Đề thi học sinh giỏi lớp 10 THPT năm 2010 - 2011 môn toán trường THPT chuyên Vĩnh Phúc potx

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
—————————
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2010-2011
ĐỀ THI MÔN: TOÁN
(Dành cho học sinh THPT chuyên Vĩnh Phúc )
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.
————————————
Câu I (4,0 điểm)
1. Giải hệ phương trình
2 3
2
3 6 0
3 0
xy y x y
x xy

+ + − =


+ − =


2. Giải phương trình
2 2 2
18 16 4 2 5 3 7 4 2 2 7 2 8 6x x x x x x x+ + + − = + − + + +
Câu II (1,0 điểm)
Tìm tất cả các bộ ba số hữu tỷ dương
( )
; ;m n p
sao cho mỗi một trong các số

1 1 1
; ;m n p
np pm mn
+ + +
là một số nguyên.
Câu III (2,0 điểm)
1. Giả sử
, ,a b c
là các số thực dương thỏa mãn
2012 2012 2012
2010 2010 2010
2011
a b c
b c a
+ + <
. Chứng minh rằng
luôn tồn tại số tự nhiên
n
sao cho
3 3 3 2 2 2
1 1 1
2011
2010
n n n n n n
n n n n n n
a b c a b c
b c a b c a
+ + + + + +
+ + +
+ + ≤ + + +

2. Cho
, ,a b c
là các số thực dương. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên
m
ta có bất
đẳng thức
3 3 3 2 2 2
1 1 1
m m m m m m
m m m m m m
a b c a b c
b c a b c a
+ + + + + +
+ + +
+ + ≥ + +
Câu IV (2,0 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn với ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại điểm H. Tiếp tuyến tại B,
C của đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC cắt nhau tại điểm T, các đường thẳng TD và EF
cắt nhau tại điểm S. Gọi X, Y lần lượt là giao điểm của đường thẳng EF với các đường thẳng
TB, TC; M là trung điểm của cạnh BC.
1. Chứng minh rằng H, M lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác DEF và XTY.
2. Chứng minh rằng đường thẳng SH đi qua trung điểm của đoạn thẳng BC.
Câu V (1,0 điểm)
Kí hiệu

chỉ tập hợp các số tự nhiên. Giả sử
:f → 
là hàm số thỏa mãn các điều kiện
( )
1 0f >

và
( )
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
2 2f m n f m f n+ = +
với mọi
,m n∈
. Tính các giá trị của
( )
2f
và
( )
2011f
.
Hết
Chú ý: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ……………………………………………SBD: …………………
Tham khảo đáp án: />