Đề thi và đáp án môn toán tỉnh Hải Dương năm 2010-2011

1) nhất
1y ax= +
. Xác định hệ số a, biết rằng đồ thị của hàm số cắt
trục hoành tại điểm có hoành độ bằng
1 2+
.
2) Tìm các số nguyên m để hệ phương trình
3
2 3
x y m
x y
+ =


− = −

có nghiệm
( ; )x y
thỏa mãn điều kiện
2
30x xy+ =
.
Câu 3 (1 điểm)
Theo kế hoạch, một xưởng may phải may xong 280 bộ quần áo
trong một thời gian quy định. Đến khi thực hiện, mỗi ngày xưởng đã
may được nhiều hơn 5 bộ quần áo so với số bộ quần áo phải may
trong một ngày theo kế hoạch. Vì thế, xưởng đã hoàn thành kế
hoạch trước 1 ngày. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày xưởng phải may
xong bao nhiêu bộ quần áo?
Câu 4 (3 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao BE

và CF của tam giác ABC cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần
lượt tại E’ và F’ (E’ khác B và F’ khác C).
3) Chứng minh tứ giác BCEF là tứ giác nội tiếp.
4) Chứng minh EF song song với E’F’.
5) Kẻ OI vuông góc với BC (
I BC∈
). Đường thẳng vuông góc với HI
tại H cắt đường thẳng AB tại M và cắt đường thẳng AC tại N.
Chứng minh tam giác
IMN
cân.
Câu 5 (1 điểm)
Cho a, b, c, d là các số dương thỏa mãn
2 2
1a b+ =
và
4 4
1a b
c d c d
+ =
+
. Chứng minh rằng
2
2
2
a d
c b
+ ≥
.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO
TẠO
HẢI DƯƠNG

KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2010 - 2011
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề
Ngày thi: 06 tháng 07 năm 2010 (Đợt 1)
Đề thi gồm : 01 trang
Câu 1 (3 điểm)
6) Giải các phương trình sau:
a)
2
4 0
3
x − =
.
b)
4 2
3 4 0x x− − =
.
7) Rút gọn biểu thức
N 3 . 3
1 1
a a a a
a a
   
+ −
= + −

 ÷ ÷
+ −
   
với
0a ≥
và
1a ≠
.
Câu 2 (2 điểm)
Cho hàm số bậc Hết
Họ tên thí sinh: ………………………………Số báo danh:
………………….……
Chữ kí của giám thị 1:……………………… Chữ kí của giám thị 2:
……… ……
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO
TẠO
HẢI DƯƠNG

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN
KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2010 - 2011
Ngày thi: 06 tháng 07 năm 2010
Đáp án gồm : 03 trang
I) HƯỚNG DẪN CHUNG.
8) Thí sinh làm bài theo cách riêng nhưng đáp ứng được yêu cầu cơ bản
vẫn cho đủ điểm.
9) Việc chi tiết điểm số (nếu có) so với biểu điểm phải được thống nhất
trong Hội đồng chấm.
10) Sau khi cộng điểm toàn bài, điểm lẻ đến 0,25 điểm.
II) ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM.

Câ
u
Ý Nội dung Điểm
1 a
Giải phương trình
2
4 0
3
x − =
1,00
2 2
4 0 4
3 3
x x− = ⇔ =
(hoặc
2 12 0x − =
)
2 12x =
6x =
0,25
0,25
0,5
b
Giải phương trình
4 2
3 4 0x x− − =
1,00
Đặt
2
, 0t x t= ≥

ta được
2
3 4 0t t− − =
1, 4t t⇔ = − =
1t = −
(loại)
2
4 4 2t x x= ⇒ = ⇔ = ±
0,25
0,25
0,25
0,25
c
Rút gọn
N 3 . 3
1 1
a a a a
a a
   
+ −
= + −
 ÷ ÷
+ −
   
với
0a ≥
và
1a ≠
1,00
( 1)

1 1
a a a a
a
a a
+ +
= =
+ +
( 1)
1 1
a a a a
a
a a
− −
= =
− −
( ) ( )
N 3 . 3 9a a a= + − = −
0,25
0,25
0,5
2 a Xác định hệ số a 1,00
Ra được phương trình
0 ( 2 1) 1a= + +
1
2 1
a
−
⇔ =
+
1 2a = −

Vậy
1 2a = −
0,25
0,25
0,25
0,25
b
Tìm các số nguyên m để nghiệm
( ; )x y
thỏa mãn
2
30x xy+ =
1,00
Tìm được
1y m= +
,
2 1x m= −
2 2
30 (2 1) (2 1)( 1) 30x xy m m m+ = ⇔ − + − + =
2
2 10 0m m⇔ − − =
2m⇔ = −
hoặc
5
2
m =
Do m nguyên nên
2m = −
0,25
0,25

0,25
0,25
3 Tính số bộ quần áo may trong một ngày theo kế hoạch 1,00
Gọi số bộ quần áo may trong một ngày theo kế hoạch là
x
bộ
(x nguyên dương).
Số ngày hoàn thành công việc theo kế hoạch là
280
x
Số bộ quần áo may trong một ngày khi thực hiện là
5x +
Số ngày hoàn thành công việc khi thực
0,25
2
280( 5) 280 ( 5) 5 1400 0x x x x x x⇔ + − = + ⇔ + − =
hiện là
280
5x +
Theo giả thiết ta có phương trình
280 280
1
5x x
− =
+
Giải pt ta được
35, 40x x= = −
(loại)
Số bộ quần áo may trong một ngày theo kế hoạch là 35 bộ
0,25

0,25
0,25
4 a Chứng minh tứ giác BCEF là tứ giác nội tiếp 1,00
A
N
D
M
H
I
C
F'
F
E'
E
O
B
A
H
C
F'
F
E'
E
O
B
Hình 2 Hình 1
Vẽ được hình 1
Theo giả thiết
· ·
0 0

90 , 90BFC BEC= =
· ·
0
90BFC BEC⇒ = = ⇒
BCEF là tứ giác nội tiếp
0,5
0,25
0,25
b Chứng minh EF song song với E’F’ 1,00
BCEF là tứ giác nội tiếp suy ra
· ·
CBE CFE=
·
·
' 'CBE CF E=
(cùng chắn cung
¼
'CE
)
Suy ra
·
·
' 'CFE CF E=
Suy ra
// ' 'EF E F
0,25
0,25
0,25
0,25
c

Chứng minh tam giác
IMN
cân
1,00
TH 1. M thuộc tia BA.
H là trực tâm của tam giác ABC suy ra
AH BC⊥
· ·
CAH CBH=
(cùng phụ với góc
·
ACB
)
·
·
·
·
0 0
90 , 90BHI BHM ANH NHE+ = + =
·
·
BHM NHE=
(vì đối đỉnh)
·
·
BHI ANH⇒ =
ANH⇒ ∆
đồng dạng với
AH HN
BIH

BI IH
∆ ⇒ =
(1)
Tương tự
AHM
∆
đồng dạng với
AH HM
CIH
CI IH
∆ ⇒ =
(2)
Từ (1) và (2) và
BI CI=
suy ra
HM HN
HM HN
IH HI
= ⇒ =
Mà
HI MN⊥
tại H suy ra
IMN∆
cân tại I.
TH 2. M thuộc tia đối của tia BA.
· ·
CAH CBH=
(cùng phụ với góc
·
ACB

)
·
·
0
90ANH NHE= +
(góc ngoài
∆
)
·
·
0
90BHI BHM= +
C
F'
E'
E
N
M
I
H
F
B
A
·
·
BHM NHE=
(vì đối đỉnh)
·
·
ANH BHI ANH= ⇒ ∆

đồng
0,25
0,25
0,25
0,25
dạng với
AH HN
BHI
BI IH
∆ ⇒ =
. Đến đây làm tương tự như TH
1.
* Chú ý. Thí sinh chỉ cần làm 1 trong 2 TH đều cho điểm tối
đa.
5
Chứng minh rằng
2
2
2
a d
c b
+ ≥
1,00
2 2
1a b+ =
và
4 4 4 4 2 2 2
1 ( )a b a b a b
c d c d c d c d
+

+ = ⇒ + =
+ +
4 4 2 2 2
( ) ( ) ( )d c d a c c d b cd a b⇔ + + + = +
4 2 4 2 4 4 4 4 2 2
( 2 )dca d a c b cdb cd a b a b⇔ + + + = + +
2 4 2 4 2 2 2 2 2
2 0 ( ) 0d a c b cda b da cb⇔ + − = ⇔ − =
2 2
0da cb⇔ − =
hay
2 2
a b
c d
=
. Do đó
2 2 2 2
2 2 2
( )
2 2 0
a d b d b d
c b d b db
−
+ − = + − = ≥
. Vậy
2
2
2
a d
c b

+ ≥
0,25
0,25
0,25
0,25
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO
TẠO
HẢI DƯƠNG

KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2010 - 2011
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề
Ngày thi: 08 tháng 07 năm 2010 (Đợt 2)
Đề thi gồm : 01 trang

Câu 1 (3 điểm)
11) Vẽ đồ thị của hàm số
2 4y x= −
.
12) Giải hệ phương trình
2 3
2 3
x y
y x
= −


= −


.
13) Rút gọn biểu thức P =
3
2
9 25 4
2
a a a
a a
− +
+
với
0a >
.
Câu 2 (2 điểm)
Cho phương trình
2
3 0x x m− + =
(1) (x là ẩn).
14) Giải phương trình (1) khi
1m =
.
15) Tìm các giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
1 2
,x x

thỏa mãn
2 2
1 2
1 1 3 3x x
+ + + =

.
Câu 3 (1 điểm)
Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 48 km. Một canô đi từ bến A
đến bến B, rồi quay lại bến A. Thời gian cả đi và về là 5 giờ (không
tính thời gian nghỉ). Tính vận tốc của canô trong nước yên lặng, biết
rằng vận tốc của dòng nước là 4 km/h.
Câu 4 (3 điểm)
Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng a, M là điểm thay đổi
trên cạnh BC (M khác B) và N là điểm thay đổi trên cạnh CD (N khác
C) sao cho
·
0
MAN 45=
. Đường chéo BD cắt AM và AN lần lượt tại P
và Q.
16) Chứng minh tứ giác ABMQ là tứ giác nội tiếp.
17) Gọi H là giao điểm của MQ và NP. Chứng minh AH vuông góc với
MN.
18) Xác định vị trí điểm M và điểm N để tam giác AMN có diện tích lớn
nhất.
Câu 5 (1 điểm)
Chứng minh
3 3
( )a b ab a b+ ≥ +
với mọi
, 0a b ≥
. Áp dụng kết quả
trên, chứng minh bất đẳng thức
3 3 3 3 3 3
1 1 1

1
1 1 1a b b c c a
+ + ≤
+ + + + + +
với mọi a, b, c là các số
dương thỏa mãn
1abc =
.
Hết
Họ tên thí sinh: ………………………………Số báo danh:
………………….……
Chữ kí của giám thị 1:……………………… Chữ kí của giám thị 2:
……… ……
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO
TẠO
HẢI DƯƠNG

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN
KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT
NĂM HỌC 2010 - 2011
Ngày thi: 08 tháng 07 năm 2010
Đáp án gồm : 03 trang
I) HƯỚNG DẪN CHUNG.
19) Thí sinh làm bài theo cách riêng nhưng đáp ứng được yêu cầu cơ bản
vẫn cho đủ điểm.
20) Việc chi tiết điểm số (nếu có) so với biểu điểm phải được thống nhất
trong Hội đồng chấm.
21) Sau khi cộng điểm toàn bài, điểm lẻ đến 0,25 điểm.
II) ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM.
Câ

u
Ý Nội dung Điểm
1 a
Vẽ đồ thị của hàm số
2 4y x= −
1,00
Đồ thị cắt trục Ox tại A
(2;0)
(HS có thể lấy điểm khác)
Đồ thị cắt trục Oy tại B
(0; 4)−
(HS có thể lấy điểm khác)
Vẽ được đồ thị hàm số
0,25
0,25
0,5
b
Giải hệ phương trình
2 3
2 3
x y
y x
= −


= −

1,00
Hệ
2 3

2 3
x y
x y
− = −

⇔

− =

(HS có thể dùng phép thế hoặc phép trừ)
Tìm được
3x =
Tìm được
3y =
Kết luận. Hệ có nghiệm duy nhất
3, 3x y= =
0,25
0,25
0,25
0,25
c
Rút gọn biểu thức P =
3
2
9 25 4
2
a a a
a a
− +
+

với
0a >
1,00
3
9 25 4 9 5 2a a a a a a a− + = − +
0,25
2 ( 2)a a= +
2
2 ( 2)a a a a+ = +
P =
2
a
hoặc
2 a
a
0,25
0,25
0,25
2 a
Giải phương trình
2
3 0x x m− + =
khi
1m =
.
1,00
1m =
ta có phương trình
2
3 1 0x x− + =

9 4 5∆ = − =
1
3 5
2
x
+
=
,
2
3 5
2
x
−
=
(mỗi nghiệm đúng cho 0,25)
0,25
0,25
0,5
b
Tìm m để
1 2
,x x
thỏa mãn
2 2
1 2
1 1 3 3x x+ + + =
1,00
Pt (1) có hai nghiệm phân biệt
9
9 4 0

4
m m⇔ ∆ = − > ⇔ <
(1)
Theo định lí Viet
1 2 1 2
3,x x x x m+ = =
. Bình phương ta được
2 2 2 2
1 2 1 2
2 2 ( 1)( 1) 27x x x x+ + + + + =
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
2 1 25x x x x x x
⇔ + + + + + =
.
Tính được
2 2 2
1 2 1 2 1 2
( ) 2 9 2x x x x x x m+ = + − = −
và đưa hệ thức
trên về dạng
2
2 10 8m m m− + = +
(2)
2 2
2 10 16 64 18 54 3m m m m m m⇒ − + = + + ⇔ = − ⇔ = −
.
Thử lại thấy
3m = −
thỏa mãn pt (2) và điều kiện (1).

0,25
0,25
0,25
0,25
3 Tính vận tốc của canô trong nước yên lặng 1,00
Gọi vận tốc canô trong nước yên lặng là
(km/h, 4)x x >
Vận tốc canô khi nước xuôi dòng là
4x +
và thời gian canô
chạy khi nước xuôi dòng là
48
4x +
.
Vận tốc canô khi nước ngược dòng là
4x −
và thời gian canô
chạy khi nước ngược dòng là
48
4x −
.
Theo giả thiết ta có phương trình
48 48
5
4 4x x
+ =
+ −
pt
2 2
48( 4 4) 5( 16) 5 96 80 0x x x x x⇔ − + + = − ⇔ − − =

0,25
0,25
0,25
Giải phương trình ta được
0,8x = −
(loại),
20x =
(thỏa mãn)
Vậy vận tốc canô trong nước yên lặng là 20 km/h
0,25
4 a Chứng minh tứ giác ABMQ là tứ giác nội tiếp 1,00
Hình 1 Hình 2
Vẽ được hình 1
Theo giả thiết
·
0
45QAM =
và
·
0
45QBM =
· ·
QAM QBM⇒ =

ABMQ⇒
là tứ giác nội tiếp
0,5
0,25
0,25
b Chứng minh AH vuông góc với MN 1,00

ABMQ
là tứ giác nội tiếp suy ra
·
·
0
180AQM ABM+ =
·
·
0 0
90 90ABM AQM MQ AN= ⇒ = ⇒ ⊥
Tương tự ta có ADNP là tứ giác nội tiếp
NP AM⇒ ⊥
Suy ra H là trực tâm của tam giác
AMN AH MN⇒ ⊥
* Chú ý. Lập luận trên vẫn đúng khi M trùng với C
0,25
0,25
0,25
0,25
c
Xác định vị trí điểm M và N để
∆
AMN có diện tích lớn nhất
1,00
M là điểm thay đổi trên cạnh BC (M khác B) nên có 2 TH
TH 1. M không trùng với C, khi đó M, N, C không thẳng hàng.
Gọi I là giao điểm của AH và MN và S là diện tích tam giác
AMN thì S =
1
.

2
AI MN
.
Tứ giác APHQ nội tiếp suy ra
·
·
PAH PQH=
(1)
Tứ giác ABMQ nội tiếp suy ra
·
·
BAM BQM=
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
·
·
PAH BAM=
hay
·
·
MAI MBA=
Hai tam giác vuông MAI và MAB có
·
·
MAI MBA=
, AM chung
suy ra
,MAI MAB AI AB a IM BM∆ = ∆ ⇒ = = =
0,25
Tương tự

NAI NAD IN DN∆ = ∆ ⇒ =
. Từ đó
S =
1 1
. .
2 2
AI MN a MN=
Ta có
2 ( )MN MC NC a BM a DN a IM IN< + = − + − = − +
Vậy
2MN a MN< −
hay
2
1 1
.
2 2
MN a S a MN a< ⇒ = <
.
TH 2. M trùng với C, khi đó N trùng với D và
AMN ACD∆ = ∆
nên S =
2
1 1
.
2 2
AD DC a=
Vậy
∆
AMN có diện tích lớn nhất
M C⇔ ≡

và
N D≡
.
0,25
0,25
0,25
5
3 3 3 3 3 3
1 1 1
1
1 1 1a b b c c a
+ + ≤
+ + + + + +
1,00
3 3 2 2
( ) ( ) ( ) 0a b ab a b a a b b b a+ ≥ + ⇔ − + − ≥
2 2 2
( )( ) 0 ( ) ( ) 0a b a b a b a b⇔ − − ≥ ⇔ − + ≥
, đúng
, 0a b∀ ≥
3 3 3 3
( ) ( )a b ab a b a b abc ab a b abc+ ≥ + ⇔ + + ≥ + +
3 3
3 3
1 1
1 ( )
1 ( )
a b ab a b c
a b ab a b c
⇔ + + ≥ + + ⇔ ≤

+ + + +
(Do các vế đều dương). Tương tự, cộng lại ta được
3 3 3 3 3 3
1 1 1
1 1 1a b b c c a
+ +
+ + + + + +
1 1 1
1
( ) ( ) ( )ab a b c bc a b c ca a b c
≤ + + =
+ + + + + +
0,25
0,25
0,25
0,25