chuyên đề bồi dưỡng số 6

Chuyên đề về các bài toán có chữ số giống nhau
1Lý thuyết:
Cấu tạo số có chữ số giống nhau:
Số 1, 11, 111, 1111, 11111có thể viết thành
1
2
10 1
1
9
10 1
11
9
−
=
−
=
vv đến số 11 1 ở đó có n số 1có thể viết

10 1
111111 11 .
9
n
n
−
=
1 4 2 4 3
999 9 1000 0 1 10 1
111 1 .
9 9 9
k k
k

k
− −
= = =
6 7 8 6 7 8
12 3
Các chữ số 2, 22, 222, có viết thành:
1
2
10 1
2 2
9
10 1
2 22
9
10 1
2 22 2
9
n
−
=
−
=
−
=
ở đó có n số 2
và các số khác cũng có thể viết theo quy tắc trên:
2. Bài tập:
Bài 1: cho số tự nhiên n có k chứ số 9.Chứng tỏ tổng các chữ số của số n
2
là 9k.

Giải: Ta viết
10 1
999 9 9(111 1) 9 10 1.
9
k
k
k
N
−
= = = = −
1 2 3
Tính chữ số của N
2
theo công thức:
2
2
2
2
1 1
.
(999 9).(10 1)
999 9000 0 999 9
999 98000 01
k
k k k
k k
N N N
N
N
N

− −
=
= −
= −
=
1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3
Vậy tổng các chữ số là:
9( 1) 8 1 9 .k k− + + =
GV: Hoàng Thị Tuyết - THCS Ngọc Sơn - Hải Dương
1
Bài 2: Cho các số 49, 4489, 444889, , là số ta viết thêm số 48 vào giữa các chữ số của số 49,
chứng tỏ rằng tất cả các số viết theo quy tắc như vậy là bình phương của số tự nhiện
Giải: Ta iết các số dưới dạng:
:
1
2
3
49 4.1.10 8.1 1
4489 4.11.10 8.11 1
444889 4.111.10 8.111 1
= + +
= + +
= + +
Và cứ thế, cứ thế.

{
1
444 488 89 4.111 1.10 8.111 1 1.
n

n
n n n
N
−
= = + +
1 2 3 12 3 12 3

Mà theo lý thuyết
10 1
11 11
9
n
n
−
=
12 3
nên:
2
2
4 8
(10 1).10 (10 1) 1
9 9
4 4 8 8
10 10 10 1
9 9 9 9
2.10 1
3
n n n
n n n
n

N
N
N
= − + − +
= − + − +
 
+
=
 ÷
 
Số
2.10 1
n
+
é chia hết cho 3, vậy chứng tỏ N là bình phương của số tự nhiên.
Bài 3: Cho số A(n) và B(n) với 2n chữ số 1 và n chữ số 2 .
Có thể hay không A(n) – B(n) là bình phương của số tự nhiện ?
Giải: Ta có:
2
( ) ( ) 111 1 222 2
n n
A n B n− = −
123 1 2 3
Mà
10 1
222 2 2
9
n
n
−

=
1 2 3
và
2
2
10 1
111 1 ,
9
n
n
−
=
12 3
nên:
2
10 1 10 1
( ) ( ) 2
9 9
n n
A n B n
− −
− = −
(10 1)(10 1) 10 1
( ) ( ) 2
9 9
n n n
A n B n
− + −
− = −
(10 1)[(10 1) 2]

( ) ( )
9
n n
A n B n
− + −
− =
2
(10 1)
( ) ( )
9
n
A n B n
−
− =
2
2
(10 1)
( ) ( ) .
3
n
A n B n
−
− =
Vâyj
( ) ( )A n B n−
số chính phương
Bài 4 : Tính giá trị của B=
2
(999.999.999) .
GV: Hoàng Thị Tuyết - THCS Ngọc Sơn - Hải Dương

2
Giải: Ta viết
2
9
2 18 9
18 9
10 1
(999.999.999) 9. 10 2.10 1 1000 0 2000 0 1
9
 
−
= = − + = − +
 ÷
 
1 2 3 1 2 3
Vậy:
2
8 8
(999.999.999) 999 98000 01=
1 2 3 1 2 3
Bài 5:
Cho số
666
666 6A =
1 2 3
và số
666
333 3B =
1 2 3
. Tính AB ?

Giải: Ta có
666 666
666 6 6.111 1A
= =
1 2 3 12 3
và
666
666 666
10 1
333 3 3.111 1 3. ,
9
B
−
= = =
1 2 3 1 2 3

Vậy
666
10 1
3.6.(111 1).
9
AB
−
=
666
2.(111 1)(10 1)AB = −
666
(222 2)(10 1)AB = −
666
(222 2).10 222 2AB = −

666 666 666
222 2000 0 222 2AB = −
1 2 3 1 2 3 1 2 3
665 665
222 21777 78AB =
1 2 3 1 2 3
ở tích AB:
- có một số 1;
- có một số 8;
- có 665 số 2;
- có 665 số 7.
3. Bài tập tự học ở nhà.
1. Tính tổng :
2 22 222 2+ + +
ở số hạng cuối cùng có n chũ số 2.
2. Chứng minh rằng :
2
2
111 1 222 2 (333 3) .
n n n
= +
12 3 1 2 3 1 2 3
3. Chứng minh rằng
111 1
n
1 2 3
chia hết cho 41 nếu n chia hết cho 5.
4. Có thể hay không trong các số :
11,111,1111,11111,
có một số là số chính phương.

5. Có thể hay không các :
1111,111111, ,
ở đó có chẵn chữ số 1, là hợp số
GV: Hoàng Thị Tuyết - THCS Ngọc Sơn - Hải Dương
3