CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ

Chuyên đề : CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN
CÓ LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ
1.BÀI TOÁN 1 : SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ
Bài toán tổng quát:
Trong mp(Oxy) . Hãy xét sự tương giao của đồ thò hai hàm số :
1
2
(C ): y f(x)
(C ): y g(x)
=


=


(C
1
) và (C
2
) không có điểm chung (C
1
) và (C
2
) cắt nhau (C
1
) và (C
2
) tiếp xúc nhau

Phương pháp chung:
* Thiết lập phương trình hoành độ giao điểm của đồ thò hai hàm số đã cho:

f(x) = g(x) (1)
* Tùy theo số nghiệm của phương trình (1) mà ta kết luận về số điểm chung
của hai đồ thị (C
1
) và (C
2
) .
L ưu ý:
Số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của hai đồ thò (C
1
) và (C
2
).
Ghi nhớ: Số nghiệm của pt (1) = số giao điểm của hai đồ thò (C
1
) và (C
2
).

Chú ý 1 :
* (1) vô nghiệm
⇔
(C
1
) và (C
2
) không có điểm điểm chung
* (1) có n nghiệm
⇔
(C

1
) và (C
2
) có n điểm chung
Chú ý 2 :
* Nghiệm x
0
của phương trình (1) chính là hoành độ điểm chung của (C
1
) và (C
2
).
Khi đó tung độ điểm chung là y
0
= f(x
0
) hoặc y
0
= g(x
0
).
x
y y y
x x
OO
O
)(
1
C
)(

2
C
)(
1
C
)(
2
C
1
x
2
x
1
M
2
M
2
y
1
y
0
M
)(
2
C
)(
1
C
x
y

0
y
0
x
O
Áp dụng:
D ạng 1: Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị
Bài 1: Tìm tọa độ giao điểm của đường cong (C):
2
y x x 2= + −
và đường thẳng
y x 2= +
Bài 2: Tìm tọa độ giao điểm của hai đường cong (C):
2
y x 4= −
và (C'):
2
y x 2x= − −

Bài 3: Tìm tọa độ giao điểm của đường cong (C):
3 2
1
y x x
3
= −
và đường thẳng
5
(d):y 3x
3
= +

Bài 4: Tìm tọa độ giao điểm của đường cong (C):
1
12
+
−
=
x
x
y
và đường thẳng
13:)( −−= xyd

Bài 5: Tìm tọa độ giao điểm của đường cong (C):
y x=
và đường thẳng
(d):y x 2= −
Dạng 2: Tìm tham số để hai đồ thị cắt nhau tại 2( 3, 4) điểm phân biệt
Bài 1 : Cho hàm số
2x 1
y
x 2
+
=
+
. Chứng minh rằng với mọi m, đường thẳng
y mx 2= +
ln cắt đồ thị
hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt.
Bài 2 : Cho hàm số
3 2x

y
x 1
−
=
−
. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng
y mx 2= +
cắt đồ thị
hàm số đã cho tại hai điểm phân biệt.
Bài 3: Cho hàm số
2
( 1)( )y x x mx m= − + +
(1)
Xác đònh m sao cho đồ thò hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
Bài 4: Cho hàm số
3 2
3 2= + + + −y x x mx m
(1)
Xác đònh m sao cho đồ thò hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.
Bài 5: Cho hàm số
4 2
1y x mx m= − + −
(1)
Xác đònh m sao cho đồ thò hàm số (1) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt.
b. Điều kiện tiếp xúc của đồ thò hai hàm số : (Dành cho chương trình NC)
Đònh lý :
(C
1
) tiếp xúc với (C
1

)
⇔
hệ :
' '
f(x) g(x)
f (x) g (x)
=



=


có nghiệm
Bài 1: Chứng minh rằng hai đường cong
3
5
(C): y x x 2
4
= + −
và
2
(C'): y x x 2= + −
tiếp xúc nhau.tại một
điểm nào đó.
Bài 2: Tìm k để đường thẳng
(d):y kx=
tiếp xúc với đường cong
3 2
(C): y x 3x 1= + +

Bài 3: Tìm k để đường thẳng
( )
(d):y k x 2 7= − −
tiếp xúc với đường cong
3 2
(C): y x 3x 2= − +
Bài 4: Tìm k để đường thẳng
( )
(d):y k x 1 3= + +
tiếp xúc với đường cong
2x 1
(C): y
x 1
+
=
+
M
O
∆
)(
1
C
)(
2
C
y
x
Bài 2: Tìm k để đường thẳng
( )
(d):y k x 5= +

tiếp xúc với đường cong
2
x x 1
(C): y
x 1
− −
=
+
2.BÀI TOÁN 2: TIẾP TUYẾN VỚI ĐƯỜNG CONG
a. Dạng 1:
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thò (C):y = f(x) tại điểm
0 0 0
M (x ;y ) (C)∈

Phương pháp:
Phương trình tiếp tuyến với (C) tại M(x
0
;y
0
) có dạng:
y - y
0
= k ( x - x
0
) hay
0 0 0
y f '(x )(x x ) f(x )= − +
Trong đó : x
0
: hoành độ tiếp điểm

y
0
: tung độ tiếp điểm và y
0
= f(x
0
)
k : hệ số góc của tiếp tuyến và được tính bởi công thức : k = f
'
(x
0
)
Áp dụng:
Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò hàm số
33
3
+−= xxy
tại điểm trên đồ thị có hồnh độ

x 2=
.
Bài 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò hàm số
2x 3
y
x 1
+
=
+
tại điểm trên đồ thị có hồnh độ

x 3= −
.
Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò hàm số
2
y x 1
2x 1
= + −
−
tại điểm trên đồ thị có hồnh độ

x 1=
.
Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò hàm số
3x 2
y
x 1
−
=
+
tại điểm trên đồ thị có tung độ

y 2= −
.
Bài 5: Cho hàm số
3 2
y 2x 3x 1= − + −
(1). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số (1) tại điểm
trên (C) có hồnh
0
x

, biết rằng
0
y''(x ) 0=
Bài 6: Cho hàm số
2 x
y
x 1
−
=
+
(1). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số (1) tại giao điểm
của đồ thị với các trục tọa độ.
b. Dạng 2:
(C): y=f(x)
0
x
x
0
y
y
0
M
∆
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thò (C): y=f(x) biết tiếp tuyến có hệ số góc k cho trước

Phương pháp: Ta có thể tiến hành theo các bước sau
Bước 1: Gọi
0 0
( ; ) ( )M x y C∈
là tiếp điểm của tiếp tuyến với (C)

Bước 2: Tìm x
0
bằng cách giải phương trình :
'
0
( )f x k=
, từ đó suy ra
0 0
( )y f x=
=?
Bước 3 : Thay các yếu tố tìm được vào pt: y - y
0
= k ( x - x
0
) ta sẽ được pttt cần tìm.
Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò hàm số
3
y x 3x= − +
biết tiếp tuyến có hệ số góc
k 9
= −
Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thò hàm số
2x 1
y
x 2
+
=
−
biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng
5

−

Chú ý : Đối với dạng 2 người ta có thể cho hệ số góc k dưới dạng gián tiếp như : tiếp tuyến song song,
tiếp tuyến vuông góc với một đường thẳng cho trước .
Khi đó ta cần phải sử dụng các kiến thức sau:
Đònh lý 1: Nếu đường thẳng (
∆
) có phương trình dạng : y= ax+b thì hệ số góc của (
∆
) là:

k a
∆
=
Đònh lý 2: Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng
1 2
( ) và ( )∆ ∆
. Khi đó:

1 2
1 2
1 2
1 2
// k k
k .k 1
∆ ∆
∆ ∆
∆ ∆ ⇔ =
∆ ⊥ ∆ ⇔ = −
Áp dụng:

(C): y=f(x)
0
x
x
0
y
y
0
M
∆
(C): y=f(x)
∆
x
y
ak /1−=
O
baxy +=∆ :
2
(C): y=f(x)
x
y
ak =
baxy +=
1
∆
2
∆
Bài 1: Cho đường cong (C):
3 2
1 1 4

2
3 2 3
y x x x= + − −
Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng (d): y = 4x+2.
Bài 2: Cho đường cong (C):
2
x 5x 4
y
x 2
− +
=
−

Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
( ): y 3x 2∆ = +
Bài 3: Cho đường cong (C):
1
3
2
+
+
=
x
x
y

Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
xy 3:)( −=∆
c. Dạng 3:
Viết phương trình tiếp tuyến với (C): y=f(x) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(x

A
;y
A
)

Phương pháp: Ta có thể tiến hành theo các bước sau
Bước 1: Viết phương trình đường thẳng (
∆
) qua A và có hệ số
góc là k bởi công thức:

( ) ( )
A A A A
y y k x x y k x x y− = − ⇔ = − +
(*)
Bước 2: Đònh k để (
∆
) tiếp xúc với (C). Ta có:

A
'
f(x)=k(x-x )
tiếp xúc (C) hệ có nghiệm (1)
f ( )
A
y
x k
+



∆ ⇔

=


Bước 3: Giải hệ (1) tìm k. Thay k tìm được vào (*) ta sẽ được pttt cần tìm.
Áp dụng:
Ví dụ1: Cho đường cong (C):
43
23
++= xxy

Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(0;-1)
Ví dụ 2: Cho đường cong (C):
2 5
2
x
y
x
−
=
−
Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(-2;0).
3.BÀI TOÁN 3: BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ
x
y
AAAA
yxxkyxxkyy +−=⇔−=−∆ )()(:
O
);(

AA
yxA
)(:)( xfyC =
Cơ sở của phương pháp:
Xét phương trình f(x) = g(x) (1)
Nghiệm x
0
của phương trình (1) chính là hoành độ giao điểm của (C
1
):y=f(x) và (C
2
):y=g(x)
Bài tốn : Bằng đồ thò hãy biện luận theo m số nghiệm của phương trình dạng : f(x) = m (*)
Phương pháp:
Bước 1: Xem (*) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thò:


( ): ( ) : (C) là đồ thi cố đinh
( ): : ( ) là đường thẳng di động cùng phương Ox
và cắt Oy tại M(0;m)
• =
• ∆ = ∆
C y f x
y m
Bước 2: Vẽ (C) và (
∆
) lên cùng một hệ trục tọa độ
Bước 3: Biện luận theo m số giao điểm của (
∆
) và (C)

Từ đó suy ra số nghiệm của phương trình (*)

Minh họa:
Áp dụng:
Bài 1: 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số
3 2
y x 3x 4= − + −
2) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
3 2
x 3x 4 m− + − =
3) Tìm m để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:
3 2
x 3x 2 m 0− + − =
Bài 2: 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
3
y 2x 6x 1= − +
2) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
3
2x 6x 1 m 0− + − =
Bài 3: 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
4 2
y x 2x= − +
2) Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt:
4 2
x 2x m 0− + =
y
x
)(:)( xfyC =
);0( m
1

m
2
m
my =
∆
O
y
x
0
x
)(
1
C
)(
2
C
Hết