Bài tập toán ánh xạ tuyến tính ppsx

NỘI DUNG
1. Định nghĩa:
Cho V và W là hai không gian vec-tơ. Ánh xạ f: V-> W gọi là 1 ánh xạ tuyến tính
nếu f thỏa mãn hai tính chất sau đây:
(L1): f(u + v ) = f(u) + f(v), mọi u,v thuộc V (tính bảo toàn phép cộng)
(L2): f(λu) = λf(u), mọi λ thuộc R , mọi u thuộc V (tính bảo toàn phép nhân với vô
hướng)
- Nhận xét: Từ hai điều kiện trên, dễ dàng nhận thấy rằng:
f : V > W là ánh xạ tuyến tính:
f ( λ
1
u
1
+ λ
2
u
2
) = λ
1
f(u
1
) + λ
2
f(u
2
) , λ
1
, λ
2
thuộc R , u
1

, u
2
Є V
2. Các phép toán về ánh xạ tuyến tính:
Cho f : V-> W và g: V-> W là hai ánh xạ tuyến tính:
a. Tổng của hai ánh xạ tuyến tính:
mọi u Є V , ( f + g )( u ) = f ( u ) + g ( u ) Є W.
b. Tích của ánh xạ f và số thực λ , kí hiệu là λf , là ánh xạ xác định bởi :
mọi u Є V , ( λf ) (u) = λf (u) Є W.
c. Gỉa sữ V, W, U là ba không gian veto f: V->W và g: W-> V, là hai ạnh xạ tuyến
tính. Khi đó , ánh xạ hợp dược xác định bởi:
mọi u Є V , ( g
0
f ) (u) = g ( f(u) ) Є U
là một ánh xạ từ V tới U. Như thế hợp của hai ánh xạ là một ánh xạ tuyến tính

3. Tính chất:
Cho là ánh xạ tuyến tính V, W là hai không gian vec-tơ trên trường số
K. Khi đó:
1.
2.
Chứng minh:
1. Ta có:
Suy ra: (*)
Mặt khác: (**)
Do đó, từ (*), (**) ta có: f(0
V
) = 0w
2. Ta có:
4. Các ví dụ áp dụng: .

1anh xạ hằng giá trị không: là một ánh xạ tuyến tính
và gọi là ánh xạ không.
2Ánh xạ đồng nhất , là một phép biến đổi tuyến tính
trên V và gọi là phép biến đổi đồng nhất (hay toán tử đồng nhất) trên V.
3. Phép lấy đạo hàm là một phép biến đổi tuyến tính
trên không gian R[x] các đa thức thực một biến x.
4.hép lấy tích phân xác định:
là một ánh xạ tuyến tính từ không gian C[a,b] các hàm số thực liên tục trên [a,b]
đến không gian R.
5: Cho điểm . Phép lấy đối xứng qua trục Oy là một phép biến đổi tuyến
tính. Nghĩa là: là một phép biến đổi tuyến tính.
6 Các ánh xạ sau co phải ánh xạ tuyến tính không?
a. f: R
3
-> R
3

f ( x
1
, x
2
, x
3
) = (x
1
– x
3
, x
2
, 5)

b.f : R
3
-> R
3

f ( x
1
, x
2
, x
3
) = (x
2
– x
3
, x
1
, x
2
)
Giải:
a. x = ( x
1
, x
2
, x
3
) Є R
3
y = ( y

1
y
2
, y
3
) Є R
3
x + y = ( x
1
+ y
1
, x
2
+ y
2
, x
3
+ y
3
)
f ( x +y) = ( x
1
+ y
1
– x
3
–y
3
, x
2

+ y
2
, 5)
f ( x) = f ( x
1
, x
2
, x
3
) = ( x
1
– x
3
, x
2
, 5 )
f ( y ) = f ( y
1
, y
2
, y
3
) = ( y
1
-y
3
, y
2
, 5)
vậy f ( x+y ) khác f(x) + f(y) mọi x y Є R

3
Vậy f không phải là ánh xạ tuyến tính.
b. * x= ( x
1
,x
2
, x
3
) Є R
3
y = (y
1
, y
2
,y
3
) Є R
3
x + y = ( x
1
+ y
1
, x
2
+ y
2
, x
3
+y
3

)
f (x+y) = (x
2
+ y
2
– x
3
– y
3
, x
1
+ y
1
, x
2
+ y
2
)
f(x) = f ( x
1
, x
2
, x
3
) = ( x
2
– y
3
, x
1

, x
2
)
f (y) = f ( y
1
, y
2
,y
3
) = ( y
2
– y
3
, y
1,
y
2
)
Như vậy f ( x + y ) = f(x) + f(y) mọi x,y Є R
3
• λx = (λx
1
, λx
2
, λx
3
)
f ( λx) = ( λx
2
– λx

3
, λx
1
, λx
2
)
= λ ( x
2
– x
3
, x
1
, x
2
)
= λ . f(x)
Vậy f là một ánh xạ tuyến tính.
7 . Cho ánh xa tuyến tính sau:
a. f: V-> R ,f(v
1
) = 2 , f(v
2
) = -3
tính f ( 5v
1
+ 9v
2
)
b. f: V-> R f( x+ 2) =1, f(1) = 5
f ( x

2
+ x) =0
Tính f ( 2-x+3x
2
)
Giải
a. f(5v
1
+ 9v
2
) = f (5v
1
) + f(9v
2
)
= 5f (v
1
) + 9f(v
2
)
= 5 .2 + 9. (-3) = -17
b. f (1) = 5 => f(2) = 2f(1) = 2.5= 10
f( x+2) = 1 => f(x) + f(2) = 1 => f(x) = -9
f(x
2
+ x) =0 => f(x
2
) + f(x) =0
 f(x
2

) = 9
f( 2-x+3x
2
) = 10 + 9 +27 = 46.