoài tác dụng lên một vật làm nó thay đổi
trạng thái, năng lượng của vật thay đổi. Khi đó, độ biến thiên năng lượng
của hệ bằng công mà hệ nhận được trong quá trình đó
W
2
- W
1
= A
Hay, giữa độ thay đổi năng lượng dW của vật và công do lực ngoài sinh ra

dA có mối liên hệ như sau
dW = dA
Đơn vị đo năng lượng cũng là đơn vị đo công. Trong hệ SI, năng lượng
được đo bằng đơn vị jun (J).
2.4.2. Động năng của chất điểm. Định lý động năng
Động năng của một hệ cơ học là năng lượng chuyển động cơ học của
hệ đó.
a/ Động năng của chất điểm
Xét một lực F tác dụng lên một vật khối lượng m đang đứng yên và làm
vật chuyển động. Lực thực hiện một công, còn năng lượng của vật chuyển
động được tăng lên một lượng, bằng công sinh ra. Năng lượng này là động
năng của vật, ký hiệu là W
đ
. Như vậy, công dA của lực F trên quãng đường,
mà vật di chuyển trong khoảng thời gian mà vận tốc của nó tăng từ 0 đến dV,
sẽ bằng độ tăng động năng dW
đ

dW
đ
= dA
Sử dụng định luật thứ hai của Newton
F = m
dt
d
V
Ta có
dA = (F. dr) = (m
dt
d

V. dr)
Biểu thức này có thể viết lại
dA = (m
dt
rdVd


.
) = (m
dt
d
r. dV)
Vì
dt
d
r = V
Nên ta có
dA = mV.dV = d(½.mV
2
)
Từ đây ta có
dW
đ
= d(½.mV
2
)
Lấy tích phân biểu thức trên

d
w

d
0
W
đ
=

V
0
d(½.mV
2
)
- 25 -





Ta được
W
đ
= ½.m.V
2

b/ Định lý động năng
Nếu vận tốc của vật thay đổi từ V
1
đến V
2
, thì ta có
A (1  2) =


2
1
dA
=

2
1
w
W
d W
đ
=

2
1
V
V
d (½.mV
2
)
Từ đây, ta có biểu thức của định lý động năng
A (1  2) = W
đ2
- W
đ1
= ½.m.V
2
2
- ½.m.V

1
2

Độ thay đổi động năng của một vật bằng công của lực ngoài thực hiện
trên vật.
2.4.3. Thế năng của chất điểm trong trường lực thế
Phần không gian, hữu hạn hay vô hạn, mà tại mỗi điểm của nó được
ứng với một giá trị của một đại lượng véctơ nào đó, theo một quy luật nào
đó bất kỳ, được gọi là một trường véctơ. Nếu đại lượng véctơ này là lực, ta
có một trường lực.
a/ Trường lực thế
Xét một chất điểm chuyển động trong một trường lực. Tại mỗi vị trí r đều
có một lực F(r) tác dụng lên chất điểm. Khi chất điểm dịch chuyển, lực F(r)
thực hiện công. Công của lực khi dịch chuyển chất điểm từ vị trí r
1
đến vị trí
r
2
được ký hiệu là
A(r
1
 r
2
) =

2
1
Fdr
Nếu hàm F(r) không phụ thuộc vào vận tốc của vật, không thay đổi theo
thời gian và công của lực khi dịch chuyển chất điểm theo một đường cong

khép kín bất kỳ bằng không, nghĩa là

C
Fdr = 0
thì lực như vậy gọi là lực bảo toàn, còn trường lực như vậy gọi là trường lực
thế.
Ta chia đường cong khép kín thành hai đoạn 1A2 và 2B1, và tách tích
phân

C
F(r)dr
thành hai tích phân

21A
F(r)dr +

12B
F(r)dr
Ta có

21A
F(r)dr -

21B
F(r)dr = 0
Từ đây ta có tích phân

21A
F(r)dr =


21B
F(r)dr =

2
1
F(r)dr
chỉ phụ thuộc vào điểm đầu r
1
và điểm cuối r
2
.
Vậy trường lực thế là trường mà công của lực khi dịch chuyển chất
điểm theo một đường cong khép kín bất kỳ bằng không hoặc không phụ
2
1
B
A