Chuyên đề: Các dạng toán về vécto

thanhtintv
Chuyên đề toán véc tơ
Dạng 1: Chứng minh các đẳng thức véc tơ
A. Ph ơng pháp
*C1: Biến đổi một vế chỉ ra bằng vế còn lại.
*C2: Biến đổi tơng đơng. (Đa ĐT cần chứng minh về một ĐT luôn đúng)
*C3: Xuất phảt từ một ĐT luôn đúng biến đổi đa về ĐT cần chứng minh.
*C4: Tạo dựng hình phụ.
Dựa vào các quy tắc đã học:
- Quy tắc ba điểm
- Quy tắc hình bình hành
- Quy tắc trung điểm
B. Một số ví dụ
VD1: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F lần lợt là trung điểm của AB, CD và O là trung điểm của EF.
1. CMR :

AD
+

BC
= 2

EF
;
2. CMR :

OA
+

OB
+

OC
+

OD
=
0

;
3. CMR :

MA
+

MB
+

MC
+

MD
= 4

MO
(với M tùy ý)
VD2: Cho ABC. Trên hai cạnh AB, AC lấy 2 điểm D và E sao cho

AD
= 2

DB
,

CE
= 3

EA
. Gọi M
là trung điểm DE và I là trung điểm BC. CMR :
1.

AM
=
3
1

AB
+
8
1

AC
;
2.

MI
=
6
1

AB
+
8
3

AC
.
VD3: Cho tam giác ABC, gọi I là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC. CMR:
. . . 0a IA b IB c IC+ + =
uur uur uur r
.
C. Bài tập
Bài 1: Cho 4 điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng:
AB CD AD CB+ = +
uuur uuur uuur uuur
.
Bài 2: Cho tam giác ABC, gọi G là trọng tâm của tam giác và M là một điểm bất kì. Chứng minh rằng:
1.
GA GB GC 0+ + =
uuur uuur uuur r
2.
MA MB MC 3MG+ + =
uuuur uuur uuur uuuur
Bài 3: Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lợt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh rằng:
AM BN CP 0+ + =
uuuur uuur uuur r
.
Bài 4: Cho hai tam giác ABC, ABC lần lợt có trọng tâm là G, G. CMR:
AA ' BB' CC' 3GG '+ + =
uuuur uuuur uuuur uuuur

.
Bài 5: Cho tam giác ABC, gọi M là trung điểm của AB và N là một điểm trên cạnh AC : NC=2NA.
Gọi K là trung điểm của MN.
1. CMR:
1 1
AK AB AC
4 6
= +
uuur uuur uuur
;
2. Gọi D là trung điểm của BC. CMR:
1 1
KD AB AC
4 3
= +
uuur uuur uuur
.
Bài 6: Cho tam giác ABC, gọi G là trọng tâm của tam giác và H là điểm đối xứng với B qua G.
1. Chứng minh rằng:
( )
2 1 1
AH AC AB ; CH AB AC
3 3 3
= = +
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
2. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng:
1 5
MH AC AB
6 6
=

uuuur uuur uuur
Bài 7: Cho tam giác ABC, gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI. Gọi J là điểm trên đờng BC
kéo dài sao cho 5JB = 2JC.
1. Chứng minh rằng:
3 2 5 2
AI AB AC ; AJ AB AC
5 5 3 3
= + =
uur uuur uuur uur uuur uuur
- 1 -
thanhtintv
2. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh:
35 1
AG AI AJ
48 16
=
uuur uur uur

Bài 8: Cho tam giác ABC, gọi O, G, H lần lợt là tâm đờng tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm tam giác
ABC. Gọi I là tâm đờng tròn đi qua trung điểm của 3 cạnh tam giác ABC.
1. Chứng minh rằng:
HA HB HC 2HO+ + =
uuur uuur uuur uuur
2. Chứng minh rằng
2
HG HO
3
=
uuur uuur
. Từ đó suy ra H, G, O thẳng hàng.

3. Chứng minh rằng:
OA OB OC OH 3OG+ + = =
uuur uuur uuur uuur uuur

4. Chứng minh rằng:
OH 2OI=
uuur uur
5. Gọi A, B, C là trung điểm của BC, CA, AB. Các điểm A
1
; B
1
; C
1
là chân đờng cao hạ từ A,
B, C. Các điểm M, N, P là trung điểm của HA, HB, HC. Chứng minh rằng 9 điểm A, B, C; A
1
; B
1
; C
1
;
M, N, P nằm trên đờng tròn
R
I;
2

ữ

(với R là bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC) (đờng tròn
này gọi là đờng tròn Ơle)

Bài 9: Cho tứ giác ABCD.Chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm G :
GA GB GC GD 0+ + + =
uuur uuur uuur uuur r
(1)
Điểm G thoả mãn (1) gọi là trọng tâm của tứ giác ABCD hay cũng gọi là trọng tâm của hệ 4
điểm
Bài 10: Cho tam giác đều ABC tâm O. M là một điểm tuỳ ý bên trong tam giác.
1. Chiếu M xuống 3 cạnh của tam giác thành D, E, F. Chứng minh rằng:
3
MD ME MF MO
2
+ + =
uuuur uuur uuur uuuur
2. Gọi A
1
; B
1
; C
1
là các điểm đối xứng của M qua các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng hai
tam giác ABC và A
1
B
1
C
1
có cùng trọng tâm.
Bài 11: Cho tam giác ABC, gọi H là trực tâm của tam giác. CMR:
tan A.HA tan B.HB tan C.HC 0+ + =
uuur uuur uuur r

.
Bài 12: Cho tam giác ABC, gọi I là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC. CMR:
sin A.IA sin B.IB sin C.IC 0+ + =
uur uur uur r
.
Bài 13: Cho tam giác ABC, gọi M là một điểm bất kì thuộc miền trong của tam giácABC. CMR:
MBC MAC MAB
S .MA S .MB S .MC 0

+ + =
uuuur uuur uuur r
.
Dạng 2: Biểu diễn véc tơ
A. Ph ơng pháp
Định lý: Cho trớc hai véc tơ
, 0a b
r r r
và không cùng phơng. Với mọi véc tơ
c
r
luôn tồn tại duy
nhất cặp số thực
,

sao cho
c a b

= +
r r r
.

*C1: Từ giả thiết xác định tính chất hình học, từ đó khai triển véc tơ cần biểu diễn bằng phơng
pháp xen điểm hoặc hiệu.
*C2: Từ giả thiết thiết lập mối quan hệ giữa các đối tợng, từ đó khai triển biểu thức này.
Dựa vào các quy tắc đã học:
- Quy tắc ba điểm;
- Quy tắc hình bình hành;
- Quy tắc trung điểm.
B. Một số ví dụ
VD1: Cho tam giác ABC, gọi M, N, P lần lợt là trung điểm của BC, CA, AB. Hãy biểu diễn các véc tơ
, ,AB BC CA
uuur uuur uuur
theo hai véc tơ
,BN CP
uuur uuur
.
VD2: Cho ABC, lấy M, N, P sao cho

MB
= 3

MC
;

NA
+3

NC
=
0

và

PA
+

PB
=
0

. Hãy biểu diễn

PM
,

PN
theo hai véc tơ

AB
và

AC
.
C. Bài tập
Bài 1: Cho tam giác ABC, gọi G là trọng tâm của tam giác và B là điểm đối xứng với B qua G. Hãy
biểu diễn các véc tơ
', ', 'CB AB MB
uuur uuuur uuuur
(M là trung điểm của BC) theo hai véc tơ
,a AB b BC= =
r uuur r uuur

.
Bài 2 : Cho tam giác ABC, gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI, gọi J là điểm trên BC kéo dài
sao cho 5JB = 2JC.
- 2 -
thanhtintv
1. Biểu diễn
, ,AI AJ theo AB AC
uur uur uuur uuur
;
2. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Biểu diễn
AG
uuur
theo
AI
uuur
và
AJ
uur
.
Bài 3: Cho tam giác ABC, gọi I là điểm trên cạnh BC kéo dài sao cho IB=3IC.
1. Biểu diễn
AI
uur
theo hai véc tơ
,AB AC
uuur uuur
;
2. Gọi J, K lần lợt là các điểm thuộc cạnh AC, AB sao cho JA=2JC, KB=3KA. Hãy biểu diễn
JK
uuur

theo
,AB AC
uuur uuur
;
3. Biểu diễn
BC
uuur
theo
AI
uur
,
JK
uuur
.
Bài 4: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Hãy biểu diễn các véc tơ
AI
uur
(I là trung điểm BO),
BG
uuur
(G là
trọng tâm của tam giác OCD) theo hai véc tơ
,AB AD
uuur uuur
.
Bài 5: Cho lục giác đều ABCDEF. Hãy biểu diễn các véc tơ
, , ,AC AD AF EF
uuur uuur uuur uuur
theo hai véc tơ
,AB AE

uuur uuur
.
Dạng 3: Tìm điểm M thoả mãn một đẳng thức véc tơ, độ dài
A. Ph ơng pháp
- Biến đổi đẳng thức véc tơ đã cho về dạng
OM v=
uuuur r
hoặc dạng
OM v=
uuuur r
trong đó O là điểm cố
định;
v
r
là véc tơ cố định.
B. Một số ví dụ
VD1: Cho tam giác ABC, tìm các điểm I, J, K lần lợt thoả mãn các đẳng thức véctơ sau:
1.
2 0IA IB+ =
uur uur r
;
2.
2JA JB CB+ =
uur uur uuur
;
3.
KA KB 2KC 0+ + =
uuur uuur uuur r
.
VD2: Cho tam giác ABC, tìm tập hợp các điểm M thoả mãn từng điều kiện sau :

1.
3
+ + = +
2
uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur
MC MC
;
2.
+ 3 =
uuuur uuuur uuuur uuuur uuur uuuur
2 2MC MB MC
.
C. Bài tập
Bài 1: Cho hai điểm A, B. Xác định điểm M thoả mãn:
2 3 0MA MB =
uuur uuur r
.
Bài 2: Cho tam giác ABC, gọi M là trung điểm của AB và N là một điểm trên cạnh AC sao cho
NC=2NA.
1. Xác định K sao cho
3AB 2AC 12AK 0+ =
uuur uuur uuur r
;
2. Xác định D sao cho
3AB 4AC 12KD 0+ =
uuur uuur uuur r
.
Bài 3 : Cho tam giác ABC, tìm tập hợp các điểm M thoả mãn từng điều kiện sau :
1.
=

uuur uuur
MA MB
; 2.
+ + =
uuur uuur uuuur ur
MA MB MC O
;
3.
+ = +
uuuur uuuur uuuur uuuur
C
; 4.
3
+ =
2
uuuur uuur uuuur uuuur
C
;
5.
+ =
uuuur uuur uuuur uuuur
C
.
Bài 4: Cho

ABC, xác định điểm M thoả mãn:
1.
MA MB MC 0 + =
uuuur uuur uuur r
; 2.

MA 2MB 0+ =
uuuur uuur r
;
3.
MA 2MB CB+ =
uuuur uuur uuur
; 4.
MA MB 2MC 0+ + =
uuuur uuur uuur r
;
5.
MA MB MA MC+ = +
uuuur uuur uuuur uuur
.
Bài 5: Cho

ABC và một điểm M bất kì.
1. Chứng minh rằng
v 3MA 5MB 2MC= +
r uuuur uuur uuur
không đổi;
2. Xác định điểm I thoả mãn
3IA 2IB IC 0 + =
uur uur uur r
;
- 3 -
thanhtintv
3. Xác định điểm M thoả mãn:
a.
3MA 2MB MC MB MA + =

uuuur uuur uuur uuur uuuur
;
b.
2 MA MB MC 3 MB MC+ + = +
uuuur uuur uuur uuur uuur
;
c.
( )
2MA MB MC k MB MC + =
uuuur uuur uuur uuur uuur
.
Bài 6: Cho

ABC, xác định điểm M thoả mãn:
1.
3
MA MB MC MB MC
2
+ + = +
uuuur uuur uuur uuur uuur
;
2.
MA 3MB 2MC 2MA MB MC+ =
uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur
.
Dạng 4: Chứng minh ba điểm thẳng hàng
A. Ph ơng pháp
- Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta đi chứng minh
( )AB k AC k R=
uuur uuur

*C1: Sử dụng các quy tắc biến đổi véc tơ đã biết.
*C2: Xác định các véc tơ
,AB AC
uuur uuur
thông qua một tổ hợp véc tơ trung gian.
Chú ý:
, , (1 ) , A B C MC MA MB M

= +
uuuur uuur uuur
B. Một số ví dụ
VD1: Cho tam giác ABC, trọng tâm G. Lấy các điểm I, J sao cho
2IA 3IC 0, 2JA 5JB 3JC 0+ = + + =
uur uur r uur uur uur r
1. Chứng minh rằng:
, ,M N J
với M, N theo thứ tự là trung điểm của AB, BC;
2. Chứng minh rằng J là trung điểm của BI;
3. Gọi E thuộc AB sao cho
AE k AB=
uuur uuur
. Xác định k để
, ,C E J
.
C. Bài tập
Bài 1: Cho tam giác ABC, lấy các điểm I, J sao cho
2 ,3 2 0IA IB JA JC= + =
uur uur uur uuur r
. Chứng minh rằng IJ đi
qua trọng tâm G của tam giác ABC.

Bài 2: Cho tam giác ABC, lấy M, N, P thoả mãn
0,3 2 0, 2MA MB AN AC PB PC+ = = =
uuur uuur r uuur uuur r uuur uuur
. Chứng
minh rằng
, ,M N P
.
Bài 3: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Lấy I, J sao cho
3 2 2 0IA IC ID+ =
uur uur uur r

2 2 0JA JB JC + =
uur uur uuur r
.
Chứng minh rằng
, ,I J O
.
Bài 4: Cho tam giác ABC, gọi O, G, H lần lợt là tâm đờng tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm của tam
giác ABC. Chứng minh rằng
, ,O G H
.
Dạng 5: Bất đẳng thức véc tơ và ứng dụng
A. Ph ơng pháp
*Cho hai véctơ
,a b
r r
(Trong mặt phẳng hoặc không gian). Khi đó ta có
| | | | | | (1)a b a b+ +
r r r ur
- Dấu = xảy ra

*
:a b k a kb
+
=
r r r r
Z Z Ă
hoặc một trong hai véctơ bằng
0
r
.
Tổng quát:
*
1 1
| | | | ( )
n n
i i
i i
a a n
+
= =


ur ur
Â
| | | | | | (2)a b a b +
r r r ur
- Dấu = xảy ra
*
:a b k a kb

=
r r r r
Z [ Ă
hoặc một trong hai véctơ bằng
0
r
.
| | .| | . | | .| | (3)u v u v u v
r r r r r r
- 4 -
thanhtintv
- Dấu =thứ nhất xảy ra
*
:a b k a kb

=
r r r r
Z [ Ă
hoặc một trong hai véctơ bằng
0
r
- Dấu = thứ hai xảy ra
*
:a b k a kb
+
=
r r r r
Z Z Ă
hoặc một trong hai véctơ bằng
0

r
.
B. Một số ví dụ
VD1: Giải phơng trình
2 2 2
2 2 4 12 25 9 12 29x x x x x x + + + + = + +
.
VD2: Chứng minh rằng
, ,x y z Ă
ta có
2 2 2 2 2 2
x xy y x xz z y yz z
+ + + + + + +
.
VD3: Cho các số thực dơng a, b, c thoả mãn ab + bc + ca = abc
Chứng minh rằng
2 2 2 2 2 2
2 2 2
3
a b b c c a
ab bc ca
+ + +
+ +
.
C. Bài tập
Giải các ph ơng trình, bất ph ơng trình, hệ ph ơng trình
Bài 1: Giải phơng trình
2 2
2 5 2 10 29x x x x + + + + =
Bài 2: Giải phơng trình

2
1 3 2 1 0x x x x+ + + =
Bài 3: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm
2 4 x x m + =
Bài 4: Giải hệ phơng trình
2 2 2
3 3 3
3
3
3
x y z
x y z
x y z
+ + =


+ + =


+ + =

Bài 5: Giải bất phơng trình
2
1 3 2( 3) 2 2x x x x + +
Chứng minh bất đẳng thức
Bài 6: Chứng minh rằng
,x y Ă
ta có
2 2 2 2 2 2
4cos cos sin ( ) 4sin sin sin ( ) 2x y x y x y x y

+ + +
.
Bài 7: Chứng minh rằng
*
, ,x y z
+
Ă
ta có
2 2 2 2 2 2
3( )x xy y x xz z y yz z x y z
+ + + + + + + + + +
.
Bài 8: Chứng minh rằng
, , 0, 1x y z x y z > + +
ta có
2 2 2
2 2 2
1 1 1
82x y z
y z x
+ + + + +
.
Bài 9: Chứng minh rằng
, , , 1a b c abc =Ă
ta có
2 2 2 2 2 2
3
2
bc ca ab
a b a c b c b a c a c b

+ +
+ + +
.
- 5 -