Lý thuyết mật mã - Chương 4.2 pot

Hình 4.14. Phân tích modulus của rabin với một chơng trình
con giải mã cho trớc.


1. Chọn một số ngẫu nhiên r , 1

r

n-1
2. Tính y = r
2 -
B
2
/4 mod n
3. Gọi chơng trình con A(y) để tìm bản giải
mã x
4. Tính x
1
= x+B/2
5. If x
1
r (mod n) then quit (không thành
công)
Else UCLN(x
1
+r,n)=p hoặc q (thành
công)

Bởi vậy giá trị x sẽ thu đợc ở bớc 3. Tiếp theo xét bớc 4. Nhận
thấy rằng x
1
2
= r
2
(mod n). Điều đó dẫn tới x
1
r (mod n) hoặc x
1

wr (mod n), trong đó w là một trong các căn bậc hai không tầm
thờng của 1 modulo n. Trong trờng hợp thứ hai ta có :

n(x
1
-r

)(x
1
+r)

song n không phải là ớc của một thừa số nào ở vế phải. Bởi vậy,
việc tính UCLN(x

1
+r,n)(hoặc UCLN(x
1
-r, n)) phải dẫn tới hoặc p
hoặc q, và nh vậy phép phân tích n đợc hoàn thành.

Ta sẽ tính xác suất thành công của thuật toán này trên tất cả
(n-1) phép chọn ngẫu nhiên r. Với hai thặng d khác không r
1
và r
2
,
định nghĩa:
r
1
~ r
2
r
1
2
r
2
2
(mod n)

Dễ dàng thấy rằng r ~ r với mọi r, r
1
~ r
2
cũng có nghĩa là r

2
~ r
1
;
r
1
~ r
2
và r
2
~ r
3
thì r
1
~ r
3
. Điều đó cho ta thấy rằng quan hệ ~ là một
quan hệ tơng đơng. Các lớp tơng đơng của Z
n
\{0} đều có bốn
phần tử, lớp tơng đơng chứa r là tập

[r] = {r, wr (mod n)}

trong đó w là căn bậc hai không tầm thờng của 1 modulo n.

Trong thuật toán đợc trình bày ở hình 4.14, hai giá trị r bất kỳ
trong cùng một lớp tơng đơng sẽ dẫn tới cùng một giá trị y. Bây
giờ xét giá trị x thu đợc từ chơng trình con A khi đã biết y. Ta có:
[y]={y, wy}

Nếu r=y thì thuật toán không thành công; trong khi nếu r=wy thì
thuật toán sẽ thành công. Vì r đợc chọn ngẫu nhiên, nên một giá trị
bất kỳ trong bốn giá trị có thể đều cùng khả năng. Ta kết luận rằng
xác suất thành công của thuật toán là 1/2.

Điều thú vị là hệ mật rabin là an toàn đối với phơng pháp tấn
công bản rõ chọn lọc, mhmg hệ này lại hoàn toàn không an toànđối
với phơng pháp tấn công bảm mã chọn lọc. Thuật toán ở hình 4.14,
phần dùng để chứng minh sự an toàn đối với phép tấn công bản rõ
chọn lọc cũng có thể đợc dùng để phá hệ mật Rabin khi thực hiện
tấn công bản mã chọn lọc!. Trong phơng pháp tấn công bản mã
chọn lọc, chơng trình con A đợc thay bằng thuật toán giải mã của
Bob.





4.8. Các thuật toán phân tích thừa số.
Đã có một khối lợng khổng lồ các tìa liệu về các thuật toán
phân tích thừa số và việc nghiên cứu kỹ lỡng sẽ đòi hỏi phải có một
cuốn sách dày hơn quyển sách này. ở đây chỉ cố gắng đa ra một cái
nhìn khái quát bao gồm việc thảo luận sơ lợc về các thuật toán phân
tichs thừa số tốt nhất hiện thời và cách sử dụng chúng trong thực tế.
Ba thuật toán hiệu quả nhất trên các số thật lớn là sàng bậc hai, thuật
toán đờng cong elliptic và sàng trờng số. Các thuật toán nổi tiếng
khác (những thuật toán toán có trớc) bao gồm phơng pháp và
thuật toán p-1 của Pollard, thuật toán p+1 của Williams, thuật toán
liên phân số và dĩ nhiên cả những phép chia thử.

Trong toàn bộ phần này, xchúng ta cỏìng số nguyên n cần
phân tích ra thừa số là một số lẻ. Phép chia thử bao gồm việc chia n

cho từng số nguyên lẻ cho tới . Nếu n < 10
12
thì đây là một
[
]
n


phơng pháp phân tích thừa số hợp lý một cách hoàn hảo, tuy nhiên
với n lớn hơn nói chung ta phải dùng các kỹ thuật tinh tế hơn.


4.8.1. Phơng pháp p-1

Thuật toán p-1 của Pollar (đa ra vào năm 1947) là một thí dụ
về một thuật toán đơn giản đơn khi đợc áp dụng với các số nguyên
lớn. Thuật toán này (trình bày trên hình 4.15) có hai đầu vào: số
nguyên lẻ n cần đợc phân tích và một cận B. Có thể mô tả thuật toán
nh sau:

Hình 4.15. Thuật toán phân tích thừa số p-1.


Đầu vào: n và B
1. a=2
2. For j=2 to B do
a = a

j
mod n
3. d = UCLN(a-1,n)
4. if 1 < d < n then
d là một thừa số của n
else
không tìm đợc thừa số của n
(không thành công)













Giả sử p là ớc mhuyên tố của n và q B , với mỗi mũ nguyên
tố p(p-1). Khi đó
(p-1)B!
ở cuối vòng lặp for (bớc 2)
a 2
B!
(mod n)
nên a 2
B!

(mod p)
vì pn. nên theo định ý Fermat ta có :


?? ?? ?? ?? ??
?? ??

135979 ì 115979
Trong trờng hợp này, phép phân tích sẽ thành công do 135978 chỉ
gồm các thừa số nguyên tố nhỏ:

Vì thế
135978 = 2 ì 3 ì131 ì 173

nếu lấy B 173 thì chắc chăn rằng 135978B! nh mong muốn.

Trong thuật toán có (B-1) luỹ thừa theo modulo, mỗi luỹ cần
nhiều nhất là 2log
2
B phép nhân modulo dùng thuật toán bình phơng
và nhân. Việc tính ớc chung lớn nhất có thể thực hiện trong thời
gian O((log n)
3
) bằng thuật toán Euclide. Bởi vậy, độ phức tạp của
thuật toán là O(B logB (log n)
2
+(log n)
3
). Nếu B là O((log n)
i

) với
một số nguyên i xác định nào đó thì thuật toán thực sự là thuật toán
thời gian đa thức, tuy nhiên với phép chọn B nh vậy, xác suất thành
công sẽ rất nhỏ. Mặt khác, nếu tăng kích thớc của B lên thật lớn
(chẳng hạn tới ?????????????? ) thì thuật toán sẽ thành công nhng
nó sẽ không thực hiện nhanh hơn phép chia thử.

Nh vậy, điểm bất lợi của thuật toán này là nó yêu cầu n phải
có ớc nguyên tố p sao cho (p-1) chỉ các thừa số nguyên tố bé. Ta có
thể dễ dàng xây dựng đợc hệ mật RSA với modulus n= pq hạn chế
đợc việc phân tích theo phơng pháp này. Trớc tiên tìm một số
nguyên tố lớn p
1
sao cho p= 2p
1
+1 cũng là một số nguyên tố và một
số nguyên tố lớn q
1
sao cho q= 2q
1
+1 cũng là một số nguyên tố (nhờ
dùng một trong các thuật toán kiểm tra tính nguyên tố Monte-Carlo
nêu trong phần 4.5). Khi đó modulo của RSA n= pq sẽ chống đợc
cách phân tích theo phơng pháp p-1.

Thuật toán đờng cong elliptic mạnh hơn (đợc Lenstra xây
dựng vào những năm 1980) trên thực tế là sự tổng quát hoá của
phơng pháp p-1. Ta sẽ không thảo luận về lý thuyết ở đây mà chỉ
nhấn mạnh rằng, thành công của phơng pháp đờng cong elliptic
tuỳ thuộc vào tình huống tơng tự : một số nguyên gần với p chỉ có

các thừa số nguyên tố bé. Trong khi phơng pháp p-1 phụ thuộc vào
quan hệ trong Z
p
thì phơng pháp đờng cong elliptic phụ thuộc vào
các nhóm xác định trên các đờng cong elliptic theo modulo n.

4.8.2. Thuật toán Dixon và sàng bậc hai

Thuật toán Dixon đợc xây dựng trên ý tởng đơn giản mà ta
đã thấy trong hệ mật Rabin. ý tởng đó là: nếu tìm đợc x y
(mod n) sao cho x
2
y
2
(mod n) thì UCLN(x-y,n) là ớc không tầm
thờng của n.

Phơng pháp này sử dụng cơ sở nhân tử là một tập b chứa các
số nguyên tố bé. Trớc tiên ta nhận đợc một vài số nguyên x sao
cho tất cả các thừa số nguyên tốcủa x
2
(mod n) nằm trong cơ sở b
(cách thực hiện điều này sẽ đợc thảo luận sau). ý tởng thực hiên ở
đây là lấy tích của một vài giá trĩ sao cho mỗi số nguyên tố trong cơ
sở đợc sử dụng một số chẵn lần. Điều này dẫn đến một đồng d
thức dạng mong muốn x
2
y
2
(mod n) mà ta hy vọng sẽ đa đến việc

phân tích n.

Ta sẽ minh hoạ bằng một ví dụ đã đợc dự tính kỹ lỡng.

Ví dụ 4.15
Giả sử n=15770708441(giá trị n này đã dùng trong ví dụ 4.14).
Giả sử b = {2,3,5,7,11,13}. Xét ba đồng thức sau:

8340934156
2
3 ì 7 (mod n)
12044942944
2
1 ì 7 ì 13 (mod n)
2773700011
2
=2 ì 3 ì 13 (mod n)

Nếu lấy tích của ba đồng d thức trên:

(8340934156 ì 2044942944ì2773700011)
2
(2ì 3ì 7ì 13)
2
(mod n)

Rút gọn các biểu thức bên trong các dấu ngặc theo modulo n, ta có:
9503435785
2
546

2
(mod n)
Sau đó tính:
UCLN(9503435785-546, 15770708441)=115759

Ta thấy 115759 là một thừa số của n.

Giả sử B = {p
1
, . . . .p
B
}là một cơ sở nhân tử. Giả sử c lớn hơn
B một chút (chẳng hạn C=B+10) và giả sử ta đã có C đồng d thức:
x
j
2
p
1

1j
ì p
2

2j
ì . . .ì p
B

Bj
(mod n)

với 1 j C. Với mỗi j xét véctor :

a
j
= (
1j
mod 2,
2j
mod 2, . . .,
Bj
mod 2) (Z
2
)
B

Nếu có thể tìm đợc một tập con các a
j
sao cho tổng theo modulo 2 là
vector (0,. . ., 0) thì tích của các x
j
tơng ứng sẽ sử dụng mỗi nhân tử
trong B một số chẵn lần.
Ta sẽ minh hoạ bằng cách trở lại ví dụ 4.15. Trong trờng hợp
này nếu C < B, vẫn tìm đợc sự phụ thuộc tuyến tính.

Ví dụ 4.15 (tiếp)

Cho 3 vector a
1
, a

2
, a
3
:

a
1
=(0, 1, 0, 1, 0, 0)
a
2
=(1, 0, 0, 1, 0, 1)
a
3
= (1, 1, 0, 0, 0, 1)

Dễ dàng thấy rằng:

a
1
+a
2
+ a
3
= (0, 0, 0, 0, 0, 0) mod 2

Đây là lý do cho thấy đồng d thức (thiết lập theo tích) sẽ phân tích
thành công đợc n.


Nhận thấy rằng, bài toán tìm một tập con C vector a

1
, a
2
, . . .,
a
C
sao cho tổng theo modulo 2 là một vector toàn chứa số 0 chính là
bài toán tìm sự phụ thuộc tuyến tính (trên Z
2
) của các vector này. Với
C > B, sự phụ thuộc tuyến tính này nhất định phải tồn tại và ta có thể
dễ dàng tìm đợc bằng phơng pháp loại trừ Gaux. Lý do giải thích
tại sao lấy C > B+1 là do không có gì bảo đảm để một đồng d thức
cho trớc bất kỳ sẽ tạo đợc phân tích n. Khoảng 50% thuật toán cho
ra x y (mod n). Tuy nhiên nếu C > B+1 thì có thể nhận đợc một
vài đồng d thức nh vậy. (Nảy sinh từ các phụ thuộc tuyến tính khác
của các a
j
). Hy vọng là ít nhất một trong các đồng d thức kết quả sẽ
dẫn đến việc phân tích n.
Vấn đề còn lại là phải làm thế nào để nhận đợc các số nguyên
x
j
mà các giá trị x
j
2
mod n có thể phân tích hoàn toàn trên cơ sở b.
Một vài phơng pháp có thể thực hiện đợc điều đó. Biện pháp sàng

bậc hai do Pomerance đa ra dùng các số nguyên dạng x

j
=j +

,j=1,2 Tên sàng bậc hai lấy từ thủ tục sàng (không mô tả ở đây)
dùng để xác định các x
j
phân tích đợc trên b.
[
]
n


ở đây dĩ nhiên là một sự thoả hiệp: nếu B = | B | là một số lớn
thì thích hợp hơn cả là nên phân tích số nguyên x
j
trên b. Tuy nhiên
khi B càng lớn thì ta càng phải gom nhiều đồng d thức hơn trớc khi
có thể tìm đợc một quan hệ phụ thuộc. Lựa chọn tối u cho B xấp xỉ
bằng

??????????????????
và điều này dẫn đến thời gian thực hiện cỡ

??????????????????????????

Sàng trờng số là thuật toán phân tích mới hơn (từ cuối những
năm 80) Thuật toán này cũng phân tích n bằng cách xây dựng một
đồng d thức x
2
y

2
(mod n), song nó đợc thực hiện bằng các tính
toán trên vành các số đại số.

4.8.3.Các thuật toán phân tích trên thực tế.
Thời gian chạy tiệm cận của các thuật toán sàng bậc hai,
đơng cong elliptic và sàng trờng số nh sau:

Sàng bậc hai O?????????????//
Đờng cong elliptic ??????????????
Sàng trờng số ?????????????????

trong đó O(1) là hàm của n, hàm này tiến tới 0 khi nặ và p là thừa
số nguyên tố nhỏ nhất của n.

Trong trờng hợp xấu nhất p ?????????, thời gian chạy tiệm
cận của các thuật toán đờng cong elliptic và sàng bậc hai cơ bản
nh nhau. Tuy nhiên trong trờng hợp này, phơng pháp sàng bậc hai
nói chung trội hơn phơng pháp đờng cong elliptic. Phơng pháp
đơng cong elliptic hiệu quả hơn nếu các thừa số nguyên tố của n có
kích thớc khác nhau. Một số rất lớn đã đợc phân tích bằng phơng
pháp đờng cong elliptic là tham số Fermat (2
2048
-1) (đợc Brent
thực hiện năm 1988) .

Để phân tích các modulo RSA (trong đó n=pq, p và q là các số
nguyên tố có cùng kích thớc), sàng bậc hai là một thuật toán thành
công nhất hiện nay. Sau đây là một số kết quả quan trọng. Vào năm
1983, thuật toán sàng bậc hai đã phân tích thành công một số có 69

chữ số, số này là một thừa số của 2
251
-1 (do Davis, Holdredye và
Simmons thực hiện). Quá trình này tiếp tục trong những năm 80 và
đến năm 1989 đã có thể phân tích đợc các số có tới 106 chữ số theo
phơng pháp này( do Lenstra và Manasse thực hiện) nhờ phân bố các
phép tính cho hàng trăm trạm làm việc tách biệt (ngời ta gọi phơng
pháp này là phân tích thừa số bằng th điện tử).

Gần đây hơn, 4/1994 Atkins, Graff, Lenstra và Leyland đã
phân tích đợc một số 129 chữ số (đợc gọi là RSA-129) nhờ sử
dụng sàng bậc hai (các số RSA-100, RSA-110, ,RSA-500 là một
danh sách các modulo RSA đợc công bố trên internet nh là sự
thách đố cho các thuật toán phân tích. Mỗi một số RSA-d là một số d
chữ số, số này là tích của hai số nguyên tố có kích thớc xấp xỉ
nhau). Việc phân tích số RSA-129 cần hàng trăm tính toán với máy
tính 5000 MIPS (triệu lệnh/s) đợc thực hiện bởi 600 nhà nghiên cứu
trên toàn thế giới.
Sàng trờng số là một thuật toán mới nhất trong ba thuật toán
toán. Nó có vẻ có tiềm năng lớn do thời gian chạy tiệm cận của nó
nhanh hơpn cả hai thuật toán trên. Thuật toán này hiện vẫn còn trong
thời kì nghiên cứu, tuy nhiên ngời ta đã dự đoán là sàng trờng số
phải chứng tỏ là nhanh hơn với các số có trên 125-130 chữ số. Năm
1990, Lenstra, Manase và Pollaid đã dùng sàng trờng số để phân
tích (2
512
- 1) thành ba số nguyên tố có 7, 49 và 99 chữ số.

4.9. chú giải và tai liêu dẫn

ý tởng về mật mã khoá công khai đã đợc Diffie và Hellman
nêu ra vào 1976. Mặc dù [HD 76A] là tài liệu đợc trích dẫn nhiều
nhất những bài báo Hội nghị [DH 76] thực tế đã xuất hiện sớm hơn
một chút. Hệ mật RSA đợc Rivest, Shamis và Adleman [RSA 78]
phát minh. Hệ mật Rabin đợc mô tả trong [RA 79]: một hệ tơng tự
với phép giải mã không mập mờ đã đợc Willians tìm ra trong [Wi
80]. Bạn đọc nếu tham khảo [Di 92] là một bài báo tổng quát và mặt
mã khoá công khai của Diffie.

Phép thử Solovay- Stassen lần đầu tiên mô tả trong [SS 77].
Phép thử Miller- Rabin đợc nêu trong[Mi 76] và [Ra 80]. Thảo luận
của chúng ta về các xác suất sai dựa trên các nhập xét của Brassard
và Bratly [BB 88A, 8.6] (cũng có thể trong[BBCGP 88]. Các cận tối
nhất hiện thời về xác suất sai của thuật toán Miller- Rabin có thể tìm
thấy trong [DLP 93].

Nội dung của phần 4.6 dựa trên quan điểm của Salomaa [SA
90, các trang 143-154]. Phép phân tích n với số mũ giải mã cho trớc
đợc nêu trong [DE 84]: các kết quả về thông tin riêng bị lộ bởi RSA
lấy từ [GMT 82].

Nh đã nói trên, đã có rất nguồn tài liệu về các thuật toán phân
tích. Pomerance [Po 90]là tổng quát về phếp phân tích. Lenstra và
Lenstra [LL 90] là một báo cáo hay là về các thuật toán lý thuyết nói
chung. Bressoud [Br 89] là một giáo trình sơ cấp về phép phân tích
thừa số và phép kiểm tra tính nguyên tố. Các giáo trinh về mật mã có
chú trọng tới lý thuyết số là các sách của Koblitz [Ko 87] và của
Kranakis [Kr 86]. Còn sách của Lenstra và Lenstra [LL 93] là một
chuyên thảo tốt về sàng trờng số.

Các bài tập 4.7- 4.9 cho một số ví dụ về trục trặc trong giao
thức (protocol). Về vấn đề này có thể xem một bài báo rất hay của
Moore [Mo 92].




Bài tập

4.1. Hãy dùng thuật toán Euclide mỡ rộng để tính các phần tử
nghịch đảo rau:
a) 17
-1
mod 101
b) 357
-1
mod 1234
c) 3125
-1
mod 9987
4.2. Giải hệ phơng trình đồng d sau:
x 12 (mod 25)
x 9 (mod 26)
x 23 (mod 27)
4.3. Giải hệ phơng trình đồng d sau
13x 4 (mod 99)
15x 56 (mod 101)
gợi ý: trớc tiên hãy dùng thuật toán Euclide mỡ rông rồi áp dụng
định lý phần d của China.

4.4. Ta nghiên cứu một số tính chất của các căn nguyên thuỷ
a) 97 là một số nguyen tố. Hãy chứng minh rằng x 0 là một
căn nguyên thuỷ theo modulo 97 khi và chỉ khi
x
32
1 (mod 97) và x
48
1 (mod 97)
b) Hãy dùng phơng pháp này để tìm căn nguyên thuỷ nhỏ
nhất theo modulo 97.
c) Giả sử p là một số nguyên tố và p-1 có phần tích ra các mũ
nguyên tố sau :







=
=
n
1 i
1
e
i
p 1p

ở đây p
i

là các số nguyên tố khác nhau. Hãy chứng minh tỏ rằng
x 0 là một căn nguyên thuỷ theo modulo p khi và chỉ khi
x
(p-1)/p
i
1 (mod p ) với 1 i n
4.5. Giả sử n =pq, p và aq là các số nguyên tố lẻ phân biệt vad ab
1 (mod (p-1)(q-1)). Phép toán mã hoá RSA là
e(x) = x
b
mod n
và phép toán giải mã là d(y) = y
a
mod n.
Ta đã chứng tỏ rằng d(e(x)) = 1 nếu x Z
n

*
. Hãy chứng tỏ rằng
khẳng định trên là đúng đối với bất kỳ x Z
n
.

Chỉ dẫn: Hãy dùng kết quả : x
1
x
1
(mod pq) khi và chỉ khi x
1
x

1

(mod p) và x
1
x
1
(mod q). Điều này rút ra từ định lý phần d China.

4.6. Hai ví dụ về bản mã RSA đợc nêu ở các bảng 4.1 và bảng 4.2.
Nhiệm vụ của bạn là phải giải mã chúng. Các tham số công khai của
hệ thống là n =18923 và b = 1261 (bảng 4.1) và n = 31313, b = 4913
(với bảng 4.2). Phép giải mả cáo thể thực hiện nh sau. Trớc hết hỹ
phân tích n (điều này khá dể vì n quá nhỏ). Sau đó tính số mũ a từ
(n) và cuối cùng sẽ giải mã bản mã. Hãy dùng thuật toán bình
phơng và nhân để lấy luỹ thừa theo modulo n.


Bảng 4.1 Bản mã RSA

12423 11524 7243 7459 14303 6127 10964 16399
9792 13692 14407 18817 18830 13556 3159 16647
5300 13951 91 8986 8007 13167 10022 17213
2264 9553 18194 3830 2664 13998 12501 18873
13236 5300 13951 8850 12129 6091 18110 3332
15061 12347 7817 7946 11675 13924 13892 18031
2620 6276 8500 201 8850 11178 16477 10161
3533 13842 7537 12259 18110 44 2364 15570
3460 9886 8687 4481 11231 7547 11383 17910
12867 13203 5102 4742 5053 15407 2976 9330
12192 56 2471 14334 841 13995 13297 8186

2430 9741 11675 242 6686 738 13874 8186
7913 6246 14301 1144 9056 15967 7328 13203
796 195 9872 16979 15404 14130 9105 2001
9792 14251 1498 11296 1105 4502 16979 1105
56 4118 11302 5988 3363 15827 6928 4191
4277 10617 874 13211 1182 3090 18110 44
2364 15570 3460 9886 9988 3798 1158 9872
16979 15404 6127 9872 3652 14838 7437 2540
1367 2512 14407 5053 1521 297 10935 17137
2186 9433 13293 7555 13618 13000 6490 5310
18676 4782 11375 446 4165 11634 3846 14611
2364 6789 11634 4493 4063 4576 17955 7965
11748 14616 11453 17666 925 56 4118 18031
9522 14838 7437 3880 11476 8305 5102 2999
18628 14326 9175 9061 650 18110 8720 15404
2951 722 15334 841 15610 2443 11056 2186


Để chuyển bản rõ trở về văn bản tiếng Anh thông thờng, bạn
cần phải các ký tự đã đợc mã hoá thành các phần tử trong Z
n
nh
thế nào. Mỗi phần tử của Z
n
sẽ biểu thị ba ký tự nh trong các ví dụ
sau:
DOG ặ 3 ì 26
2
+ 14 ì 26 +6 = 2398
CAT ặ 2 ì 26

2
+ 0 ì 26 + 19 = 1371
ZZ ặ 25 ì 26
2
+ 25 ì 26 + 25 = 17575
Bớc cuối cùng trong chơng trình của bạn là làm ngợc lại
quá trình trên.
Bản rõ đầu lấy trong cuốn The diary of Samuel Mảchbankls
của Robertson Davies, 1947. Bản rõ thứ hai lấy từ cuốn Lake
Wobegon Days của Garrison Keillor, 1985.

4.7. Bài tập này mô tả cái đợc gọi là sự trục trặc về thủ tục. Đây là
một ví dụ về một bản mà có thể bị đối phơng giải mà không cần
phải xác định khoá nếu dùng thiêú thận trọng hệ mật ( vì đối phơng
không phải xác định

Bảng 4.2 Bản mã RSA
6340 8309 14010 8936 27358 25023 16481 25809
23316 7135 24996 30596 27570 26486 30388 9395
27584 14999 4517 12146 29421 26439 1606 17881
25774 7647 23901 7372 25774 18436 12056 13547
7908 8635 2149 1908 22076 7372 8686 1307
4082 11803 5314 107 7359 22470 7372 22827
15698 30317 4685 14696 30388 8671 29956 15705
1417 26905 25809 28347 26277 7879 20240 21519
12437 1108 27106 18743 24144 10685 25234 30155
23055 8267 9917 7994 9694 2149 10042 27705
15930 29748 8635 23645 11738 24591 20240 27212
27486 9741 2149 29329 2149 5501 14015 30155
18154 22319 27705 20321 23254 13624 3249 5443

2149 16975 16087 146000 27705 19386 7325 26277
19554 23614 7553 4734 8091 23973 14015 107
3183 17347 25234 4595 21498 6360 19837 8463
6000 31280 29413 2066 369 23204 8425 7792
25973 4477 30989

Khoá nên nếu gọi là thám mã thì không đợc chính xác lắm). Tinh
thần ở đây là dùng hệ mật an toàn toàn vẫn cha đủ để đảm bảo
liên lạc an toàn toàn.

Giả sử Bob có một hệ mật RSA có modulo n lớn để việc phân
tích n không thể thực hiên trong một thời gian chấp nhận đợc. Giả
sử Alice gửi một thong báo cho Bob bằng cách biểu thị một ký tự
bằng một số nguyên trong khoảng 0- 25 (chẳng hạn A0, B 1,)
và rồi mã hoá từng ký tự của bản rõ.

a) Hãy mô tả cách Oscar có thể giải mã dễ dàng các bản
mã đợc mã nh cách trên.
b) Minh hoạ cách tấn công qua việc giải mã bản mã sau
(bản này đã đợc mã bằng hệ mật RSA với n = 18721 và b = 25) mà
không cần phải phân tích n:

365,0,4845,14930,2608,2608,0

4.8. Bài tập này mô tả một ví dụ khác về sự trục trặc thủ tục (theo
Simons)trong RSA đợc gọi là trục trặc thủ tục modulo chung. Giả
sử Bob có hệ mât RSA với modulo n, số mũ hoá b
1
còn Charlie có hệ
mât RSA với cùng modulo n, số mũ hoá b

2
. Giả sử UCLN(b
1
,b
2
) =1.
Bây giờ ta hãy xét tình hình xảy ra nếu Alice mã hoá cùng một bản
rõ x để gửi cho cả Bob và Charlie. Nh vậy, Alice sẽ tính y
1
=x
b
1
mod
n và y
2
=x
b
2
mod n và rồi gửi y
1
cho Bob và gửi y
2
cho Charlie. Giả sử
Oscar thu đợc y
1
và y
2
và thực hiện các tính toán đợc nếu ở hình
4.16 sau.

Hình 4.16. trục trặc thủ tục modulo chung.



Đầu vào : n, b
1
, b
2
, y
1
, y
2
1. Tính c
1
= b
1
-1
mod b
2

2. Tính c
2
= (c
1
b
1
- 1)/b
2

3. Tính x

1
= y
1
c
1
(y
2
c
2
)
-1
mod n











a) Hãy chứng tỏ rằng giá trị x
1
tính đợc ở bớc 3 của hình
4.16 thực tế là bản rõ x của Alice. Bởi vậy, Oscar có thể giải mã đợc
thông báo mà Alice đã gửi, ngay cả khi bản rõ đợc gửi qua hệ mật
đợc coi là an toàn.
b) Minh hoạ cách tấn công qua việc tính x theo phơng pháp

này nếu n = 18721,b
1
= 945, b
2
= 7717, y
1
= 12677 và y
2
= 14702.


4.9 Đây lại là một ví dụ khác về sự trục trặc thủ tục xoay quanh hệ
mật RSA. Giả sử có ba ngời dùng trong mạng là Bob, Bar và Bert,
họ đều có số mũ mã hoá b =3. Các modulo tơng ứng n
1
, n
2
, n
3
. Giả
sử Alice mã hoá cùng một bản rõ x để gửi cho Bob, Bar và Bert. Khi
đó Alice tính
y
i
= x
3
mod n
i
, 1 i 3
Hãy mô tả cách tnhs x của Oscar khi anh ta đã biết y

1
, y
2
, y
3
,
mà không cần phải phân tích bất cứ n
i
nào.

4.10. Bản rõ x đợc gọi là cố định nếu e
k
(x) = x. Hãy chứng tỏ rằng
đối với hệ mật RSA, số các bản rõ cố định x Z
n
*
bằng

UCLN(b-1, p-1) ì UCLN(b-1, p-1)
Chỉ dẫn: xét hệ hai phơng trình đồng d:
e
K
(x
1
) x (mod p), e
K
(x
2
) x (mod p).

4.11. Giả sử A là một thuật toán tất định có đầu vào là một RSA
modulo n và bản mã y. A sẽ hoặc giải mã y hoặc không có lời giải.
Giả sử rằng có ì n bản mã mà có thể giải, hay chỉ rõ cách dùng A
làm một chơng con trong thuật toán giải mã Las Vegas có xác suất
không thành công là .

Chỉ dẫn: sử dung tính chất nhân của RSA là
e
K
(x
1
) e
K
(x
2
) = e
K
(x
1
x
2
)
trong đó tất cả các phép toán số học là theo modulo n.

4.12. Viết một chơng trình để đánh giá các ký hiệu Jacobi bằng
cách dùng bốn tính chất đợc nêu ở phần 4.5. Chơng trình không
thực hiện việc phân tích thừa số trừ việc phân ra các luỹ thừa bậc hai.
Hãy kiểm tra chơng trình của bạn qua việc tính các ký hiệu Jacobi
sau:

111111.11
1234567
,
1987
20964

,
610

987

4.13. Hãy viết một chơng trình tính số các số giả nguyên tố Euler
theo các cơ sở 837, 851 và 1189.

4.14. Mục đích của bài tập này là phải chứng tỏ rằng: xác suất của
kiểm tra tính nguyên tố Solovay- Strassen nhiều nhất là 1/2 . Giả sử
Z
n
*
là nhóm các phần tử khả nghịch theo modulo n. Ta định nghĩa:

?? ?? ??


??




??


?? ?? ?? ??


?? ??

??





a


n


??????




?? ??
?? không bậc hai theo modulo p . (Chú ý rằng, a nh
vậy tồn tại theo định lý phần d China). Hãy chứng minh rằng:

1

-1 (mod n)
nhng
a
(n-1)/2
1 (mod p
2

p
3
p
s
)
nên
a
(n-1)/2
-1 9mod n)
d) Nếu n là một số hợp số lẻ, chứng minh rằng : | G(n) |
(n-1) /2


a


n
e) Tổng hợp các kết quả trên, hãy chứng minh rằng xác suất sai của
phép kiểm tra tính nguyên tố Solovay- Strassen nhiều nhất là 1/2.
4.15. Giả sử ta có thuật toán Las-Vegas với xác suất sai .
a) Hãy chứng minh rằng, xác suất thành công lần đầu sau phép thử
thứ n là :
P
n
=
n-1
(1-)
b) Số phép thử trung bình để đạt thành công là :

(n ì p

n
)

Hãy chứng tỏ rằng giá trị này bằng 1/(1-)
c) Giả sử là một số dơng thực nhỏ hơn 1. Hãy chứng tỏ rằng số
các phép lặp cần thiết để giảm xác suất sai tối đa là:






=1n







2
log
2
log


4.16. Giả sử thiếu trần trọng, Bob đã để lộ số mũ giải mã của mình là
a = 14039 trong hệ mật RSA với khoa công khai n = 36581 và b =
4679. áp dụng dụng thuật toán sác suất để phân tích n theo thông tin
đợc biết này. Hãy kiểm tra thuật toan của bạn với các phép chọn

ngẫu nhiên w = 9983 và w = 13461. Hãy chỉ ra tất cả các tính toán .

4.17. Hãy chứng minh các phơng trình 4.1 và 4.2 có liên quan đến
các hàm half và parity.

4.18. giả sử p = 199, q = 211 và b = 1357 trong hệ mật Rabin. Hãy
thực hiện tính toán sau:

a) Xác định 4 căn bậc hai của modulo n, trong đó n =pq.
b) Tính phép mã y = e
k
(32767)
c) Xác định 4 bản giả mã có thể của bản mã y đã cho.
4.19. Hãy phân tích ra thừa số các số 262063 và 9420457 bằng
phơng pháp p-1. Trong mỗi trờng hợp, để thành công phải chọn B
lơn nh thế nào?.