50baiToan Lien Xo (cuc hay)

Tuyển tập các bài toán từ Liên Xô
TUYỂN TẬP CÁC BÀI TOÁN TỪ LIÊN XÔ
1) So sánh các cặp số sau:
a)
300
2
với
200
3
, b)
81
2
với
35
5
, c)
800
2
2
với
500
3
3
.
2) So sánh:
a)
2
lg 11
với lg12, b)
6 7 8
log 7 log 8 log 9+ +

với 3,3.
3) So sánh:
a)
3 3
1986 1984+
với
3
2 1985
b)
3 1
cos sin
2 2
−
với
1
8
c)
1987
1988
23 1
23 1
+
+
với
1988
1989
23 1
23 1
+
+

.
4) Chứng minh bất đẳng thức sau với mọi n∈N:
1 1 1 1
2
2
3 2 4 3 (n 1) n
+ + + + <
+
.
5) Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c, d ta luôn có:
a b c d
S 2
b c c d d a a b
= + + + ≥
+ + + +
.
6) Chứng minh bất đẳng thức:
( )
3 3 3
2 2 2 2 2 2
a b c 1
a b c
a ab b b bc c c ca a 3
+ + ≥ + +
+ + + + + +
,
với mọi số thực dương a, b, c.
7) Chứng minh bất đẳng thức sau đúng với mọi a, b dương tuỳ ý:
3 5
2 a 3 b 5 ab+ ≥

.
8) Chứng minh bất đẳng thức kép sau với mọi số tự nhiên n:
n
i 1
2 4n 3
n n i n
3 6
=
+
< <
∑
.
9) Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
x x x
2 3
log (1 2 ) log (3 2 )+ > +
với mọi x > 0.
b)
4a 4b 4c
1 1 1 25
b c c a a b
   
+ + + >
 ÷ ÷ ÷
+ + +
   
, với a > 0, b > 0, c > 0.
10) Chứng minh rằng với
0 x

2
π
< <
, ta có:
sinx t anx x 1
2 2 2
+
+ ≥
.
11) Chứng minh rằng:
0
1 7
sin 20
3 20
< <
.
12) Chứng minh rằng nếu
a b 2+ >
thì
4 4
a b 2+ >
.
13) Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
1 1 1 1 1 1 1 1 1

n 1 1 3 5 2n 1 n 2 4 2n
   
+ + + + > + + +
 ÷  ÷

+ +
   
với mọi số tự nhiên n.
b)
5 2
a a 3a 3 0− − + ≥
, với mọi số không âm a.
14) Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta có:
a)
a
A
h bc.cos
2
≤
b)
5 5 5
tan A tan B tan C
9
tan A tan B tan C
+ +
≥
+ +
.
15) Chứng minh rằng trong mọi tam giác ta đều có:
( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2
a b c a b c
m m m h h h 27S+ + + + ≥
trong đó S là diện tích của tam giác.
Tuyển tập các bài toán từ Liên Xô

16) Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi số thực x, y, z:
2 2 2 2 2 2
x xy y y yz z z zx x+ + + + + ≥ + +
.
17) Cho x, y, z là các số thực thoả mãn điều kiện:
x y z 1+ + =
. Chứng minh rằng:
7
0 xy yz zx xyz
27
≤ + + − ≤
.
18) Tính các tổng sau:
a)
n
1
k 1
1
S
k(k 1)(k 2)(k 3)
=
=
+ + +
∑
,
b)
n
2
k 2
k 1

S
k!
=
−
=
∑
,
c)
n
3
i=1
S tan(ix).tan(i+1)x=
∑
.
19) Tính tổng của chuỗi sau:
k
2 k 1
x 1 x 2 x 2

2 2 2
+
 
+ + +
   
+ + + +
 
   
   
 
, trong đó

[ ]
a
là
phần nguyên của số a.
20) Giải các phương trình sau:
a)
3 2
1
x x x
3
−
+ + =
b)
2 2
17 x (3 x)− = −
c)
3
3
x 1 2 2x 1+ = −
.
21) Giải các phương trình lượng giác sau:
a)
2 2
sin x sin y sinx.siny+sinx+siny-1+ =
,
b)
2 2 3
sin x cos 4x 2sin x.cos4x+ =
.
22) a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên

a 1
≠
, tồn tại ít nhất ba cặp số nguyên
(x; y) thoả mãn đẳng thức:
1 1 1
x y a
+ =
.
b) Tìm cặp số tự nhiên (x; y) thoả mãn đẳng thức trên với a = 1985.
23) Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình:
a)
3 3 2 2 3
55(x y x y ) 229(xy 1)+ + = +
b)
3 3
3
x y 1984+ =
.
24) Giải các phương trình sau:
a)
( )
( )
4
4
1 x 2 1 x+ = +
b)
4 3 2
4x 12x 5x 6x 15 0+ + − − =
.
25) Giải các phương trình vô tỷ sau:

a)
x 2 3 2x 5 x 2 2x 5 2 2+ − − + − − − =
,
b)
2 2
5x 14x 9 x x 20 5 x 1+ + − − − = +
.
26) Giải các phương trình sau:
a)
2 2 2
log 9 log x log 3
2
x x .3 x= −
b)
( ) ( )
3 2
2log cotx log cosx=
.
27) Giải các phương trình sau:
a)
2
cos x 2cosx=4sinx-sin2x−
b)
( ) ( )
2 2cos25-1 tan x= 2 2 sin 25 1 tan3x− −
.
28) Giải và biện luận các phương trình sau:
a)
x a x a+ + =
b)

2
x a x a− − =
.
29) Giải các phương trình sau:
Tuyển tập các bài toán từ Liên Xô
a)
( ) ( )
2 2
2 3
2 2 3
log x 2x 2 log x 2x 3
+
+
− − = − −
b)
2
2 2
x x 8x a
,a R
x 7x a x 6x a
+ +
= ∈
+ + + +
.
30) Tìm tất cả các cặp số (x; y) thoả mãn:
( )
( ) ( )
2 2
2 2 2
3

5
2 y 5sin x 6sinx.cosx-9cos x 3 33 arcsinx arccosx
4
− − + = + − π
.
31) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phương trình sau có đúng hai nghiệm:
2
1
x 4x 1 mx
2
+ − = +
.
32) Với những giá trị nào của a thì phương trình:
2 2
x 3 a .x 2ax( 6 3) 6 2 9− + + − = −
có nghiệm. Tìm nghiệm ấy.
33) Tìm tập tất cả các giá trị của tham số a để phương trình:
ln x ax=0−
có ba nghiệm.
34) Phương trình sau có bao nhiêu nghiệm:
2
2
x 2x log 1 x 3− − − =
.
35) Với mỗi giá trị thực của a, giải phương trình:
4cosx.sina+2sinx.cosa-3cosa=2 7
.
36) a) Tìm ít nhất một nghiệm tự nhiên của phương trình:
3 3 3 2 2 2
x y z x y z+ + =

.
b) Chứng minh rằng phương trình:
3 3 3 2 2 2
x y z nx y z+ + =
có nghiệm tự nhiên
chỉ khi n = 1 và n = 3. Khi đó hãy tìm tất cả các nghiệm của phương trình.
37) Tham số thực a, b xác định sao cho hệ thống:
2 2
y x a,x y b= + = +
có nghiệm duy
nhất
0 0
(x ; y )
. Điểm
0 0
M(x ;y )
chuyển động trên đường nào khi a, b thay đổi.
38) Tìm tất cả các nghiệm của phương trình:
2 4 2
8x(2x 1)(8x 8x 1) 1− − + =
thoả mãn
điều kiện
0 x 1
< <
.
39) Cho hai phương trình:
2
x x m 0− + =
và
2

x x 3m 0− + =
.
Tìm giá trị tham số
m 0≠
sao cho có một nghiệm của phương trình sau gấp đôi
nghiệm nào đó của phương trình thứ nhất.
40) Với giá trị nào của tham số thực a, nghiệm của phương trình
2 2
x 2x a 1 0− − + =
nằm giữa các nghiệm của phương trình
2
x 2(a 1)x a(a 1) 0− + + − =
.
41) Tìm tất cả các giá trị của tham số thực a, để các phương trình
2
x ax+1=0+
và
2
x x a 0+ + =
có ít nhất một nghiệm chung.
42) Tìm tất cả các giá trị của tham số thực a để phương trình:
2
11 x
a x cos 8 ax 0
4
π
 
− − − =
 ÷
 

có số lẻ nghiệm trong đoạn
[ ]
2;3−
.
43) Giải và biện luận theo tham số thực a phương trình:
x 1
(x 3)(x 1) 3(x 3) (a 1)(a 2)
x 3
+
− + + − = − +
−
.
Tìm a để phương trình chỉ có một nghiệm.
44) Giả sử
0
x x=
là nghiệm của phương trình:
2
x 2(a b 3)x a b 13 0+ − − + − − =
. Tìm
giá trị
0
x
lớn nhất nếu
a 2, b 1≥ ≤
.
45) Tìm tất cả các giá trị của k để cho mọi x là nghiệm của ít nhất một trong hai bất
phương trình sau:
2 2
x 5k 8k 2(3kx 2)+ + > +

và
2 2
x 4k k(4x 1)+ ≥ +
.
Tuyển tập các bài toán từ Liên Xô
46) Tìm tất cả các giá trị của k để bất đẳng thức sau thoả mãn với mọi x mà -1 < x < 1:
2 2
x k
1
k(6 x)
+
≥
+
.
47) Giải các hệ phương trình sau:
a)
xy x y 1
yz y z 5
zx z x 2
+ + =


+ + =


+ + =

b)
2
2

2
2x x y y
2y y z z
2z z x x

+ =

+ =


+ =

.
48) Giải trong trường số nguyên các hệ sau:
a)
3 2
3 2
3 2
2x 7x 8x 2 y
2y 7y 8y 2 z
2z 7z 8z 2 x

− + − =

− + − =


− + − =

b)

2 2 2
x y z 1
y z x 3

− − =

+ − =

.
49) Giải các hệ phương trình sau:
a)
2 2
2 4 2
2 6 4 2
2x y(x 1)
3y z(y y 1)
4z x(z z z 1)

= +

= + +


= + + +

b)
3 3 3 3
2 2 2 2
3xyz x y z b
x y z 2b

x y z b

− − − =

+ + =


+ + =

.
50) Giải các hệ phương trình sau:
a)
4 4 4
2 2 2
x y z 1
x y 2z 7

+ + =


+ + =


b)
3 2 2
4 4
y 2y 2y x
x y 2

− + =



+ =


c)
2 3
2 3 2
4x 3y xy
x x y 2y

− =


+ =


.