Chuyên Đề - Các phương pháp Giải Toán Hàm Số bậc nhất

trêng THCS M· thµnh yªn thµnh nghƯ an * * * Tỉ KH tù nhiªn– –
Tr
phßng GD & §T hun yªn thµnh
trêng THCS M· Thµnh
tµi liƯu «n tËp thi vµo líp 10 PTTH
(Lu hµnh néi bé)
Các phương pháp giải
Toán Hàm Số bậc nhất

Gi¸o viªn biªn so¹n: Ngun B¸ Phóc
n tËp ®¹i sè 9 * * * Gi¸o viªn: Ngun b¸ phóc¤
1
trêng THCS M· thµnh yªn thµnh nghƯ an * * * Tỉ KH tù nhiªn– –
Chuyên đề II. Hàm số – Hàm số bậc nhất
Gi¸o viªn biªn so¹n: Ngun B¸ Phóc

Hµm sè lµ ch¬ng häc t¬ng ®èi khã vµ chøa ®ùng nhiỊu kh¸i niƯm míi, ®ång thêi hµm chøa nhiỊu
d¹ng bµi tËp hay. Trong c¸c k× thi vµo líp 10 THPT kiÕn thøc vỊ hµm sè lu«n ®ãng mét vai trß quan
träng vỊ ®iĨm sè (Tõ 1 ®Õn 2 ®iĨm). Song Häc Sinh l¹i hay mÊt ®iĨm vỊ phÇn nµy v× dĨ lÈn lén giưa
c¸c kh¸i niƯm. ChÝnh v× thÕ, mµ bµi viÕt nµy víi mong mn gióp c¸c em Häc Sinh phÇn nµo kh¾c
phơc ®ỵc mét sè sai sãt kh«ng ®¸ng cã, tõ ®ã cã kÕt qu¶ tèt h¬n trong qu¸ tr×nh häc tËp vµ thi cư cđa
m×nh.
A. lÝ thut.
1. Kh¸i niƯm hµm sè.
NÕu ®¹i lỵng y phơ thc vµo ®¹i lỵng x sao cho cø mỉi gi¸ trÞ cđa x chØ cho ®óng mét gi¸ trÞ y
duy nhÊt th× y ®ỵc gäi lµ hµm sè cđa x.
KÝ hiƯu: y = f(x)
2. TÝnh chÊt chung cđa hµm sè.
Víi x
1
vµ x

2
bÊt k× thc R:
- NÕu x
1
< x
2
mµ f(x
1
) < f(x
2
) th× hµm sè y = f(x) ®ång biÕn trªn R.
- NÕu x
1
< x
2
mµ f(x
1
) > f(x
2
) th× hµm sè y = f(x) nghÞch biÕn trªn R.
3. Hµm sè bËc nhÊt.
a) Kh¸i niƯm hµm sè bËc nhÊt.
Hµm sè bËc nhÊt lµ hµm sè cã d¹ng y = a.x + b trong ®ã a, b lµ c¸c sè cho tríc vµ a
≠
0.
b) TÝnh chÊt: (tÝnh ®ång biÕn, nghÞch biÕn cđa hµm sè)
Hµm sè bËc nhÊt y = a.x + b (a
≠
0)
+) §ång biÕn

⇔
a > 0
+) NghÞch biÕn
⇔
a < 0.
VÝ dơ: Hµm sè y = 2x – 1 lµ hµm sè ®ång biÕn. (v× a = 2 > 0)
Hµm sè y = –3x + 2 lµ hµm sè nghÞch biÕn. (v× a = 3– < 0)
c) §å thÞ cđa hµm sè bËc nhÊt y = a.x + b (a
≠
0)
*) NhËn xÐt: §å thÞ cđa hµm sè bËc nhÊt y = a.x + b (a
≠
0) lµ mét ®êng th¼ng.
*) C¸ch vÏ ®å thÞ cđa hµm sè bËc nhÊt y = a.x + b (a
≠
0)
Dùa vµo nhËn xÐt trªn ta cã thĨ vÏ §å thÞ cđa hµm sè bËc nhÊt y = a.x + b(a
≠
0) nh sau:
B íc 1 . X¸c ®Þnh hai ®iĨm thc ®å thÞ cđa hµm sè b»ng c¸ch:
Cho x = 0 råi tÝnh y = ? ®Ĩ cã ®iĨm thø nhÊt.
Cho x = k råi tÝnh y = ? ®Ĩ cã ®iĨm thø hai.
(th«ng thêng ta nªn cho x = 1 ®Ĩ viƯc tÝnh y ®ỵc dĨ dµng)
B íc 2 . VÏ hai ®iĨm võa x¸c ®Þnh trªn cïng mét hƯ trơc to¹ ®é.
B íc 3 . KỴ ®êng th¼ng ®i qua hai ®iĨm võa vÏ ®Ĩ cã ®å thÞ cđa hµm sè.
VÝ dơ 1. VÏ ®å thÞ cđa hµm sè y = 2x + 1
Gi¶i:
Víi x = 0 th× y = 1
Víi x = 1 th× y = 3
⇒

§å thÞ cđa hµm sè y = 2x + 1 sÏ ®i qua hai ®iĨm (0; 1) vµ (1; 3)
Ta cã ®å thÞ cđa hµm sè cÇn vÏ lµ:
n tËp ®¹i sè 9 * * * Gi¸o viªn: Ngun b¸ phóc¤
2
trờng THCS Mã thành yên thành nghệ an * * * Tổ KH tự nhiên
Ví dụ 2. Vẽ đồ thị của hai hàm số y = x + 1 và y = 2 x trên cùng một hệ trục toạ độ.
Giải:
Xét hàm số: y = x + 1.
Với x = 0 thì y = 1
Với x = 1 thì y = 2

Đồ thị của hàm số y = x + 1 sẽ đi qua hai điểm (0; 1) và (1; 2)
Xét hàm số: y = 2 x.
Với x = 0 thì y = 2
Với x = 1 thì y = 1

Đồ thị của hàm số y = 2 x sẽ đi qua hai điểm (0; 2) và (1; 1)
Ta có đồ thị của hai hàm số cần vẽ là:
4. Hệ số góc của đờng thẳng y = ax + b (a

0)
a) Khái niệm hệ số góc: Nếu đờng thẳng y = ax + b tạo với trục hoành một góc

thì tg

đợc gọi
là hệ số góc của đờng thẳng y = ax + b.
Chú ý: a = tg

Ví dụ: Hệ số góc của đờng thẳng y = 2x 3 là 2.

b) Tính chất:
*) Tính chất 1. Nếu đờng thẳng (d): y = ax + b tạo với trục hoành Ox một góc

thì:
+)

là góc nhọn

a > 0
+)

là góc tù

a < 0
*) Tính chất 2. Nếu hai đờng thẳng (d
1
): y = a
1
x + b
1
và (d
2
): y = a
2
x + b
2
lần lợt tạo với trục hoành
Ox các góc
1

và
2

thì:
1

<
2



a
1
< a
2
5. Sự tơng giao của hai đờng thẳng
Với hai đờng thẳng (d
1
): y = a
1
x + b
1
và (d
2
): y = a
2
x + b
2
thì:
+) (d

1
) cắt (d
2
)

a
1


a
2.
+) (d
1
) // (d
2
)

a
1
= a
2.
và b
1


b
2.
+) (d
1
) trùng với (d

2
)

a
1
= a
2.
và b
1
= b
2
Chú ý: (d
1
) vuông góc với (d
2
)

a
1
. a
2
= - 1
B. Các dạng bài tập liên quan.
Dạng 1. Tìm diểm cố định mà đờng thẳng (d) hoặc đồ thị hàm số y = ax + b luôn đi qua.
n tập đại số 9 * * * Giáo viên: Nguyễn bá phúcÔ
3
trờng THCS Mã thành yên thành nghệ an * * * Tổ KH tự nhiên
Bớc 1. Giả sử điểm cố định mà đờng thẳng (d) luôn đi qua là (x
0
; y

0
).
Bớc 2. Thay x = x
0
và y = y
0
vào (d), rồi biến đổi để đa phơng trình đó về dạng:
A. m + B = 0. (1)
Bớc 3. Cho các hệ số của phơng trình (1) bằng 0 để tìm đợc x
0
và y
0
.
Bớc 4. Kết luận.
Ví dụ 1. Tìm điểm cố định mà họ đờng thẳng y = m.x 2m + 3 (d) luôn đi qua.
(Với m là tham số)
Giải:
Giả sử điểm cố định mà họ đờng thẳng (d) luôn đi qua là (x
0
; y
0
).
Thay x = x
0
và y = y
0
vào (d) ta đợc: y
0
= m.x
0

2m + 3


m.x
0
2m +3 y
0
= 0


(x
0
2).m +(3 y
0
) = 0 (1)
Vì (x
0
; y
0
) là điểm cố định mà họ đờng thẳng (d) luôn đi qua nên phơng trình (1) phải có nghiệm với
mọi giá trị của tham số m.






=
=
03

02
0
0
y
x






=
=
3
2
0
0
y
x
Vậy điểm cố định mà họ đờng thẳng (d) luôn đi qua là (2; 3)
Ví dụ 2. Tìm điểm cố định mà họ đồ thị hàm số y = (m 2)x 3m 1 luôn đi qua.
(Với m là tham số)
Giải:
Giả sử điểm cố định mà họ đồ thị hàm số y = (m 2)x 3m 1 luôn đi qua là (x
0
; y
0
).
Thay x = x
0

và y = y
0
vào hàm số đã cho ta đợc: y
0
= (m 2)x
0
3m 1


(m 2)x
0
3m 1 y
0
= 0


mx
0
2x
0
3m 1 y
0
= 0


(mx
0
3m) (2x
0
+ 1 + y

0
) = 0


(x
0
3).m (2x
0
+ 1 + y
0
) = 0 (1)
Vì (x
0
; y
0
) là điểm cố định mà họ đồ thị hàm số y = (m 2)x 3m 1 luôn đi qua nên phơng
trình (1) phải có nghiệm với mọi giá trị của tham số m.






=++
=
012
03
00
0
yx

x






=
=
12
3
00
0
xy
x






=
=
7
3
0
0
y
x
Vậy điểm cố định mà họ đồ thị hàm số y = (m 2)x 3m 1 luôn đi qua là (3; 7)

Ví dụ 3. Tìm điểm cố định mà họ đờng thẳng y = (3
1
2
m)x m +2 (d) luôn đi qua.
(Với m là tham số)
Giải:
Giả sử điểm cố định mà họ đờng thẳng (d) luôn đi qua là (x
0
; y
0
).
Thay x = x
0
và y = y
0
vào (d) ta đợc: y
0
= (3
1
2
m)x
0
m +2


(3
1
2
m)x
0

m +2 y
0
= 0


3.x
0

1
2
m.x
0
m + 2 y
0
= 0
n tập đại số 9 * * * Giáo viên: Nguyễn bá phúcÔ
4
trờng THCS Mã thành yên thành nghệ an * * * Tổ KH tự nhiên


(
1
2
mx
0
+ m) + (3x
0
+ 2 y
0
) = 0

(
1
2
x
0
+ 1).m (3x
0
+ 2 y
0
) = 0 (1)
Vì (x
0
; y
0
) là điểm cố định mà họ đờng thẳng (d) luôn đi qua nên phơng trình (1) phải có nghiệm với
mọi giá trị của tham số m.








=+
=+
023
01

2
1
00
0
yx
x






+=
=+
23
02
00
0
xy
x






=
=
4
2

0
0
y
x
Vậy điểm cố định mà họ đờng thẳng (d) luôn đi qua là ( 2; 4)
Ví dụ 4. Chứng minh rằng: Họ đồ thị của hàm số y = (3m 1)x + m 4 luôn đi qua một điểm cố
định với mọi giá trị của tham số m.
Giải:
Giả sử điểm cố định mà họ đồ thị hàm số y = (3m 1)x + m 4 luôn đi qua là (x
0
; y
0
).
Thay x = x
0
và y = y
0
vào hàm số đã cho ta đợc: y
0
= (3m 1)x
0
+ m 4


(3m 1)x
0
+ m 4 y
0
= 0

3mx
0
x
0
+ m 4 y
0
= 0


(3mx
0
+ m) (x
0
+ 4 + y
0
) = 0


(3x
0
+ 1).m (x
0
+ 4 + y
0
) = 0 (1)
Vì (x
0
; y
0

) là điểm cố định mà họ đồ thị hàm số y = (3m 1)x + m 4 luôn đi qua nên phơng
trình (1) phải có nghiệm với mọi giá trị của tham số m.






=++
=+
04
013
00
0
yx
x






=
=
4
13
00
0
xy
x

=
=
3
11
3
1
0
0
y
x

Họ đồ thị hàm số y = (3m 1)x + m 4 luôn đi qua điểm cố định là (
3
1

;
3
11

)

đpcm.
Dạng 2. Tìm điểm toạ độ giao điểm của 2 đờng thẳng
(d
1
): y = a
1
x + b
1
và (d
2
): y = a
2
x + b
2
.
Bớc 1. Giả sử tọa độ giao điểm của 2 đờng thẳng (d
1
) và (d
2
) là (x
0
; y
0
).
Bớc 2. Thay x = x
0
và y = y
0
vào (d

1
) để đợc phơng trình (1)
Thay x = x
0
và y = y
0
vào (d
2
) để đợc phơng trình (2)
Bớc 3. Giải hệ 2 phơng trình (1) và (2) để tìm đợc x
0
và y
0
.
Bớc 4. Kết luận.
Chú ý: Nếu I(x
0
; y
0
) là toạ độ giao điểm của (d
1
) và (d
2
) thì:
+) Điểm I nằm về phía bên phải trục tung Oy

x
0
> 0.
+) Điểm I nằm về phía bên trái trục tung Oy

x
0
< 0.
+) Điểm I nằm về phía trên trục hoành Ox

y
0
> 0.
+) Điểm I nằm về phía dới trục hoành Ox

y
0
< 0.
+) Điểm I nằm ở trên trục tung Oy

x
0
= 0.
+) Điểm I nằm ở trên trục hoành Ox

y
0
= 0.
Ví dụ 1. Tìm toạ độ giao điểm của hai đờng thẳng (d
1
): y = x 1 và (d
2
): y = 2x 3.
n tập đại số 9 * * * Giáo viên: Nguyễn bá phúcÔ

5
trờng THCS Mã thành yên thành nghệ an * * * Tổ KH tự nhiên
Giải:
Giả sử tọa độ giao điểm của 2 đờng thẳng (d
1
) và (d
2
) là (x
0
; y
0
).
Thay x = x
0
và y = y
0
vào (d
1
) ta đợc: y
0
= x
0
1 (1)
Thay x = x
0
và y = y
0
vào (d
2
) ta đợc: y

0
= 2x
0
3 (2)
Từ (1) và (2)

2x
0
3 = x
0
1


x
0
= 2
Thay x
0
= 2 vào phơng trình (1) ta đợc y
0
= 1.
Vậy toạ độ giao điểm của (d
1
) và (d
2
) là (2; 1)
Ví dụ 2. Tìm toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y = 3x + 2 và y = 2 x.
Giải:
Giả sử tọa độ giao điểm của 2 đồ thị hàm số đã cho là (x
0

; y
0
).
Thay x = x
0
và y = y
0
vào hàm số y = 3x + 2 ta đợc: y
0
= 3x
0
+ 2 (1)
Thay x = x
0
và y = y
0
vào hàm số y = 2 x ta đợc: y
0
= 2 x
0
(2)
Từ (1) và (2)

3x
0
+ 2 = 2 x
0


4x

0
= 0


x
0
= 0
Thay x
0
= 0 vào phơng trình (2) ta đợc y
0
= 2.
Vậy toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là (0; 2)
Ví dụ 3. Cho 2 đờng thẳng (d
1
): y = m.x 3 và (d
2
): y = x + 1. (với m là tham số, m

1)
a) Tìm toạ độ giao điểm của hai đờng thẳng (d
1
) và (d
2
) theo m.
b) Giả sử giao điểm của (d
1
) và (d
2
) là A. Tìm các giá trị của tham số m để:

1) Điểm A nằm về phía bên phải trục tung Oy.
2) Điểm A nằm về phía trên trục hoành Ox.
3) Điểm A nằm trên trục hoành Ox.
Giải:
a) Giả sử tọa độ giao điểm của 2 đờng thẳng (d
1
) và (d
2
) là (x
0
; y
0
).
Thay x = x
0
và y = y
0
vào (d
1
) ta đợc: y
0
= m.x
0
3 (1)
Thay x = x
0
và y = y
0
vào (d
2

) ta đợc: y
0
= x
0
+ 1 (2)
Từ (1) và (2)

m.x
0
3 = x
0
+ 1


m.x
0
.x
0
= 4


(m 1).x
0
= 4


x
0
=
4

1m
(vì m là tham số khác 1)
Thay x
0
=
4
1m
vào phơng trình (2) ta đợc y
0
=
3
1
m
m
+

.
Vậy toạ độ giao điểm của (d
1
) và (d
2
) là (
4
1m
;
3
1
m
m
+

)
b) Theo câu (a) ta có toạ độ của điểm là A(
4
1m
;
3
1
m
m
+

)
1) Ta có: Điểm A nằm về phía bên phải trục tung Oy

x
0
> 0



4
1m
> 0


m 1 > 0


m > 1

Vậy với m > 1 thì điểm A nằm về phía bên phải trục tung Oy.
2) Tơng tự: Điểm A nằm về phía trên trục hoành Ox

y
0
> 0



3
1
m
m
+

> 0
n tập đại số 9 * * * Giáo viên: Nguyễn bá phúcÔ
6
trờng THCS Mã thành yên thành nghệ an * * * Tổ KH tự nhiên



3 0
1 0
3 0
1 0
m
m
m
m

+ >



>



+ <



<






3
1
3
1
m
m
m
m
>

>



<



<






1
3
m
m
>


<

Vậy với m > 1 hoặc m < -3 thì điểm A nằm về phía bên phải trục tung Oy.
3) Điểm A nằm trên trục hoành Ox

y
0

= 0



3
1
m
m
+

= 0


m +3 = 0


m = -3
Vậy với m = -3 thì điểm A nằm trên trục hoành Ox.
Dạng 3. Viết phơng trình đờng thẳng.
Loại 1. Viết phơng trình đờng thẳng (d) biết nó đi qua 2 điểm A(x
1
; y
1
) và B(x
2
; y
2
)
Cách giải:
Bớc 1. Giả sử phơng trình đờng thẳng (d) có dạng tổng quát là: y = a.x + b.

Bớc 2. Thay x = x
1
và y = y
1
vào (d) để có phơng trình (1)
Thay x = x
2
và y = y
2
vào (d) để có phơng trình (2)
Bớc 3. Giải hệ 2 phơng trình (1) và (2) ta tìm đợc a và b.
Bớc 4. Kết luận.
Ví dụ 1. Viết phơng trình đờng thẳng (d) biết (d) đi qua 2 điểm A(1; 2) và B(4; - 1).
Giải:
Giả sử phơng trình đờng thẳng (d) có dạng tổng quát là: y = a.x + b.
Vì (d) đi qua điểm A(1; 2) nên thay x = 1 và y = 2 vào (d) ta đợc: a + b = 2 (1)
Vì (d) đi qua điểm B(4; - 1) nên thay x = 4 và y = - 1 vào (d) ta đợc: 4a + b = -1 (2)
Từ phơng trình (1)

b = 2 a (*).
Thay (*) vào phơng trình (2) ta đợc: 4a + 2 a = 1


3a = 3


a = 1
Thay a = 1 vào (*) ta có: b = 3
Vậy phơng trình đờng thẳng (d) cần tìm là: y = x + 3
Ví dụ 2. Viết phơng trình đờng thẳng (d) biết (d) đi qua điểm M(2; - 3) và cắt trục hoành

Ox tại điểm có hoành độ bằng
4
3
.
a) Phân tích tìm lời giải:
Thông thờng, để viết đợc phơng trình đờng thẳng (d) thì phải biết đợc (d) đi qua hai điểm A(x
1
; y
1
)
và B(x
2
; y
2
). Song bài toán này lại mới chỉ cho ta biết (d) đi qua một điểm M(2; - 3). Do đó ta phải đi
tìm điểm còn lại.
Các em biết rằng, mọi điểm nằm trên trục hoành đều có tung độ bằng 0. Vì thế, theo giả thiết đ-
ờng thẳng (d) cắt trục hoành Ox tại điểm có hoành độ bằng
4
3
thì củng có nghĩa là (d) sẽ đi qua
điểm có toạ độ (
4
3
; 0). Hay điểm thứ hai cần tìm của chúng ta là (
4
3
; 0)
b) Giải:
Giả sử phơng trình đờng thẳng (d) có dạng tổng quát là: y = a.x + b.

Vì (d) đi qua điểm M(2; - 3) nên thay x = 2 và y = 3 vào (d) ta đợc: 2a + b = 3 (1)
n tập đại số 9 * * * Giáo viên: Nguyễn bá phúcÔ
7
trờng THCS Mã thành yên thành nghệ an * * * Tổ KH tự nhiên
Mặt khác: Vì (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng
4
3
nên (d) sẽ đi qua điểm có toạ độ (
4
3
;
0). Từ đó, thay x =
4
3
và y = 0 vào (d) ta đợc:
4
3
a + b = 0 (2)
Từ phơng trình (2)

b =
4
3
a (*).
Thay (*) vào phơng trình (1) ta đợc: 2a
4
3
a = 3

2
3
a = 3


2a = 9


a =
9
2

Thay a =
9
2

vào (*) ta có: b = 6
Vậy phơng trình đờng thẳng (d) cần tìm là: y =
9
2

x + 6
Ví dụ 3. Tìm hàm số bậc nhất biết đồ thị của hàm số đó đi qua điểm I(
1
2
; 2) và cắt trục tung
Oy tại điểm có tung độ bằng
2
.

a) Phân tích tìm lời giải:
Ta đã biết rằng: Mọi điểm nằm trên trục tung Oy đều có hoành độ bằng 0 (x = 0). Nên ta tìm đợc
điểm thứ hai mà đờng thẳng (d) sẽ đi qua là (0;
2
)
b) Giải:
Giả sử phơng trình đờng thẳng (d) có dạng tổng quát là: y = a.x + b.
Vì (d) đi qua điểm I(
1
2
; 2) nên thay x =
1
2
và y = 2 vào (d) ta đợc:
1
2
a + b = 2 (1)
Mặt khác: Vì (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
2
nên (d) sẽ đi qua điểm có toạ độ (0;
2
). Từ đó, thay x = 0 và y =
2
vào (d) ta đợc: 0.a + b =
2


b =
2
(2)

Thay (2) vào phơng trình (1) ta đợc:
1
2
a +
2
= 2



1
2
a = 2
2


a = 4 2
2

Vậy phơng trình đờng thẳng (d) cần tìm là: y = (4 2
2
)x +
2
Ví dụ 4 Viết phơng trình đờng thẳng (d) biết (d) cắt trục hoành Ox tại điểm có hoành độ bằng
2
3

và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng
3
.
Giải:

Giả sử phơng trình đờng thẳng (d) có dạng tổng quát là: y = a.x + b.
Vì (d) cắt trục hoành Ox tại điểm có hoành độ bằng
2
3
nên (d) sẽ đi qua điểm (
2
3
; 0).
n tập đại số 9 * * * Giáo viên: Nguyễn bá phúcÔ
8
trờng THCS Mã thành yên thành nghệ an * * * Tổ KH tự nhiên
Thay x =
2
3
và y = 0 vào (d) ta đợc
2
3
.a + b = 0 (1)
Vì (d) cắt trục tung Oy tại điểm có tung độ bằng
3
nên (d) sẽ đi qua điểm (0;
3
).
Thay x = 0 và y =
3
vào (d) ta đợc 0.a + b =
3


b =

3
(2)
Thay (2) vào (1) ta đợc
2
3
.a +
3
= 0


2
3
.a =
3


2.a = 3
3


a =
3 3
2

Vậy phơng trình đờng thẳng (d) cần tìm là: y =
3 3
2

x +
3

.
Loại 2. Viết phơng trình đờng thẳng (d) biết (d) đi qua điểm I(x
0
; y
0
) và hệ số góc của nó là k.
Cách giải:
Bớc 1. Giả sử phơng trình đờng thẳng (d) có dạng tổng quát là y = a.x + b.
Bớc 2. Thay a = k vào (d) để có phơng trình (1)
Thay x = x
0
và y = y
0
vào (1) để có phơng trình chỉ còn lại ẩn b.
Bớc 3. Giải hệ phơng trình ẩn b vừa thu đợc để tìm đợc b.
Bớc 4. Kết luận.
Ví dụ 1: Viết phơng trình đờng thẳng (d) biết (d) đi qua điểm I(-3; 1) và hệ số góc của nó
bằng
3 1

.
a) Phân tích tìm lời giải:
Các em đã biết hệ số của đờng thẳng y = a.x + b là a nên khi bài toán cho hệ số góc bằng
3 1

củng chính là cho a =
3 1

. Từ đó ta có lời giải bài toán nh sau:
b) Giải:

Giả sử phơng trình đờng thẳng (d) có dạng tổng quát là y = a.x + b.
Vì (d) có hệ số góc bằng
3 1

nên ta có: a =
3 1

.
Thay a =
3 1
vào (d) ta đợc: y = (
3 1
).x + b (1)
Mặt khác: Vì (d) đi qua điểm I(3; 1) nên thay x = 3 và y = 1 vào phơng trình (1) ta đợc: 1 =
(
3 1

).(3) + b

3 3
3
+ b = 1


b = 3
3
2
Vậy phơng trình của đờng thẳng (d) cần tìm là: y = (
3 1
).x + 3

3
2.
Ví dụ 2: Viết phơng trình đờng thẳng (d) biết (d) đi qua điểm I(
2
5
;
3
4
) và song song với
đờng thẳng y = 3x +
2
.
a) Phân tích tìm lời giải:
Các em đã biết hệ số của đờng thẳng (d
1
): y = a
1
.x + b
1
là a
1
còn hệ số góc của đờng thẳng (d
2
):
y = a
2
.x + b
2
là a
2

. Mà hai đờng thẳng (d
1
) và (d
2
) song song với nhau khi
a
1
= a
2
nên từ giả thiết (d) song song với đờng thẳng y = 3x +
2
ta tìm đợc a = 3.
Do đó, ta có lời giải bài toán nh sau:
b) Giải:
Giả sử phơng trình đờng thẳng (d) có dạng tổng quát là y = a.x + b.
Vì (d) song song với đờng thẳng y = 3x +
2
nên ta có: a = 3.
Thay a = 3 vào (d) ta đợc: y = 3.x + b (1)
n tập đại số 9 * * * Giáo viên: Nguyễn bá phúcÔ
9
trờng THCS Mã thành yên thành nghệ an * * * Tổ KH tự nhiên
Mặt khác: Vì (d) đi qua điểm I(
2
5
;
3
4
) nên thay x =
2

5
và y =
3
4
vào phơng trình (1) ta đợc:
3
4
=
3.
2
5
+ b

b +
6
5
=
3
4


b =
3
4

6
5

b =
9
24

Vậy phơng trình của đờng thẳng (d) cần tìm là: y = 3.x
9
24

.
Ví dụ 3: Tìm hàm số bậc nhất biết đồ thị của hàm số đó đi qua điểm H(
1
2

; 3) và tạo với
trục hoành Ox một góc

= 30
0
.
a) Phân tích tìm lời giải:
Rỏ ràng, muốn viết đợc phơng trình đờng thẳng (d) thì trớc hết các em phải tìm đợc hệ số góc
của nó. Vậy làm thế nào để tìm đợc hệ số góc của đờng thẳng (d) đây ???
Các em lại nhớ đến kiến thức Nếu đờng thẳng (d): y = a.x + b tạo với trục hoành Ox một góc

thì tg

gọi là hệ số góc của đờng thẳng (d) và a = tg

. Từ đó, ta tính đợc
a = tg30

0
=
3
3

Do đó, ta có lời giải bài toán nh sau:
b) Giải:
Giả sử phơng trình đờng thẳng (d) có dạng tổng quát là y = a.x + b.
Vì (d) tạo với trục hoành Ox một góc

= 30
0
nên ta có:
a = tg30
0
=
3
3

Thay a =
3
3
vào (d) ta đợc: y =
3
3
.x + b (1)
Mặt khác: Vì (d) đi qua điểm H(
1
2

; 3) nên thay x =
1
2

và y = 3 vào phơng trình (1) ta đ-
ợc: 3 =
3
3
.
1
2


ữ

+ b

b
3
6
= 3


b =
3
6
3


b =

3 18
6

Vậy phơng trình của đờng thẳng (d) cần tìm là: y =
3
3
.x +
3 18
6

.
Dạng 4. Bài toán tính diện tích và chu vi của tam giác.
a) Công thức cần nhớ :
S

=
1
2
a.h
a
(Trong đó S

là diện tích của tam giác, a là cạnh đáy, h
a
là đờng cao
tơng ứng)
C

= a + b + c (với a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác)
Trong tam giác vuông: a

2
= b
2
+ c
2
(Trong đó a là cạnh huyền, còn b, c là 2 cạnh góc
n tập đại số 9 * * * Giáo viên: Nguyễn bá phúcÔ
10
trờng THCS Mã thành yên thành nghệ an * * * Tổ KH tự nhiên
vuông)
b) Cách giải
Bớc 1. Vẽ các đờng thẳng đã cho trên cùng một hệ trục toạ độ
Bớc 2. Tìm toạ độ các đỉnh của tam giác.
Bớc 3. Tính độ dài các cạnh tơng ứng.
Bớc 4. Thay vào công thức liên quan để tính.
Ví dụ 1: Cho hai đờng thẳng (d
1
): y = x + 2 và (d
2
): y = 2 x. Gọi A, B, C lần lợt là giao điểm của
(d
1
) với (d
2
), (d
1
) với trục hoành Ox và (d
2
) với trục hoành Ox.
a) Vẽ 2 đờng thẳng (d

1
) và (d
2
) trên cùng một hệ trục toạ độ.
b) Tìm toạ độ của các điểm A, B, C.
c) Tính diện tích và chu vi của tam giác ABC.
Giải:
a) Xét đờng thẳng (d
1
): y = x + 2
Với x = 0 thì y = 2
Với y = 0 thì x = -2


Đồ thị đờng thẳng (d
1
) sẽ đi qua hai điểm (0; 2) và (-2; 0)
Xét đờng thẳng (d
2
): y = 2 x
Với x = 0 thì y = 2
Với y = 0 thì x = 2


Đồ thị đờng thẳng (d
1
) sẽ đi qua hai điểm (0; 2) và (2; 0)
b) Vì (d
1
) và (d

2
) cùng đi qua điểm (0; 2)

A(0; 2)
Theo câu (a) ta có ngay B(-2; 0) và C(2; 0).
c) Ta có: AO = 2; BC = 4

.
1 1
. .2.4 4
2 2
ABC
S AO BC

= = =
Mặt khác: áp dụng định lí Pi ta go cho các tam giác vuông AOB và AOC ta có:
AB
2
= AO
2
+ OB
2
= 2
2
+ 2
2
= 8

AB =
8

= 2
2
AC
2
= AO
2
+ OC
2
= 2
2
+ 2
2
= 8

AC =
8
= 2
2


ABC
C AB BC CA

= + +
= 2
2
+ 4 + 2
2
= 4
2

+ 4
Ví dụ 2: Cho 3 đờng thẳng (d
1
): y = x + 3 và (d
2
): y = 3 3x và (d
3
): y =
3
5

x
9
5
.
Gọi A, B, C lần lợt là giao điểm của (d
1
) với (d
2
), (d
2
) với (d
3
) và (d
3
) với (d
1
).
a) Vẽ 3 đờng thẳng (d
1

) và (d
2
) trên cùng một hệ trục toạ độ.
b) Tìm toạ độ của các điểm A, B, C.
c) Tính diện tích và chu vi của tam giác ABC.
Giải:
n tập đại số 9 * * * Giáo viên: Nguyễn bá phúcÔ
11
trờng THCS Mã thành yên thành nghệ an * * * Tổ KH tự nhiên
a) Xét đờng thẳng (d
1
): y = x + 3
Với x = 0 thì y = 3
Với y = 0 thì x = -3

Đờng thẳng (d
1
) sẽ đi qua hai điểm (0; 3) và (-3; 0)
Xét đờng thẳng (d
2
): y = 3 3x
Với x = 0 thì y = 3
Với y = 0 thì x = 1


Đờng thẳng (d
1
) sẽ đi qua hai điểm (0; 3) và (1; 0)
Xét đờng thẳng (d
3

): y =
3
5

x
9
5
Với x = 0 thì y =
9
5
Với y = 0 thì x = - 3


Đờng thẳng (d
1
) sẽ đi qua hai điểm (0;
9
5
) và (- 3; 0)
b) Theo câu (a) ta có: (d
1
) và (d
2
) cùng đi qua điểm (0; 3)

A(0; 3)
(d
1
) và (d
3

) cùng đi qua điểm (-3; 0)

C(-3; 0)
Giả sử B(x
0
; y
0
)
Thay x = x
0
và y = y
0
vào (d
2
) ta đợc: y
0
= 3 3x
0
(1)
Thay x = x
0
và y = y
0
vào (d
3
) ta đợc: y
0
=
3
5

x
0

9
5
(2)
Từ (1) và (2) ta đợc: 3 3x
0
=
3
5

x
0

9
5


3x
0

3
5
x
0
= 3 +
9
5

15x
0
3x
0
= 15 + 9


12x
0
= 24


x
0
= 2
Thay x
0
= 2 vào (1) ta đợc y
0
= -3

B(2; -3)
c) Gọi M là giao điểm của đờng thẳng (d
2
) với trục hoành Ox, ta có:
n tập đại số 9 * * * Giáo viên: Nguyễn bá phúcÔ
12
trờng THCS Mã thành yên thành nghệ an * * * Tổ KH tự nhiên

1 1
.3.4 .3.4 12
2 2
ABC ACM BCM
S S S

= + = + =
áp dụng định lí Pi ta go ta có:
AB
2
= 3
2
+3
2
= 18

AB = 3
2
BC
2
= 3
2
+ 5
2
= 34

BC =
34
AC

2
= 6
2
+ 2
2
= 40

AC = 2
10



ABC
C AB BC CA

= + +
= 3
2
+
34
+ 2
10
Ví dụ 3: Cho hai đờng thẳng (d
1
): y = x + m và (d
2
): y = 1 2x. (với m là tham số, m

0)
Gọi A, B, C lần lợt là giao điểm của (d

1
) với (d
2
), (d
1
) với trục hoành Ox và (d
2
) với trục hoành Ox.
a) Tìm toạ độ của các điểm A, B, C.
b) Tìm các giá trị của tham số m để tam giác ABC có diện tích bằng 2009.
c) Tìm các giá trị của tham số m để diện tích của tam giác ABC đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải:
Dể thấy B(
1
2
; 0) và C(-m; 0)
Giả sử A(x
0
; y
0
)
Thay x = x
0
và y = y
0
vào (d
1
) ta đợc: y
0
= x

0
+ m (1)
Thay x = x
0
và y = y
0
vào (d
3
) ta đợc: y
0
= 1 2x
0
(2)
Từ (1) và (2) ta đợc: x
0
+ m = 1 2x
0



3x
0
= 1 m


x
0
=
1
3

m
Thay x
0
=
1
3
m
vào (2) ta đợc y
0
=
1 2
3
m+


A(
1
3
m
;
1 2
3
m+
)
b) Ta có:
ABC
S

=
1

2
y
0
.(m +
1
2
) =
1
2
.
1 2
3
m+
(m +
1
2
) =
( )
2
1 2
12
m+
Để
ABC
S

= 2009 thì
( )
2
1 2

12
m+
= 2009


(1 + 2m)
2
= 24108

(1 + 2m)
2
= (
14 41
)
2
n tập đại số 9 * * * Giáo viên: Nguyễn bá phúcÔ
13
trờng THCS Mã thành yên thành nghệ an * * * Tổ KH tự nhiên


1 2 14 41
1 2 14 41
m
m

+ =

+ =

14 41 1
2
14 41 1
2
m
m


=




=



( )
( )
TMDK
Loai
Vậy với m =
14 41 1
2

thì tam giác ABC có diện tích bằng 2009
c) Vì m

0

1 + 2m

1

(1 + 2m)
2


1


ABC
S




1
12
. Dấu = xảy ra khi m = 0.
Vậy với m = 0 thì
ABC
S

đạt giá trị nhỏ nhất. Và giá trị nhỏ nhất đó là
1
12

.
Dạng 5. Bài toán tìm các giá trị của tham số m để đồ thị của hàm số (hoặc đờng thẳng (d) ) đi
qua điểm I(x
0
; y
0
)
Bớc 1. Thay x = x
0
và y = y
0
vào hàm số để có phơng trình chỉ còn lại ẩn m.
Bớc 2. Giải phơng trình ẩn m vừa thu đợc để tìm đợc m.
Bớc 3. Kết luận.
Ví dụ 1. Tìm các giá trị của tham số m để họ đờng thẳng (d) y = (m 2).x 2m luôn đi qua
điểm
I(1; 2).
Giải:
Thay x = 1

và y = 2 vào (d) ta đợc: 2 = (m 2).1 2m


m 2 2m = 2


m = 4


m = 4

Vậy với m = 4 thì họ đ ờng thẳng (d) luôn đi qua điểm I (1; 2)
Ví dụ 2. Cho hàm số y = (m
2
+
2
3
m)x 3m 1 (1) (Với m là tham số, m

0 và m

2
3

)
Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị của hàm số (1) luôn:
a) Đi qua điểm M(
9
2
; 1)
b) Cắt trục tung Oy tại điểm có tung độ bằng
1
2
.
c) Cắt trục hoành Ox tại điểm có hoành độ bằng 3.
Giải:
a) Thay x =
9
2

và y = 1 vào hàm số (1) ta đợc:

1 = (m
2
+
2
3
m).
9
2
3m 1



9
2
m
2
+ 3m 3m 1 = 1



9
2
m
2
= 2


9m
2
= 4

m
2
=
4
9


m =
2
3


n tập đại số 9 * * * Giáo viên: Nguyễn bá phúcÔ
14
trờng THCS Mã thành yên thành nghệ an * * * Tổ KH tự nhiên
Vậy với m =
2
3

thì họ đồ thị của hàm số (1) luôn đi qua điểm M(
9
2
; 1)
b) Vì đồ thị của hàm số (1) cắt trục tung Oy tại điểm có tung độ bằng
1
2
nên đồ thị của hàm số (1)
phải đi qua điểm có toạ độ (0;

1
2
).
b) Thay x = 0

và y =
1
2
vào hàm số (1) ta đợc:

1
2
= (m
2
+
2
3
m).0 3m 1


3m =
1
2
+ 1


3m =
3
2

m =
1
2


Vậy với m =
1
2

thì đồ thị của hàm số (1) luôn cắt trục tung Oy tại điểm có tung độ bằng
1
2
.
c) Vì đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành Ox tại điểm có hoành độ bằng 3 nên đồ thị của hàm
số (1) phải đi qua điểm có toạ độ (3; 0).
Thay x = 3

và y = 0 vào hàm số (1) ta đợc:
0 = (m
2
+
2
3
m).3 3m 1


3m
2

+ 2m 3m 1 = 0


3m
2
m 1 = 0


(
3
.m)
2
2.(
3
.m).
1
2 3
+
2
1
2 3

ữ

1
2
1
2 3

ữ

= 0



2
1
3.
2 3
m


ữ

=
13
12



2
1
3.
2 3
m


ữ

=

2
13
2 3

ữ
ữ


1 13
3.
2 3 2 3
1 13
3.
2 3 2 3
m
m

=




=



13 1
3.
2 3 2 3
13 1

3.
2 3 2 3
m
m

= +




= +



1 13
3.
2 3
1 13
3.
2 3
m
m

+
=

=




1 13
6
1 13
6
m
m

+
=




=


Vậy với m =
1 13
6

thì đồ thị của hàm số (1) luôn cắt trục hoành Ox tại điểm
có hoành độ bằng 3.
Ví dụ 3. Cho họ đờng thẳng (d): y = (1 m)x m +2 (Với m là tham số).
Tìm các giá trị của tham số m để họ đờng thẳng (d) luôn:
a) Cắt đờng thẳng y = 2x + 1 tại điểm A có hoành độ bằng 1.

n tập đại số 9 * * * Giáo viên: Nguyễn bá phúcÔ
15
trờng THCS Mã thành yên thành nghệ an * * * Tổ KH tự nhiên
b) Cắt đờng thẳng y = x 2 tại điểm B có tung độ bằng 3.
Giải:
Giả sử điểm cố định mà họ đờng thẳng (d) luôn đi qua là (x
0
; y
0
).
Thay x = x
0
và y = y
0
vào (d) ta đợc: y
0
= (3
1
2
m)x
0
m +2


(3
1
2
m)x
0
m +2 y

0
= 0


3.x
0

1
2
m.x
0
m + 2 y
0
= 0


(
1
2
mx
0
+ m) + (3x
0
+ 2 y
0
) = 0


(
1

2
x
0
+ 1).m (3x
0
+ 2 y
0
) = 0 (1)
Vì (x
0
; y
0
) là điểm cố định mà họ đờng thẳng (d) luôn đi qua nên phơng trình (1) phải có nghiệm với
mọi giá trị của tham số m.








=+
=+
023
01
2
1
00
0

yx
x






+=
=+
23
02
00
0
xy
x






=
=
4
2
0
0
y
x

Vậy điểm cố định mà họ đờng thẳng (d) luôn đi qua là ( 2; 4)
Ví dụ 4. Chứng minh rằng: Họ đồ thị của hàm số y = (3m 1)x + m 4 luôn đi qua một điểm cố
định với mọi giá trị của tham số m.
Giải:
Giả sử điểm cố định mà họ đồ thị hàm số y = (3m 1)x + m 4 luôn đi qua là (x
0
; y
0
).
Thay x = x
0
và y = y
0
vào hàm số đã cho ta đợc: y
0
= (3m 1)x
0
+ m 4


(3m 1)x
0
+ m 4 y
0
= 0


3mx
0
x

0
+ m 4 y
0
= 0


(3mx
0
+ m) (x
0
+ 4 + y
0
) = 0


(3x
0
+ 1).m (x
0
+ 4 + y
0
) = 0 (1)
Vì (x
0
; y
0
) là điểm cố định mà họ đồ thị hàm số y = (3m 1)x + m 4 luôn đi qua nên phơng
trình (1) phải có nghiệm với mọi giá trị của tham số m.

=++
=+
04
013
00
0
yx
x






=
=
4
13
00
0
xy
x

=
=
3
11
3
1
0
0
y
x

Họ đồ thị hàm số y = (3m 1)x + m 4 luôn đi qua điểm cố định là (
3
1

;
3
11

)

đpcm.
Dạng 6. Bài toán tính khoảng cách từ điểm M(x
0

; y
0
) đến đờng thẳng (d): y = ax + b
a) Khái niệm khoảng cách từ một điểm đến một đờng thẳng.
b) Cách giải:
Bớc 1. Vẽ đờng thẳng (d) và điểm M(x
0
; y
0
) trên cùng một hệ trục toạ độ.
Bớc 2. Kẻ MH vuông góc với đờng thẳng (d)
Bớc 3. Xác định tam giác vuông AMB có MH là đờng cao
Bớc 4. Tìm toạ độ các điểm A, B và độ dài các cạnh của tam giác AMB.
n tập đại số 9 * * * Giáo viên: Nguyễn bá phúcÔ
16
trờng THCS Mã thành yên thành nghệ an * * * Tổ KH tự nhiên
Bớc 5. Vận dụng hệ thức về đờng cao và 3 cạnh của tam giác vuông để tính MH.
Ví dụ 1. Tính khoảng cách từ điểm O(0; 0) đến đờng thẳng y = 3 x (d).
a) Phân tích tìm lời giải
Đầu tiên các em vẽ đờng thẳng (d) và xác định các điểm A, B, H. Ta nhận thấy tam giác AOB có
OH là đờng cao, có cạnh OA = OB = 3, dựa vào định lí Pi ta go ta củng tính đợc cạnh AB = 3
2
. Từ đó, áp dụng hệ thức về đờng cao và 3 cạnh của tam giác vuông
a.h = b.c hay
.b c
h
a
=
để tính đợc độ dài OH .
b) Giải:

Kẻ OH

(d) (với H

(d)).
Gọi A, B lần lợt là giao điểm của đờng thẳng (d) với các trục toạ độ Ox và Oy.
Ta có: Tam giác vuông AOB có OA = OB = 3
áp dụng định lí Pi ta go ta đợc: AB
2
= OA
2
+ OB
2
= 3
3
+ 3
2
= 18


AB =
18
= 3
2
Mặt khác: áp dụng hệ thức về đờng cao và 3 cạnh của tam giác vuông ta có :
a.h = b.c


.b c
h

a
=
hay
. 3.3 3 2
2
3 2
OA OB
OH
AB
= = =
Vậy khoảng cách Từ điểm O(0; 0) đến đờng thẳng y = 3 x là
3 2
2
Ví dụ 2. Tính khoảng cách từ điểm O(0; 0) đến đờng thẳng y = 2x + 5 (d).
a) Phân tích tìm lời giải
Tơng tự, các em vẽ đờng thẳng (d) và xác định các điểm A, B, H. Ta nhận thấy tam giác AOB có
OH là đờng cao, có cạnh OA =
5
2
và OB = 5, dựa vào định lí Pi ta go ta củng tính đợc cạnh
AB =
5 5
2
. Từ đó, áp dụng hệ thức về đờng cao và 3 cạnh của tam giác vuông
a.h = b.c hay
.b c
h
a
=
để tính đợc độ dài OH .

n tập đại số 9 * * * Giáo viên: Nguyễn bá phúcÔ
17
trờng THCS Mã thành yên thành nghệ an * * * Tổ KH tự nhiên
b) Giải:
Kẻ OH

(d) (với H

(d)).
Gọi A, B lần lợt là giao điểm của đờng thẳng (d) với các trục toạ độ Ox và Oy.
Ta có: Tam giác vuông AOB có OA =
5
2
và OB = 5
áp dụng định lí Pi ta go cho tam giác vuông AOB ta đợc:
AB
2
= OA
2
+ OB
2
=
2
2
5
5
2

+
ữ

=
125
4


AB =
125
4
=
5 5
2
Mặt khác: áp dụng hệ thức về đờng cao và 3 cạnh của tam giác vuông ta có :
a.h = b.c


.b c
h
a
=
hay
5
.5
.
2
5
5 5
2
OA OB
OH

AB
= = =
Vậy khoảng cách Từ điểm O(0; 0) đến đờng thẳng y = 2x + 5 là
5
Ví dụ 3. Cho đờng thẳng y =
3
x +
3
m (d) (Với m là tham số, m > 0)
a) Tính khoảng cách từ điểm O(0; 0) đến đờng thẳng (d) theo m.
b) Tìm các giiá trị của tham số m để khoảng cách từ điểm O(0; 0) đến đờng thẳng (d) bằng 3.
Giải:
a) Kẻ OH

(d) (với H

(d)).
Gọi A, B lần lợt là giao điểm của đờng thẳng (d) với các trục toạ độ Oy và Ox.
Ta có: Tam giác vuông AOB có OA =
3
m và OB = m
áp dụng định lí Pi ta go cho tam giác vuông AOB ta đợc:
n tập đại số 9 * * * Giáo viên: Nguyễn bá phúcÔ
18
trờng THCS Mã thành yên thành nghệ an * * * Tổ KH tự nhiên
AB
2
= OA
2
+ OB

2
= (
3
m )
2
+ m
2
= 4m
2


AB =
2
4m
= 2m (Vì m > 0)
Mặt khác: áp dụng hệ thức về đờng cao và 3 cạnh của tam giác vuông ta có :
a.h = b.c


.b c
h
a
=
hay
. 3 . 3
2 2
OA OB m m
OH m
AB m
= = =

b) Để khoảng cách từ điểm O(0; 0) đến đờng thẳng (d) bằng 3 thì OH = 3


3
2
m = 3


3
m = 6

m =
6
3
= 2
3
Vậy với m = 2
3
thì khoảng cách từ điểm O(0; 0) đến đờng thẳng (d) bằng 3.
Một số dạng toán khác
Về hàm số còn một số dạng toán khác nữa (nh tìm các giá trị của tham số m để hàm số thoả mản
một số điều kiện cho trớc . . .) Song các dạng toán này các em đã đợc các Thầy cô giáo của mình
giới thiệu kỉ ở trên lớp nên tôi không trình bày ở đây. Chúc các em học tập thật tốt.
B. bài tập
Câu 1.Chứng minh rằng hàm số bậc nhất y=ax+b đồng biến khi a>0 và nghịch biến khi a < 0.
Câu 2. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc nhất? Hãy xác định các hệ số a , b
và xét xem hàm số nào đồng biến, hàm số nào nghịch biến.
a) y = x +1 b) y = 2 3x c) y =
1
2

x
d) y =
52 x
e) y = 1 4x
2
Câu 3. Cho hàm số bậc nhất y = (m + 1)x + 5. (1)
a) Tìm các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến.
b) Tìm các giá trị của tham số m để hàm số (1) nghịch biến.
Câu 4. Cho hàm số y =
( )
3 2
x + 1. Hàm số trên đồng biến hay nghịch biến trên R? Vì
sao?
Câu 5. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn đồng biến trong khoảng xác định đã chỉ ra.
a) y =
1
2
x 3 (-

; +

) b) y = 3x + 2 (-

; +

) c) y = x
x
(0; +

)
Câu 6. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn nghịch biến trong khoảng xác định đã chỉ ra.
a) y = -
1
3
x + 4 (-

; +

) b) y = 4 3x (-

; +

) c) y =
1
2x
(0; +

)
Câu 6.Với những giá trị nào của tham số m thì các hàm số sau là hàm số bậc nhất?
a) y =
3m
.x +
2
3
b) y =
1
2m +
x
3

4
c) y =
1
1
1m


ữ


x + 3 d) y =
2
1
1
m
m


(5 x)
Câu 7. Cho hàm số y = (m 4)x + 2009 (1)
a) Với những giá trị nào của tham số m thì hàm số (1) sau là hàm số bậc nhất.
b) Với những giá trị nào của tham số m thì hàm số (1) đồng biến, nghịch biến.
Câu 8. Cho hàm số y = 2x (1)
a) Vẽ đồ thị hàm số (1).
b) Tính góc

tạo bởi đờng thẳng y = 2x với trục hoành Ox.
n tập đại số 9 * * * Giáo viên: Nguyễn bá phúcÔ
19
trờng THCS Mã thành yên thành nghệ an * * * Tổ KH tự nhiên

c) Xác định các điểm A(0,5; 1) ; B(2; 4) ; C(1; 2) trên cùng một mặt phẳng toạ độ. Các
điểm A, B, C có thuộc đờng thẳng y = 2x không? Tính khoảng cách OA, OB, OC.
Câu 9. a) Vẽ đồ thị của các hàm số y = 3x và y =
1
3

x trên cùng một hệ trục toạ độ.
b) Xác định góc

tạo bởi hai đờng thẳng y = 3x và y =
1
3

x.
Câu 10. a) Vẽ đồ thị của các hàm số y = - 2x và y = - 2x + 1 trên cùng một hệ trục toạ độ.
b) Tìm toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số trên.
Câu 11. Cho hàm số y = (m 3)x (1)
a) Với những giá trị nào của tham số m thì hàm số (1) đồng biến, nghịch biến.
b) Với những giá trị nào của tham số m thì đồ thị của hàm số (1) đi qua điểm A(1; 2).
c) Với những giá trị nào của tham số m thì đồ thị của hàm số (1) đi qua điểm B(1; - 2).
d) Vẽ đồ thị của hai hàm số ứng với các giá trị của m vừa tìm đợc ở câu (b) và câu (c).
Câu 12. Cho hàm số y = (m 1)x + m (1)
a) Xác định các giá trị của tham số m để đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm có tung
độ bằng 3.
b) Xác định các giá trị của tham số m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có
hoành độ bằng 2.
c) Vẽ đồ thị của hai hàm số ứng với các giá trị của m vừa tìm đợc ở câu (a) và câu (b)
trên cùng một hệ trục toạ độ xOy và tìm toạ độ giao điểm của chúng.
Câu 13. a) Vẽ trên cùng một hệ trục toạ độ xOy đồ thị của các hàm số sau:
y = x (d

1
) y = 2x (d
2
) y = - x + 3 (d
3
)
b) Đờng thẳng (d
3
) cắt các đờng thẳng (d
1
) và (d
2
) theo thứ tự tại A và B. Tìm tọa độ các
điểm A, B và tính diện tích tam giác AOB.
Câu 14.
a) Xác định hàm số y = ax + b biết hàm số có hệ số góc bằng
3
và đi qua điểm A(2; 1)
b) Xác định hàm số y =
5
x + b biết đờng thẳng y =
5
x + b củng đi qua điểm A(2; 1).
Câu 15. Cho đờng thẳng y = 3x + 6
a) Tính dịên tích tam giác tạo bởi đờng thẳng ấy với hai trục toạ độ.
b) Víêt phơng trình đờng thẳng đi qua gốc toạ độ và vuông góc với đờng thẳng đã cho.
Câu 16. a) Vẽ đồ thị của hàm số: y =
2 1x +

b) Vẽ đồ thị của hàm số:

y
= 2x + 1
c) Vẽ đồ thị của hàm số: y =
x
+ 1
Câu17. Cho hàm số y = mx + (2m + 1) (1)
Với mổi m

R ta có một đờng thẳng xác định bởi (1). Do đó ta có một họ đờng thẳng
cho bởi (1). Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, họ đờng thẳng xác định bởi (1) luôn
đi qua một điểm cố định. Hãy xác định toạ độ của điểm đó.
Câu 18. Chứng minh rằng họ đờng thẳng sau đây đi qua một điểm cố định và tìm điểm cố
định đó. (m

R)
a) y = mx +m 2 b) y = 2mx + 1 m.
Câu 19. Cho hàm số y = (m 1)x + (m + 1) (*)
Chứng minh rằng họ đờng thẳng (*) luôn đi qua một điểm cố định với mọi số thực m. Tìm
điểm cố định đó.
n tập đại số 9 * * * Giáo viên: Nguyễn bá phúcÔ
20
trờng THCS Mã thành yên thành nghệ an * * * Tổ KH tự nhiên
Câu 20. Chứng tỏ rằng hai đờng thẳng a
1
x

+ b
1
y = c
1

(1) và a
2
x

+ b
2
y = c
2
(2) (Với a
1
,
b
1
, a
2
, b
2



0)
a) Cắt nhau khi
1 1
2 2
a b
a b

b) Song song với nhau khi
1 1 1
2 2 2

a b c
a b c
=
c) Trùng nhau khi
1 1 1
2 2 2
a b c
a b c
= =
Câu 21. Cho hai đờng thẳng y = a
1
x + b
1
(d
1
) và y = a
2
x + b
2
(d
2
). Chứng minh rằng: Trên
cùng một mặt phẳng toạ độ, hai đờng thẳng (d
1
) và (d
2
) vuông góc với nhau khi và chỉ khi
a
1
.a

2
= -1.
áp dụng: Xác định hàm số y = ax + b biết đồ thị của nó đi qua điểm (- 1; 2) và vuông góc
với đờng thẳng y = 3x + 1.
Câu 22: Cho hai ng thng (d
1
): y = ( 2 + m )x + 1 v (d
2
): y = ( 1 + 2m)x + 2
1) Tỡm m (d
1
) v (d
2
)

ct nhau .
2) Vi m = 1 , v (d
1
) v (d
2
)

trờn cựng mt phng ta Oxy ri tỡm ta giao
im ca hai ng thng (d
1
) v (d
2
)

bng phộp tớnh.

Câu 23.Cho hm s bc nht y = (2 - a)x + a . Bit th hm s i qua im M(3;1), hm s ng
bin hay nghch bin trờn R ? Vỡ sao?
Câu 24. Cho hm s bc nht y = (1- 3m)x + m + 3 i qua N(1;-1) , hm s ng bin hay nghch
bin ? Vỡ sao?
Câu 25. Cho hai ng thng y = mx 2 ;(m
)0
v y = (2 - m)x + 4 ;
)2( m
. Tỡm iu kin ca m
hai ng thng trờn:
a) Song song.
b) Ct nhau .
Câu 26. Với giỏ tr no ca m thỡ hai ng thng y = 2x + 3+m v y = 3x + 5- m ct nhau ti mt
im trờn trc tung .Vit phng trỡnh ng thng (d) bit (d) song song vi
(d): y =
x
2
1
v ct trc honh ti im cú honh bng 10.
Câu 27. Vit phng trỡnh ng thng (d), bit (d) song song vi (d) : y = - 2x v i qua im
A(2;7).
Câu 28. Vit phng trỡnh ng thng i qua hai im A(2; - 2) v B(-1;3).
Câu 29. Cho hai ng thng : (d
1
): y =
1
2
2
x +
v (d

2
): y =
2x +
a/ V (d
1
) v (d
2
) trờn cựng mt h trc ta Oxy.
b/ Gi A v B ln lt l giao im ca (d
1
) v (d
2
) vi trc Ox , C l giao im ca (d
1
) v
(d
2
) Tớnh chu vi v din tớch ca tam giỏc ABC (n v trờn h trc ta l cm)?
Câu 30. Cho các đờng thẳng (d
1
) : y = 4mx - (m+5) với m

0
(d
2
) : y = (3m
2
+1) x +(m
2
-9)

a; Với giá trị nào của m thì (d
1
) // (d
2
)
b; Với giá trị nào của m thì (d
1
) cắt (d
2
) tìm toạ độ giao điểm Khi m = 2
c; C/m rằng khi m thay đổi thì đờng thẳng (d
1
) luôn đi qua điểm cố định A ;(d
2
) đi qua điểm cố
định B . Tính BA ?
Câu 31. Cho hàm số : y = ax +b
a; Xác định hàm số biết đồ thị của nó song song với y = 2x +3 và đi qua điểm A(1,-2)
b; Vẽ đồ thị hàm số vừa xác định - Rồi tính độ lớn góc tạo bởi đờng thẳng trên với trục
Ox ?
c; Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng trên với đờng thẳng y = - 4x +3 ?
n tập đại số 9 * * * Giáo viên: Nguyễn bá phúcÔ
21
trờng THCS Mã thành yên thành nghệ an * * * Tổ KH tự nhiên
d; Tìm giá trị của m để đờng thẳng trên song song với đờng thẳng y = (2m-3)x +2.
Câu 32.
a) Xỏc nh hm s y = ax + b (a

0), bit th ca hm s song song vi ng thng
y = 3 + 2x V i qua im M (1; 2)

b) V th ( D
1
) ca hm s va tỡm c cõu (a) v ng thng (D
2
) : y = x-2 trờn cựng
mt h trc to ri tỡm to giao im C ca hai ng thng
c) Tớnh gúc to bi ng thng ( D
1
) vi truch Ox.

n tập đại số 9 * * * Giáo viên: Nguyễn bá phúcÔ
22