de va dap an ki thi hoc sinh gioi lop 11

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
MÔN TOÁN KHỐI 11
(Thời gian 180 phút)
Bài 1:(4điểm) Cấp số cộng (u
n
) thỏa mãn: tồn tại 2 số nguyên dương m và p để
( )
m p
1 1
u = ; u = m p
p m
≠
. Tính tổng m.p số hạng đầu của cấp số cộng đó
Bài 2:(4 điểm) Giải hệ phương trình:
22 × 2 2009 2053
2009 22 × 2 2053
x y
x y

+ + − =


− + + =



Bài 3: (4 điểm) Tổng:
1 1 1 1

1!2009! 3!2007! 5!2005! 2009!1!
S = + + + +

có thể viết dưới dạng
2
a
b
. Hãy tìm cặp số (a;b).
Bài 4: ( 4điểm) Cho dãy số
( )
n
u
với
1
.2
n
n
u n
−
=
Tính tổng 2009 số hạng đầu tiên của
dãy.
Bài 5: (4 điểm)Cho tam giác ABC có đường cao AA’; Qua B và C kẻ các đường thẳng d
và d’ cùng vuông góc với BC. Qua A’ vẽ 2 đường thẳng lần lượt vuông góc với
AB và AC, 2 đđường thẳng này lần lượt cắt d và d’ tại M,N. Chứng minh đđường
thẳng MN đi qua trực tâm H của tam giác ABC.
HẾT
ĐÁP ÁN
Bài
1
Gọi d là công sai của CSC .Ta có

( )

( )
( )
( )
1
1
1
1 1
1
1
1
1
1
1
1 1 1
1
1
1
2 2 2
m
p
mp
u u m d
p
u u p d
m
u
mp
d
mp
mp

u u mp d
mp mp mp
mp
S mp mp

= + − =




= + − =



=


⇒


=


 
+ + −
 
+ + −
 
+
   

⇒ = = =
1đ
1,5đ
1,5đ
Bài
2
Điều kiện:
, 2009;x y ≥
Đặt u=22.2; v=2009. Hệ đã cho có dạng
x u y v u v
x v y u u v
x u y v x v y u x y

+ + − = +


− + + = +


⇒ + + − = − + + ⇔ =
Khi đó:
( ) ( )
1 1
x u x v
u v x u x v x u y v
x u x v
+ − −
= + ⇒ + − − = ⇒ + − − =
+ − −
Hệ đã cho tương đương với

2
1
1 1
1054685
2 2
x u y v u v
x u y v
u v u v
x u x u

+ + − = +


+ − − =


+ + + +
 
⇒ + = ⇒ = − =
 ÷
 
Vậy hệ có nghiệm duy nhất :
( ) ( )
; 1054685;1054685x y =
1,5đ
1đ
0,5đ
1đ
Bài
3

Ta có :
( ) ( )
1 3 5 2009
2010 2010 2010 2010
2009
2009
.2010!
.2010! 2
2
; 2009;2010!
2010!
S C C C C
S
S a b
= + + + +
⇒ =
⇒ = ⇒ =
2đ
1đ
1đ
Bài
4
Ta có :
2 3 2008
2009
1 2.2 3.2 4.2 2009.2S = + + + + +

Tách
2009
S

thành 2009 hàng, mỗi hàng là tổng của một cấp số nhân như sau:
2 3 4 2007 2008
2009
2 3 4 2007 2008
2 3 4 2007 2008
3 4 2007 2008
1 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2

S = + + + + + + +
+ + + + + + +
+ + + + + +
+ + + + +
2007 2008


2 2

+ +
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
2008
2009 2008 2 2007 2007 2
2008
2009
2009 2 3 2008 2009
2

1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1
2 2 1

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
=2009.2 1 2 2 2 2 2008.2 1
S
+
− − − −
−
⇒ = + + + + +
− − − − −
− + + + + + = +
0,5đ
2đ
1đ
0,5đ
Bài
5
Gọi M’, N’ lần lượt là giao điểm của
CH, BH với d và d’. Ta có HA’MM’,
HA’NN’ là các hình bình hành
⇒ MM’NN’ là hình bình hành.
Gọi H’ là giao điểm của M’N’ với AA’
ta có
' ' 'H H M M N N= =
uuuuur uuuuuur uuuuur
⇒ M,N,H lần lượt là ảnh của 3 điểm
thẳng hàng M’,N’,H’ qua phép tònh tiến
theo
'H H

uuuuur
⇒ M,N,H thẳng hàng (đpcm)
2đ
2đ
A
d’
d N’
H’
N
M’
H
M
B C
A’