TU LUAN DAO DONG VA SONG

Tai lieu LTĐH
DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
I) DAO ĐỘNG CƠ – DAO ĐỘNG TUẦN HOÀN:
Bài 1: Tìm biểu thức vận tốc và tính vận tốc tại thời điểm t (s). Biết vật dđđh với phương trình :
1) x = 3cos (4
π
t +
π
/3) (cm). t = 2(s). 2) x = 4cos (5
π
t -
π
/2) (cm). t = 5(s).
Bài 2: Tính vận tốc tại li độ x = x
0
. Biết vật dao động điều hòa có pt:
1) x = 2cos (2
π
t+
π
/3 ) (cm). Tính vận tốc của vật tại vò trí x =
2
(cm) và vận tốc cực đại của vật.
2) x = 4cos(5
π
t+
π
/3) (cm). Tính vận tốc cực đại và vận tốc của chất điểm khi nó có li độ x = 2(cm).
Bài 3: Biết vật dao động điều hòa có pt:
1) x = 5cos 10
π

t(cm). Tính vận tốc trung bình khi vật đi từ biên trái sang biên phải .
2) x = 0,05 cos 20t (m). Tính v
max
, Tính v
tb
khi vật dao động trong ¼ chu kỳ đầu.
3) x = 2cos(2
π
t+ 5
π
/6(cm). Tính vận tốc trung bình khi vật đi từ vò trí có li độ x = -1(cm) đến vò trí có li độ
x = 1 (cm)
Bài 4: Tìm biểu thức lực và tính độ lớn lực tác dụng lên vật khi biết:
a) x = 5cos(10
π
t+
π
/3)(cm). t = 5s .Cho
π
2
=10, m = 40 (g).
b) x = 4cos(10
π
t -
π
/2)(cm). t = 5s .Cho
π
2
=10, m = 50 (g).
Bài 5: Tìm biểu của gia tốc và xét tính nhanh chậm của vật tại thời điểm t khi biết:

Vật dao động với phương trình:( cho
π
2
≈
10)
c) x= 5 cos (2
π
t+
π
/4) (cm). Cho t = 0 (s)
d) x = 2cos (
π
t +
π
/6) (cm) , lúc t = 0.5 (s)
e) x = 8 cos (2
π
t+
π
/3 ) (cm), x = 4 cm và v > 0
Bài 6: Kỹ năng viết ptdđ:
1) Cho gốc thời gian t = 0 khi vật ở VTCB:Một dao động điều hoà trên đoạn thẳng MN = 4 (cm),
tần số 2 (Hz). Chọn gốc thời gian là lúc vật đi qua vò trí cân bằng theo chiều dương.
f) Một chất điểm dao động điều hoà với biên độ 3 (cm), trong 2 phút thực hiện được 60 dao động . Chọn t =
0 khi chất điểm có x = 0 và v< 0.
2) Cho gốc thời gian t = 0 khi vật ở x = A, x = - A:
g) Một dao động điều hoà với biên độ 5 (cm), chu kỳ 2(s). Chọn gốc thời gian khi vật có li độ cực đại (+ A).
h) Một chất điểm dao động điều hoà với biên độ 5 (cm), trong 40 (s) thực hiện được 40 dao động . Chọn
góc thời gian ( t = 0) khi x = - A.
3) Cho gốc thời gian t = 0 khi vật có li độ x bất kì:

i) Một vật dao động điều hoà với tần số góc
ω
= 10
5
(rad/s). Tại thời điểm t = 0 vật ở vò trí ly độ x = 2
( cm) và có vận tốc 20
15
(cm)
j) Một dao động điều hoà với chu kỳ T = 1(s). Lúc t = 2,5 (s), vật qua vò trí có ly độ x = - 5
2
(cm) với
vận tốc v = - 10
π
2
(cm/s).
k) Có tần số góc
ω
= 10
5
(rad/s). tại thời điểm t = 0 vật ở vò trí ly độ x = 2 ( cm) và có vận tốc v = 20
15
(cm/s).
2) Tự chọn gốc thời gian:
a) Một dao động điều hoà trên đoạn thẳng MN = 10 (cm), tần số 1 (Hz)
b) Một chất điểm dao động điều hoà với biên độ 6 (cm), trong 5 (s) thực hiện được 10 dao động
Bài 7: Tìm ly độ x biết:
1) Một vật dao động điều hòa với phương trình : x = 3sin(2
π
t-
π

/6 ) (cm). Tìm ly độ dao động :
a)Khi pha dao động bằng
π
/4 (rad). b) tại thời điểm t = 1/3 (s) c) khi v = 3π
Bài 8: Đònh thời gian t:
Trang: 1
Tai lieu LTĐH
1) Một vật dao động điều hòa với phương trình: x = 5 cos 10 t (cm). Đònh thời điểm vật qua vò trí x = 2,5
(cm) lần thứ 9.
2) Một qủa cầu dao động điều hòa với phương trình: x = 2 cos (20t +
π
/2) (cm,s). Sau bao lâu kể từ khi bắt
đầu dao động, qủa cầu sẽ đi qua vò trí x = 1(cm) lần thứ 1999? (HVQHQTế – 2000)
3) Một qủa cầu dao động điều hòa với phương trình: x = 2cos(
π
t -
π
/2) (cm,s). Sau bao lâu kể từ khi bắt
đầu dao động, qủa cầu sẽ đi qua vò trí x = -1cm lần thứ 2001?
4) Một qủa cầu dao động điều hoà với phương trình : X = 3cos(5
π
t +
π
/2) (cm/s). Sau bao lâu kể từ khi
bắt đầu dao động, quả cầu sẽ đi qua vò trí x = -1,5 (cm) lần đầu tiên, theo chiều dương?
BÀI TẬP TỔNG HP PHẦN DAO ĐỘNG
Bài 9: Một vật dao động điều hoà dọc theo trục 0x, vận tốc của vật khi đi qua vò trí cân bằng là 62,8cm/s và gia
tốc cực đại của vật là 2m/s
2
. Lấy π

2
= 10.
1) Xác đònh biên độ, chu kì và tần số dao động của vật.
2) Viết phương trình dao động của vật nếu gốc thời gian chọn lúc vật qua điểm M
0
có li độ
= −
0
x 10 2(cm)
theo chiều dương trục toạ độ còn gốc toạ độ tại VTCB của vật.
3) Tìm thời gian vật đi từ vò trí cân bằng đến vò trí M
1
có li độ x
1
= 10cm. (Đại Học Sư Phạm Vinh- 2001)
Bài 10: Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox. Vận tốc của vật khi qua vò trí cân bằng là 62,8 cm/s và gia
tốc cực đại của vật là 4 m/s
2
. Lấy π
2
≈ 10.
1) Viết phương trình dao động của vật. Gốc tọa độ và vò trí cân bằng, gốc thời gian là lúc vật qua vò trí đó li
độ -5
2
cm theo chiều dương của trục tọa độ.
2) Tìm vận tốc trung bình trên đoạn đường tính từ vò trí vật bắt đầu dao động đến vò trí có li độ 5
2
cm lần
thứ nhất ở chu kì dao động đầu. (CĐ Giao Thông Vận Tải – 2004)
Bài 11: Một vật có khối lượng m = 100g dao động điều hòa theo qui luật

 
 ÷
 
π
= π +x(t) 4sin 5 t
6
(cm,s).Viết
biểu thức của vận tốc v(t) gia tốc a(t) và xét tính nhanh chậm của vật tại thời điểm t = 0,1s.
(Trường Đại Học Dân Lập Văn Lang- 2001)
1) Vấn đề : CON LẮC LÒ XO
Bài 1: Cho vật dao động có m = 1kg, lò xo có độ cứng k = 100 N/m. Tìm chu kì dao động
Bài 2: Khi treo vật có khối lượng m vào lò xo thì lo xo giãn một đoạn 5 cm, tính chu kì dao động của vật. Biết
2 2
10 /g m s
π
= =
.
Bài 3: Vật m gắn vào lò xo có hệ số đàn hồi k = 10N/cm. Trong 30 giây vật thực hiện được 60 dao động. Tính
chu kì T và khối lượng m của vật.
Bài 4: Một vật dao động điều hoà khi đi từ biên về vò trí cân bằng mất khoảng thời gian là 0,5s. Tính chu kì dao
động của vật.
Bài 5: Một con lắc lò xo thẳng đứng có khối lượng m = 0,25(kg), độ cứng k = 10 ( N/m).
Tính ∆ l. (g =
2
π
m/s
2
).
Bài 6: Một con lắc lò xo dao động có chu kỳ T = 0,5 (s), khối lượng qủa nặng là m = 0,4 (kg). Lấy
2

π
= 10. Tính
k , ∆ l . (g =
2
π
m/s
2
)
Bài 7: Một con lắc lò xo thẳng đứng thực hiện được 20 dao động trong 10(s) lấy
2
π
= 10. Biết khối lượng quả
nặng là m = 100(g). Tính k , ∆ l , (g =
2
π
m/s
2
).
Bài 8: Một con lắc lò xo nằm ngang có độ cứng k = 25 (N/m). Dao động điều hòa và thực hiện được 10 dao
động trong 8(s). Tính m. Lấy
2
π
= 10.
Bài 9: Một con lắc lò xo nằm ngang có độ cứng k = 80 (N/m), chu kỳ T = 0,314 (s). Tính m.
Trang: 2
Tai lieu LTĐH
Bài 10: Một lò xo có độ cứng k = 80 (N/m) . Lần lượt gắn vào quả cầu có các khối lượng m
1
, m
2

và kích thích.
Trong cùng khoảng thời gian, con lắc có m
1
thực hiện đựơc 10 dao động trong khi con lắc lò xo có m
2
chỉ thực
hiện được 5 dao động. Gắn cả hai quả cầu vào lò xo. Hệ này có chu kỳ dao động là 1,57 (s)
≈

π
/2 (s) . Tính m
1
,
m
2
.
Bài 11: Khi gắn quả nặng m
1
vào một lò xo, nó dao động với chu kì T
1
= 1,2 giây. Khi gắn quả nặng m
2
vào lò
xo đó, nó dao động với chu kì T
2
= 1,6giây. Hỏi khi gắn đồng thời m
1
và m
2
vào lò xo đó chúng có dao động với

chu kì bằng bao nhiêu.
Bài 12: Một con lắc lò xo thẳng đứng có k = 100 (N/m ), khối lượng qủa nặng m = 1 (kg). Được đặt trong thang
máy chuyển động nhanh dần đều đi lên với gia tốc a = 2 m/s
2
. Cho g = 10(m/s
2
). Tính chu kì T, ∆ l.
Bài 13: Một con lắc lò xo thẳng đứng có khối lượng m = 0,5 (kg), độ cứng k = 50 ( N/m). Con lắc được đặt trong
thang máy chuyển động chậm dần đều đi lên 1m/s
2
Cho g = 10(m/s
2
). Tính chu kì T, ∆ l.
Dạng II: DẠNG TOÁN VỀ VẬN TỐC - GIA TỐC - QUÃNG ĐƯỜNG.
Bài 1: Một vật dao động với chu kì T = 1s, và có vận tốc lớn nhất là 30cm/s. Tính biên độ dao động và quãng
đường vật đi được sau khoảng thời gian 5,5 s.
Bài 2: Vật dao động trên đoạn thẳng MN = 4 (cm).Và thực hiện được 60 dao động trong 1 phút. Tính biên độ A, tần số góc
ω của vật.
Bài 3: Một vật dao động điều hoà có phương trình: x = 3cos (4
π
t +
π
/3) (cm, s).
1) Tìm quỹ đạo, chu kì, tần số.
2) Tìm li độ x khi:
a) Pha dao động là
π
/4. b) Khi t = 2s.
3) Viết biểu thức của vận tốc, gia tốc. Tính vận tốc gia tốc tại thời điểm t = 0,5s và nhận xét chiều chuyển
động khi đó.

4) Tính vận tốc cực đại và gia tốc cực đại của chuyển động.
Bài 4: Tính vận tốc tại x = x
0
khi biết ptdđ:
1) x = 4cos(10
π
t -
π
/2) (cm,s). x
0
= 2(cm). 2) x = 9cos(2
π
t +
π
/3) (cm,s). x
o
= 0 (cm).
Bài 5: Vật dao động điều hoà trên quỹ đạo CD = 8cm, với chu kì T = 2s. Tìm vận tốc của vật tại vò trí x = 2 cm,
và x = 0 cm.
Bài 6: Một vật dao động điều hòa khi vật có li độ x
1
= 2(cm) thì
1
v
= 4
3
π
(cm/s), khi vật có li độ x
2
= 3(cm)

thì
2
v
=
72
π
(cm/s). Tính A,
ω
.
Bài 7: Khi vật có li độ x
1
= 2(cm) thì
1
v
= 7(cm/s), khi vật có li độ x
2
= 3(cm) thì
2
v
= 2(cm/s). Tính A,
ω
.
Bài 8: Tính vận tốc của vật theo chiều dương tại x
0
= 2(cm), khi biết ptdđ:
x = 4sin(10
π
t -
π
/2) (cm,s).

Bài 9: Tính vận tốc của vật theo chiều dương tại thời điểm t
0
= 0,3s khi biết ptdđ:
x = 4sin(10
π
t -
π
/2) (cm,s).
Bài 10: Biết vật dao động điều hòa có pt:
1) x = 5cos 10
π
t (cm). Tính vận tốc trung bình khi vật đi từ biên trái sang biên phải .
2) x = 8cos 20
π
t (cm). Tính v
max
, Tính v
tb
khi vật dao động trong ¼ chu kỳ đầu.
3) x = 2cos(2
π
t+ 5
π
/6(cm). Tính vận tốc trung bình khi vật đi từ vò trí có li độ x = -1(cm) đến vò trí có li độ x
= 1 (cm).
4) Chứng tỏ rằng vận tốc trung bình của một vật dđđh trong một chu kỳ là
max
2
vv
π

=
.
Dạng III: DẠNG TOÁN VỀ LỰC ĐÀN HỒI (LỰC CĂNG LÒ XO) – LỰC PHỤC HỒI.
Trang: 3
Tai lieu LTĐH
Bài 1: Vật có khối lượng m = 1kg treo vào đầu dưới của lò xo có hệ số đàn hồi k, vật dao động theo pt: x = 10cos
π
2 t (cm,s)
6
π
 
+
 
 
.
1) Tính hệ số đàn hồi k.
2) Tính lực phục hồi, lực căng lò xo tại thời điểm t = 1s. Biết trục 0x có chiều dương hướng xuống, gốc toạ độ
tại vò trí cân bằng.
Bài 2: Một vật có khối lượng m = 1kg, treo vào lò xo có hệ số đàn hồi k, phương trình dao động của vật có dạng:
(
12cos 5
3
x t
π
π

= +
÷

(cm, s)

1) Tính độ cứng k, chu kì T của dao động.
2) Tính lực đàn hồi, lực phục hồi cực tiểu, cực đại.
Bài 3: Vật có khối lượng m = 100g, treo vào lò xo có độ cứng k và dao động với phương trình:
10cos2 ( , )x t cm s
π
=
.
1) Tính giá trò cực đại của lực phục hồi.
2) Tính giá trò cực đại và cực tiểu của lực đàn hồi.
Bài 4: Một con lắc lò xo dao động theo phương ngang với biên độ A = 8(cm), chu kỳ T = 0,5 (s), khối lượng qủa
nặng là m = 0,4 (kg). Lấy
2
π
= 10.
1) Tìm độ cứng của lò xo.
2) Tìm giá trò cực đại và cực tiểu của lực đàn hồi tác dụng vào quả nặng.
Bài 5: Một con lắc lò xo thẳng đứng có khối lượng m = 0,25(kg), dao động điều hòa với phương trình x = - 10 sin
(2
π
t+
π
/2) (cm,s). Tại vò trí vật có li độ x = 5 cm hãy tính giá trò của:
1) Lực đàn hồi .
2) Lực hồi phục.
3) Lực tác dụng vào điểm treo.
Bài 6: Một con lắc lò xo thẳng đứng dao động điều hoà với phương trình x = 2 sin10
π
t (cm,s), có m = 500 (g).
Tính giá trò lực đàn hồi của lò xo tại thời điểm t = 0,1(s).
Bài 7: Một con lắc lò xo thẳng đứng có khối lượng m = 100(g), độ cứng k = 40 ( N/m). Từ vò trí cân bằng kéo

viên bi xuống dưới theo phương thẳng đứng 3(cm) rồi buông nhẹ.Tính giá trò cực đại ,cực tiểu của :
1) Lực đàn hồi. 2) Lực tác dụng vào điểm treo.
Bài 8: Tìm biểu thức lực và tính độ lớn lực tác dụng kên vật khi biết:
1) x = 5cos(10
π
t+
π
/3)(cm). t = 5s .Cho
π
2
=10, m = 40 (g).
2) x = 4cos(10
π
t -
π
/2)(cm). t = 5s .Cho
π
2
=10, m = 50 (g).
Dạng IV: NĂNG LƯNG TRONG DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
Bài 1: Con lắc lò xo có độ cứng k = 100N/m dao động với biên độ A = 6 cm.
1) Tính cơ năng của con lắc.
2) Tính thế năng và động năng ứng với x = 2cm, x = 3cm.
Bài 2: Con lắc lò xo có m = 0,5 kg, k = 50N/m. Hãy dùng đònh luật bảo toàn cơ năng để tính biên độ dao động
trong các trường hợp sau:
1) Kéo vật xuống dưới vò trí cân bằng đoạn 5cm rồi buông nhẹ.
2) Ở VTCB ta truyền cho vật vận tốc 100cm/s hướng xuống dưới.
3) Kéo vật xuống dưới vò trí cân bằng đoạn 4cm rồi truyền cho vật vận tốc 30cm/s.
Bài 3: Con lắc lò xo có m = 100g, treo vào đầu dưới lò xo làm lò xo giãn ra 2cm. trong quá trình dao động chiều
dài lò xo biến thiên từ 20cm đến 30cm.

1) Tìm độ cứng k của lò xo.
2) Tìm động năng và thế năng của vật khi lò xo có độ dài 26cm. cho g = 10m/s
2
.
Trang: 4
Tai lieu LTĐH
Bài 4: Khi treo vật vào đầu dưới của lò xo làm lò xo giãn ra 10cm.
1) Cho g = 10m/s
2
. Tính chu kì dao động của vật.
2) Tại vò trí cân bằng của vật người ta truyền cho nó vận tốc v
0
hướng xuống, năng lượng truyền cho vật là E
= 0,1 (J). Xác đònh biên độ A vận tốc v
o
của vật, cho m = 100g.
Bài 5: Một con lắc lò xo nằm ngang có độ cứng k = 600 (N/m) dao động với biên độ 20 (cm) .
1) Tính cơ năng của con lắc.
2) Tính động năng và thế năng của con lắc tại ly độ x = 10m/s (cm).
Bài 6: Một con lắc lò xo, có khối lượng m = 100 (g) dao động điều hoà với chu kì T = 0,2 (s) và biên độ 4 (cm).
1) Tính cơ năng của con lắc.
2) Tính vận tốc của viên bi khi nó có ly độ x = 2 (cm).
Bài 7: Một con lắc lò xo nằm ngang dao động điều hoà với biên độ 4 (cm). Xác đònh ly độ của vật khi thế năng
bằng động năng.
Bài 8: Một con lắc lò xo gồm lò xo có khối lượng không đáng kể, độ cứng k = 40 (N/m) dao động điều hoà với
biên độ A = 5 (cm). Hãy tính động năng của viên bi ở vò trí có ly độ x = 3 (cm).
Bài 9: Một con lắc lò xo nằm ngang ,viên bi có khối lượng m =100 (g), dao động điều hòa với phương trình : x = - 2 sin
(2
π
t+

π
/2) (cm). Tính động năng của con lắc tại thời điểm t = ¼ (s).
Bài 10: Một con lắc lò xo có độ cứng k = 150 N/m và có năng lượng dao động là E = 0,12(J). Tính biên độ dao
động. cho g = 10 ( m/s
2
).
Bài 11: Một con lắc lò xo dao động với biên độ A = 4(cm), độ cứng của lò xo k = 40 ( N/m), khối lượng viên bi
m =100 (g), khi con lắc có li độ cực đại, ta truyền thêm cho nó một vận tốc v= 0,6 ( m/s) theo hướng chuyển động.
Tính biên độ mới A’ của con lắc. cho g = 10 ( m/s
2
).
Bài 12: Một con lắc lò xo có m = 500 (g) dao động điều hoà với phương trình x = Asin10
π
t (cm). Khi pha dao
động bằng
π
/3 (rad) thì vật có vận tốc v = 10
π
(cm/s)
π
2

≈
10. Tính biên độ và cơ năng của dao động. cho g =
10 ( m/s
2
).
Bài 13: Một con lắc lò xo có khối lượng m =1 (kg), độ cứng k = 25 (N/cm) dao động điều hoà. Tính biên độ dao
động của con lắc lò xo trong các trường hợp sau:
1) Truyền cho viên bi vận tốc v = 2 (m/s) theo phưông của trục lò xo từ vò cân bằng.

2) Đưa viên bi đến vò trí cách vò trí cách vò trí cân bằng 3 (cm) rồi truyền cho viên bi một vận tốc v = 5(m/s).
Cho g = 10 ( m/s
2
).
DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG.
Phương trình dao động: x = A sin(
ω
t +
ϕ
)
• PHƯƠNG PHÁP TÍNH CÁC ĐẠI LƯNG:
1. Tìm:
ω
k : độ cứng của lò xo N/ m
2 k
2 f
T m m : khối lượng vật nặng (kg)
ì
ï
p
ï
= = =w p
í
ï
ï
ỵ
2. Tìm A:
Đề cho
Phương pháp
Chú ý:

* Toạ độ x, ứng vận tốc v
2
2
2
v
A x= +
w
-Buông nhẹ, thả => v = 0, x=A
-kéo ra đoạn x, truyền vận tốc
=> v ≠ 0.
* Vận tốc ở VTCB
max
v A.= w
x = 0.
Trang: 5
Tai lieu LTĐH
* Chiều dài quỹ đạo CD, L…
max min
l l
CD L
A
2 2 2
-
= = =
l
max
; l
min
là độ dài lớn nhất, nhỏ
nhất của lò xo.

* Hợp lực tác dụng lên vật F
max

max
F kA=
-Lực phục hồi cực đại
-đơn vò k(N/m), A(m)
* Cho năng lượng E
2
1
E kA
2
=
-đơn vò k(N/m), A(m),
=> E(jun)
3. Tìm ϕ : Dựa vào điều kiện ban đầu: t = 0, x = x
0
, v = v
0
(v
0
< 0 lấy φ lớn, v
0
> 0 lấy φ nhỏ)
Bài 1: Một vật có khối lượng m = 0,5 kg treo vào đầu dưới lò xo có độ cứng k = 50N/m. chọn trục toạ độ thẳng
đứng chiều dương hướng xuống, gốc toạ độ 0 tại vò trí cân bằng, gốc thời gian là lúc vật bắt đầu dao động. Hãy
viết phương trình dao động của vật trong mỗi trường hợp sau:
1) Kéo vật xuống dưới vò trí cân bằng đoạn 5cm rồi thả nhẹ.
2) Ở VTCB của vật ta truyền cho vật vận tốc v = 50cm/s hướng xuống.
3) Nâng vật lên cách VTCB đoạn 5cm rồi buông nhẹ.

4) Nâng vật lên vò trí cách VTCB đoạn 5cm rồi truyền cho nó vận tốc v = 10cm/s hướng lên.
Bài 2: Vật dao động điều hoà với tần số f = 1Hz, biên độ 12cm. Hãy viết phương trình dao động của vâït trong
các trường hợp sau:
1) Lấy gốc thời gian là lúc vật qua VTCB theo chiều âm.
2) Lấy gốc thời gian là lúc vật qua vò trí x = 6cm theo chiều âm.
3) Lấy gốc thời gian là lúc vật ở vò trí x = +A = +12cm.
4) Lấy gốc thời gian là lúc vật qua vò trí x = - 5cm theo chiều dương.
Bài 3: Một lắc lò xo có m = 500g, độ cứng k = 50N/m. Từ VTCB kéo vật xuống dưới đoạn 10cm rồi buông nhẹ.
1) Viết phương trình dao động của vật, chọn gốc toạ độ tại VTCB, trục toạ độ thẳng đứng chiều dương hướng
xuống, gốc thời gian là lúc vật qua VTCB theo chiều dương.
2) Tính vận tốc vận khi qua VTCB. 3) Tính lực đàn hồi cực đại.
Bài 4: Một chất điểm dao động điều hoà với chu kì T = 1s. Biết lúc t = 0 thì chất điểm qua vò trí có li độ x = ±
5 2
cm với vận tốc v=
10 2 /cm s
π
. Viết phương trình dao động, Tính vận tốc vật khi qua VTCB.
Bài 5: Vật m = 1kg treo vào lò xo có độ cứng k. Sau thời gian 2 phút vật thực hiện được 120 dao động.
1) Tìm độ cứng k của lò xo.
2) Viết phương trình dao động. Biết từ VTCB ta kéo vật ra một đoạn 5cm và truyền cho vật vận tốc 10cm/s
theo phương thẳng đứng hướng xuống. Chọn gốc thời gian là lúc vật qua VTCB theo chiều âm.
3) Tìm li độ lúc t = 0,25s. Xác đònh chiều chuyển động khi đó.
Bài 6: Một con lắc lò xo, viên bi có khối lượng m = 1(kg), độ cứng k = 4(N/cm) dao động điều hòa với biên độ A
= 5(cm). Chọn gốc thời gian (t = 0) khi vật có li độ x = 2,5 (cm) và đang đi theo chiều dương . Viết phương trình
dao động .
Bài 7: Một con lắc lò xo nằm ngang có khối lượng m = 100 (g), độ cứng k = 80 (N/m). Chọn gốc thời gian khi vật
có li độ x = -2 (cm) và đang chuyển động với vận tốc v = -40 6 (cm/s). Viết phương trình dao động .
Bài 8: Một con lắc lò xo nằm ngang có khối lượng m = 1kg, độ cứng k = 400 (N/m). tại thời điểm t = 0 thì viên
bi có ly độ x = - 4 (cm) và vận tốc v = - 0,8 (m/s). Viết phương trình dao động . Lấy
π

2
= 10.
Bài 9: Một con lắc lò xo thực hiện dao động điều hoà theo phương thẳng đứng. Khoảng cách từ vò trí thấp nhất
đến vò trí cao nhất là 10(cm), thời gian vật đi từ vò trí thấp nhất đến vò trí cao nhất là 1(s). Chọn gốc tọa độ là vò
trí cân bằng, chiều dương hướng lên, gốc thời gian lúc vật ở vò trí thấp nhất. Viết phương trình dao động.
Bài 10: Một con lắc lò xo có khối lượng m = 200g, dao động điều hòa theo phương ngang với biên độ 8(cm).
Khi t = 0 vật đi qua vò trí cân bằng theo chiều âm, khi a = 0 thì lực đàn hồi có giá trò 4(N). Cho
π
2
= 10. Chọn gốc
tọa độ là vò trí cân bằng.Viết phương cân bằng
Trang: 6
Tai lieu LTĐH
Bài 11: Một con lắc lò xo có khối lượng m = 1,5 kg, dao động điều hòa nhờ cung cấp một thế năng 0,3 (J). Lúc ở
vò trí biên, lực đàn hồi có giá trò 15 (N). Viết phương trình dao động, chọn gốc thời gian khi x = A/2 và vật đang đi
theo chiều âm .Lấy
π
2
= 10.
DẠNG TOÁN TÌM THỜI ĐIỂM VẬT QUA VỊ TRÍ BIẾT TRƯỚC
Bài 1: Cho vật dao động điều hoà với phương trình:
4cos
3
x t
π
π
 
= +
 ÷
 

(cm, s).
1) Tìm thời điểm vật qua vò trí có toạ độ x = 2 cm.
2) Tìm thời điểm vật qua VTCB theo chiều dương, chiều âm.
3) Tìm thời điểm vật qua vò trí x = -2cm và đang đi theo chiều âm lần đầu tiên.
4) Tìm thời điểm vật qua vò trí x =
2 2
cm lần thứ 3 theo chiều dương.
Bài 2: Một vật dao động điều hoà có theo phương trình:
2cos
4
x t
π
π
 
= −
 ÷
 
(cm, s). Tìm các thời điểm:
1) Vật qua vò trí có toạ độ x =
2−
cm và đang chuyển động theo chiều dương.
2) Vật qua vò trí có x = +A.
Bài 3: Một chất điểm dao động điều hoà giữa 2 điểm MN, O là trung điểm MN. Thời gian vật đi từ O đến M là
6s. Tính thời gian vật đi từ vò trí O đến điểm giữa OM.
Bài 4: Một vật dao động điều hoà giữa hai điểm P và Q với PQ = 10(cm), tần số f = 2Hz, vò trí cân bằng là O.
Gọi M, N là trung điểm của OP và OQ. Tính vận tốc trung bình của vật trên đoạn MN.
Bài 5: Một vật dao động điều hoà dọc theo trục 0x, vận tốc của vật khi đi qua vò trí cân bằng là 62,8cm/s và gia
tốc cực đại của vật là 2m/s
2
. Lấy π

2
= 10.
1) Xác đònh biên độ, chu kì và tần số dao động của vật.
2) Viết phương trình dao động của vật nếu gốc thời gian chọn lúc vật qua điểm M
0
có li độ
= −
0
x 10 2(cm)

theo chiều dương trục toạ độ còn gốc toạ độ tại VTCB của vật.
3) Tìm thời gian vật đi từ vò trí cân bằng đến vò trí M
1
có li độ x
1
= 10cm. (Đại Học Sư Phạm Vinh- 2001)
Bài 6: Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox. Vận tốc của vật khi qua vò trí cân bằng là 62,8 cm/s và gia
tốc cực đại của vật là 4 m/s
2
. Lấy π
2
≈ 10.
1) Viết phương trình dao động của vật. Gốc tọa độ và vò trí cân bằng, gốc thời gian là lúc vật qua vò trí đó li
độ -5
2
cm theo chiều dương của trục tọa độ.
2) Tìm vận tốc trung bình trên đoạn đường tính từ vò trí vật bắt đầu dao động đến vò trí có li độ 5
2
cm lần
thứ nhất ở chu kì dao động đầu. (CĐ Giao Thông Vận Tải –

2004)
Dạng V: CẮT GHÉP LÒ XO:
PHƯƠNG PHÁP
1 . Lò xo ghép nóâi tiếp:
Ta có: F = F
1
= F
2
(1)
1 2
l l l= +D D D
(2)
Mà:
1 1 1 2 2 2
F = k l F = k l F k. l= = =D D D
Thế vào (2):
1 2
1 2
F FF
k k k
= +
Từ (1) suy ra:
1 2
1 1 1
k k k
= +
2. Lò xo ghép song song
Trang: 7
M
k

1
k
2
k
1
m
k
2
Tai lieu LTĐH
Ta có : F = F
1
+ F
2
(1)
1 2
l l l= =D D D
(2)
(1) =>
1 1 2 2
k l k l k l= +D D D
Từ (2) suy ra:
1 2
k k k= +
Bài 1: Hai lò xo có độ cứng k
1
= 120 (N/m) và k
2
= 600(N/m) được nối với nhau thành một lò xo dài treo thẳng
đứng. Vật có khối lượng m = 0,3 (kg) được gắn vào điểm cuối.
1) Tính các độ dãn của mỗi lò xo khi vật cân bằng

2) Tính độ cứng K của hệ
3) Tính chu kỳ dao động , lấy g =
π
2
=10(m/s
2
).
Bài 2: Hai lò xo có độ cứng k
1
= 80 (N/m) và k
2
= 20(N/m). ghép nối tiếp vật có khối lượng m = 1 (kg) và có thể
trượt không ma sát trên mặt ngang .
1) Tính các độ dãn của mỗi lò xo khi vật cân bằng
2) Tính độ cứng K của hệ
3) Tính chu kỳ dao động , lấy g =
π
2
=10(m/s
2
).
Bài 3: Hai lò xo có độ cứng k
1
= 50(N/m) và k
2
= 100 (N/m), chiều dài tự nhiên l
01
= 20(cm) và l
02
= 30 (cm) gắn

với khối m = 500(g) treo thẳng đứng
1) Tính chiều dài của mổi lò xo khi vật cân bằng
2) Tính độ cứng K của hệ.
Bài 4: Hai lò xo giống nhau có độ cứng k = 50(N/m). Vật m = 250 (g) có kích thước không đáng được ghép //
và treo theo phương thẳng đứng.
1) Tính độ biến dạng của hệ lò xo khi vật cân bằng.
2) Tính độ cứng k của cả hệ.
Bài 5: Hai lò xo có độ cứng K
1
= 40N/m và K
2
= 60N/m, được ghép theo phương ngang.
1) Tìm hệ số đàn hồi k của hệ.
2) Cho m = 1kg tính tầ số góc của hệ.
Bài 6: Hai lò xo có độ cứng k
1
= 50(N/m) và k
2
= 100 (N/m), chiều dai tự nhiên l
01
= 20(cm) và l
02
= 30 (cm)
gắn với khối m = 500(g) như hình vẽ . Kích thước vật m không đáng kể , AB = 80 (cm), ma sát không đang kể .
1) Tính độ biến dạng mỗi lò xo.
2) Tính hệ số đàn hồi của hệ.
Bài 7: Hai lò xo có độ cứng k
1
= 60 (N/m) và k
2

= 40 (N/m), chiều dài tự
nhiên l
01
= 30 (cm) và l
02
= 20 (cm) gắn với khối lượng m = 1(kg) như hình
vẽ. Kích thước vật m không đáng kể , AB = 60 (cm) , ma sát không đáng kể.
1) Tính độ biến dạng mỗi lò xo.
2) Tính hệ số đàn hồi của hệ.
Bài 8: Hai lò xo giống nhau có chiều dài tự nhiên l
0
= 25 (cm) và độ cứng k = 50(N/m). vật m =
250 (g) có kích thước không đáng kể được bố trí như hình vẽ AB = 50 (cm).
1) Tính độ biến dạng của mỗi lò xo khi vật cân bằng. Đònh vò trí cân bằng của vật .
2) Từ vò trí cân bằng , kéo vật xuống một đoạn rồi buông nhẹ. Tính chu kỳ dao động , lấy g =
π
2
=10 (m/s
2
).
Bài 9: Hai lò xo có chiều dài tự nhiên l
1
= 20 (cm), l
2
= 25 (cm), và độ cứng k
1
= 60 (N/m), k
2
= 40
N/m. vật m = 250 (g) có kích thước không đáng kể được bố trí như hình vẽ. AB = 50 (cm). Tính độ

biến dạng của mỗi lò xo khi vật cân bằng . Đònh vò cân bằng của vật g = 10 (m/s
2
)
Trang: 8
L
1
L
2
B
A
k
2
k
1
m
B
A
Tai lieu LTĐH
BÀI TẬP TỔNG HP – NÂNG CAO
Bài 1: Một lò xo có độ dài tự nhiên là l
0
= 30cm được treo thẳng đứng. Móc vào đầu tự do của nó một vật có
khối lượng m = 200g thì lò xo có độ dài l = 31cm.
1) Tính độ cứng k của lò xo, cho g = 10m/s
2
.
2) Nâng vật lên theo phương thẳng đứng cách vò trí cân bằng 3cm rồi buông tay cho vật dao động (bỏ qua ma
sát). Viết phương trình dao động của vật, chọn mốc thời gian (t = 0)lúc buông tay, chiều( +) từ trên xuống
dưới.
3) Muốn chu kì dao động của vật tăng gấp đôi thì ra phải thay vật bằng một vật khác có khối lượng bằng bao

nhiêu ? (Đại Học Dân Lập Kó Thuật Công Nghệ- 2001)
Bài 2: Một lò xo nhẹ có độ cứng k, chiều dài tự nhiên l
o
, đầu trên có gắn cố đònh. Khi treo vào đầu dưới của lò
xo một vật có khối lượng m
1
= 100g thì chiều dài của lò xo khi vật cân bằng là l
1
= 31cm. Thay vật m
1
bằng m
2
=
200g thì khi vật cân bằng, chiều dài của lò xo là l
2
= 32cm.
1) Tính k và l
o
.
2) Treo một vật nhỏ có khối lượng m vào lò xo nói trên và kích thích cho nó dao động điều hòa. Tính biên độ
dao động A, khối lượng m và chu kỳ dao động T của vật. Biết trong quá trình dao động, chiều dài của lò xo
biến thiên từ 29cm đến 39cm. Lấy g = 10m/s
2
; π
2
=10. (CĐ Công Nghiệp 4 –2004)
Bài 3: Một con lắc lò xo dao động điều hòa với chu kì T = 0,5s và biên độ A = 8cm. Lúc t = 0 vật qua vò trí cân
bằng theo hướng từ dưới lên.
1) Tính độ cứng của lò xo. Cho khối lượng của vật m = 0,2kg, lấy π
2

= 10.
2) Viết phương trình dao động. Chọn trục tọa độ thẳng đứng, gốc toạ độ O, chiều dương hướng xuống, gốc thời
gian là lúc vật bắt đầu dao động
3) Tính li độ, vận tốc, gia tốc của vật tại thời điểm t = 1s. (CĐKT - Kỹ Thuật Thái Bình – 2004)
Bài 4: Một con lắc lò xo gồm một lò xo có độ cứng k và vật nặng có khối lượng m = 100g, được treo thẳng đứng
vào một giá đỡ cố đònh. Tại VTCB O của vật, lò xo giãn 2,5cm. Kéo vật dọc theo trục của lò xo xuống dưới VTCB
một đoạn 2cm rồi truyền cho nó một vận tốc 69,3cm/s (coi bằng 40
3
cm/s) theo phương thẳng đứng xuống dưới.
Chọn trục tọa độ thẳng đứng, gốc toạ độ O, chiều dương hướng xuống, gốc thời gian là lúc vật bắt đầu dao động.
Dao động của vật được coi là sao động điều hoà. Viết phương trình dao động. Tính độ lớn của lực lò xo tác dụng lên
giá treo khi vật đạt tới vò trí cao nhất. Cho g = 10 m/s
2
. ( Đề Tuyển Sinh Đại Học-2005)
Bài 5: Một lò xo khối lượng không đáng kể, chiều dài tự nhiên l
0
= 125cm được treo thẳng đứng, một đầu được
giữ cố đònh, đầu còn lại gắn với quả cầu nhỏ khối lượng m. Chọn trục tọa độ Ox hướng thẳng đứng xuống dưới,
gốc O trùng với vò trí cân bằng của quả cầu. Kích thích để quả cầu dao động điều hòa dọc theo trục Ox với
phương trình: x = 10cos
π
2 t (cm)
6
π
 
+
 
 
. Trong quá trình dao động tỉ số giữa giá trò cực đại và giá trò cực tiểu của
lực đàn hồi của lò xo là

3
7
.
1) Tính chu kỳ dao động của quả cầu và chiều dài của lò xo tại thời điểm t = 0.
2) Vẽ đồ thò dao động x (t) của quả cầu.
3) Xác đònh thời gian, quãng đường chuyển động của quả cầu kể từ lúc quả cầu bắt đầu dao động đến lúc tới
vò trí có tọa độ x = 5(cm) lần thứ hai theo chiều âm. Lấy g = 10m/s
2
; π =10. (CĐSP Thái Bình –
2002)
Bài 6: Một lò xo khối lượng không đáng kể đầu trên cố đònh, đầu dưới treo một vật có khối lượng 80g. Vật dao
động điều hoà theo phương thẳng đứng với tần số 4,6Hz. Trong quá trình dao động, độ dài ngắn nhất của lò xo là
40cm và dài nhất là 56cm.
1) Viết phương trình dao động, chọn gốc toạ độ ở vò trí cân bằng, chiều dương hướng xuống, t = 0 lúc lò xo
ngắn nhất.
2) Tìm độ dài tự nhiên lò xo, lấy g = 9,8mm/s
2
.
Trang: 9
Tai lieu LTĐH
3) Tìm vận tốc và gia tốc của vật khi nó ở vò trí x = 4cm. (Đại Học Luật – 1999)
Bài 7: Một lò xo khối lượng không đáng kể, có độ cứng k = 100N/m được treo thẳng đứng, đầu trên cố đònh, đầu
dưới treo một vật có khối lượng m = 100gam.
1) Xác đònh độ dãn của lò xo khi vật cân bằng.
2) Kéo vật xuống dưới vò trí cân bằng theo phương thẳng đứng một đoạn 1cm, rồi truyền cho nó một vận tốc:
10π cm/s theo hướng xuống dưới. Bỏ qua mọi ma sát, vật dao động điều hòa.
a) Viết phương trình dao động của vật. Chọn trục tọa độ có gốc ở vò trí cân bằng chiều dương hướng
xuống dưới và thời điểm ban đầu (t = 0) là lúc thả vật.
b) Tính chu kỳ dao động của vật. Lấy g = 10 m/s
2

và π
2
= 10. (Đại Học Thủy Lợi- 1999)
Bài 8: Vật nặng M khối lượng m = 100g gắn vào đầu một lò xo có độ cứng k = 40N/m. Đầu kia của
lò xo nối với đầu B một sợi dây không giãn CB có đầu C gắn chặt. Lò xo có độ dài tự nhiên l
0
=
20cm. Biết gia tốc trọng trường g = 10 m/s
2
. Bỏ qua mọi ma sát.
1) Xác đònh chiều dài của lò xo khi vật nặng đứng cân bằng.
2) Nâng vật lên 2cm rồi thả nhẹ. M dao động điều hòa. Viết phương trình dao động. Chọn chiều
(+) hướng xuống dưới, gốc ở vò trí cân bằng.
Bài 9: Một con lắc lò xo có độ cứng k = 150N/m và có năng lượng dao động là E = 0,12J. Khi con
lắc có li độ là 2cm thì vận tốc của nó là 1m/s. Tính biên độ và chu kì dao động của con lắc.
(Đề thi tuyển sinh đại học – cao đẳng năm 2002)
Bài 10: Một vật có khối lượng m treo vào một lò xo thẳng đứng hướng xuống.Vật dao động điều hoà với tần số
f
1
= 6 Hz. Khi treo thêm một gia trọng
∆
m = 44g thì tần số dao động là f
2
= 5 Hz.
1) Tính khối lượng m và độ cứng k của lò xo.
2) Xét con lắc trên khi có thêm gia trọng. Ở thời điểm ban đầu, vật có ly độ -2cm (so với chiều dương quy
ước, lấy gốc ở vò trí cân bằng) và có vận tốc 20
π
cm/s hướng về vò trí cân bằng. Viết các phương trình dao
động của vật. Bỏ qua ma sát và lực cản; Cho giá trò g =

π

2
= 10m/s
2
. (Học Viện Quan Hệ Quốc Tế- 1998)
Bài 11: Một con lắc lò xo có chiều dài tự nhiên l
0
, độ cứng k được treo thẳng đứng vào một điểm cố đònh. Nếu
treo vào lò xo một vật nặng có khối lượng m
1
= 100g thì lò xo bò dãn một đoạn 5mm. Nếu treo vào lò xo một vật
nặng có khối lượng m
2
= 400g thì độ dài lò xo là 32cm. Lấy g = 10m/s
2
,
π
2
= 10.
1) Xác đònh k, l
0.
2) Treo lò xo một vật nặng có khối lượng m = 200g rồi nâng vật lên theo phương thẳng đứng đến vò trí mà lò
xo không biến dạng rồi thả nhẹ cho vật dao động điều hoà. Viết phương trình dao động của vật. Chọn gốc toạ
độ tại vò trí cân bằng, chiều dương hướng xuống dưới và gốc thời gian là lúc thả vật.
(Đề Thi Tuyển Sinh CĐSP TP.HCM năm 2004)
Bài 12: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng dao động điều hòa. Chiều dài tự nhiên của lò xo l
0
= 60(cm). Khối tự
vật nặng m = 200(g). Cho g = 10m/s

2
.
Chiều dương hướng xuống. Chọn thời điểm t = 0 lúc lò xo có chiều dài l =
59(cm), vận tốc bằng không và lúc đó lực đàn hồi có độ lớn F = 1(N). Viết phương trình dao động của vật.
(Học Viện Ngân Hàng Phân Viện Tp.Hồ Chí Minh- 1999)
Bài 13: Một con lắc lò xo gồm một lò xo có độ cứng k và vật nặng có khối lượng m = 100g, được treo thẳng
đứng vào một giá đỡ cố đònh. Tại VTCB O của vật, lò xo giãn 2,5cm. Kéo vật dọc theo trục của lò xo xuống dưới
VTCB một đoạn 2cm rồi truyền cho nó một vận tốc 69,3cm/s (coi bằng 40
3
cm/s) theo phương thẳng đứng
xuống dưới. Chọn trục tọa độ thẳng đứng, gốc toạ độ O, chiều dương hướng xuống, gốc thời gian là lúc vật bắt
đầu dao động. Dao động của vật được coi là sao động điều hoà. Viết phương trình dao động. Tính độ lớn của lực
lò xo tác dụng lên giá treo khi vật đạt tới vò trí cao nhất. Cho g = 10 m/s
2
. ( Đề Tuyển Sinh Đại Học-
2005)
Bài 14: Một vật có khối lượng m = 1 kg dao động điều hoà với chu kì T = 2s. Nó đi qua vò trí cân bằng với vận
tốc v
0
= 31,4 cm/s. viết phương trình dao động điều hoà của vật, chọn t = 0 là lúc vật qua vò trí cân bằng theo
chiều dương. Tính lực phục hồi tác dụng lên vật vào lúc t = 0,5s. (Đại Học Quốc Gia Tp.Hcm- 1998)
Trang: 10
C
k
B
M
Tai lieu LTĐH
Bài 15: Một lò xo được treo thẳng đứng, đầu trên lò xo được giữ cố đònh, đầu dưới treo vật có khối lượng m =
100g, lò xo có khối lượng m = 100g, lò xo có độ cứng k = 25N/m. Kéo vật rời khỏi vò trí cân bằng theo phương
thẳng đứng xuống dưới một đoạn 2cm rồi truyền cho vật một vận tốc 10

π
3
cm/s theo phương thẳng đứng chiều
hướng lên. Chọn gốc thời gian là lúc truyền cho vận tốc cho vật, gốc toạ độ là vò trí cân bằng, chiều dương hướng
xuống. Cho g = 10m/s
2
,
π
2
= 10.
1) Viết phương trình dao động.
2) Xác đònh thời điểm lúc vật đi qua vò trí mà lò xo bò dãn 2cm lần đầu tiên.
3) Tính độ lớn lực phục hồi tại câu 2).

Vấn Đề: CON LẮC ĐƠN
Dạng I: TÍNH CHU KÌ DAO ĐỘNG
Bài 1: Con lắc đơn có độ dài dây treo là 50 cm, đặt nơi có gia tốc trọng trường g =
π
2
(m/s
2
). Tính chu kì dao
động của con lắc.
Bài 2: Một con lắc đơn có chu kỳ T
1
= 1(s) ở nơi có g = 9,8 (m/s
2
). Tìm chiều dài của con lắc đơn ở nơi đó .
Bài 3: Một con lắc đơn dao động với chu kỳ T = 2 (s) tại nơi có g =
π

2
(m/s
2
).
1) Tìm chiều dài của con lắc.
2) Bây giờ giảm chiều dài con lắc đi một đoạn bằng 1/10 chiều dài cũ. Tính chu kỳ mới của con lắc.
Bài 4: Hai con lắc đơn dao động tại cùng nơi co ù g =
π
2
= 10(m/s
2
). Chu kỳ lần lượt là T
1
= 1,5 (s) và T
2
= 2 (s) .
1) Tính các chiều dài l
1
, l
2
tương ứng.
2) Tìm chu kỳ dao động của con lắc đơn có chiều dài l = l
1
+ l
2
.
Bài 5: Khi dùng sợi dây treo có độ dài l
1
thì chu kì dao động của con lắc đơn là T
1

= 3s, dùng sợi dây có độ dài l
2

thì chu kì dao động là T
2
= 5s.
1) So sánh độ dài l
1
và l
2
.
2) Tính chu kì dao động của con lắc có độ dài l = l
2
- l
1
.
Bài 6: Trong cùng một khoảng thời gian, con lắc đơn có chiều dài l
1
thực hiện được bốn dao động, con lắc đơn l
2

thực hiện dược 5 dao động. Biết l
1
+ l
2
= 41(cm). Tính l
1,
l
2
.

Bài 7: Người ta đưa một đồng hồ quả lắc từ mặt đất lên mặt trăng mà không điều chỉnh lại. Cho biết gia tốc rơi
tự do trên mặt trăng bằng 1/6 trên trái đất. Coi qủa lắc đồng hồ như một con lắc đơn có chiều dài không đổi. Chu
kỳ dao động của qủa lắc tăng hay giảm mấy lầøn?
Bài 8: Chu kỳ của con lắc đơn thay đổi như thế nào khi đưa nó từ trái đất lên mặt trăng (giả sử chiều dài con lắc
không đổi ). Biết rằng khối lượng trái đất lớn hơn khối lượng mặt trăng 81 lần và kính trái đất lớn hơn bán kính
mặt trăng 3,7 lần .
Bài 9: Treo con lắc đơn có l = 0,8m vào tấm gỗ thẳng đứng. Dọc theo đường thẳng đứng cách điểm treo con lắc
một đoạn , người ta đóng chiếc đinh sao cho nó vướng vào đinh khi dđ. Tính chu kì con lắc cho gia tốc g = 9,81
m/s
2
.
dang II :VIẾT PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG
Bài 1: Con lắc đơn có l = 36cm, từ VTCB kéo ra 1 góc 10
0
rồi buông nhẹ.
1) Tính chu kì và tần số dđ. Cho g = 10m/s
2
.
2) Viết ptdđ, chọn gốc thời gian lúc buông vật.
Bài 2: Con lắc đơn có l = 1m, dđ với li độ góc cực đại α
0
= 0,1Rad. Viết ptdđ, chọn gốc thời gian lúc vật qua
VTCB theo chiều âm. Cho g = 10m/s
2
, π
2
= 10. Tính vận tốc của quả cầu khi
α
= 0 (rad),
α

= 0,05 (rad).
Trang: 11
Tai lieu LTĐH
Bài 3: Con lắc đơn dao động với biên độ góc nhỏ, khi pha dđ là thì vận tốc là v = 2π cm/s, chu kì dao động T =
1s. Lấy g = 10m/s
2
, π
2
= 10. Viết ptdđ, nếu chọn gốc thời gian lúc con lắc ở li độ cm và đang chuyển động ngược
chiều dương.
Bài 4: Một con lắc đơn dao động tại nơi có gia tốc trọng trường g = 10m/s
2
, (π
2
= 10). Trong thời gian 5s nó thực
hòên được 10 dao động.
1) Tìm chiều dài con lắc.
2) Khi con lắc đang đứng yên tai VTCB ta truyền cho nó moat vận tốc v = 0,314m/s theo phương ngang. Viết
phương trình dao động của con lắc, gốc thời gian là lúc vật dao động
3) Xác đònh thời điểm vật qua VTCB theo chiều âm, dương.
Bài 5: Một con lắc đơn dao động tại nơi có gia tốc trọng trường g = 10m/s
2
, (π
2
= 10), Chiều dài con lắc là l =
49cm.
1) Tính chu kì T của con lắc.
2) Viết phương trình dao động, chọn gốc thời gian t = 0 là lúc con lắc ở vò trí ứng góc lệch cực đại α
0
= 0,08

rad.
3) Tính thời điểm vật qua vò trí ứng với α = 0,04rad theo chiều dương.
Bài 6: Một con lắc đơn dao động tại nơi có gia tốc trọng trường g = 10m/s
2
. trong thời gian 12s nó thực hiện được
5 dao động.
1) Tính chiều dài l của con lắc.
2) Cho m = 100g, góc lệch cực đại α
0
= 8
0
.
a) Tính vận tốc của vật khi nó qua VTCB.
b) Tính cơ năng của hệ.
c) Tính sức căng sợi dây tại vò trí α
0
= 8
0
.
3) Chọn gồc thời gian t = 0 là lúc vật có góc lệch α =
0
2
α
theo chiều dương. Viết phương trình do động của
con lắc.
Bài 7: Một con lắc đơn dao động tại nơi có gia tốc trọng trường g = 10m/s
2
, (π
2
= 10), Chiều dài con lắc là l =

100cm. Từ VTCB kéo vật ra một cung có độ dài 5cm rồi thả nhẹ.
1) Tính chu kì dao động của con lắc.
2) Chọn gốc thời gian là lúc buông vật, chiều dương là chiều kéo vật ra. Viết phương trình dao động của vật.
3) Tìm vận tốc tại thời điểm t = 0,5s.
Bài 8: Con lắc gõ dây ( tức nó có chu kì 2s) đặt tại nơi có gia tốc trọng trường g = 10m/s
2
.
1) Tính chiều dài con lắc.
2) Từ VTCB kéo vật ra một cung có độ dài 4cm rồi truyền cho nó vận tốc 3π cm/s, chọn gốc thời gian là lúc
vật qua VTCB theo chiều âm.Viết phương trình dao động của con lắc.
3) Tìm những thời điểm nó qua vò trí x = +2,5 cm.
Dạng V: CHU KÌ CON LẮC BIẾN THIÊN DO THAY ĐỔI ĐỘ CAO VÀ NHIỆT ĐỘ.
I.Tóm Tắt Lí Thuyết
• 1. Gia tốc trọng trường ở độ cao h
•
2
h 0
R
g g
R h
ỉ ư
÷
ç
÷
=
ç
÷
ç
÷
ç

+
è ø
Với: g
0
là gia tốc trọng trường tại mặt đất.
R ≈ 6400km là bán kính trái đất.
2. Chiều dài dây kim loại ở nhiệt độ t :
0
l l (l t)= + l
Với: l
0 :
chiều dài dây treo ở 0
0
C
λ : hệ số nở dài (độ
–1
hay k
-1
)
Trang: 12
Tai lieu LTĐH
3. Công thức gần đúng:
( 1 ± ε)
n
≈ 1± nε với ε, ε
1
, ε
2
: các số dương rất nhỏ
1

1 2
2
1
(1 )(1 )
1
+ e
» + -e e
+ e
; ( 1 + ε)(1-ε
2
) ≈ 1 + ε
1
- ε
2
( )
( )
( )
1
1
2
1
2
1
1 1
1
1
1 1 1
2
1 1
1 1

2
1
sin ( );cos 1 cos 1
2
tg rad hay
ε ε
ε
ε ε ε
ε ε
ε
α
α α α α
−
−
+ = −
+
± = ± = ±
= ± =
±
≈ ≈ ≈ ≈ −
m

II.PHƯƠNG PHÁP GIẢI: (Về thời gian con lắc đồng hồ chạy sai trong một ngày đêm)
b1. Viết công thức tính chu kì của con lắc đồng hồ trường hợp chạy đúng (T
1
), chạy sai (T
2
)
b2. Lập tỉ số:
1

2
T
(a)
T
(rồi dùng công thức gần đúng nếu cần)
Suy ra:
1
2
T
1
T
>
(đồng hồ chạy nhanh)
Hoặc:
1
2
T
1
T
<
(đồng hồ chạy chậm)
b3. Tính số dao động mà con lắc đồng hồ chạy sai thực hiện trong thời gian 1 ngày đêm
2
N
T
t
=
với τ = 24.3600 = 86400 (s) :
b4. Tính thời gian mà đồng hồ chạy sai đã chỉ:
1

1
2
T
' N.T .
T
= =t t
b5. Thời gian chạy sai:
1
2
T
' ' 1
T
= - = -Dt t t t
(b)
Thay (a) vào (b) được kết quả.

Bài 1: Một đồng hồ quả lắc xem như con lắc đơn, chạy đúng (T
1
= 2s) tại nơi có g = 9,81 (m/s
2
) trên mặt đất.
Đưa đồng hồ này lên cao 2000(m). Hỏi trong một ngày đêm đồng hồ chạy nhanh hay chậm bao nhiêu giây (s).
Cho biết bán kính trái đất là R = 6400 (km).
Bài 2: Một đồng hồ quả lắc xem như con lắc đơn, chạy đúng (T
1
= 2s) tại nơi có g = 9,8 (m/s
2
) trên mặt đất. Đưa
đồng hồ này xuống độ sâu 2000(m). Hỏi trong một ngày đêm đồng hồ chạy nhanh hay chậm bao nhiêu giây (s).
Cho biết bán kính trái đất là R = 6400 (km).

Bài 3: Một con lắc đơn có chiều dài dây treo là l. dao động tại nơi có g =
π
2
= 10 (m/s
2
). Với phương trình dao
động là :
0,1sin . ( )t rad
α π
=
. Đưa con lắc lên độ cao h thì chu kỳ dao động nhỏ của con lắc là T= 2,0015 (s)
.Tính h. Cho R = 6400 (km).
Bài 4: Một đồng hồ qủa lắc xem như con lắc đơn có chu kỳ T
1
= 1(s) ở nơi có nhiệt độ t
1
= 15
0
C, và g = 9,8 (m/s
2
),
π
2
= 10. Cũng ở nơi này, nếu nhiệt độ là t
2
= 35
0
C thì trong một ngày đêm đồng hồ chạy nhanh hay chậm bao
nhiêu giây(s). Biết hệ số nở dài của kim loại làm giây treo là
α

= 2.10
-5
(K
-1
).
Trang: 13
Tai lieu LTĐH
Bài 5: Một đồng hồ quả lắc xem như con lắc đơn, chạy đúng (với chu kì T
1
= 2s) tại nơi có nhiệt độ t
1
= 20
0
C và
g = 9,81 (m/s
2
). Cũng ở nơi này, nếu nhiệt độ là t
2
= 40
0
C thì trong một ngày đêm đồng hồ chạy nhanh hay chậm
bao nhiêu giây(s). Biết hệ số nở dài của kim loại làm dây treo là
α
= 2.10
-5
(K
-1
)
Bài 6: Một đồng hồ quả lắc xem như con lắc đơn, chạy đúng (với chu kì T
1

= 2s) tại nơi có nhiệt độ t
1
= 25
0
C.
Biết hệ số nở dài của kim loại làm dây treo là
α
= 2.10
-5
(K
-1
) .
1) Hỏi ở nơi này, nếu nhiệt độ là t
2
= 10
0
C thì trong một ngày đêm đồng hồ chạy nhanh hay chậm bao nhiêu
giây(s).
2) Đưa con lắc xuống sâu 0,5km đồng hồ vẫn chạy đúng vì sao? Cho R = 6400km.
Bài 7: Một con lắc đơn có chu kì dao động T = 1,8s khi ở mặt đất. Tìm độ nhanh, chậm của con lắc trong moat
chu kì, một ngày đêm nếu:
1) Đem con lắc lên cao 640km. 2) Đem con lắc xuống sâu 800km
Bài 8: Một đồng hồ quả lắc xem như con lắc đơn, chạy đúng (T
1
= 2s) tại nơi có g = 9,81 (m/s
2
) trên mặt đất.
1) Đưa đồng hồ này lên cao 2000(m). Hỏi trong một ngày đêm đồng hồ chạy nhanh hay chậm bao nhiêu giây
(s). Cho biết bán kính trái đất là R = 6400 (km).
2) Ở độ cao đó để đồng hồ vẫn chạy đúng thì chiều dài con lắc phải thay đổi thế nào?

Trang: 14
Tai lieu LTĐH
Dạng III: CON LẮC TRONG HỆ QUI CHIẾU KHÔNG QUÁN TÍNH:
1.Lực quán tính: Nếu con lắc treo trong một hệ đang chuyển động với gia tốc
a
r
thì trong hệ đó con lắc chòu thêm
tác dụng của lực quán tính.
qt
F m.a= -
ur r
với: m: khối lượng vật nặng
2. Trọng lực hiệu dụng. Gia tốc hiệu dụng
Gọi Trọng lực hiệu dụng là P’ , và có gia tốc hiệu dụng g’khi đó:
P F
P' P F m.g' g' g a
m
+
= + = = = -Þ
ur ur
ur ur ur
r r r r
-Nếu hệ đi lên nhanh dần đều hoặc đi xuống chậm dần đều thì: g’= g
+ a
-Nếu hệ đi lên chậm dần đều hoặc đi xuống nhanh dần đều thì: g’= g
– a
T’=
2.
'
l

g
π
-Nếu hệ chuyển động chậm dần đều hoặc nhanh dần đều theo
phương ngang thì:
.gia tốc hiệu dụng: g’=
2 2
g a+
=> T’=
2.
'
l
g
π
.Vò trí cân bằng mới của con lắc là O’, lệch phương so với phương thẳng đứng một góc θ
F a
tg
P g
θ
= =
Bài 1: Một con lắc đơn treo trong thang máy, dao động điều hòa với chu kỳ T= 2(s) khi thang đứng yên. Tính chu
kỳ dao động của con lắc khi thang máy :
1) Đi xuống nhanh dần đều với a = g/10. 2) Đi lên nhanh dần đều với a = g/10.
Bài 2: Một con lắc đơn treo trong thang máy, dao động điều hòa với chu kỳ T= 2(s) khi thang đứng yên. Cho g =
10m/s
2
, tính chu kỳ dao động của con lắc khi thang máy :
1) Thang máy chuyển động đều. 2) Đi xuống nhanh dần đều với a = 1m/s
2
3) Đi lên nhanh dần đều với a = 0,5 m/s
2

Bài 3: Một con lắc dao động với chu kỳ T = 2 (s) ở nơi có gia tốc trọng trường g =
π
2
=10 (m/s
2
) .Con lắc được
treo ở trần một xe ôtô đang chuyển động trên đường ngang với gia tốc a = 0,5g.
1) Tính góc lệch của dây treo so với phương thẳng đứng khi con lắc cân bằng.
2) Tính chu kỳ T’ của con lắc.
Bài 4: Một con lắc đơn có chu kỳ T = 5(s) treo vào trần một xe đang chuyển động nhanh dần đều trên đường
ngang, dây treo hợp với phương thảng đứng một góc 60
0
.
1) Tính gia tốc a của xe theo g. 2) Tính chu kỳ T’ của con lắc.
Vấn đề: TỔNG HP DAO ĐỘNG
Tóm tắt lý thuyết:
1. Độ lệch pha của hai dao động điều hoà cùng tần số :
1 1 1
2 2 2
x A cos( t )
x A cos( t )
= +w j
= +w j
Trang: 15
O’
P
r
θ
F
r

T
r
'P
→
θ
O
Tai lieu LTĐH
1 2
= -Dj j j
• Nếu
1 2
0> >Dj Þ j j
: ta nói x
1
sớm pha hơn x
2
• Nếu
1 2
0< <Dj Þ j j
: ta nói x
1
trễ pha hơn x
2
• Nếu
k2 (k Z)=Dj p Ỵ
: ta nói x
1
cùng pha với x
2
• Nếu

(2k 1)= +Dj p
: ta nói x
1
ngược pha với x
2
2. Vectơ quay
a) Cơ sở để biểu diễn
Một dao động điều hoà có thể coi như hình chiếu của một
chất điểm chuyển động tròn đều xuống một đường thẳng nằm
trong mặt phẳng quỹ đạo.
b) Vectơ quay
Mỗi dao động điều hoà dạng x = Acos(ωt + ϕ)được biểu diễn bằng một vectơ quay
A
ur
có:
- Gốc trùng với gốc O của hệ trục Oxy
- Độ dài tỉ lệ với biên độ A.
- Tại thời điểm t = 0,
A
ur
tạo vơí trục chuẩn (Oy) một góc bằng pha ban đầu ϕ.
3. Tổng hợp hai dao động điều hoà cùng phương cùng tần số
-Giả sử cần tổng hợp hai dao động:
1 1 1
2 2 2
x A cos( t )
x A cos( t )
= +w j
= +w j
-Ta biểu diễn các dao động x

1,
x
2
bằng các vectơ
1 2
A ,A
uur uur
trên cùng một hệ trục toạ độ Oxy thời điểm t = 0.
- Vẽ vectơ tổng:
1 2
A A A= +
ur ur ur
A
ur
chính là vectơ biểu diễn cho dao động tổng hợp: x = x
1
+ x
2
= A cos(ωt+ ϕ)
Với
2 2
1 2 1 2 2 1
A A A 2A A cos( )= + + -j j
;
1 1 2 2
1 1 2 2
A sin A sin
tg
A cos A cos
+j j

=j
+j j
• Trường hợp đặc biệt:
1 2
1 2
1 2
1 2
2 2
1 2
1 2
A A :A A A
A A :A A A
A A :A A A
 = +
 = -¯
^ = +
ur ur
ur ur
ur ur
chú ý: khi phải tổng hợp nhiều dao động x = x
1
+ x
2
+ x
3
+… ta sẽ tổng hợp hai dao động đầu thành một dao động
x
12
= x
1

+ x
2
, rồi tổng hợp tiếp với các dao động còn lại x = x
12
+ x
3
+…
Bài 1: Dùng phương pháp vectơ quay của Frexnen để tổng hợp các dao động điều hòa cùng phương ,cùng tần số
sau :
1) x
1
= cos(
2/
ππ
+t
) (cm) và x
2
= 4 cos (2
6/
ππ
+t
) (cm) .
2) x
1
= 4 cos (2
t
π
+
4/
π

) (cm) và x
2
= 4 cos (2
π
-
4/
π
)(cm).
3) x
1
= 3 cos
ω
t (cm) và x
2
= 3cos
ω
t (cm)
Bài 2: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động cùng phương trình là :
x
1
= 2 cos (100
π
t -
π
/3) (cm) và x
2
= cos (100
π
t +
π

/6) (cm). Hãy tìm phương trình của dao động tổng hợp.
Bài 3: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hoà cùng phương ,cùng tần số 10 (Hz) và có biên độ lần
lượt là 7(cm) và 8 (cm). Biết hiệu số pha của hai dao động thành phần là
π
/3 (rad).
1) Viết phương trình tổng hợp 2 dao động.
2) Tính vận tốc của hai vật khi nó có li độ 12(cm) .
Trang: 16
x
y
0
A
1
A
2
A
Tai lieu LTĐH
Bài 4: Hai dao động điều hoà cùng phương ,cùng tần số f=50(Hz ) có các biên độ lần lượt là : A
1
= 2a ,A
2
= a và
các pha ban đầu là
ϕ
1
=
π
/3 ;
ϕ
2

=
π
. Xác đònh dao động tổng hợp.
Bài 5: Cho 3 dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số góc
ω
= 100
π
(rad/s) với các biên độ A
1
= 1,5 9cm)
A
2
=
3
/2 (cm) , A
3
=
3
(cm) và các pha ban đầu tương ứng là
1
ϕ
= 0;
ϕ
2
=
π
/2 ;
ϕ
3
= 5

π
/6. Viết phương
trình dao động tổng hợp của 3 dao động trên.
Bài 6: Cho ba dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số góc ω = 100 π rad/s với các biên độ A
1
= 1,5cm;
2
3
A cm
2
=
,
3
A 3cm=
và các pha ban đầu tương ứng ϕ
1
= 0;
2
2
π
ϕ =
;
3
5
6
π
ϕ =
. Viết phương trình dao động
tổng hợp của ba dao động trên.
Bài 7: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động cùng phương x

1
= 4
3
cos10
π
t (cm)
và x
2
= 4 cos 10
π
t (cm). Tính ra (cm/s) vận tốc của vật tại thời điểm t = 2 (s).
Bài 8: Một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động điều hoà cùng phương, có phương trình lần lượt là:
1
2cos 100
3
x t
π
π
 
= −
 ÷
 
(cm) và






π

+π=
6
t100cosx
2
(cm). Hãy tìm phương trình dao động tổng hợp.
Bài 9: Một vật nhỏ có khối lượng m = 100(g) thực hiện đồng thời hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần
số góc
ω
= 20 (rad/s). Biết biên độ của các dao động thành phần là A
1
= 2cm, A
2
= 3cm; độ lệch pha giữa hai
dao động đó là
3
π
. Tìm biên độ và năng lượng dao động của vật .
Bài 10: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động cùng phương ,cùng tần số : x =A
1
cos
t
ω
(cm) và x
2
= 3 cos (
t
ω
+ 5
6/
π

) (cm). Với
ω
= 20 (rad)/s).Biết rằng vận tốc cực đại của vật bằng V max
=
140 (cm/s) . Hãy xác đònh
biên độ A .
Bài 11: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số:
1 1
cos( )
6
x A t
π
ω
= +

(cm) và
2
3
3cos( )
6
x t
π
ω
= +
(cm) .Trong đó
20
ω
=
rad/s. Biết rằng vận tốc cực đại của vật bằng V
max

=
140cm/s. Hãy xác đònh biên độ A
1
. ( Đề Tuyển Sinh Đại Học Cần Thơ Năm 2004)
Bài 12: Cho hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số f = 50 Hz có các biên độ A
1
= 2a, A
2
= a và các pha
ban đầu
1
α
=
3
π
,
2
α
=
π
.
1) Viết phương trình của hai dao động đó.
2) Vẽ trên cùng một giản đồ véctơ các véctơ biên độ
A
r
1
,
A
r
2

,
A
r
3
của hai dao động trên và của dao động
tổng hợp. (Trường Đại Học Tài Chính Kế Toán Hà Nội- 1998)
Bài 13: Cho hai dao động x
1
= 3 cos (πt +ϕ
1
) (cm) và x
2
= 0,05 cos (πt + ϕ
2
)(m). Hãy xác đònh phương trình và vẽ
giản đồ vectơ của dao động tổng hợp trong các trường hợp sau:
3) Hai dao động cùng pha.
4) Hai dao động ngược pha.
5) Hai dao động lệch pha một góc bằng
2
π
(xác đònh pha ban đầu của dao động tổng hợp phụ thuộc vào ϕ
1
với ϕ
2
> ϕ
1
). (Đại Học Nông Nghiệp 1- 2001)
Bài 14: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương, theo các phương trình: x
1

= 5cos(πt -
ϕ
1
)cm và x
2
= 10sin
cm
3
2π
tπ






−
.
6) Tìm ϕ
1
để biên độ của dao động tổng hợp đạt giá trò:
a ) lớn nhất. b ) nhỏ nhất.
Trang: 17
Tai lieu LTĐH
7) Cho ϕ
1
=
2
π
rad.

a ) Tìm biên độ của dao động tổng hợp.
b ) Tìm pha ban đầu của dao động tổng hợp. Hãy biểu diễn dao động tổng hợp bằng véc quay.
Vấn đề: SÓNG CƠ HỌC – ÂM HỌC
Dạng I: Các đại lượng đặc trưng của sóng:
Bài 1: Một người quan sát một chiếc phao trên mặt biển, thấy nó nhô lên cao 10 lần trong khoảng thời gian 27s.
Tính chu kỳ của sóng biển.
Bài 2: Một người quan sát trên mặt biền thấy một chiếc phao nhô lên cao 10 lần trong khoảng thời gian 36(s), và
đo được khoảng cách giữa hai đỉnh sóng lân cận là 10 (m). Tính vận tốc truyền sóng trên mặt biển.
Bài 3: Một người quan sát áp tai vào đưởng ray xe lửa. Ở khoảng cách l = 1235(m, một người cầm búa gõ
mạnh trên đường ray. Người quan sát nghe thấy tiếng gõ truyền trong đường ray 3,5 (s) trước khi nghe thấy tiếng
truỳen trong không khí. Tính vận tốc truyền âm trong thép đường ray, biết vận tốc truyền trong không khí là 330
(m/s).
Bài 4: Khi âm truyền từ không khí vào nước, bước sóng của nó thay đổi bao nhiêu lần? Cho biết vận tố của âm
trong nước là 1550 (m/s), trong không khí là 340 (m/s)
Bài 5: Hai điểm cách nguồn âm những khoảng 6,1(m) và 6,35 (m) trên cùng phương truyền âm. Tần số âm 680
(Hz) vận tốc truyền âm trong không khí là 340(m/s). Tính độ lệch pha của sóng âm tại hai điểm đó.
Bài 6: Một mũi nhọn S chạm nhẹ vào mặt nước dao động điều hoà với tần số f = 20 (Hz). Thấy rằng 2 điểm A
và B trên mặt nước cùng nằm trên phương truyền sóng, cách nhau một khoảng d = 10(cm) luôn luôn dao động
ngược pha nhau. Tính vận tốc truyền sóng, biết rằng vận tốc đó chỉ vào khoảng từ 0,8 (m/s) đến 1 (m/s)
Bài 7: Một nguồn sóng cơ dao động điều hoà theo phương trình: x = Acos(
)2/10
ππ
+t
(m). Khoảng cách giữa
hai điểm gần nhau nhất trên phương truyền sóng mà tại đó dao động của các phần tử vật chất môi trường sóng
mà tại đó dao động của các phần tử vật chất môi trường lệch pha nhau
π
/3 (rad) là 5 (m). Tính vận tốc truyền
sóng.
Bài toán viết phương trình sóng:

Bài 8: Đầu A của một sợi dây đàn hồi dao động theo phương thẳng đứng có phương trình x = 5 cos
π
t (m). Viết
phương trình dao động tại các điểm nằm trên dây và cách A : 2,5(m) ; 10(m). Biết vận tốc truyền sóng trên dây
là 5(m/s) và biên độ sóng xem như không đổi trong quá trình truyền sóng.
Bài 9: Một dây đàn hồi nằm ngang có điểm đầu A dao động theo phương thẳng đứng với biên độ a = 5 cm, chu
kì T = 0,5 s, vận tốc truyền sóng v = 40 cm/s.
1) Viết phương trình sóng tại A.
2) Tìm trên dây những điểm dao động cùng pha với A.
Bài 10: Một dây đàn hồi rất dài có đầu A dao động với tần số f và theo phương vuông góc với sợi dây. Biên độ
dao động là 4cm, vận tốc truyền sóng trên day là 4(m/s). Xét điểm M trên dây và cách A một đoạn 28(m), người
ta thấy M luôn dao động lệch pha với A một góc
ϕ
∆
= (2k + 1)
π
/2 với k =0 ,
2,1 ±±
….
1) Tính bước sóng
λ
. Biết tần số f có giá trò trong khoảng từ 22Hz đến 26Hz.
2) Viết phương trình dao động của điểm M. Biết phương trình dao động của A là :
u
A
= 4 cos
t
ω
(cm)
Bài 11: Một dây đàn hồi rất dài có đầu A dao động với tần số f = 0,5Hz và theo phương vuông góc với sợi dây.

Biên độ dao động là 4cm, vận tốc truyền sóng trên dây là 0,5(m/s).
Trang: 18
Tai lieu LTĐH
1) Viết phương trình dao động của điểm A. Chọn gốc thời gian khi A có li độ cực đại.
2) Tìm những điểm dao động cùng pha với A.
3) Tìm khoảng cách giữa hai điểm liên tiếp leach pha nhau góc 45
0
.
Dạng II: Giao thoa sóng cơ:
Bài 1: Trong một phòng thí nghiệm về giao thoa sóng trên mặt nước, hai nguồn kết hợp A,B dao động với tần số
f = 10(Hz). Vận tốc truyền sóng trên mặt nước là v = 30 (cm/s).
1) Tại một điểm M cách các nguồn A,B những đoạn d
1
= MA = 31 (cm); d
2
= MB = 25(cm) là vân cực đại
hay vân đứng yên thứ mấy?
2) Tại một điểm N cách các nguồn A,B những đoạn d
1
= NA = 69,5 (cm); d
2
= NB= 38(cm) là vân cực đại
hay vân đứnh yên, và nó là vân thứ mấy?
Bài 2: Trong một thí nghiệm về giao thoa sóng trên mặt nước, hai nguồn kết hợp S
1
,S
2
dao động với tần số f =
15(Hz), vận tốc truyền sóng trên mặt nước là v = 30 (cm/s).
1) Tại M (d

1
= MS
1
= 20(cm); d
2
= MS
2
= 28(cm)) là vân cực đại hay vân đứng yên thứ mấy?
2) Giữa M và trung trực của S
1
S
2
có bao nhiêu vân cực đại?
3) Xác đònh số và vò trí của các điểm dao động với biên độ cực đại, cực tiểu trên đoạn S
1
S
2
. Cho S
1
S
2
=
9(cm).
Bài 3: Trong thí nghiệm về giao thoa sóng, người ta tạo ra trên mặt nước hai nguồn sóng A,B dao động với
phương trình u
A
= u
B
= 5 cos
t

π
10
(cm). Vận tốc truyền sóng là 20 (cm/s). Coi biên độ sóng không đổi.
1) Viết phương trình dao động tại M(d
1
= MA = 7,2 (cm); d
2
= MB =8,2 cm.
2) Một điểm N trên mặt nước với AN – BN = 10 (cm). Hỏi điểm này nằm trên đường dao động cực đại hay
đường đứng yên? Là đường thứ bao nhiêu về phía nào so với đường trung trực của AB.
Bài 4: Trong thí nghiệm về giao thoa sóng trên mặt nước, hai nguồn kết hợp A,B dao động với tần số f =
120(Hz). Vận tốc truyền sóng trên mặt nước là v = 60(cm/s), AB = 1(cm). Tìm số hyperbol cực đại, số hyperbol
đứng yên.
Bài 5: Trong một thí nghiệm về giao thoa sóng trên mặt nước, hai nguồn kết hợp S
1
, S
2
dao động với tần số f =
13 (Hz). Tại một điểm M cách các nguồn S
1
, S
2
những đoạn d
1
= MS
1
=19cm; d
2
= MS
2

= 21 (cm), sóng có biên độ
cực đại. Giữa M và đường trung trực của S
1
, S
2
không có cực đại nào khác. Tính vận tốc truyền sóng trên mặt
nước
Bài 6: Trong một thí nghiệm về giao thoa sóng trên mặt nước, hai nguồn kết hợp S
1
, S
2
dao động với tần số f =
16(Hz). Tại một điểm M cách các nguồn S
1
, S
2
những đoạn d
1
= MS
1
= 30 (m); d
2
= MS
2
= 25,5 (cm), sóng có biên
độ cực đại khác.Giữa M và trung trực của S
1
, S
2
có hai dãy các cực đạy khác. Tính vận tốc truyền sóng trên mặt

nước.
Bài 7: Trong một thí nhiệm về giao thoa sóng trên mặt nước, hai nguồn kết hợp S
1
, S
2
có bước sóng dao động
với tần số f = 20 (hz). Tại một điểm M cách các nguồn S
1
, S
2
những đoạn d
1
= MS
1
= 16 (cm); d
2
=MS
2
=20(cm),
sóng có biên độ cực đại. Tính vận tốc truyền sóng trên mặt nước trong hai trường hợp sau:
1) Giữa M và trung trực của S
1
, S
2
không có cực đại nào khác.
2) Giữa M và trung trực của S
1
, S
2 có
3 dãy các cực đại khác.

Bài 8: Trong phòng thí nghiệm về giao thoa sóng trên mặt nước, hai nguồn kết hợp S
1
, S
2
có bước sóng
λ
.
1) Tính khoảng cách giữa 2 điểm dao động với biên độ cực đại liên tiếp trên S
1
S
2
2) Tính khoảng cách giữa 2 điểm dao động với biên độ cực tiểu liên tiếp trên S
1
, S
2.
3) Tính khoảng cách giữa 1 điểm dao động với biên độ cực đại và 1 điểm dao động với biên độ cực tiểu
liên tiếp trên S
1
S
2
.
Dạng III: SÓNG DỪNG
1.Các đặc điểm của sóng dừng:
Trang: 19
Tai lieu LTĐH
Bài 1: Một dây đàn hồi 60 (cm) phát ra một âm có tần số f = 100(Hz). Quan sát dây đàn ta thấy có 4 nút ( kể cả
2 nút ở 2 đầu dây) và 3 bụng. Tính vận tốc truyền sóng trên dây.
Bài 2: Một dây cao su một đẩu cố đònh, một đầu cho dao động với tần số 100(Hz). Dây dài 2 (m), vận tốc truyền
sóng trên dây 20m/s.
1) Trên dây có sóng dừng , tìm số bụng và số nut

2) Muốn dây rung thành một bó thì tần số dao động phải bằng bao nhiêu?
Bài 3: Một dây AB nằm ngang, đầu B cố đònh đầu A gắn với một âm thoa dao động với tần số 199(Hz). Tính
chiều dài của dây để dây rung thành 5 bó khi có sóng dừng. Biết vận tốc truyền sóng trên dây là 15 (m/s)
Bài 4: Một dây AB treo lơ lửng, đầu A được gắn vào một nhánh âm thoa thẳng đứng dao động với tần số
50(Hz). Khi âm thoa dao động trên dây AB có hiện tượng sóng dừng xảy ra thì khoảng cách từ B đến nút thứ 4
là 21 (cm).
1) Tính bước sóng và vận tốc truyền sóng trên day.
2) Tính số nút và số bụng. Cho biết chiều dài AB = 57 (cm)
Bài 5: Một âm thoa đặt trên miệng ống khí hình trụ AB, chiều dài l của ống khí có thể thay đổi được nhờ một
khóa nước ở đầu B. Khi âm thoa dao động nó phát ra một âm cơ bản, ta thấy trong ống khí có sóng dừng.
1) Khi chiều dài khí trong ống ngắn nhất là l
0
= 13 (cm) thì âm nghe to nhất.Tìm tần số dao động của âm
thoa. Cho biết B là một nút sóng và đầu A hở là một bụng sóng, vận tốc truyền âm là 340 9m/s).
2) Khi điều chỉnh để khí trong ống có chiều dài l = 65 (cm), ta lại nghe thấy âm to nhất . Tìm số bụng ở trong
khoảng giữa hai đầu A,B của ống.
Bài 6: Một sợi dây mảnh, không giãn, chiều l, đầu B cố đònh, đầu A dao động với phương trình : u
A
= U
0
sin
t
ω
1) Viết phương trình dao động tại M cách A một đoạn x do sự giao thoa của sóng tới và sóng phản xạ. Biết
vận tốc truyền sóng ttrên dây là v. Coi biên độ dao động U
0
lhông đổi, các điểm A,B xem là các nut.
2) Tìm điều kiện để có sóng dừng trên AB.
a) Trên dây có sóng dừng không? Nếu có hãy xác đònh số các điểm bụng trên dây.
b) Xác đònh bề rộng của một bụng sóng và vận tốc dao động cục đại của bụng sóng.

c) Nếu muốn trên dây có 12 bụng sóng thì tần só f’ phải bằng bao nhiêu?
Bài 7: Người ta cho nước nhỏ lên đều đặn lên điểm O nằm trên mặt nước phẳng lặng với tốc độ 90 giọt trong
1 phút.
1) Mô tả hiện tượng . Tính khoảng cách giữa 2 sóng tròn liên tiếp. Biết vận tốc truyền sóng trên mặt nước
là v = 60 (cm/s).
2) Khảo sát dao động của một miếng xốp đặt ở M cách O một đoạn 15 (cm). Xem dao động có dạng hình sin
.Lập biểu thức ly độ của M đối với vò trí cân bằng của nó( biên độ a = 0,75 cm).
3) Tính hiệu pha giữa 2 dao động y
M
và y
M’
( M’ là vò trí cách O đoạn 151 cm).
4) Tại hai điểm O và O’ trên mặt nước cách nhau 100 (cm) người ta thực hiện hai dao động đồng bộ ( cùng
biên độ và tần số bằng tần số dao động nói trên ).Khảo sát hiện tượng xảy ra trên mặt nước.Dao động của
miếng xốp P đặt cách O một đoạn 80(cm) và cách O’ đoạn 60(cm) sẽ thế nào ? Giả sử biên độ các sóng
thành phần giữ nguyên trên toà bộ mặt nước .
BÀI TẬP TỔNG HP VÀ NÂNG CAO
Bài 1: Một sợi dây đàn hồi AB được căng theo phương ngang, đầu A cố đònh, đầu B được rung nhờ một dụng cụ
để tạo thành sóng dừng trên đây.
1) Hãy giải thích sự tạo thành sóng dừng trên đây (không yêu cầu vẽ chi tiết dạng sóng ở từng thời điểm).
2) Biết tần số rung là 100Hz và khoảng cách giữa 5 nút sóng liên tiếp là 1 = 1m. Tính vận tốc truyền sóng
trên dây. (CĐSP Phú Thọ -2003)
Bài 2: Một dây đàn dài 80cm phát ra một âm có tần số 100Hz. Quan sát trên dây đàn, người ta thấy có 5 nút
(gồm cả 2 nút ở hai đầu dây) và 4 bụng. Tính vận tốc truyền sóng trên dây. (CĐ Cơ Khí – Luyện Kim – 2004)
Trang: 20
Tai lieu LTĐH
Bài 3: Một dây đàn dài 60cm phát ra một âm có tần số 100Hz. Quan sát dây đàn, người ta thấy có 4 nút (gồm cả
hai nút ở hai đầu dây) và 3 bụng. Tính bước sóng và vận tốc truyền sóng trên đây. ( KT Cn I – 2004)
Bài 4: Tại hai điểm S
1

và S
2
cách nhau 10cm trên mặt chất lỏng có hai nguồn phát sóng dao động với các phương
trình lần lượt là u
1
= 0,2 cos (50πt)cm và u
2
= 0,2 cos (50πt + π) cm. Vận tốc truyền sóng trên mặt chết lỏng là v
= 0,5m/s. Coi biên độ sóng không đổi. Tìm phương trình dao động tổng hợp tại điểm M trên mặt chất lỏng cách
nguồn S
1
, S
2
những đoạn tương ứng là d
1
, d
2
. Xác đònh số điểm có biên độ dao động cực đại trên đoạn thẳng S
1
,
S
2
.
(Đề Thi Tuyển Sinh ĐH Và CĐ 2004 – 2005)
Bài 5: Hai nguồn sóng kết hợp A và B trên mặt nước rộng được thực hiện bởi một âm thoa dao động với tần số f.
Coi biên độ sóng tại một điểm bất kì trên phương truyền sóng bằng biên độ dao động của nguồn sóng là a.
1) Khoảng cách giữa hai ngọn sóng liên tiếp do mỗi nguồn tạo ra là 2mm, vận tốc truyền sóng v = 0,9m/s.
Tính tần số f của sóng ?
2) Gọi M
1

và M
2
là hai điểm trên mặt nước mà khoảng cách tới hai nguồn A và B lần lượt là M
1
A = d
1
=
3,5cm; m
1
B = d
1
’ = 6,9cm và M
2
A = d
2
= 3cm, M
2
B = d
2
’ = 6,5cm. Xác đònh biên độ dao động của điểm M
1
và
M
2
.
3) Khoảng cách giữa hai nguồn sóng AB = 4cm, hãy tính số gợn sóng quan sát được trên đoạn thẳng AB.
Bài 6: Phương trình dao động tại nguồn O trên mặt chất lỏng có dạng: u = 4 cos
3
πt
(cm).

1) Tìm vận tốc truyền sóng, biết bước sóng λ = 240cm.
2) Viết phương trình dao động tại điểm M trên mặt chất lỏng cách Trong một đoạn 360 cm. Coi biên độ sóng
không thay đổi.
3) Tìm độ lệch pha của sóng tại hai điểm cách nhau 210cm trên cùng một phương truyền sóng.
Bài 7: Trong thí nghiệm về giao thoa trên mặt nước, hai nguồn kết hợp S
1
, S
2
dao động với tần số 15Hz, vận tốc
truyền sóng là 30cm/s.
1) Tại thời điểm M cách các nguồn S
1
, S
2
những khoảng d
1
= 20cm, d
2
= 30cm dao động với biên độ thế nào ?
2) Tìm số điểm dao động cực đại và cực tiểu trên đoạn S
1
S
2
. Cho S
1
S
2
= 11cm.
Bài 8: Hòn bi nhỏ O vừa chạm mặt chất lỏng sử dụng điều hòa theo phương thẳng đứng có phương trình u =
4sin5πt (cm).

1) Xác đònh li độ dao động của điểm O sau đó 1(s).
2) Tính độ lệch pha dao động của điểm M trên mặt chất lỏng và điểm O tại cùng một thời điểm. Nhận xét về
li độ dao động của điểm M và điểm 0? Biết OM = 8(cm). (CĐSP Bắc Cạn – 2004)
Bài 9: Có 2 nguồn kết hợp S
1
, S
2
cách nhau 6cm dao động với phương trình u
s1
= u
s2
= U
0
sinωt (mm), vận tốc
truyền pha dao động là v = 40cm/s. Với U
0
=2mm, ω =100π (rad/s) .
1) Tìm phương trình dao động tại M trên phương truyền sóng cách S
1
, S
2
lần lượt là d
1
= 10cm, d
2
= 12cm.
2) Xác đònh số gợn lồi trên đoạn S
1
S
2.

(CĐSP Bình Phước- 2004)
Bài 10: Trong thí nghiệm giao thoa sóng trên mặt nước. Hai nguồn kết hợp A và B dao động với tần số f = 10Hz.
Vận tốc truyền sóng trên mặt nước là v = 30cm/s. Tại thời điểm cách A là d
1
= AN = 69,5cm và cách B là d
2
= NB
= 38cm là điểm dao động với biên độ cực đại hay cựa tiểu và là đường thứ mấy ?
Bài 11: Hai nguồn âm O
1
, O
2
coi là hai nguồn điểm cách nhau 4 (m) là hai nguồn phát sóng kết hợp cùng tần số
425 (H
Z
), cùng biên độ 1 (cm), cùng pha ban đầu bằng không. Vận tốc truyền âm trong không khí là 340 (m/s).
Coi biên độ sóng không đổi.
1) Tìm phương trình dao động của một điểm bất kỳ trên một điểm bất kỳ trên đoạn thẳng nối O
1
, O
2.
2) Tìm công thức xác đònh vò trí các điểm giao động với biên độ 2 (cm). Có bao nhiêu điểm như vậy (trừ hai
điểm O
1
, O
2
)?
(Trườ ng Đại Học G i ao Thông Vận Tải
- 1998)
3) (Đại Học Huế- 1998)

Trang: 21
Tai lieu LTĐH
Bài 12: Một sợi dây AB có đầu B gắn chặt và đầu A gắn vào
một nhánh âm thoa có tần số dao động f như hình vẽ. Cho âm thoa
dao động, ta quan sát thấy trên AB có 4 bụng sóng dừng, B là một
nút và A ngay sát một nút sóng dừng.
1) Tìm bước sóng λ của sóng truyền trên dây; Cho AB =
20cm ; f = 10Hz.
2) Tìm vận tốc truyền sóng trên dây. (Đại
Học Kinh Tế Quốc Dân – Năm 2000)
Bài 13: Một mũi nhọn S chạm nhẹ vào mặt nước dao động điều hòa với tần số f = 20Hz. Thấy rằng hai điểm A
và B trên mặt nước cùng nằm trên phương truyền sóng cách nhau một khoảng d = 10cm luôn dao động ngược pha
với nhau. Tính vận tốc truyền sóng biết rằng vận tốc đó chỉ vào khoảng từ 0,8m/s đến 1m/s .
Bài 14: Hai đầu A và B của một mẫu dây thép nhỏ hình chữ U được đặt chạm vào mặt nước. Cho mẩu dây thép
dao động điều hoà theo phương vuông góc với mặt nước.
1) Trên mặt nước thấy các gợn sóng hình gì ? Giải thích hiện tượng (không cần tính tóan).
2) Cho biết khoảng cách AB = 6,5cm; tần số dao động f = 80Hz; vận tốc truyền sóng v – 32cm/s; biên độ
sóng không đổi a = 0,5cm.
a) Thiết lập phương trình dao động tổng hợp tại điểm M trên mặt nước cách A một khoảng d
1
=
7,79cm và cách B một khoảng d
2
= 5,09cm.
b) So sánh pha của dao động tổng hợp tại M và dao động tại hai nguồn A và B.
3) Tìm số gợn sóng lồi và vò trí của chúng trên đoạn AB. (Đại Học Quốc Gia Hà Nội- 2001)
Bài 15: Hai âm thoa giống nhau được coi như hai nguồn phát sóng âm kết hợp S
1
và S
2

, cách nhau một khoảng
S
1
S
2
= 2m, cùng phát âm cơ bản có tần số f = 420Hz. Hai nguồn S
1
và S
2
có cùng biên độ dao động a, cùng pha
ban đầu, vận tốc truyền âm trong không khí là v = 336m/s.
1) Chứng minh rằng trên đoạn thẳng S
1
S
2
có những điểm tại đó nhận được âm thanh với biên độ cực đại.
2) Hãy xác đònh các điểm đó trên đoạn thẳng S
1
S
2
. Coi biên độ sóng âm tại một điểm bất kì trên phương
truyềánóng đều bằng biên độ a của nguồn. (Đại Học Quốc Gia Tp.Hồ Chí Minh (Đợt 2) – 2001)
Bài 16: Một sợi dây AB có đầu B gắn chặt và đầu A gắn vào một nhánh âm thoa có tần số dao động f như hình
vẽ. Cho âm thoa dao động, ta quan sát thấy trên AB có 4 nút bụng sóng dùng, B là một nút và A ngay sát một nút
sóng dừng.
1) Tìm bước sóng α của sóng truyền trên dây. Cho AB =
20cm; f = 10Hz.
2) Tìm vận tốc truyền sóng trên dây .
3) Dùng hiện tượng sóng dừng để giải thích tại sao khi lên
dây đàn, dây càng cang, tiếng càng thanh (âm cao) . (Đại Học Kinh Tế Quốc Dân Hà Nội- 2001)

Trang: 22
f
BA
B
A