Tong hop phương trình LTDH
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (266.6 KB, 31 trang )
PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
I - DẠNG TỔNG QUÁT - PHƯƠNG PHÁP BIỆN LUẬN
Dạng tổng quát: ax + b = 0
• a = 0 xét
≠
=
0b
0b
• a ≠ 0 phương trình có nghiệm duy nhất: x =
a
b
−
II - BÀI TẬP
Giải và biện luận các phương trình sau ( x là ẩn số):
1.
01mx)1m(
2
=++−
2.
)1x4(
m
1
m
2
x
23
+=−
3. p(x - 1) = x + q 4. a(2x - 3) = x + b
5.
ab
)ba(ax3
a
bx
b
ax2
2
−+
+
−
=
+
6.
2
1
3
ab2x3
bax =
+
−+
7.
a
1x
b
=
+
8.
1
2ax
a
=
+
9.
a
1x
2
=
−
10. (2a - 1)(b + 1)x = 2a + b
11. (a - 1)(b + 2)x = 2a – b 12.
1x
)1x(a
1x
b
1x
1ax
2
2
−
+
=
+
+
−
−
13.
ax1
b
bx1
a
−
=
−
14.
m2x
1x
m2x
1x
−+
−
=
++
+
15.
a
ab
ax
ab
ax
=
+
−
+
−
+
16.
2
x1
2)1x(b
1x
bx
1x
xa
−
−−
=
+
−
=
−
−
17.
22
ba
2
ab
ax
ab
ax
−
=
+
−
+
−
+
18.
ax
1
xa
3a4a3
ax
a
22
2
+
=
−
+−
+
−
19.
2
ax
1x
1x
ax
=
−
−
+
−
−
20.
ax
bx
ax
bax
+
−
=
−
+
21.
1x
)1x(a
1x
b
1x
1ax
2
2
−
+
=
+
+
−
−
22.
1x)ba(
ba
1bx
b
1ax
a
−+
+
=
−
+
−
23.
xb
xb
xa
xa
xb
xb
xa
xa
−
+
+
−
+
=
+
−
+
+
−
24.
)
c
1
b
1
a
1
(2
ab
cx
ac
bx
bc
ax
++=
−
+
−
+
−
25.
ba
bax
ba
bax
+
−
=
−
+
26.
xa
1
ax
x
ax
2
22
−
=
−
−
+
27. 28.
29. 30.
Tµi liÖu luyÖn thi §¹i häc m«n to¸n
Trang 1
PHNG TRèNH BC HAI
I. DNG TNG QUT - PHNG PHP BIN LUN.
ax
2
+ bx + c = 0 (1)
1. Phơng pháp biện luận:
=
=
=+=
0b
0c
0c
0b
0cbx)1(,0a
>
=
<
0
0
0
0a
2. Chú ý khi biện luận phơng trình:
- Nếu tham số có điều kiện:
Tham s v phi iu kin phng trỡnh vụ nghim.
Ch bin lun khi tham s tha món iu kin.
- Nu n cú iu kin:
Khi cú nghim phi kim tra iu kin.
1 nghim vi 1 iu kin phi kt lun thnh 2 trng hp.
2 nghim vi 2 iu kin phi kt lun thnh 4 trng hp.
- so sỏnh 1 s no ú vi 2 nghim ca phng trỡnh bc 2 thỡ s dng
nh lý o.
- so sỏnh 2 s bt k a v b ta i xột hiu ca nghim.
II. BI TP LUYN.
1. (m - 2)x
2
- 2(m + 1)x + m = 0 2. (m
2
- 4)x
2
+ 2(m + 2)x + 1 = 0
3. (m
3
- 4m)x
2
+ 2(m - 2)x + 1 = 0 4. 1 +
=
ax
a4
ax2
x3
5.
5
7
mx
x
mx
m
=
+
6.
22
2
ax
a8
ax
a2
ax
x
=
+
7.
22
22
ax
ba
ax
bax
ax
bax
+
+
=
+
++
8.
2
ax
b
bx
a
=
+
9.
xba
1
x
1
b
1
a
1
++
=++
10.
ba
ba
ba
ba
x
1
x
+
+
+
=+
11. x
3
- k(x - 1) - 1 = 0 12.
Tài liệu luyện thi Đại học môn toán
Trang 2
PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO
I - PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1) Phương trình bậc 3:
Dạng tổng quát:
3 2
ax + bx +cx +d = 0
(1)
a) Trường hợp 1:
Nhẩm được một nghiệm x
0
:
• Nếu a + b + c + d = 0 thì có 1 nghiệm x
0
= 1
• nếu a - b + c - d = 0 thì có 1 nghiệm x
0
= -1
• Nếu (1) có nghiệm nguyên thì nghiệm nguyên ấy là ươc số của d
• Nếu (1) có nghiệm hữu tỉ dạng
q
p
thì p là ước số của d và q là ước số của a
• Đối với các phương trình lượng giác phải để ý các giá trị đặc biệt:
3,
3
1
,
3
3
,
2
2
,
2
1
±±±±±
Sau khi nhẩm được nghiệm nguyên x
0
ta phân tích (1) dưới dạng:
(x - x
0
)f(x) = 0 trong đó f(x) là bậc hai bằng cách chia đa thức.
b) Trường hợp 2:
Không nhẩm được nghiệm. Khi đó ta đưa (1) về dạng: X
3
+ pX + q = 0 bằng cách
đặt x = X -
3
a
• Nếu p > 0 thì sử dụng hằng đẳng thức:
)cabcabcba)(cba(abc3cba
222333
−−−++++=−++
• Nếu p < 0 thì sử dụng phương pháp lượng giác.
2) Phương trình bậc 4
a) Trùng phương: ax
4
+ bx
2
+ c = 0
b) Dạng đối xứng:
4 3 2
ax + bx +cx +bx + a = 0
c) Dạng:
4 4
(x +a) +(x + b) = c
d) Dạng: (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = e
e) Tìm trục đối xứng để đưa về phương trình trùng phương.
f) Một số cách đặt ẩn phụ để đưa về phương trình bậc hai.
II - BÀI TẬP
Giải các phương trình sau:
1. x
3
+ 6x -20 = 0 2. x
3
- 3x - 1 = 0
3. 12x
3
+ 4x
2
- 17x + 6 = 0 4.
01x2x2x2x
234
=+−+−
5.
02x3x16x3x2
234
=++−+
6.
050x105x74x21x2
234
=+−+−
7.
01x3x3x
34
=++−
8.
02x5x6x5x2
234
=+−+−
9.
04x4x2x
34
=++−
10.
04x6x2x3x
234
=+−−+
11.
2)5x()3x(
44
=+++
12.
64)6x(x
44
=++
Tµi liÖu luyÖn thi §¹i häc m«n to¸n
Trang 3
13.
6 6
( 2) ( 4) 64x x− + − =
14.
1)2x()1x(
66
=−+−
15. (x + 4)(x + 5)(x + 7)(x + 8) = 4 16. (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 3
17.
01x3x3)1xx(
222
=−−−++
18. (2x-1)(2x+3)(x + 2)(x + 4) + 9 = 0
19.
02)1x(2)x2x(
222
=+−−−
20.
01)2xx(6)1xx(
222
=−−+−++
21.
)1x(5)1x(2)1xx(3
3222
+=+−+−
22.
2)1x(2)1x(x
222
+−=−
23.
3
)1x(
x
x
2
2
2
=
+
+
24.
1)
1x
x
(x
22
=
−
+
25.
2
)1xx(
xx
22
3
=
++
+
26.
6
3x3x2
x13
3x5x2
x2
22
=
++
+
+−
27.
3
8
1xx
x2
1x4x
x3
22
=
++
−
+−
28.
)1x(13)1x(7)1xx(2
322
−=−−++
Giải các phương trình sau:
1.
03x12x2x4x
234
=+−−+
2.
01x12x2x4x
234
=−+−−
3.
02x4x2x4x
234
=−−+−
4.
061x96x20x12x
234
=+−−−
Tµi liÖu luyÖn thi §¹i häc m«n to¸n
Trang 4
BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI.
I. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT.
1. GIẢI BIỆN LUẬN.
−>⇔<
−<⇔>
≤
∀>
⇔=
⇔>+
a/bx0a
a/bx0a
vn0b
x0b
0a
0bax
VD1. (m - 1)x + m + 1 > 0.
VD2. (m
2
- 1)x + m + 1 > 0.
VD3.
4
3x2
3
1x
2a
ax +
<
−
−
−
( a ≠ 2)
VD4. (m
2
- 4m + 3)x + m - m
2
< 0.
2. BÀI TẬP LUYỆN.
1.
)
c
1
b
1
a
1
(2
ab
cx
ac
bx
bc
ax
++=
−
+
−
+
−
)0c,b,a(
<
2.
2ax
1ax
1ax
ax
3x
2x
2x
1x
−−
−−
−
−−
−
>
−
−
+
−
−
3.
)ba,0b,0a(
ba
bax
ba
bax
≠>>
+
−
>
−
+
4.
1
1ax2
a2x
1
≤
+
+
≤−
5.
xa
1
ax
x
ax
2
22
−
<
−
−
+
II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Dạng tổng quát: ax
2
+ bx + c > 0
1. GIẢI VÀ BIỆN LUẬN
a = 0 Giải biện luận như bất phương trình bậc nhất.
a < 0 ∆ ≤ 0 → Vô nghiệm
∆ > 0 → x
2
< x < x
1
.
a > 0 ∆ < 0 → Vô nghiệm
∆ = 0 → ∀x ≠
a2
b−
∆ > 0 → x < x
1
hoặc x > x
2
.
Chú ý: Nên dùng phương pháp phân khoảng để bài toán ngắn gọn và dễ dàng.
2. BÀI TẬP LUYỆN.
1. x
2
+ mx + m ≥ 0. 2. (a
2
+ a + 1)x
2
+ (2a - 3)x + a - 5 ≤ 0.
Tµi liÖu luyÖn thi §¹i häc m«n to¸n
Trang 5
3. x
2
- 6ax + 2 - 2a + 9a
2
≥ 0. 4. x
2
- 2x + 1 - a
2
≤ 0.
5. (m - 1)x
2
- (2m - 1)x + m + 5 > 0. 6. (2 - a)x
2
- 3ax + 2a ≥ 0.
7. (k + 1)x
2
- kx + 1 ≤ 0. 8. ax
2
+ x + 1 > 0.
9. (m
2
- 1)x
2
+ 2(m - 1)x + 1 ≤ 0. 10. m(m + 2)x
2
+ 2(m - 1)x + 1 ≤ 0.
11. (a
2
- 5a + 4)x
2
+ (a -4)x + 4 ≥ 0. 12. (m
2
- 4)x
2
+ (m + 2)x + 1 < 0.
13. (m
2
- 3m + 2)x
2
+2(m - 1)x +1 > 0 14. (m
2
- 5m + 6)x
2
+ (m - 3)x + 1 < 0
15.
0
2ax
3a2x
<
+−
−−
16. (a - 1)x
2
- 2x - a > 0.
17. mx
2
- 4x - 3m + 1 ≤ 0. 18.
0
ax
a
ax
a
<
+
+
−
.
19.
.
a3x
1
a2
3
x
1
+
<+
20.
>
+
<−+
.0
a
ax
.0a3axx2
22
21.
≤−−−
≥−−
.0)1a2x)(ax(
.0)2x)(1x(
2
Tµi liÖu luyÖn thi §¹i häc m«n to¸n
Trang 6
ĐỊNH LÝ ĐẢO TAM THỨC BẬC HAI.
1. ĐỊNH LÝ ĐẢO VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
Định lý 1:
∃ α: a.f(α) < 0 ⇒ f(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
thỏa mãn: x
1
< α < x
2
Định lý 2:
>ββ∃
>∆
0)(f.a:
0
⇒ f(x) có 2 nghiệm phân biệt nằm về 2 phía của β.
2. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
1. Cho phương trình : (a - 1)x
2
- 2x - a = 0
a = ? để phương trình có 2 nghiệm trái dấu.
a = ? để phương trình có 2 nghiệm ≥ 1.
a = ? để phương trình có 2 nghiệm < 0.
a = ? để phương trình có 2 nghiệm thoả mãn x
1
< 0 < x
2
.
a = ? để phương trình có 2 nghiệm thoả mãn -1 < x
1
< 0 < x
2
.
a = ? để phương trình có 2 nghiệm thoả mãn -1 < x
1
< 1 < x
2
.
2. Cho phương trình: x
2
+ mx + 1 = 0.
m = ? để phương trình có 2 nghiệm thoả mãn x
1
< x
2
≤ 0.
m = ? để phương trình có 2 nghiệm thoả mãn 0 ≤ x
1
< 1 < x
2
.
m = ? để phương trình có 2 nghiệm thoả mãn 0 ≤ x
1
< x
2
≤ 1.
m = ? để phương trình có 2 nghiệm thoả mãn 0 ≤ x
1
≤ 1 < x
2
= 2.
m = ? để phương trình có 2 nghiệm thoả mãn x
1
≤ 1 ≤ x
2
.
m = ? để phương trình có 2 nghiệm thoả mãn x
1
< 1
≤ x
2
.
3. a = ? để phương trình (x - 3a)(x - a - 3) = 0 có nghiệm ∈ [1; 3].
4. m = ? để phương trình x
2
+ 2x - 2a + 1 = 0 có:
Đúng 1 nghiệm ∈ [ 0; 1 ].
Đúng 1 nghiệm ∈ ( 0; 1 ).
5. (ĐH CSND - 99)
Tìm m = ? để phương trình: x
2
- (m + 1)x + 3m - 5 = 0 có 2 nghiệm dương.
6. m = ? để phương trình: 2mx
2
- x + m = 0
có nghiệm thoả mãn x
1
< -1/2 ≤ x
2
.
7. m = ? để f(x) = (2m + 1)x
2
- 4x - 2m + 1
có 2 nghiệm thoả mãn -1/2 < x
1
≤ 3/2 < x
2
.
8. m = ? để phương trình: mx
2
+ (3 - m)x + 1 = 0
có nghiệm thoả mãn -1 < x
1
< x
2
≤ 1.
9. a = ? để phương trình: x
2
+ (2 - a)x + 1 = 0
có nghiệm thoả mãn -1 < x ≠ 0.
10. a = ? để phương trình x
2
- 6ax + 2 - 2a + 9a
2
= 0
có 2 nghiệm đều lớn hơn 3.
11. Cho phương trình: 2(m - 1)x
2
- 4x + m = 0.
m = ? để phương trình có 2 nghiệm thoả mãn x
1
< 2 ≤ x
2
.
Tµi liÖu luyÖn thi §¹i häc m«n to¸n
Trang 7
HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT
I. Hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn số.
1. Dạng tổng quát:
=+
=+
222
111
cybxa
cybxa
2. Phương pháp toán:
Tính
1221
22
11
baba
ba
ba
D −==
1221
22
11
x
bcbc
bc
bc
D −==
1221
22
11
y
caca
ca
ca
D −==
- Nếu D ≠ 0
D
D
y
D
D
x
y
x
==
- Nếu D = 0 D
x
= 0 Hệ vô số nghiệm.
D
x
≠ 0 Hệ vô nghiệm.
3. Bài tập luyện.
Giải biện luận các hệ phương trình sau:
1.
−+=−−
+=−
m5x)3m2(3x)1m(
2x32x4
2.
−+=+−
−+=
x31mm2x)4m(
2)2x(mxm
2
3.
=++
+=−+
3yx)1k(
1ky)1k(x3
4.
=+++
−=−−
2y)m41(x)m4(
m1y3x)m2(
5.
−+=−
−=−
+=−
3x2x)1x(
)x2(mmx2
)2x(2)xm(m
22
2
6.
=++−
=−++
by)ba2(x)ba2(
ay)ba(x)ba(
7.
=−−
=−+
2ayx)1a(
3y)a2(ax6
8. Cho hệ phương trình:
=−
=+
bbyax
ayx3
Tìm b để hệ có 1 nghiệm duy nhất ∀a ∈ R.
9. Cho hệ phương trình:
−=++
=++
1m3y)3m(mx
m4y8x)1m(
a) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất.
b) Tìm m để hệ có nghiệm.
10. Cho hệ phương trình:
=+
=+
6y4kx
3kyx
a) Tìm k để hệ có nghiệm.
b) Tìm k để hệ có nghiệm x, y > 0.
Tµi liÖu luyÖn thi §¹i häc m«n to¸n
Trang 8
c) Tìm k để hệ có nghiệm x
0
, y
0
> 1
11. Cho hệ phương trình:
−=−+
+=−+
2my)1m2(mx
4my)m2(xm
5
32
a) Tìm m để hệ vô nghiệm.
b) Giải biện luận theo m.
12. Cho hệ phương trình:
+=+
=+
ccayx
byx2
2
a) Với b = 0 giải và biện luận hệ phương trình.
b) Tìm b để với ∀a luôn có c sao cho hệ có nghiệm.
13. Cho hệ phương trình:
=+
=+
=+
baycx
acybx
cbyax
Giả sử hệ có nghiệm, hãy chứng minh rằng: a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc.
14. Giải biện luận bất phương trình:
+=+
+=+
1nmynx
1mnymx
15. Cho hệ phương trình:
=+
=+
=−
my2x
7y2x6
4yx2
Tìm m thì hệ có 1 nghiệm.
16. Giải biện luận hệ phương trình:
=
+
−
−
=
+
+
−
n
yx
1
yx
1
m
yx
1
yx
1
17. Tìm a, b để hệ sau có nghiệm ∀m:
−−+=+
++=++
1b2m2mamyx
mb3a5y4x)3m(
18. Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác.
Chứng minh rằng hệ:
=+
=+
=+
acybz
bazcx
cbxay
có 1 nghiệm duy nhất
=
=
=
Ccosz
Bcosy
Acosx
19. Cho hệ phương trình:
+=+−
=−
1cby2x)6b(
acybx
2
a) Tìm a để ∀b luôn tồn tại c để hệ có nghiệm
Tµi liÖu luyÖn thi §¹i häc m«n to¸n
Trang 9
b) Tìm c để ∀b luôn tồn tại a để hệ có nghiệm
20. Tìm m để hệ
=+
=+
=+
myx
1mx
1ymx
có nghiệm
21. (ĐH Y - 97) Tìm a, b để hệ sau có nghiệm:
=−++
=−++
22222
a2y)ba(x)ba(
a2y)ba(x)ba(
22. Tìm m, n, p để đồng thời 3 hệ sau vô nghiệm.
=+−
=−
mypx
npyx
;
=+
=+
1mynx
mypx
;
=−
=+
npyx
1mynx
23.(ĐHCĐ - 98) Tìm các giá trị của Y để với ∀a thuộc R hệ:
=−+
=+
2
by)a1(ax
bayx
có nghiệm
24. (ĐHAN-A - 98)
+=++
+=+
3m2y)3m(x
4my4mx
2
a) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất (x,y) thoả mãn x ≥ y
b) Với m tìm được tìm GTNN của tổng x + y
Tµi liÖu luyÖn thi §¹i häc m«n to¸n
Trang 10
II. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 3 ẨN SỐ
1. Phương pháp toán:
+ Khử bớt ẩn đưa về dạng 2 phương trình 2 ẩn.
+ Chú ý tính đối xứng để rút cụm ẩn hoặc đặt ẩn phụ đưa về hệ p.trình đơn
giản hơn.
2. Bài tập luyện.
Giải các hệ phương trình:
1.
−=−−
=+−
−=−+
12zy6x3
0zy2x
9z3yx2
2.
=−+
=++
=++
6zy8x
4z5yx
0z3y2x
3.
=++
=++
=++
9zzxx
4zyzy
1yxyx
4.
=++
=−+
=++
14zyx
7zxyzxy
6zyx
222
5.
−=
−=++
==+
3/1xyz
4/3zxyzxy
0zyx
6.
=++
=++
=++
3333
2222
azyx
azyx
0zyx
7.
=++
=++
=++
3
z
1
y
1
x
1
3xzyzxy
xyz3zyx
8.
=+
=+
=+
22xz
28zy
16yx
9.
==
=++
18
z
3
y
6
x
34zy5x3
10.
=++
=++
−=++
1
z
1
y
1
x
1
27zxyzxy
9zyx
11.
+=
+=
+=
1xz
1zy
1yx
2
2
2
12.
=++
=++
=++
1zyx
1zyx
1zyx
555
222
Tµi liÖu luyÖn thi §¹i häc m«n to¸n
Trang 11
13.
=++
=++
=++
3
x
z
z
y
y
x
3
x
z
z
y
y
x
3
x
z
z
y
y
x
3
3
3
3
3
3
2
2
2
2
2
2
14.
=++
=−+
=++
14zyx
7zxyzxy
2zyx
222
15.
>−=
=+
=++
)0x(2xyz
6zyx
2zyx
223
16.
=
−=++
−=++
2xyz
1zxyzxy
2zyx
17.
≥−=++
=++
−=++
)1z(6zyx
6zyx
2zyx
333
222
18.
Tµi liÖu luyÖn thi §¹i häc m«n to¸n
Trang 12
HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
I. Hệ phương trình bậc 2 giải theo phương pháp thế
II. Hệ phương trình bậc 2 đối xứng kiểu 1.
1. Phương pháp toán:
+ Đặt:
=
=+
py.x
syx
Điều kiện có nghiệm x, y: S
2
≥ 4P
+ Đưa hệ (x, y) về hệ (S, P) đơn giản hơn.
+ Giải S, P
→
x, y
+ Nếu cặp số S, P thỏa mãn S
2
≥ 4P
→
có nghiệm x, y
S
2
> 4P
→
có 2 nghiệm x, y
→
điều kiện nghiệm.
2. Bài tập luyện.
Giải các hệ phương trình:
1.
=+
=++
5yx
5xyyx
22
2.
=++
=++
2xyyx
4xyyx
22
3.
=+
=++
2xyyx
3xyyx
22
4.
=+
=+
35yyxx
30xyyx
5.
=−+
=++
1xyyx
3xyyx
6.
=
−
++
=−+−−−
−
3
yx2
1
yx2
0)yx2(6)yx4(5)yx2(
2222
7.
=−
=−
2)yx(xy
7yx
33
8.
=+
−=+
8yx
6
x
y
y
x
9. Cho hệ phương trình:
=++
=+++
m)1y)(1x(xy
8yxyx
22
a) Giải hệ với m = 12
b) Tìm m để hệ có nghiệm
10. Gải hệ:
+=+
=+
2255
33
yxyx
1yx
11. Giải hệ phương trình:
+=+
=+
2233
yxyx
1yx
Tµi liÖu luyÖn thi §¹i häc m«n to¸n
Trang 13
12. Giải hệ:
=+
=+
4)yx(
4yx
2
22
13. Giải hệ:
=++
=+++
7xyyx
8yxyx
22
22
14. Giải hệ:
=++
=++
17y3xy2x
11yxy2x3
22
22
15. Cho hệ phương trình:
=+
=++
myx
mxyyx
22
Tìm m để hệ có nghiệm.
16. Cho hệ phương trình:
−=+
=++
8a3xyyx
axyyx
22
a) Giải hệ pt với a = 7/2
b) a = ? hệ có nghiệm.
17. Cho hệ:
=+
+=+
4)yx(
)a1(2yx
2
22
a) a = ? hệ có 4 nghiệm.
b) a = ? hệ có 2 nghiệm.
18. Cho hệ:
=+
+=++
mxyyx
1mxyyx
22
Tìm m để hệ có ít nhất 1 nghiệm thoả mãn x > 0, y > 0.
19. Tìm a để hệ sau có nghiệm.
=+
=+++
3yx
a2y1x
20.
=+
=++
4yx
28xy2yx
22
21.
=+
+=+
6yx
xyyx3)yx(2
3
3
3
2
3
2
22.
=+
=+
2yx
2yx
4
44
23. Cho hệ phương trình:
−=+
−=+−
1ayx
1a2xyyx
444
Xác định a > 0 để hệ có nghiệm
24.
=+−
=++
5xyxy
18xyyx
22
25.
=++
=++
11xy
y
6
x
6
11xyyx
Tµi liÖu luyÖn thi §¹i häc m«n to¸n
Trang 14
26. Cho hệ:
−=
+
=
4
y
a2
x
myx
99
3
1
y2/xy/1
a) Giải hệ khi m = 3
b) m = ? để hệ có nghiệm duy nhất, xác định nghiệm đó.
27. Giải biện luận hệ:
=+
=+
0xyx2
m3yx
28.
=+
=++
2xy)yx(
3xyyx
29.
=+−
=+
13yyxx
5yx
4224
22
30.Cho hệ:
=++
=++
16zyzy
3xyyx
22
22
x, y, z là 3 số thoả mãn hệ trên. Chứng minh rằng: xy + yz + zx ≤ 8
31. Cho hệ:
−=+
=+
`222
m6yx
myx
a) Giải hệ khi m = 1
b) Tìm a để hệ có nghiệm
32. Cho hệ:
=−+
=+
axyyx
ayx
a) Giải hệ khi a = 1
b) a = ? hệ có nghiệm.
33.
=+
=++
17yx
3xyyx
44
22
34.
=+
=+
1yx
1yx
44
33
35.
=+
=+
1yx
1yx
99
44
36.
=−
=−
7yx
1yx
33
37.
=+
=+
35yx
5yx
33
38.
=+
=−
82yx
3yx
44
39.
=+
=+
3
1
y
1
x
1
2
x
y
y
x
2
2
2
2
40. ĐHQG - D - 99. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:
−=−+
=−+
m1xyyx
4xy4)yx(5
Tµi liÖu luyÖn thi §¹i häc m«n to¸n
Trang 15
41. Cho hệ:
+=+
+=++
mm)yx(xy
1m2yxyx
2
(ĐHQG - A - 99)
a) Chứng minh rằng với mọi m hệ phương trình luôn có nghiệm.
b) Tìm m để hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất.
42.
=+
=+
30xyyx
35yx
22
33
43.
=++
=++
49)
yx
1
1)(yx(
5)
xy
1
1)(yx(
22
22
(ĐHNT 99)
44. Cho hệ phương trình:
==+
+=++
my2xyx2
6mxyyx
22
a) Giải hệ với m = -3
b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.
45. Giải hệ phương trình (ĐHAN - A - 99):
=−++++−+++
=+++++++++
0y1yxyx1yxx
0y1yxyx1yxx
22
22
46. Giải hệ: (ĐHAN - G - 99)
=+++
=+++
4
y
1
x
1
yx
4
y
1
x
1
yx
22
22
Tµi liÖu luyÖn thi §¹i häc m«n to¸n
Trang 16
III. Hệ đối xứng loại 2
1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
a) Định nghĩa:
Hệ đối xứng loại hai là hệ mà khi thay đổi vai trò x, y thì hệ vẫn không đổi nhưng
hai phương trình đổi vị trí cho nhau.
b) Phương pháp giải:
Giả sử phải giải hệ đối xứng kiểu hai có dạng:
=
=
)2(0)y,x(G
)1(0)y,x(F
Nhận xét:
+ Phương trình đối xứng kiểu hai nếu có nghiệm thì sẽ có nghiệm dạng x = y.
+ Để xuất hiện được nghiệm dạng x = y ta trừ hai phương trình (1) và (2) khi đó ta
được phương trình có dạng: (x - y)[f(x, y)] = 0 trong đó f(x, y) là quan hệ đối xứng
kiểu I đối với x, y.
+ Với x = y ta kết hợp với (1) hoặc (2) để giải.
+ Với f(x, y) = 0 thì:
• Nếu hệ (1)(2) là bậc hai thì f(x, y) là bậc nhất để giải ta có thể kết hợp
với (1) hoặc (2) và sử dụng phương pháp thế.
• Nếu hệ (1)(2) là bậc 3 trở lên thì F(x, y) = 0 có bậc lơn hơn 2 ta không
thể sử dụng được phương pháp thế. Để giải ta phải kết hợp với (1) +
(2) để được một hệ đối xứng kiểu I.
c. Chú ý:
+ Nếu f(x, y) là quan hệ bậc hai thì bài toán rất hay cho vô nghiệm vì vậy ta nên thử
xem có thể có nghiệm hay không. Nếu có thể có nghiệm mới tiến hành giải.
+ Do khi thay đổi vai trò x, y thì hệ vẫn không đổi nên trong bài toán tìm điều kiện
để hệ có nghiệm duy nhất ta có thể sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ.
2. BÀI TẬP
1.
+=−
+=−
1xy3y
1yx3x
22
22
2.
+=+
+=+
2
3
xy4y
2
3
yx4x
3
3
3. Cho hệ phương trình:
=−+
=−+
0
y
a
xy7
0
x
a
yx7
2
3
2
3
a) Chứng minh rằng hệ có nghiệm duy nhất với a > 0.
b) Khi a < 0 điều đó còn đúng không?
Tµi liÖu luyÖn thi §¹i häc m«n to¸n
Trang 17
4.
−=
−=
xy3y
yx3x
2
2
5.
+=
+=
x8y3y
y8x3x
3
3
6. ĐHHH - 97. Cho hệ phương trình:
−=+
−=+
)1x(myxy
)1y(mxxy
2
2
a) Giải khi m = 1.
b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất.
7. Cho hệ phương trình:
=++
+−=++−
3bxyyx
ayx)yx(ayx
22
22
a) Giải hệ khi a = b = 1.
b) Xác định a, b để hệ có 4 nghiệm phân biệt.
8. Giải hệ:
+=−
+=−
xy2x2y
yx2y2x
22
22
9. Cho hệ phương trình:
+=
+=
x
a
xy
y
a
yx
2
2
2
2
a) Giải hệ khi a = 1.
b) Chứng minh rằng hệ có nghiệm duy nhát khi a ≠ 0.
10. Cho hệ:
+−=
+−=
ayy4yx
axx4xy
232
232
a) Giải hệ khi a = 4.
b) Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất.
11. Cho hệ:
=−
=−+
m1x|y2
m1yx2
a) Giải hệ khi m = 5.
b) Tìm m để hệ có nghiệm.
12. Tìm a để các phương trình sau có nghiệm chung
0a2x)a3(x4x
0x)2x(ax
23
223
=−−++
=+++
13. Tìm a để hệ:
=++
+=−
0y.xy.x.ax
)1a(
2
1
y.ax
223
233
có nghiệm thỏa mãn điều kiện x + y = 0.
14. Tìm a để hệ:
+=+
+=+
1axyxy
1axyyx
2
2
có nghiệm duy nhất.
Tµi liÖu luyÖn thi §¹i häc m«n to¸n
Trang 18
15. Tìm a để hệ:
=++
=
+
+
+
axyyx
2
1y
1
1x
1
có nghiệm duy nhất.
16. Tìm a để hệ:
+=+
+=+
2
2
)1x(ay
)1y(ax
Có nghiệm duy nhất.
17. Cho hệ:
=+−
=+−
ymxx
xmyy
2
2
a) Cho m = -3. Giải hệ.
b) Tìm m để hệ có nghiệm.
c) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất.
18.
−
=
−
=
2
2
x1
x2
y
y1
y2
x
19.
+−=
+−=
5x4xy2
5y4yx2
2
2
20. Giải hệ:
=−
=−
4
1
x1y
4
1
y1x
2
2
21.
−=
−=
2
2
x1y
y1x
22. Chứng minh rằng:
+
−
=
+
−
=
2
2
2
2
x1
x1
y
y1
y1
x
có 3 nghiệm phân biệt.
23. Giải hệ:
=+
=+
x21y
y21x
3
3
24. Tìm m để hệ sau có nghiệm
=−+
=−+
m3xy
m3yx
25. Giải và biện luận số nghiệm x, y > 0 của hệ:
+=
+=
axy
ayx
23
23
26. ĐHCĐ - 99.
=−
=−
2
9
x
y
y.x
3
16
y
x
y.x
27. ĐHQG - 99.
=+
=+
y
3
x
1
y2
x
3
y
1
x2
28. ĐHTL - 01.
=+
=+
2
2
y
3
xy2
x
3
yx2
29. ĐHTN - A - 01.
=+
=+
x21y
y21x
3
3
Tµi liÖu luyÖn thi §¹i häc m«n to¸n
Trang 19
30. ĐHNT - 01
=+
−=−
1yx
y3yx3x
66
33
31. ĐHTCKT - 01.
=+
=+
1yx
1yx
66
44
32. ĐHTM - 01
−=+
=+
22
333
x6xyy
x19yx1
33. HVQHQT - D - 01. Giải hệ:
=++
=+
280)yx)(yx(
4yx
3322
34. ĐHAN - A - 01. Giải:
=++
=++
6yx4x
9)yx2)(2x(x
2
35. HV QUÂN Y - 01. Giải hệ:
a)
=−++
=−−+
4yxyx
2yxyx
2222
b)
<<−
=−+−−
0x
2
1
0x21)1x8)(1x4(x128
2222
36. ĐHSP TPHCM - A - 01. Xác định a để hệ sau có nghiệm duy nhất:
+=+
+=+
ax)1y(
ay)1x(
2
2
Tµi liÖu luyÖn thi §¹i häc m«n to¸n
Trang 20
IV. Hệ đẳng cấp
1. PHƯƠNG PHÁP .
a) Định nghĩa:
+ Phương trình đẳng cấp: Là phương trình mà trong các biểu thức tổng cấp
của các biến là bằng nhau.
+ Hệ đẳng cấp là hệ có 1 phương trình là đẳng cấp hoặc có thể biến đổi được
hệ sao cho có 1 phương trình là đẳng cấp.
b) Phương pháp giải:
+ Từ phương trình đẳng cấp ta tìm được quan hệ đối với x, y.
+ Thay vào một trong hai phương trình đầu để giải.
c) Chú ý:
Để tìm điều kiện nghiệm cho hẹ đẳng cấp ta thường đặt x = ty. Khi đó bài
toán điều kiện nghiệm đối với x, y trở thành bài toán điều kiện nghiệm đối
với t, y.
2. BÀI TẬP.
1.
=−+
+=−
1xy3yx2
)yx(y)yx(x
22
2.
−
−
=−
=−+
xy
3
2
5
y
x2
x
y
5yxyx
22
3. Giải hệ:
=+
=−
y10)yx(x
x3)yx(y2
22
22
4. Cho hệ:
+=++
=++
m17y3xy2x
11yxy2x3
22
22
a) Giải hệ khi m = 0.
b) Tìm m để hệ có nghiệm.
5. Cho hệ:
=−
=+−
4xy3y
kyxy4x
2
22
a) Giải hệ với k = 1.
b) Tìm k để hệ có nghiệm.
6.
=−−
=−+
15y3xy9x5
38y4xy5x3
22
22
7.
−=+
=−+
2yyxx
0y3xy2x
22
8. ĐHSPII - 99. Giải hệ:
=−−−
=+−+
3y8x9y2x3
1y4x3yx
22
22
9. ĐHKTQD - 99. Tìm tất cả các cặp số dương x, y thỏa mãn hệ phương trình:
=
=
−
+
−
)
3
x
y(5
x4y
13
yx
yx
Tµi liÖu luyÖn thi §¹i häc m«n to¸n
Trang 21
10. ĐHNNI - 99. Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:
=−+−
=+
41y4x
m3yx
11. ĐH LUẬT - 99. Biết rằng hệ phương trình:
=+++
=+
byx)yx(a
yxb
22
có nghiệm với ∀ b. Chứng minh rằng a = 0.
12. HVNH TPHCM - 01. Giải:
=+−
=+−
0y15xy13x2
9y3xy2x
22
22
13. CĐSPHN - 01.Giải hệ phương trình:
+=
−=−
2
2
x2xy
y84xy
14. TSĐH - A - 2004. Giải hệ phương trình:
++=+
−=−
2yxyx
yxyx
3
15. TSĐH - A - 2003.
+=
−=−
1xy2
y
1
y
x
1
x
3
16. TSĐH - B - 2003.
+
=
+
=
2
2
2
2
y
2x
x3
x
2y
y3
Tµi liÖu luyÖn thi §¹i häc m«n to¸n
Trang 22
PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
I. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI
1) Dạng cơ bản:
)x(g)x(f =
⇔
=
≥
≥
2
)x(g)x(f
0)x(f
0)x(g
⇔
=
≥
2
)x(g)x(f
0)x(g
2) Phương pháp đặt ẩn phụ:
a) Phương pháp chung:
Giả sử gải phương trình: f(x) = 0 (1)
Đặt t = ϕ(x)
Đưa (1) về dạng: g(t) = 0 (2)
Giải (2) tìm được nghiệm t. giả sử có nghiệm: t = t
o
.
Giải phương trình: ϕ(x) = t
o
để tìm nghiệm x.
b) Các dạng thường gặp:
• Biểu thức trong căn giống biểu thức ngoài căn.
• Tích không đổi.
• Tổng bình phương không đổi.
3) Phương pháp đưa về hệ:
4) Phương pháp đánh giá:
5) Phương pháp đại số:
6) Phương pháp lượng giác:
a) Đặt x = cost thì t ∈ [-π, π]
b) Đặt x = sint thì
ππ
−∈
2
,
2
t
c) Đặt x = tgt thì
)
2
,
2
(t
ππ
−∈
Tµi liÖu luyÖn thi §¹i häc m«n to¸n
Trang 23
II. BÀI TẬP
1.
x96x10 −=+
2.
3x27x9x3
2
−=+−
3.
85x39x =−++
4.
1x2x31x5 −=−−−
5.
5x35x12x7
2
−=+−
6.
2
3x
1x2x1x2x
+
=−−−+
7.
24x4x4x4x =−++−−
8.
15x9x8x
2
−=++
9.
1x4x1 =−−+
10.
−+13x7
27x59x3 −=−
11.
5x22x3x
2
−=+−
12.
x4xx3
2
−=−
13.
1x2
1x2
1x3
2
−=
−
−
14.
3x1x24x3 +=+−+
15. x
2
+ 9 = 6x + 4
6x6x
2
+−
16. x
2
+ 3 -
)4x(
2
3
2x3x2
2
+=+−
17.
0xx27x12x6
22
=−++−
18. (x - 3)
2
+ 3x - 22 =
7x3x
2
+−
19. (x - 3)(x + 1) +4(x - 3)
3x
1x
−
+
= -3 20. x
2
+ 2
4x31x3x
2
+=+−
21. -x
2
+ 2x + 4
10)1x)(3x( =+−
22.
3)x6)(x3(x6x3
=−++−++
23. (x + 4)(x + 1) -3
62x5x
2
=++
24.
36x3x3x3x
22
=+−++−
25.
x9xx9x
2
+−=−+
26. 3
5x6x22x3x
23 2
+−=+−
27.
21xx1xx
2
4
2
=−++−−
28. x +
2x17.xx17
22
−=−+−
29. x.
30)x35x(x35
3 33
=−+−
30.
2)x3)(x1(x3x1
=−++−++
31.
3
2
3
2
3
2
)1x(6)1x(4)1x( −=−++
32.
1
x
)1x(2
1x
x2
=
+
+
+
33.
22
xx271x10x5 −−=++
34. 2(x - 1)
1x2x1x2x
22
−−=−+
35. (x - 2)
2x3x1x
22
+−=+
36. (4x - 1)
1x2x21x
22
++=+
37. 5
2
x2
1
x2
x2
5
x ++=+
38. 3x
2
- x + 48 = (3x -10).
15x
2
+
39.
5
2x
1x2
4
1x2
2x
=
−
+
+
+
−
40.
61x815x1x43x
=−−++−++
41. 4
41x2x ++=+
42.
1)x1(x2)x1(x2x1x
4
=−−−+−+
43.
x11x2x
24
−=+−
44.
1x(68x1x43x
−−++−−+
= 1
Tµi liÖu luyÖn thi §¹i häc m«n to¸n
Trang 24
45. x
xx
x
2
3
xxxx
+
=−−+
46. x.
23x2
3x2
x3
=−−
−
47. x
2
+
55x =+
48. x
2
+
11x
2
=+
49.
3
33
3x22x1x −=−+−
50.
3x17x
4
4
=−+
51.
31x2x
3
=++−
52.
6x12x24
3
=−++
53.
3
32
23x1x =−−−
54.
1x
2
1
x
2
1
3
=−++
55.
6
2
33
1x1x1x −=−−+
56.
3)x6)(x3(x63x
=−+−−++
57.
13x34x
33
=−−+
58.
3
3
1x221x −=+
59.
2x14x12
33
=++−
60.
3
3
3
1x216x1x2 +−=−
61.
22
x1xx1x −=−+
62.
2323
x22x)x1(x
−=−+
63.
1xxx21
24
−=−−
64.
x3x93x93
22
−=−−−−+
65.
2xxxx =−++
66.
1449x14x49x14x
=−−+−+
67.
275x232x5x22x
=−+++−+−
68.
9x6x69x6x
−−−=−+
69.
1x1x2x1x2x −=−−+−+
70.
3
3
x1
x23
x23
x1
−
+
+
+
−
=2
71.
4
1x
1x
1x
1x
44
=
+
−
+
−
+
72.
25
x16
1x
1x
x16
5
5
=
−
+
−
73.
1
4
1
x
2
1
xx =++++
73.
4x5x23x4x2x3x
222
+−=+−++−
74.
4x3x23x2x2xx
222
−−=−−+−−
75.
1x2x1x21
22
=+−+
76.
4 2
4
2
4
2
1x
2
3
)1x()1x( −=+−−
77.
x235x7x7xx
2
−=++++
Tµi liÖu luyÖn thi §¹i häc m«n to¸n
Trang 25
