TÀI LIỆU THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (185.52 KB, 31 trang )
TÀI LIỆU
ÔN THI VÀO CÁC LỚP CHUYÊN
MÔN TOÁN
Năm học
Giáo viên biên soạn và giảng dạy :
Chuyên đề 1:
PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
A.Tóm tắt giáo khoa
I. Phương trình bậc hai:
2
0ax bx c+ + =
(1) (
0a
≠
)
1. Cách giải:
Tính biệt số
2
4b ac∆ = −
( hoặc
' 2 '
' với b
2
b
b ac∆ = − =
)
Nếu
0
∆ <
thì pt (1) vô nghiệm
Nếu
0∆ =
thì pt (1) có nghiệm số kép
1 2
2
b
x x
a
= = −
(
'
1 2
b
x x
a
= = −
)
Nếu
0∆ >
thì pt (1) có hai nghiệm phân biệt
1,2
2
b
x
a
− ± ∆
=
(
' '
1,2
b
x
a
− ± ∆
=
)
2. Trường hợp đặc biệt:
Nếu pt (1) có các hệ số thoả mãn a+b+c = 0 thì pt (1) có hai nghiệm là
1 2
1 và x
c
x
a
= =
Nếu pt (1) có các hệ số thoả mãn a-b+c = 0 thì pt (1) có hai nghiệm là
1 2
1 và x
c
x
a
= − = −
3. Điều kiện về nghiệm số của bậc hai:
Đònh lý : Xét phương trình :
2
0ax bx c+ + =
(1) (
0a ≠
)
Pt (1) vô nghiệm
0⇔ ∆ <
Pt (1) có nghiệm kép
0⇔ ∆ =
Pt (1) có hai nghiệm phân biệt
0⇔ ∆ >
Pt (1) có nghiệm ( hoặc có hai nghiệm)
0⇔ ∆ ≥
Đặc biệt :
Nếu pt(1) có hệ số a,c thoả a.c < 0 thì pt(1) luôn có hai nghiệm phân biệt.
4. Đònh lý VIÉT đối với phương trình bậc hai:
Đònh lý thuận: Nếu phương trình bậc hai :
2
0ax bx c+ + =
(
0a
≠
) có hai nghiệm x
1
, x
2
thì
1 2
1 2
.
b
x x
a
c
x x
a
+ = −
=
Đònh lý đảo : Cho hai số bất kỳ
,
α β
. Khi đó chúng là nghiệm của phương trình
x
2
- Sx + P = 0 với S =
α β
+
và P =
.
α β
Ý nghóa của đònh lý VIÉT:
Cho phép tính giá trò các biểu thức đối xứng của các nghiệm và xét dấu các nghiệm mà không cần
giải phương trình .
Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x
1
và x
2
của phương trình ax
2
+ bx + c = 0
là biểu thức có giá trò không thay đổi khi ta hoán vò x
1
, x
2
Ta có thể biểu thò được các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x
1
, x
2
theo S và P
VÍ DỤ:
Ký hiệu
n
2
n
1n
xxS +=
. Ta lần lượt có:
52
5
5
2
5
1
25
2
5
1
10
2
10
110
1
4
4521
4
2
4
1
4
2
4
1
5
2
5
1
9
2
9
19
42
4
4
2
4
1
24
2
4
1
8
2
8
18
1
3
3421
3
2
3
1
3
2
3
1
4
2
4
1
7
2
7
17
32
3
3
2
3
1
23
2
3
1
6
2
6
16
1
2
2321
2
2
2
1
2
2
2
1
3
2
3
1
5
2
5
15
22
2
2
2
2
1
22
2
2
1
4
2
4
14
3
2121
3
21
3
2
3
13
2
21
2
21
2
2
2
12
211
P2Sxx2)xx(xxS
SPSS)xx(xx)xx)(xx(xxS
P2Sxx2)xx(xxS
SPSS)xx(xx)xx)(xx(xxS
P2Sxx2)xx(xxS
SPSS)xx(xx)xx)(xx(xxS
P2Sxx2)xx(xxS
PS3S)xx(xx3)xx(xxS
P2Sxx2)xx(xxS
SxxS
−=−+=+=
−=+−++=+=
−=−+=+=
−=+−++=+=
−=−+=+=
−=+−++=+=
−=−+=+=
−=+−+=+=
−=−+=+=
=+=
Tính tương tự cho: S
11
, S
12
,
Ví dụ 1:
Cho x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình:
01xx
2
=−−
1. Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là 2x
1
- x
2
và 2x
2
- x
1
2. Hãy tính giá trò của biểu thức
a) A =
2
2
2
1
xx +
b) B =
3
2
3
1
xx +
c) C =
4
2
4
1
xx +
d) D =
5
2
5
1
xx +
; e) E =
6
2
6
1
xx +
f) F =
7
2
7
1
xx +
Ví dụ 2: Cho phương trình:
02x5x
2
=++
Gọi
21
x,x
là các nghiệm. Tính giá trò của các biểu thức:
a)
6
2
6
1
xxA +=
b) B =
8
2
8
1
xx +
Ví dụ 3: Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình:
083x4x
2
=+−
Tính giá trò của các biểu thức:
2
3
1
3
21
2
221
2
1
xx5xx5
x6xx10x6
Q
+
++
=
Ví dụ 4: Cho x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình :
)0a ( 0cbxax
2
≠=++
a) Tính giá trò của biểu thức :
4
2
4
1
x
1
x
1
A +=
theo a, b, c
b) Chứng minh rằng :
2
7
)31(
1
)31(
1
44
=
−
+
+
c) Chứng minh rằng :
198)21()21(
66
=−++
5. Dấu nghiệm số của phương trình bậc hai:
a. Đònh lý: Xét phương trình bậc hai :
2
0ax bx c+ + =
(1) (
0a ≠
)
Pt (1) có hai nghiệm dương phân biệt
> 0
P > 0
S > 0
∆
⇔
Pt (1) có hai nghiệm âm phân biệt
> 0
P > 0
S < 0
∆
⇔
Pt (1) có hai nghiệm trái dấu
P < 0⇔
b. Mọi tam thức bậc hai f(x)=
2
ax bx c+ +
(
0a
≠
) điều có thể biểu diển thành
2 2
( ) ( )
2 4
b
f x ax bx c a x
a a
∆
= + + = + −
c. Công thức phân tích tam thức bậc hai thành nhân tử:
Nếu tam thức bậc hai f(x)=
2
ax bx c+ +
(
0a
≠
)
có hai nghiệm là x
1
,x
2
thì tam thức được phân tích thành :
f(x) = a(x-x
1
)(x-x
2
)
d. Dấu cuả nhò thức bậc nhất f(x) = ax+b ( a
≠
0 )
Bảng xét dấu:
x
−∞
b
a
−
+∞
f(x) Trái dấu a 0 Cùng dấu a
II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN QUY VỀ BẬC HAI BẰNG PHÉP ĐẶT ẨN PHỤ
1.Dạng I:
4 2
0 ( a 0 )ax bx c+ + = ≠
Đặt ẩn phụ : t = x
2
2. Dạng II.
( )( )( )( ) ( k 0 )x a x b x c x d k+ + + + = ≠
trong đó a+b = c+d
Đặt ẩn phụ : t = (x+a)(x+b)
3.Dạng III:
4 4
( ) ( ) ( k 0 )x a x b k+ + + = ≠
Đặt ẩn phụ : t =
2
a b
x
+
+
4.Dạng IV:
4 3 2
0ax bx cx bx a+ + ± + =
Chia hai vế phương trình cho x
2
Đặt ẩn phụ : t =
1
x
x
±
III . PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA
3 2
0ax bx cx d+ + + =
(1) (
0a
≠
)
1.Cách giải: Áp dụng khi biết được một nghiệm của phương trình (1)
Bước 1: Nhẩm một nghiệm của phương trình (1). Giả sử nghiệm là x = x
0
Bước 2: Sử dụng phép CHIA ĐA THỨC hoặc sơ đồ HOÓCNE để phân tích vế trái thành nhân
tử và đưa pt (1) về dạng tích số :
(1)
⇔
(x-x
0
)(Ax
2
+Bx+C) = 0
0
2
0 (2)
x x
Ax Bx C
=
⇔
+ + =
Bước 3: Giải phương trình (2) tìm các nghiệm còn lại ( nếu có).
IV. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
1.Phương pháp 1: Biến đổi phương trình đã cho về phương trình đã biết cách giải.
2.Phương pháp 2: Biến đổi phương trình đã cho về dạng tích số : A.B = 0; A.B.C = 0.
Đònh lý:
0
. 0
0
A
A B
B
=
= ⇔
=
;
0
. . 0 0
0
A
A B C B
C
=
= ⇔ =
=
3.Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ đưa phương trình đã cho về dạng đã biết cách giải.
4.Phương pháp 4: Biến đổi phương trình về hệ phương trình .
Đònh lý1: Với
0, 0A B≥ ≥
thì
0
0
0
A
A B
B
=
+ = ⇔
=
Đònh lý 2: Với A, B bất kỳ thì
2 2
0
0
0
A
A B
B
=
+ = ⇔
=
Đònh lý 3:
Với
và B KA K≤ ≥
( K là hằng số ) thì
A K
A B
B K
=
= ⇔
=
B. BÀI TẬP RÈN LUYỆN :
Bài 1: Cho phương trình có ẩn số x :
2
x 2(m 1)x 3 m 0− − − − =
1) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm với mọi m.
2) Tìm m sao cho nghiệm số x
1
, x
2
của phương trình thỏa mãn điều kiện:
2 2
1 2
x x 10+ ≥
Bài 2: Cho phương trình bậc hai ẩn x :
2
x 2mx 2m 1 0− + − =
.
1) Chứng tỏ phương trình có nghiệm x
1
, x
2
với mọi m.
2) Đặt A =
2 2
1 2 1 2
2(x x ) 5x x+ −
a) Chứng tỏ A =
2
8m 18m 9− +
b) Tìm m sao cho A = 27
3) Tìm m sao cho phương trình có nghiệm này bằng hai nghiệm kia.
Bài 3: Cho phương trình :
2
(m 1)x 2(m 1)x m 0− + − − =
( ẩn số là x )
a) Đònh m để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép này
b) Đònh m để phương trình có hai nghiệm đều âm
Bài 3: Cho phương trình :
2 2
x (2m 3)x m 3m 0− − + − =
a) Chứng tỏ rằng phương trình luôn luôn có hai nghiệm khi m thay đổi
b) Đònh m để phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa 1 < x
1
< x
2
< 6.
Bài 4: Cho phương trình :
2
(m 2)x (2m 1)x 3 m 0+ − − − + =
a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm với mọi m
b) Tìm m sao cho phương trình có nghiệm này bằng hai nghiệm kia
Bài 5: Cho phương trình :
2
x 4x m 1 0− + + =
a) Đònh m để phương trình có nghiệm.
b) Đònh m để phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa :
2 2
1 2
x x 10+ =
Bài 6: Cho phương trình :
2
x 2mx m 2 0− + + =
a) Xác đònh m để phương trình có hai nghiệm không âm
b) Tính giá trò của biểu thức
1 2
E x x= +
theo m.
Bài 7: Cho phương trình :
2
3x mx 2 0− + =
Xác đònh m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn
2 2
1 2
5
x x
9
− =
Bài 8: Cho phương trình :
2 2
x 2(m 4)x m 8 0− + + − =
Xác đònh m để phương trình có hai nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn :
a)
1 2 1 2
A x x 3x x= + −
đạt giá trò lớn nhất.
b)
2 2
1 2 1 2
B x x x x= + −
đạt giá trò nhỏ nhất.
c) Tìm hệ thức giữa x
1
, x
2
không phụ thuộc vào m
Bài 9: Cho phương trình :
2 2
x 4x (m 3m) 0− − + =
a) Chứng tỏ phương trình có nghiệm x
1
, x
2
với mọi m.
b) Xác đònh m để :
2 2
1 2 1 2
x x 4(x x )+ = +
c) Lập phương trình bậc hai ẩn y có hai nghiệm y
1
, y
2
thỏa mãn :
y
1
+y
2
= x
1
+ x
2
và
1 2
2 1
y y
3
1 y 1 y
+ =
− −
Bài 10: Cho phương trình :
2
x 2(m 3)x 2(m 1) 0− − − − =
a) Chứng tỏ phương trình có nghiệm x
1
, x
2
với mọi m.
b) Gọi x
1
, x
2
là 2 nghiệm của phương trình . Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức:P=
2 2
1 2
x x+
.
Bài 11:Cho phương trình :
2 2
2 3 3 0mx mx m m+ + + − =
(1)
a) Đònh m để phương trình (1) vô nghiệm
b) Đònh m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x
1
,x
2
thoả mãn :
1 2
1x x− =
( TS10.PTNKĐHQG.TPHCM 2003)
Bài 12:Cho phương trình :
2
2( 1) 2 4 0x m x m− − + − =
a) Chứng minh rằng phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
b) Gọi x
1
,x
2
là hai nghiệm phân biệt của phương trình (1)
Tìm giá trò nhỏ nhất của
2 2
1 2
y x x= +
(TS10.PTCLHP.TPHCM 2002 )
Bài 13: Giải các phương trình sau:
1.
4 2
10 9 0x x− + =
2.
( 1)( 2)( 3)( 4) 3x x x x+ + + + =
3.
2 2
( 3 4)( 6) 24x x x x+ − + − =
4.
4 4
( 2) ( 3) 1x x− + − =
5.
4 3 2
3 6 3 1 0x x x x− − + + =
Bài 14:
Giải các phương trình sau:
1.
3 2
6 11 6 0x x x+ + + =
2.
3 2
4 29 24 0x x x+ − + =
3.
3 2
2 2 0x x x− − + =
Bài 15:
Cho phương trình bậc ba :
3 2 2 2
(2 1) (3 6 2) 3 4 2 0 (1)x m x m m x m m− + − − + + − + =
1. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có ba nghiệm phân biệt x
1
,x
2
,x
3
trong đó x
1
=1
với mọi m
2. Xác đònh m để biểu thức P =
1 2 3
x x x+ −
đạt giá trò nhỏ nhất. Tìm giá trò nhỏ nhất đó và các nghiệm
x
1
,x
2
,x
3
tương ứng .
Bài 16: Giải các phương trình sau:
1.
2
2 1 7 6
3 2 1 6
x x x
x x
+ −
+ =
−
2.
4 3 2
2 5 4 12 0x x x x+ + + − =
3.
2 3 4
( 2) ( 3) ( 4) 2x x x+ + + + + =
4. (x+9)(x+10)(x+11) -8x = 0 (TS10.ĐHSPVINH.2002)
5.
(4 1)(12 1)(3 2)( 1) 4x x x x+ − + + =
(TS10.LHP.TPHCM.2002)
6.
2
2
48 4
10( )
3 3
x x
x x
+ = −
(TS10.LHP.TPHCM.2002)
Bài 17:
Cho phương trình :
4 2
2 4 0x mx+ + =
Tìm giá trò của tham số m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt x
1
,x
2
,x
3
,x
4
thoả mãn
4 4 4 4
1 2 3 4
32x x x x+ + + =
(TS10.ĐHKHTNHN.2003)
Chuyên đề 2:
HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ
I. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
Dạng :
1 1 1
2 2 2
a x b y c
a x b y c
+ =
+ =
a.Cách giải : Phép thế , phép cộng .
b. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Cho hệ phương trình :
( 1) 3 1
2 5
m x my m
x y m
− − = −
− = +
Xác đònh tất cả các giá trò của tham số m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) mà S=x
2
+y
2
đạt giá trò nhỏ nhất.
Ví dụ 2: Với giá trò nào của tham số m hệ phương trình
4 2mx y m
x my m
+ = +
+ =
có nghiệm duy nhất
(x;y) với x, y là các số nguyên.
II. Hệ phương trình đối xứng :
1. Hệ phương trình đối xứng loại I:
a.Đònh nghóa: Đó là hệ chứa hai ẩn x,y mà khi ta thay đổi vai trò x,y cho nhau thì hệ phương trình
không thay đổi.
b.Cách giải:
Bước 1: Đặt x+y=S và xy=P với
2
4S P≥
ta đưa hệ về hệ mới chứa hai ẩn S,P.
Bước 2: Giải hệ mới tìm S,P . Chọn S,P thoả mãn
2
4S P≥
.
Bước 3: Với S,P tìm được thì x,y là nghiệm của phương trình :
2
0X SX P− + =
( đònh lý Viét đảo ).
c. Ví dụ : Giải hệ phương trình sau :
2 2
7
3 3 16
x y xy
x y x y
+ + = −
+ − − =
2. Hệ phương trình đối xứng loại II:
a.Đònh nghóa: Đó là hệ chứa hai ẩn x,y mà khi ta thay đổi vai trò x,y cho nhau thì phương trình
nầy trở thành phương trình kia của hệ.
b. Cách giải:
• Trừ vế với vế hai phương trình và biến đổi về dạng phương trình tích số.
• Kết hợp một phương trình tích số với một phương trình của hệ để suy ra nghiệm của hệ .
c. Ví dụ: Giải hệ phương trình sau:
2 2
2 2
2 3 2
2 3 2
x y y
y x x
+ = −
+ = −
III. Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai:
Dạng :
2 2
1 1 1 1
2 2
2 2 2 2
a x b xy c y d
a x b xy c y d
+ + =
+ + =
a. Cách giải:
Đặt ẩn phụ
x
t
y
=
hoặc
y
t
x
=
. Giả sử ta chọn cách đặt
x
t
y
=
.
Khi đó ta có thể tiến hành cách giải như sau:
Bước 1: Kiểm tra xem (x,0) có phải là nghiệm của hệ hay không ?
Bước 2: Với y
≠
0 ta đặt x = ty. Thay vào hệ ta được hệ mới chứa 2 ẩn t,y .Từ 2 phương trình ta
khử y để được 1 phương trình chứa t .
Bước 3: Giải phương trình tìm t rồi suy ra x,y.
b. Ví dụ: Giải hệ phương trình sau:
2 2
2 2
3 2 11
2 5 25
x xy y
x xy y
+ + =
+ + =
IV. Các hệ phương trình khác:
Ta có thể sử dụng các phương pháp sau:
a. Đặt ẩn phụ:
Ví dụ : Giải các hệ phương trình :
1.
2 2
3 2 2 3
5
6
x y x y
x x y xy y
− + − =
− − + =
2.
2 2 2
2 2
19( )
7( )
x xy y x y
x xy y x y
+ + = −
− + = −
b. Sử dụng phép cộng và phép thế:
Ví dụ: Giải các hệ phương trình : 1.
3 2
3 2
2 3 5
6 7
x x y
y xy
+ =
+ =
2.
2 2
2 2
2 3 0
2 0
xy y x
y x y x
− + =
+ + =
c. Biến đổi về tích số:
Ví dụ : Giải hệ phương trình :
2 2
2 2
2 5 2 0
4 0
x xy y x y
x y x y
+ − − + + =
+ + + − =
V. BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
Bài 1:
Giải các hệ phương trình sau:
1.
1 7
2
1 7
3
x
y
y
x
+ =
+ =
2.
2 2
2 2 2
2 2
3 28
x y
x y x
− = −
− =
3.
2 3 2
2 3 2
3 2
3 2
y x x x
x y y y
= − +
= − +
4.
2
2
1
3
1
3
x y
x
y x
y
+ =
+ =
Bài 2:
Cho hệ phương trình :
2 2
3 3 0
2 2 9 0
x y
x y x y
− − =
+ − − − =
Gọi (x
1
;y
1
) và (x
2
;y
2
) là hai nghiệm của hệ phương trình trên.
Hãy tính giá trò của biểu thức:
2 2
1 2 1 2
( ) ( )M x x y y= − + −
Bài 3:
Cho x; y thoả mãn :
3 2
2 2 2
2 4 3 0
2 0
x y y
x x y y
+ − + =
+ − =
. Tính
2 2
Q x y= +
Chuyên đề 3:
BIẾN ĐỔI CÁC BIỂU THỨC NGUYÊN VÀ PHÂN THỨC
I. MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ:
1.Các hằng đẳng thức cơ bản và mở rộng :
1.
2 2 2
( ) 2a b a ab b+ = + +
2.
2 2 2
( ) 2a b a ab b− = − +
3.
2 2
( )( )a b a b a b− = + −
4.
3 3 2 2 3
( ) 3 3a b a a b ab b+ = + + +
5.
3 3 2 2 3
( ) 3 3a b a a b ab b− = − + −
6.
3 3 2 2
( )( )a b a b a ab b+ = + − +
7.
3 3 2 2
( )( )a b a b a ab b− = − + +
2 2 2 2
( ) 2 2 2a b c a b c ab ac bc+ + = + + + + +
3 3 3 2 2 2
3 ( )( )a b c abc a b c a b c ab ac bc+ + − = + + + + − − −
1 2 1
( )( )
n n n n n
a b a b a a b b
− − −
− = − + + +
0 1 1 2 2 2
( )
n n n n n n
n n n n
a b C a C a b C a b C b
− −
+ = + + + +
trong đó
!
!( )!
k
n
n
C
k n k
=
−
và n!=1.2.3 n
II. BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
Bài 1: Cho
1 1 1
0
a b c
+ + =
. Tính giá trò của biểu thức :
2 2 2
ab bc ca
S
c a b
= + +
Bài 2: Cho
3 3 3
3a b c abc+ + =
. Tính giá trò của biểu thức :
1 1 1
a b c
S
b c a
= + + +
Bài 3:Cho
0x
≠
và
1
x a
x
+ =
là một hằng số . Tính theo a các biểu thức :
3
3
1
A x
x
= +
;
6
6
1
B x
x
= +
;
7
7
1
C x
x
= +
Bài 4: Cho ba số x,y,z thỏa mãn đồng thời :
2
2
2
2 1 0
2 1 0
2 1 0
x y
y z
z x
+ + =
+ + =
+ + =
Tính giá trò của biểu thức :
2004 2004 2004
A x y z= + +
Bài 5: Chứng minh rằng nếu a+b+c = 0 thì :
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1
0
b c a c a b a b c
+ + =
+ − + − + −
Bài 6: Cho
4
4 3 2
16
4 8 16 16
a
M
a a a a
−
=
− + − +
. Tìm các giá trò nguyên của a để M có giá trò nguyên
Bài 7: Chứng minh rằng nếu a,b,c khác nhau thì :
2 2 2
( )( ) ( )( ) ( )( )
b c c a a b
a b a c b c b a c a c b a b b c c a
− − −
+ + = + +
− − − − − − − − −
III. MỘT VÀI PHƯƠNG PHÁP TÍNH TỔNG :
1. Phương pháp dự đoán và quy nạp:
Phương pháp chứng minh quy nạp toán học:
a. Quy nạp không hoàn toàn :là sự suy luận đi từ những sự kiện riêng lẻ đến một kết luận tổng
quát. Phương pháp này không phải là phép chứng minh nhưng là phương pháp tìm tòi quan trọng,
nó giúp ta dự đoán những giả thiết có thể đúng hoặc sai.
b. Quy nạp hoàn toàn :là phép suy luận sau khi đã xem xét tất cả mọi trường hợp có thể xảy ra
mới rút ra kết luận tổng quát.
Để chứng minh một mệnh đề toán học P(n) đúng, với mọi n là số tự nhiên, bằng quy nạp hoàn tòan
ta qua 3 bước sau:
Bước 1: Chứng minh P(0) đúng
Bước 2: Giả sử P(k) đúng . Chứng minh P(k+1) đúng
Bước 3: Kết luận P(n) đúng với mọi n
∈¥
Ví dụ 1: Sử dụng phương pháp chứng minh quy nạp chứng minh rằng :
( 1)
1 2 3
2
n n
n
+
+ + + + =
Ví dụ 2: Tính tổng :
1 3 5 (2 1)
n
S n= + + + + −
Các tổng cơ bản cần nhớ:
a.
( 1)
1 2 3
2
n n
n
+
+ + + + =
b.
2 2 2 2
( 1)(2 1)
1 2 3
6
n n n
n
+ +
+ + + + =
c.
3
3 3 3
( 1)
1 2
2
n n
n
+
+ + + =
2. Phương pháp khử liên tiếp: ( phương pháp sai phân hữu hạn)
Ví dụ 1: Tính tổng :
1 1 1 1
10.11 11.12 12.13 2003.204
S = + + + +
Ví dụ 2: Tính tổng :
1 1 1 1
1.2.3 2.3.4 3.4.5 ( 1)( 2)
n
S
n n n
= + + + +
+ +
Ví dụ 3: Tính tổng :
[ ]
2 2 2
3 5 2 1
(1.2) (2.3)
( 1)
n
n
S
n n
+
= + + +
+
Chuyên đề 4:
BIẾN ĐỔI CÁC BIỂU THỨC CÓ CHỨA CĂN THỨC
I. MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI CĂN THỨC CƠ BẢN:
1. Biến đổi căn thức bậc lẻ:
•
2 1
2 1
k
k
A A
+
+
=
•
2 1 2 1
2 1
. .
k k
k
A B A B
+ +
+
=
•
2 1
2 1
2 1
(B 0)
k
k
k
A A
B
B
+
+
+
= ≠
•
2 1
2 1
2 1
. .
k
k
k
A B A B
+
+
+
=
2. Biến đổi căn thức bậc chẵn:
•
2
2
k
k
A A=
•
2
2 2
. . (A.B 0)
k
k k
A B A B= ≥
•
2
2
2
(A.B 0 , B 0)
k
k
k
A
A
B
B
= ≥ ≠
•
2
2
2
. . (B 0)
k
k
k
A B A B= ≥
•
(A 0)
m
n mn
A A= ≥
Trong đó : k, m, n là những số nguyên dương
Chú ý:
2k
A
có nghóa khi
0A
≥
II. BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
Bài 1: Chứng minh đẳng thức :
2 3 5 13 48
1
6 2
+ − +
=
+
Bài 2: Chứng minh đẳng thức :
2
3
1
1
3
2
1
3 3
1 1 1 1
2 2
+
−
+ =
+ + − −
Bài 3: Chứng minh đẳng thức :
4 4
49 20 6 49 20 6
3
2
+ + −
=
Bài 4: Cho a
0≥
. Chứng minh rằng :
2 2
2
2 2
1 ( 1)
1 1
a a a a
a a
a a a a
− +
− + + = −
+ + − +
Bài 5: Xét biểu thức
3 9 3 2 1
1
2 1 2
a a a
P
a a a a
+ − −
= − + −
+ − − +
. Tìm a để
1P =
Bài 6: Rút gọn biểu thức :
5 3 29 12 5A = − − −
Bài 7: Thu gọn biểu thức :
2 3 6 8 4
2 3 4
P
+ + + +
=
+ +
Bài 8: Cho
2 2
1
1 1
x x x x
M x
x x x x
− +
= − + +
+ + − +
Rút gọn M với
0 1x
≤ ≤
Bài 9: Cho
2
1 1
2 1 2 1
x =
−
− +
. Tính giá trò của biểu thức :
4 3 2 2004
( 2 1)A x x x x= − − + −
Bài 10: Tính giá trò của biểu thức :
4 2 2002
P (x 4x 3)= − +
với giá trò
3 10 9
x ( 10 3)
6 19 6 10
−
= +
+ −
Bài 11: Tính giá trò của biểu thức :
3 2 2003
A (3x 8x 2)= + +
với
3
( 5 2) 17 5 38
x
5 14 6 5
+ −
=
+ −
Bài 12: Cho số
3 3
x 9 4 5 9 4 5= + + −
1) Chứng tỏ x là nghiệm của phương trình
3
x 3x 18 0− − =
.
2) Tính x.
Bài 13: Chứng minh rằng
3 3
125 125
x 3 9 3 9
27 27
= + + − − + +
là một số nguyên.
Bài 14: Chứng minh rằng số :
0
2 2 3 6 3 2 3x = + + − − +
là một nghiệm của phương trình :
4 2
16 32 0x x− + =
.
Bài 15: Cho
1 2 2
2 1
x x
A
x
− − −
=
− −
1. Tìm điều kiện của x để A có nghóa .
2. Rút gọn A.
Bài 16: Cho biểu thức :
3 3 2 9
(1 )( )
9
2 3 6
(x 0,x 9,x 4)
x x x x x
P
x
x x x x
− − − −
= − + −
−
− + + −
≥ ≠ ≠
1. Thu gọn biểu thức P
2. Tìm giá trò x để P=1
Bài 17: Chứng minh rằng biểu thức sau có giá trò không phụ thuộc vào x
3 6
4
2 3. 7 4 3
9 4 5. 2 5
x
A x
x
− + −
= +
− + +
Chuyên đề 5:
BẤT ĐẲNG THỨC
A. Tóm tắt giáo khoa:
I. Đònh nghóa:
Giả sử A, B là hai biểu thức bằng số
Mệnh đề : " A lớn hơn B ", ký hiệu : A > B
" A nhỏ hơn B ", ký hiệu :A < B
" A lớn hơn hay bằng B " ký hiệu
A B≥
" A nhỏ hơn hay bằng B " ký hiệu
A B≤
được gọi là một bất đẳng thức
Quy ước : Khi nói về một bất đẳng thức mà không chỉ rõ gì hơn thì ta hiểu rằng đó là một bất đẳng thức
đúng.
II. Các tính chất của bất đẳng thức :
1. Tính chất1:
0a b a b
> ⇔ − >
2. Tính chất 2:
a b
a c
b c
>
⇒ >
>
3. Tính chất 3:
a b a c b c
> ⇔ + > +
Hệ quả 1:
a b a c b c
> ⇔ − > −
Hệ quả 2:
a c b a b c
+ > ⇔ > −
4. Tính chất 4:
a b
a c b d
c d
>
⇒ + > +
>
5. Tính chất 5:
nếu c > 0
nếu c < 0
ac bc
a b
ac bc
>
> ⇔
<
Hệ quả 1:
a b a b
> ⇔ − < −
Hệ quả 2:
nếu c > 0
nếu c < 0
a b
c c
a b
a b
c c
>
> ⇔
<
6. Tính chất 6:
1 1
0 0a b
a b
> > ⇔ < <
7. Tính chất 7:
*
0 với mọi n
n n
a b a b> > ⇒ > ∈¥
8. Tính chất 8:
2 1 2 1
với mọi n
n n
a b a b
+ +
> ⇔ > ∈ ¥
9. Tính chất 9:
*
0 với mọi n
n n
a b a b> > ⇒ > ∈¥
10. Tính chất 10:
2 1 2 1
với mọi n
n n
a b a b
+ +
> ⇔ > ∈¥
11. Tính chất 11:
0
0
a b
ac bd
c d
> >
⇒ >
> >
III. Bất đẳng thức liên quan đến giá trò tuyệt đối :
1. Đònh nghóa:
nếu x 0
( x )
nếu x < 0
x
x
x
≥
= ∈
−
¡
2. Tính chất :
a.
2
2
0 , x , x x , -x xx x≥ = ≤ ≤
b. Với mọi
,a b ∈¡
ta có :
•
a b a b+ ≤ +
•
a b a b− ≤ +
•
. 0a b a b a b+ = + ⇔ ≥
•
. 0a b a b a b− = + ⇔ ≤
IV . Bất đẳng thức trong tam giác :
Nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì :
• a > 0, b > 0, c > 0
•
b c a b c− < < +
•
c a b c a− < < +
•
a b c a b− < < +
•
a b c A B C
> > ⇔ > >
V . Các bất đẳng thức cơ bản :
1. Bất đẳng thức Cauchy:
Cho hai số không âm a; b ta có :
2
a b
ab
+
≥
Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi a=b
Tổng quát :
Cho n số không âm a
1
,a
2
, a
n
ta có :
1 2
1 2
.
n
n
n
a a a
a a a
n
+ + +
≥
Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi a
1
= a
2
= = a
n
2. Bất đẳng thức Bunhiacốpski :
Cho bốn số thực a,b,x,y ta có :
2 2 2 2 2
( ) ( )( )ax by a b x y+ ≤ + +
Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi ay = bx
Tổng quát :
Cho hai bộ số
1 2
( , , )
n
a a a
và
1 2
( , , , )
n
b b b
ta có :
2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2
( ) ( )( )
n n n n
a b a b a b a a a b b b+ + + ≤ + + + + + +
Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi
1 2
1 2
n
n
a
a a
b b b
= = =
với quy ước rằng nếu mẫu bằng 0 thì tử cũng bằng 0
VI . CÁC PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC :
Ta thường sử dụng ba phương pháp sau :
1. Phương pháp 1: Phương pháp biến đổi tương đương
Biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng minh đến một bất đẳng thức đã biết rằng đúng .
Ví dụ:
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1.
2 2 2
a b c ab bc ca+ + ≥ + +
với mọi số thực a,b,c
2.
2 2
1a b ab a b+ + ≥ + +
với mọi a,b
3.
3 3
3
( )
2 2
a b a b+ +
≥
với mọi a,b > 0
2. Phương pháp 2: Phương pháp tổng hợp
Xuất phát từ các bất đẳng thức đúng đã biết dùng suy luận toán học để suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ1 :
1. Cho hai số dương x và y có tổng bằng 1.Chứng minh rằng :
2 2
1 1
(1 )(1 ) 9
x y
− − ≥
2. Cho x,y là hai số dương thay đổi luôn thoả mãn điều kiện x.y = 1
Chứng minh rằng :
4 2 2 4
1
x y
x y x y
+ ≤
+ +
Ví dụ 2:
1.Cho a,b,c >0 và abc=1. Chứng minh rằng :
3
b c c a a b
a b c
a b c
+ + +
+ + ≥ + + +
2. Cho a,b,c,d > 0 và
2 2 2 2 3
( )c d a b+ = +
. Chứng minh rằng :
3 3
1
a b
c d
+ ≥
3. Phương pháp 3: Phương pháp chứng minh phản chứng
Giả sử bất đẳng thức cần chứng minh là sai từ đó dùng suy luận toán học để suy ra điều mâu thuẩn với
chân lý đã biết.
Ví dụ:
Cho a,b,c thoả mãn :
0
0
0
a b c
ab bc ca
abc
+ + >
+ + >
>
. Chứng minh rằng ba số a,b,c dương
B. BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
Bài 1:
Chứng minh rằng nếu a,b,c > 0 thì
a.
1 1
( )( ) 4a b
a b
+ + ≥
b.
1 1 1
( )( ) 9a b c
a b c
+ + + + ≥
c.
3
2
a b c
b c c a a b
+ + ≥
+ + +
Bài 2:
Chứng minh rằng nếu a,b > 0 thì
1 1 1 1
( )
4a b a b
≤ +
+
Bài 3:
Cho hai số dương a,b và a + b = 5
Chứng minh rằng :
1 1 4
5a b
+ ≥
Bài 4:
Chứng minh rằng nếu a,b,c là các số thực dương thoả mãn : abc = ab + bc + ca
thì:
1 1 1 3
2 3 2 3 3 2 16a b c a b c a b c
+ + <
+ + + + + +
Bài 5:
Cho a,b là các số dương thoả ab=1
Chứng minh rằng :
2 2
4
( 1)( ) 8a b a b
a b
+ + + + ≥
+
Bài 6:
a. Chứng minh :
2
2 2
( )
2
x y
x y
+
+ ≥
b.Chứng minh :
4
4 4
( )
2
x y
x y
+
+ ≥
c. Cho x > 0 và x + y = 1 . Chứng minh:
4 4
1
8( ) 5x y
xy
+ + ≥
Bài 7:
Cho hai số dương x,y có tổng bằng 1. Chứng minh rằng :
2 2
1 1
(1 )(1 ) 9
x y
− − ≥
Bài 8:
Cho bốn số thực a,b,c,d thoả mãn
a b c d≥ ≥ ≥
. Chứng minh các bất đẳng thức sau)
1.
2 2 2 2
( )a b c a b c− + ≥ − +
2.
2 2 2 2 2
( )a b c d a b c d− + − ≥ − + −
Bài 9:
x,y là các số thực thoả mãn điều kiện : x+y+z+xy+yz+zx-6
Chứng minh rằng :
2 2 2
3x y z+ + ≥
Bài 10:
Cho a,b,c
[0;2]∈
có tổng a + b + c = 2
Chứng minh rằng :
2 2 2
5a b c+ + ≤
Chuyên đề 6:
ỨNG DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC TÌM
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA CÁC BIỂU THỨC ĐẠI SỐ
Phương pháp:
Để tìm GTLN của biểu thức A (phụ thuộc vào một hay nhiều biến) ta có thể thực hiện như sau:
Bước 1: Chứng minh :
hằng số MA ≤
Bước 2: Chỉ ra các biến để
MA =
Bước 3: Kết luận GTLN của A là M.
Để tìm GTNN của biểu thức A (phụ thuộc vào một hay nhiều biến) ta có thể thực hiện như sau:
Bước 1: Chứng minh :
hằng số mA ≥
Bước 2: Chỉ ra các biến để
A m=
Bước 3: Kết luận GTNN của A là m
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 1:
Cho x,y là hai số dương thay đổi sao cho
4 9
1
x y
+ =
. Tìm giá trò nhỏ nhất của các biểu thức
a. P = xy
b. Q= x + y
Bài 2:
Cho x,y thay đổi sao cho
0 3x≤ ≤
và
0 4y≤ ≤
. Tìm giá trò lớn nhất của biểu thức
P = (3-x)(4-y)(2x+3y)
Bài 3:
Số thực x thay đổi và thoả mãn điều kiện
2 2
(3 ) 5x x+ − ≥
. Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức
P =
4 4 2 2
(3 ) 6 (3 )x x x x+ − + −
Bài 4:
Cho x,y là các số dương thoả mãn :
2 2
4x y+ =
. Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức
2 2
1 1
( ) ( )T x y
x y
= + + +
Bài 5:
Cho x,y là hai số dương có tổng bằng 1.Tìm giá trò nhỏ nhất của các biểu thức
a.
2 2
1 1
( ) ( )A x y
x y
= + + +
b.
4 4
1
2( )
4
B x y
xy
= + +
c.
1 1
(1 )(1 )C
x y
= + +
Bài 6:
Cho hai số dương x,y thay đổi và thoả x+y=5. Tìm giá trò nhỏ nhất của tổng
1 1
P
x y
= +
Chú ý : Ngoài cách tìm GTLN và GTNN bằng cách sử dụng bất đẳng thức, ta có thể sử dụng phương
pháp điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai
Ví dụ : Tìm giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất của
1.
2
2
2
2
x
y
x x
+
=
+ +
2.
2
2
5 7
x
y
x x
=
− +
Chuyên đề 7:
PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA CĂN THỨC
I. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1. Các công thức và tính chất cơ bản:
•
A
có nghóa khi
0A ≥
•
0 với A 0A ≥ ≥
•
2
nếu A 0
và A
nếu A < 0
A
A A
A
≥
= =
−
•
2
( ) với A 0A A= ≥
•
. . khi A,B 0A B A B= ≥
•
. . khi A,B 0A B A B= − − ≤
2. Các đònh lý cơ bản:
1. Đònh lý 1: Với A,B bất kỳ thì :
2 2
AA B B= ⇒ =
2. Đònh lý 2: Với
, 0A B ≥
thì :
2 2
AA B B= ⇔ =
3. Đònh lý 3:
2
B 0
A B
A B
≥
= ⇔
=
4. Đònh lý 4: Với
, 0A B ≥
thì :
A=0
0
B=0
A B
+ = ⇔
5. Đònh lý 5:
2 2
A=0
0
B=0
A B
+ = ⇔
6. Đònh lý 6:
A=K
Với A K và B K ( K là hằng số ) thì : A=B
B=K
≤ ≥ ⇔
II. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA CĂN THỨC:
1. Phương pháp 1: Nâng luỹ thừa khử căn thức
Ví dụ : Giải phương trình :
1.
1 2 2 3x x x− + − = −
2.
( 2) ( 5) ( 3)x x x x x x− + − = +
3.
1
1x x
x
+ + =
4.
3 3 3
1 1 5x x x+ + − =
2. Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình đại số
Ví dụ : Giải phương trình :
1.
2 2
3 2 2 1x x x x x+ = + + −
2.
3 1
2 1
3 1
x x
x x
−
= +
−
3.
3
2
3
2 5 3x x− =
3. Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ chuyển về hệ phương trình đại số
Ví dụ : Giải phương trình :
1.
2 2
25 10 3x x− − − =
2.
3
2 1 1x x− + − =
3.
3 2
5 1 2( 2)x x+ = +
4. Phương pháp 4: Biến đổi phương trình về hệ phương trình
Ví dụ : Giải phương trình :
1.
2
2 3 5 2 3 12 14x x x x− + − = − +
2.
2
4 5 2 2 3x x x+ + = +
5. Phương pháp 5: Biến đổi phương trình về dạng tích số
Ví dụ : Giải phương trình :
2
( 5 2)(1 7 10) 3x x x x+ − + + + + =
6. Phương pháp 6: Biến đổi phương trình về phương trình có chứa giá trò tuyệt đối
Ví dụ : Giải phương trình :
1.
3 4 1 8 6 1 5x x x x+ + − + + − − =
2.
2 3 2 5 2 2 5 2 2x x x x+ + − + − − − =
II. BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
Bài 1: Cho phương trình :
2
2 1 6 11 0x x m m+ − − + − =
a. Giải phương trình khi m=2
b. Chứng minh rằng phương trình có nghiệm với mọi m
Bài 2: Cho phương trình :
1 (1) trong đó m là tham sốx x m− + =
a. Giải phương trình (1) khi m=1
b. Tìm tất cả các giá trò của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
Chuyên đề 8:
HÌNH HỌC PHẲNG
A. Kiến thức bổ sung quan trọng :
1.Đònh lý Ménélaus:
Cho ba điểm A
’
,B
’
,C
’
lần lượt nằm trên ba đường thẳng chứa ba cạnh BC,CA,AB của tam giác ABC sao
cho trong chúng hoặc không có điểm nào, hoặc có đúng hai điểm thuộc cạnh tam giác ABC. Khi đó:
' ' '
' ' '
' ' '
, , thẳng hàng . . 1
A B B C C A
A B C
A C B A C B
⇔ =
2. Đònh lý Céva:
Cho ba điểm A
’
,B’,C’lần lượt thuộc ba cạnh BC, CA, AB . Khi đó
' ' '
' ' '
' ' '
A
, , đồng quy tại một điểm I . . 1
B B C C A
AA BB CC
A C B A C B
⇔ =
3. Tỉ số diện tích :
Cho hai điểm M, N nằm trên hai đường thẳng chứa hai cạnh AB và AC của tam giác ABC ta luôn có hệ
thức :
( )
.
( )
dt AMN AM AN
dt ABC AB AC
∆
=
∆
4. Đẳng thức Ptolémée:
Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) ta luôn có hệ thức:
AC.BD=AB.CD+AD.BC
5. Bất đẳng thức Ptolémée:
Cho tứ giác ABCD ta luôn có :
. . .AC BD AB CD AD BC≤ +
Đẳng thức xãy ra khi và chỉ khi ABCD nội tiếp đường tròn
6. Tứ giác nội tiếp:
Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại N , hai đường thẳng AB,CD cắt nhau tại M . Khi đó các
điều sau tương đương :
i. Tứ giác ABCD nội tiếp
ii.
·
·
ACB ADB=
iii.
·
·
0
180ABC CAD+ =
iv. MA.MB=MC.MD
v. NA.NC=NB.ND
7. Điều kiện tiếp xúc :
Cho tam giác ABC và điểm S thuộc tia đối của tia BC. Khi đó các mệnh đề sau tương đương
i. SA tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
ii.
·
·
ASB BAS=
iii. SA
2
= SB.SC
B. Các bài toán luyện tập:
Bài 1: Chứng minh rằng trong một tam giác ABC, nếu có ba đường thẳng AA
’
,BB
’
,CC
’
cắt nhau
tại một điểm K nằm trong tam giác (
' ' '
, ,A BC B AC C AB∈ ∈ ∈
) thì
a)
' ' '
' ' '
1
KA KB KC
AA BB CC
+ + =
b)
' ' '
2
AK BK CK
AA BB CC
+ + =
c)
' '
' ' '
AK AB AC
KA BC C B
= +
Bài 2: Trên trung tuyến AD của một tam giác ABC, cho một điểm K sao cho AK=3KD;BK cắt
AC tại P. Tính tỉ số diện tích hai tam giác ABP , BCP.
Bài 3: Cho một tam giác ABC, một điểm K trên AB sao cho
1
2
AK
KB
=
, một điểm L trên trên BC
sao cho
2
1
CL
LB
=
. Gọi Q là giao điểm của các đường thẳng AL và CK . Tìm diện tích tam
giác ABC nếu biết diện tích của tam giác BQC bằng 1 (đơn vò diện tích )
Bài 4: Cho tam giác ABC . Trên cạnh AB và BC lấy lần lượt hai điểm M và N sao cho
AB=5AM, BC=3BN. Gọi O là giao điểm của AN và CM . Tính tỉ số diện tích của tam giác
AOC và diện tích tam giác ABC
Bài 5: Cho tam giác ABC . Gọi F là giao điểm hai đường phân giác trong AD và CF (D thuộc BC,
E thuộc AB) . Tính tỷ số diện tích tam giác ADF và diện tích tam giác ABC theo ba cạnh
BC=a,AC=b,AB=c
Bài 6: Cho tam giác ABC và AM,BN,CP là các đường phân giác trong của nó . Tính tỷ số diện
tích tam giác MNP và điện tích tam giác ABC theo các cạnh BC=a,AC=b,AB=c
Bài 7: Cho đường tròn O và một dây AB của đường tròn đó . Các tiếp tuyến vẽ từ A và B của
đường trò cắt nhau tại C . Kẻ dây CD của đường tròn có đường kính OC (D khác A và B ).
CD cắt cung
»
AB
của đường tròn (O) tại E ( E nằm giữa C và D ) . Chứng minh :
a.
· ·
BED DAE=
b.
2
.DE DA DB=
Bài 8: Giả sử H là trực tâm của tam giác nhọn ABC. Trên đoạn HB và HC lấy hai điểm M,N sao
cho
·
·
0
90AMC ANB= =
. Chứng minh rằng AN=AM.
Bài 9: Cho tam giác ABC có
µ
0
45A =
. Gọi M và N lần lượt là chân đường cao kẻ từ B và C của
tam giác ABC .
1. Tính tỷ số
MN
BC
2. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Chứng minh rằng
OA MN
⊥
Bài 10: Cho nữa đường tròn (O) đường kính AB=2R ( R là độ dài cho trước). M, N là hai điểm
trên nửa đường tròn (O) sao cho M thuộc cung AN và tổng các khoảng cách từ AB đến
đường thẳng MN bằng
3R
.
1. Tính độ dài đoạn MN theo R
2. Gọi giao điểm của hai dây AN và BM là I, giao điểm của các đường thẳng AM và BN là K .
Chứng minh rằng 4 điểm M,N,I,K cùng nằm trên một đường tròn , Tính bán kính của đường
tròn đó theo R.
3. Tìm giá trò lớn nhất của diện tích tam giác KAB theo R khi M,N thay đổi nhưng vẩn thỏa mãn
giả thiết của bài toán .
Bài 11: Cho hình vuông ABCD , M là điểm thay đổi trên cạnh BC ( M không trùng với B ) và N là
điểm thay đổi trên cạnh CD (N không trùng với D) sao cho:
góc MAN= góc MAB + góc NAD
1. BD cắt AN và AM tương ứng tại P và Q . Chứng minh 5 điểm P, Q, M, C, N cùng nằm
trên một đường tròn
2. Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn luôn tiếp xúc với một đường tròn cố đònh khi M
và N thay đổi
3. Ký hiệu diện tích của tam giác APQ là S
1
và diện tích của tứ giác PQMN là S
2
. Chứng
minh rằng tỉ số
2
1
S
S
không thay đổi khi M và N thay đổi.
Bài 12: Cho tam giác ABC có đường cao BD . Giả sử (C) là một đường tròn có tâm O nằm trên
đoạn AC và lần lượt tiếp xúc với BA, BC tại M và N
1. Chứng minh rằng 4 điểm B, M, D, N nằm trên mộ đường tròn
2. Chứng minh rằng góc ADM = góc CDN
Bài 13: Cho tứ giác lồi ABCD , có hai đường chéo AC, BD vuông góc với nhau và bằng nhau .
Giả sử
3CD;6BC;3AB ===
. Trên nữa mặt phẳng với bờ là đường thẳng AC
không chứa điểm B , dựng hình vuông ACMN . Trên nữa mặt phẳng với bờ là đường
thẳng MD không chứa điểm N , dựng tia Mx vuông góc với MD và lấy điểm E thuộc tia
Mx sao cho ME =MD
1. Chứng minh rằng 4 điểm C, D, M, N thuộc một đường tròn
2. Tính các góc của tứ giác ABCD.
