De va dap an TS vao lop 10 (Nam Dinh 2010 - 2011)

Sở giáo dục - đào tạo
Nam định
đề thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt
Môn: Toán ( Năm học 2010 2011)
Thời gian làm bài 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Phần 1- Trắc nghiệm (2,0 điểm) Mỗi câu sau có nêu bốn phơng án trả lời, trong đó chỉ có
một phơng án đúng. Hãy chọn phơng án đúng (viết vào bài làm chữ cái đứng trớc phơng án đ-
ợc lựa chọn).
Câu 1. Phơng trình (x 1)(x + 2) = 0 tơng đơng với phơng trình
A. x
2
+ x 2 = 0 B. 2x + 4 = 0 C. x
2
- 2x +1 = 0 D. x
2
+ x + 2 = 0
Câu 2. Phơng trình nào sau đây có tổng hai nghiệm bằng 3?
A. x
2
- 3x +14 = 0 B. x
2
- 3x - 3 = 0 C. x
2
- 5x +3 = 0 D. x
2
- 9 = 0
Câu 3. Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên
Ă
?
A. y = -5x
2

B. y = 5x
2
C. y = (
3
- 2)x D. y = x - 10
Câu 4. Phơng trình x
2
+ 4 x + m = 0 có nghiệm khi và chỉ khi
A.
4m
. B.
4m <
. C.
4m
. D.
4m >
.
Câu 5. Phơng trình
3 4x x+ =
có tập nghiệm là
A.
{ }
1;4
. B.
{ }
4;5
. C.
{ }
1;4
. D.

{ }
4
.
Câu 6. Nếu một hình vuông có cạnh bằng 6 cm thì đờng tròn ngoại tiếp hình vuông đó có bán
kính bằng
A.
6 2cm
B.
6cm
C.
3 2cm
D.
2 6cm
Câu 7. Cho hai đờng tròn (O;R) và
, ,
( ; )O R
có R = 6cm,
,
R

= 2cm,
,
OO
= 3cm. Khi đó, vị trí
tơng đối của hai đờng tròn đã cho là
A. cắt nhau. B. (O;R) đựng
, ,
( ; )O R
. C. ở ngoài nhau. D. tiếp xúc trong.
Câu 8. Cho một hình nón có bán kính đáy bằng 3cm, có thể tích bằng 18 cm

3
. Hình nón đã
cho có chiều cao bằng
A.
6
cm

. B.
6cm
. C.
2
cm

D.
2cm
.
Phần 2- Tự luận (8,0 điểm)
Câu 1. (1,5 điểm) Cho biểu thức P =
2
.
1 1 2
x x
x x x x

+
ữ
ữ
+ + +

với

0x

và
1x

.
1) Rút gọn biểu thức P.
2) Chứng minh rằng khi
3 2 2x = +
thì P =
1
2
.
Câu 2. (1,5 điểm)
1) Cho hàm số y = 2x + 2m + 1. Xác định m, biết rằng đồ thị của hàm số đi qua điểm
A(1; 4).
2) Tìm toạ độ giao điểm của đồ thị hàm số y = x
2
và đồ thị hàm số y = 2x + 3.
Câu 3. (1,0 điểm) Giải hệ phơng trình
1 2
2
2 1
3 4
x y x y
x y x y
x y
+ + +

+ =

+ + +


+ =

Câu 4. (3,0 điểm) Cho đờng tròn (O; R) và một điểm M nằm ngoài đờng tròn sao cho OM =
2R. Đờng thẳng d đi qua M và tiếp xúc với đờng tròn (O; R) tại A. Gọi N là giao điểm của
đoạn thẳng MO với đờng tròn (O; R).
1) Tính độ dài đoạn thẳng AN theo R. Tính số đo góc NAM.
2) Kẻ hai đờng kính AB và CD khác nhau của đờng tròn (O; R). Các đờng thẳng BC, BD
cắt đờng thẳng d lần lợt P, Q.
a) Chứng minh tứ giác PQDC nội tiếp.
b) Chứng minh 3BQ 2AQ > 4R.
Câu 5. (1,0 điểm) Tìm tất cả các cặp số (x; y) thoả mãn điều kiện
( )
2 4 4x y y x xy + =

Phạm Phú Cờng THCS Nam An Nam Trực
Trang 1
đáp án
Phần đáp án điể
m
I
(2,0đ)
Câu 1: A; Câu 2: B; Câu 3: D; Câu 4: C
Câu 5: D; Câu 6: C; Câu 7: B; Câu 8: A
Mỗi câu đúng cho 0,25
2,0
II

Câu1
(1,5đ)
1. (1đ)
Thực hiện:
2 2( 1) ( 1)
1 1 ( 1)( 1)
x x x x
x x x x
+ +
+ =
+ +
0,25

2 2
1
x x x
x
+ +
=

0,25

2
1
x x
x
+ +
=

0,25

P =
2
.
1 1
2
x x x x
x x
x x
+ +
=

+ +
0,25
2. (0,5đ) Thay x =
3 2 2+
vào biểu thức P rút gọn ta có

3 2 2
3 2 2 1
P
+
=
+

1 2 1
2
2 2 2
+
= =
+

. điều phải chứng minh
0,25
0,25
Câu2
(1,5đ)
1. (0,75đ)
Đồ thị hàm số đi qua điểm A(1;4) suy ra x = 1 và y = 4 thoả mãn công
thứcy =2x+2m+1
Suy ra 4 = 2.1 + 2m + 1
0,25
0,25
Tìm đợc m = 0,5 0,25
2. (0,75đ)
Xét phơng trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị x
2
= 2x + 3
Giải phơng trình tìm đợc x = -1và x = 3
Thay vào công thức hàm số tìm đợc y = 1 và y = 9
Kết luận toạ độ giao điểm của hai đồ thị hàm số là (-1; 1) và (3; 9)
0,25
0,25
0,25
Câu 3
(1,0đ)
+ Đặt ĐKXĐ của hệ
1 2
2
2 1
3 4
x y x y

x y x y
x y
+ + +

+ =

+ + +


+ =

là (x+2y)(x+y+1)
0
+ Biến đổi phơng trình
2 2
1 2 ( 1) ( 2 )
2 2
2 1 ( 1)( 2 )
x y x y x y x y
x y x y x y x y
+ + + + + + +
+ = =
+ + + + + +

0,25
0,25
Phạm Phú Cờng THCS Nam An Nam Trực
Trang 2
2 2
( 1) ( 2 ) 2( 1)( 2 )x y x y x y x y + + + + = + + +

[ ]
( )
2
2
( 1) ( 2 ) 0 1 0 1x y x y y y + + + = = =
+ Thay y = 1 vào phơng trình 3x + y = 4 ta tìm đợc x = 1
+ Đối chiếu điều kiện và kết luận nghiệm của hệ là (1; 1)
0,25
0,25
Câu 4
(3,0đ)

Q
P
D
B
M
N
O
A
C
1. 1điểm
+ Tính đợc MN = R và chỉ ra N là trung điểm của MO
+ Chỉ ra đợc OA vuông góc với AM và suy ra tam giác MAO vuông tại A
+ áp dụng định lý đờng trung tuyến trong tam giác vuông MAO tính đợc
AN = R
+ Tính đợc góc NAM = 30
0

0,25
0,25
0,25
0,25
2. (2,0đ)
a) 1.25điểm. Chứng minh tứ giác PQDC nội tiếp
+Ch + Chỉ ra đợc cung nhỏ AD = cung nhỏ BC; cung nhỏ AC = cung nhỏ BD
+ Ta có góc PQD là góc có đỉnh ở bên ngoài đờng tròn nên
gócPQD =
1
2
(sđ cung BCA sđcungAD) =
1
2
sđ cung AC.
+Ta có góc BCD =
1
2
sđ cung BD (tính chất góc nội tiếp)


gócPQD = góc BCD
Mà góc BCD + gócDCP = 180
0
nên góc PQD + góc DCP = 180
0
Vậy tứ giác PQDC nội tiếp
0,25x
2
0,25

0,25
0,25
b) 0.75 điểm. Chứng minh 3BQ 2AQ > 4R
có :
2 2 2
2 2
BQ AQ AB
AQ AB 2AB.AQ(cosi)

= +


+


=> 2BQ
2


(AQ + AB)
2

Suy ra
2
BQ

AQ + AB => 2
2
BQ

2 AQ + 2AB (1)
0,25
0,25
Phạm Phú Cờng THCS Nam An Nam Trực
Trang 3
mà 3BQ > 2
2
BQ (2)
từ (1), (2) => 3BQ > 2AQ + 2AB => 3BQ - 2AQ > 2AB
Hay 3BQ - 2 AQ > 4R.
0,25
Câu 5
(1,0đ)
K: x, y
4
Cú: 2x
4y =
( )
4 4
4 4
2 2
y xy
x y x
+
=
( bt cụsi)
2y
4x =
( )
4 4

4 4
2 2
x xy
y x y
+
=
( bt cụsi)
Vy 2(x
4y
+ 2y
4x
)

2.
2
xy
=xy
Vy du = xy ra =>
4 4 8
4 4 8
y x
x y
= =



= =

+ Kiểm tra các giá trị của x, y thoả mãn điều kiện đề bài. Vậy cặp số (8;
8) là cặp số cần tìm.

0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 5 có thể làm một số cách khác
Chẳng hạn:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 x y - 4 + y x - 4 = xy 2xy - 4 x y - 4 + y x - 4 = 0
x y - y - 4 + y x - x - 4 = 0
x y - 4 2 + y x - 4 2 = 0



Ta thấy :
( ) ( )
2 2
x y - 4 2 0; y x - 4 2 0 x 4;y 4
Vậy
( )
( )
( )
( )
2
2
x y - 4 2 = 0 y - 4 2 = 0
y - 4 = 4 y = 8
x - 4 = 4 x = 8

x - 4 2 = 0
y x - 4 2 = 0













Hoặc
Đặt :
2
2
x - 4 = a
x = a + 4
y = b + 4
y - 4 = b

( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2 2
2 2 2 2
' 4 3 2
2 x y - 4 + y x - 4 = xy
2 a + 4 b + 2 b + 4 a = a + 4 b + 4
b - 2b + 4 a 2 b + 4 a + 4 b - 2b + 4 0(*)
= -3b + 16b - 40b + 64b - 48

=
V
Phơng trình có nghiệm <=>

' 4 3 2
4 3 2
= -3b + 16b - 40b + 64b - 48 0
3b - 16b + 40b - 64b + 48 0


V
Ta thấy b = 0 không thoả mãn
Chia cả 2 vế của BPT cho b
2
> 0 ta đợc:
Phạm Phú Cờng THCS Nam An Nam Trực
Trang 4

2
2
2
2
64 48
3b - 16b + 40 - + 0
b b
16 4
3 b + - 16 b + + 40 0
b b
≤
   
⇔ ≤
 ÷  ÷
   
§Æt
4
b + = t, t 4
b
≥

2 2
2
16
b + = t - 8
b
⇔
Ta ®îc:
2
3t - 16t + 16 0

≤

4 4
(t - 4)(t - ) 0 t 4
3 3
⇔ ≤ ⇔ ≤ ≤
M à
t 4
≥
=> t = 4
=> a = b =2
=> x = y = 8 (TMĐK)
Ph¹m Phó Cêng THCS Nam An Nam Trùc– –
Trang 5