Hệ thống kiến thức Hình học 12

c
b
a
M
H
C
B
A
Chau Thanh 2 High School Hinh Hoc 12
ÔN TẬP
KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 9 - 10
1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông : cho
ABC
∆
vuông ở A ta có :
a) Định lý Pitago :
2 2 2
BC AB AC
= +

b)
2 2
BA =BH.BC; CA =CH.CB
c) AB. AC = BC. AH=2S
ABC

d)
2 2 2
1 1 1
= +
AH AB AC

e) BC = 2AM
f)
b c b c
sinB= , cosB= , tanB= , cotB=
a a c b
g) b = a. sinB = a.cosC, c = a. sinC = a.cosB,
a =
sin cos
b b
B C
=
, b = c. tanB = c.cot C
2.Hệ thức lượng trong tam giác thường:
* Định lý hàm số Côsin: a
2
=b
2
+c
2
-2bc.cosA
2 2 2
b +c -a
cosA=
2bc
⇒
* Định lý hàm số Sin:
a b c
= = =2R
sinA sinB sinC

* Độ dài đường trung tuyến:
( )
2 2 2
a
2 b +c -a
m =
4
3. Các công thức tính diện tích.
a/ Công thức tính diện tích tam giác:

a
1 1 a.b.c
S = a.h = a.bsinC = = p.r = p.(p-a)(p-b)(p-c)
2 2 4R
với
a+b+c
p=
2
Đặc biệt : *
ABC
∆
vuông ở A :
1
S= AB.AC
2
,
*
ABC
∆
đều cạnh a: diện tích

2
a 3
S=
4
; đường cao:
a 3
h=
2
b/ Diện tích hình vuông : S = cạnh x cạnh
Written by_TruongThiLien Page
1
Chau Thanh 2 High School Hinh Hoc 12
c/ Diện tích hình chữ nhật : S = dài x rộng
d/ Diên tích hình thoi : S =
1
2
(chéo dài x chéo ngắn)
d/ Diện tích hình thang :
1
2
S =
[(đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao]
e/ Diện tích hình bình hành : S = đáy x chiều cao
f/ Diện tích hình tròn :
2
S .R
π
=
KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 11
A. Dạng toán cơ bản:

1) Tính góc giữa hai đường thẳng:
PP1: Áp dụng định nghĩa:

( ) ( )
a'//a
a,b = a';b'
b'//b

⇒


PP2: Sử dụng tích vô hướng:
( )
( )
a.b
cos a;b = cos a;b =
a . b
r r
r r
r r
2) Chứng minh hai đường thẳng vuông góc:
PP1:
a b a.b=0⊥ ⇔
r r
PP2:
a//b
a c
b c

⇒ ⊥


⊥

Written by_TruongThiLien Page
2
V
V
ấ
ấ
n
n
đề
đề
1:
1:
Hai
Hai
đườ
đườ
ng th
ng th
ẳ
ẳ
ng vuông góc:
ng vuông góc:
b'
b
a'
a
Chau Thanh 2 High School Hinh Hoc 12

A. Dạng toán cơ bản:
1) Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng:
PP1:

⊥ ⊥

⊂ ⇒ ⊥



d a ,d b
a ,b mp(P) d mp(P)
a,b caét nhau
PP2:
a//b
a mp(P)
b (P)

⇒ ⊥

⊥

2) Chứng minh đường thẳng vuông góc với đường thẳng :
PP1
a (P)
a b
b (P)
⊥

⇒ ⊥


⊂

PP2: Sử dụng định lý ba đường vuông góc
3) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng :
Định nghĩa: Góc giữa đường thẳng d
và mặt phẳng(P) là góc giữa đường thẳng d và
hình chiếu d’ của nó trên (P)
PP: d’ là hình chiếu của d trên (P) ⇒ (d;
(P))=(d;d’)
4) ĐL: Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng cho
trước.
Written by_TruongThiLien Page
3
V
V
ấ
ấ
n
n
đề
đề
2:
2:
Đườ
Đườ
ng th
ng th
ẳ
ẳ

ng vuông góc v
ng vuông góc v
ớ
ớ
i
i
m
m
ặ
ặ
t
t
phẳng
phẳng
d
a
b
P
a
b
(P)
a'
a
b
P
P
a'
a
Chau Thanh 2 High School Hinh Hoc 12
A. Dạng toán cơ bản:

1) Góc giữa hai mặt phẳng : Góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau là góc giữa hai đường
thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến.
PP1:
( ) ( )
( ), (( );( )) ( ; )
( ),
P Q
a P a P Q a b
b Q b
∩ = ∆


⊂ ⊥ ∆ ⇒ =


⊂ ⊥ ∆

PP2: Sử dụng định lý về diện tích hình chiếu
'
' . os os
S
S S c c
S
ϕ ϕ
= ⇔ =

2) Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc:
PP1: (P)⊥(Q)⇔((P);(Q))=90
0
PP2:

( )
( ) ( )
( )
a P
P Q
a Q
⊂

⇒ ⊥

⊥

3) Chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng :
PP:
(P) (R)
(Q) (R)Δ (R)
(P) (Q)=Δ
⊥


⊥ ⇒ ⊥


∩

4) Cho đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng (P). Có duy nhất một mặt phẳng chứa a
và vuông góc với (P).
Written by_TruongThiLien Page
4
V

V
ấ
ấ
n
n
đề
đề
3:
3:
Hai m
Hai m
ặ
ặ
t ph
t ph
ẳ
ẳ
ng vuông góc
ng vuông góc
phẳng
phẳng
b
a
Q
P
P
Q
a
b
d

Q
P
a
a
R
Q
P
Chau Thanh 2 High School Hinh Hoc 12
A. Dạng toán cơ bản:
1) Khoảng cách từ một điểm M đến một đường thẳng
∆
:
Hạ MH vuông góc với ∆ tại H ⇒ d(M;∆)=MH
2) Khoảng cách từ một điểm M đến một mặt phẳng (P):
Hạ MH vuông góc với (P) tại H ⇒ d(M;(P))=MH
3) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
Lấy M bất kì thuộc (P) ⇒ d((P);(Q))=d(M;(Q))
3
) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
a) Xác định đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau:
 Nếu a⊥b thì ta dựng mặt phẳng(P) chứa b và vuông góc với a tại M, kẻ
MN⊥b tại N. Khi đó MN là đoạn vuông góc chung của a và b
 Nếu a không vuông góc với b thì:
- Dựng mặt phẳng(Q) chứa b và song song với a
- Dựng hình chiếu a’ của a trên (Q), a’ cắt b tại J
- Dựng đường thẳng qua J và vuông góc với (Q) cắt a tại
I.
Khi đó: IJ là đoạn vuôn góc chung của a và b.
b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
d(a;b)=MN

Written by_TruongThiLien Page
5
Vấn đề 4:
Vấn đề 4:
Khoảng cách
Khoảng cách
∆
P
Q
P
M
M
H
H
M
H
a
b
P
M
N
a
a
'
b
M
N
Q
P
Chau Thanh 2 High School Hinh Hoc 12

KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 12
PHẦN 1:THỂ TÍCH
A. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DI Ệ N
I/ Các công thức thể tích của khối đa diện:
1. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ:
V= B.h
với
B: dieän tích ñaùy
h : chieàu cao



a) Thể tích khối hộp chữ nhật:
V = a.b.c
với a,b,c là ba kích thước
b) Thể tích khối lập phương:
V = a
3

với a là độ dài cạnh
2. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP:
V=
1
3
Bh
với



B: dieän tích ñaùy

h : chieàu cao
3. TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ DIỆN:
Cho khối tứ diện SABC và A’, B’, C’ là
các điểm tùy ý lần lượt thuộc SA, SB,
SC ta có:

=
SABC
SA'B'C'
V
SA SB SC
V SA' SB' SC'
Chú ý:
1/ Đường chéo của hình vuông cạnh a là d = a
2
,
Đường chéo của hình lập phương cạnh a là d = a
3
,
Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b, c là d =
2 2 2
a +b +c
,
Written by_TruongThiLien Page
6
Chau Thanh 2 High School Hinh Hoc 12
2/ Đường cao của tam giác đều cạnh a là h =
a 3
2
3/ Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên đều bằng

nhau ( hoặc có đáy là đa giác đều, hình chiếu của đỉnh trùng với tâm của đáy).
4/ Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.
B. KHỐI TRÒN XOAY:
1. Hình trụ , khối trụ và mặt trụ tròn xoay:
- Trục OO’
- Đường sinh MM’=l
- Bán kính R=OM, đường cao
h=OO’=MM’
- Diện tích xung quanh:
S
xq
=2πRl
- Diện tích toàn phần:
S
tp
=2πRl+2πR
2
- Thể tích khối trụ: V=πR
2
l
- Mặt trụ tròn xoay sinh ra khi
quay đường thẳng l song song
đt ∆ cố định và cách ∆ một
đoạn R không đổi.
2. Hình nón, khối nón, mặt nón tròn xoay:
- Trục SO
- Đường sinh SM=l
- Góc ở đỉnh là 2α
- Bán kính đáy R=OM, chiều
cao h=SO

l
2
=R
2
+h
2
- Diện tích xung quanh:
S
xq
=πRl
- Thể tích khối nón:
2
1
3
V R h
π
=
- Mặt nón tròn xoay sinh ra
khi quay đường thẳng l cắt ∆ cố
định và hợp với ∆ góc α không
đổi, góc ở đỉnh là 2α.
Written by_TruongThiLien Page
7
M'
O
O'
M
h
R
R

O
S
M
l
h
R
Chau Thanh 2 High School Hinh Hoc 12
3. Hình cầu, mặt cầu và khối cầu:
- Tâm O, bán kính R=OM
- Diện tích mặt cầu: S=4πR
2
- Thể tich khối cầu:
2
4
3
V R
π
=
4. Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện:
Tâm O của mặt cầu nếu có là điểm cách đều tất cả các đỉnh của
nên thuộc tất cả các mặt phẳng trung trực của các cạnh.
Với tứ diện thì luôn tồn tại mặt cầu ngoại tiếp, tâm E là giao
điểm của trục tam giác đáy với một trung trực đồng phẳng của một cạnh
bên.
Với hình chóp thì điều kiện tồn tại mặt cầu ngoại tiếp là khi đáy
hình chóp là đa giác nội tiếp, lúc đó tâm E là giao điểm của trục tam
giác đáy với một trung trực đồng phẳng của một cạnh bên.
PHẦN 2: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

1. Toạ độ của vectơ và toạ độ của điểm:
 Vectơ
u
r
có toạ độ (x;y;z) ⇔
u=x.i+y.j+z.k
r r r ur
.
 Điểm M có toạ độ (x;y;z) ⇔
OM=x.i+y.j+z.k
uuuur r r ur
.
 Nếu điểm A(x
A
;y
A
;z
A
) và điểm B(x
B;
y
B
;z
B
) thì :
o
B A B A B A
AB=(x -x ;y -y ;z -z )
uuur
o

( ) ( ) ( )
2 2 2
B A B A B A
AB= x -x + y -y + z -z
 Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k≠1:
A B A B A B
x -kx y -ky z -kz
MA=kMB M ; ;
1-k 1-k 1-k
 
⇔
 ÷
 
uuuur uuur
.
 Trung điểm I của AB có tọa độ
A B A B A B
x +x y +y z +z
I ; ;
2 2 2
 
 ÷
 
.
 Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ
A B C A B C A B C
x +x +x y +y +y z +z +z
G ; ;
3 3 3
 

 ÷
 
.
Written by_TruongThiLien Page
8
R
R
O
M
Chau Thanh 2 High School Hinh Hoc 12
 Trọng tâm G của tứ diện ABCD có tọa độ
A B C D A B C D A B C D
x +x +x +x y +y +y +y z +z +z +z
G ; ;
4 4 4
 
 ÷
 
.
2. Tích vô hướng và tích có hướng:
Cho
u=(x;y;z)
r
và
v=(x';y';z')
r
. Ta có:
 Các phép toán về vectơ:
o
u ± v = (x±x' ; y±y' ; z±z')

r r
o
ku=(kx;ky;kz)
r
o
2 2 2
| u|= x +y +z
r
 Tích vô hướng của hai vectơ:
o Biểu thức toạ độ:
u.v=x.x'+y.y'+z.z'
r r
( )
= u . v .cos(u,v)
r r r r
o Góc giữa hai vectơ:
2 2 2 2 2 2
x.x'+y.y'+z.z'
cos(u,v)=
x +y +z . x' +y' +z'
r r
 Tích có hướng của hai vectơ:
, ; ;
' ' ' ' ' '
y z z x x y
u v
y z z x x y
 
 
=

 ÷
 
 
r r
Vectơ
u,v
 
 
r r
vuông góc với của hai vectơ
u
r
và
v
r
 Một số tính chất:
o
. 0u v u v⊥ ⇔ =
r r r r
o
u
r
và
v
r
cùng phương ⇔
u,v 0
 
=
 

r r r
o
u
r
,
v
r
,
w
uur
đồng phẳng ⇔
u,v .w 0
 
=
 
r r uur
 Diện tích hình bình hành:
ABCD
S = AB,AD
 
 
uuur uuur
 Diện tích tam giác :
ABC
1
S = AB,AC
2
 
 
uuur uuur

 Thể tích hình hộp:
ABCD.A'B'C'D'
V = AB,AD .AA'
 
 
uuur uuur uuur
 Thể tích tứ diện :
ABCD
1
V = AB,AC .AD
6
 
 
uuur uuur uuur
Written by_TruongThiLien Page
9
Chau Thanh 2 High School Hinh Hoc 12
3. Phương trình mặt cầu:
 Dạng 1: Mặt cầu (S) có tâm I(a;b;c) và có bán kính R. Phương trình có
dạng:
(x-a)
2
+ (y-b)
2
+ (z-c)
2
= R
2
.
 Dạng 2: Phương trình có dạng: x

2
+y
2
+z
2
-2ax-2by-2cz+d=0,
với điều kiện : a
2
+b
2
+c
2
>d, là phương trình mặt cầu có tâm I(a;b;c) và
có bán kính
2 2 2
R= a +b +c -d
* Giao điểm của mặt phẳng ( α ) và mặt cầu (S):
Gọi IH là khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (α); R là bán kính mặt cầu:
o IH>R : (α)∩(S)=φ
o IH=R : (α)∩(S)=H
o IH<R : (α)∩(S)=(C)
Cách xác định tâm và bán kính của đường tròn
(C):
 Viết phương trình đường thẳng d đi qua I
và vuông góc với (α):
dα
u =n
uur uur
 Tâm H của đường tròn (C): H=d∩(α)
 Bán kính r của (C):

2 2
r= R -IH
4. Phương trình mặt phẳng:
 Mặt phẳng đi qua điểm M
0
(x
0
;y
0
;z
0
) và có vectơ pháp tuyến
n=(A;B;C)
r

có phương trình: A(x-x
0
)+B(y-y
0
)+C(z-z
0
)=0
 Phương trình : Ax+By+Cz+D=0 với A
2
+B
2
+C
2
>0 là phương trình mặt
phẳng có vectơ pháp tuyến là

n=(A;B;C)
r
 Chú ý:
- Phương trình các mặt phẳng đặc biệt:
mp(Oxy):z=0 ;
mp(Oyz):x=0 ;
mp(Oxz):y=0
- Mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C không thẳng hàng có vectơ pháp tuyến
n= AB,AC
 
 
r uuur uuur
và ta gọi
AB, AC
uuur uuur
là cặp vectơ chỉ phương của mp(ABC).
- Pt mặt phẳng theo đoạn chắn trên 3 trục toạ độ: Mp đi qua M(a;0;0),
N(0;b;0) và P(0;0;c) có phương trình là:
x y z
+ + =1
a b c
Written by_TruongThiLien Page
10
R
r
I
H
Chau Thanh 2 High School Hinh Hoc 12
- Mp chứa hai đường thẳng cắt nhau: Nếu (P) =mp(d,d’) thì (P) có vectơ
pháp tuyến là

'
n= ,
d d
u u
 
 
r uur uur

5. Phương trình đường thẳng:
Cho đường thẳng d đi qua điểm M
0
(x
0
;y
0
;z
0
) và có vectơ chỉ phương là
u=(a;b;c)
r
. Khi đó:
 Phương trình tham số của d là:
0
0
0
x=x +at
y=y +bt
z=z +ct






 Phương trình chính tắc của d (khi abc≠0) là:
0 0 0
x-x y-y z-z
= =
a b c
6. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng:
Nếu (α) có phương trình Ax+by+Cz+D=0 và (α’) có phương trình
A’x+B’y+C’z+D’=0 thì:
• (α) và (α’) cắt nhau khi và chỉ khi A:B:C≠A’:B’:C’
• (α) và (α’) song song khi và chỉ khi
A B C D
= =
A' B' C' D'
≠
• (α) và (α’) trùng nhau khi và chỉ khi
A B C D
= =
A' B' C' D'
=
• (α) và (α’) vuông góc với nhau khi và chỉ khi AA’+BB’+CC’=0
7. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng:
Nếu đường thẳng d đi qua điểm M
0
, có vectơ chỉ phương
u
r
và đường

thẳng d đi qua điểm
'
0
M
, có vectơ chỉ phương
u'
ur
thì:
• d và d’ trùng nhau
0
'
0
u,u' = u,M M =0
 
 
⇔
 
 
uuuuuur
r ur r r
• d//d’
0
'
0
u,u' =0
u,M M 0

 
 


⇔

 
≠

 

r ur r
uuuuuur
r r
• d và d’ cắt nhau
'
0 0
u,u' .M M =0
u,u' 0

 

 
⇔

 
≠

 

uuuuuur
r ur
r ur r
• d và d’ chéo nhau

0
'
0
u,u' .M M 0
 
⇔ ≠
 
uuuuuur
r ur
8. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng:
Written by_TruongThiLien Page
11
Chau Thanh 2 High School Hinh Hoc 12
Nếu mp(α):Ax+By+Cz+D=0 và đường thẳng d đi qua điểm M
0
(x
0
;y
0
z
0
),
có vectơ chỉ phương
u=(a;b;c)
r
.Khi đó:
• d cắt (α) ⇔ Aa+Bb+Cc≠0
• d//(α)
0 0 0
Aa+Bb+Cc=0

Ax +By +Cz +D 0

⇔

≠

• d ⊂(α)
0 0 0
Aa+Bb+Cc=0
Ax +By +Cz +D 0

⇔

=

9. Khoảng cách:
 Khoảng cách gữa hai điểm A(x
A
;y
A
;z
A
) và B(x
B;
y
B
;z
B
) là:
( ) ( ) ( )

2 2 2
B A B A B A
AB= x -x + y -y + z -z
 Khoảng cách từ điểm M
0
(x
0
;y
0
z
0
) đến mặt phẳng (α) có phương trình
Ax+by+Cz+D=0 là:
( )
0 0 0
0
2 2 2
Ax +By +Cz +D
d M ,(α) =
A +B +C
 Khoảng cách từ điểm M
1
đến đường thẳng ∆ đi qua M
0
và có vectơ chỉ
phương
u
r
là:
0 1

1
M M ,u
d(M ,Δ)=
u
 
 
uuuuuur r
r
 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ∆ và ∆’, trong đó ∆ đi
qua điểm M
0
, có vectơ chỉ phương
u
r
và đường thẳng ∆’ đi qua điểm
'
0
M
, có vectơ chỉ phương
u'
ur
là:
'
0 0
u,u' .M M
d( ,Δ')=
u,u'
 
 
∆

 
 
uuuuuur
r ur
r ur
10. Góc:
 Góc giữa hai đường thẳng:
2 2 2 2 2 2
u.u'
a.a'+b.b'+c.c'
cosφ= =
u . u'
a +b +c . a' +b' +c'
r ur
r ur
 Góc giữa hai mặt phẳng:
2 2 2 2 2 2
n.n'
A.A'+B.B'+C.C'
cosφ= =
n . n'
A +B +C . A' +B' +C'
r ur
r ur
Written by_TruongThiLien Page
12
Chau Thanh 2 High School Hinh Hoc 12
 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
2 2 2 2 2 2
n.u

A.a+B.b+C.c
sinφ= =
n . u
A +B +C . a +b +c
r r
r r
Written by_TruongThiLien Page
13