Cơ Khí - Giáo trình Máy Phụ Tàu Thủy phần 2 docx

25
Vế phải biểu thức trên nh nhau ở hai dòng đồng
hình học, còn vế trái bằng hai lần số Ơle 2Eu. Nh vậy,
đối với chất lỏng lý tởng, diều kiện đủ để đảm bảo
đồng dạng thuỷ lực của các dòng áp lực là đồng dạng
hình học.
Bây giờ ta viết phơng trình Becnuli đối với thiết
diện 1-1 và 2-2 cho một trong hai dòng chảy dới áp lực
của chất lỏng nhớt. Có
g2
v
g2
v
g
p
g2
v
g
p
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1

,
trong đó

- hệ số tổn thất cột áp giữa các thiết diện đang xét.
Sau khi biến đổi về dạng không thứ nguyên sẽ đợc:

2
1
2
212
2
221
S/SEu2)v/()pp(2
.
Thấy ở đây, muốn hai phơng trình cho hai dòng nh nhau thì phải có: S
1
/S
2
, các hệ số
koriolis
1
và
2
nh nhau ( tức là đảm bảo đồng dạng hình học và động học) và hệ số sức cản

nh nhau.
Nh vậy, trong các dòng áp lực đồng dạng thuỷ lực có các hệ số và các số ,

, Eu, Re và
một vài số nữa (sẽ nói sau) bằng nhau. Thay đổi của Re sẽ làm thay đổi tơng quan giữa các
lực chủ yếu trong dòng và làm cho các hệ số nêu trên thay đổi ít nhiều. Do đó đối với các dòng
dới áp lực của chất lỏng nhớt tất cả các hệ số trên đợc coi là hàm của chuẩn cơ bản và quyết
định- số Reynolds Re (tuy vậy, trong phạm vi nào đấy của Re các hệ số trên không thay đổi).
Trong các nghiên cứu thực nghiệm và mô hình hoá dòng chảy ở phòng thí nghiệm cần
phải, thứ nhất, đảm bảo đồng dạng hình học giữa mô hình I và dòng thực II, kể cả điều kiện
cửa vào và ra; thứ hai, đảm bảo cho số Re bằng nhau: Re
I
=Re
II
. Từ điều kiện thứ hai thấy vận
tốc dòng trong thí nghiệm bằng: v
I
=v
II
L
II

I
/(L
I

II
).
Ngoài các chuẩn đồng dạng cơ bản nêu trên (Eu, Re, Fr), trong thuỷ lực còn dùng các
chuẩn khác trong các trờng hợp riêng. Khi xét dòng chịu nhiều ảnh hởng của sức căng bề
mặt (ví dụ sự phân dã dòng thành các hạt khi phun nhiên liệu vào động cơ) ngời ta đa vào
chuẩn Vebe (We), nó băng tỉ số lực căng bề mặt với lực quán tính. Đối với trờng hợp này
(1.46) có dạng

We=L/(v
2
L
2
)=/(v
2
L)=idem.
Khi xét dòng không ổn định tuần hoần với chu kì T (ví dụ dòng trong đờng ống nối với
bơm pittong) ngời ta đa ra chuẩn Strukhal (Sh), nó kể đến các lực quán tính cục bộ do
chuyển động không ổn định. Lực này tỉ lệ với khối lợng (L
3
) và gia tốc
t/v
, tức là tỉ lệ với
v/T. Khi đó (1.46) có dạng
L
3
v/(v
2
L
2
T)=L/(vT)=idem hay Sh=vT/L=idem.
Khi kể đến độ nén đợc của chất lỏng ngời ta đa ra hệ số Mach (M), nó kể đến lực đàn
hồi. Lực này tỉ lệ với diện tích (L
2
) và môdun đàn hồi thể tích K=c
2
(c- vận tốc âm thanh
trong môi trờng đang xét), tức là tỉ lệ với c
2

L
2
. Điêù kiện (1.46) có dạng
c
2
L
2
/(v
2
L
2
)=c
2
/v
2
=idem hay M=v/c=idem.
Chuẩn Mach có ý nghĩa quan trọng khi xét chuyển động của khí. Số Mach càng gần một
thì ảnh hởng của tính nén đợc đối với chuyển động càng lớn.
1.4.2 Chế độ chảy của chất lỏng trong các ống
Các thí nghiệm cho thấy có hai chế độ chảy của chất lỏng và khí trong các ống: chảy tầng
và chảy rối.
Hình1.9. Hai dòng đồng dạng.


26
Chảy tầng là dòng chảy theo lớp, không có xáo trộn của các phần tử chất lỏng, không có
xung tốc độ và áp suất. ở chế độ này các đờng dòng hoàn toàn đợc xác định bởi hình dạng
của đờng ống, nếu trong ống thẳng tiết diện khôngđổi thì các đờng dòng có hớng song song
đờng tâm ống và không có chuyển dịch ngang. Chảy tầng là chế độ chảy có trật tự và khi cột
áp không đổi thì là chế độ dừng hoàn toàn (ở chế độ không ổn định vẫn có khả năng chảy

tầng). Tuy vậy không đợc coi trong chảy tầng không có xoáy, mặc dù trong đó không có các
xoáy nhìn thấy, cùng với chuyển động tịnh tiến vẫn xảy ra hiện tợng quay có trật tự của các
phần tử lỏng riêng rẽ quanh tâm tức thời với vận tốc góc nào đó.
Chảy rối là dòng chảy có sự xáo trộn mạnh của chất lỏng kèm theo các xung tốc độ và áp
suất. Chuyển động của các phần tử lỏng riêng biết giống
chuyển động hỗn loạn của phân tử khí. Trong dòng chảy rối
các vec tơ tốc độkhông những chỉ có thành phần dọc ống
mà còn có thành phần vuông góc đờng tâm ống (H.1.10)
tạo ra chuyển động ngang và quay của các khối chất lỏng.
Điều này giải thích tại sao có các xung tốc độ và áp suất.
Chế độ chảy của chất lỏng nhất định thay đổi ở một
tốc độ trung bình xác định đợc gọi là vận tốc tới hạn v
th
.
Các thí nghiệm cho thấy gía trị vận tốc này tỉ lệ với độ nhớt động và tỉ lệ nghịch với đờng kính
ống, tức là:
v
th
=k

/d,
hay k=v
th
d/

.
Trị số không thứ nguyên thu đợc gọi là số Reynolds tới hạn Re
th
. Thực nghiệm cho thấy
rằng trong ống tròn Re

th
2300.
Nh vậy, chuẩn đồng dạng Reynolds cho phép đánh giá chế độ chảy của chất lỏng trong
ống. Khi Re< Re
th
chất lỏng chảy tầng, khi Re>Re
th
- chảy rối. Nói chính xác hơn, chảy rối
hoàn toàn xảy ra khi Re4000, khi Re=23004000 chế độ chảy ở trong vùng chuyển tiếp.
Trong thực tế gặp cả chảy tầng và chảy rối, chảy tầng thờng thấy ở các chất lỏng có độ
nhớt rất lớn nh dầu nhờn còn chảy rối thấy ở xăng, dầu hoả, rợu, axit và các chất lỏng khác
có độ nhớt nhỏ.
Thay đổi chế độ chảy khi đạt Re
th
là do chế độ này mất ổn định còn chế độ kia sẽ ổn định.
Ví dụ, khi Re<Re
th
khi chảy tầng sẽ ổn định: chảy rối nhân tạo (do rung ống chẳng hạn) sẽ tắt
dần, chảy tầng lại xác lập khi ngừng tạo rối. Khi Re>Re
th
xảy ra hiện tợng ngợc lại, chảy rối
sẽ ổn định. Trị số Re
th
khi chuyển từ chảy tầng sang chảy rối có thể có trị số lớn hơn Re
th
đối
với quá trình chuyển tiếp ngợc lại. Trong các điều kiện thí nghiệm đặc biệt, hoàn toàn không
có các yếu tố gây rối, ngời ta có thể tạo ra đợc chảy tầng khi Re>Re
th
, nhng chuyển động

này hết sức không ổn định, chỉ cần có nhiễu nhỏ là chuyển sang chảy rối. Trong thực hành các
điều kiện tạo chảy rối- rung động ống, chỗ có cản cục bộ, lu lợng thay đổi.
1.4.3. Hiện tợng xâm thực
Trong một số trờng hợp chuyển động của chất lỏng trong ống kín xảy ra các hiện tợng
liên quan đến thay đổi trạng thái pha của chất lỏng nh chuyển thành hơi hoặc phân tách các
khí hoà tan trong chất lỏng. Ví dụ khi chất lỏng chảy qua chỗ có thiết diện thu hẹp, vận tốc
tăng và áp suất giảm. Nếu khi đó áp suất tuyệt đối đạt đến giá trị bằng áp suất hơi bão hoà của
chất lỏng này ở nhiệt độ đã cho, hoặc áp suất ở đó khí hoà tan bắt đầu tách ra khỏi chất lỏng,
thì tại chỗ đó bắt đầu diễn ra quá trình tạo hơi hoặc khí mạnh. Đến khu vực dòng chảy rộng ra,
Hình 1.10. Xung tốc độ và đặc
điểm đờng dòng trong chảy rối.


27
vận tốc chậm lại và áp suất tăng; hơi đã tạo ra bắt đầu ngng tụ và khí bắt đầu hoà tan chở lại
vào chất lỏng.
Hiện tợng phá vỡ sự liên tục của dòng, do tạo các bọt hơi và khí vì áp suất cục bộ trong
dòng giảm, đợc gọi là xâm thực.
Xâm thực kèm theo tiếng động đặc trng và nếu kéo dài sẽ gây phá huỷ xâm thực (xói
mòn) bề mặt thành kim loại. Điều đó đợc giải thích là do quá trình ngng tụ các túi hơi (và
nén các bọt khí) diễn ra với tốc độ rất lớn, chất lỏng xung quanh bóng hơi ập vào tâm bóng và
ở thời điểm kết thúc (vỡ bóng hơi) gây ra va đập thuỷ lực cục bộ làm áp suất tăng đáng kể ở
những điểm riêng rẽ. Theo kết quả một số nghiên cứu, áp suất cục bộ khi xâm thực có thể lớn
đến hàng trăm at [2]. Vật liệu không bị phá huỷ ở chỗ tạo hơi mà ở chỗ hơi ngng tụ. Khi xâm
thực xảy ra các hiện tợng sau:
1. Sức cản tăng đáng kể và làm giảm khả năng lu thông của đờng ống do các bọt khí
làm giảm mặt cắt ớt của dòng, tốc độ ở đó tăng mạnh. Nếu ở trong các máy bơm thì
sẽ làm giảm lu lợng, cột áp, hiệu suất có ích và công suất bơm.
2. Va đập thuỷ lực gây tróc rỗ các bề mặt kim loại các chi tiết trong các máy thuỷ lực,
chong chóng, mặt ngoài xi lanh động cơ diesel (do rung động làm cho nớc làm mát bị

nén và giãn nở) v.v. Đây là tác hại lớn nhất do xâm thực, các vết rỗ có thể rất sâu.
3. Gây ăn mòn hoá học ở khu vực xâm thực do ô xy tách ra. Hiện tợng này càng tăng
cờng do va đập thuỷ lực phá huỷ lớp ô xit bảo vệ bề mặt kim loại.
4. Tăng nhiệt độ cục bộ bề mặt chi tiết do khí bị nén, do va đập và biến dạng cục bộ của
bề mặt chi tiết. Hiện tợng này còn gây nên ăn mòn điện hoá do tạo ra các cặp ngẫu
nhiệt giữa chỗ nóng và lạnh.
5. Ngng tụ hơi và va đập gây tiếng ồn và rung động các máy thuỷ lực [3].
Nh vậy, xâm thực là hiện tợng không mong muốn. Trong các hệ thống thuỷ lực, xâm
thực có thể xuất hiện ở những chỗ áp suất thấp nh khu vực cửa hút của bơm, sau những chỗ có
cản cục bộ lớn. Mỗi chỗ cản cục bộ hay bơm, về mặt xâm thực, đợc đặc trng bằng một
chuẩn không thứ nguyên gọi là số xâm thực:
2/v
pp
2
1
bh1



, (1.50)
trong đó p
1
và v
1
- áp suất tuyệt đối và tốc độ dòng ở thiết diện trớc chỗ cản cục bộ hoặc bơm.
Thấy rằng, số xâm thực có ý nghĩa tơng tự nh số Ơle Eu, nó đợc sử dụng nh chuẩn
đồng dạng đối với dòng chảy xâm thực. Trị số mà tại đó trong chỗ cản cục bộ bắt đầu xâm
thực đợc gọi là số xâm thực tới hạn
th
.

Đ1.5. Chảy tầng
1.5.1. Lí thuyết chảy tầng trong ống tròn
Nh đã giới thiệu ở mục 1.4.2, chảy tầng là chế độ chảy có trật tự, theo từng lớp không có
xáo trộn. Lí thuyết chảy tầng dựa trên định luật ma sát của Niutơn. Ma sát này giữa các lớp chất
lỏng chuyển động là nguồn gốc tổn thất năng lợng duy nhất trong trờng hợp này.
Xét chảy tầng ổn định của chất lỏng trong ống tròn, thẳng có đờng trong bằng 2r
0
. Để bỏ
ảnh hởng của trọng lực và đơn giản đa ra kết luận, giả thiết ống nằm trong mặt phẳng ngang.
ở khá xa đầu ống, khi dòng hoàn toàn ổn định ta tách ra một đoạn dài l giữa thiết diện 1-1 và
2-2 (hình 1.11).
Giả sử áp suất ở thiết diện 1-1 bằng p
1
, thiết diện 2-2 bằng p
2
. Do đờng kính ống không
đổi, tốc độ của chất lỏng không thay đổi, hệ số sẽ không thay đổi dọc theo dòng do tính ổn
định của nó, do đó phơng trình Becnuli cho các thiết diện đã cho có dạng


28
p
1
/(

g)=p
2
/(

g)+h

fr
,
trong đó h
fr
- tổn thất cột áp do ma sát theo chiều dài.
Từ đó
h
fr
=(p
1
-p
2
)/(g)=p
fr
/(g),
và điều này có thể thấy từ các cột chất lỏng đặt ở các thiết
diện trên.
Trong dòng chất lỏng, tách ra một khối trụ bán kính
r, đồng trục với ống và có hai mặt đầu ở các thiết đã chọn.
Viết phơng trình chuyển động đều cho khối chất lỏng
tách ra, tức là cân bằng giữa các lực áp suất và lực cản. Kí
hiệu ứng suất tiếp trên bề mặt trụ là , có
(p
1
-p
2
)

r
2

-2

rl

=0,
từ đó

=p
fr
r/(2l).
Từ công thức thấy, ứng suất tiếp trong mặt cắt ngang ống thay đổi theo qui luật tuyến
tính theo r. Biểu đồ ứng suất tiếp ở bên trái hình 1.11 (biểu đồ này không phụ thuộc chế độ
chảy). Ta biểu diễn ứng tiếp theo qui luật ma sát của Niutơn thông qua độ nhớt động lực và
gradien theo phơng ngang của tốc độ; trong đó thay biến y bằng bán kính r:

=

dv/dy=-

dv/dr.
Dấu âm chỉ rằng chiều tính r ngợc với chiều của y (tính từ thành ống).
Thay trị số vào biểu thức ở trên, đợc
p
fr
/(2l)=-

dv/dr.
Ta đợc gia số của vận tốc
dv=-p
fr

rdr/(2

l).
Nh vậy, nếu dr>0 thì dv<0. Thực hiện tích phân thu đợc
C
2
r
l2
p
v
2
fr



.
Hằng số tích phân tìm đợc theo điều kiện biên, khi r=r
0
thì v=0:
l4
rp
C
2
0fr


.
Tốc độ chất lỏng trên bề mặt trụ bán kính r
)l4/()rr(pv
22

0fr

. (1.51)
Biểu thức này là qui luật phân bố tốc độ trên mặt cắt ngang ống tròn khi chảy tầng. Đờng
cong mô tả biểu đồ tốc độ là đờng parabol.
Tốc độ lớn nhất ở tâm ống (r=0)
)l4/(rpv
2
0frmax

. (1.52)
Ta sử dụng qui luật phân bố tốc độ này để tính lu lợng. Biết lu lợng phân tố qua diện
tích phân tố bằng: dQ=vdS. Thay v bằng biểu thức (1.51), diện tích phân tố dS lấy ở dạng vành
tròn bán kính r và rộng dr, ta có
)l4/(rdr2)rr(pdQ
22
0fr

.
Sau khi tích phân trên toàn bộ diện tích mặt cắt ngang, thu đợc
4
0
fr
r
0
22
0
fr
r
l8

p
rdr)rr(
l2
p
Q
0







. (1.53)
Hình 1.11. Cơ sở lí thuyết chảy
tầng trong ống tròn.


29
Vận tốc trung bình tìm đợc bằng cách chia lu lợng cho diện tích:
)l8/(rp)r/(Qv
2
0fr
2
0tb

. (1.54)
Nh vậy, so với (1.52) thấy v
tb
=0,5v

max
.
Để có qui luật sức cản h
fr
theo lu lợng và kích thớc ống, từ (1.53) có
)r/(lQ8p
4
0fr

.
Chia biểu thức này cho g, thay = và chuyển d=2r
0
, thu đợc
h
fr
=p
fr
/(

g)=128

lQ/(

gd
4
). (1.55)
Công thức trên dùng để tính sức cản đờng ống ở chế độ chảy tầng do G. Poazeil thành lập
năm 1840. Ta đa qui luật này về dạng công thức của Veisbakh- Darci:
g2
v

d
l
h
2
tb
fr

.
Muốn vậy, thay lu lợng trong (1.55) bằng
4/vd
tb
2

, nhân và chia cho v
tb
và nhóm các
nhân tử, thu đợc
g2
v
d
l
Re
64
g2
v
d
l
dv
64
h

2
tb
2
tb
tb
fr



,
hay
g2
v
d
l
h
2
tb
fr

, (1.56)
trong đó =64/Re. (1.57)
Tổn thất cột áp do ma sát ở chế độ chảy tầng tỉ lệ với bậc nhất với tốc độ trung bình
(bình phơng tốc độ trung bình ở công thức cuối là do ta biến đổi nhân chia cả tử và mẫu với
v
tb
), còn hệ số tổn thất đờng dài tỉ lệ nghịch với số Re cũng tức là tỉ lệ nghịch với vận tốc trung
bình.
Biết qui luật phân bố tốc độ trên mặt cắt ống, dễ dàng tính đợc hệ số Koriolis ở trong
các phơng trình Becnuli có kể đến độ không đều của tốc độ đối với trờng hợp chảy tầng ổn

định trong ống tròn. Trong biểu thức (1.37), ta thay vận tốc bằng (1.51) và vận tốc trung bình
bằng (1.54), kể đến
2
0
rS
và dS=2

rdr. Sau khi biến đổi thu đợc


0
r
0
2
0
3
2
0
2
S
3
3
tb
r
rdr
)
r
r
1(16dSv
Sv

1
.
Thay biến
2
0
2
r/r1z
, đựơc


0
1
3
2dzz8
.
Nh vậy, động năng thực tế của dòng chảy tầng phân bố tốc độ dạng paraboll lớn hơn so
với của cũng dòng ấy nhng tốc độ phân bố đều 2 lần. Bằng cách trên có thể chứng minh rằng
động lợng của dòng chảy tầng phân bố tốc độ paraboll lớn hơn động lợng của cũng dòng ấy
nhng tốc độ phân bố đều là lần, trong đó hệ số đợc gọi là hệ số Buxxinhexk, trong trờng
hợp này bằng 4/3.
Lí thuyết chảy tầng trong ống tròn đã trình bày khá đúng so với thực tế và các qui luật sức
cản thờng không cần hiệu chỉnh gì, trừ các ngoại lệ sau:
1) khi chảy ở đoạn đầu ống, nơi diễn ra quá trình hình thành dần prôfin tốc độ paraboll;
2) khi chảy kèm theo trao đổi nhiệt;
3) khi chảy ở dạng giọt và có khe hở với vật bao;
4) khi chảy với độ sụt áp lớn.


30
15.2. Đoạn bắt đầu của chảy tầng

Nếu chất lỏng chảy từ bình chứa nào đó vào ống thẳng đờng kính không đổi và chuyển
động trong đó ở chế độ chảy tầng thì phân bố tốc dộ trên thiết diện ngang gần cửa vào trong
thực tế gần nh đồng đều, đặc biệt khi lối vào lợn trong (hình 1.12). Nhng sau đó do tác
dụng của lực nhớt diễn ra sự phân bố lại tốc độ trên mặt cắt ngang: các lớp chất lỏng kề với
thành bị hãm lại, còn phần ở tâm, nơi vẫn còn giữ đợc phân bố đồng đều tốc độ, chuyển động
nhanh dần vì lu lợng qua các thiết diện bằng nhau không đổi. Chiều dày lớp chất lỏng bị hãm
tăng dần cho tới khi bằng bán kính ống, profin paraboll tốc độ dặc trng của chảy tầng đợc
thiết lập.
Đoạn đầu ống trong đó hình thành profin paraboll tốc độ đợc gọi là đoạn đầu dòng chảy
(l
b
). Ngoài giới hạn đoạn này là chẩy tầng ổn định, profin paraboll tốc độ giữ không đổi bất kể
chiều dài ống với điều kiện ống thẳng và thiết diện không đổi. Lí thuyết chảy tầng ở phần trớc
chỉ thích hợp với chảy tầng ổn định và không áp dụng trong giới hạn đoạn bắt đầu.
Để xác định chiều dài đoạn bắt đầu có thể
sử dụng công thức gần đúng của Syler, liên hệ
chiều dài này với đờng kính ống và số Re:
l
b
/d=0,029Re. (1.58)
Sức cản ở đoạn đầu ống lớn hơn ở các đoạn
sau. Điều này đợc giải thích là do đạo hàm
dv/dy ở thành ống ở đoạn đầu lớn hơn so với ở
các đoạn chảy ổn định cho nên ứng suất tiếp lớn
hơn theo qui luật Niutơn, trong đó càng gần mép
ống giá trị này càng lớn, hay nói cách khác, nó
giảm theo toạ độ x.
Tổn thất cột áp trên đoạn ống có chiều dài l<l
b
đợc tính theo công thức (1.55) hoặc

(1.56) và (1.57) nhng phải hiệu chỉnh bằng hệ số k lớn hơn một. Trị số của k có thể xác định
theo đồ thị hình 1.13, trong đó nó đợc xem là hàm của thông số không thứ nguyên
x.10
3
/(dRe). Khi tăng thông số này giá trị k giảm, và khi
x/(dRe)=l
b
/(dRe)=0,029,
tức là khi x=l
b
, thì k=1,09. Nh vậy, sức cản
cả đoạn đầu ống lớn hơn 9% so với sức cản
của cũng đoạn đó nhng lấy ở chế độ chảy
tầng ổn định.
Đối với các ống ngắn giá trị hệ số k
nh thấy trên đồ thị khác một nhiều.
Khi chiều dài l ống lớn hơn l
b
, tổn thất
cột áp bao gồm tổn thất trên đoạn đầu và
tổn thất đoạn chảy tầng ổn định:
g2
v
d
)ll(
d
l
09,1h
2
bb

fr








.
Khi tính đến (1.57) và (1.58) và thực
hiện phép biến đổi, thu đợc
g2
v
)
d
l
64165,0(
Re
1
h
2
fr

. (1.59)
Hình 1.12. Hình thành profin paraboll tốc
độ ở đầu ống.
Hình 1.13. Phụ thuộc của k và vào
x.10
3

/(dRe).


31
Nếu chiều dài tơng đối của ống l/d đủ lớn, số hạng bổ sung trong ngoặc, bằng 0,165, có
thể bỏ qua do nhỏ. Tuy vậy, trong tính toán cần chính xác các ống chiều dài không lớn so với l
b
thì cần kể đến số hạng này.
Đối với đoạn bắt đầu ống có lối vào trơn tru hệ số koriolis tăng từ 1 cho tới 2 (xem đồ
thị).
1.5.3. Chảy tầng trong khe giữa hai thành và trong các ống chữ nhật
Ta xét trờng hợp chảy tầng trong khe do hai thành phẳng song song tạo thành, khoảng
cách giữa chúng là a (hình 1.14). Gốc toạ độ đặt ở giữa khe hở, hớng trục Ox dọc theo dòng,
còn Oy vuông góc với thành.
Lấy hai thiết diện vuông góc dòng chảy cách nhau một đoạn l và xét dòng có chiều rộng
bằng một đơn vị. Tách khối hộp chất lỏng giữa các mặt cắt đã chọn, nằm đối xứng với trục Ox
và có kích thớc các cạnh l

2y

1. Khi đó điều kiện cân bằng dọc theo Ox sẽ là
2yp
fr
=-

(dv/dy)2l,
trong đó p
fr
=p
2

-p
1
là chênh áp giữa các thiết diện đang xét. Dấu âm trong biểu thức là do
dv/dy<0. Từ đó
ydy
l
p
dv
fr


.
Thực hiện tích phân, thu đợc
Cy
l2
p
v
2
fr



.
Vì khi y=a/2 thì v=0, tìm đợc
4
a
l2
p
C
2

fr


. Thay vào đợc
)y
4
a
(
l2
p
v
2
2
fr



. (1.60)
Tiếp theo ta tính lu lợng q của dòng có chiều rộng đơn vị. Lấy hai phân tố diện tích đối
xứng qua trục Oz có kích thớc 1dy và viết lu lợng phân tố bằng:
dy2y
4
a
l2
p
vdSdq
2
2
fr

,
từ đó có














2/a
0
3
fr

2
2
fr
l12
ap
dyy
4
a
l
p
q
. (1.61)
Ta biểu diễn tổn thất áp suất thông qua lu lợng tổng Q=qb trong khe có chiều rộng b1:
p
fr
=12lQ/(a
3
b). (1.62)
Khi một trong các thành tạo ra khe hở chuyển động theo hớng song song với mặt thành
kia, áp suất chất lỏng dọc theo chiều dài không đổi, thành chuyển động kéo chất lỏng theo và
xuất hiện cái gọi là chuyển động ma sát không áp lực. Ta tách ra một phân tố trong dòng nh
Hình 1.14. Sơ đồ xét chảy
tầng trong khe.


32
hình1.14, xét các lực tác dụng lên nó. Vì áp suất p tác dụng lên mặt phải và trái phân tố nh
nhau, cho nên để cân lực thì ứng suất tiếp ở mặt dới và trên phải cũng nh nhau, tức là
=const.
áp dụng định luật Niutơn cho trờng hợp này thu đợc =-dv/dy =C (dấu âm là do khi

dy>0 thì dv<0) và sau khi tích phân
v=-(C/

)y+C
1
. (1.*)
Các hằng số C và C
1
tìm đợc khi kể đến điều kiện biên: khi y=a/2 thì v=0 và y=-a/2 thì
v=u, trong đó u- vận tốc thành. Từ đó có: C=u/a và C
1
=u/2.
Sau khi thay C và C
1
vào phơng trình trên thu đợc
v=(1/2-y/a)u. (1.63)
Lu lợng chất lỏng q qua khe có chiều rộng đơn vị đợc xác định theo vận tốc trung bình
q=(u/2)a. (1.64)
Nếu dịch chuyển trình bày ở trên của thành có kèm theo cả thay đổi áp suất trong chất
lỏng trong khe, thì qui luật phân bố tốc độ đợc tính nh tổng các công thức (1.60) và (1.63):
u)
a
y
2
1
()y
4
a
(
l2

p
v
2
2
fr



. (1.**)
Phân bố tốc độ trong khe nh ở hình (1.16) có hai khả năng: a) hớng chuyển động của
thành trùng với hớng chuyển động của chất lỏng dới tác dụng của độ chênh áp; b) hớng
chuyển động của thành ngợc với hớng chuyển động của chất lỏng. Lu lợng chất lỏng qua
khe chiều rộng đơn vị trong trờng hợp này là tổng lu lợng thể hiện bằng các công thức
(1.61) và (1.64), tức là
2
ua
l12
ap
q
3
fr



.
Số hạng đầu gọi là lu lợng dòng áp lực, còn số hạng thứ hai-
lu lợng ma sát.
Công thức đa ra có thể dung cho trờng hợp khe hở tạo bởi
hai mặt trụ, ví dụ giữa piston và xy lanh, với điều kiện khe hở giữa
chúng nhỏ so với đờng kính các mặt và các mặt trụ nằm đồng tâm.

Nếu piston nằm lệch tâm so với xy lanh thì khe hở a giữa chung là đại lợng thay đổi:
a=R+ecos

-r=a
0
(1+

cos

),
trong đó a
0
=R-r và =e/a.
Xét khe hở có chiều rộng phân tố rd

nh khe phẳng, có biểu thức tính lu lợng phân tố
sau:
Hình 1.15. Profin tốc trong
khe có thành chuyển động.
Hình 1.16. Profin tốc độ trong khe có thành chuyển
động và có giáng áp.


33




rd)cos1(
l12

ap
rd
l12
ap
dQ
3
3
0fr
3
fr
.
Tích phân theo vòng tròn ta thu đợc
)
2
3
1(Qd)cos1(r
l12
ap
Q
2
0
2
0
3
3
0fr

,
trong đó
3
0
fr
0
a
l12
r2p
Q



- lu lợng trong trờng hợp đồng tâm.
Từ biểu thức trên có thể thấy lu lợng lớn nhất khi =1, Q=2,5Q
0
.
Khi tính toán các dòng chảy trong ống không tròn ngời ta sử dụng cái gọi là bán kính
thuỷ lực, bằng tỉ số giữa diện tích mặt cắt trên chu vi ớt : R
h
=S/ hoặc đờng kính thuỷ lực
D
h
=4R
h
(đối với mặt cắt tròn D
h
=d).
ở chế độ chảy tầng trong trờng hợp này đợc tính toán bằng công thức Veisbakh- Darxi

(1.41) suy rộng, trong đó d đợc thay bằng D
h
và bằng = k, tức là
g2
v
Re
64
k
g2
v
D
l
'h
22
h
fr

, (1.65)
trong đó k- hệ số hiệu chỉnh phụ thuộc hình dạng mặt cắt.
Đối với thiết diện chữ nhật (ab) thì D
h
=2ab/(a+b) và k=f(b/a):
b/a. 1 1,5 2 3 4 5 10
k0,89 0,92 0,97 1,07 1,14 1,19 1,32 1,50
Thiết diện dạng đa giác đều cạnh a có k=0,83.
*Từ các phơng trình phân bố tốc độ chất lỏng trong khe tiết diện không đổi (1.60) và (1.63), có thể
chuyển thành dạng vi phân đã biết trong Bôi trơn thuỷ lực để tính toán áp suất do khe hở thay đổi tạo ra. ở đây,
khi xét cân bằng lực cho phân tố chất lỏng ngời ta chỉ tính đến các lực áp suất và ma sát mà bở qua các lực khối
khác: ví dụ nh trọng lợng, lực quán tính và một số yếu tố khác nh hệ số độ nhớt thứ hai (thể tích), nó kể đến
tiêu tán năng lợng do nén và giãn của chất lỏng, v.v. Trong khe hở của các cặp ma sát, chất lỏng chảy tầng (vì

khe hở và do đó số Re nhỏ) và tuân theo qui luật ma sát của Niu tơn. Nh vậy, các công thức(1.60) và (1.63)
thành lập trên cơ sở định luật ma sát của Niutơn đều có thể sử dụng đợc, kể cả cho trơng hợp tiết diện khe thay
đổi. Muốn vậy ta chỉ cần đổi phơng trình phân bố vận tốc viết cho chiều dài hữu hạn thành đoạn phân tố, cụ thể
là thay
x
p
l
p
fr



. Trong trờng hợp tổng quát nhất, phơng trình (1.**) có thể viết dới dạng
2
UU
y
a
UU
)
4
a
y(
x2
p
v
baba
2
2
x

,
trong đó U
a
và U
b
là các vận tốc của các mặt theo trục x, có giá trị dơng nếu ngợc chiều với trục x (qui định
chiều chuyển động nh vậy chỉ nhằm mục đích đa về dạng giống các công thức đã biết).
Các số hạng cuối đợc thành lập từ (1.*) vơí các điều kiện biên: y=-a/2 v
x
=-U
a
, y=a/2 v
x
=-U
b
. Thay kí hiệu
chiều cao khe hở a bằng h [h=f(x,z)] và đổi biến y=y-h/2, từ phơng trình trên thu đợc phơng trình
a
ba
2
x
Uy
h
UU

)hyy(
x2
p
v





.
Tơng tự nh vậy, đối với phơng z ta cũng có
a
ba
2
z
Uy
h
WW
)hyy(
z2
p
v





,
trong đó W
a

và W
b
là vận tốc của hai mặt theo phơng z, chiều dơng ngợc trục z. Trong đó phơng y trùng với
chiều cao h.
Thay các phơng tình trên vào phơng trình liên tục dành cho trờng hợp tổng quát nhất: chất lỏng nén
đợc, chuyển động không ổn định và giả sử hai mặt tiến lại nhau với vận tố V
0
:


34
0
z
v
y
v
x
v
t
z
y
x

,
hay
0dy
z
v
dy
y
v
dy
x
v
dy
t
z
y
x

.
Thực hiện tích phân biểu thức này từ 0 đến h, coi áp suất và mật độ không thay đổi theo phơng vuông góc
dòng chảy (phơng y). Có
0dy
z
v
dy
y
v
dy
x
v
dy
t
h
0
z
h
0
y
h
0
x
h
0

,
hay
0
z
)h(
2
WW
)h
z
p
12
(
z
V
x
)h(
2
UU
)h
x

p
12
(
x
h
t
ba
3
0
ba
3

.
Trong trờng hợp chuyển động phẳng, tức là vận tốc theo phơng z bằng không và chất lỏng không nén
đợc, phơng trình trên có dạng đơn giản hơn

0ba
3
V12
x
h
UU6)
x
ph
(
x








.
Giả sử tại x=x

0
là điểm bắt đầu vùng làm việc, tại đó h=h
0
và giả thiết
0
x
p
0
xx










(giả thiết này vẫn
đợc dùng trong Bôi trơn Thuỷ lực), ta lấy tích phân xác định từ x
0
đến x, tại đó khe hở bằng h sẽ thu đợc

)xx(V12)hh(UU6
x
ph
000ba
3

,
hay

3
00
3
0ba
h
)xx(V12
h
)hh(UU6
x
p






.
Phơng trình này là phơng trình cơ bản trong Bôi trơn thuỷ lực do Reynolds thành lập. Nếu thay độ nhớt
bàng hàm phụ thuộc áp suất (1.16) sẽ đợc

3
00
)pp(
0

3
0ba
)pp(
0
h
)xx(Ve12
h
)hh(UUe6
x
p
00







.
Đối với ổ đỡ trợt, ta sẽ thiết lập đợc quan hệ phụ thuộc của h vào x (x là toạ độ dài của cung tròn, tính từ
chỗ bắt đầu hình thành màng dầu) nếu biết độ lệch tâm của trục cũng nh kích thớc của trục và ổ. Thay vào và
giải phơng trình trên sẽ đợc biểu đồ phân bố áp suất trong vùng làm việc và tính đợc lực nâng của màng dầu.
Tuy nhiên, cho đến nay việc giải bài toán này bằng giải tích vẫn cha đợc giải quyết triệt để vì còn nhiều yếu tố
ảnh hởng làm cho bài toán trở thành rất phức tạp về toán học. Có thể nêu một vài yếu tố ảnh hởng nh: vấn đề
truyền nhiệt, biến dạng của ổ, hình dạng kích thớc chính xác ban đầu của ổ và ngõng trục, dao động ngang v.v.
1.5.4. Các trờng hợp chảy tầng đặc biệt
Kèm theo trao đổi nhiệt. Trong các trờng hợp chảy tầng xét ở trên không kể đến sự thay đổi nhiệt độ
và, do đó, sự thay đổi độ nhớt của chất lỏng trong phạm vi thiết diện cũng nh dọc theo dòng chảy, tức là giả
thiết nhiệt độ là hằng số ở tất cả các điểm trong dòng chảy. Dòng chảy nh vậy gọi là dòng đẳng nhiệt.
Nếu chất lỏng chuyển động trong đờng ống có nhiệt độ lớn hơn nhiệt độ xung quanh đáng kể thì quá

trình chảy sẽ kèm theo quá trình trao nhiệt cho môi trờng qua thành ống và, dĩ nhiên, quá trình làm lạnh chất
lỏng. Khi nhiệt độ chất lỏng nhỏ hơn môi trờng nhiều sẽ xảy ra qua trình hâm nóng chất lỏng.
Trong cả hai trờng hợp kể trên, nhiệt độ và độ nhớt chất lỏng không giữ nguyên, dòng chảy không phải là
dòng đẳng nhiệt. Do đó các công thức (1.60) và (1.61), thu đợc với giả thiết độ nhớt không đổi trên thiết diện,
khi dùng cho dòng chảy có trao đổi nhiệt đáng kể cần phải hiệu chỉnh.
Khi chảy kèm theo làm lạnh, các lớp kề thành ống có nhiệt độ thấp hơn, còn độ nhớt lớn hơn so với phần
cơ bản ở bên trong dòng. Do đó xảy ra sự hãm các lớp gần thành mạnh hơn và gradien tốc độ gần thành giảm.


35
Khi đợc hâm nóng, lớp chất lỏng gần thành có nhiệt độ lớn hơn và độ nhớt nhỏ hơn, do đó gradien tốc độ lớn
hơn. Nh vậy, do trao đổi nhiệt qua thành của chất lỏng với môi trờng xung quanh mà qui luật phân bố tốc độ
paraboll xét ở trên bị phá vỡ.
Trên hình 1.17 biểu diễn các đồ thị so sánh phân bố tốc độ khi chảy đẳng
nhiệt (1), đợc làm lạnh (2) và hâm nóng (4) với điều kiện lu lợng nh nhau và
độ nhớt ở phần nhân gần nh nhau. Từ đồ thị thấy, làm lạnh chất lỏng kéo theo sự
tăng độ không đều của dòng (>2), còn ham nóng- làm giảm độ không đều của
dòng (<2) so với phân bố tốc độ paraboll thông thờng (=2).
Thay đổi profin tốc độ ở dòng không đẳng nhiệt dẫn đến thay đổi qui luật
sức cản. ở chế độ chảy tầng của chất lỏng nhớt trong ống kem theo toả nhiệt (làm
lạnh) sức cản lớn hơn, còn thu nhiệt (hâm nóng)- nhỏ hơn so với trờng hợp đẳng
nhiệt.
Vì lí do trên việc giải bài toán về chảy của chất lỏng có trao đổi nhiệt rất phức tạp do phải tính đến thay
đổi nhiệt và độ nhớt chất lỏng trên thiết diện ngang và dọc ống, còn phải xét các dòng nhiệt ở các thiết diện khác
nhau. Trong trờng hợp này, có thể sử dụng công thức gần đúng để tính hệ số do viện sĩ M.A. Mikhêev:
3
l
w
Re
64

,
trong đó Re- số Reynolds tính theo độ nhớt trung bình của chất lỏng;
w
- độ nhớt chất lỏng ứng với nhiệt độ
trung bình của thành;
l
- độ nhớt trung bình của chất lỏng.
Chảy khi có chênh áp lớn. Thí nghiệm cho thấy ở chảy tầng trong ống hoặc khe hẹp do tác dụng của
chênh áp lớn (gần vài trăm megapascal) thì giảm cột áp dọc theo dòng (gọi là độ dốc thuỷ lực) trở thành không
tuyến tính một cách đáng kể, tức là đờng áp suất dọc theo dòng tiết diện không đổi bị cong rõ rệt, còn qui luật
Poazel cho sai số lớn. Điều này đợc giải thích là ở chế độ bất kì, tổn thất năng lợng của đơn vị lu lợng chất
lỏng luôn tăng tỉ lệ với độ sụt áp, nó làm nóng chất lỏng khi độ sụt áp lớn và giảm độ nhớt của chúng.
Mặt khác, độ nhớt của chất lỏng tăng khi áp suất tăng, ở đầu dòng độ nhớt sẽ lớn, dọc theo dòng nó sẽ
giảm do áp suất giảm. Nh vậy, độ nhớt thay đổi dọc theo dòng, kết quả tác dụng đồng thời của nhiệt độ và áp
suất, gradien áp suất dọc theo dòng dp/dx, do ma sát quyết định, ở đầu dòng chảy sẽ lớn hơn còn ở cuối dòng sẽ
nhỏ hơn so với qui luật Poazel.
Về lu lợng, tăng nhiệt độ làm giảm độ nhớt nên có khả năng tăng lu lợng, còn tăng áp suất làm tăng
độ nhớt và giảm lu lợng so với qui luật Poazel khi cùng độ sụt áp, tức là ảnh hởng của hai yếu tố này đến lu
lợng trái ngợc nhau.
Dạng chảy tầng đợc mô tả này thờng đặc biệt hay gặp trong các máy thuỷ lực áp lực lớn có chất lỏng
nhớt chảy qua các khe hở nhỏ dới tác dụng của chênh áp suất lớn.
Ta xét bài toán về chảy tầng qua khe hở a, dài l và chiều rộng b có kể đến ảnh hởng của áp suất và nhiệt
độ đến độ nhớt. Trong đó giả thiết mật độ chất lỏng không phụ thuộc áp suất và nhiệt độ, tơng quan kích thớc
khe a/b0.
Để kể đồng thời ảnh hởng của áp suất và nhiệt độ đến độ nhớt ta sử dụng công thức tơng ứng với (1.15)
và (1.16)

)TT()pp(
1
11
e
. (1.66)
ở đây chỉ số 1 chỉ các đại lợng ở tiết diện đầu dòng. Các giá trị ví dụ về và đã nêu ở 1.1.3.
Sử dụng công thức (1.62) thu đợc ở 1.5.3, nhng không phải cho chiều dài hữu hạn l mà là phân tố dl=dx.
Từ công thức này rút ra lu lợng


12
ba
dx
dp
Q
3
(1.67)
(dấu âm đa thêm vào do khi x tăng thì p giảm).
Công thức này khác (1.62) ở chỗ dp/dx và ở đây là các biến thay đổi theo x. Trong đó Q=const (chất lỏng
tuyệt đối không nén đợc) nên biến nọ tỉ lệ với biến kia.
Viết phơng trình cân bằng năng lợng, tức là bằng nhau giữa tổn thất năng lợng do ma sát, chuyển thành
nhiệt, và gia tăng nhiệt năng của chất lỏng trong một đơn vị thời gian:
Qc(T-T
1
)=k(p
1
-p)Q, (1.68)
Hình 1.17. Phân bố tốc
độ khi đẳng nhiệt (1) và

không đẳng nhiệt.


36
trong đó c- nhiệt dung riêng của chất lỏng; k- hệ số nói lên phần công của lực cản nhớt có tác dụng làm nóng
chất lỏng (phần còn lại truyền cho thành); p- áp suất ở cuối dòng. * ở đây chỉ xét trờng hợp nhiệt độ thay đổi
do cản nhớt, tức là ở đầu dòng nhiệt độ chất lỏng và môi trờng xung quanh bằng nhau.
Khi k=1 nghĩa là không có sự trao nhiệt nào cho thành, tất cả tổn thất áp suất do nhớt chuyển thành nhiệt
làm nóng chất lỏng. Khi k=0 nghĩa là quá trình truyền nhiệt cho thành quá mạnh và nhiệt độ chất lỏng không
đổi (đẳng nhiệt).
Từ (1.68) có
T-T
1
=k(p
1
-p)/(c).
Thay vào (1.66) đợc
)
c
k
)(pp(
1
1
e




.
Sử dụng quan hệ thu đợc giữa và p để tích phân phơng trình (1.67). Sau tách các biến, từ (1.67) có

dp
dx
ba
Q12
3
hay














dpex
ba
Q12
c
k
)pp(
3
1

1
.
Tiến hành tích phân, thu đợc
Ce
c
k
1
ba
xQ12
c
k
)pp(
3
1
1

.
Hằng số tích phân C tim đợc từ điều kiện ở tiết diện bắt đầu dòng, khi x=0 p=p
1
. Do đó
)c/(k
1
C


.
Giả sử ở tiết diện cuối dòng khi x=l thì p=p
d
=0. Kết quả thu đợc

1e
)c/(k
1
l12
ba
Q
c
k
p
1
3
1
. (1.69)
Trong công thức (1.69)
1
là độ nhớt ở tiết diện đầu dòng chảy, tức là khi p=p
1
và T=T
0
; nó cũng có thể biểu
diễn đợc theo
0
- độ nhớt khi p=p

d
=0 theo (1.16), tức là
1
p
01
e


.
Đối với chảy đẳng nhiệt trong công thức (1.69) cần thay k=0, khi đó (1.69) trở thành





1
p
0
3
e1
l12
ba
Q
. (1.70)
Ta tìm đợc lu lợng tơng đối
Q
bằng tỉ số lu lợng khi độ nhớt thay đổi và khi =
0
=const, tức là
chia (1.69) cho

)l12/(bapQ
0
3
10

và thu đợc























1e

)]c/(k[p
e
Q
Q
Q
c
k
p
1
p
0
1
1
. (1.71)
Trên hình 1.18 giới thiệu sự phụ thuộc
Q
voà p
1
theo công thức (1.71) cho ba chất lỏng: dầu hoả (1), dầu
máy biến thế (2) và dầu thuỷ lực AM-10 (3) trong hai trờng hợp k=1 (không trao nhiệt) và k=0 (chảy đẳn
nhiệt). Các đờng cong ứng với hai thái cực lệch nhau khá rõ rệt. Các quá trình thực tế diễn ra trong phạm vi
giới hạn của các đờng này. Do vậy, khi chênh áp lớn tới mức độ làm cho tốc độ chất lỏng qua khe rất lớn và
thời gian các phần tử lỏng trong khe không đáng kể thì lấy k=1, tức là vai trò truyền nhiệt không đáng kể. Điều
này đợc khẳng định bằng các thí nghiẹm của IU. A. Xôlini về dòng chảy không đẳng nhiệt. Tuy nhiên các
nghiên cứu này cũng cho thấy, khi tăng độ dài tơng đối của khe và số Prantl, Pr=/a=/(/c
p
)=c
p
/ (- hệ số

37
dẫn nhiệt, c
p
- nhiệtdung riêng, a- độ dẫn nhiệt độ đặc trng cho quán tính nhiệt độ), và khi giảm số Re thì vai trò
của trao đổi nhiệt tăng, và quá trình chảy tiến gần tới quá trình đẳng nhiệt.
Lí thuyết đã trình bày cho phép tính đợc phụ thuộc của p/p
1
vào x/l và xây dựng các đờng cong này, tức
là biểu đồ áp suất tơng đối dọc theo dòng chảy (hình 1.19). Từ đồ thị thấy, áp suất p
1
càng cao, các đờng áp
suất không thứ nguyên càng khác đờng thẳng là đờng ứng với qui luật Poazel.
Đ1.6. Chảy rối
1.6.1. Khái quát
Nh đã giới thiệu ở 1.4.2, đặc điểm của chảy rối là có xáo trộn chất lỏng, xung tốc độ và
áp suất. Phân bố tốc độ (trung bình theo thời gian) trên mặt cắt ngang dòng chảy rối khác xa so
với các đặc điểm của chảy tầng. Nếu so sánh các đờng cong phân bố tốc độ trong các dòng
chảy rối và tầng trong cung một ống ở cùng lu lợng (tốc độ trung bình nh nhau) thì thấy có
sự khác biệt rõ ràng (hình 1.20). Phân bố tốc độ khi chảy tầng đều hơn, sự tăng tốc độ cạnh
thành dốc hơn so với ở chảy tầng.
Vì lí do trên mà hệ số koriolis - kể đến độ không đều của dòng trong phơng trình
Becnuli khi chảy tầng nhỏ hơn đáng kể so với khi chảy rối. Khác với chảy tầng, trong đó =2
không phụ thuộc Re, ở đây là hàm của số Re và giảm từ 1,13 khi Re=Re
th
cho đến 1,025 khi
Re=3.10
6
. Từ đồ thị có thể thấy khi tăng Re thì tiến gần đến 1, do đó trong phần lớn các
trờng hợp chảy tầng đợc lấy bằng 1.

Vì trong chảy rối không có sự phân lớp của dòng chảy nên qui luật ma sát Niutơn trong
trờng hợp này chỉ thể hiện một phần nhỏ ứng suất tiếp toàn phần. Do có xáo trộn và thay đổi
động lợng theo phơng ngang ứng suất tiếp trên thành ống
0
lớn hơn đáng kể so với chảy
tầng khi cùng trị số Re và áp suất động v
2
/2 tính theo vận tốc trung bình của dòng.
Hình 1.18. Sự phụ thuộc lu
lợng tơng đối vào áp suất.
Hình 1.19. Thay đổi áp suất dọc theo
dòng kể đến thay đổi độ nhớt.
Hình 1.20. Profin tốc độ khi chảy tầng
và rối.
Hình 1.21. Sự phụ thuộc của vào lgRe.


38
Tổn thất năng lợng ở chảy rối trong cùng ống sẽ khác chảy tầng. Trong dòng chảy rối khi
Re>Re
th
tổn thất năng lợng đờng dài lớn hơn đáng kể so với chảy tầng ở ống cùng kích
thớc, lu lợng và độ nhớt, và dĩ nhiên cùng Re (lúc đó chảy tầng không ổn định).
Nếu ở chảy tầng, tổn thất cột áp cho ma sát tăng tỉ lệ với tốc độ (lu lợng) theo bậc nhất,
khi chuyển sang chảy rối sẽ có nhảy bậc và sau đó tăng theo tốc độ lớn hơn, gần tỉ lệ theo bậc
hai (hình 1.22).
Do tính phức tạp của chảy rối và khó nghiên cứu bằng giải
tích cho đến nay vẫn cha có lí thuyết đủ chặt chẽ và chính xác
cho chảy rối. Hiện tồn tại các lí thuyết thực nghiệm gần đúng, ví
dụ của Prantl và một số khác không xét ở đây.

Trong phần lớn các trờng hợp tính toán thực tế sử dụng các
số liệu thực nghiệm đợc hệ thống hoá trên cơ sở lí thuyết đồng
dạng thuỷ lực.
Công thức tính toán cơ bản tổn thất cột áp khi chảy rối trong
ống tròn đã đợc nêu (1.41):
g2
v
d
l
h
2
tms

,
trong đó
t
-hệ số tổn thất ma sát khi chảy rối hay còn gọi là hệ số Darxi.
Công thức cơ bản này sử dụng khi chảy rối cũng nh khi chảy tầng, sử khác nhau chỉ ở
chỗ . Vì khi chảy rối tổn thất cột áp gần nh tỉ lệ với tốc độ (lu lợng) theo bậc hai nên trong
tính toán gần đúng đối với ống đã cho có thể coi hệ số tổn thất là không đổi.
Tuy vậy, theo qui luật đồng dạng thuỷ lực thì hệ số
t
ở chảy rối, cũng nh
l
chảy tầng,
phải là hàm của chuẩn đồng dạng cơ bản của dòng áp lực- số Re, nó cũng có thể phụ thuộc yếu
tố hình học không thứ nguyên- độ nhám tơng đối của bề mặt trong ống, tức là
t
=f(Re,/d),
trong đó là độ cao nhấp nhô trung bình, d- dờng kính trong ống.

Khi độ nhám không ảnh hởng tới sức cản (đến
t
), ống đợc gọi là nhẵn thuỷ lực. Đối
với trờng hợp này
t
chỉ là hàm của Re. Tồn tại một loạt các công thức thực nghiêm và nửa
thực nhiệm biểu diễn hàm này cho chảy rối trong ống nhẵn thuỷ lực; một trong số công thức
tiện và hay sử dụng nhất là công thức P. K. Konakov

t
=1/(1,8lgRe-1,5)
2
, (1.72)
sử dụng khi Re từ Re
th
cho tới vài triệu.
Khi 2300<Re<10
5
cũng có thể sử dụng công thức Blaziyx
4
t
Re/316,0
. (1.73)
Từ đây có thể thấy khi Re tăng hệ số
t
giảm, tuy
vậy mức độ không đáng kể so với khi chảy tầng (hình
1.23). Sự khác nhau này trong qui luật thay đổi của là
do sự ảnh hởng của độ nhớt đến sức cản trong chảy rối
nhỏ hơn so với chảy tầng. Nếu ở chảy tầng tổn thất cột áp

do ma sát tỉ lệ thuận với độ nhớt, còn ở chảy rối, theo các
công thức trên chúng tỉ lệ với bậc 1/4 của độ nhớt. Vai
trò chính tạo ra tổn thất năng lợng khi chảy rối là xáo
trộn và tiêu tán động năng của các phần tử chuyển động
xoáy.
Có thể liệt các ống kim loại kéo liền (kể cả hợp kim nhôm), các ống thép chất lợng cao
không mối hàn vào nhóm ống nhẵn thuỷ lực mà không gây sai số lớn. Nh vậy, các ống dùng
Hình 1.22. Sự phụ thuộc
của h
fr
vào vận tốc và lu
lợng.
Hình 1.23. Phụ thuộc của
t
và
l
vào
Re.


39
dẫn nhiên liệu và trong hệ thống thuỷ lực, trong các điều kiện bình thờng, đều có thể coi là ống
nhẵn thuỷ lực và có thể dùng các công thức (1.72) và (1.73).
Vấn đề sức cản trong các ống nhám sẽ xét ở mục sau.
Các thí nghiêm của một loạt các nhà nghiên cứu (I. I. Nhikuradze, G. G. Gurgienko,
Reikhadt v.v.) cho thấy rằng, ở chảy rối thờng có lớp chảy tầng ngay sát thành ống. Đây là lớp
chất lỏng rất mỏng, chuyển động trong đó không có xáo trộn và theo lớp. Trong phạm vi này,
tốc độ tăng dốc từ không ở tên thành tới giá trị v
l
trên danh giới của lớp. Chiều dày lớp chảy

tầng
l
cực nhỏ, trong đó số Re tính theo chiều dày
l
, tốc độ v
l
và độ nhớt động là đạI lợng
không đổi, tức là
v
l

l
/=const.
Đại lợng này theo lí thuyết đồng dạng thuỷ lực có giá trị không đổi bao quát cũng nh
Re
th
đối với dòng trong ống. Do đó khi tốc độ của dòng tăng, số Re tăng và v
l
cũng tăng còn
chiều dày lớp biên sẽ giảm.
1.6.2. Chảy rối trong ống nhám và ống không tròn
Nếu đối với ống nhẵn thuỷ lực hệ số tổn thất ma sát hoàn toàn có thể xác định theo số Re
thì đối với ống nhám
t
còn phụ thuộc vào độ nhám bề mặt ống. Trong đó quan trọng không
phải là kích thớc tuyệt đối của các nhấp nhô mà là tỉ lệ so với bán kính (hoặc đờng kính)
ống, tức là độ nhám tơng đối /d. Cũng một độ nhám tuyệt đối mà có thể hoàn toàn không
ảnh đến sức cản trong các ống đờng kính lớn nhng lại có khả năng tăng đáng kể sức cản ống
đờng kính nhỏ. Ngoài ra đặc điểm của nhấp nhô cũng ảnh hởng tới sức cản.
Nh vậy, hệ số

t
phụ thuộc vào Re cũng nh /d (hoặc /r
0
):

t
=f(Re,/d).
Tính chất ảnh hởng của hai thông số này đến sức cản ống thể hiện rõ trên đồ thị- kết quả
nghiên cứu thí nghiệm của I. I. Nhikuradze.
I. I. Nhikuradze thử sức cản một loạt ống có độ nhám nhân tạo trên bề mặt trong ống. Độ
nhám tạo bằng cách dính cát có kích thớc xác định nhờ sàng qua lới đặc biệt. Bằng cách này
thu đợc độ nhám nhỏ phân bố đều. Thí nghiệm tiến hành trong phạm vi rộng độ nhám tơng
đối (/r
0
=1/5001/15) và số Re=50010
6
. Các kết quả đợc giới thiệu ở hình 1.24, trên đó là
các đờng phụ thuộc của lg(1000) vào lg(Re) cho một loạt giá trị /r
0
.
Các đờng thẳng đi xuống A và B tơng
ứng với qui luật sức cản ống nhẵn, tức lag theo
công thức (1.56) và (1.73). Các đờng nét đứt là
của các ống có độ nhám tơng đối /r
0
khác
nhau. Từ đồ thị có thể rút ra một số kết luận
sau.
1. Khi chảy tầng độ nhám không ảnh
hởng tới sức cản; các đờng nét đứt ứng với độ

nhám khác nhau thực tế trùng với đờng thẳng
A.
2. Số Re
th
thực tế không phụ thuộc độ
nhám. Các đờng nét đứt tách khỏi đờng A
gần nh tại cùng một giá trị Re
th
.
3. Trong vùng chảy rối nhng khi Re và
Hình 1.24. Quan hệ của lg(1000) vào
lgRe và độ nhám nhân tạo.


40
/r
0
nhỏ, độ nhám không ảnh hởng tới sức cản; các đờng nét đứt trên một doạn nào đó trung
với đờng thẳng B. Nhng khi số Re tăng thì ảnh hởng của bắt đầu thể hiện, các đờng cong
cho các ống nhám tách khỏi đờng B là đờng ứng với qui luật sức cản ống nhẵn.
4. Khi số Re lớn và độ nhám tơng đối lớn hệ số
t
ngừng phụ thuộc vào Re và trở thành
không đổi đối với độ nhám tơng đối đã cho. Nó tơng ứng với các đoạn của các đờng nét đứt
sau khi đi lên rồi trở thành gần song song với trục hoành.
Nh vậy, đối với các đờng nét đứt, ứng với các ống nhám khi chảy rối, có thể nhận thấy
ba vùng giá trị của Re và /r
0
khác nhau về đặc điểm thay đổi hệ số
t

.
Vùng thứ nhất- vùng các trị Re và /r
0
nhỏ, ở đó
t
không phụ thuộc độ nhám mà đợc
xác định chỉ bằng Re; đây là vùng của các ống nhẵn thuỷ lực. Các ống có giá trị độ nhám lớn
nhất trong thí nghiệm của I. I. Nhikuradze nằm trong vùng này.
Trong vùng thứ hai hệ số
t
phụ thuộc vào hai thông số- số Re và độ nhám tơng đối.
Vùng thứ ba- vùng các giá trị Re và /r
0
, trong đó
t
không phụ thuộc Re và đợc xác
định chỉ bằng độ nhám tơng đối. Vùng này đợc gọi là vùng tự đồng dạng hay là chế độ sức
cản bậc hai vì hệ số
t
không phụ thuộc Re có nghĩa là tổn thất cột áp tỉ lệ với bình phơng của
tốc độ.
Để làm rõ hơn những đặc điểm này của sức cản ống nhám cần phải để tính đến sự tồn tại
của lớp biên.
Nh đã nói ở trên, khi tăng số Re chiều dày lớp chảy tầng
l
giảm, cho nên đối với dòng
chảy rối khi Re nhỏ chiều dày lớp chảy tầng lớn hơn độ cao các nhấp nhô, các nhấp nhô nằm
trong lớp chảy tầng, dòng chất lỏng qua các mấp mô đều đặn (không bị đứt quãng) nên chúng
không ảnh hởng tới sức cản. Chiều dày
l

giản khi Re tăng và các mấp mô vợt ra danh giới
lớp biên và gây ảnh hởng tới sức cản. Khi Re lớn chiều dày lớp chảy tầng hết sức nhỏ, dòng
chảy rối qua các gò mấp mô kèm theo tạo xoáy sau mỗi gò; điều này giải thích qui luật sức cản
bậc hai đặc trng cho vùng này.
Đồ thị I. I. Nhikuradze cho phép xác
định gần đúng phụ thuộc của độ nhám
cho phép vào số Re, tức là giá trị Re lớn
nhất mà độ nhám không ảnh hởng tới
sức cản. Để nh vậy phải lấy các điểm
trên đồ thị, ở đó các đờng cho các ống
nhám bắt đầu tách khỏi đờng B của ống
nhẵn. Rõ ràng, khi tăng số Re thì độ
nhám cho phép giảm.
Các thí nghiệm của I. I. Nhikuradze
tiến hành cho các ống đợc làm nhám
nhân tạo có độ nhám nhỏ đều và phân bố
đều. Đối với các ống thực tế qui luật thay
đổi của
t
vào Re có khác ít nhiều, trong
đó không có đoạn đi lên sau khi tách khỏi
đờng dành cho ống nhẵn B.
Hình 1.25 đa ra kết quả thí nghiệm
do G.A. Murini thực hiện ở viện kĩ thuật
nhiệt toàn liên bang (Liên xô cũ). Đó là
các đồ thị hệ số
t
của các ống nhám tự
nhiên phụ thuộc vào Re ứng với
Hình 1.25. Sự phụ thuộc của

t
vào Re đối với các ống nhám tự
nhiên.


41
các trị số khác nhau của d/
e
, trong đó
e
- độ nhám tuyệt đối tơng đơng về sức cản so với
ống nhám đều trong thí nghiệm của Nhikuradze.
Khác nhau về đặc điểm các đờng trong hình 1.24 và 1.25 đợc giải thích là trong ống
nhám tự nhiên các mấp mô có độ cao khác nhau, khi số Re tăng thì các mố nhô ra khỏi lớp
chảy tầng không dồng thời và ở các Re khác nhau. Do vậy sự chuyển tiếp từ đờng ứng với sức
cản ống nhẵn sang đờng thẳng nằm ngang ứng với qui luật bình phơng tốc độ của ống tự
nhiên trơn tru hơn, không có đoạn hõm xuống đặc trng của đồ thị Nhikuradze.
Đối với tính toán thực tế sức cản các ống nhám thực có thể sử dụng công thức chung của
A. D. Altshul:

t
=0,11(
e
/d+68/Re)
1/4
, (1.74)
trong đó
e
- độ nhám tuyệt đối tơng đơng; d- đờng kính ống.
Trị số của

e
(mm) đối với các ống vật liệu khác nhau nêu ở dới đây.
Thuỷ tinh0
Các ống kéo bằng đồng thau, đồng thanh, chì.0- 0,002
ống thépkhông hàn chất lợng cao. . 0,06- 0,2
ống thép. 0,1- 0,5
Gang tráng asphal.0,1- 0,2
ống gang 0,2-1,0
Khi Re<20d/
e
công thức (1.74) chuyển thành công thức (1.73) ở trên cho ống nhẵn của
Blaziux, cong khi Re>500d/
e
thành công thức cho ống nhám hoàn toàn, có nghĩa là chế độ
sức cản bình phơng (tự đồng dạng):

t
=0,11(
e
/d)
1/4
. (1.75)
Nh vậy bằng cách so sánh giá trị tỉ số d/
e
với Re có thể xác định đợc danh giới các chế
độ dòng chảy rối trong các ống nhám.
Trong thực tế tính toán thờng gặp vấn đề dòng chảy rối trong các ống không tròn, ví dụ
nh trong các thiết bị trao nhiệt, đờng nớc làm mát trong động cơ điezel. Xét tổn thất ma sát
khi chảy rối trong ống có tiết diện ngang dạng bất kì. Lực ma sát tổng tác dụng lên bề mặt
ngoài của dòng dài l bằng

T=

l

0
,
trong đó - chu vi thiết diện;
0
- ứng suất tiếp trên thành phụ thuộc chủ yếu vào áp suất động lực, tức là
vận tốc trung bình và mật độ chất lỏng.
Nh vậy, ở diện tích thiết diện S và lu lợng đã cho thì lực ma sát ở tốc độ trung bình đã
cho tỉ lệ với chu vi mặt cắt. Cho nên để giảm lực ma sát và tổn thất năng lợng do ma sát cần
phải giảm chu vi mặt cắt. Hình tròn có chu vi nhỏ nhất khi cùng diện tích thiết diện, nó có lợi
nhất về mặt giảm tổn thất năng lợng do ma sát.
Để đánh giá định lợng ảnh hởng của hình dáng thiết diện đến tổn thất cột áp trong dòng
chảy rối, cũng nh đối với chảy tầng, ngời ta đa vào đại lợng bán kính hay đờng kính thuỷ
lực. Có thể dùng công thức suy rộng Veisbakh- Darxi, trong đó khác chảy tầng là hệ số hiệu
chỉnh k lấy bằng một đơn vị. Nh vậy, đối với thiết diện bất kì
g2
v
D
l
g2
v
R4
l
h
2
h
t

2
h
tfr

, (1.76)
trong đó
t
tính bằng các công thức từ (1.72)- (1.75), nhng Re tính theo D
h
: Re=D
h
v/.
1.6.3. Ví dụ về phơng pháp phân tích thứ nguyên
Các công thức Veisbakh- Darxi và Veisbakh và vài quan hệ thuỷ lực khác có thể thu đợc bằng phơng
pháp phân tích thứ nguyên. Cơ sở của phơng pháp này xuất phát từ định lí Pi, hay còn gọi là định lí Beckinham,


42
nội dung chính nh sau: hàm phụ thuộc của n đại lợng vật lí có thứ nguyên luôn có thể chuyển thành phơng
trình của m đại lợng không thứ nguyên là phối hợp của các đại lợng vật lí ấy (đợc gọi là các số ), trong đó m
luôn nhỏ hơn n. Chênh lệch n-m=z là số các đơn vị đầu tiên (cơ bản), ví dụ trong cơ và cơ thuỷ lực- là các đơn vị
chiều dài, thời gian và khối lợng, tức là z=3, còn trong nhiệt kĩ thuật có thêm đơn vị nhiệt độ và nh vậy z=4.
Ví dụ, trong các mục trớc thấy phơng trình Becnuli ở dạng thứ nguyên là quan hệ của năm biến có đơn
vị: v
1
, p
1
, v
2
, p

2
và h
fr
. Còn sau khi chuyển về dạng không thứ nguyên chỉ còn hai biến không đơn vị: số Eu và hệ
số .
Xét cách thành lập công thức Veisbakh- Darxi.
Thấy tổn thất áp suất do ma sát trong ống p
fr
=h
fr
g chịu ảnh hởng của các yếu tố: chiều dài l và đờng
kính ống d, tốc đọ trung bình v, các tính chất chất lỏng và , và độ nhám thành ống . Nh vậy hàm của đại
lợng cần quan tâm có thể viết ở dạng
p
fr
=f(l,d,v,,,).
Số các biến ở đây n=7, theo định lí Pi m=n-z=7-3=4, và thay vào hàm trên có thể viết
=(
1
,
2
,
3
),
trong đó ,
1
,
2
,
3

là các biến không đơn vị. Xác định chúng nh sau.
Trong số n biến ta chọn ba biến có đơn vị độc lập chứa ba đơn vị cơ bản (chiều dài L, thời gian T và khối
lợng M), ví dụ chọn d, v và

, đơn vị của chúng trong hệ LTM nh sau:
[d]=L; [v]=LT
-1
; []=ML
-3
.
Biểu diễn các số ,
1
,
2
,
3
bằng cách chia bốn biến còn lại cho ba biến đã chọn với các số mũ khác nhau
x, y, z (kèm theo các chỉ số tơng ứng), cụ thể là: p
fr
, l, và , chúng có các thứ nguyên sau:
[p
fr
]=M/(LT
2
); [l]=L; []=M/(LT); []=L.
Nh vậy sẽ có
zyx
fr
vd
p

;
111
zyx
1
vd
l


;
222
zyx
2
vd


và
333
zyx
3
vd


.
Ta sẽ tính đợc 12 số mũ trên từ điều kiện đảm bảo cho các số không có đơn vị, tức là bằng so sánh các
thứ nguyên theo L, T và M trong tất cả các biểu thức trên, cụ thể là:
các số mũ của L:
-1=x+y-3z; 1=x
1

+y
1
-3z
1
; -1=x
2
+y
2
-3z
2
; 1=x
3
+y
3
-3z
3
;
các số mũ của T:
-2=-y; 0=-y
1
; -1=-y
2
; 0=-y
3
;
các số của M:
1=z; 0=z
1
; 1=z
2

; 0=z
3
.
Giải 12 phơng trình trên thu đợc:
x=0; y=2; z=1;
x
1
=1; y
1
=0; z
1
=0;
x
2
=1; y
2
=1; z
2
=1;
x
3
=1; y
3
=0; z
3
=0.
Nh vậy, thay cho phơng trình có thứ nguyên ban đầu, có thể viết
)
d
,

dv
,
d
l
(
v
p
2
fr





,
hay, nếu tính đến sự tỉ lệ thuận giữa tổn thất ma sát với l/d và chú ý đến biểu thức tính số Re, có thể biến đổi
thành
)
d
(Re,
g2
v
d
l
g
p
h
1
2
fr

fr




.
Kí hiệu hàm
1
bằng
t
ta thu đợc
g2
v
d
l
h
2
tfr

,
trong đó h
fr
=f(Re,/d).
Nh vậy, chúng ta thu đợc công thức Veisbakh- Darxi và biết rằng hệ số Darxi
t
phụ thuộc vào những
yếu tố nào.


43

1.6.4. Tính toán chuyển động của khí trong ống
Trong chuyển động ổn định của khí nhớt trong ống có thiết diện không đổi, do lu lợng khối không đổi
nên
Q
m
/S=v
1

1
=v
2

2
=v=const (dọc theo ống). (1.77)
Vì chuyển động luôn kèm theo ma sát, áp suất khí sẽ giảm dọc theo ống, khí giãn nở và mật độ giảm, tốc
độ khí theo phơng trình (1.77) sẽ tăng.
Khi hoàn toàn không có trao đổi nhiệt với môi trờng ngoài, quá trình giãn nở khi chuyển động của khí sẽ
là đoạn nhiệt, còn khi có sự trao đổi nhiệt mạnh nhiệt độ khí giữ không thay đổi (ở đây có nghĩa là quá trình đã
đạt trạng thái cân bằng), tức là diễn ra quá trình đẳng nhiệt. Đờng ống càng ngắn, thời gian đi qua của các phần
tử khí càng giảm, quá trình càng gần đoạn nhiệt. Ngợc lại, chiều dài tơng đối của đờng ống càng lớn, quá
trình càng gần với đẳng nhiệt. ở đây ta sẽ giả thiết đờng ống nh vậy và xét trờng hợp này.
Ta biểu diễn số Reinolds cho dòng khí thông qua lu lợng khối lợng và độ nhớt động lực của nó:
Re=vd/=4Q
m
/(d).
Từ đây có thể thấy, số Re có thể thay đổi dọc theo dòng trong ống có đờng kính không đổi chỉ do thay
đổi độ nhớt . Nhng độ nhớt của khí không phụ thuộc áp suất mà đợc xác định bởi nhiệt độ, cho nên ở quá
trình chuyển động đẳng nhiệt của khí trong ống số Re sẽ không thay đổi dọc theo dòng. Do đó hệ số tổn thất ma
sát theo chiều dài giữ nguyên dọc theo ống bất kể vận tốc dòng khí tăng.
Ta tách một phân tố ống bằng hai tiết diện cách nhau một quãng vô

cuàng bé dx (hình 1.26). Bỏ qua sự phân bố không đều của vận tốc trên thiết
diện, kí hiệu vận tốc ở thiết diện trái là v, bên phải là v+dv, áp suất tơng
ứng là p và p+dp.
áp dụng định lí cơ học về thay đổi động lợng đối với thể tích phân
tố. Gia số của động lợng trong một đơn vị thời gian theo hớng chuyển
động của dòng
Q
m
dv=Svdv,
trong đó S=d
2
/4.
Sự gia tăng này là nhờ xung lợng các ngoại lực: áp suất và ma sát trên một đơn vị thời. Xung lợng giây
của các lực
dR=[p-(p+dp)]d
2
/4-
0
d.dx=-d
2
dp/4-
0
d.dx,
trong đó
0
- ứng suất tiếp trên thành ống.
Cân bằng xung lợng giây và gia số động lợng giây, thu đợc
vdv
4
d

dxdp
4
d
0

hay
0dx.
d
4
)
2
v
(ddp
0
2



.
Sử dụng công thức
2/v
4
2
0



, biểu thức trên có thể viết thành
0
2

v
d
dx
)
2
v
(d
dp
22


.
Nhân phơng trình này với
2
, sẽ có
0
2
)v(
d
dx
)
2
v
(ddp
22
2



. (1.78)

Vì theo công thức (1.77) nên có (v)
2
=const, suy ra

2
d(v
2
)=-v
2
d(
2
),
và có thể chuyển (1.78) thành
2
)v(
d
dx)(d
2
)v(
dp
2
2
22





.
Sử dụng phơng trình trạng thái =p/(RT), từ phơng trình cuối cùng thu đợc

2
)v(
d
dx
p
)p(d
2
)v(
RT
pdp
2
2
22




.
Hình 1.26. Sơ đồ tính ống
dẫn khí.


44
Vì theo điều kiện T=const nên có thể tích phân dọc theo ống trong giới hạn từ p
1
đến p ứng với x=0 đến
x=l. Thu đợc
2
)v(
d

l
p
p
ln
2
)v(
RT2
pp
2
2
1
2
22
1





. (1.79)
Từ đây ta xác định đợc lu lợng khối lợng khí
RT)
p
p
ln2
d
l
(
pp
4

d
v
4
d
Q
1
22
1
22
m






. (1.80)
Trong các đờng ống dài, khi chuyển động khí nhỏ hơn vận tốc âm thanh nhiều, l/d>>2ln(p
1
/p) thì có thể
bỏ qua 2ln(p
1
/p) trong công thức (1.80) và thu đợc công thức đơn giản hơn
lRT
d)pp(
4
d
Q
22
1

2
m




. (1.81)
Hệ số trong các công thức trên xác định, cũng nh đối với chất lỏng không nén đợc, theo số Re và độ
nhám tơng đối.
Sau đây nói thêm một số điều về chảy đẳng nhiệt của khí trong ống.
Nhờ các phơng trình (1.77), phơng trình trạng thái và đIều kiện đẳng nhiệt, loại áp suất ra khỏi (1.79) và
đa về dạng
1
22
1
v
v
ln2)
v
1
v
1
(RT
d
l
l
. (1.82)
Viết lại phơng trình thu đợc ở dạng không thứ nguyên bằng cách đa vào tỉ số vận tốc dòng trên vận tốc
âm thanh, tức là số Makhơ
kRT/va/vM

,
trong đó k- số mũ đoạn nhiệt.
* Theo (1.10) ta đã biết vận tốc lan truyền sóng áp suất (vận tốc âm thanh) c=
d/dp
, trong quá trình
lan truyền này tốc độ áp suất thay đổi nhanh nên thờng coi là quá trình đoạn nhiệt. Với quá trình đoạn nhiệt
kRTd/dp
.
Khi đó từ (1.82) thu đợc
1
22
1
M
M
ln2)
M
1
M
1
(
k
1
l
. (1.83)
Vi phân phơng trình (1.83) theo M, coi M
1
=const, thu đợc
)1
kM
1

(2
lMd
dM
2


.
Phân tích phơng trình trên dẫn đến kết luận rằng, khi M
2
<1/k vận tốc dòng trong ống hình trụ sẽ tăng (khi
0ld
thì dM>0), còn khi M
2
>1/k vận tốc giảm dọc theo ống. Nh vậy trị số M=1/
k
đối với lu động đẳn
nhiệt sẽ là giá trị tới hạn. Vợt qua giá trị này của M (đối với không khí và khí hai nguyên tử k=1,4 và
M
th
=0,845) khi vẫn duy trì chuyển động đẳng nhiệt là không thể vì chỉ cần M lệch khỏi M
th
về phía lớn hơn là
làm cho dM đổi dấu và vận tốc lại trở về vận tốc tới hạn.
Đối với lu động đoạn nhiệt trị số tới hạn của số Mach là M=1.
Đ1.7. Va đập thuỷ lực
Hiện tợng tăng áp suất đột ngột xuất hiện trong đờng ống áp lực khi đột ngột hãm dòng
thòng đợc gọi là va đập thuỷ lực. Nói chính xác hơn thì va đập thuỷ lực là quá trình dao động
xuất hiện trong ống đàn hồi chứa chất lỏng giọt khi thay đổi vận tốc của nó đột ngột. Quá trình
này diễn ra nhanh và có đặc điểm tăng giảm luân phiên áp suất mạnh. Sự thay đổi áp suất trong
quá trình này có liên quan chặt chẽ với biến dạng đàn hồi của chất lỏng và thành ống.

45
Thờng va đập thuỷ lực xuất hiện khi đóng mở nhanh các van hoặc thiết bị điều khiển
dòng. Dĩ nhiên, nó còn có thể xuất phát từ những nguyên nhân khác.
Các nghiên cứu lí thuyết và thực nghiệm đầu tiên về va đập thuỷ lực do N. E. Giucôpxki
thực hiện và công bố trong công trình Va đập thuỷ lực năm 1898.
Giả sử ở cuối ống chất lỏng đang chuyển động với vận tốc v
0
, bất ngờ van đóng (hình
1.27,a). Khi đó tốc độ các phần tử lỏng va đập vào van giảm về không, động năng chất lỏng
chuyển thành công biến dạng ống và chất lỏng. Trong đó, thành ống bị giãn ra và chất lỏng
bị nén lại tơng ứng với gia tăng áp suất p
vd
. Các phần tử lỏng đằng sau xô vào các
phần tử đã bị hãm lại và cũng bị mất tốc
độ, do đó tiết diện n-n dịch sang phải với
vận tốc c, gọi là vận tốc sóng va đập, còn
chính khu vực chuyển tiếp mà áp suất
thay đổi một lợng p
vd
gọi là sóng va
đập.
Khi sóng va đập tới bình chứa, vận
tốc chất lỏng bằng không và toàn bộ
chất lỏng bị nén trong ống, còn thành ống
bị kéo. Hình 1.27,b biểu diễn trạng thái
sóng va đập p
vd
đã lan truyền hết toàn

bộ ống.
Nhng trạng này không cân bằng. Dới tác dụng của chênh lệch áp suất p
vd
chất lỏng bị
nén ra khỏi ống vào bình chứa, trong đó chuyển động bắt đầu từ mặt cắt ngay cạnh bình chứa.
Bây giờ mặt cắt n-n dịch từ phải theo hớng ngợc lại- tới van- với cùng vận tốc c để lại phía
sau áp suất cân bằng p
0
(hình 1.27,c).
Chất lỏng và thành ống đợc giả thiết là đàn hồi cho nên trở về trạng thái ban đầu ứng với
áp suất p
0
. Công biến dạng chuyển thành động năng, và chất lỏng lấy lại tốc độ ban đầu v
0
nhng theo hớng ngợc với ban đầu (nh vậy, ở đây bỏ qua tiêu tán năng lợng do biến dạng
và các tổn thất khác).
Với vận tốc này cột chất lỏng có xu hớng bứt ra khỏi van (hình 1.27,d) và kết quả là
xuất hiện sóng va đập âm với áp suất p
0
-p
vd
, nó bắt đầu từ van lan đến bình với vận tốc c, để
lại phía sau thành ống bị nén lại còn chất lỏng giãn ra do áp suất giảm (hình 1.27,e). Động năng
lại chuyển thành công biến dạng nhng có dấu ngợc lại.
Trạng thái ống ở thời điểm sóng
va đập âm tới thành bình đợc biểu
diễn trên hình 1.27,g. Nó không phải là
trạng thái cân bằng. Hình 1.27,h thể
hiện quá trình cân bằng áp suất giữa
bình và ống kèm theo chuyển động

chất lỏng với vận tốc v
0
. Khi sóng va
đập tới van thì chu trình kết thúc, lại
trở về trạng thái lúc đóng van. Toàn bộ
chu trình va đập thuỷ lực tiếp tục lặp
lại.
Trong các thí nghiệm của Giucôpxki đã ghi lại đợc tới 12 chu kì đầy đủ với p
vd
giảm từ
từ do ma sát, tiêu tán năng lợng do biến dạng (ma sát trong) và các tổn thất khác.
Diễn biến quá trình va đập thuỷ lực theo thời gian đợc mô tả trên hình 1.28,a và b.
Hình 1.27. Các giai đoạn thay đổi áp suất.
Hình 1.28. Thay đổi áp suất theo thời gian ở tại van.


46
Biểu đồ bằng nét đứt trong 1.28,a đặc trng cho thay đổi áp suất d lí thuyết tại điểm A
(hình 1.27) ở ngay tại van (đóng van giả thiết diễn ra tức thời). Đờng nét liền cho ví dụ dạng
thay đổi áp suất thực tế theo thời gian. Trong thực tế áp suất tăng (và giảm) dù dốc nhng
cũng không phải là tức thời. Ngoài ra dao động áp suất tắt dần.
Bức tranh mô tả thay đổi áp suất trên chỉ có thể suất hiện khi có đủ dữ trữ áp suất p
0
, tức là
khi p
0
>p
vd
và khi áp suất giảm đi p
vd

áp suất d vẫn dơng. Nếu áp suất p
0
không lớn (rất
thờng gặp), thì lần tăng áp đầu tiên cũng gàn nh trờng hợp đầu. Nhng giảm áp đi p
vd
là
không thể; áp suất tuyệt đối thực ở van chỉ có thể giảm xuống đến không (p
d
-0,1 Mpa), cột
chất lỏng bứt ra khỏi van, xuất hiện xâm thực và tạo ra túi hơi. Do vậy tính chu kì của quá trình
bị phá vỡ (hình 1.28,b).
Tăng áp p
vd
có thể liên hệ với các vận tốc v
0
và c nếu xét chuyển dịch phân tố dx của
sóng va đập trong thời gian dt và áp dụng định lí về thay đổi động lợng cho phân tố ống dx.
Khi đó có (hình 1.29)
[(p
0
+p
vd
)-p
0
]Sdt=S(v
0
-0)dx.
Từ đó suy ra tốc độ lan sóng va đập
c=dx/dt=p
vd

/(v
0
),
hay
p
vd
=v
0
c. (1.84)
Biểu thức thu đợc đợc gọi là công thức Giucôpxki.
Nhng hiện tại cha biết vận tốc c, cho
nên ta tìm áp suất va đập theo cách khác, cụ thể
là từ điều kiện bảo toàn năng lợng, động năng
chất lỏng chuyển thành công biến dạng: thành
ống bị kéo và chất lỏng bị nén. Động năng chất
lỏng trong ống bán kính r
.2/vlr2/mv
2
0
22
0

Công biến dạng bằng năng lợng tích luỹ
của vật thể bị biến dạng (thế năng biến dạng) và
bằng 1/2 tích của lực với độ giãn (chuyển vị).
Biều diễn công biến dạng nh công của lực áp suất trên chuyển dịch r, thu đợc công
bằng
p
vd
2rlr/2.

Theo định luật Huc
E
r
r
E
r2
]r)rr[(2





, (1.85)
trong đó

- ứng suất pháp (theo phơng tiếp tuyến vòng tròn ) trong vật liệu thành ống, nó liên hệ với áp suất p
vd
và chiều
dày thành ống bằng công thức gần đúng sau


=p
vd
r/. (1.86)
*Trong Sức bền vật liệu ta đã biết trong thành ống hình trụ khi chịu áp lực trong thì tồn tại các ứng suất chính sau:
- ứng suất pháp theo hớng kính
p
r
r
1

rr
r
2
2
2
2
1
2
2
2
1
r











;
- ứng suất pháp theo hớng vòng
p
r
r
1
rr

r
2
2
2
2
1
2
2
2
1












.
Hình 1.29. Mô hình tính áp suất va đập.


47
Dễ thấy,

theo công thức (1.86) là giá trị ứng suất trung bình gần đúng khi r

1
r
2
.
Sử dụng r từ công thức (1.85) và

từ (1.86), thu đợc công biến dạng đàn hồi thành ống
)E/(lrp
3
vd

.
Công nén chất lỏng có thể tích V có thể coi nh công của lực áp suất trên quãng đờng l,
tức là
Vp
2
1
lpS
2
1
vdvd

.
Cũng tơng tự nh định luật Huc đối với giãn dài, thay đổi thể tích tơng đối V/V liên
quan với áp suất bằng biểu thức
(V/V)K=p
vd
,
trong đó K- trị số môđun đàn hồi đoạn nhiệt trung bình đối với p
vd

đã cho.
Lấy V là thể tích chất lỏng trong ống, thu đợc biểu thức tính công nén chất lỏng
K
lrp
2
1
22
vd

.
Nh vậy phơng trình cân bằng năng lợng có dạng
K
lrp
2
1
E
plr
vlr
2
1
22
vd
2
vd
3
2
0
2

.
Giải phơng trình này theo p
vd
, thu đợc công thức Giucopxki
.cv
)E/(r2K/
1
vp
00vd



(1.87)
Nh vậy, tốc độ lan truyền sóng va đập
)E/(r2K/
1
c


. (1.88)
Nếu giả thiết ống có thành cứng tuyệt đối, tức là E=, thì công thức cuối chỉ còn
/K
,
tức là bằng tốc độ âm thanh trong môi trờng đồng nhất đàn hồi có môđun thể tích K và mật độ
(công thức 1.10). Đối với nớc tốc độ này bằng 1435 m/s, xăng- 1116 m/s, dầu nhờn 1200-
1400 m/s. Nh vậy, tốc độ lan truyền sóng áp suất trong chất lỏng đàn hồi trong ống đàn hồi
nhỏ hơn vận tốc âm thanh một chút.

Khi tốc độ trong ống giảm không tới không mà tới trị số v
1
, xuất hiện va đập thuỷ lực
không đầy đủ và công thức Giucopxki có dạng
p
vd
=(v
0
-v
1
)c.
Công thức Giucopxki đúng khi thời gian đóng van rất nhanh, tức
là khi thời gian đóng
t
đg
<t
0
=2l/c,
trong đó t
0
- pha của va đập thuỷ lực.
Khi đó xuất hiện va đập thuỷ lực trực diện.
Khi t
đg
>t
0
xuất hiện va đập không trực diện, sóng áp suất sau khi
phản hồi từ bình chứa trở về van trớc khi van đợc đóng hoàn toàn.
Rõ ràng, khi đó sự tăng áp p
vd

sẽ nhỏ hơn p
vd
trong va đập trực
diện.
Nếu giả thiết tốc độ chất lỏng khi van đang đóng giảm và áp suất tăng tuyến tính theo
thời gian, thì có thể viết (hình 1.30)
p
vd
/p
vd
=t
0
/t
đg
,
Hình 1.30. Tăng áp
suất va đập khi
t
đg
>t
0
.


48
do đó
p
vđ
=p
vd

t
0
/t
đg
=v
0
c2l/(ct
đg
)=v
0
2l/t
đg
. (1.89)
Trong đờng ống cụt áp suất va đập có thể tăng gấp hai (ở đây áp suất va đập là tăng áp
suất đột ngột do tức thời mở thông với nguồn cao áp). Ta sẽ làm rõ điều này bằng sơ đồ (1.31).
Giả sử trong ống ban đầu có áp suất p
0
đợc ngăn cách với bình có thể tích lớn (hoặc bơm) có
áp suất cao p
1
bằng van. Khi mở tức thời van, áp suất ở đầu ống đột ngột tăng lên p
vd
=p
1
-p
0
.
Xuất hiện sóng áp suất chuyển dịch về cuối
ống với vận tốc c, áp suất phía sau sóng lớn hơn phía trớc p
vd

, còn tốc độ chất lỏng ở mặt
sóng tăng từ không đến v
0
và đợc xác định theo công thức (1.84):
v
0
=p
vd
/(c). (1.90)
Vào thời điểm mặt sóng tiến đến đầu cụt của ống
áp suất chất lỏng trong toàn bộ ống tăng lên p
vd
và
chất lỏng có vận tốc v
0
. Vì không thể chuyển động tiếp
theo, tốc độ cột chất lỏng bị triệt tiêu và áp suất chất
lỏng lại đợc tăng bổ sung thêm p
vd
=v
0
c.
Nh vậy trong ống suất hiện sóng áp suất mới
(phản hồi) hớng đến van, đằng sau mặt sóng áp suất
tăng so với ban đầu là 2p
vd
, còn tốc độ bằng không.
Công thức (1.84) và (1.88) thu đợc khi sử dụng một loạt giả thiết để đơn giản hoá: định
luật Húc trong biến dạng ống và chất lỏng, không có ma sát trong chất lỏng và các dạng tiêu tán
năng lợng khác trong quá trình va đập và tốc độ phân bố đều trên tiết diện ống.

Các công trình thực nghiệm về va đập thuỷ lực cho thấy, nếu trong chất lỏng không có lẫn
khí và áp suất ban đầu không lớn lắm, thì dù có các bỏ qua nhiều yếu tố nh vậy, công thức
Giucôpxki vẫn khá phù hợp với thí nghiệm. Phân bố tốc độ không đều và chế độ ma sát trong
ống (chảy tầng hay rối) dờng nh phải ảnh hởng đến độ lớn p
vd
vì động năng của dòng phụ
thuộc vào chúng. Tuy vậy trong thực tế ảnh hởng này lại không có. Điều này đợc giả thích là
khi đột ngột hãm dòng lại, xảy ra xê dịch mãnh liệt các lớp chất lỏng và tổn thất năng lợng lớn
cho ma sát trong, chúng gần bù lại năng lợng thừa của dòng do tốc độ không đều.
Khi áp suất ban đầu p
0
và p
vd
lớn thì p
vd
thực tế lớn hơn so với thu đợc theo công thức
theo công thức Giucopxki do tăng mô đun đàn hồi K, tức là phá vỡ tính tuyến tính của biến
dạng theo áp suất.
Các biện pháp ngăn ngừa và giảm va đập thuỷ lực đợc lựa chọn tuỳ theo trờng hợp cụ
thể. Biện pháp hiệu quả nhất giảm p
vd
là tránh khả năng va đập trực diện, trong hệ thống đã
cho điều này dẫn đến tăng thời gian thao tác van và các thiết bị khác. Hiệu quả tơng tự đạt
đợc bằng cách lắp các thiết bị bù, bình tích thuỷ lực hoặc các van an toàn. Giảm tốc độ chất
lỏng trong ống (tăng đờng kính ống đối với lu lợng đã cho) và giảm chiều dài ống (để có
đợc va đập không trực diện). Đôi khi thay cho tất cả các biện pháp trên ngời ta thích sử dụng
biện pháp đơn giản là gia cố thêm ở khâu yếu nhất trong hệ thống.
Vấn đề đáng quan tâm nữa là áp suất quán tính p
qt
=gh

qt
nh thế nào so với áp suất va đập
(hình 1.32).
Nếu xét va đập không trực diện và giả thiết tốc độ chất lỏng v
0
giảm khi đóng van tuyến
tính theo thời gian t, thì trong công thức (1.89) có thể thay tỉ số v
0
/t
đg
bằng gia tốc a=dv/dt. Khi
đó công thức này có dạng p
vd
=2al hay
h
vd
=p
vd
/(g)=2(a/g)l.
Từ công thức (1.34) áp dụng cho ống có tiết diện không đổi, có
Hình 1.31. Sơ đồ ống cụt.