De thi hs gioi tinh Nghệ An năm 2006-2007

KỲ THI CHỌN LỌC HS GIỎI TỈNH LỚP 9
NĂM HỌC : 2006-2007
MÔN THI : TOÁN
Thời gian làm bài : 150 phút , không kể thời gian giao đề
Bài 1: Chứng minh rằng :
a) Với mọi số tự nhiên n>1thì số A=n
6
-n
4
+2n
3
+2n
2
không thể là số chính phương
b) Các số a và b đều là tổng của hai số chính phương thì tích a.b cũng là tổng của hai
số chính phương .
Bài 2: a) Hãy xác định giá trị x;y để có đẳng thức :
5x
2
+5y
2
+8xy+2y-2x+2=0
b) Cho hai số thực x,y thỏa mãn phương trình : 2x+3y=1
Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng : S=3x
2
+2y
2
Bài 3: Giải phương trình :

1612251172
223

−+=−+− xxxxx

Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) , kẻ đường phân giác AD của góc BAC và
đường trung tuyến AM (D;M
∈
BC ) . Vẽ hai đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC
và tam giác ADM , hai đường tròn này cắt nhau tại điểm thứ hai là I , đường tròn ngoại
tiếp tam giác ADM cắt hai cạnh AB và AC theo thứ tự tại E và F . Tia AD cắt đường
tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại J.
a) Chứng minh rằng: 3 điểm I , M, J thẳng hàng .
b) Gọi K là trung điểm của EF , tia MK cắt AC và tia BA theo thứ tự tại P và Q .
Chứng minh rằng tam giác PAQ cân.
HẾT

Bài giải
Bài 1: a) A=n
6
-n
4
+2n
3
+2n
2
=n
2
(n-1)
2
(n+1)
2
suy ra A là số chính phương khi n>1

b) Đặt a = x
2
+ y
2
; b = z
2
+ t
2

Khi đó ta có a.b =( x
2
+ y
2
)( z
2
+ t
2
) = x
2
z
2
+ x
2
t
2
+ y
2
z
2
+ y

2
t
2

a.b = (x
2
z
2
– 2 xzyt + y
2
t
2
) +( y
2
z
2
+2xzyt + x
2
t
2
) =(xz + yt)
2
+(yz+xt)
2
( đpcm)
Bài 2: a) 5x
2
+ 5y
2
+ 8xy + 2y -2x +2 = 0

⇔
4x
2
+ 8xy +4y
2
+x
2
-2x +1+y
2
+2y+1 = 0
⇔
4(x+y)
2
+(x-1)
2
+(y+1)
2
=0
⇔



−=
=
⇔






=+
=−
=+
1
1
01
01
0
y
x
y
x
yx
Vậy (x;y)=(1;1) thì đẳng thức thoả mãn
b) 1=
2
3
.2
3
2
.332 yxyx +−+
suy ra 1
2
=(
2
3
.2
3
2
.3 yx +

)
2
( ) ( )
( )






+=














+















+≤
6
35
23
2
3
3
2
.2.3
22
2
2
22
yxyx
theo Bất đẳng thức Bunhiacopxki
Dấu “=” xảy ra
⇔
yx
yx
49

2
3
2
3
2
3
=⇔=
kết hợp 2x + 3y = 1 suy ra x=
35
4
;y=
35
9
Vậy MinS =
35
9
;
35
4
35
6
==⇔ yx
Bài 3:
1612251172
223
−+=−+− xxxxx
( )
047)47)(3(23
22
=−+−−−−−−⇔ xxxxxx

(
)





==
≥
⇔





−=−−
≥−−
≥−
⇔=−−−−⇔
7;1
7
4
473
03
047
047)3(
2
2
2
2

xx
x
xxx
xx
x
xxx
Vậy phương trình có nghiệm x=1 và x=7
P
Q
K
F
E
D
M
I
J
C
B
A